Mtodos Numricos.- 20020 - 30 - 20 - 10 0 10 20 3005101520253035404550Apuntes de clase.Marco Antonio Pinto Ramos.Mtodos Numricos1. INTRODUCCIN Y PRECISIN EN LOSCLCULOS NUMRICOS 1.1 Introduccin a los mtodos numricos 1.2 Cifras Significativas 1.2.1 Exactitud y precisin 1.2.2 Errores 1.3 Representacin de nmeros en la computadora 1.3.1 Sistemas numricos 1.3.1.1 Sistema binario 1.3.1.2 Sistema octal 1.3.1.3 Sistema hexadecimal 1.3.1.4 Sistema decimal1.3.2 Representacin entera 1.3.3 Representacin de punto flotante1.4 Algoritmos 1.4.1 Estabilidad 1.4.2 Convergencia 1.4.3 Recursividad1.5 Series y sucesiones 1.5.1 Series 1.5.1.1 Series geomtricas 1.5.1.2 Series aritmticas 1.5.1.3 Series de Taylor 1.5.1.4 Series de Fourier 1.5.1.5 Series de Binomio1.5.2 Sucesiones 1.5.2.1 Sucesiones geomtricas 1.5.2.2 Sucesiones aritmticas1.6 Nmero de condicin2. RACES DE ECUACIONES 2.1 Aproximacin grfica 2.2 Mtodo de Biseccin 2.3 Mtodo de Falsa Posicin 2.4 Mtodo de Newton Raphson 2.5 Mtodo de la Secante 2.6 Races mltiples 2.6.1 Mtodo de Newton Raphson modificado para races mltiples 2.6.2 Mtodo de Mller3. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 3.1 Matrices 3.2 Regla de Cramer 3.3 Eliminacin de Gauss Simple 3.4 Gauss Jordan 3.5 Normas de Vector y Matrices 3.6 Descomposicin LU 3.7 Descomposicin de Crout 3.8 Descomposicin de Cholesky 4. APROXIMACIN FUNCIONAL E INTERPOLACIN 4.1 Ajuste de curvas 4.2 Ajuste por Mnimos Cuadrados 4.3 Interpolacin de polinomios con Diferencias Divididas deNewton 4.4 Interpolacin con polinomios Lagrange 4.5 Interpolacin Segmentara 5. INTEGRACIN Y DIFERENCIACIN NUMRICA 5.1 Mtodos de de Newton-Cotes 5.1.1 Mtodo del Trapecio 5.1.2 Mtodo de Simpson un tercio 5.1.3 Mtodo de Simpson tres octavos 5.2 Cuadratura de Gauss 5.3 Diferenciacin Numrica 6. SOLUCIN NUMRICA DE ECUACIONESDIFERENCIALES ORDINARIAS 6.1 Mtodo de Euler 6.2 Mtodo de Runge-Kutta 6.3 Sistemas de Ecuaciones 6.4 Mtodos de Runge-KuttaBIBLIOGRAFA1. ANLISIS NUMRICO* Richard L. Burden/ J. Douglas Faires Grupo Editorial Iberoamrica2. MTODOS NUMRICOS PARA INGENIEROS* Chapra, CanaleEd. McGraw Hill, Mxico3. MTODOS NUMRICOS / Aplicados a la Ingeniera Antonio Nieves/Federico C. Domnguez Ed. CECSA* Disponibles en Biblioteca Central UABCMtodos NumricosUnidad I........................................................................................................................... 1 Introduccin................................................................................................................... 1 Aproximacin numrica y teora de errores................................................................ 1 Errores inherentes........................................................................................................................ 2 Errores de truncamiento ............................................................................................................... 2 Errores de redondeo ..................................................................................................................... 2 Error ............................................................................................................................................. 3 Error relativo................................................................................................................................ 3 Error porcentual ........................................................................................................................... 3 Cifras Significativas ....................................................................................................... 4 Precisin y exactitud ..................................................................................................... 4 Algoritmos...................................................................................................................... 4 Estabilidad...................................................................................................................... 5 Convergencia ................................................................................................................. 5 Recursividad ................................................................................................................... 6 Series y sucesiones ....................................................................................................... 6 Criterio de convergencia y divergencia....................................................................... 7 Serie de Taylor ............................................................................................................................. 7 Serie binomial.............................................................................................................................. 8 Serie de McLaurin. ....................................................................................................................... 8 Serie de Fourier............................................................................................................................ 9 Unidad II........................................................................................................................ 11Solucin numrica de ecuaciones de una sola variable. ......................................... 11Aproximacin Grafica ............................................................................................................... 11Mtodo de Biseccin.................................................................................................................. 12Mtodo de Falsa Posicin.......................................................................................................... 14Mtodo de Newton-Raphson..................................................................................................... 16 Mtodo de la secante ................................................................................................................. 18Races Mltiples ......................................................................................................................... 20Mtodo de Newton-Raphson modificado para races mltiples................................................ 21Mtodo de Mller...................................................................................................................... 23Unidad III ...................................................................................................................... 28Solucin numrica de sistemas de ecuaciones........................................................ 28Determinante de una matriz ....................................................................................................... 31Regla de Cramer........................................................................................................................ 32Eliminacin de Gauss o Gaussiana Simple................................................................................ 34Inversin de matrices ................................................................................................................. 38Descomposicin LU ................................................................................................................... 39Descomposicin de CROUT...................................................................................................... 43Descomposicin de Cholesky.................................................................................................... 47Mtodo de Jacobi....................................................................................................................... 49Mtodo de Gauss-Seidel. ........................................................................................................... 51Normas de Vector y Matrices.................................................................................................... 53Mnimos Cuadrados ................................................................................................................... 56Unidad IV ....................................................................................................................... 57Aproximacin funcional e interpolacin. ................................................................... 57Repaso de estadstica................................................................................................................. 57IAproximacin por mnimos cuadrados en una recta. ................................................................. 58Interpolacin lineal. ................................................................................................................... 60Interpolacin cuadrtica............................................................................................................. 61Interpolacin de Polinomios de Newton. ................................................................................... 63Interpolacin de polinomios de Lagrange. ................................................................................. 65Trazador Cbico......................................................................................................................... 69Integracin y diferenciacin numrica....................................................................... 72Frmulas o ecuaciones de Newton-Cotes. ................................................................................. 72Integracin por el mtodo trapezoidal....................................................................................... 73Aplicacin mltiple de la regla trapezoidal ............................................................................... 75Regla de Simpson .................................................................................................................... 78Unidad VI ....................................................................................................................... 85Solucin numrica de ecuaciones diferenciales. ..................................................... 85Mtodo de Euler ......................................................................................................................... 86Anlisis de error para el mtodo de Euler................................................................................. 88Mejoras al mtodo de Euler ....................................................................................................... 91Mtodo de Heun ......................................................................................................................... 91Mtodos de Runge-Kutta............................................................................................. 94Mtodos de Runge-Kutta de segundo orden.............................................................................. 94Mtodo de Heun de un solo corrector....................................................................................... 95Mtodo de punto medio ............................................................................................................ 95Mtodo de Ralston .................................................................................................................... 96Mtodos de Runge-Kutta de tercer orden. ................................................................................. 96Mtodos de Runge-Kutta de cuarto orden................................................................................. 97Mtodo de Runge-Kutta de orden superior. ............................................................................... 98Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior............................................................ 100IIMtodos NumricosUnidad I.Introduccin.Enel campodelaingenierayciencias, existeninfinidaddefenmenosque requieren representarse mediante modelos matemticos. Desafortunadamente, la gran mayora de estos modelos no tiene una solucin exacta no es fcil encontrarla. Es estos casos es en donde los mtodos numricos proporcionan una solucin aproximada al problema original. Unmtodo numricoes aquel que obtiene nmeros queseaproximanalos queseobtendranaplicandolasolucinanalticadeun problema.Los mtodos numricos son herramientas extremadamente poderosas para la solucin de problemas. Son capaces de manejar sistemas de ecuaciones grandes, no linealidades geomtricas complicadas que son comunes en la practica de la ingeniera y que, a menudo, son imposibles de resolver analticamente.Aproximacin numrica y teora de erroresDebemos conformarnos siempre, en la prctica de la ingeniera y de las ciencias, con una solucin aproximada a un problema por las siguientes razones:Los modelos matemticos son aproximados esto es, simplificaciones al problema real. No se toman en cuenta todos los factores que afectan a un fenmeno. Por ejemplo, en el caso del tiro parablico, se suele despreciar la resistencia del aire, sin embargo, esta puede ser importante.Los modelos matemticos requieren de parmetros, los cuales la mayora de las veces provienendemedicionesexperimentalesyestas, solotienenunaprecisinlimitada, quedependedel instrumentodemedicin. Por ejemplolaconstantedelosgases ideales. Tambin pueden provenir de clculos y estos tienen una precisin limitada que dependetantodel mtodocomodel instrumentode clculoquese utilicen. Por ejemplo . Los modelos matemticos resultantes son imposibles de resolver por mtodos analticos y se debe de aproximar la solucin numricamente. Por ejemplo una ecuacin de quinto grado.1Por lo anterior, humildemente tenemos que aceptar que siempre se tendrn presentes errores, estos pueden clasificarse en:Errores inherentes.Errores de truncamiento. Errores de redondeo.Errores inherentesLoserroresinherentessonaquellosquetienenlosdatosdeentradadeun problema, y son debidos principalmente a que se obtienen experimentalmente, debindose tanto al instrumento de medicin, como a las condiciones de realizacin del experimento. Por ejemplo, s el experimento es a temperatura constante y no se logra esto mas que en forma aproximada. Tambin pueden deberse a que se obtengan de clculos previos. Por ejemplo el valor calculado es el de un nmero irracional como 2.Errores de truncamientoLos errores de truncamientose originan por el hecho de aproximar la solucin analtica de un problema, por medio de un mtodo numrico. Por ejemplo al evaluar la funcin exponencial por medio de la serie de Taylor, se tiene que calcular el valor de la siguiente serie infinita: + + + + + 0! ! ! 3 ! 23 21NNxNx x x xN Nx e Antelaimposibilidaddetomar todoslostrminosdelaserie, serequieretruncar despus de cierto nmero de trminos. Esto nos introduce ciertamente un error, que es el error de truncamiento. Este es independiente de la manera de realizar los clculos. Solo depende del mtodo numrico empleado. Errores de redondeoLos errores de redondeo, se originan alrealizar los clculos que todo mtodo numricooanalticorequierenysondebidosalaimposibilidaddetomar todaslas cifrasqueresultandeoperacionesaritmticascomolosproductosyloscocientes, teniendo que retener en cada operacin el nmero de cifras que permita el instrumento 2de clculo que se este utilizando. Por ejemplo al calcular el valor de 31, tenemos que conformarnos solo con la mayor cantidad de cifras 3, que maneje nuestro instrumento de calculo.Los errores anteriores tambin suelen denominarse como las fuentes de error. La magnitud del error generada por alguna o todas las fuentes de error mencionadas anteriormente, se puede cuantificar con ayuda de los siguientes parmetros: Error.Error relativo. Error porcentual.ErrorEl error se define como la diferencia entre el valor real rVy una aproximacin a este valor aV:a rV V e Error relativoElerror relativosedefinecomoel cocientedel error entreel valor realrV(s0 rV ):ra rrrV V VVee En ciertos mtodos numricos se utilizan esquemas iterativos para calcular resultados. En tales esquemas, se hace una aproximacin en base a la aproximacin anterior. Este proceso se repite varias veces, o de forma iterativa, para calcular sucesivamente ms y mejores aproximaciones. En tales casos, elerror a menudose calculacomo la diferencia entre aproximacin previa y la actual por lo tanto, el error relativo porcentual o error porcentual esta dado por: Error porcentualEl error porcentual es simplemente el error relativo expresado en por ciento (%).% 100 *ra rpV V Ve3En 1966 Scarberough demostr que si el siguiente criterio se cumple puede tenerse la seguridad de que el resultado es correcto en al menos n cifras significativas. nEs 210 5 . 0Cifras SignificativasEl concepto de cifras significativas se ha desarrollado para designar formalmente la confiabilidad de un valor numrico. El nmero de cifras significativas es el nmero de dgitosquesepuedeusar conplenaconfianza. Por ejemplopodemoscalcular un nmeroirracional convariascifras, perodeellasnotodas, sobretodolasltimas pueden tomarse con plena confianza de que son correctas. Por otro lado, los ceros no siempresoncifras significativasyaquepuedenusarsesoloparaubicar al punto decimal. Por ejemplo los siguientes nmeros tienen todos 4 cifras significativas: 0.00001985, 0.0001985, 0.001985, 1985, 19.85.Para asegurar que un cero nos represente una cifra significativa, es comn emplear la notacin cientfica. Por ejemplo los siguientes nmeros tienen 3, 4 y 5 cifras significativas:510 53 . 4 ,510 530 . 4y 510 5300 . 4 . Tambin se suele poner explcitamente los ceros. Los siguientes nmeros tienen 5 cifras significativas: 19850, 0.019850, 19.850.Cifras significativas: Son aquellas que pueden usarse en forma confiable.Precisin y exactitudLoserroresasociadosconlosclculosymedicionessepuedencaracterizar observando su precisin y exactitud. La mayora de la gente piensa que estos trminos son sinnimos, pero no es as. La precisin se refiere al nmero de cifras significativas que representan una cantidad. La exactitud se refiere al grado de aproximacin que se tiene de un nmero o de una medida al valor verdadero que se supone representa, es decir, que tan cerca estamos del valor buscado. Por ejemplo, s leemos la velocidad del velocmetrodeunauto, estatieneunaprecisinde3cifras significativas y una exactitud det 5 Kmh.AlgoritmosAlgoritmo: Secuencia de pasos lgicos necesarios para llevar a cabo una tarea especifica, generalmentelosalgoritmossedescribenmedianteunpseudocdigo. Y pueden ser estables o inestables.4Ejemplo Algoritmo hecho en pseudocdigo del promedio de nnmeros.1.- Pedir datos2.- Contar datos: n=nmeros de datos.3.- Sumar los datos: ) (i dato suma suma + 4.- Dividir suma entre n:n suma prom / 5.- Imprimir el promEstabilidadAlgoritmos estables: Son aquellos en los que los cambios pequeos en los datos de entrada generan cambios pequeos al final o a la salida.Algoritmos inestables: Son aquellos en los que los cambios pequeos en la entrada producen grandes cambios en la salida.Por ejemplo snees un error en alguna etapa de un proceso yk es una constante independiente denel nmero de etapa, entonces s el error despus den operaciones se puede representar por kn n f ) ( , se dice que el crecimiento del error es lineal. S en cambio el error se representa pornk n f ) (para1 > k , el crecimiento del error se dice que es exponencial. El crecimientodel error lineal espor logeneral inevitable, ycuando k ynson pequeos, los resultados son aceptables. El crecimiento del error exponencial debe ser evitado, ya que el trmino nkser grande, aun para valores relativamente pequeos de n. Por lotantos el crecimientodel error eslineal el mtodoesestableys es exponencial es inestable. ConvergenciaVelocidad de convergencia (rapidez o razn de convergencia): Es el nmero de iteracionesquerequiereunclculooalgoritmoparaconverger oaproximarseaun valor.Es decir la convergencia se refiere al hecho de que los mtodos numricos obtienen n trminos de una sucesin de valores. Comenzamos con un valor inicial que sea una 5aproximacindelasolucindeunproblema0xAplicandounmtodonumricose obtiene otra aproximacin1x . Se repite el procedimiento para obtener2x y as sucesivamente,esdecir,se generarlasucesinnx x x , , ,1 0(todoslostrminosson aproximacionesalasolucindel problema). S lasucesinobtenidaal caboden iteraciones tiende a un lmite se dice que elmtodo es convergente o divergente en caso contrario.RecursividadFormula recursiva: Relaciona trminos sucesivos de una sucesin particular de nmeros, funciones o polinomios, para proporcionar medios para calcular cantidades sucesivas en trminos de las anteriores.Series y sucesiones , 8 , 6 , 4 , 2 : Serie(Infinita). 10 , 8 , 6 , 4 , 2 : Sucesin(Finita)'aritmticageomtricaSucesiones ySeriesSucesin aritmtica) ( ) ) 1 ( ( ) 2 ( ) (21l a n d N a d a d a a + + + + + + + + donde: d N a l ) 1 ( + y representa el ultimo termino de la sucesin. Sucesin geomtricaxx aax ax ax ax aNN + + + + +1) 1 (1 3 2se dice que una sucesin es creciente si:n n na a 1decreciente si:n n na a 16Ejemplosnnnax1 (Geomtrica decreciente) 0nnax (Geomtrica creciente) +0) (nnb a (Aritmtica creciente)Criterio de convergencia y divergencia.Sea 1 nuna serie infinita dada y sea { }nSla sucesin de sumas parciales que definen esta serie infinita. Entonces si elnnS Lim existe y es igual aS entonces se dice que la serie converge y queS es la suma infinita dada.Si coexiste alnnS Lim , entonces se dice que la serie diverge no converge yS no tiene valor. Una serie infinita es convergente siy solo si, la secuencia correspondiente es convergente.Serie de TaylorLa serie de Taylor permite predecir o calcular el valor de una funcin en un punto en trminos del valor de la funcin y sus derivadas en otro punto. Esto quiere decir que cualquier funcin suave puede ser aproximada mediante un polinomio.nn nRna x a f a x a f a x a fa x a f a f x f ++ +++ + !) )( (! 3) )( ( ' ' '! 2) )( ( ' ') )( ( ' ) ( ) (3 2Donde nR es el trmino residual)! 1 () (1 1++ nh fRn nnAlgunas series tpicas de Taylor son las siguientesnx x x xx xn+ + + + 4 3 2) 1 ln(4 3 2 Para1 1 < xnxxn xxxxxxx ,_

+ + ,_

+ ,_

+1 1 131 121 1) ln(3 2Para 21 x7)'

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++ +

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++

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++

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+nxxn xxxxxxx11 111511131112 ) ln(5 3 Para0 > x! ! 7 ! 5 ! 3) (7 5 3nx x x xx x senn+ + + Para < < x + + ! 6 ! 4 ! 21 ) cos(6 4 2x x xx Para < < x + + + + 7 5 33151715231) tan( x x x x xPara 2< x + ++ + 7 6 4 25 3 15 4 23 13 21) (7 5 31x x xx x senPara 1 < x

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+ ++ + 7 6 4 25 3 15 4 23 13 212) (2) ( cos7 5 31 1x x xxx senxPara 1 < x + + + + ! 7 ! 5 ! 3) (7 5 3x x xx x senh Para < < x + + + + ! 6 ! 4 ! 21 ) cosh(6 4 2x x xx Para < < xSerie binomial + ++ + + 33221! 3) 2 )( 1 (! 2) 1 () ( xa n n nxa n nna a x an nn n nSerie de McLaurin.En matemticas a menudo se pueden representar funciones mediante una serie infinita por ejemplo la funcin exponencial se puede utilizar usando! ! 3 ! 213 2nx x xx enx+ + + + + Que es conocida como expansin de serie de McLaurin, que es una modificacin de la serie de Taylor para cuando0 a8Serie de FourierSea ) (x f una funcin compleja peridica con perodo 2 , evaluada en dominio de losnmerosrealeseintegrablesobreel intervalo-a, esdecir todafuncin peridica puede ser representada por una suma de senos y csenos. [ ]+ + 10) n( s ) cos(2) (nn nx n e b x n aax fdonde:dx x n x f an) cos( ) (1dx x n e x f bn) n( s ) (1Cuadrada 2 2 0) (x f

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+ + + 5) 5 (3) 3 (1) ( 4) (x Sen x Sen x Senx fTriangular 2 2 0) (x f

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+ + + 2 25) 5 (3) 3 (1) ( 42) (x Cos x Cos x Cosx fDiente de sierra 2 2 0) (x f

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+ 3) 3 (2) 2 (1) (2 ) (x Sen x Sen x Senx fSenoidal Rectificada 2 2 0) (x f

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++++ 7 5) 6 (5 3) 4 (3 1) 2 ( 2) (21 1) (x Cos x Cos x Cosx sen x f 9Ejemplo-101S e r i e d e F o u ri e r d e u n a s e a l C u a d ra d aXF(X) 2 2 01) ( 4) (x Senx Cuadrada

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+ 3) 3 (1) ( 4) (x Sen x Senx Cuadrada

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+ + 5) 5 (3) 3 (1) ( 4) (x Sen x Sen x Senx CuadradaEjemplo de la obtencin de la seriede Fourier de una onda cuadrada'< ni jjij iia a1paran i 1EjemploAplicar el criterio de convergencia para los mtodos de Jacobi y Gauss-Seidel.30 60 57 4 86 64 3 2 14 3 2 14 3 2 14 3 2 1 + + + + + +x x x xx x x xx x x xx x x xAplicando el criterio de convergencia se tiene.3 1 1 1 67 1 1 5 113 4 8 1 13 1 1 6 1

30 60 57 4 86 64 3 2 14 3 2 14 3 2 14 3 2 1 + + > + + > + + > + + > + + + + + +x x x xx x x xx x x xx x x xReacomodandoy aplicando el criterio de convergencia.3 1 1 1 66 4 1 1 83 1 1 1 63 1 1 1 5

30 67 4 86 60 54 3 2 14 3 2 14 3 2 14 3 2 1 + + > + + > + + > + + > + + + + + +x x x xx x x xx x x xx x x x51Normas de Vector y MatricesNorma 1nii ia V1 111]1

111]1

32110 2 . 0 3 . 03 . 0 7 1 . 02 . 0 1 . 0 3VVVA33 2 . 0 11 . 0 31 + + V4 . 7 3 . 0 7 1 . 02 + + V5 . 10 10 2 . 0 3 . 03 + + VNorma 2nii ia V122008321 . 3 ) 2 . 0 ( ) 1 . 0 ( ) 3 (2 2 22 1 + + V007139 . 7 ) 3 . 0 ( ) 7 ( ) 1 . 0 (2 2 22 1 + + V00649 . 10 ) 10 ( ) 2 . 0 ( ) 3 . 0 (2 2 22 1 + + VNorma infinito{ } , , 3 , 2 , 1 , max n i a Vi i 31V72V103V 52Nmero de condicinSeaAuna matriz no singular (determinante diferente de cero) de n nyEotra matriz no singular de n n muy pequea (de valores muy pequeos). Qu tan pequea debe de serEpara que la matriz perturbadaE A+ sea tambin no singular (que tenga inversa), y que tanto difiere 1 Ade1) (+ E A ?La inversa calculada deAes muy comn que se encuentre muy cerca de la matriz ligeramente perturbadaE A+ .Sin embargo, este resultado no garantiza la precisin de 1 A y 1) (+ E A pueden diferir significativamente, entonces se dice que dicha matriz 1) (+ E Aesta mal condicionada a la inversin. Existe un nmero de condicin que mide el grado de condicionamiento de una matriz y esta dado por:[ ] 1A A A condSi el nmero de condicin es grande, entonces1 Aes sensible a pequeas perturbaciones, y por lo tanto la inversa calculada se encuentra mal condicionadaPara calcular el nmero de condicin de la matriz debemos de normalizar la matriz para que su mayor elemento por vector sea 1Si[ ] A cond es cercano a 1, la matriz esta bien condicionada.53EjemploEncuentre el nmero de condicin de:111]1

51413141312131211ASe normaliza la matriz para que el elemento por rengln sea mximo 1.NormalizandoA se tiene 000 35 . 216667 . 283333 . 1111534321323121111]1

AObteniendo la norma infinito)' 1niija Max A{ } 35000 . 2 , 16667 . 2 , 83333 . 1 Max A 35000 . 2 ALa inversa de la matriz normalizadaA es111]1

60 90 3060 96 3610 18 91A111]1

1801920 . 3760 90 3060 96 3610 18 91A{ } 192 37,192,180 Max AObteniendo el nmero de condicin tenemos que:[ ] 1A A A Cond[ ] 2 . 451 ) 192 ( ) 35 . 2 ( A CondCon lo cual se observa que la matriz Aesta mal condicionada a pequeas perturbaciones54Mnimos CuadradosSi se tiene un sistema sobredeterminado del estilom n n m m nb x A Si m n > por lo tanto existe m error dado por x A b e dondexes el vector de soluciones estimado El error e e e ETnii 12 DondeEes un escalar.El vector de soluciones estimado esb A A A xT T 1) ( Donde T TA A A1) ( es llamada pseudoinversaMonroe PenroseEl error mnimo se encuentrax A b b b e e ET T Tmin EjemploRealice un programa que encuentre el estimado de x , as mismo que proporcione el error mnimo minEpara el siguiente sistema sobredeterminado.5 16 42 9 3210 4 218 9 3 + + + + + + c b ac b aac b ac b a55Unidad IVAproximacin funcional e interpolacin.A menudo se proporcionan datos mediante un conjunto de puntos discretos. Sin embargo a veces se requieren estimaciones de puntos entre esos valores discretos.Repaso de estadstica.Media.[ ]Nyy E y yNii 1) ( Suma de cuadrados. Nii ty y S12) (Varianza.( ) 1 1) (121 12122

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N Ny y NNy yNSNiiNiiNiitDesviacin estndar.21 NSStySuma del error cuadrtico medio.( ) Nii iNii rx a a y e S121 012Coeficiente de varianza. % 100 *ySCyvError estndar del estimado.2/nSSrx yCoeficiente de correlacin. 21 1221 121 1 1 2

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niiniiniiniiniiniinii iy y n x x ny x y x nr rtr tS S Sr2Ajuste perfecto cuando0 rSy 12 r r.56Aproximacin por mnimos cuadrados en una recta.La forma ms simple de una aproximacin por mnimos cuadrados es el ajuste de una lnea recta a un conjunto de parejas de datos observadas.0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 2 0234567891 01 11 2e x a a y + + 1 0yxLaexpresinmatemticadeunalnearectaese x a a y + + 1 0donde0ay1a son coeficientes que representan la interseccin con el eje de las abscisas y la pendiente respectivamente y ees el error o residuo entre el modelo y las observaciones.Donde 0a y 1avienen dadas por: 21 121 1 11

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niiniiniiniinii ix x ny x y x nax a y a1 0 57Ejemplo. Ajustar a una lnea recta los valores de x y y. Calcular la desviacin estndar, el error estndar del estimado y el coeficiente de correlacin.x0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0y9.1 7.3 3.2 4.6 4.8 2.9 5.7 7.1 8.8 10.2Obteniendo las sumasixiy2ix2iyi iy x0 9.1 0 82.81 01 7.3 1 53.29 7.32 3.2 4 10.24 6.43 4.6 9 21.16 13.84 4.8 16 23.04 19.25 2.9 25 8.41 14.56 5.7 36 32.49 34.27 7.1 49 50.41 49.78 8.8 64 77.44 70.49 10.2 81 104.04 91.845 ix 63.7 iy 2852 ix 463.332 iy 307.3 i iy xDe donde 1ay 0a0.250303) 45 ( ) 285 ( 10) 7 . 63 ( ) 45 ( ) 3 . 307 ( 102 21 121 1 11

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niiniiniiniinii ix x ny x y x nax a y a1 0 5 . 41 nxxnii6.371 nyynii5.2436364 (4.5) (0.250303) - 6.371 0 x a y aPor lo tanto la ecuacin el ajuste con mnimos cuadrados es:x x a a 0.250303 5.2436364 y1 0+ + La correlacin es 0.2996601) 7 . 63 ( ) 33 . 463 ( 10 ) 45 ( ) 285 ( 10) 7 . 63 ( ) 45 ( ) 3 . 307 ( 102 2 21 1221 121 1 1 2

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niiniiniiniiniiniinii iy y n x x ny x y x nr r58Interpolacin lineal.Con frecuencia se tienen que estimar valores intermedios entre valores conocidos. La forma mas simple de interpolacin es conectar dos puntos con una lnea recta, este mtodo es llamado interpolacin lineal.I n t e r p o l a c i o n L i n e a l) () ( ) () ( ) (00 10 10x xx xx f x fx f x f + ) (0x f) (1x f0x1x x) (x fx) (x fLa forma de una ecuacin lineal esta dada por1 1 0) ( x a a x f + Dondeparaencontrar laaproximacinmedianteunalnearecta, usamostringulos semejantes y se obtiene0 10 100) ( ) ( ) ( ) (x xx f x fx xx f x fde donde es fcil despejar a ) (x f.) () ( ) () ( ) (00 10 10x xx xx f x fx f x f + donde ) (x f representa la interpolacin del polinomio mediante una lnea recta.Ejemplo:Estimar el ) 2 ( Lnmediante interpolacin lineal tomando los puntos de 0 ) 1 ( Ln y 791759 . 1 ) 6 ( Ln. Despus repita el procedimiento pero usando un intervalo ms pequeo de 0 ) 1 ( Ln a 386294 . 1 ) 4 ( Ln. El valor real de 693147 . 0 ) 2 ( Ln.10 x 0 ) (0 x f61 x 791759 . 1 ) (1 x f358352 . 0 ) 1 2 (1 60 791759 . 10 ) () ( ) () ( ) 2 (00 10 10 + + x xx xx f x fx f f% 30 . 48 100693147 . 0358352 . 0 693147 . 0 va vvv vEv59Interpolacin cuadrtica.La forma general de una Interpolacin cuadrtica es:) )( ( ) ( ) (1 0 2 0 1 0x x x x b x x b b x f + + 22 1 0) ( x a x a a x f + + I n t e r p o l a c i n C u a d r a t i c a) (1x f) (2x f) (0x f) (x f2x1x0x xExpandiendo el polinomio se obtiene.1 2 0 2 1 0 222 0 1 1 0) ( x x b x x b x x b x b x b x b b x f + + + Agrupando trminos podemos representar al polinomio de la forma:22 1 0) ( x a x a a x f + + de donde tenemos que:1 0 2 0 1 0 0x x b x b b a + 1 2 0 2 1 1x b x b b a 2 2b a Los coeficientes 0b,1b , 2by se obtienen mediante diferencias divididas.) (0 0x f b 0 10 11) ( ) (x xx f x fb 0 20 10 11 21 22) ( ) ( ) ( ) (x xx xx f x fx xx f x fbCon lo cual se obtiene el polinomio de interpolacin cuadrtico.60Ejemplo.Ajustar a tres puntos dados para obtener) 2 ( Ln, usando un polinomio de segundo orden de donde los puntos a interpolar son:10 x 0 ) (0 x f41 x 386294 . 1 ) (1 x f62 x 791759 . 1 ) (2 x fObteniendo los coeficientes0b, 1b , 2b , tenemos que0 ) (0 0 x f b462098 . 01 40 386294 . 1 ) ( ) (0 10 11x xx f x fb051873 . 01 61 40 386294 . 14 6386294 . 1 791759 . 1) ( ) ( ) ( ) (0 20 10 11 21 22 x xx xx f x fx xx f x fbObteniendo los coeficientes del polinomio-0.669591 ) 4 )( 1 )( 051873 . 0 ( ) 1 )( 462098 . 0 ( 01 0 2 0 1 0 0 + + x x b x b b a0.721464 ) 1 )( 051873 . 0 ( ) 1 )( 051873 . 0 ( ) 462098 . 0 (1 2 0 2 1 1 x b x b b a051873 . 02 2 b aDonde el polinomio queda2 22 1 0051873 . 0 0.721464 -0.669591 ) ( x x x a x a a x f + + + Evaluando el polinomio para ) 2 ( x ftenemos que0.565844 051873 . 0 0.721464 -0.669591 ) 2 (2 + x x x fdonde el error verdadero es:18.3659% 1000.6931470.565844 - 0.693147100 Ev va vV V V61Interpolacin de Polinomios de Newton.LaFormulageneral paralainterpolacindeNewtonparaunpolinomioden orden.) ( ) )( ( ) )( ( ) ( ) (1 1 0 1 0 2 0 1 0 + + + + n n nx x x x x x b x x x x b x x b b x f (1)Para un polinomio de n-simo orden se requiere1 + npuntos. Donde:) , , , , (

) , , , () , , () , () (0 1 10 1 2 3 30 1 2 20 1 10 0x x x x f bx x x x f bx x x f bx x f bx f bn n n(2)Donde las evaluaciones puestas entre parntesis son diferencias divididas finitas.j ij ij ix xx f x fx x f) ( ) () , ((3)La segunda diferencia dividida:k ik j j ik j ix xx x f x x fx x x f) , ( ) , () , , ((4)La n-sima diferencia dividida es:00 1 2 1 1 2 10 1 1) , , , , ( ) , , , , () , , , , (x xx x x x f x x x x fx x x x fnn n n nn n (5)Estas diferencias se utilizan para evaluar los coeficientes nb b b b , , , ,2 1 0los cuales se utilizan para obtener el polinomio de interpolacin, el cual es conocido como el polinomio de interpolacin por diferencias divididas de Newton.) , , , , ( ) ( ) )( ( ) , , ( ) )( ( ) , ( ) ( ) ( ) (0 1 1 1 1 00 1 2 1 0 0 1 0 0x x x x f x x x x x xx x x f x x x x x x f x x x f x fn n nn + + + + (6)i Primero Segundo Tercero Cuarto) (4x f) , , (0 1 2x x x f) , , (1 2 3x x x f) , , (2 3 4x x x f) , , , (0 1 2 3x x x x f) , , , (1 2 3 4x x x x f) , , , , (0 1 2 3 4x x x x x f) (3x f) (2x f) , (0 1x x f) , (1 2x x f) , (2 3x x f) , (3 4x x f) (0x f) (1x f12345ix4x0x1x2x3xi) (x f62Ejemplo.Utilice la interpolacin de polinomios deNewton parainterpolar los siguientes puntos a un polinomio de tercer orden para estimar ) 2 ( Ln.10 x 0 ) (0 x f41 x 386294 . 1 ) (1 x f62 x 791759 . 1 ) (2 x f53 x 1.609438 ) (3 x fixix ) (ix f ) , (1 i ix x f ) , , (2 1 i i ix x x f ) , , , (3 2 1 i i i ix x x x f0x1 0 0.46209812 -0.05187311 0.007865531x 4 1.38629436 0.20273255 -0.020411002x 6 1.79175947 0.182321563x5 1.60943791Donde las diferencias divididas son:0 ) (0 x f0.46209812 ) , (0 1 x x f1 -0.0518731 ) , , (0 1 2 x x x f0.00786553 ) , , , (0 1 2 3 x x x x fY el polinomio resultante queda:) , , , ( ) )( )( ( ) , , ( ) )( ( ) , ( ) ( ) ( ) (0 1 2 3 2 1 0 0 1 2 1 0 0 1 0 0 3x x x x f x x x x x x x x x f x x x x x x f x x x f x f + + + ) 0.00786553 )( 6 )( 4 )( 1 ( ) 1 -0.0518731 )( 4 )( 1 ( ) 0.46209812 )( 1 ( ) 0 ( ) (3 + + + x x x x x x x f) 0.00786553 )( 6 2 )( 4 2 )( 1 2 ( ) 1 -0.0518731 )( 4 2 )( 1 2 ( ) 0.46209812 )( 1 2 ( ) 0 ( ) 2 (3 + + + f0.62876858 ) 2 (3 fDonde el error verdadero es9.287868 1000.6931470.62876858 - 0.693147100 Ev va vV V V63Interpolacin de polinomios de Lagrange.El polinomio de interpolacin de Lagrange se puede obtener de manera directa a partir de laformulacin delpolinomio de Newton. Haremosesto nicamentepara el caso del polinomio en primer orden. Para obtener la forma de Lagrange, reformulamos las diferencias divididas. Por ejemplo, la primera diferencia divididaSe puede reformular como.0 10 10 1) ( ) () , (x xx f x fx x f(1)La cual es referida como 0 111 000 1) ( ) () , (x xx fx xx fx x f+(2)Por ultimo, al agrupar trminos similares y simplificar se tiene la forma del polinomio de Lagrange ) ( ) ( ) (10 1001 01x fx xx xx fx xx xx f+(3)LainterpolacindepolinomiosdeLagrangeessimplementeunareformulacindel polinomio de Newton que evita el clculo por diferencias divididas. Se puede expresar de manera concisa como nii ix f x L x f0) ( ) ( ) ((4)Donde j ijni jjix xx xx L 0) ((5)Dondedesigna el producto de por ejemplo cuando1 nes) ( ) ( ) (10 1001 01x fx xx xx fx xx xx f+(6)Cuando2 nes) () )( () )( () () )( () )( () () )( () )( () (21 2 0 21 012 1 0 12 002 0 1 02 1x fx x x xx x x xx fx x x xx x x xx fx x x xx x x xx f + + (7)64Cuando3 n) () )( )( () )( )( () () )( )( () )( )( ( ) () )( )( () )( )( () () )( )( () )( )( () (32 3 1 3 0 32 1 023 2 1 2 0 23 1 013 1 2 1 0 13 2 003 0 2 0 1 03 2 1x fx x x x x xx x x x x xx fx x x x x xx x x x x xx fx x x x x xx x x x x xx fx x x x x xx x x x x xx f + + + (8)Para los casos en donde el orden del polinomio se desconozca, el mtodo de Newton tiene ventajas debido a que profundiza en el comportamiento de las diferentes frmulas de orden superior. En general puede integrarse fcilmente en los clculos de Newton ya que la aproximacin usa una diferencia dividida. De esta forma, desde el punto de vista de clculo, a menudo, se prefiere el mtodo de Newton. Ejemplo.Utilice la interpolacin de polinomios de Lagrange para interpolar los siguientes puntos a un polinomio de primero y segundo orden para estimar ) 2 ( Ln,10 x 0 ) (0 x f41 x 386294 . 1 ) (1 x f62 x 791759 . 1 ) (2 x fPara1 n sustituyendo en la ecuacin los punto se tiene) ( ) ( ) (10 1001 01x fx xx xx fx xx xx f+ ) 386294 . 1 (1 41) 0 (4 14) (+x xx fPara2 x462098 . 0 ) 386294 . 1 (1 41 2) 0 (4 14 2) 2 ( + fDonde el error verdadero es% 3333 . 33 1000.693147462098 . 0 - 0.693147100 Ev va vV V VPara2 n) () )( () )( () () )( () )( () () )( () )( () (21 2 0 21 012 1 0 12 002 0 1 02 1x fx x x xx x x xx fx x x xx x x xx fx x x xx x x xx f + + ) 791759 . 1 () 4 6 )( 1 6 () 4 )( 1 () 386294 . 1 () 6 4 )( 1 4 () 6 )( 1 () 0 () 6 1 )( 4 1 () 6 )( 4 () ( + + x x x x x xx fPara2 x 565844 . 0 ) 2 ( fDonde el error verdadero es% 3659 . 18 Ev65Trazador de primer orden.La conexin ms simple entre dos puntos es por medio de una lnea recta. Los trazadores de primer orden para un grupo de datos ordenados pueden definirse como un conjunto de funciones lineales.0x1x2x3x1 nxnx) ( ) ( ) (0 0 0x x m x f x f + ) ( ) ( ) (1 1 1x x m x f x f + ) ( ) ( ) (2 2 2x x m x f x f + ) ( ) ( ) (1 1 1 + n n nx x m x f x f) (x fxI n t e r p o l a c i o n S e g m e n t a r i a) (0x f) (1x f) (2x f) (1 nx f) (nx f) (3x fDonde:im es la pendiente de la lnea recta que conecta a los puntos.i ii iix xx f x fm++11) ( ) (n n n n nx x x x x m x f x fx x x x x m x f x fx x x x x m x f x fx x x x x m x f x f + + + + 1 1 1 13 2 2 2 22 1 1 1 11 0 0 0 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( 66Ejemplo.Ajustelos siguientes puntos consegmentaras deprimer orden. Evaluar la funcin en5 x .0 . 30 x 5 . 2 ) (0 x f5 . 41 x 0 . 1 ) (1 x f0 . 72 x 5 . 2 ) (2 x f0 . 93 x 5 . 0 ) (3 x fObteniendo las pendientes tenemos10 . 3 5 . 45 . 2 0 . 1 ) ( ) (0 10 10 x xx f x fm6 . 05 . 4 0 . 70 . 1 5 . 2 ) ( ) (1 21 21x xx f x fm10 . 7 0 . 95 . 2 5 . 0 ) ( ) (2 32 32 x xx f x fmDonde la interpolacin segmentara queda como) 0 . 3 ( 0 . 1 5 . 2 ) ( x x f 5 . 4 0 . 3 x) 5 . 4 ( 6 . 0 0 . 1 ) ( + x x f 0 . 7 .5 4 x) 0 . 7 ( 0 . 1 5 . 2 ) ( x x f 0 . 9 .0 7 xEvaluando en5 x tomamos la funcin ) 5 . 4 ( 6 . 0 0 . 1 ) ( + x x f3 . 1 ) 5 . 4 5 ( 6 . 0 0 . 1 ) 5 ( + f67Trazador Cbico.Elobjetivo de los trazadores cbicos es obtener un polinomio de tercer orden para cada intervalo entre los nodos, como en.i i i i id x c x b x a x f + + + 2 3) (Para poder obtener trazadores cbicos en un intervalo se aplica la siguiente ecuacin.) I () (6) )( ( ' ') () ( ) (6) )( ( ' ') () () () ( 6) ( ' ') () ( 6) ( ' ') (1111 111 311311 1]1

+1]1

+ + ii i ii iiii i ii iiii iiii iiix xx x x fx xx fx xx x x fx xx fx xx xx fx xx xx fx fDonde:' ' f es la segunda derivada al final de cada intervalo, las cuales se desconocen. Para poder evaluar estas incgnitas se utiliza la siguiente ecuacin.[ ] [ ] ) II ( ) ( ) (6) ( ) (6) ( ' ' ) ( ) ( ' ' ) ( 2 ) ( ' ' ) (11111 1 1 1 1 1i ii ii ii ii i i i i i i i ix f x fx xx f x fx xx f x x x f x x x f x x+ + + +++ + + Ejemplo.Ajuste los siguientes puntos con trazadores cbicos. Evaluar la funcin en5 x0 . 30 x 5 . 2 ) (0 x f5 . 41 x 0 . 1 ) (1 x f0 . 72 x 5 . 2 ) (2 x f0 . 93 x 5 . 0 ) (3 x fUtilizando la ecuacin ) II ( para generar un conjunto de ecuaciones simultneas.Tomando1 i[ ] [ ] ) ( ) (6) ( ) (6) ( ' ' ) ( ) ( ' ' ) ( 2 ) ( ' ' ) (11111 1 1 1 1 1i ii ii ii ii i i i i i i i ix f x fx xx f x fx xx f x x x f x x x f x x+ + + +++ + + [ ] [ ] 1 5 . 20 . 3 5 . 460 . 1 5 . 25 . 4 0 . 76) 0 . 7 ( ' ' ) 5 . 4 0 . 7 ( ) 5 . 4 ( ' ' ) 0 . 3 0 . 7 ( 2 ) 0 . 3 ( ' ' ) 0 . 3 5 . 4 ( + + + f f f6 . 9 ) 0 . 7 ( ' ' 5 . 2 ) 5 . 4 ( ' ' 0 . 8 ) 0 . 3 ( ' ' 5 . 1 + + f f f68Tomando2 i[ ] [ ] 5 . 2 0 . 15 . 4 765 . 2 5 . 00 . 7 0 . 96) 0 . 9 ( ' ' ) 0 . 7 0 . 9 ( ) 0 . 7 ( ' ' ) 5 . 4 0 . 9 ( 2 ) 5 . 4 ( ' ' ) 5 . 4 0 . 7 ( + + + f f f6 . 9 ) 0 . 9 ( ' ' 0 . 2 ) 0 . 7 ( ' ' 0 . 9 ) 5 . 4 ( ' ' 5 . 2 + + f f fdedondenosquedaunsistemadeecuacionessimultaneasylasevaluacionesde ) 0 . 9 ( ' ' fy ) 0 . 3 ( ' ' fdecimos que son igual a cero dado que no existen puntos suficientes para encontrar las derivadas6 . 9 ) 0 . 9 ( ' ' 0 . 2 ) 0 . 7 ( ' ' 0 . 9 ) 5 . 4 ( ' ' 5 . 26 . 9 ) 0 . 7 ( ' ' 5 . 2 ) 5 . 4 ( ' ' 0 . 8 ) 0 . 3 ( ' ' 5 . 1 + + + +f f ff f fCon lo cual el sistema de ecuaciones queda como sigue6 . 9 ) 0 . 7 ( ' ' 0 . 9 ) 5 . 4 ( ' ' 5 . 26 . 9 ) 0 . 7 ( ' ' 5 . 2 ) 5 . 4 ( ' ' 0 . 8 + +f ff f1]1

1]1

1]1

6 . 96 . 9) 0 . 7 ( ' ') 5 . 4 ( ' '0 . 9 5 . 25 . 2 0 . 8ffResolviendo el sistema tenemos que 1]1

1]1

533080 . 1679087 . 1) 0 . 7 ( ' ') 5 . 4 ( ' 'ffLos valores de ) 5 . 4 ( ' ' fy ) 0 . 7 ( ' ' fse sustituyen en la ecuacin ) I (para obtener los trazadores cbicos de primer intervaloTomando1 i tenemos que ) (6) )( ( ' ') () ( ) (6) )( ( ' ') () () () ( 6) ( ' ') () ( 6) ( ' ') (0 10 1 10 1110 1 00 10 300 1310 101x xx x x fx xx fx xx x x fx xx fx xx xx fx xx xx fx f1]1

+1]1

+ + Sustituyendo ) 0 . 3 (6) 0 . 3 5 . 4 )( 679087 . 1 () 0 . 3 5 . 4 (0 . 1) 5 . 4 () 0 . 3 5 . 4 (5 . 2) 0 . 3 () 0 . 3 5 . 4 ( 6679087 . 1) (311]1

+ 1]1

+ x x x x f) 0 . 3 ( 246894916 . 0 ) 5 . 4 ( 6 666 . 1 ) 0 . 3 ( 2 1865652 . 0 ) (31 + + x x x x f 5 . 4 0 . 3 xOperaciones similares se pueden hacer para encontrar el segundo y tercer intervalo) 5 . 4 ( 638783 . 1 ) 0 . 7 ( 299620 . 0) 5 . 4 ( 102205 . 0 ) 0 . 7 ( 111939 . 0 ) (3 32 + x xx x x f0 . 7 5 . 4 x) 0 . 7 ( 25 . 0 ) 0 . 9 ( 761027 . 1 ) 0 . 9 ( 127757 . 0 ) (33 + + x x x x f 0 . 9 0 . 7 xSustituyendo5 x para obtener) (2x f tenemos que102180 . 1 ) 5 (2 f69Unidad V.Integracin y diferenciacin numrica.Laintegracindeunafuncindentrodel mbitodelaingenieratienetantas aplicaciones que es una herramienta indispensable. Una integralrepresenta un rea bajo la curva sobre el eje horizontal, acotada por un intervalo. La funcin a integrarse, en general deber tener una de las tres formas siguientes.1. Una funcin simple y continua tal como un polinomio, una funcin exponencial o una funcin trigonomtrica.2. Una funcin complicada y continua que es difcil o imposible de integrar directamente.3. Una funcin tabulada en donde los valores de ) (x fse dan en un conjunto de puntos discretos, como es el caso, a menudo, de datos experimentales.Frmulas o ecuaciones de Newton-Cotes.Son esquemas de integracin numrica donde se reemplaza una funcin complicada con una funcin aproximada o fcil de integrar. banbadx x f dx x f I ) ( ) (Donde ) (x fn es un polinomio de la forma:nnnn nx a x a x a x a a x f + + + + + 1122 1 0) ( Donde n es el orden del polinomio.) (a fa b) (b f) (x fxEstimacin de una integral mediante una lnea recta.) (a fa b) (b f) (x fxEstimacin de una integral mediante una parbola.70La integral se puedeaproximar mediante una serie de polinomios aplicados por pedazos a la funcin o datos sobre segmentos de longitud constante.Se disponen de formas cerradas y abiertas de las ecuaciones de Newton-Cotes. Las formas cerradas son aquellas en las que se conocen los datos al inicio y al finaldel intervalo de la integracin. Las formas abiertas son aquellas en las cuales los lmites de integracin se extienden ms all del intervalo de los datos conocidos.a b) (x fxForma cerradaa b) (x fxForma abiertaIntegracin por el mtodo trapezoidal.EslaprimeraformaomtododeintegracindeNewton-Cotes. Laintegral aproximada es:) (2) ( ) () ( a bb f a fdx x f Iba+ Geomtricamente el mtodo trapezoidal es un equivalente a aproximar grficamente el rea de un trapezoide bajo la recta que una a ) (a f y ) (b fa b) (x fx) (a f) (b fEl error aproximado est dado por: baadx x fa bE ) ( ' '12) (271Ejemplo.Utiliceel mtododeintegracintrapezoidal paraintegrar numricamentela siguiente funcin desde0 ay8 . 0 b . El valor verdadero es 1.640533.2 . 0 25 200 675 900 400 ) (2 3 4 5+ + + x x x x x x fEvaluando a yben ) (x f se tiene0 a 2 . 0 ) ( a f8 . 0 b 232 . 0 ) ( b fSustituyendo en los valores en la regla trapezoidal tenemos.0.1728 ) 0 8 . 0 (2) 232 . 0 ( ) 2 . 0 () (2) ( ) () ( + + a bb f a fdx x f IbaObteniendo el error verdadero y aE, por lo tanto aE es:48 ) ( ' '8 .0 dx x fDonde400 4050 10800 8000 ) ( ' '2 3 + x x x x f56 . 2 ) 48 (12) 0 8 . 0 () ( ' '12) (2 2 baadx x fa bE89.47% 1001.6405330.172800 1.640533100 va vvvv vE72Aplicacin mltiple de la regla trapezoidalPara mejorar la exactituddela reglatrapezoidal se divide el intervalo de integracin de a aben un nmero n de segmentos y se aplica el mtodo en cada uno de los nuevos segmentos) (x fx 0x1x2xPara dos segmentos.) (x fx 0x1x2x3xPara tres segmentos.) (x fx 0x1x2x3xnx1 nx2 nx3 nxPara nsegmentos.Con lo cual se tiene que la regla trapezoidal mltiple es:) (2) ( ) ( 2 ) () (110a bnx f x f x fdx x f Innii ba+ + De donde ) ( a b es la anchura del intervalo de integracin. Y nx f x f x fnnii2) ( ) ( 2 ) (110+ + es la altura promedio del trapecio.Para calcular la anchura de los nuevos intervalos tenemos que:na bhY el error aproximado est dado por: baadx x fna bE ) ( ' '12) (2273Ejemplo.Utilice el mtodo de integracin trapezoidal mltiple para integrar numricamente lasiguientefuncindesde0 a y 8 . 0 b . Utilizandodos y tres segmentos. El valor verdadero es 1.6405332 . 0 25 200 675 900 400 ) (2 3 4 5+ + + x x x x x x fPara dos segmentos4 . 020 8 . 0n a bh00 x 2 . 0 ) (0 x f4 . 01 x 2.456 ) (1 x f8 . 02 x 0.232 ) (2 x f1.0688 ) 0 8 . 0 (2 2) 232 . 0 ( ) 456 . 2 ( 2 ) 2 . 0 () (2) ( ) ( 2 ) () (110 + + + + a bnx f x f x fdx x f Innii ba0.64 ) 48 (2 12) 0 8 . 0 () ( ' '12) (2222 baadx x fna bE34.85% 1001.6405331.0688 1.640533100 va vvvv vEPara tres segmentos0.26666730 8 . 0n a bh00 x 2 . 0 ) (0 x f0.2666671 x 1.432724 ) (1 x f0.5333332 x 3.487177 ) (2 x f8 . 03 x 0.232 ) (2 x f1.369574 ) 0 8 . 0 (3 2) 232 . 0 ( ) 3.487177 1.432724 ( 2 ) 2 . 0 () ( + + + badx x f I0.284444 ) 48 (3 12) 0 8 . 0 () ( ' '12) (2222 baadx x fna bE16.51% 1001.6405331.369574 1.640533100 va vvv v vE74Regla de Simpson.Una manera de mejorar la exactitud del mtodo trapezoidal es usar polinomios de mayor orden para conectar los puntos. Por ejemplo, si existe un punto entre ) (a f y ) (b f, a la mitad, estos puntos se pueden conectar mediante una parbola.Si hay dos puntos igualmente espaciados entre ) (a fy ) (b f, los cuatro puntos se pueden conectar mediante un polinomio de tercer orden.A las ecuaciones que se utilizan para calcular las integrales bajo estos polinomios se conocen como reglas de Simpson.) (x fx0x1x2xSimpson 31 (Parbolas)) (x fx0x1x2x3xSimpson 83 (Cbicas)Regla de Simpson31. Utilizando un polinomio de segundo orden tenemos que la aproximacin del rea bajo la curva mediante tres puntos o una parbola esta dada por:) (6) ( ) ( 4 ) () (2 1 0a bx f x f x fdx x f Iba+ + Para calcular la anchura de los nuevos intervalos tenemos que:2a bhY el error aproximado est dado por: baIVadx x fa bE ) (2880) (475Ejemplo Utiliceel mtododeSimpson31paraintegrar numricamentelasiguientefuncin, desde0 ay8 . 0 b .2 . 0 25 200 675 900 400 ) (2 3 4 5+ + + x x x x x x fObteniendo la anchura4 . 020 8 . 0n a bhPor lo tanto 00 x 2 . 0 ) (0 x f4 . 01 x 2.456 ) (1 x f8 . 02 x 0.232 ) (2 x f1.367467 ) 0 8 . 0 (6) 0.232 ( ) 2.456 ( 4 ) 0.2 () (6) ( ) ( 4 ) () (2 1 0 + + + + a bx f x f x fdx x f Iba16.64% 1001.6405331.367467 1.640533100 va vvvv vE0.273066 ) 1920 (2880) 0 8 . 0 () (2880) (4 4 abaIVaE dx x fa bE76Regla de Simpson31 de aplicacin mltiple.Utilizando un polinomio de segundo orden de manera mltiple tenemos que la aproximacin del rea bajo la curva mediante estos puntos esta dada por.) (3) ( ) ( 2 ) ( 4 ) () (26 , 4 , 215 , 3 , 10a bnx f x f x f x fdx x f Innjjnii ba+ + + Para calcular la anchura de los nuevos intervalos tenemos que:n a bhY el error aproximado est dado por: baIVadx x fna bE ) (180) (44Para2 n tendramos grficamente.) (x fx0x1x2x3x4x77Ejemplo.Utilice elmtodo de Simpson 31de aplicacin mltiple con4 n para integrar numricamente la siguiente funcin, desde0 ay8 . 0 b .2 . 0 25 200 675 900 400 ) (2 3 4 5+ + + x x x x x x fObteniendo la anchura2 . 040 8 . 0n a bhPor lo tanto00 x 2 . 0 ) (0 x f 2 . 01 x 288 . 1 ) (1 x f4 . 02 x 456 . 2 ) (2 x f6 . 03 x 464 . 3 ) (3 x f 8 . 04 x 232 . 0 ) (4 x fAplicando le regla de simpson mltiple tenemos.) (3) ( ) ( 2 ) ( 4 ) () (26 , 4 , 215 , 3 , 10a bnx f x f x f x fdx x f Innjjniiba+ + + 1.623467 ) 0 8 . 0 (3) 232 . 0 ( ) 456 . 2 ( 2 ) 464 . 3 288 . 1 ( 4 ) 2 . 0 () ( + + + + ndx x f Iba1.04% 1001.6405331.623467 1.640533100 va vvvv vE0.017066 ) 1920 (4 180) 0 8 . 0 () (180) (4444 baIVadx x fna bE 78Regla de Simpson83.Utilizando un polinomio de tercer orden tenemos que la aproximacin del rea bajo la curva mediante cuatro puntos o una ecuacin cbica esta dada por:) (8) ( ) ( 3 ) ( 3 ) () (3 2 1 0a bx f x f x f x fdx x f Iba+ + + Para calcular la anchura de los nuevos intervalos tenemos que:3a bhY el error aproximado est dado por: baIVadx x fa bE ) (6480) (4Ejemplo.Utiliceel mtododeSimpson83paraintegrar numricamentelasiguientefuncin, desde0 ay8 . 0 b .2 . 0 25 200 675 900 400 ) (2 3 4 5+ + + x x x x x x fObteniendo la anchura0.26666730 8 . 0n a bhPor lo tanto00 x 2 . 0 ) (0 x f0.2666671 x 1.432724 ) (1 x f0.5333332 x 3.487177 ) (2 x f8 . 03 x 0.232 ) (2 x f) (8) ( ) ( 3 ) ( 3 ) () (3 2 1 0a bx f x f x f x fdx x f Iba+ + + 1.519170 ) 0 8 . 0 (8) 232 . 0 ( ) 487177 . 3 ( 3 ) 432724 . 1 ( 3 ) 2 . 0 () ( + + + badx x f I7.3977% 1001.6405331.519170 1.640533100 va vvvv vE0.121363 ) 1920 (6480) 0 8 . 0 () (6480) (4 4 baIVadx x fa bE79Diferenciacin numricaLadiferenciacinnumrica, oaproximacinnumrica, esunmtodoutilizado para evaluar las derivadas de funciones por medio de valores funcionales de puntos de datosdiscretos. Si seconocenlosvaloresfuncionalesdedichosdatosdiscretos, la funcin se puede expresar de una forma aproximada por medio de una interpolacin polinomial. Por lo que, al diferenciar dicho polinomio, se pueden evaluar sus derivadas.Por definicin la derivada de una funcin esta dada por:hx f h x fim l x fh) ( ) () ( '0 +Diferenciacin hacia delante, hacia atrs y centrada) (x fx 0x h x +0) (0h x f +) (0x f) ( '0x fhx f h x fx f) ( ) () ( '0 00 +Diferenciacin hacia delantex0x h x 0) (0h x f ) (0x f) ( x f) ( '0x fhh x f x fx f) ( ) () ( '0 00 Diferenciacin hacia atrsx0x h x 0) (0h x f ) (0x f) ( x f) ( '0x fhh x f h x fx f2) ( ) () ( '0 00 +h x+0) (0h x f +Diferenciacin centrada80Lo siguiente es un resumen de las frmulas de diferenciacin que se pueden obtener a partir de desarrollos en serie de Taylor.Expresiones de Primeras Diferencias Centraleshh x f h x fx f2) ( ) () ( '0 00 +20 0 00) ( ) ( 2 ) () ( ' 'hh x f x f h x fx f + +30 0 0 002) 2 ( ) ( 2 ) ( 2 ) 2 () ( ' ' 'hh x f h x f h x f h x fx f + + +40 0 0 0 00) 2 ( ) ( 4 ) ( 6 ) ( 4 ) 2 () (hh x f h x f x f h x f h x fx fIV + + + +Expresiones de Primeras Diferencias Hacia delantehx f h x fx f) ( ) () ( '0 00 +20 0 00) ( ) ( 2 ) 2 () ( ' 'hx f h x f h x fx f+ + +30 0 0 002) ( ) ( 3 ) 2 ( 3 ) 3 () ( ' ' 'hx f h x f h x f h x fx f + + + +40 0 0 0 00) ( ) ( 4 ) 2 ( 6 ) 3 ( 4 ) 4 () (hx f h x f h x f h x f h x fx fIV+ + + + + +Expresiones de Primeras Diferencias Hacia Atrshh x f x fx f) ( ) () ( '0 00 20 0 00) 2 ( ) ( 2 ) () ( ' 'hh x f h x f x fx f + 30 0 0 002) 3 ( ) 2 ( 3 ) ( 3 ) () ( ' ' 'hh x f h x f h x f x fx f + 40 0 0 0 00) 4 ( ) 3 ( 4 ) 2 ( 6 ) ( 4 ) () (hh x f h x f h x f h x f x fx fIV + + EjemplosenseaproximacionesdeDiferenciasFinitasHaciaAdelante, HaciaAtrsy Centradas para estimar la primera derivada en5 . 0 xde: 2 . 1 25 . 0 5 . 0 15 . 0 1 . 0 ) (2 3 4+ x x x x x f81Unidad VISolucin numrica de ecuaciones diferenciales.Sea vmcgdtdv Una ecuacin diferencial de primer orden, donde:g, c y m son constantes.v es una variable dependiente.t es una variable independiente.Las ecuaciones diferenciales se dividen en:Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), si poseen una sola variable independiente.Ecuaciones diferenciales parciales (EDP), si poseen dos o ms variables independientes.La ecuacin022 + + kxdtdxcdt x dmEs una ecuacin diferencial de segundo orden,cy k son constantes. Aestas ecuaciones se les conoce como ecuacin de segundo grado; en general a las ecuaciones de orden mayor a uno se les conoce como ecuaciones de orden superior.Las ecuaciones de orden superior se pueden reducir a un sistema de ecuaciones de primer orden definiendo nuevas variables, si:dtdxyEntonces 22dtx ddtdySustituyendo las ecuaciones anteriores se tiene que0 + + kx cydtdxmomkx cydtdy +Lasolucinmatemtica de laEDO se puedeobtener porseparacinde variables e integrando, con lo que se obtiene:dt vmcdt g dv dt vmcg v 1]1

82Linealizacin de EDOs.Una EDO lineal es aquella que se ajusta a la forma general:) ( ) ( ) ( ) ( ) (0 111x f x a y x a y x a y x annnn + + + +donde:nyderivada n-sima de y respecto a xay ) (x f funciones especficas de xMtodo de EulerLa primera derivada proporciona una estimacin de la pendiente en ix tal como se observa en la figura siguienteyxix1 + ixhPredichoVerdaderoError}De la figura se observa que h y yi i + + 1Donde es la pendiente) , (i iy x f Es decir la funcin evaluada en los puntos ) , (i iy xrescribiendo la ecuacin anterior se tiene queh y x f y yi i i i) , (1+ +A esta ecuacin se le conoce como mtodo de Euler o punto medio de Euler Cauchy83Ejemplo.Utilizar el mtododeEuler paraintegrar (Resolver laecuacin diferencial) numricamente, con condiciones iniciales0 x , 1 y, hasta4 x con paso de iteracin de 0.5.:5 . 8 20 12 22 3+ + x x xdxdyResolviendo la ecuacin diferencial tenemos que la solucin real es:1 5 . 8 10 4 5 . 02 3 4+ + + x x x x yResolviendo usando Euleriixiy ) , (i iy x fvvvE0 0 1 8.50000 1.00000 0.001 0.5 5.25000 1.25000 3.21875 63.112 1.0 5.87500 -1.50000 3.00000 95.833 1.5 5.12500 -1.25000 2.21875 130.994 2.0 4.50000 0.50000 2.00000 125.005 2.5 4.75000 2.25000 2.71875 74.716 3.0 5.87500 2.50000 4.00000 46.887 3.5 7.12500 -0.25000 4.71875 50.998 4.0 7.00000 3.00000 133.33Calculando 1 + iytenemos queh y x f y yi i i i) , (1+ +5 . 8 5 . 8 0 20 0 12 0 2 ) 1 , 0 (2 30 0 + + y x f25 5 5 . 0 5 . 8 1 ) , ( ) 5 . 0 (0 0 0 1. h y x f y y + + Tememos que la aproximacin es que25 51. y Obteniendo el valor real21875 3 1 5 . 0 5 . 8 5 . 0 10 5 . 0 4 5 . 0 5 . 0 ) 5 . 0 (2 3 4. y + + + El error Verdadero relativo porcentual es:% ... .vv vEva vv11 6321875 325 5 21875 3Calculando 2y tenemos que25 . 1 5 . 8 5 . 0 20 5 . 0 12 5 . 0 2 ) 25 . 5 , 5 . 0 (2 31 1 + + y x f875 5 5 . 0 25 . 1 25 . 5 ) , ( ) 1 (1 1 1 2. h y x f y y + + 3 1 1 5 . 8 1 10 1 4 1 5 . 0 ) 1 (2 3 4 + + + y84El error verdadero es%.v v vva v83 . 953875 5 3Secontinasucesivamente} 4 5 . 3 , 3 , 5 . 2 , 2 , 5 . 1 { y xdeacuerdoal pasoutilizado. Los valores obtenidos son valores de la curva que resulta de la ecuacin.Graficando la solucin aproximada y la verdadera se tiene:123456780 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 5 4yxh=0.5Solucin verdaderaAnlisis de error para el mtodo de Euler Los tipos de errores en las ecuaciones diferenciales ordinarias pueden ser de truncamiento y de redondeo, los primeros son causados por las tcnicas empleadas para aproximar, estas pueden ser de dos tipos''Redondeodo PropagaLocalto Truncamienlas EDOS rrores enTipos de eError de truncamiento: Es causado por las tcnicas empleadas para aproximar.Error de redondeo: Es el resultado del nmero finito de cifras significativas que puede manejar un procesador.Error local: Es el resultado de aplicar el mtodo en cuestin a un solo paso.Error propagado: Resulta de las aproximaciones producidas en los pasos previos.Se puede obtener informacin sobre la magnitud y propiedades del error de truncamiento al derivar el mtodo de Euler directamente de las series de Taylor:) , ( ' y x f ydonde: dxdyy '85Si la solucin tiene derivadas continuas, entonces se puede representar mediante una expansin en series de Taylor respecto a ) , (i iy x de la forma:nnni ii i iR hnyhyh y y y + + + + + +! ! 2' '') (21Donde 1 + ix h y nR es un trmino remanente definido por:1) 1 ()! 1 () (+++nnnhn yRDonde es cualquier punto entre el intervalo definido entre ix y 1 + ix.Una forma alternativa se obtiene al sustituir las ecuaciones anteriores para obtener1) 1 (21!) , (! 2) , ( ') , (+++ + + + + n nni i i ii i i iOh hny x fhy x fh y x f y y Donde 1 + nOhespecifica el error de truncamiento local, el cual es proporcional al tamao del paso elevado a la ) 1 ( + n -sima potencia.Al comparar la ecuaciones se observa que el mtodo de Euler corresponde a la serie de Taylor e incluyendo el trmino h y x fi i) , (. De la comparacin se observa que ocurre un error de truncamiento debido a que se aproxima la solucin verdadera mediante un nmero finito de trminos de la serie de Taylor.1 22) , ( '++ + n i ivOh hy x fE A lo cual se obtiene el error de truncamiento local verdadero. Sihes lo suficientemente pequea, los errores en la ecuacin anterior disminuyen al elevar el orden deh y el resultado se presenta como:2! 2) , ( 'hy x fEi iao 2Oh Eadonde aEes el error de truncamiento local aproximado.86Ejemplo.Use la ecuacin 1 2! 2) , ( '++ + n i ivOh hy x fE para estimar el error del paso inicial del ejemplo anterior. Utilcela tambin para determinar el error debido a cada uno de los trminos de orden superior de la serie de Taylor.Del ejemplo anterior tenemos que5 . 8 20 12 2 ) , (2 3+ + x x xdxdyy x fCon condiciones iniciales0 x ,1 y, hasta4 x con paso de iteracin de 0.5. para este ejemplo obtendramos un vE de4 3 2! 4) , ( ' ' '! 3) , ( ' '! 2) , ( 'hy x fhy x fhy x fEi i i i i iv+ + Donde derivando ) , ( y x fse tiene5 . 8 20 12 2 ) , (2 3+ + x x x y x f20 24 6 ) , ( '2 + x x y x f24 12 ) , ( ' ' + x y x f12 ) , ( ' ' ' y x fTomado el punto inicial0 x , se tiene el error para la primera derivada5 . 2 5 . 0220 ) 0 ( 24 ) 0 ( 65 . 0220 24 6! 2) , ( '22222 + + x xhy x fi iPara la segunda derivada se tiene5 . 0 5 . 0624 ) 0 ( 125 . 0624 12! 3) , ( ' '3 3 3+ + xhy x fi iPara la tercera derivada se tiene03125 . 0 5 . 024125 . 02412! 4) , ( ' ' '4 4 4 hy x fi iEl error verdadero se obtiene sumando los errores para cada trmino03125 . 2 03125 . 0 5 . 0 5 . 2 + vERecordando que se sabe el valor verdadero es 3.21875 y que la estimacin obtenida con el mtodo de Euler es 5.25, error n aproximaci de estimacin verdadero Valor + 21875 . 3 03125 . 2 25 . 5 verdadero Valor 87Mejoras al mtodo de EulerUna fuente fundamental de error en elmtodo de Euler es que la derivada al principio del intervalo se supone que se aplica a travs del intervalo entero. Existen dos modificaciones simples para ayudar a evitar este inconveniente. Las modificaciones en realidad pertenecen a una clase mayor de mtodos de solucin llamados mtodos de Runge-Kutta. Sin embargo ya que tiene una interpretacin grafica sencilla, se presenta antesdeladerivacinformal delosmtodosdeRunge-Kutta. Paracorregir estas deficiencias se plantean primero el mtodo de Heun yposteriormente los mtodos de Runge-Kutta.Mtodo de HeunUnmtodoparamejorar laaproximacinalapendienteimplicael clculodedos derivadasdel intervalo, enunpuntoinicial yotraenunpuntofinal. Enseguidase promedian las derivadas y se obtiene una aproximacin mejorada de la pendiente en el intervalocompleto. Esteesquema, llamadomtododeHeun, quesemuestraenla siguiente figura.yxix1 + ix2) , ( ) , (01 1 + ++i i i iy x f y x fPendienteix1 + ixyx) , (i iy x f Pendiente ) , (01 1 + +i iy x f Pendientea) b)Esquema Grafico del mtodo de Heun. a) Predictor y b) Corrector.El mtodo de Euler, la pendiente al principio de un intervalo es) (i i iy x f y Se usa para extrapolar linealmente a 1 + iy:h y x f y yi i i i) , (01+ +En el mtodo estndar de Euler se parara en este punto. Sin embargo en el mtodo de Heun, la 01 + iy no es la respuesta final si no una prediccin intermedia. Esto se debe a 88quesehadistinguidoaestaconel superndice0. Laecuacinde01 + iy sellama ecuacin predictora. Proporciona una aproximacin de 1 + iyque permite el clculo de una pendiente aproximada al final del intervalo:) , (01 1 1 + + + i i iy x f yPor lo tanto, se pueden combinar las dos pendientes y obtener una pendiente promedio sobre el intervalo:2) , ( ) , (2' ''01 1 1 + + +++i i i i i iy x f y x f y yyEsta pendiente promediose usa paraextrapolar linealmentede iya 1 + iyusando el mtodo de Euler:hy x f y x fy yi i i ii i2) , ( ) , (01 11+ ++++ Que se llama una ecuacin correctora. El mtodo de Heun es un esquema predictor-corrector. Se puede expresar concisamente como: Predictor h y x f y yi i i i) , (01+ +Corrector hy x f y x fy yi i i ii i2) , ( ) , (01 11+ ++++ Ntese que debido a que la ecuacin del corrector tiene 1 + iy en ambos lados del signo igual, esta puede aplicarse para "corregir" en un esquema iterativo. Esto es, se puede usar unaaproximacin anterior varias veces para proporcionar una aproximacin mejorada de 1 + iy. Se debe entender que este proceso no necesariamente converge a la respuesta correcta sino converger a una aproximacin con un error de truncamiento finito.El error aproximado esta dado por100%n actual Aproximacir n anterio Aproximaci n actual AproximaciEa89EjemploUtilizar el mtodo de Heun para resolver (Integrar) numricamente la ecuacin diferencial y e yx5 . 0 4 '8 . 0 desde0 x a4 x con tamao de paso 1. La condicin inicial en ) 2 , 0 ( ) , ( y x.Donde la solucin verdadera es:( )x x xe e e y5 . 0 5 . 0 8 . 023 . 14 + Resolviendo usando Heuni ixvyiy ) , (i iy x f01 + iy ) , (01 1 + + i iy x fvE0 0 2.00000 2.00000 3.00000 5.00000 6.40216 0.001 1.0 6.19463 6.70108 5.55162 12.25270 13.68578 8.182 2.0 14.84392 16.31978 11.65224 27.97202 30.10670 9.943 3.0 33.67717 37.19925 25.49308 62.69233 66.78396 10.464 4.0 75.33896 83.33777 10.62La pendiente ) , (i iy x f3 2 5 . 0 4 5 . 0 4 ' ) 2 , 0 (0 8 . 0 8 . 0 e y e y fxEstimando el predictor 01 + iy5 1 3 2 ) , (01 + + +h y x f y yi i i iEstimando la pendiente) , (01 1 + + i iy x f40216 6 5 5 . 0 4 5 . 0 4 ) 5 , 1 (1 8 . 0 8 . 0. e y e fx Obteniendo al corrector70108 6 1240216 6 322) , ( ) , (01 11..hy x f y x fy yi i i ii i ++ ++ + ++Obteniendo le error verdadero % 18 . 8 10019463 670108 6 19463 6 .. .EvEste resultado proporciona un error relativo porcentual de 8.18%, el cual comparado con el mtodo de Euler, es ms pequeo aun cuando solo se uso un corrector.0 1 2 3 402 04 06 08 01 0 0Solucin verdaderaAproximacin dexyy90Grfica de comparacin del valor verdadero con respecto a la aproximacinMtodos de Runge-Kutta.Los mtodos de Runge-Kutta logran la exactitud del procedimiento de las series de Taylor sin requerir el uso de derivadas superiores. Existen diversas variantes, pero todas tienen la siguiente forma:h h y x y yi i i i) , , (1 + +Donde ) , , ( h y xi i es conocida como la funcin incremento, la cual puede interpretarse como una pendiente representativa en un intervalo. Esta funcin se escribe de forma general como:n nk a k a k a + + + 2 2 1 1Donde las a son constantes y laskson:) , (1 i iy x f k ) , (1 11 1 2h k q y h p x f ki i+ + ) , (2 22 1 21 2 3h k q h k q y h p x f ki i+ + + ) , (1 1 , 1 2 2 , 1 1 1 , 1 1h k q h k q h k q y h p x f kn n n n n i n i n + + + + + Obsrvese que laskson las relaciones de recurrencia; esto indica que 1kaparece en la ecuacin para 2k , y 2kaparece en la ecuacin para 3k, etc.Mtodos de Runge-Kutta de segundo ordenLa versin de segundo orden para h h y x y yi i i i) , , (1 + + es:h k a k a y yi i) (2 2 1 1 1+ + +Donde) , (1 i iy x f k ) , (1 11 1 2h k q y h p x f ki i+ + Los valores para 1a , 2a , 1py 11qson evaluados al igualar el termino de segundo orden de h k a k a y yi i) (2 2 1 1 1+ + + con la expansin de la serie de Taylor. Para desarrollar esto se obtienen tres ecuaciones con cuatro constantes desconocidas. Dichas ecuaciones son:9112 1 +a a211 2 p a2111 2 q aDebido a que se tienen cuatro incgnitas y tres ecuaciones, se propone el valor de una de estas incgnitas para determinar las dems. Por ejemplo, sise propone un valor para 2a , se obtiene:2 11 a a y 211 121aq p Debido a que se puede elegir un nmero infinito de valores para 2a , existen tambin un nmero infinito de mtodos o ecuaciones de Runge-Kutta de 2do. Orden. Las variantes ms comunes son: Mtodo de Heun de un solo corrector, Mtodo del Punto Medio y Mtodo de Ralston, los cuales se describen a continuacin.Mtodo de Heun de un solo corrector 212 aSi sesuponeque212 a, entonces211 ay 111 1 q p . Estos parmetros sustituidos en h k a k a y yi i) (2 2 1 1 1+ + + dahk ky yi i

,_

+ + +2 22 11Donde) , (1 i iy x f k ) , (1 2h k y h x f ki i+ + Obsrvese que 1kes la pendiente al inicio del intervalo y 2kes la del final.Mtodo de punto medio12 aSi se supone que 12 a , entonces01 ay 2111 1 q p. Estos parmetros sustituidos en h k a k a y yi i) (2 2 1 1 1+ + + da:h k y yi i 2 1+ +Donde) , (1 i iy x f k ) , (1 21212h k y h x f ki i+ + 92Mtodo de Ralston 322 aRalston y Rabinowitz determinaron que al seleccionar 322 a se obtiene un lmite mnimo sobre el error de truncamiento para los algoritmos de Runge-Kutta de segundo orden. Para esta versin, 311 a y 4311 1 q p lo cual da:h k k y yi i

,_

+ + + 2 1 13231Donde) , (1 i iy x f k ) , (1 43432h k y h x f ki i+ + Mtodos de Runge-Kutta de tercer orden.Se puede llevar una derivacin anloga a la delmtodo de segundo orden, para 3 n . El resultado de esta derivacin es de seis ecuaciones con ocho incgnitas para determinar los parmetros restantes. Una versin comn que resulta es( ) [ ] h k k k y yi i 3 2 1 6114 + + + +Donde) , (1 i iy x f k ) , (1 21212h k y h x f ki i+ + ) 2 , (2 1 3h k h k y h x f ki i+ + 93Mtodos de Runge-Kutta de cuarto orden.Los Mtodos de Runge-Kutta ms populares son los de cuarto orden. Como sucede con los mtodos de segundo orden. Existe un nmero infinito de versiones. Se presentan las dos versiones mas comunes de este mtodo la primera versin se basa en la regla de Simpson 31y comnmente es llamada mtodo clsico de Runge-Kutta como se describe continuacin.( ) [ ] h k k k k y yi i 4 3 2 1 6112 2 + + + + +Donde) , (1 i iy x f k ) , (1 21212h k y h x f ki i+ + ) , (2 21213h k y h x f ki i+ + ) , (3 4h k y h x f ki i+ + La segunda se basa en la regla de Simpson 83y se escribe as( ) [ ] h k k k k y yi i 4 3 2 1 8113 3 + + + + +Donde) , (1 i iy x f k ) , (1 31312h k y h x f ki i+ + ) , (2 311 31313h k h k y h x f ki i+ + + ) , (2 1 4h k h k y h x f ki i + + 94Mtodo de Runge-Kutta de orden superior.Donde se requiera mayor exactitud, se recomienda elmtodo de Runge-Kutta de quinto orden, Butcher( ) [ ]6 5 4 3 1 90117 32 12 32 7 k k k k k h y yi i+ + + + + +Donde) , (1 i iy x f k ) , (1 41412hk y h x f ki i+ + ) , (2 811 81413hk hk y h x f ki i+ + + ) , (3 2 21214hk hk y h x f ki i+ + ) , (4 1691 163435hk hk y h x f ki i+ + + ) , (5 784 7123 7122 721 736hk hk hk hk hk y h x f ki i+ + + + Sepuedendisponer deformulasdeRunge-Kuttadeordensuperior, talescomoel mtodo de Butcher, pero, en general, la ganancia obtenida en exactitud por mtodos de orden superior al cuarto orden se contrapone con la complejidad y esfuerzo de clculo.95EjemploUtilizar el mtodo de Runge-Kutta de cuarto orden clsico para resolver (Integrar) numricamente la ecuacin diferencial y e yx5 . 0 4 '8 . 0 desde0 x a4 xcon tamao de paso 1. La condicin inicial en ) 2 , 0 ( ) , ( y x.Donde la solucin verdadera es:( )x x xe e e y5 . 0 5 . 0 8 . 023 . 14 + i ixiyvV1k2k3k4k vE0 0 2.00000 2.00000 3.00000 4.21730 3.91297 5.94568 0.001 1.0 6.20104 6.19463 5.80165 8.72954 7.99756 12.71283 0.102 2.0 14.86248 14.84392 12.38089 19.02976 17.36754 27.97769 0.133 3.0 33.72135 33.67717 27.23203 42.10991 38.39044 62.07423 0.134 4.0 75.43917 75.33896 0.13Utilizando las ecuaciones de Runge-Kutta clsico de cuarto orden se calculan las nk3 2 5 . 0 4 ) 2 , 0 ( ) , (0 8 . 00 0 1 e f y x f k21730 4 5 . 3 5 . 0 4 ) 5 . 3 , 5 . 0 ( ) , (5 . 0 8 . 01 210 210 2. e f h k y h x f k + + 91297 . 3 10865 . 4 5 . 0 4 ) 10865 . 4 , 5 . 0 ( ) , (5 . 0 8 . 02 21213 + + e f h k y h x f ki i 94568 . 5 91297 . 5 5 . 0 4 ) 91297 . 5 , 1 ( ) , (1 8 . 03 4 + + e f h k y h x f ki i Sustituyendo las nk obtenemos la siguiente aproximacin ( ) [ ] ( ) [ ] 20104 . 6 1 94568 . 5 91297 . 3 2 21730 4 2 3 2 2 2614 3 2 1 611 + + + + + + + + +. h k k k k y yi i Obteniendo le error verdadero % 10 . 0 10019463 620104 . 6 19463 6 ..Ev96Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superiorLos procedimientos numricos vistos en esta unidad solo se aplicaron a ecuaciones de primer orden) , ( y x fdxdy , sujeto a la condicin inicial0 0) ( y x y . En este apartado se aplicaran para ordenes superiores, por ejemplo, para aproximar una solucin de una ecuacin diferencial de segundo orden, se rescribe la ecuacin de tal manera que se despeje la derivada de mayor orden para que tenga la forma siguiente en el caso de una ecuacin diferencial de segundo orden tenemos que.) ( ) ( ) (0 1 22x g y x adxdyx adxy d+ + Donde y es la variable dependientex es la variable independiente) (x ai son las coeficientes de la ecuacin diferencial) (x g es el coeficiente independiente la ecuacin diferencialSe puede escribir de forma matricial como sigue) (10' ) ( ) (1 0'1 0'x gyyx a x a yy 1]1

+1]1

1]1

1]1

Para una ecuacin diferencial de tercer orden) ( ) ( ) ( ) (0 1 222 33x g y x adxdyx adxy dx adxy d+ + + Escribindola en forma matricial) (100' '') ( ) ( ) (1 0 00 1 0' ''2 1 0'x gyyyx a x a x ayyy 11]1

+11]1

11]1

11]1

97Por ejemplo escriba de manera matricial la siguiente ecuacin diferencial de segundo orden0 ' ' ' + + y xy yDespejando la derivada de mayor orden tenemosy xy y ' ' 'Escribindola de manera matricial010' 11 0''1]1

+1]1

1]1

1]1

yyx yyComo 0 ) ( x gla ecuacin a resolver es1]1

1]1

1]1

' 11 0''yyx yy Para una ecuacin diferencial de tercer orden1 8 ' 7 ' ' 5 ' ' '2 3 + + + y xy y x y xDespejando la derivada de mayor orden tenemosy x y x y x y3 2 18 ' 7 ' ' 5 1 ' ' ' Escribindola de manera matricial31 2 3'1 100' ''5 7 81 0 00 1 0' ''xyyyx x x yyy111]1

+111]1

111]1

111]1

98EjemploUtilizar el mtododeRunge-Kuttadesegundoorden(Ralston) pararesolver (Integrar) numricamente laecuacin diferencial se segundoorden0 4 ' 5 ' ' + + y y y desde0 xa1 xcon tamao de paso 0.25. la condicin inicial en 1 ) 0 ( y y 0 ) 0 ( ' yDonde la solucin verdadera es:x xe e y43134 Despejando la derivada de mayor orden podemos rescribir la ecuacin diferencial de la siguiente maneray y y 4 ' 5 ' ' Escribindola en forma matricial010' 5 41 0''1]1

+1]1

1]1

1]1

yyyyComo no existe el trmino independiente1]1

1]1

1]1

' 5 41 0''yyyy iixiyiy'1k1' k2k2' kvvaE0 0.00 1.0000 0.0000 0.0000 -4.0000 -0.7500 -0.2500 1.00000.001 0.25 0.8750 -0.3750 -0.3750 -1.6250 -0.6797 0.1797 0.91584.462 0.50 0.7305 -0.4805 -0.4805 -0.5195 -0.5779 0.3279 0.76364.333 0.75 0.5941 -0.4691 -0.4691 -0.0309 -0.4749 0.3499 0.61323.114 1.00 0.4759 -0.4134 0.48441.75Dadoque1]1

1]1

1]1

' 5 41 0') , ('yyyyy x fi idonde1]1

' yysonlascondicionesiniciales1]1

01 calculando 1ky 2k1]1

1]1

1]1

,_

1]1

1]1

40015 41 001,00) , (1f y x f ki i

,_

1]1

1]1

,_

1]1

+1]1

+1]1

+ + 75 . 01,1875 . 01875 . 025 04001, 25 . 000) , (43431 43432f . f h k y h x f ki i 1]1

1]1

1]1

,_

1]1

1]1

25 . 075 . 075 . 015 41 075 . 01,1875 . 01875 . 02f k99Calculando 1y1]1

,_

1]1

+1]1

+1]1

,_

+ + +3750 . 08750 . 025 025 . 075 . 03240310132312 1 1. h k k y yi i Realizando otra iteracin tenemos que 1ky 2k1]1

1]1

1]1

,_

1]1

1]1

6250 . 13750 . 03750 . 08750 . 05 41 03750 . 08750 . 0,25 . 025 . 0) , (1f y x f ki i

,_

1]1

1]1

,_

1]1

+1]1

+1]1

+ + 6797 . 08047 . 0,4375 . 04375 . 025 06250 . 13750 . 03750 . 08750 . 0, 25 . 025 . 025 . 0) , (43431 43432f . f h k y h x f ki i 1]1

1]1

1]1

,_

1]1

1]1

1797 . 06797 . 06797 . 08047 . 05 41 06797 . 08047 . 0,4375 . 04375 . 02f kCalculando 2y1]1

,_

1]1

+1]1

+1]1

,_

+ + +4805 . 07305 . 025 01797 . 06797 . 0326250 . 13750 . 0313750 . 08750 . 032312 1 1. h k k y yi i En la siguiente figura se observa los resultados graficados0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 1 . 2 1 . 4 1 . 6 1 . 8 20 . 510- 0 . 5Solucin verdaderaAproximacin deyxyAproximacin de'y100Universidad Autnoma de Baja CaliforniaMtodos Numricos Tareaunidad IIEJERCICIOSNOTA: Usa todos los dgitos en tu calculadora para que la aproximacin sea lo ms exacta posible. 1.Usa el mtodo de biseccin para aproximar la raz de1 2 ) (2+ x e x fx comenzando en el intervalo [0.75,1]y hasta que % 1 < a. Solucin: rx =0.8046875.2. Usa el mtodo de biseccin para aproximar la raz de x x x f tan 1 ) (2+ + comenzando en el intervalo [0.5,1]y hasta que% 1 < a. Solucin:rx =0.9453125.3.Usa el mtodo de la regla falsa para aproximar la raz de 3 24 ) ( x x x f comenzando en el intervalo[1,2] yhasta que % 1 < a. Solucin:rx =1.310240113.4. Usa el mtodo de la regla falsa para aproximar la raz de4 ln ) (2 + x x x f comenzando en el intervalo [1,2] yhasta que % 1 < a. Solucin: rx =1.841068663.5. Usa el mtodo de Newton-Raphson para aproximar la raz de x x x f arctan 1 ) (2 comenzando con 5 . 00 xy hasta que % 1 < a. Solucin:rx =0.650561444. 6.Usa el mtodo de Newton-Raphson para aproximar la raz dex x x f cos ) ( , comenzando con 10 x y hasta que% 1 < a. Solucin: rx =0.739085133.7. Usa el mtodo de la secante para aproximar la raz de xe x x f2arcsin ) ( comenzando con00 x , 5 . 01 x yhasta que% 1 < a. Solucin:rx =0.419118641.8. Usa el mtodo de la secante para aproximar la raz dex e x fx ) ( comenzando con 00 x ,11 xyhasta que% 1 < a . Solucin:rx = 0.567170358.9. Usael mtododeiteracindel puntofijoparaaproximarlarazde 1 ) ( x x sen x f comenzando con 52 . 00 x y hasta que % 1 < a.Solucin: rx =0.51327251810. Usa elmtodo de iteracin delpunto fijo para aproximar la raz de 4 2 ln ) ( + x x x f comenzando con 5 . 10 x y hasta que % 1 < a. Solucin: rx =1.725168086.11. Usa el mtodo de Newton Rasphson modificado para aproximar la raz de3 10 12 6 ) (2 3 4+ + x x x x x f comenzando con00 xy hasta que% 1 < a.rx =1.Universidad Autnoma de Baja CaliforniaMtodos Numricos Tareaunidad IIIEJERCICIOSNOTA: Usa todos los dgitos en tu calculadora para que la aproximacin sea lo ms exacto posible. 1.- SiA yBson las siguientes matrices obtenga lo que se le pide.111]1

5 0 43 1 26 5 1A111]1

4 0 16 2 11 3 4Ba)B A b)A B c)A B + d)A 9 e) TAf)( )TA Det g)( ) B Det2.- Para los siguientes sistemas de ecuaciones obtenga la regla de Cramer.5 5 284 10 6 449 8 3 73 2 13 2 13 2 1 + + x x xx x xx x x17 4 625 4 53 7 3 436 2 124 3 22 13 2 14 3 + + + +x x xx xx x xx x3.- Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones mediante eliminacin Gaussiana, y con el mtodo de Gauss-Jordan.5 . 35 2 6 223 421 2 325 . 15 2 34 3 2 14 3 24 3 2 14 3 2 1 + + + + + + + +x x x xx x xx x x xx x x x33 2 12 510 12 3103 143 2 13 2 12 1 + + x x xx x xx x4.- Utilice descomposicinLUpara resolver los siguientes sistemas.58 5 3 242 3 2 269 6 477 4 2 5 24 3 2 14 3 2 14 3 24 3 2 1 + + + + + + + +x x x xx x x xx x xx x x x86 12 328 2 639 2 43 2 13 2 13 2 1 + + x x xx x xx x x5.-UselaCrout (Inversapor LU ) paraobtener lainversadelassiguientesmatrices. As mismo obtenga el nmero de condicin de dichas matices.1111]1

2 1 6 24 1 1 02 1 3 11 2 3 1A111]1

9 4 22 8 16 3 10B1]1

7 39 4C6.- Obtenga la descomposicin de Cholesky para las siguientes matrices.1111]1

49 36 16 1236 38 18 1516 18 52 1812 15 18 9A111]1

243 46 1446 10 214 2 4B1]1

89 . 0 16 . 016 . 0 04 . 0CUniversidad Autnoma de Baja CaliforniaMtodos Numricos Tareaunidad IVEJERCICIOSNOTA: Usa todos los dgitos en tu calculadora para que la aproximacin sea lo ms exacto posible. 1.- Resuelva las siguientes integrales definidas obteniendo la mejor exactitud posible2 dxx x sen+ 535 3) 3 4 1 ( dx x x x5 . 122221dx ex2.- Hallar los polinomios interpoladores de segundo y tercer grado con nodos en los puntos 0, 1,1 y 2,1, 1, 2 respectivamente de las funciones: a. x x f ) (, b. 2) ( x x f , c.1 3 2 ) (2+ x x x f , d. ) 1 2 /( 1 ) ( + x x f, e. ) 1 /( 1 ) (2x x f + . Y evalelos para cuando 5 . 0 x3.- Halla el polinomio interpolador de tercer grado de la funcin ) (x sen con los puntos en los Halla , 0 , 4 / , 4 / 3 y el polinomio interpolador de cuarto grado con nodos en los puntos , 4 / 3 , 2 / , 4 / , 0En ambos casos para el punto8 / x. 4.- Obtenga la derivada de las siguientes ecuaciones para10 x) ln(2X e yX X + ) cos( 2) sin( 3) (xxx f+5.- Obtenga la derivada de las siguiente ecuacin para5 xx e yXln2 6.- AjusteunapolinomiodeinterpolacindeLagrangelossiguientespuntospara obtener5 x , as mismo use el mtodo de mnimos cuadrados para el mismo punto.X 1.2 1.8 3.1 4.9 5.7 7.1F(X) 4.5 5.9 7.0 7.8 7.2 6.87.- utiliza la regla trapezoidal, Simpson 31y 83 para resolver las siguientes integrales20) cos(dx x102dx ex02) cos( dx xUniversidad Autnoma de Baja CaliforniaMtodos Numricos Tarea IV1. Dadalasiguienteecuacindiferencial: concondicionesiniciales 5 . 0 ) 2 ( ytomando 5 . 0 hen cada paso del proceso iterativo hasta4 xuse el mtodo de Euler.Solucin: 403160 8.21613948 (2) y2 2' y x y + 2. Dada la ecuacin diferencial: Use el mtodo de Heun para aproximar) 3 . 1 ( ytomando 1 . 0 hen cada paso del proceso iterativo. Con condiciones iniciales5 . 1 ) 1 ( y .Solucin: .697832 1.80788129 ) 3 . 1 ( y) ln( ' y x y + 3.Dada la ecuacin diferencial: 3 2 ' + y x yUsa el mtodo de punto medio para aproximar ) 3 . 2 ( yparaaproximartomando 1 . 0 hencadapasodel procesoiterativo. Concondicionesinicialesde 1 ) 2 ( ySolucin:1.79693050 ) 3 . 2 ( y4. Dada la siguiente ecuacin diferencial, Use el mtodo de Ralston para aproximar ) 3 . 3 ( ytomando1 . 0 hen cada paso del proceso iterativo. Con condiciones iniciales5 . 2 ) 3 ( y Solucin:645258 2.52416053 ) 3 . 3 ( yy xy+21'

5. Dada la siguiente ecuacin diferencial: Use el mtodo de Runge-Kutta tercer orden para aproximar) 3 . 4 ( ytomando 1 . 0 hen cada paso del proceso iterativo. Con condiciones iniciales5 ) 4 ( ySolucin:356027 5.48415211 ) 3 . 4 ( yyx y1) ln( ' + 6.Dada la siguiente ecuacin diferencial, Use el mtodo de Runge-Kutta cuarto orden Simpson 3 1 para aproximar ) 3 . 3 ( ytomando 1 . 0 hen cada paso delproceso iterativo. Con condiciones iniciales de 10 ) 3 ( ySolucin: 9220025 11.5158092 ) 3 . 3 ( yy x y + '7. Dada la siguiente ecuacin diferencialde segundo orden, Use el mtodo de Euler para aproximar) 5 . 0 ( ytomando 1 . 0 hen cada paso del proceso iterativo. Con condiciones iniciales de0 ) 0 ( yy 0 ) 0 ( ' ySolucin:416098 0.12084227 ) 5 . 0 ( y) cos( ' ' ' x e y yx Solucin real) sin( ) cos(212121x e x e yx x+ 8. Dadalasiguienteecuacindiferencial detercer orden, Useel mtododeHeunparaaproximar) 5 . 0 ( ytomando 1 . 0 hen cada paso delproceso iterativo. Con condiciones iniciales de0 ) 0 ( y , 0 ) 0 ( ' y y 1 ) 0 ( ' ' y Solucin:350417 0.11002693 ) 5 . 0 ( yxe y y y y + 2 ' 3 ' ' 3 ' ' ' 2Solucin realx x x xe e e e y + + + 21185291298