Moodle Medidas de Dispersión

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DINEBR / DES

ESTADÍSTICESTADÍSTICAA




DINEBR / DES



ESTADÍGRAFOS DE DISPERSIÓNESTADÍGRAFOS DE DISPERSIÓN

Miden la dispersión de los datos de la muestra:

Ejemplo (1):

Dados los siguientes conjuntos de datos:a)9, 10, 11, 12, 13, 14 y 15 se tiene: MA = 12 y Me = 12b)6, 8, 10, 12, 14, 16 y 18 se tiene: MA = 12 y Me = 12

Las MA y Me son iguales sin embargo en “b” hay mayor dispersión. Osea los datos están más separados.Ahora bien, recordemos que:

R = Xmáx. – Xmín., sin embargo esta diferencia no garantiza una medida correcta de la dispersión (sólo usa valores extremos).



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ESTADÍSTICAESTADÍSTICAESTADÍSTICAESTADÍSTICA

Desviación Media Absoluta (DM)Sean los datos: x1, x2, x3, ……, xn; relativos a una muestra, entonces, si la desviación media esta dado por:X MA

Para datos no agrupados

1

n

ii

X XDM

n

Para datos agrupados

1

n

i ii

X X fDM

n



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También:

1

mi

i i ii

fDM x x h x x

n

Ejemplo (1):

Halle la DM de los pesos de 8 niños (en Kg): 15, 12, 10, 18, 14, 22, 17, 20

Solución:Determinando la media: 15 12 10 18 14 22 17 20 128

168 8

x

1 4 6 2 2 6 1 4

IX X 15 16 12 16 10 16 18 16 14 16 22 16 17 16 20 16

IX X

IX X

1 4 6 2 2 6 1 4



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1 4 6 2 2 6 1 4 263,25

8 8DM

Luego:

Ejemplo (2):

Nº de Empleados

Nº de Empresas

[0, 20> 400[20, 40> 300[40, 60> 250[60, 80> 150

[80, 100> 50

Dado la siguiente tabla de distribución relativo a un grupo de empleados. Determine la desviación media.



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Solución:Determinemos la media y las desviaciones:

Nº de Empleados

Nº de Empresas

[0, 20> 10 400 4000 25,21 10084[20, 40> 30 300 9000 5,21 1563[40, 60> 50 250 12500 14,79 3679,5[60, 80> 70 150 10500 34,79 5218,5

[80, 100> 90 50 4500 54,79 2739,5

ix .i ix f ix x

4050035,21

1150x entonces:

i ix x f

23284,520,24

1150DM



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VARIANZA Y DESVIACIÓN TÍPICA:VARIANZA Y DESVIACIÓN TÍPICA:

La varianza mide la dispersión de los datos con respecto a la MA y la desviación típica o desviación estándar no es más que la raíz cuadrada positiva de la varianza.VARIANZA POBLACIONALLa varianza de una población finita de “n” elementos x1, x2, x3,

……, xn se define como:

2

22 1

2

:

: var

n

i

xMA x

nmedia poblacional

ianza poblacional



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VARIANZA DE UNA MUESTRALa varianza de una muestra x1, x2, x3, ……, xn de una variable X, denotado por V(x) se define como:

PARA DATOS NO AGRUPADOS

22

2 22 1 1( )

n n

i ii i

x i

x x xV x s MA x x x

n n

PARA DATOS AGRUPADOS

22

2 22 1 1

. .( )

n n

i i i ii i

x i

x x f x fV x s MA x x x

n n



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Para datos agrupados también puede usarse:

2

22

1

( ) .n

x i i ii

V x s MA x x x x h

Ejemplo (1):

Las frecuencias cardiacas de 5 niños son: 130, 132, 127, 129 y 132 pulsaciones/min. Determinar la varianza de la muestra. Solución:Calculando la media de la muestra se tiene:

130 132 127 129 132 650130

5 5MA



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Calculemos las desviaciones al cuadrado:

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

130 130 132 130 127 130 129 130 132 130

0 2 ( 3) ( 1) 2 18

ix x

Luego:

2(x)

18s = = 3,6

5



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Intervalos fi

[20, 25> 4[25, 30> 8[30, 35> 9[35, 40> 10[40, 45> 7[45, 50> 6[50, 55> 6

Ejemplo (2):

Dado la siguiente tabla adjunta. Determinar la varianza



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Solución: Completando la tabla de distribución, se tiene:

Intervalos xi fi xifi

[20, 25> 22,5 4 90 (-15)2 900

[25, 30> 27,5 8 220 (-10)2 800

[30, 35> 32,5 9 292,5 (-5)2 225

[35, 40> 37,5 10 375 02 0

[40, 45> 42,5 7 297,5 52 175

[45, 50> 47,5 6 285 102 600

[50, 55> 52,5 6 315 152 1350

50 1875 4050

2ix -x . if2

ix -x



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De la tabla: 187537,5

50MA x

Finalmente:2( )

405081

50xs

PROPIEDADES:PROPIEDADES:

1 2 3 n

1 2 n

2i i

1) V(x) 0

2) V(c) = 0, c constante

3) V(x) = V(x ±c) = V(x)

4) Dados los datos : x ,x ,x ,......,x

ax ,ax ,.......,ax

entonces : V(ax ) = a V(x )



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DESVIACIÓN TÍPICA

Es la raíz cuadrada de la varianza, es decir:

2( ) ( )D x s V x s

Propiedades de la desviación típicaPropiedades de la desviación típica1) Si a todos los valores de la variable se les suma un número la desviación típica no varía.2)Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la desviación típica queda multiplicada por dicho número.3)La desviación típica será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales.



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COEFICIENTE DE VARIACIÓN

. .S

c vX

Equivale a la razón entre la desviación típica o estándar y la media aritmética.

El coeficiente de variación permite comparar las dispersiones de dos distribuciones distintas, siempre que sus medias sean positivas.Se calcula para cada una de las distribuciones y los valores que se obtienen se comparan entre sí.La mayor dispersión corresponderá al valor del coeficiente de variación mayor.



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De los ejemplos anteriores:

Solución:

Sabemos que MA = 130 y la V(x)= 3,6. Entonces:

IX X 15 16 10 16 18 16 22 16 17 16

1) Las frecuencias cardiacas de 5 niños son: 130, 132, 127, 129 y 132 pulsaciones/min. Determine la desviación típica y su coeficiente de variación.

( ) 3,6 1,89D x s

1,89. . 0,145 14,5%

130

sc v

x

Significa que hay una dispersión del 14,5% respecto de la media.



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Del ejemplo (2):

Sabemos que: MA=37,5 y la V(x) = 81

( ) 81 9D x s

9. . 0, 24 24%

37,5

sc v

x

Significa que hay una dispersión del 24% respecto de la media.

Deformaciones de la curva: 1. Asimetría: Deformación horizontalNotación : AS

sMdx

As

sMex

As3

2. Coeficiente de Curtosis: Deformación vertical.Notación : k



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