Método de La Bisección

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO E.P. Ingeniería de Sistemas

Ing. Lenin Huayta Flores

Cálculo de raíces de ecuaciones ____________________________________________________ 1

1. Método de la Bisección y Teorema de Bolzano _________________________________________ 1

2. Método de Separación de Raíces ____________________________________________________ 3

3. Método del Punto Fijo _____________________________________________________________ 5

4. Método de Newton – Raphson ______________________________________________________ 5

5. Método de las secantes. ___________________________________________________________ 7

6. Método de Steffensen _____________________________________________________________ 9

7. Método de Aitken ________________________________________________________________ 9

8. Análisis de Matrices ______________________________________________________________ 10

Cálculo de raíces de ecuaciones 1. Método de la Bisección y Teorema de Bolzano

Sea f una función continua en un intervalo cerrado ,ba y toma valores de signo

contrario en los extremos, entonces existe al menos un ,c a b tal que ( ) 0cf .

Comprobar que la ecuación 3 1 0x x tiene al menos una solución real en el in-

tervalo 0,1 .

Consideramos la función 3

( ) 1xf x x , que es continua en 0,1 por ser polinómica.

Estudiamos el signo en los extremos del intervalo:

(0) 1 0f

(1) 1 0f

Como los signos son distintos se cumple el teorema de Bolzano, por tanto existe un

0,1c tal que ( ) 0cf . Lo que demuestra que tiene una solución en ese intervalo.

2



Ejemplos:

1. La función que aparece representada a continuación es continua en el intervalo

3,6.2 y (3) 0f mientras que (6.2) 0f . Como se cumplen la hipótesis del teorema

de Bolzano queda garantizada la existencia de al menos un valor c en el que (c) 0f

, es decir en el que la gráfica corta al eje de abscisas. En este ejemplo concreto existen exactamente tres valores (c1,c2, 3)c que cumplen la tesis del teorema. (A los

valores (c1,c2, 3)c se les llama raíces o ceros de la función ( )xf en el intervalo en cues-

tión). La función representada es: ( ) (2 ) 2cos( / 3)xf sen x x

Método de la Bisección en Java

Clase Principal BiseccionMain2.java

Clase Biseccion2.java

3



2. Método de Separación de Raíces

Cuando se está tratando de aproximar las soluciones de una ecuación ( ) 0xf es

de mucha utilidad tener alguna idea de su ubicación. Para el caso en el cual ( )xf

es un polinomio existen algunos resultados en este sentido, como el siguiente:

Teorema [Cotas para las raíces]

Si ( )xf es un polinomio con coeficientes reales cuyo coeficiente principal es positivo

y suponga que efectuamos la división sintética de ( )xf entre x c , entonces:

1. Si 0c , y todos los números del tercer reglón del proceso de división son positivos

o cero, entonces c es una cota superior de las soluciones reales de la ecuación

(x) 0f .

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2. Si 0c , y si los números del tercer reglón del proceso de división son alternada-

mente positivos y negativos (donde se considerará que un 0 es positivo o nega-

tivo), entonces ces una cota inferior de las soluciones de la ecuación (x) 0f .

Recuerde que un número real M es una cota superior de las soluciones de una

ecuación, si ninguna solución es mayor que M : un número real m es una cota infe-

rior de las soluciones de una ecuación, si ninguna solución es menor que m .

Ejemplo:

1. Una cota superior para las soluciones de la ecuación 3 24 10 0x x es 2M ,

pues, los números del tercer reglón de la división sintética son todos positivos.

División sintética por 2x

2. Una cota inferior para las soluciones de la ecuación 3 24 10 0x x es 5M ,

pues, los números del tercer reglón de la división sintética alternan en signo.1

División sintética por 5x

Uno de los resultados más útil en la búsqueda de raíces y a la vez más simple, es el

conocido teorema del valor intermedio. Este teorema establece que si w es cual-

quier número entre ( )af y ( )bf entonces existe un número c entre a y b tal que

( )cf w , siempre y cuando f sea continua en el intervalo ,a b .

Teorema [Del valor intermedio]

Si: : ,f a b es una función continua en ,a b y ( ) ( )a bf f , entonces f toma todos

los valores comprendidos entre ( )af y ( )bf .

Intuitivamente, una función es continua en el intervalo ,a b , si podemos trazar su

gráfica sin interrupción. La idea básica que está detrás de la continuidad es que un

cambio pequeño en x produce un cambio pequeño en ( )xf .

Si ( )af y ( )bf tienen signos opuestos, entonces existe un número c entre a y b , tal que

( ) 0cf , es decir, que c es una solución de la ecuación (x) 0f . Este hecho tan sim-

ple da origen a uno de los métodos más conocidos para la aproximación de solu-

ciones: búsqueda binaria o método de la bisección.

1 http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/HERRAmInternet/ecuaexecl/node2.html

http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/HERRAmInternet/ecuaexecl/node2.html

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3. Método del Punto Fijo

Un punto fijo de una función g es un número p tal que ( )pg p . El problema de

encontrar las soluciones de una ecuación ( ) 0xf y de encontrar los puntos fijos de

una función ( )xh , son equivalentes en el siguiente sentido: dado el problema de en-

contrar las soluciones de una ecuación ( ) 0xf , podemos definir una función g con

un punto fijo p de muchas formas; por ejemplo ( ) ( )x Xf x g . En forma inversa, si la

función g tiene un punto fijo en p , entonces la función definida por ( ) ( )x Xf x g

posee un cero en p .

El método de punto fijo inicia con una aproximación inicial 0x y

1 ( )i ix g x genera

una sucesión de aproximaciones la cual converge a la solución de la ecuación

( ) 0xf . A la función g se le conoce como función iteradora. Se puede demostrar

que dicha sucesión nx converge siempre y cuando ( )' 1xg .

Ejemplo:

Usando el método de punto fijo vamos a aproximar la solución de la ecuación 3 24 10 0x x dentro del intervalo 1,2 .

Lo primero es buscar una función ( )xg adecuada.

3 2

2

4 10 0

( 4) 10

10

4

x x

x x

xx

Elegimos como función iteradora a:

( )

10

4xg

x

Además observe que:

( ) (2)32

10' 1

2( 4)xg g

x

Para todo 1,2x , lo cual garantiza que la sucesión que vamos a construir va a ser

convergente.

4. Método de Newton – Raphson

Este es uno de los métodos más eficientes para aproximar las soluciones de la ecua-

ción ( ) 0xf . El método de Newton empieza con una aproximación inicial 0x , la si-

guiente aproximación 1x corresponde a la intersección con el eje x de la recta

tangente a la gráfica de f en 00 ( )( , )xx f . La aproximación 2x corresponde a la inter-

sección con el eje x de la tangente a la gráfica de f en el punto 11 ( )( , )xx f , y así

sucesivamente. Este proceso genera una sucesión nx , definida por:

6



( )

1

(x )'n

n

x

n n

fx x

f

El algoritmo del método es el siguiente:

0( )

: 1

Newton x

Begin

i

While i n do

0

0

(x )

0 0

( )'

: 1

x

fx x

f

i i

EndWhile

End

Método de Newton en Java

Clase Newton.java

7



Clase principal NewtonMain.java

5. Método de las secantes.

El principal inconveniente del método de Newton estriba en que requiere conocer

el valor de la primera derivada de la función en el punto. Sin embargo, la forma

funcional de ( )xf dificulta en ocasiones el cálculo de la derivada. En estos casos es

más útil emplear el método de la secante.

El método de la secante parte de dos puntos (y no sólo uno como el método de

Newton) y estima la tangente (es decir, la pendiente de la recta) por una aproxima-

ción de acuerdo con la expresión:

1( ) ( )

( )

1

' i i

i

x x

x

i i

f ff

x x

Esta aproximación se puede sustituir en:

1

( )

1

( )'ix

i i

x

fx x

f

1

1

( )( )

1

( ) ( )

i i i

i i

x x x

i i

x x

fx x

f f

Representación geométrica del método de la secante.

La ecuación anterior es la fórmula para el método de la secante. Nótese que el

planteamiento requiere de dos puntos iniciales de x . Sin embargo, debido a que no

se requiere que ( )xf cambie de signo entre estos valores, a este método no se le

clasifica como aquellos que usan intervalos.

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Ejemplo:

1. Use el método de la secante para encontrar una raíz de la ecuación polinominal. 3 2

( ) 2 10 20xf x x x

Solución:

Con la ecuación: 1

1

( ) ( )

1 ( )

( ) ( )

i i i

i

i i

x x x

i i x

x x

fx x g

f f

se obtiene:

3 2

11 3 2 3 2

1 1 1 1

( )( 2 10 20)

( 2 10 20) ( )( 2 10 20)i i i i i

i i

i i i i i i i i

x x x x xx x

x x x x x x x x

Mediante 0 0x y

1 1x , se calcula 2x

3 2

2 3 2 3 2

(1 0)(1 2(1) 10(1) 20)1 1.53846

(1 2(1) 10(1) 20) (0 2(0) 10(0) 20)x

Mediante 1 1x y

3 2

3 3 2 3 2

(1.53846 1)(1.53846 2(1.53846) 10(1.53846) 20)1.53846 1.35031

(1.53846 2(1.53846) 10(1.53846) 20) (1 2(1) 10(1) 20)x

Mediante 2 1.53846x y 3 1.35031x , se calcula

4x

3 2

4 3 2 3 2

(1.35031 0)(1.35031 2(1.35031) 10(1.35031) 20)1.35031

(1.35031 2(1.35031) 10(1.35031) 20) (1.53846 2(1.53846) 10(1.53846) 20)

1.36792

x

Mediante 3 1.35031x y 4 1.36792x , se calcula 5x

3 2

5 3 2 3 2

(1.36792 0)(1.36792 2(1.36792) 10(1.36792) 20)1.36792

(1.36792 2(1.36792) 10(1.36792) 20) (1.35031 2(1.35031) 10(1.35031) 20)

1.36881

x

Con este proceso se obtiene la siguiente tabla:

i

ix 1 1ix x

0 0.00000

1 1.00000 1.00000

2 1.53846 0.53846

3 1.35031 0.18815

4 1.36792 0.01761

5 1.36881 0.00090

9



3

1 1 10ix x

6. Método de Steffensen

El método de Steffensen presenta una convergencia rápida y no requiere, como en

el caso del método de la secante, la evaluación de derivada alguna.

Presenta además, la ventaja adicional de que el proceso de iteración sólo necesita

un punto inicial. Este método calcula el siguiente punto de iteración a partir de la

expresión:

( )

2

( )

1

( ) ( )

n

n x nn

x

n n

x f x

fx x

f f

7. Método de Aitken

El método de Aitken puede ser usado para acelerar la convergencia de cualquier

sucesión que converja linealmente, independientemente de su origen.

Supongamos que 0n n

es una sucesión linealmente convergente con límite ; o

sea que, para:

n ne

1lim n

nn

e

e

y 0 1

Para investigar la construcción de una sucesión 0n n

que converja más rápida-

mente a , supongamos que n es lo suficientemente grande para que el cociente

pueda usarse para aproximar el límite. Si suponemos también que todas las ne tienen

el mismo signo, entonces:

1n ne e y 2 1n ne e

Así:

2 2 1n n nP e e

2 1( )n nP

Remplazando 1n por n en la ecuación:

1 ( )n nP

Y resolviendo las ecuaciones y para mientras se elimina nos lleva a que:

10



2

2 1

2 1

2 2 2

2 1 1

2 1

2 2 2

2 1 1 1

2 1

2

1

2 1

2

2

2

( 2 ) ( 2 )

2

( 2 )

2

n n n

n n n

n n n n n n n

n n n

n n n n n n n n n

n n n

n nn

n n n

El método de Aitken está basado en la suposición de que la sucesión 0

ˆn n

, defi-

nida por: 2

1

2 1

( 2 )ˆ

2n n

n n

n n n

Converge más rápidamente a que la sucesión original

0n n

Aplicando el método de Aitken a una sucesión que converge linealmente obtenida

de la iteración de punto fijo, podemos acelerar la convergencia cuadrática. Este

procedimiento es conocido como el método de Steffensen y difiere un poco de

aplicar el método de Aitken directamente a una sucesión de iteración de punto fijo

que sea linealmente convergente.

8. Análisis de Matrices

Se llama matriz de orden mxn a todo conjunto rectangular de elementos ija dis-

puestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:

Tipos de Matrices:

Matriz fila: Es una matriz que solo tiene una fila, es decir 1m y por tanto es de or-

den 1xn .

Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, 1n y por

tanto es de orden 1mx

Matriz cuadrada: Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas,

es decir m n . En estos casos se dice que la matriz cuadrada es de orden n , y no

nxm .

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Los elementos ija con i j , o sea iia forman la llamada diagonal principal de la

matriz cuadrada, y los elementos aij con 1i j n la diagonal secundaria.

Ejemplo:

En la matriz la diagonal principal está formada por (1, 1, 9) y la dia-

gonal secundaria por (0, 1, 3).

Matriz traspuesta: Dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se representa por

At, a la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de A es

la primera fila de At, la segunda fila de A es la segunda columna de At, etc.

De la definición se deduce que si A es de orden m x n, entonces At es de orden n ́ m.

Matriz simétrica: Una matriz cuadrada A es simétrica si A = At, es decir, si aij = aji " i, j.

Matriz antisimétrica: Una matriz cuadrada es antisimétrica si A = –At, es decir, si aij =

–aji " i, j.

Matriz nula es aquella que todos sus elementos son 0 y se representa por 0.

Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no pertene-

cientes a la diagonal principal son nulos.

Matriz escalar: Es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal igua-

les.

Matriz unidad o identidad: Es una matriz escalar con los elementos de la diagonal

principal iguales a 1.

Matriz Triangular: Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos que

están a un mismo lado de la diagonal principal. Las matrices triangulares pueden ser

de dos tipos:

Triangular Superior: Si los elementos que están por debajo de la diagonal princi-

pal son todos nulos. Es decir, aij =0 " i<j.

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Triangular Inferior: Si los elementos que están por encima de la diagonal principal

son todos nulos. Es decir, aij =0 " j<i.

Determinante de una Matriz

Dada una matriz cuadrada

Se llama determinante de A, y se representa por |A| ó det(A), al número:

1 (1) 2 (2) (n)( ) ... nA i a a a

, con nS

(Sn es el grupo de las permutaciones del conjunto {1, 2,...,n}, e i es la signatura

de la permutación)

También se suele escribir:

Ejemplo

1. Hallar la determinante de:

=(3)(2)(4)+ (2)(-5)(-2)+ (0)(1)(1)- (-2)(2)(1)- (0)(2)(4)- (1)(-5)(3)

= 24 + 20 + 0 - (-4) - 0 - (-15) = 44 + 4 + 15 = 63

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Determinante de una matriz en Java

Clase Determinante.java

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