Autor:Angel Zerpa. C.I.:

25.131.239.Sección: MV.

República Bolivariana de Venezuela.Ministerio del Poder Popular para la Educación

Superior.Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”.

Sede Barcelona, estado Anzoátegui.Ingeniería de Mantenimiento Mecánico.

Estadística.

Tutor:Ing. Amelia Vásquez.

Marzo, 2017.

MEDIDAS DE POSICIÓN Y DISPERSIÓN

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL.

DEFINICIÓN. Son medidas estadísticas que pretenden resumir en un solo valor a un conjunto de valores. Representan un centro en torno al cual se encuentra ubicado el conjunto de los datos. Las medidas de tendencia central más utilizadas son: media, mediana y moda.

IMPORTANCIA. Son importantes ya que mediante esto podemos resolver situaciones que se nos presentan día con día y que no esta de mas el poder aplicarlas ya que nos reducen un largo tramite de operaciones y esto hace que sea un camino mas viable y rápido al llegar a una solución.

TIPOS DEMEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

MODA Es el valor con mayor frecuencia en una distribución de datos. La moda, cuando los datos están agrupados, es un punto que divide al intervalo modal en dos partes de la forma p y c-p, siendo c la amplitud del intervalo, que verifiquen que:

Siendo la frecuencia absoluta del intervalo modal las frecuencias absolutas de los intervalos anterior y posterior, respectivamente, al intervalo modal.

MEDIANA Representa el valor de la variable de posición central en un conjunto de datos ordenados.

Visualización geométrica de la moda, la mediana y de la media de una función arbitraria de densidad de probabilidad.

MEDIA Resulta al efectuar una serie determinada de operaciones con un conjunto de números y que, en determinadas condiciones, puede representar por sí solo a todo el conjunto.

Tipos de medias: geométrica, ponderada, armónica aunque en el lenguaje común, el término se refiere generalmente a la media aritmética.

CMEDIDAS DE DISPERCIÓN.

DEFINICIÓN

Muestran la variabilidad de una distribución, indicando por medio de un número, si las diferentes puntuaciones de una variable están muy alejadas de la media. Cuanto mayor sea ese valor, mayor será la variabilidad, cuanto menor sea, más homogénea será a la media. Así se sabe si todos los casos son parecidos o varían mucho entre ellos.

IMPORTANCIA

son importantes debido a que dos muestras de observaciones con el mismo valor central pueden tener una variabilidad muy distinta. La variabilidad de cualquier distribución se contempla generalmente en términos de la desviación de cada valor observado (X) con respecto a la media muestral : X Si las desviaciones: (X − ) X son pequeñas, obviamente los datos son están menos dispersos, que si las desviaciones son grandes.

EJEMPLO DE CONJUNTO DE

DATOS CON IGUAL MEDIA:

PROMEDIOS Se denomina promedio o cantidad media a una cantidad representativa de otras varias cantidades. Este promedio es mayor que la menor cantidad y es menor que la cantidad mayor.

PROMEDIO ARITMÉTICO:

Si tenemos "n" cantidades cuyos valores son a1 , a2 , a3 , ............ an el promedio aritmético de ellos será:

Nota: Si tenemos sólo dos cantidades A y B al promedio aritmético, se le denomina también media aritmética (M.A).

Ejercicio 1:

Un alumno ha obtenido las siguientes notas en un curso: 12, 14, 10, 13, 11. ¿Cuál es su promedio de notas?

CLASES DE PROMEDIOS

P.A.= 12+14+10+13+11 = 12 5

PROMEDIO PONDERADO:

Se utiliza cuando los datos son presentados de manera grupal, conociéndose de cada grupo el número de elementos(n) y el promedio aritmético (P).

Ejercicio: En un salón de clases de 30 alumnos la nota promedio de aritmética es 13, en otro salón de 20 alumnos la nota promedio del mismo curso es 15. ¿Cuál será la nota promedio de los 50 alumnos?. Solución: Salón 1 Salón 2 n = 30 n = 20 P = 13 P = 15

P= n1p1 + n2p2 = P = (30)(13) + 20(15) = 690 = P = 13,8 n1 + n2 30 + 20 50

Entonces el promedio ponderado o total es de 13,8.

Observación: El promedio ponderado de estas dos clases no se calcula sumando el promedio 13 de una y 15 de la otra y entre dos. P= 13+15 = 14 2Cuyo resultado sería erróneo, porque también influye el número de alumnos por clase.

PROMEDIO GEOMÉTRICO:

Si tenemos "n" cantidades cuyos valores son: a1, a2, a3, .......an. El promedio geométrico de ellos será igual a: P.G. = P.G. =

Nota: Si tenemos sólo dos cantidades A y B, al promedio geométrico se le denomina también media geométrica (M.G.).: M.G (A,B) =

Ejercicio 1:

Hallar el promedio geométrico de 4; 6 y 9.

P.G.= P.G.= 6

Ejercicio 2:

La Empresa Wells Fargo Mortgage & Equity Trust expresó las siguientes tasas de ocupación para algunas de sus propiedades de ingreso industrial. Cuál es el valor medio geométrico de la tasa de ocupación?

Tucson Arizona 81%Irvine California 100%Carisbad California

74%

Dellas Texas 80%

PROMEDIO ARMÓNICO:

Si tenemos "n" cantidades cuyos valores son a1, a2, a3, ......., an, el promedio armónico de ellos será igual a:

P.H.=

Nota: Para dos cantidades A y B se le denominará media armónica (M.H.)

Datos:

M.G. = M.G. = = = 83,215

El valor medio geométrico de la tasa de ocupación es 83,21%

MODA* CALCULO DE LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS

1°. Todos los intervalos tienen la misma amplitud:

Donde:Li es el límite inferior de la clase modal.fi es la frecuencia absoluta de la clase modal.fi--1 es la frecuencia absoluta inmediatamente inferior a la clase modal.fi-+1 es la frecuencia absoluta inmediatamente posterior a la clase modal.ai es la amplitud de la clase.

También se utiliza otra fórmula de la moda que da un valor aproximado de ésta:

2°. Los intervalos tienen amplitudes distintas:

En primer lugar tenemos que hallar las alturas =

La clase modal es la que tiene mayor altura.

La fórmula de la moda aproximada cuando existen distintas amplitudes es:

EJERCICIO 1:

Calcular la moda de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:

Mo = 66 + . 3 = 67, 846.

Mo = 66 + . 3 = 67,8.

EJERCICIO 2:

En la siguiente tabla se muestra las calificaciones (suspenso, aprobado, notable y sobresaliente) obtenidas por un grupo de 50 alumnos. Calcular la moda.

Mo = 5 + . 2 = 6,27

Mo = 5 + . 2 = 6,33

MEDIANA

Es el valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuando éstos están ordenados de menor a mayor.

• La mediana se representa por Me.

• La mediana se puede hallar sólo para variables cuantitativas.

* CÁLCULO DE LA MEDIANA:

1. Ordenamos los datos de menor a mayor.

2. Si la serie tiene un número impar de medidas la mediana es la puntuación central de la misma.2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6 Me = 5

3. Si la serie tiene un número par de puntuaciones la mediana es la media entre las dos puntuaciones centrales.

7, 8, 9, 10, 11, 12 Me = 9.5

* CÁLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS:

La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas. Es decir, tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre N/2.

Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.N/2 es la semisuma de las frecuencias absolutas.Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.ai es la amplitud de la clase.

La mediana es independiente de las amplitudes de los intervalos.

EJERCICIO 1:

Calcular la mediana de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:.

100/2 = 50

Clase de la mediana: [66, 69).

Me = 66 + . 3 = 67,93

Ejercicio 2:

La publicación Bank Rate Monitor informó las siguientes tasas de ahorro. Cuál es la mediana de las tasas.

Respuesta:

Mediana = 3,25 + 3,51 / 2Mediana = 6,76 /2 = 3,38

 

M. financiero T. ahorroF. Común 3,01C. Mercado 2,96C. Deposito 6m 3,25C. Deposito 1año 3,51C. Deposito 2,5 años

4,25

C. Deposito 5años 5,46

MEDIA ARITMÉTICALa media aritmética es el valor obtenido al sumar todos

los datos y dividir el resultado entre el número total de datos.

es el símbolo de la media aritmética.

MEDIA ARITMÉTICA PARA DATOS AGRUPADOS:

EJERCICIO 1:

En un test realizado a un grupo de 42 personas se han obtenido las puntuaciones que muestra la tabla. Calcula la puntuación media.

= = 43,33

EJERCICIO 2:

A un conjunto de 5 números cuya media es 7.31 se le añaden los números 4.47 y 10.15. ¿Cuál es la media del nuevo conjunto de números?

MEDIDAS DE DISPERSIÓN

Las medidas de dispersión son:

Rango o recorridoEl rango es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos de una

distribución estadística.

Desviación mediaLa desviación respecto a la media es la diferencia entre cada valor de

la variable estadística y la media aritmética.

Di = x - x

La desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media.La desviación media se representa por :

Fórmulas:

DESVIACIÓN MEDIA PARA DATOS AGRUPADOS: Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la desviación media es:

EJERCICIO 1:

Calcular la desviación media de la distribución:

EJERCICIO 2:

Calcular la desviación típica de la distribución:9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

MEDIDAS DE POSICIÓN.CÁLCULO DE LOS CUARTILES PARA DATOS AGRUPADOS: En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra en la tabla de las frecuencias acumuladas.

Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.N es la suma de las frecuencias absolutas.Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.ai es la amplitud de la clase

EJERCICIO 1:

Calcular los cuartiles de la distribución de la tabla:

Cálculo del tercer cuartil:

Cálculo del segundo cuartil:

Conclusión.Las medidas de posición en un conjunto de datos están diseñadas para

proporcionar al analista algunas medidas cuantitativas de donde está el centro de los datos en una muestra.

En las medidas de posición se trata de encontrar medidas que sinteticen las distribuciones de frecuencias. En vez de manejar todos los datos sobre las variables, tarea que puede ser pesada, podemos caracterizar su distribución de frecuencias mediante algunos valores numéricos, eligiendo como resumen de los datos un valor central alrededor del cual se encuentran distribuidos los valores de la variable. La descripción de un conjunto de datos, incluye como un elemento de importancia la ubicación de éstos dentro de un contexto de valores posibles.

Armando, Soto Negrin. Principios de Estadística. Editorial Panapo. 1999. Pág.: 71-81.

Ernesto, Rivas González. Estadística General. Ediciones de la Biblioteca. Caracas. 2000. Pág.: 164-169.

Bibliografía.