07 Medidas de Dispersión y Asimetría

UNIVERSIDAD CATOLICA DE TRUJILLO

BENEDICTO XVI

ESTADÍSTICA

GENERAL

Ms. Ylder Heli Vargas [email protected]

• Medidas de Dispersión: Varianza,

desviación estándar y coeficiente de

variación.

• Medidas de asimetría: Asimetría y

apuntamiento.

MISIÓN

Somos una Universidad Católica

que brinda formación humana

integral basada en valores

cristianos, contribuye mediante la

investigación e innovación al

desarrollo de la sociedad.

VISIÓN

La Universidad Católica de Trujillo Benedicto XVI, al celebrar sus Bodas de Plata:

Es una universidad acreditada.

Es reconocida por formar profesionales competentes con calidad moral y ética.

Se orienta a la solución de problemas basada en la investigación científica, la creación y aplicación de nuevas tecnologías.

VALORES INSTITUCIONALES

Responsabilidad Respeto

Verdad Solidaridad

Calidad Libertad

Ser

vic

io

MEDIDAS DE DISPERSION

Son las que se utilizan para analizar el grado de variabilidad (heterogeneidad)

de un conjunto de datos.

Describen cuán cercanos se encuentran los datos entre ellos, o cuán cerca

se encuentran de alguna medida de posición.

El grado de variabilidad de la información disponible es muy importante en

todo análisis estadístico pues de esto depende el grado de confiabilidad de

las estimaciones que se puedan establecer.

Las medidas de dispersión o variabilidad que estudiaremos son:

La varianza

La desviación estándar

El coeficiente de variación.


VARIANZA

Es la medida que cuantifica la variabilidad de los datos respecto al valor de la

media.

11

2

2)(

n

i

n

i

xxs

Para una muestra:

DATOS

NO AGRUPADOS

s2 : Variancia muestralxi : Marca de clase i

x : Media aritmétican : Tamaño de la muestra

ae

ne

xixi-1 xk_x

nink


VARIANZA

11

2

2)(*

n

ii

k

i

xxfs

Para una muestra:

DATOS AGRUPADOS

s2 : Variancia muestralfi : Frecuencia absoluta de la clase ixi : Marca de clase i

x : Media aritmétican : Tamaño de la muestrak : N° de clases

ae

ne

xixi-1 xk_x

nink


VARIANZA

USOS:

En inferencia estadística

Para calcular la desviación estándar.

Para calcular el tamaño de muestra.

ae

ne

xixi-1 xk_x

nink


DESVIACION ESTANDAR

11

2

)(

n

i

n

i

xxs

Para una muestra:

DATOS NO AGRUPADOS

s : Desviación estándar muestralxi : Marca de clase i


ae

ne

xixi-1 xk_x

nink


DESVIACION ESTANDAR

11

2

)(*

n

ii

k

i

xxfs

Para una muestra:

DATOS AGRUPADOS

s : Desviación estándar muestralfi : Frecuencia absoluta de la clase ixi : Marca de clase i


ae

ne

xixi-1 xk_x

nink


DESVIACION ESTANDAR

Interpretación del valor de la desviación estándar

La desviación estándar s es útil para comparar la variabilidad de dos

conjuntos de datos en los que la variable a sido medida en las mismas

unidades.

Si en una muestra s = 5.4 y en otra s = 10.4 podemos asegurar que los

datos de la segunda muestra están más dispersos que los de la primera.

Pero ¿cómo interpretamos el valor s = 5.4?

La desviación estándar nos da idea de la distancia promedio de los datos

a la media (aunque estrictamente hablando no es el promedio). Pero la

interpretación de s requiere algún conocimiento de la distribución de los

datos.


DESVIACION ESTANDAR

Interpretación del valor de la desviación estándar

Regla empíricaSi el histograma de los datos es aproximadamente simétrico y acampanado entonces,

Aproximadamente el 68% de las observaciones caen en el intervalo x − s y x + s .

Aproximadamente el 95% de las observaciones caen en el intervalo x − 2s y x + 2 s.

Prácticamente todas las observaciones caen en el intervalo x − 3s y x + 3s.


DESVIACION ESTANDAR

Propiedades de la desviación estándar

s mide la dispersión alrededor de la media, por lo tanto es

natural elegir esta medida de dispersión cuando se usa la

media como medida de posición.

s = 0 solamente cuando todos los datos son iguales, de otro

modo s>0.

s es una medida de dispersión muy sensible a la presencia de

datos outliers. De hecho, es más sensible que la media ya

que las distancias están elevadas al cuadrado.


COEFICIENTE DE VARIACION (CV)

Medida de variabilidad relativa:

Se usa para comparar la variabilidad entre dos o más muestras, medidas en

las mismas unidades o no.

100*x

sCV

CV : Coeficiente de Variacións : Desviación estándar

x : Media aritmética

Si el coeficiente CV es:

< 10 % poca dispersión

10 – 33% aceptable

34 – 50% alta dispersión

> 50% muy alta

EJERCICIOS

EJERCICIO:

Se tiene las edades de los docentes de la Universidad Católica de Trujillo.

Analizar las medidas de dispersión estudiadas.

37.145135

... )74.3528()74.3532()74.3535(222

2

s

Media Aritmética: x=35.74

35 32 21 43 39 28 28

36 12 54 45 37 53 26

45 23 64 21 34 22 29

36 45 55 20 38 46 27

22 38 35 56 45 33 28

n= 35 ∑ 1,251

37.1452s 06.12S

VarianzaDesviación

Estándar

74.33100*74.35

06.12100*

X

SCV Aceptable

EJERCICIOS

1.-

La Promoción 2014 de la Carrera Profesional de

Ingeniería Industrial de la UCT esta integrada por

alumnos cuyas edades, según el sexo, son :

a) ¿Cuál de los dos grupos de edades está más disperso ?.

b) Con relación al grupo integrado por los del mismo sexo, ¿quién resulta

más joven, un hombre o una mujer de 20 años ?.

EDAD HOMBRES MUJERES

17 - 20 2 4

20 - 23 9 12

23 - 25 11 4

25 - 28 1 5

28 - 31 2 3

Edad xi fi xi*fi fi*(xi -x)2 Edad xi fi xi*fi fi*(xi -x)2

17 - 20 18.50 2 37.00 44.18 17 - 20 18.50 4 74.00 87.56

20 - 23 21.50 9 193.50 26.01 20 - 23 21.50 12 258.00 33.81

23 - 25 24.00 11 264.00 7.04 23 - 25 24.00 4 96.00 2.70

25 - 28 26.50 1 26.50 10.89 25 - 28 26.50 5 132.50 55.16

28 - 31 29.50 2 59.00 79.38 28 - 31 29.50 3 88.50 119.88

25 580.00 167.50 28 649.00 299.11

x= 23.20 x= 23.18

s2= 6.98 s2= 11.08

sH= 2.64 0.67 2.69898 sM= 3.33

CVH= 11.39% CVM= 14.36%

HOMBRES MUJERES

2.- La siguiente tabla corresponde a los pesos en gramos de dos muestras tomadas aleatoriamente de

cierto embutido que es elaborado por dos máquinas distintas (1 y 2). El muestreo se realizó dado que

últimamente se han detectado ciertos problemas por la diferencia del peso de los embutidos entre las

dos máquinas, lo que ha causado malestar entre los consumidores del producto.

•Calcule las medidas de tendencia central de cada muestra.

•Calcule las medidas de dispersión de cada muestra.

•Calcule los cuartiles de ambas muestras.

•Se considera que el peso de los embutidos es aceptable si su promedio es de 220 gramos y si la

desviación estándar no supera los 3,1 gramos. Si sólo hay discrepancias con el peso promedio se puede

solucionar fácilmente pues las máquinas pueden regularse desde su tablero de control. En cambio, si los

pesos tienen valores muy dispersos, es necesario reparar la máquina pues la causa es un excesivo

desgaste. Con estos criterios y los datos de las muestras, ¿qué recomendaría hacer?

EJERCICIOS

MEDIDAS DE ASIMETRÍA

Las medidas de asimetría establece el grado de simetría que

presenta una distribución, sin necesidad de una presentación grafica.

DEFINICIÓN:

Una distribución es simétrica cuando, dado su valor central, existen

el mismo número de valores a ambos lados de dicho valor y a cada

par de valores equidistantes les corresponde la misma frecuencia

absoluta.

La asimetría se puede definir como la ausencia de simetría en la

distribución.


MEDIA = MODA Simétrica

MEDIA > MODA ASIMÉTRICA POR LA DERECHA O POSITIVA

MEDIA< MODA ASIMÉTRICA POR LA IZQUIERDA O

NEGATIVA

TIPOS DE ASIMETRÍA


1.- Coeficiente de Karl Pearsonx= media aritmética.

Me = Mediana.

s = desviación típica o estándar.

El Coeficiente de Pearson varía entre -3 y 3 :

Si As < 0 la distribución será asimétrica negativa o hacia la izquierda.

Si As = 0 la distribución será simétrica.

Si As > 0 la distribución será asimétrica positiva o hacia la derecha


2.- Medida de FisherPara datos sin agrupar : Para datos agrupados :

Donde:

xi= Categorías o marcas de clase n = número de datos

x = media aritmética f = frecuencia absoluta

s= Desviación estándar

Nota.

• Si As < 0 -> Indica que existe presencia de la minoría de datos en la parte

izquierda de la media

• Si As = 0 -> la distribución será simétrica

• Si As > 0 -> Indica que existe presencia de la minoría de datos en la parte

derecha de la media,

3

1

3

*

)(

sn

xx

A

n

i

i

s

3

1

3

*

)(*

sn

xxf

A

n

i

ii

s

MEDIDAS DE APUNTAMIENTO O CURTOSIS

La curtosis mide el grado de agudeza o achatamiento de una distribución con

relación a la distribución normal, es decir, mide cuán puntiaguda es una

distribución.

TIPOS DE APUNTAMIENTO O CURTOSIS

MEDIDAS DE CURTOSIS

TIPOS DE APUNTAMIENTO O CURTOSIS

MEDIDAS DE CURTOSIS

Medida de Fisher

Para datos sin agrupar : Para datos agrupados:

Donde:

xi=datos, Categorías o marcas de clase n = número de datos

x = media aritmética fi = frecuencia absoluta

s= Desviación estándar

Nota:

Si C < 3 -> la distribución es platicútica

Si C = 3 -> la distribución es Normal o Mesocúrtica

Si C > 3 -> la distribución es leptocúrtica

4

1

4

*

)(

sn

xx

C

n

i

i

s

4

1

4

*

)(*

sn

xxf

C

n

i

ii

s

EJERCICIOS

La Promoción 2013 de la Carrera Profesional de

Ingeniería Industrial de la UCT esta integrada por

alumnos cuyas edades, según el sexo, son :

a) Determinar qué tipo de asimetría y curtosis presentan cada grupo según

el sexo.

EDAD HOMBRES MUJERES

17 - 20 4 3

20 - 23 7 4

23 - 25 3 2

25 - 28 2 12

28 - 31 1 4

Edad xi fi xi*fi fi*(xi -x)2 fi*(xi -x)3 fi*(xi -x)4 Edad xi fi xi*fi fi*(xi -x)2 fi*(xi -x)3 fi*(xi -x)4

17 - 20 18.50 4 74.00 57.58 -218.47 828.90 17 - 20 18.50 3 55.50 127.53 -831.50 5,421.40

20 - 23 21.50 7 150.50 4.41 -3.51 2.78 20 - 23 21.50 4 86.00 49.56 -174.46 614.09

23 - 25 24.00 3 72.00 8.73 14.89 25.40 23 - 25 24.00 2 48.00 2.08 -2.12 2.16

25 - 28 26.50 2 53.00 35.38 148.80 625.83 25 - 28 26.50 12 318.00 26.28 38.90 57.57

28 - 31 29.50 1 29.50 51.92 374.16 2,696.18 28 - 31 29.50 4 118.00 80.28 359.66 1,611.28

17 379.00 158.03 315.88 4,179.10 25 625.50 285.74 -609.52 7,706.51

x= 22.29 x= 25.02

s2= 9.88 s2= 11.91

sH= 3.14 sM= 3.45

As= 0.60 As= -0.59

Cs= 2.52 Cs= 2.17

MUJERESHOMBRES

EJERCICIOS

0

2

4

6

8

10

12

14

17 - 20 20 - 23 23 - 25 25 - 28 28 - 31

Mujeres

Series10

1

2

3

4

5

6

7

8

17 - 20 20 - 23 23 - 25 25 - 28 28 - 31

Hombres

EJERCICIOS

Considérense los datos: 9, 11, 7, 12, 11. Se pide:

a. Calcular su media aritmética, varianza y desviación típica.

b. Considerar el conjunto de datos obtenido al multiplicar a cada dato

inicial por 2. Obtener su media y desviación típica. ¿Qué relación

existe con el apartado a)?.

c. Considerar el conjunto de datos obtenido al sumar 5 a cada dato

inicial. Obtener su media y desviación típica. ¿Qué relación existe con

el apartado a)?.

EJERCICIOS

El Propietario de los Hoteles “Costa del Sol”, “Plaza Grau” y “Suite Plaza Hotel

Residencial”; está analizando los gastos de electricidad. Para esto cuenta con los

siguientes datos respecto al consumo mensual de electricidad de cada uno de los

hoteles por habitación:

Costa del Sol: Tiene 12 Habitaciones que gastan en promedio 45 soles con una desviación

estándar de 10 soles.

Plaza Grau: Tiene 9 Habitaciones cuyos consumos en soles son: 38, 42, 56, 60, 43, 52, 41,

44, 53.

Suite Plaza Hotel Residencial: Los consumos se dan en la siguiente tabla:

¿Cuál de los Hoteles tiene menor consumo promedio de electricidad?

¿Cuál es el consumo promedio por los tres hoteles?

¿En cuál de los hoteles el consumo es más disperso?

Consumo en soles Habitaciones

[30, 40[ 1

[40, 50[ 4

[50, 60[ 4

[60,70] 2

GRACIAS

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