SOLUCION DE ECUACIONES NO LINEALES

En esta parte nos ocuparemos del problema de determinar raíces de ecuaciones. Las

raíces de una función ( )f x son aquellos x tales que ( )f x =0.

Son ejemplos de ecuaciones no lineales: i) e

x + 3x =0

ii) tan x =senh (x2 +1)

iii) x5

-x4 +1=0

Todas las ecuaciones mencionadas no pueden ser resueltas en un número finito de pasos, es por eso que carece de solución “exacta” y para resolver se usan métodos computacionales.

METODO DE BISECCION

Sea ( )f x una función continua en[ , ]o oa b con ( )* ( ) 0o of a f b .

Entonces por el teorema del valor intermedio, la gráfica ( )y f x cruzará al eje OX en un cero

x a que está en dicho intervalo.

El método de la bisección consiste en dividir repetidamente a la mitad a los subintervalos

de [ , ]o oa b y en cada paso localizar la mitad que contiene a .

ALGORITMO DE LA BISECCION. Para encontrar una solución de f(x) = 0, dada la función continua f en el intervalo [ao, bo]

donde f (ao) y f (bo) tienen signos opuestos con una tolerancia ε específica se procede como sigue: Entrada: Extremos a,b ; tolerancia ε , máximo número de iteraciones No

Salida: Solución aproximada α ó mensaje de fracaso. PASO 1: Tomar i=0 PASO 2: Mientras que i ≤ No Seguir Pasos 3 – 6

PASO 3: Tomar α = 2

aba

PASO 4: Si f(x) = 0 ó

2

ab entonces

Salida (α). Parar. PASO 5: Tomar i = i+1. PASO 6: Si f (a) f (b)>0, entonces tomar a = α. Si no b= α PASO 7: Salida (El método fracaso después de iteraciones,); (Procedimiento completado sin éxito). Parar.

TEOREMA (Convergencia del método de bisección). Supongamos que f Є C [a, b] y que f (a) y f (b) tienen signos distintos. Sea {Cn} n≥0 la sucesión de punto medios de los intervalos generados por el método de bisección. Entonces existe un numero r Є [a,b] tal que f(r) = 0 y además ,

1nn

2

abCr

Para n= 0, 1,2,…………

En particular, la sucesión {Cn} n≥0 converge al cero x = r , esto es rClim nn

Prueba: Para cada n≥0, tenemos:

bn-an = )ab(2

1n

y r Є < an , bn >

Luego 1

| |2 2

n nn n

b a b ar c

ya que

2

n nn

a bc

para todo n = 0,1,2,……

La expresión )ab(2

1n

representa el máximo error posible cuando la raíz se aproxima al n-

esimo punto medio. Por lo tanto si la tolerancia del error está dada por el nº de pasos o

iteraciones necesarias es el mínimo entero que satisface.

12n

b a

Para todo n ≥ 0

En forma equivalente

ab

2 1n

>

1 2

n+1 >

ab n+1 > log 2 (

ab)

n > log 2 (

ab) -1

Ejemplo. Halle el valor aproximado de la raíz con una tolerancia de ε = 0.01 de la función f(x) = e

x – 2 con x

Є [0,2] Solución: Podemos averiguar cuantas iteraciones son necesarias para hallar la raíz con una tolerancia ε = 0.01

n> log 2 (01.0

02 )-1 n > 6,643856 n ≈ 7 número de iteraciones

N

an

αn

bn

f(an)

f(αn)

f(bn) Tol:

1n2

ab

0 0 1 2 -1 0.7182 5.3890 1

1 0 0.5 1 -1 -0.3512 0.7182 0.5

2 0.5 0.75 1 -0.3512 0.1170 0.7182 0.25

3 0.5 0.625 0.75 -0.3512 -0.1317 0.1170 0.125

4 0.625 0.6875 0.75 -0.1317 -0.0112 0.1170 0.0625

5 0.6875 0.7187 0.75 -0.0112 0.0518 0.1170 0.03125

6 0.6875 0.7031 0.7187 -0.0112 0.0200 0.0518 0.015625

7 0.6875 0.6953 0.7031 -0.0112 0.0043 0.0200 0.0078125

La séptima aproximación para la raíz es α = 0.6953 su cota de error (máximo error posible) es 0.0078 está dentro ε =0.01 El método de bisección tiene como ventajas la de ser un método sencillo y que siempre converge. Más bien tiene como desventajas el hecho de ser lento y la necesidad de construir varias sucesiones para llegar a una solución aproximada.

METODO DEL PUNTO FIJO En este método trataremos de obtener una raíz de la ecuación

f(x) = 0 .......... (1) Expresando dicha ecuación en la equivalente X = g(x)……. (2) Esto es, una raíz α de la ecuación (1) también es solución de la ecuación (2). DEFINICION.

Un punto fijo de una función ( )g x ) es un número real tal que ( )g . Geométricamente un

punto fijo de una función ( )g x son los puntos de intersección de la curva ( )y g x con la recta

y x

Ejemplo Sea la ecuación f (x) = x

4 -3 x

2 -1=0

En este caso se tiene: a) X = g1(x) = (1+3x2)1/4

b) X = g2(x) =

2/14

3

1x

c) X = g3(x) = x3x

13

d) X = g4(x) =

2/1

2 3x

1

Cada una de estas funciones g(x) recibe el nombre de función de iteración para resolver la ecuación (1). Una vez que se escoge una función de iteración se define el algoritmo de punto fijo, como: Xn+1 = g(xn ) para todo n ≥ 0........(3) Donde xo es una aproximada inicial. TEOREMA Sea g una función continua y que {xn}n≥0 es una sucesión generada por iteraciones

del punto fijo . Si lim nn

x

entonces es un punto fijo de g x

Prueba

1(lim ) lim limn n nn n n

g g x g x x

Por lo tanto α es un punto fijo de g (x).

TEOREMA

Sean i) g , g' Є C [a , b]

ii) K es una constante positiva

iii) xo Є <a , b>

iv) g(x) Є [a , b] para todo x Є [a , b]. Entonces hay un punto fijo α de g en [a , b]

*Si )x(g ≤ K < 1 para todo x Є [a , b] , entonces α es único punto fijo de g en [a , b] y la iteración

Xn+1 = g(xn) converge a dicho punto α . en este caso se dice que α es un punto fijo atractivo.

*Si )(g > 1 y xo entonces la iteración Xn+1 = g(xn) no converge a α . En este caso se dice

que α es un punto fijo repulsivo y la iteración presentan divergencia total.

COROLARIO

Supongamos que g verifica las hipótesis dadas en el apartado * entonces las siguientes

desigualdades proporcionan cotas de error que comete cuando usamos xn como aproximación a α.

nx ≤ Kn ox para todo n ≥ 1

nx ≤ Kn

k1

xx o1

para todo n ≥ 1

El teorema anterior no nos dice que ocurriría si )(g = 1

El siguiente ejemplo se ha construido especialmente para que {xn} converge cuando xo > y

diverge cuando xo <

Ejemplo Sea para g(x) = 2(x-1)

1/2 para x ≥ 1

Esta función sólo tiene un punto fijo en = 2 y su derivada es 2/1)1x(

1)x(g

de manera que g

(2) = 1 y no se puede aplicar el teorema anterior consideramos CASO i) inicio CASO ii) inicio xo = 1.5 xo = 2.5 x1 = 1.41421356 x1 = 2.44948974 x2 = 1.28718851 : : : : :

x5 = 2(-0.464091)1/2

2xlim nn

Como x4esta fuera del dominio de g(x) Esta sucesión converge muy lentamente El termino x5 no puede calcularse = 2 de hecho 1000 = 2.00398714

ALGORITMO DEL PUNTO FIJO

Encontrar una solución de = g ( ) dada una aproximación inicial xo:

ENTRADA: Aproximación inicial xo; tolerancia Tol; número máximo de iteraciones Nº SALIDA: Solución aproximada ó mensaje de fracaso.

Paso 1: Tomar i = 1 Paso 2: Mientras que i ≤ Nº seguir pasos 3 y 5 Paso 3: Tomar = g(xo) calcule po

Paso 4: Si

ox < tol entonces

Salida ( );

Parar Paso 5: Tomar i = i+1

Paso 6: Tomar o = x (redefinir o )

Paso 7: Salida “el método fracasa después de Nº, iteraciones” Parar.

Ejemplo La fórmulas de Bazin para la velocidad de un fluido en canales abiertos está dada por:

2/1ercv con

2/1552,0

87

r

mc

donde: :m coeficiente de rugosidad

:r Radio hidráulico en pies (área dividida entre el

perímetro mojado) :e Pendiente de la superficie del fluido.

:v Velocidad de fluido en pies / segundo

Calcule el radio hidráulico correspondiente a los siguientes datos(dados en unidades consistentes) por el método del punto fijo.

1,1m 001,0e 5v

Solución

Sea c con los datos dados:87

0,552

rc

r m

.Luego de 2/1ercv con datos dados se tiene

870,001

0,552

rv

r m

De esta última ecuación consideremos 5(0,552 1,1)

( )87 0,001

rr g r

, puesto que, del criterio de

convergencia

2,76 0,5016| '( ) | 0,2681 1 , [3,5;4,5]

2(87) 0,001g r r

r r

I. ( )g r es una función continua en[3,5;4,5]

y '( )g r es una función continua en [3,5;4,5]

II. 0,2681K

III. 0 3,9r

IV. ( ) [3,5;4,5]g r , [3,5;4,5]r

Pues ( )g r es creciente,

3,5 4,5

3,5 3,88 ( ) 4,13 4,5

r

g r

V. Como | '( ) | 0,2681 1g r entonces por el teorema de punto fijo, existe un único punto

fijo y la iteración 1

5(0,552 1,1)( )

87 0,001

n

n n

rr g r

converge a dicho punto fijo .

n

nr

0 3,9

1 3,9803

2 4,0006

3 4,0057

4 4,0070

5 4,0073

7 4,0074

8 4,0074

Por lo tanto, el radio hidráulico es 4,0074.

METODO DE NEWTON RAPHSON

El método de Newton Raphson que descansa en la continuidad de )x(f y )x(f es uno de los

algoritmos más útiles y mejor conocidos lo introduciremos gráficamente y luego daremos un tratamiento más riguroso basado en el Teorema de Taylor.

Lt1: )xx)(x(f)x(fy 000

)xx)(x(f)x(f0Lt}0y{ o001

10 x)x(f

)x(fxx

TEOREMA Supongamos que la función f Є C

2[a,b] y que existe un número Є [a,b] tal que f( ) = 0 . Si

0)(f , entonces existe δ > 0 tal que la sucesión {αn}n≥0 definida por el proceso iterativo

Xn+1 = g(xn) = xn - )x(f

)x(f

n

n

para todo n = 0, 1, 2, 3,.........

Converge a cualquiera que sea la aproximación inicial xo Є [ -δ, + δ]

Observación La función g(x) definida por la relación

g(x) = x -)x(f

)x(f

Se llama función de iteración de Newton Raspón. Puesto que f( ) = 0 ,es fácil ver que g( ) =

lo que nos dice que la iteración de Newton –Raphson para hallar una raíz de la ecuación f(x) = 0 consiste en hallar un punto fijo de g(x).

Como g(x) es continua y 0)(g , podemos encontrar δ > 0 tal que la hipótesis )x(g < 1 del

teorema del punto fijo, se cumple en el intervalo< -δ, + δ>.Por consiguiente, que xo Є < -δ,

+ δ> es una condición suficiente para que xo sea el punto de partida de la sucesión {xn}n≥0 que

converge a la única raíz de f(x) = 0 en dicho intervalo, siempre que δ sea elegido tal que.

2

( ) ''( )

( )

f x f x

f x < 1 para todo ,x

EJEMPLO

Dada la ecuación xf x xe

Emplee el método de Newton para hallar la raíz de dicha ecuación empezando con X0=0.20 con una tolerancia de 0.0001

SOLUCIÓN

Como : xf x xe se tiene

x

x

exxf

exxf

2´´

1´

Por otro lado

0 0

2

0

. ''0.5625 1

'

f x f x

f x , con

x0=0.2. Luego el algoritmo de Newton es:

2

1 ' 1

n n

n n n

n n

f x xx g x x

f x x

La raíz exacta de f(x) es:

0 x con 10n iteraciones

y una tolerancia336 4

1 . 1.4385093351*10 10n nTol x x

Ejercicios Propuestos

1. Determine la raíz positiva de 052,19,02 xx en el intervalo [1,2], mediante el método de

la bisección, con una tolerancia de 0,001. 2. Encuentre la raíz de

10,01,0)sen( xxx

mediante el método de la bisección, con una tolerancia de 0,001. 3. Dada la ecuación:

0)sen2(sen4)( 22 xxxxxf

a). Analice donde se ubican sus raíces, por medio de una gráfica. b). Halle una raíz positiva empleando el método de la bisección, con una tolerancia de 0,001.

4. Encuentre todas las raíces positivas de las ecuaciones siguientes mediante el método de la bisección con una tolerancia de 0,001:

a). 3001 xxtanx

b). 03,0sen xex x >0

c). 01ln xx

d). 013 xx

5. Un proyectil de M=2 gm se ha lanzado en lanzado en forma vertical al aire y está

descendiendo a su velocidad terminal. Dicha velocidad se determina mediante la ecuación

n Xn

0 0.2

1 -0.05

2 -2.38095238095*10-3

3 -5.65546883836*10-6

4 -3.19841468963*10-11

5 -1.02298565265*10-21

6 -1.04649964553*10-42

7 -1.09516150809*10-84

8 -1.1993787288*10-168

9 -1.4385093351*10

-336

10 0

dragDgM donde g es la gravedad y M es la masa; esta ecuación se puede escribir

después de evaluar las constantes como

255,15 10*15,110*4,11000

)81,9)(2(vv

donde v es la velocidad terminal en m/seg. El primer término del lado derecho representa la

fuerza de fricción y el segundo la fuerza de la presión. Determine la velocidad terminal mediante el método de la bisección, con una tolerancia de 0,001.

6. La configuración superficial de la aeronave NACA0012 de longitud de arco 1m y con espesor máximo de 0,2m está dada por

432 1015,02843,03516,0126,02969,0[)( xxxxxxy ]

donde los signos más y menos se refieren a las superficies superior e inferior, respectivamente. Determine x, donde el espesor del aparato es 0,1m por medio de bisección. Haga la tolerancia igual a 0,00001. (existen dos soluciones).

7. Encuentre la raíz de 1sen)( xxf que se sabe que está en 1<x<3, mediante el método

del punto fijo. Detenga los cálculos después de cuatro iteraciones. 8. Determine las raíces de las siguientes ecuaciones mediante el método del del punto fijo:

/ 3

2

). ( ) 0,5 sen 0, 0

). ( ) log(1 ) 0

). ( ) 5 0

x

x

a f x e x x

b f x x x

c f x e x

9. Dada

02/1sen

)(2

x

xxf

Encuentre todas sus raíces empleando:

El método del punto fijo con una tolerancia de 0,00001 si |f(x)| = TOL.

Si se quisiera una precisión de = 1010

¿cuántas iteraciones se deberían realizar?.

10. Use el método del punto fijo para determinar una solución exacta a 0,01 para

0)sen(2 xx en [1,2]. Use Po =1.

11. Para cada uno de las siguientes ecuaciones, determine una función g y un intervalo [a,b] en el

cuál la iteración del punto fijo convergerá a la solución positiva de la ecuación:

032).

0cos).

03).

24

2

xxxc

xxb

exa x

12. Dada la ecuación 0)( arctanxxf

a). Emplee el método de Newton para hallar la raíz de dicha ecuación en los intervalos: I. [-2,2] con Xo = 1,8. II. [-1,3;1,3] con Xo = 1,1

presente gráficamente los resultados para tres iteraciones. 13. Encuentre la raíz de

01,0 xtanx

en <x<1,5 mediante el método de Newton con una tolerancia de 0,0001

14. Dada la ecuación ( ) 0xf x x e

a). Emplee el método de Newton para hallar la raíz de dicha ecuación empezando

0 0,20x y con 0 20 x con una tolerancia de 0,0001.

15.¿Podemos usar el método de Newton para resolver ( ) 0 f x siendo

2( ) -14x+50 f x x ? . ¿Por qué?

16. ¿Podemos usar el método de Newton para resolver ( ) 0 f x siendo

1/ 3( )f x x ? . ¿Por qué?