Medidas de Dispersión

MEDIDAS DE DISPERSIN

Prof. L. GALINDEZ

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Dispersin:

Medidas de Desviacin Promedio

Las descripciones ms completas de la

dispersin son aquellas que manejan la

desviacin promedio respecto a alguna

medida de tendencia central.


Varianza de Poblacin

Cada poblacin tiene una varianza, su

smbolo es (sigma cuadrada). La varianza es el promedio de los cuadrados

de las distancias de las observaciones a la

media.

Para calcular la varianza de una poblacin,

la suma de los cuadrados de las distancias

entre la media y cada elemento de la

poblacin se divide entre el nmero total de

observaciones en poblacin.


Varianza de Poblacin

2 = 2

= 2

2

Donde: 2: Varianza de la poblacin x: elemento u observacin : media de la poblacin N: nmero total de elementos de la poblacin : sumatoria


Desviacin Estndar

Es una medida de dispersin de datos, y no

es ms que la raz cuadrada de la Varianza

de la poblacin.

La desviacin estndar es la raz cuadrada

del promedio de los cuadrados de las

distancias entre las observaciones y la

media.


Desviacin Estndar

NOTA:

La desviacin estndar est en las mismas

unidades que las que se usaron para medir

los datos.

= 2 = 2

=

2

2


Desviacin Estndar La desviacin estndar nos permite determinar, con un buen grado de precisin, dnde estn localizados los valores de una distribucin de frecuencias con relacin a la media. La desviacin estndar es til tambin para

describir cunto se apartan las

observaciones individuales de una

distribucin de la media de la misma.


Desviacin Estndar Teorema de Chebyshev Establece que independientemente de la forma de la distribucin, al menos 75% de los valores caen dentro de 2 desviaciones estndar a partir de la media de la distribucin, y al menos 89% de los valores caen dentro de 3 desviaciones estndar a partir de la media.


Teorema de Chebyshev Podemos medir an con ms precisin el porcentaje de

observaciones que caen dentro de un rango especfico de

una curva simtrica con forma de campana, como la

mostrada en la siguiente figura. En estos casos, podemos

decir que:

1. Aproximadamente 68% de los valores de la poblacin

cae dentro de 1 desviacin estndar a partir de la media.

2. Aproximadamente 95% de los valores estar dentro de

2 desviaciones estndar a partir de la media.

3. Aproximadamente 99% de los valores estar en el

intervalo que va desde 3 desviaciones estndar a la

izquierda de la media hasta 3 desviaciones estndar a la

derecha de la media.


Teorema de Chebyshev


1.- Ejercicio:

A continuacin se muestran los resultados

de una prueba de pureza de compuestos

qumicos. Determine la Varianza y la

Desviacin Estndar.


1.- Ejercicio:


1.- Ejercicio: El Teorema de Chebyshev nos dice que al

menos el 75% de los valores (11 de nuestros

15 frascos) estn entre:

Veamos:

0,166 2 0,058 = 0,050 0,166 + 2 0,058 = 0,282


1.- Ejercicio: De hecho, 93% de las observaciones (14 de

los 15 valores) estn realmente en el

intervalo. Note que la distribucin es

razonablemente simtrica y que 93% es muy

cercano al 95% terico para un intervalo de

2 desviaciones estndar a partir de la media de una curva con forma de campana.


Resultado Estndar Nos da el nmero de desviaciones estndar que

una observacin en particular ocupa por debajo o

por encima de la media. Si x simboliza la

observacin, entonces el resultado estndar

calculado a partir de los datos de la poblacin es:

=

Donde: x: observacin tomada de la poblacin : media de la poblacin

: desviacin estndar de la poblacin


2. Ejercicio: Calcule resultados estndar para el ejercicio

anterior (1)

Solucin:

Suponga que observamos un frasco de compuesto

que tiene 0.108% de impureza.

Como nuestra poblacin tiene una media de 0.166

y una desviacin estndar de 0.058

=

=0,108 0,166

0,058= 1



anterior (1)

Solucin:

Para una impureza observada del 0.282%

=

=0,282 0,166

0,058= 2



anterior (1)

Solucin:

El resultado estndar indica que una

impureza del 0.282% se desva de la media

en 2(0.058)= 0.116 unidades, que es igual a

+2, en trminos de del nmero de

desviaciones estndar alejado de la media.


Clculo de la Varianza y la Desviacin

Estndar utilizando Datos Agrupados

Varianza:

Desviacin Estndar de Datos Agrupados:



Estndar utilizando Datos Agrupados

Donde:



Estndar utilizando Muestras

Donde:



Estndar utilizando Muestras

Varianza de una Muestra:

Desviacin Estndar de una Muestra:


Resultado Estndar de una Muestra

Donde:


3. Ejercicio: Determine la Varianza y la

Desviacin estndar de las ventas de 100

restaurantes de comidas rpidas.


3.

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