Metodos Numericos tema3

5/11/2018 Metodos Numericos tema3 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/metodos-numericos-tema3 1/71

Métodos Numéricos Curso SAI Tema 3. Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales.

Tema 3

3. Solución de Sistemas deEcuaciones Lineales

3.1. Introducción

En la práctica de la ingeniería y ciencias es frecuente tener la necesidad de resolver un sistemade ecuaciones lineales. Estos sistemas aparecen en muy diversos problemas, ya sea como la

solución completa de un problema ó al menos como parte de ella. Dada esta necesidadfrecuente, se requiere resolverlos en forma eficiente. En tu curso de Complementos deMatemáticas, te dieron las herramientas básicas, para resolver estos sistemas, así como algunosmétodos de solución. Podrías pensar que con lo que te dieron en esa UEA, es suficiente. Perono es así. Te dieron las herramientas básicas, algunos métodos, pero no te dijeron todos losdetalles. Por ejemplo, te mencionaron el hecho de que si un sistema tiene det( ) A ≠ 0 ,

entonces tiene solución única y que podrías hallarla con los métodos que te enseñaron. Resultaque existen sistemas donde a pesar de cumplirse lo anterior, no puedes hallar la solución. 1 Eneste capitulo veremos un repaso a lo que viste en Complementos de Matemáticas y también losdetalles que no te mencionaron, así como métodos nuevos de solución de sistemas deecuaciones lineales.

3.2. Conceptos Básicos2

Un sistema de ecuaciones lineales es de la forma

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

n n

n n

n n n nn n

11 1 12 2 13 3 1 1

21 1 22 2 23 3 2 2

1 1 2 2 3 3 1 n

+ + + • • • + =

+ + + • • • + =

•

•

•+ + + • • • + =

1Al menos con las técnicas que te enseñaron.2Si ya dominas los conceptos básicos, te sugerimos pasar directamente a los

métodos de solución. Sección 3.3.

Página 3-1



Métodos Numéricos. Curso SAI. 24/7/a 20:56:24 © Hugo Pablo Leyva

ó en forma mas compacta

AX=B

donde

A: matriz de coeficientes.X: vector solución.

B: vector de términos independientes.

3.2.1. Operaciones elementales

La solución de un sistema de ecuaciones lineales frecuentemente requiere usar las operacioneselementales de una matriz. Estas son:

1. Intercambio de renglones.2. Multiplicar un renglón por una constante ≠ 0 .

3. Sumar un renglón a otro, multiplicando el primero por una constante ≠ 0 .

3.2.2. Determinantes

El determinante de una matriz es una función muy usada en el álgebra de matrices. Para el casode una matriz de 2x2 se define como

det( ) det Aa a

a aa a a a=

= −11 12

21 2211 22 21 12

En el caso de matrices mayores a 2x2 el determinante de 2x2 se denomina cofactor.

El determinante esta relacionado con las operaciones elementales de la siguiente maneras:

1. Si se intercambian 2 renglones cambia de signo el determinante.

2. Si multiplicamos por una constante ≠ 0 un renglón el determinante se divide entre la mismaconstante.

3. Si se suma un renglón a otro, multiplicando el primero por una constante , el determinanteno es afectado.

≠ 0

Para matrices de orden mayor a 2x2, se pueden usar las propiedades anteriores para calcular eldeterminante.

3.2.3. Producto de matrices

3-2




Consideremos 2 matrices A y B. Para calcular el producto de las mismas, si la matriz A es deorden mxk, la matriz B de kxn, entonces se obtiene una matriz C de mxn, el producto dematrices se define como

c aij il lj

l

k

==∑

1

b

bil l

, i=1,...,m. j=1,...,n

Para el caso de una matriz A de mxn por un vector B de tamaño n, se considera que el vector esuna matriz de nx1. Al multiplicarlos se obtiene una matriz C de mx1, es decir, un vector detamaño m. Se tiene

c ai

l

n

==∑

1

, i=1,...,m

3.2.4. Matriz Identidad

La matriz identidad I se define como aquella matriz cuadrada en la cual, la diagonal principal3 esta formada por 1's y el resto por 0's.

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 0 1

• • •

• • •

• • •

•

• • • •

• • •

3.2.5. Matiz Inversa

La matriz inversa A-1 se define como aquella matriz que A A-1 = I. Una matriz es inversible si.det( ) A ≠ 0

3.2.6. Matriz Triangular Superior

3La diagonal principal es aquella en la cual los índices de sus elementos soniguales, es decir el numero de renglón y de columna son idénticos.

Página 3-3




Se dice que una matriz esta en la forma triangular superior si todos los elementos debajo de ladiagonal principal son 0. Los restantes no todos son 0.

a a a a a

a a a a

a a a

a

n

n

nn

11 12 13 14 1

22 23 24 2

33 34 35

0

0 0

0 0 0 0

• • •

• • •

• • •

•

• • • •

• • •

3.2.7. Sistemas lineales con solución única

Son requisitos para que un sistema de ecuaciones lineales tenga solución única:

1. Él numero de ecuaciones debe de ser igual al numero de incógnitas, es decir, de tamaño nxn.

2. El determinante del sistema debe de ser distinto de 0, es decir, .det( ) A ≠ 0

3. La matriz A debe ser inversible.4

3.3. Métodos de Solución

Los métodos de solución de un sistema de ecuaciones lineales se clasifican en:

1. Método Gráfico.

2. Métodos Directos.

3. Métodos Iterativos.

3.4. Método gráfico

El método gráfico consiste en trazar la gráfica de cada ecuación del sistema y hallar el punto decorte, el cual es la solución. La desventaja de este método es que no es muy preciso, y sólo es

aplicable cuando tenemos 2 ó a lo mucho 3 ecuaciones.

3.5. Métodos directos

4Los requisitos 2 y 3 son equivalentes.

3-4




Los métodos directos son aquellos que determinan la solución en un numero determinado de

pasos.

Estos métodos son los más usuales y recomendables, por que nos dan la solución analítica, esdecir, la solución teórica del problema. Salvo raros casos todos estos métodos emplean lasoperaciones elementales de una matriz, para hallar la solución. Usando estas operaciones sesimplifica el sistema a tal grado que la solución sea fácil de determinar. Curiosamente existen

varios métodos en esta categoría. Consideraremos los siguientes:

1. Eliminación de Gauss.

2. Eliminación de Gauss Jordán.

3. Inversión de Matrices.

4. Regla de Cramer.

5. Método de Montante.

Exceptuando él ultimo todos estos métodos son antiguos.5 El de Montante es relativamentenuevo.6 Como veremos mas adelante, este método tiene ventajas sobre los anteriores.

3.6. Eliminación de Gauss7

Este método consiste en expresar el sistema como una matriz aumentada de la forma

a a a a b

a a a a b

a a a a b

n

n

n n n nn n

11 12 13 1 1

21 22 23 2 2

1 2 3 1

• • •

• • •

•

•

•

• • •

La idea del método es llevar el sistema a la forma triangular superior y de allí despejar unavariable a la vez partiendo de la ultima. Él ultimo paso se conoce como sustitución en reversa.Para lograr llevar el sistema a la forma triangular superior, se emplean las operacioneselementales.

3.6.1. Ejemplo del Método de Eliminación de Gauss

5De hecho algunos de aproximadamente hace 2 siglos.6Desarrollado en México en 1986 por Joaquín Pardo y José Francisco Montante.7Las secciones siguientes las puedes omitir, si ya conoces los métodos. Te

sugerimos pasar directamente al Método de Montante. Sección 3.10

Página 3-5




Como ejemplo resolveremos el sistema

10x -x +2x = 6

-x +11x -x +3x = 25

+2x -x +10x -x = -11+3x -x +8x = 15

1 2 3

1 2 3 4

1 2 3 4

2 3 4

La matriz aumentada es

10 -1 2 0 6

-1 1 1 -1 3 25

2 -1 1 0 -1 -11

0 3 -1 8 15

A continuación detallaremos cada uno de los pasos.

Para ir simplificando el sistema avanzaremos por la diagonal principal. Los elementos de ladiagonal principal los denominaremos pivote. El renglón del pivote lo llamaremos renglón

pivote.

Primero localicemos en la primera columna el primer elemento que sea y lo llevaremos al primer renglón

≠ 08. En este caso se tiene

10 -1 2 0 6

-1 1 1 -1 3 25

2 -1 1 0 -1 -11

0 3 -1 8 15

El pivote es 10. Como no es 0, no hacemos nada. En caso de ser necesario habríamosintercambiado 2 renglones de la matriz. Después dividamos el renglón pivote entre el pivote.Obtenemos

1 -0 .1 0 .2 0 0 .6

-1 11 -1 3 2 5

2 -1 1 0 -1 -110 3 -1 8 15

8Este será nuestro renglón pivote.

3-6




A continuación pasaremos a hacer 0 los elementos que están debajo del pivote. Para ellosumaremos múltiplos apropiados del renglón pivote a cada renglón de tal forma que loselementos debajo del pivote sean 0. En este caso tenemos9

1 01 0 2 0 0 6

0 10 9 0 8 3 25 600 08 9 6 1 12 20

0 3 1 8 15

−

−− − −

−

. . .

. . .. . .

Avancemos por la diagonal principal al segundo renglón. Este será ahora el renglón pivote.Busquemos el primer elemento que sea ≠ 0 para que sea el pivote. Tenemos

1 01 0 2 0 0 6

0 10 9 0 8 3 25 600 08 9 6 1 12 20

0 3 1 8 15

−

−− − −

−

. . .

. . .. . .

El pivote vale 10.9. Ahora nuevamente dividamos el renglón pivote entre el pivote

1 01 0 2 0 0 6

0 1 7 3394 2 0 2752 2 349

0 0 8 9 6 1 12 20

0 3 1 8 15

−

− −

− −

−

. . .

. .

. .

E

−

.

.

.

.

Eliminado los elementos debajo del pivote tenemos

1 01 0 2 0 0 6

0 1 7 3394 2 0 2752 2 349

0 0 9 541 0 7798 10 32

0 0 0 7798 7 714 7 954

−

− −

− −

−

. . .

. .

. .

. . .

E

Los pasos anteriores se repiten hasta que la matriz este en la forma triangular superior.

Llevando el elemento ≠ al renglón pivote0

9De aquí en adelante por simplicidad solo se mostraran hasta 5 cifras

significativas en los cálculos.

Página 3-7




1 01 0 2 0 0 6

0 1 7 3394 2 0 2752 2 349

0 0 9 541 0 7798 10 32

0 0 0 7798 7 714 7 954

−

− −

− −

−

. . .

. .

. .

. . .

E .

.

.

.

.

.

.

El pivote es 9.541. Dividiendo entre el elemento pivote

1 01 0 2 0 0 6

0 1 7 3394 2 0 2752 2 349

0 0 1 81731 2 1082

0 0 0 7798 7 714 7 954

−

− −

− − −

−

. . .

. .

. .

. .

E

E

Haciendo 0 elementos abajo del elemento pivote

1 01 0 2 0 0 6

0 1 7 3394 2 0 2752 2 349

0 0 1 81731 2 1082

0 0 0 7111 7111

−

− −

− − −

. . .

. .

. .

. .

E

E


1 01 0 2 0 0 6

0 1 7 3394 2 0 2752 2 349

0 0 1 81731 2 1082

0 0 0 7111 7111

−

− −

− − −

. . .

. .

. .

. .

E

E


1 01 0 2 0 0 6

0 1 7 3394 2 0 2752 2 349

0 0 1 81731 2 1082

0 0 0 1 1

−

− −

− − −

. . .

. .

. .

E

E

3-8





1 01 0 2 0 0 6

0 1 7 3394 2 0 2752 2 349

0 0 1 81731 2 10820 0 0 1 1

−

− −

− − −

. . .

. .

. .

E

E

.

Ya tenemos la matriz en la forma triangular superior. A continuación usamos la sustitución enreversa. Del ultimo renglón x4=1. Sustituyendo en la ecuación de arriba

x E x3 48173 2 1082− − = −. .

x3=-1. Sustituyendo en la ecuación de arriba

x E x x2 3 47 3394 2 0 2752 2 349− − + =. . .

x2=2. Finalmente sustituyendo en la primera ecuación

x x x1 2 301 0 2 0 6− + =. . .

x1=1.

La solución es

x1=1, x2=2, x3=-1, x4=1.

3.7. Eliminación de Gauss Jordán

Jordán propuso una modificación al procedimiento anterior. En vez de llevar el sistema a laforma triangular superior y de allí usar la sustitución en reversa, él pensó que seria más fácilcontinuar el procedimiento de eliminación de elementos, es decir, él propuso eliminar los

elementos tanto arriba como abajo del pivote hasta llegar a la matriz identidad. De esta manerala solución del sistema se puede leer directamente de la ultima columna de la matriz aumentada.

3.7.1. Ejemplo del método de Eliminación de Gauss-Jordan

Resolveremos el sistema del ejemplo anterior. La matriz aumentada es

Página 3-9




10 -1 2 0 6

-1 1 1 -1 3 25

2 -1 1 0 -1 -11

0 3 -1 8 15

Buscando el primer pivote que no sea 0 y llevándolo al renglón pivote

10 -1 2 0 6

-1 1 1 -1 3 25

2 -1 1 0 -1 -11

0 3 -1 8 15

El pivote es 10. Dividiendo entre el pivote el renglón pivote

1 -0 .1 0 .2 0 0 .6

-1 11 -1 3 2 5

2 -1 1 0 -1 -11

0 3 -1 8 15

Eliminando los elemento arriba y abajo del renglón pivote

1 01 0 2 0 0 6

0 10 9 0 8 3 25 600 08 9 6 1 12 20

0 3 1 8 15

−

−− − −

−

. . .

. . .. . .

Avancemos por la diagonal principal al segundo renglón. Buscando el primer elemento no 0 yllevándolo a la diagonal principal tenemos

1 01 0 2 0 0 6

0 10 9 0 8 3 25 60

0 08 9 6 1 12 20

0 3 1 8 15

−

−

− − −

−

. . .

. . .

. . .

El pivote es 10.9. Dividiendo entre el pivote

3-10




1 01 0 2 0 0 6

0 1 7 3394 2 0 2752 2 349

0 0 8 9 6 1 12 20

0 3 1 8 15

−

− −

− −

−

. . .

. .

. .

E

−

.

.

.

.

.

Eliminando los elemento arriba y abajo del pivote

1 0 01927 2 7523 2 08349

0 1 7 3394 2 0 2752 2 349

0 0 9 541 0 7798 10 32

0 0 0 7798 7 714 7 954

. . .

. .

. .

. .

E

E

−

− −

− −

−

Pasemos al tercer renglón. Llevando el elemento ≠ 0 al renglón pivote

1 0 01927 2 7523 2 08349

0 1 7 3394 2 0 2752 2 349

0 0 9 541 0 7798 10 32

0 0 0 7798 7 714 7 954

. . .

. .

. .

. .

E

E

−

− −

− −

−

.

.

.

.

.


1 0 01927 2 7523 2 08349

0 1 7 3394 2 0 2752 2 349

0 0 1 81731 2 1082

0 0 0 7798 7 714 7 954

. . .

. .

. .

. .

E

E

E

−

− −

− − −

−

Haciendo 0 elementos arriba y abajo del elemento pivote

1 0 0 4 3269 2 10430 1 0 0 2692 2 269

0 0 1 81731 2 1082

0 0 0 7 111 7 111

. .. .

. .

. .

E

E

−

− − −

Pasemos al cuarto renglón. Llevando el elemento ≠ 0 al renglón pivote

Página 3-11




1 0 0 4 3269 2 1043

0 1 0 0 2692 2 269

0 0 1 81731 2 1082

0 0 0 7 111 7 111

. .

. .

. .

. .

E

E

−

− − −


1 0 0 4 3269 2 1043

0 1 0 0 2692 2 269

0 0 1 81731 2 1082

0 0 0 1 1

. .

. .

. .

E

E

−

− − −


1 0 0 0 1

0 1 0 0 2

0 0 1 0 1

0 0 0 1 1

−

Por simple inspección la solución es:

x1=1, x2=2, x3=-1, x4=1.

3.8. Inversión de matrices

Este método es más teórico. Consiste en expresar el sistema como una ecuación matricial de laforma AX=B y despejar el vector X. Dado que no esta definida la división de matrices se usa lamatriz inversa A-1. Multiplicando por la matiz inversa ambos lados se tiene A-1 AX=A-1 B dedonde IX=A-1 B y finalmente X=A-1 B. El problema se reduce a hallar la matriz inversa paramultiplicarla por el vector B y así hallar X.

Para hallar la matriz inversa se puede utilizar el siguiente procedimiento.

1. Se coloca la matriz A junto a una matriz identidad I del mismo tamaño, es decir, |A|I|.

2. Se aplica la eliminación de Gauss Jordán a la matriz A, las operaciones que se le hagan a lamatriz A, también se le aplican a I .

3. La matriz A se convierte en I. Se puede demostrar que matriz I se convierte en A-1 .

3-12




Una vez hallada A-1 se procede a multiplicarla por B.

3.8.1. Ejemplo del Método de Inversión de Matrices

Nuevamente resolveremos el sistema de los ejemplos anteriores. Primero procedamos a hallar la matriz inversa. La matriz inicial junto a la matriz identidad es

10 1 2 0 1 0 0 0

1 11 1 3 0 1 0 0

2 1 10 1 0 0 1 0

0 3 1 8 0 0 0 1

−

− −

− −

−

Comenzamos en el primer renglón, primera columna. Buscamos el elemento que no sea 0. Eneste caso obtenemos

10 1 2 0 1 0 0 0

1 11 1 3 0 1 0 0

2 1 10 1 0 0 1 0

0 3 1 8 0 0 0 1

−

− −

− −

−

El pivote es 10. Dividiendo entre el pivote el renglón pivote

1 0 1 0 2 0 0 1 0 0

1 11 1 3 0 1 0 0

2 1 10 1 0 0 1

0 3 1 8 0 0 0 1

−

− −

− −

−

0

0

. . .

Haciendo 0 elementos arriba y abajo del pivote

1 0 1 0 2 0 01 0 00 10 90 0 8 3 01 1 0 0

0 0 8 9 6 1 0 2 0 1

0 3 1 8 0 0 0

−−

− − −

−

0

0

1

. . .. . .

. . .

Pasamos al segundo renglón, segunda columna. Llevando el elemento al renglón pivotetenemos

≠ 0

Página 3-13




1 0 1 0 2 0 01 0 0

0 10 90 0 8 3 01 1 0 0

0 0 8 9 6 1 0 2 0 1

0 3 1 8 0 0 0

−

−

− − −

−

0

0

1

. . .

. . .

. . .


1 0 1 0 2 0 0 1 0 0 0

0 1 7 3394 2 0 2752 9 1743 3 9 1743 2 0 0

0 0 8 9 6 1 0 2 0 1 0

0 3 1 8 0 0 0

−

− − − −

− − −

−

. . .

. . . .

. . .

E E E

1

E


1 0 01927 27523 2 01009 91743 3 0 0

0 1 73394 2 02752 91743 3 91743 2 0 0

0 0 9541 07798 01927 73394 2 1 0

0 0 07798 7174 27523 2 02752 0 1

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

E E

E E

E

E

− −

− − − −

− − −

− − − −

Pasamos al tercer renglón, tercera columna. Llevando el elemento ≠ 0 al renglón pivote

1 0 01927 27523 2 01009 91743 3 0 0

0 1 73394 2 02752 91743 3 91743 2 0 0

0 0 9541 07798 01927 73394 2 1 0

0 0 07798 7174 27523 2 02752 0 1

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

E E

E E

E

E

− −

− − − −

− − −

− − − −

E


1 0 01927 2.7523 2 01009 9.1743 3 0 0

0 1 7.3394 2 02752 9.1743 3 9.1743 2 0 0

0 0 1 8173 2 2.0192 2 7.6923 2 01048 0

0 0 07798 7.174 2.7523 2 02752 0 1

. .

.

. .

. .

E E

E E E

E E E

E

− −

− − − −

− − − − −

− − − −


3-14




1 0 0 4.3269 2 01048 7.6923 3 2.0192 2 0

0 1 0 0 2692 7.6923 3 9.2308 2 7.6923 3 0

0 0 1 8173 2 2.0192 2 7.6923 2 01048 0

0 0 0 7.111 4.3269 2 0 2692 81731 2 1

E E

E E E

E E E

E E

− − −

− − −

− − − − −

− − − −

.

.

. .

. .

E −

Pasemos al ultimo renglón, cuarta columna. Llevando el elemento ≠ 0 al renglón pivote

1 0 0 4.3269 2 01048 7.6923 3 2.0192 2 0

0 1 0 0 2692 7.6923 3 9.2308 2 7.6923 3 0

0 0 1 8173 2 2.0192 2 7.6923 2 01048 0

0 0 0 7.111 4.3269 2 0 2692 81731 2 1

E E

E E E

E E E

E E

− − −

− − −

− − − − −

− − − −

.

.

. .

. .

E −

−


1 0 0 4.3269 2 01048 7.6923 3 2.0192 2 0

0 1 0 02692 7.6923 3 9.2308 2 7.6923 3 0

0 0 1 8173 2 2.0192 2 7.6923 2 01048 0

0 0 0 1 60852 3 37863 2 11494 2 01406

E E E

E E E

E E E

E E E

− − −

− − −

− − − − −

− − − − −

.

.

. .

. . . .

E

E − −


1 0 0 0 01051 9.3306 3 2.0690 2 60852 3

0 1 0 0 9.3306 3 01025 4.5977 3 37863 2

0 0 1 0 2.0690 2 4.5977 3 01057 11494 2

0 0 0 1 60852 3 37863 2 11494 2 01406

. .

. .

. .

. . . .

E E

E E

E E E

E E E

− − − − −

− −

− − − −

− − − − −

La matriz inversa es

A

E E

E E

E E E

E E E

− =

− − − − −

− −− − − −

− − − − −

1

01051 93306 3 2069 2 60852 3

93306 3 01025 45977 3 37863 22069 2 45977 3 01057 11494 2

60852 3 37863 2 11494 2 01406

. . . .

. . . .. . . .

. . . .

E

E − −

Multiplicando la inversa por el vector B, la solución es

Página 3-15




X =−

1

2

1

1

3.9. Regla de Cramer 10

A diferencia de los métodos anteriores en los que se determina todas las x's a la vez, la Regla deCramer las calcula una por una. La expresión general del método es

x ii

A

Ai= =

det( )

det( ) , ,...,1 n

dondexi : Componente i del vector X.

A: matriz de coeficientes

Ai : matriz obtenida al sustituir la columna i por el vector B.

Para calcular los determinantes necesarios se puede usar las propiedades del determinante, junto con el método de eliminación de Gauss o Gauss Jordán.11

1. Una variable llamada DET se inicializa a 1.

2. Cada vez que se intercambien renglones en los métodos de Gauss o Gauss-Jordan, esta variable

DET se cambia de signo.3. Cuando se divida el renglón pivote entre el pivote, la variable DET se multiplica por el pivote.

4. Al eliminar elementos a la variable DET no la modificamos.

3.9.1. Ejemplo de la Regla de Cramer

Como ejemplo resolvamos otra vez el sistema que hemos estado manejando.

Los determinantes a calcular son

10También conocido como método determinantes, por los estudiantes deSecundaria y Prepa.

11Ó mejor aun por el método de Montante, como lo veremos mas adelante.

3-16




det( ) A =

−

− −

− −

−

10 1 2 0

1 11 1 3

2 1 10

0 3 1 8

1

det( ) A1

6 1 2

25 11 1 3

11 1 10 1

15 3 1 8

=

−

−

− − −

−

0

det( ) A2

10 6 2 0

1 25 1 3

2 11 100 15 1 8

=− −

− −−

1

det( ) A3

10 1 6 0

1 11 25 3

2 1 11

0 3 15 8

=

−

−

− − −1

det( ) A4

10 1 2 61 11 1 25

2 1 10 1

0 3 1 15

=

−

− −

− −

−

1

Como ejemplo calcularemos det(A) por el método de Gauss-Jordan. La matriz inicial es

10 -1 2 0

-1 11 -1 3

2 -1 10 -10 3 -1 8

DET vale 1. Buscando el primer pivote que no sea 0 y llevándolo al renglón pivote

Página 3-17




10 -1 2 0

-1 11 -1 3

2 -1 10 -1

0 3 -1 8

Como no intercambiamos renglones DET vale 1. El pivote es 10. Dividiendo entre el pivote elrenglón pivote

1 -0 .1 0 .2 0

-1 11 -1 3

2 -1 1 0 -1

0 3 -1 8

DET se multiplica por 10, por lo cual vale 10. Eliminando los elemento arriba y abajo del

renglón pivote

1 01 0 2 0

0 10 9 08 3

0 08 9 6 1

0 3 1 8

−

−

− −

−

. .

. .

. .

DET no se altera. Avancemos por la diagonal principal al segundo renglón. Buscando el primer elemento no 0 y llevándolo a la diagonal principal tenemos

1 01 0 2 0

0 10 9 08 3

0 08 9 6 1

0 3 1 8

−

−

− −

−

. .

. .

. .

No se modifica DET. El pivote es 10.90. Dividiendo entre el pivote

1 01 0 2 0

0 1 7 3394 2 0 2752

0 08 9 6 1

0 3 1 8

−

− −

− −

−

. .

. .

. .

E

DET se multiplica por 10.90 y vale 109. Eliminando los elemento arriba y abajo del pivote

3-18




1 0 01927 2 7523 2

0 1 7 3394 2 0 2752

0 0 9 541 0 7798

0 0 0 7798 7 714

. .

. .

. .

. .

E

E

−

− −

−

−

No se modifica DET. Pasemos al tercer renglón. Llevando el elemento al renglón pivote≠ 0

1 0 01927 2 7523 2

0 1 7 3394 2 0 2752

0 0 9 541 0 7798

0 0 0 7798 7 714

. .

. .

. .

. .

E

E

−

− −

−

−

No se modifica DET. El pivote es 9.541. Dividiendo entre el elemento pivote

1 0 01927 2 7523 2

0 1 7 3394 2 0 2752

0 0 1 81731 2

0 0 0 7798 7 714

. .

. .

.

. .

E

E

E

−

− −

− −

−

DET se multiplica por 9.541, se obtiene 1039.9218. Haciendo 0 elementos arriba y abajo delelemento pivote

1 0 0 4 3269 2

0 1 0 0 2692

0 0 1 81731 2

0 0 0 7111

.

.

.

.

E

E

−

− −

DET no se altera. Pasemos al cuarto renglón. Llevando el elemento ≠ 0 al renglón pivote

1 0 0 4 3269 2

0 1 0 0 2692

0 0 1 81731 2

0 0 0 7111

.

.

.

.

E

E

−

− −

Página 3-19




DET no cambia. El pivote es 7.111. Dividiendo entre el elemento pivote

1 0 0 4 3269 2

0 1 0 0 26920 0 1 81731 2

0 0 0 1

.

..

E

E

−

− −

Multiplicando DET por 7.1111 se obtiene 7395. Haciendo 0 elementos arriba y abajo delelemento pivote

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

El determinante es 7395. Los demás determinantes se calculan de manera análoga. La soluciónes

x

x

x

x

A

A

A

A

A

A

A

A

173957395

27395

7395

3147907395

473957395

1

2

3

4

1

1

2

1

= = =

= = =

= = =

= = =

−

det( )

det( )

det( )

det( )

det( )

det( )

det( )

det( )

−

3.10. Método de Montante

Este método es reciente. Curiosamente este método no emplea las operaciones elementales deuna matriz, para reducir el sistema a uno más simple. Lo explicaremos mejor con el ejemplo.

3.10.1. Ejemplo del Método de Montante

Como en los casos anteriores tenemos la matriz aumentada

3-20




10 -1 2 0 6

-1 11 -1 3 25

2 -1 10 -1 -1 1

0 3 -1 8 15

Usamos una variable denominada PIVOTEANT, la cual se inicializa a 1. Al igual que en losmétodos anteriores iremos avanzando por la diagonal principal. Cada elemento de la diagonal

principal que consideremos, como en los métodos anteriores será nuestro pivote. En cadaiteración, no tocaremos ni el renglón ni la columna que correspondan con la diagonal principal.En la primera iteración no tocaremos ni el primer renglón, ni la primera columna. Cadaelemento restante lo modificaremos de la siguiente manera. Consideraremos que cada elementoes una esquina de un rectángulo, la otra es el pivote. Localicemos los otros 2 elemento tales quesean esquinas del rectángulo mencionado. Este rectángulo es una matriz de 2x2. El elemento amodificar se cambia por el cofactor de la matriz del rectángulo dividido entre PIVOTEANT. Elcofactor se calcula multiplicando el pivote por el elemento a modificar menos el producto delas otras 2 esquinas del rectángulo..12 Por ejemplo para el primer elemento a modificar elrectángulo es

el cofactor dividido entre PIVOTEANT a calcular es

det10 1

1 11 109

−

−

= PIBOTEANT

Modificando

10 -1 2 0 6

-1 1 09 -1 3 2 5

2 -1 10 -1 -1 1

0 3 -1 8 15

Para el segundo elemento a modificar el rectángulo es

12 Este cofactor lo puedes calcular así: all*aij-ail*alj. Donde all es el pivote. aij es elelemento a modificar. ail alj son las esquinas del rectángulo.

Página 3-21





det10 2

1 18

− −

= − PIVOTEANT

Modificando

10 -1 2 0 6

-1 1 09 -8 3 25

2 -1 10 -1 -1 10 3 -1 8 15

Para el tercer elemento a modificar tenemos


det10 0

1 330

−

= PIVOTEANT

Modificando

10 -1 2 0 6

-1 10 9 -8 3 0 2 5

2 -1 10 -1 -11

0 3 -1 8 1 5

Para el cuarto elemento

3-22





det10 6

1 25256

−

= PIVOTEANT

Modificando

1 0 -1 2 0 6

-1 10 9 -8 3 0 256

2 -1 10 -1 -110 3 -1 8 1 5

Para el siguiente elemento tenemos


812

110det

−=

−

−

PIVOTEANT

Modificando

1581-30

11-1-108-2

256308-1091-

6021-10


Página 3-23





96102

210det

=

PIVOTEANT

Modificando

1581-30

11-1-968-2

256308-1091-

6021-10



1012

010det

−=

−

PIVOTEANT

Modificando

1581-30

11-10-968-2

256308-1091-

6021-10


3-24





122112

610det

−=

−

PIVOTEANT

Modificando

1581-30

122-10-968-2

256308-1091-

6021-10



3030

110det

=

−

PIVOTEANT

Modificando

1581-300

122-10-968-2

256308-1091-

6021-10


Página 3-25





1010

210det

−=

−

PIVOTEANT

Modificando

15810-300

122-10-968-2

256308-1091-

6021-10



8080

010det

=

PIVOTEANT

Modificando

158010-300

122-10-968-2

256308-1091-

6021-10


3-26





150150

610det

=

PIVOTEANT

Modificando la matriz completa modificada es

10 1 2 0 6

1 109 8 30 256

2 8 96 10 1220 30 10 80 150

−

− −

− − −

−

Análogamente a los otros métodos vamos a hacer cero los elementos arriba y abajo del renglón pivote. En vez de sumar múltiplos del renglón pivote simplemente ponemos ceros arriba yabajo del renglón pivote.13

10 1 2 0 6

0 109 8 30 256

0 8 96 10 1220 30 10 80 150

−

−

− − −−

Pasemos a la segunda etapa. Ahora PIVOTEANT tomar el valor del pivote anterior, es decir,10. Permanecerán sin modificar el segundo renglón y segunda columna. Modifiquemos losdemás elementos de la matriz usando los cofactores. Para el primer elemento a modificar tenemos

el cofactor entre PIVOTEANT es

13¿ Desconcertante ? Así me lo pareció la primera vez que lo vi.

Página 3-27




10 1

0 10910 10 109 0 1 10 1090 10 109

−= − − = =/ [ ( )] / / x x

Para el siguiente elemento tenemos14

2110/21010/)]8()1(2109[10/8109

21==−−−=

−

− x x

siguiente elemento

310/3010/]30)1(0109[10/30109

01==−−=

− x x

Terminando el primer renglón

9110/91010/]256)1(6109[10/256109

61==−−=

− x x

14 Nota el cambio de signo en el cofactor.

3-28




para el siguiente elemento

010/010/)]8()0(0109[10/80

1090==−−=

− x x


104010/1040010/)]8()8(96109[10/968

8109==−−−=

−

− x x


8510/85010/)]30()8()10(109[10/108

30109−=−=−−−=

−− x x


112510/1125010/)]256()8()122(109[10/1228

256109−=−=−−−=

−− x x


Página 3-29




010/010/)]0()30()0(109[10/300

1090==−= x x


8510/85010/)]8()30()10(109[10/1030

8109−=−=−−−=

−

− x x


78210/782010/)]30()30()80(109[10/8030

30109==−= x x


86710/867010/)]30()30()80(109[10/15030

256109==−= x x

3-30




La matriz completa es

−−−−

−

−

86778285300112585104080

2563081090

913211109


109 0 21 3 91

0 109 8 30 256

0 0 1040 85 11250 0 85 782 867

−

− −−

Pasemos al tercer elemento de la diagonal principal. PIVOTEANT vale 109. Para el primer elemento a modificar

1040109/)]21()0()109(1040[109/10400

21109=−= x x

Para el siguiente elemento a modificar

0109/)]21()0()0(1040[109/10400

210=−= x x

Página 3-31





45109/)]85()21()3(1040[109/851040

321=−−=

− x x


1085109/)]1125()21()91(1040[109/11251040

9121=−−=

− x x


0109/)]8()0()0(1040[109/10400

80=−−=

− x x


3-32




1040109/)]8()0()109(1040[109/10400

8109=−−=

− x x


280109/)]85()8()30(1040[109/851040

308=−−−=

−

− x x


2360109/)]1125()8()256(1040[109/

11251040

2568=−−−=

−

− x x


0109/)]85()0()0(1040[109/850

10400=−−=

− x x


Página 3-33




0109/)]85()0()0(1040[109/850

10400=−−=

− x x


7395109/)]85()85()782(1040[109/78285

851040=−−−=

−

− x x


7395109/)]1125()85()867(1040[109/86785

11251040=−−−=

−

− x x


1040 0 21 45 1085

0 1040 8 280 2360

0 0 1040 85 1125

0 0 85 7395 7395

−

− −

−

3-34





1040 0 0 45 1085

0 1040 0 280 2360

0 0 1040 85 11250 0 0 7395 7395

− −

Pasemos al cuarto elemento de la diagonal principal. PIVOTEANT vale 1040. Como se puedeapreciar de las iteraciones previas los elementos con 0's seguirán siendo 0's y solo los de ladiagonal principal serán distintos a 0. Además por la presencia de los 0's en las esquinas de losrectángulos dichos elementos serán igual al pivote. Por ultimo como no se tocara la cuartacolumna solo resta calcular los elementos de la ultima columna. Estos serán

73951040/)]7395()45()1085(7395[1040/73957395

108545

=−= x x

147901040/)]7395()280()2360(7395[1040/73957395

2360280=−= x x

73951040/)]7395()85()1125(7395[1040/73957395

112585−=−−−=

−− x x


7395 0 0 45 7395

0 7395 0 280 147900 0 7395 85 7395

0 0 0 7395 7395

− −


7395 0 0 0 7395

0 7395 0 0 14790

0 0 7395 0 73950 0 0 7395 7395

−

Se puede demostrar que la diagonal principal converge al determinante de la matriz. Por lo cual. Para hallar la solución dividimos la matriz entre el determinante. La matriz

final es

det( ) A = 7395

Página 3-35




1 0 0 0 1

0 1 0 0 2

0 0 1 0 1

0 0 0 1 1

−

Por simple inspección la solución es:

x1=1

x2=2

x3=-1

x4=1

Con este método además de obtener el determinante es posible invertir una matriz. Se puededemostrar que si ponemos la matriz A junto a una matriz identidad I, es decir, |A|I|, y se leaplica el método de Montante a la matriz A repitiendo las operaciones en la matriz I, la matrizA se vuelve I y la matriz I se transforma en A-1 .

3.10.2. Inversión de una matriz con el Método de Montante

Como ejemplo invirtamos la matriz A.

Matriz inicial

10 1 2 0 1 0 0 01 11 1 3 0 1 0 0

2 1 10 1 0 0 1 0

0 3 1 8 0 0 0 1

−

− −

− −

−

Haciendo cofactores

10 1 2 0 1 0 0 0

1 109 8 30 1 10 0 02 8 96 10 2 0 10 0

0 30 10 80 0 0 0 10

−

− −− − −

−


3-36




10 1 2 0 1 0 0 0

0 109 8 30 1 10 0 0

0 8 96 10 2 0 10 0

0 30 10 80 0 0 0 10

−

−

− − −

−

Haciendo cofactores

109 1 21 3 11 1 0 0

0 109 8 30 1 10 0 0

0 8 1040 85 21 8 109 0

0 30 85 782 3 30 0 109

−

−

− − −

− − −


109 0 21 3 11 1 0 0

0 109 8 30 1 10 0 0

0 0 1040 85 21 8 109 0

0 0 85 782 3 30 0 109

−

− −

− − −

Haciendo cofactores

1040 0 21 45 109 8 21 0

0 1040 8 280 8 96 8 0

0 0 1040 85 21 8 109 0

0 0 85 7395 45 280 85 1040

−

−

− −

− − −


1040 0 0 45 109 8 21 00 1040 0 280 8 96 8 0

0 0 1040 85 21 8 109 0

0 0 0 7395 45 280 85 1040

−

− −

− −

Haciendo cofactores

Página 3-37




7395 0 0 45 777 69 153 45

0 7395 0 280 69 758 34 280

0 0 7395 85 153 34 782 85

0 0 0 7395 45 280 85 1040

− −

−

− −

− −


7395 0 0 0 777 69 153 45

0 7395 0 0 69 758 34 280

0 0 7395 0 153 34 782 85

0 0 0 7395 45 280 85 1040

− −

−

−

− −

El determinante es 7395. Dividiendo la matriz entre 7395

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

7777395

697395

1537395

457395

697395

7587395

347395

2807395

1537395

347395

7827395

857395

457395

2807395

857395

10407395

− −

−

−

− −

Redondeando a 5 cifras significativas la matriz inversa es

A

E E

E E

E E E

E E E

− =

− − − − −

− −

− − − −

− − − − −

1

01051 93306 3 2 069 2 60852 3

9 3306 3 01025 45977 3 37863 2

2 069 2 45977 3 01057 11494 2

60852 3 37863 2 11494 2 01406

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

E

E − −

La cual coincide con la obtenida por el método de Gauss-Jordan.

3.11. Selección de un método directo

Si todos los métodos anteriores nos llevan a la solución correcta del problema, la preguntaobvia es ¿ cuál es mejor ? Para contestar esto debemos de considerar, que si bien, todos estosmétodos nos dan la solución, cada uno requiere un numero distinto de operaciones. En pocas

palabras, el mejor método será el que realice menos operaciones, ya que será más rápido.

3-38




Puede demostrarse que el método de Gauss requiere aproximadamente 50 % menosoperaciones que el de Gauss Jordán, por eso este método es superior a Gauss Jordán.

El método de Inversión de Matrices además de tener que invertir la matriz con el método deGauss Jordán, realiza un producto matricial, por lo ocupa más tiempo. Entonces Gauss Jordánes mejor que Inversión de Matrices.

La regla de Cramer implica calcular n+1 determinantes. Calcular cada determinante, requieretanto tiempo como resolver el sistema por otro método, por esto es el más tardado de todos.15

El método de Montante, puede demostrarse que tiene ventajas sobre el método de Gauss, dehecho el error de redondeo es menor, por esto, Montante es mejor que Gauss. Además, estemétodo da el determinante directamente y puede calcular la matriz inversa. También, se puededemostrar que como se vio en el ejemplo, si los coeficientes son enteros, todos los cálculos soncon enteros, por lo cual el redondeo es menor.16

Con estos argumentos, podríamos pensar en solo usar Montante ó Gauss, pero existen casosdonde son más convenientes los otros métodos.

En algunas aplicaciones además de resolver el sistema se requiere la matriz inversa. Podríamosresolver por Inversión de Matrices, pero ya comentamos que es más tardado. En vez de eso

podríamos usar Gauss Jordán. Si colocamos las matrices de la siguiente manera |A|B|I|, y

aplicamos el método de Gauss Jordán, obtenemos |I|X|A|.17 Simultáneamente calculamos lainversa y la solución.18 El método de Gauss no puede calcular la matriz inversa.

Principalmente en el área de simulación, se requiere resolver un sistema lineal varias veces,modificando tan solo los términos independientes. En estos casos, es mejor que los métodosanteriores invertir la matriz A y aplicar inversión de matrices en cada sistema. Por ejemplo, entu curso de Energías Mecánica y Eléctrica la ultima unidad es sobre circuitos eléctricos. Lasecuaciones que representan un circuito eléctrico forman un sistema lineal de la forma Ri=E,donde R es la matriz de resistencias, i es el vector de corrientes y E es el vector de voltajes. Sianalizas el comportamiento del circuito, es más sencillo variar los voltajes, que lasresistencias.19 Si inviertes la matriz de resistencias, en cada simulación, solo multiplicas lamatriz invertida por cada vector de voltajes para hallar la solución.

En algunos casos se requiere despejar una sola variable ó algunas variables. En estos casos es

mejor la regla de Cramer, pero por lo regular, esta regla sólo es útil para sistemas de 2 ó hasta 3ecuaciones. Para sistemas más grandes los demás métodos son mejores.

3.12. Métodos iterativos

Si bien los métodos directos dan la solución teórica, no siempre se pueden aplicar. Para ver larazón consideremos las fuentes de error. El error inherente, de momento lo podemos despreciar.El error de truncamiento es 0.20 El error de redondeo esencialmente depende del numero de

15Casual y misteriosamente este el método que mejor recuerdas de la Secundariaó Prepa.

16De hecho los quebrados solo aparecen en la ultima etapa.17¿ Por qué ?18Sería mejor usar el método de Montante, ya que puede hacer lo mismo, con

menos redondeo.19¿ Por qué ?20¿ Por qué ?

Página 3-39




cálculos. Mientras mayor sea él numero de ecuaciones, se requieren más operaciones y por lotanto existiría más error de redondeo. En pocas palabras, si él numero de ecuaciones es grandeel error de redondeo puede crecer tanto, que puede invalidar la solución.21 En la practica no esraro usar cientos ó a un miles de ecuaciones. Por esta razón, se crearon los métodos iterativos.Estos son esencialmente inmunes al redondeo.

Los métodos iterativos son aquellos que obtienen la solución aproximándose a ella en un

numero finito, pero no definido de pasos. Estos métodos son propiamente métodos numéricos, los cuales como ya vimos obtienen lasolución mediante una sucesión que se aproxima a la solución del problema. En este caso losmétodos iterativos obtienen una sucesión de vectores que se aproxima a la solución del sistema.Como ya mencionamos anteriormente en las unidades pasadas, los métodos numéricosrequieren de un criterio de convergencia para determinar cuando parar. El criterio deconvergencia basado en el error relativo, como ya se comentó es muy útil. El problema que setiene, para implementar en este caso, es él tener que realizar una división de vectores, la cual noesta definida. Por esa razón el criterio de convergencia que se utiliza es

cck = ||X -X ||

||X ||

k k -1

k

donde

|| || es una norma vectorial.

k: índice de la iteración, no la confundas con una potencia, solo es él numero de iteración.

Xk : Vector de la iteración k

Xk-1 : Vector de la iteración k-1

La norma vectorial, puede definirse de varias formas, solo se requiere que cumpla:

1. ||X||≥0

2. ||X||=0 si y solo si X=0

3. ||cX||=|c| ||X||, c es un escalar.

La más usual es la que ya conoces de tus cursos de Física o de Complementos de Matemáticas

||X||2 ==∑ xii

n 2

1

Esta se denomina norma euclidiana. Pero existen otras normas que cumplen las propiedadesanteriores. Una de ellas es la norma absoluta

21Como regla de dedo los métodos directos solo deben de aplicarse si se tienenhasta 50 ecuaciones.

3-40




||X|| |1 ==∑ xii

n

1|

y otra la norma natural

||X|| |1 i n

max∞≤ ≤

|= xi

La pregunta a hacer es ¿ cuál es mas conveniente ? Todas son útiles para calcular el criterio deconvergencia, pero, no todas son fáciles de calcular. La más pesada de calcular es casual ymisteriosamente la euclidiana, la que tu ya conocías. La absoluta es más fácil de calcular, yaque solo hay que sumar las componentes en valor absoluto. La natural es todavía más fácil, solohay que hallar la componente más grande en valor absoluto y su valor será la norma. En pocas

palabras, la norma a usar depende de como vayas a realizar los cálculos. Si los haces a mano óa lo mucho con una calculadora,22 mejor usa la natural. Si usas una computadora usa la quequieras.23 Utilizaremos la natural por simplicidad. Por lo tanto el criterio de convergencia será

cck = ∞

∞

||X -X ||

||X ||

k k -1

k

y por seguridad además

k iter > max

Para ver de donde salen los métodos iterativos deduciremos su forma general. Consideremos el

sistema lineal en su forma estándar

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

n n

n n

n n n nn n

11 1 12 2 13 3 1 1

21 1 22 2 23 3 2 2

1 1 2 2 3 3 1 n

+ + + • • • + =

+ + + • • • + =

•

•

•

+ + + • • • + =

Primero despejaremos una variable de cada ecuación, obtenemos

22Ó con un ábaco.23Total, la que va a trabajar es la computadora.

Página 3-41




x

x

x

b a x a x a x a x

a

b a x a x a x a x

a

n

b a x a x a x a x

a

n n

n n

n n n n nn n

nn

1

2

1 12 2 13 3 14 4 1

11

2 21 1 23 3 24 4 2

22

1 1 2 2 3 3 1 1

1

=

=

•

•

•

=

− − − −•••−

− − − −•••−

− − − −•••− − −

ó en forma mas compacta

x

i n

i

b a

a

i i j j i

n

ii=

∑

= • • •

−= ≠1

1

,

, ,

x j j

A partir de estas ecuaciones se deducen los métodos iterativos. Consideraremos 2

1. Método de Gauss Jacobi.

2. Método de Gauss Seidel.

3.13. Método de Gauss Jacobi

Este método parte directamente de las ecuaciones anteriores. En este método comenzamos conun vector inicial X0. Con este vector calculamos otro vector X1 , verificamos el criterio deconvergencia. Si se cumple bien, sino realizamos otra iteración con el vector X1, obtenemos unvector X2, nuevamente verificamos la convergencia, si se cumple bien, sino repetiremos el

procedimiento hasta lograr la convergencia ó concluir que no la hay. Las ecuaciones generalesdel método son:

Maxiter k

ni

xii

n

i j j j

k iji

a

xab

ik

,,0

,,1

,11

•••=

•••=

∑= ≠=

−+

3.13.1. Ejemplo del método de Gauss Jacobi

Resolvamos nuestro sistema de ejemplo. Los criterios de convergencia a emplear son

3-42




cc xk = ≤∞

∞

−||X -X ||

|| X ||

k k -1

k 5 10 9

k > 100

Despejemos una variable de cada ecuación

83151

4

102111

3

113251

2

10261

1

32

421

431

32

k k

k k k

k k k

k k

x xk

x x xk

x x xk

x xk

x

x

x

x

+−+

++−−+

−+++

−++

=

=

=

=

Para la aproximación inicial, comúnmente se toma ó xi

0 0=ii

i

a

bi x =0 , i=1,...,n.

En la iteración 1 se tiene

x

x

x

x

x x

x x x

x x x

x x

11 6 2

10

21 25 3

11

31 11 2

10

41 15 3

8

20

30

10

30

40

10

20

40

20

30

=

=

=

=

+ −

+ + −

− − + +

− +

sustituyendo valores

x

x

x

x

11 6 2

10

21 25 3

11

31 11 2

10

41 15 3

8

= =

= =

= =

= =

+ −

+ + −

− − + +

− +

2.27272727272727 -1.1)

0.6 -1.1 1.875)

0.6) 2.27272727272727 1.875

2.27272727272727 -1.1)

1.047272727272727

1.71590909090909

-0.805227272727273

0.885227272727273

(

(

(

( ) (

Calculemos el criterio de convergencia

cc1 = ∞

∞

||X -X ||

||X ||

1 0

1

X X 1 0− =∞

Página 3-43




1.047272727272727

1.71590909090909

-0.805227272727273

0.885227272727273

0.6

2.27272727272727

-1.1

1.875

−

=

∞

0.4472727272727

-0.5568181818182

0.2947727272727

-0.9897727272727

=

∞

max1≤ ≤

= j n

0.4472727272727

-0.5568181818182

0.2947727272727

-0.9897727272727

0.9897727272727

X 1∞

=

1.047272727272727

1.71590909090909

-0.805227272727273

0.885227272727273

=

∞

max1≤ ≤

= j n

1.0472727272727271.71590909090909

-0.805227272727273

0.885227272727273

1.71590909090909

cc1 = = =∞

∞

||X - X ||

||X ||0.9897727272727

1.71590909090909

1 0

1 0.57682119205298

Como el criterio de convergencia no se cumple realizamos otra iteración.


3-44




x

x

x

x

x x

x x x

x x x

x x

12 6 2

10

22 25 3

11

32 11 2

10

4

2 15 3

8

21

31

11

31

41

11

21

41

21

31

=

=

=

=

+ −

+ + −

− − + +

− +


x

x

x

x

12 6 2

10

22 25 3

11

32 11 2

10

42 15 3

8

= =

= =

= =

= =

+ −

+ + −

− − + +

− +

1.71590909090909 -0.805227272727273)

1.047272727272727 -0.805227272727273) 0.885227272727273)

1.047272727272727) 1.71590909090909 0.885227272727273

1.71590909090909 -0.805227272727273)

0.932636363636364

2.05330578512397

-1.04934090909091

1.13088068181818

(

( (

(

( ) (


cc2 = ∞

∞

||X -X ||

|| X ||

2 1

2

X X 2 1− =∞

0.932636363636364

2.05330578512397

-1.04934090909091

1.13088068181818

1.047272727272727

1.71590909090909

-0.805227272727273

0.885227272727273

−

=

∞

- 0.1146363636364

0.3373966942149

- 0.2441136363636

0.2456534090909

=

∞

max1≤ ≤

= j n

- 0.1146363636364

0.3373966942149

- 0.24411363636360.2456534090909

0.3373966942149

X 1∞

=

Página 3-45




0.932636363636364

2.05330578512397

-1.04934090909091

1.13088068181818

=

∞

max1≤ ≤

= j n

0.932636363636364

2.05330578512397

-1.04934090909091

1.13088068181818

2.05330578512397

cc2 = = =∞

∞

||X -X ||

||X ||0.3373966942149

2.05330578512397

2 1

2 0.164318776413765

Dado que no se cumple el criterio de convergencia continuamos. Los cálculos se resumen en latabla 1

Tabla 1 Cálculos del Método de Gauss-Jacobi

k x 1

x 2 x 3

x 4 cck

0 0.6

2.27272727272727 -1.1

1.875 -

1 1.047272727272727

1.71590909090909 -0.805227272727273

0.885227272727273 5.768E-1

2 0.932636363636364

2.05330578512397 -1.04934090909091

1.13088068181818 1.643E-1

3 1.01519876033058

1.95369576446281 -0.968108626033058

0.973842716942149 8.038E-2

•

•

•

23 1.00000000083666

1.99999999858887 -0.999999998910076

0.999999998452989 2.606E-9

Podemos observar que la convergencia es lenta.

3.14. Método de Gauss Seidel

Este método se deduce del anterior. En la primera iteración cuando ya calculamos x1, al calcular x2 tenemos 2 valores para x1. El de iteración anterior y el de la actual. Podemos pensar intuitivamente que el de la iteración actual esta más cerca de la solución, por eso mejor usar este valor para calcular x2. Para x3 hacemos una argumentación similar. Será mejor usar losvalores de x1 y x2 de la iteración actual que los de la iteración anterior, ya que intuitivamenteestán mas cerca de la solución. Para las demás variables se puede hacer lo mismo. El método deGauss Seidel consiste en usar los valores tan pronto se van calculando. Intuitivamente laconvergencia debe de ser más rápida. Las ecuaciones de Gauss Seidel son

3-46




Maxiter k

ni

xii

i

j

n

i j j

k ij j

k iji

a

xa xab

ik

,,1

,,1

1

1 11

1

•••=

•••=

∑ ∑=

−

= +=

+−−+

3.14.1. Ejemplo del método de Gauss Seidel

Repitamos el ejemplo otra vez. Las ecuaciones de Gauss-Seidel en este caso son

83151

4

102111

3

113251

2

10261

1

1312

41

21

1

431

1

32

++

++

+

+−+

++−−+

−+++

−++

=

=

=

=

k k

k k k

k k k

k k

x xk

x x xk

x x xk

x xk

x

x

x

x


x

x

x

x

x x

x x x

x x x

x x

11 6 2

10

21 25 3

11

31 11 2

10

41 15 3 8

20

30

11

30

40

11

21

40

2

1

3

1

=

=

=

=

+ −

+ + −

− − + +

− +


x

x

x

x

11 6 2

10

21 25 3

11

31 11 2

10

41 15 3

8

= =

= =

= =

= =

+ −

+ + −

− − + +

− +

2.27272727272727 -1.1)

1.047272727272727 -1.1) 1.875)

1.047272727272727) 1.75657024793388 1.875

1.75657024793388 -0.946297520661157)

1.047272727272727

1.75657024793388

-0.946297520661157

1.09799896694215

(

( (

(

( ) (


cc1 = ∞

∞

||X -X ||

||X ||

1 0

1

Página 3-47




X X 1 0− =∞

1.047272727272727

1.75657024793388

-0.9462975206611571.09799896694215

0.6

2.27272727272727

-1.11.875

−

=

∞

0.4472727272727

-0.5161570247934

0.1537024793388

-0.7770010330579

=

∞

max1≤ ≤

= j n

0.4472727272727

-0.5161570247934

0.1537024793388-0.7770010330579

0.7770010330579

X 1∞

=

1.047272727272727

1.75657024793388

-0.946297520661157

1.09799896694215

=

∞

max1≤ ≤

= j n

1.047272727272727

1.75657024793388

-0.946297520661157

1.09799896694215

1.75657024793388

cc1 = = =∞

∞

||X - X ||

||X ||0.7770010330579

1.75657024793388

1 0

1 0.442339857441954

Como el criterio de convergencia no se cumple realizamos otra iteración.


3-48




x

x

x

x

x x

x x x

x x x

x x

12 6 2

10

22 25 3

11

32 11 2

10

4

2 15 3

8

21

31

12

31

41

12

22

41

22

32

=

=

=

=

+ −

+ + −

− − + +

− +


x

x

x

x

12 6 2

10

22 25 3

11

32 11 2

10

42 15 3

8

= =

= =

= =

= =

+ −

+ + −

− − + +

− +

1.756570247933889 -0.946297520661157)

0.96491652892562 -0.946297520661157) 1.09799896694215)

0.96491652892562) 1.97496564613073 1.09799896694215

1.97496564613073 -0.985686844477836)

0.96491652892562

1.97496564613073

-0.985686844477836

1.01117702714125

(

( (

(

( ) (


cc2 = ∞

∞

||X - X ||

|| X ||

2 1

2

X X 2 1− =∞

0.96491652892562

1.97496564613073

-0.985686844477836

1.01117702714125

1.047272727272727

1.75657024793388

-0.946297520661157

1.09799896694215

−

=

∞

- 0.08235619834711

0.2183953981969

- 0.03938932381668

- 0.0868219398009

=

∞

max1≤ ≤

= j n

- 0.08235619834711

0.2183953981969- 0.03938932381668

- 0.0868219398009

0.2183953981969

X 1∞

=

Página 3-49




0.96491652892562

1.97496564613073

-0.985686844477836

1.01117702714125

=

∞

max1≤ ≤

= j n

0.96491652892562

1.97496564613073

-0.985686844477836

1.01117702714125

1.97496564613073

cc2 = = =∞

∞

||X - X ||

||X ||0.21839539819691.97496564613073

2 1

2 0.110581871955452

Dado que no se cumple el criterio de convergencia continuamos. Los cálculos se resumen en latabla 2

Tabla 2 Cálculos del Método de Gauss-Seidel

k x 1

x 2 x 3

x 4 cck

0 0.6

2.27272727272727 -1.1

1.875 -

1 1.047272727272727

1.75657024793388 -0.946297520661157

1.09799896694215 4.423E-1

2 0.96491652892562

1.97496564613073 -0.985686844477836

1.01117702714125 1.105E-1

3 0.99463393350864

1.99776509160064 -0.998032574827539

1.00108401879632 1.487E-2

•

•

•

10 1.00000000007848

2.00000000009999 -1.00000000003814

0.999999999957737 3.90E-10

Podemos ver que la convergencia es más rápida y de hecho salvo raros caos así es, es decir,generalmente Gauss Seidel converge más rápido que Gauss Jacobi.

3.15. Condición de Convergencia

Si bien en los últimos ejemplos ambos métodos convergieron, en algunos casos no será así.Para determinar si los métodos convergerán, antes de realizar las iteraciones, debemos deverificar una condición que nos determine esto. Esta condición se denomina Condición de

Convergencia. Existe una condición que es rigurosa pero es tan difícil de verificar comoresolver el sistema por un método directo. Por esta razón vamos a dar una condición deconvergencia que si bien no es rigurosa es más simple de aplicar. Esta condición es suficiente

paro no necesaria, es decir, si se cumple habrá convergencia , si no se cumple podría haber convergencia. La condición dice. Si los valores absolutos de los elementos de la diagonal

principal en cada columna son mayores a la suma de los valores absolutos de los elementos

3-50




restantes en cada columna, entonces se dice que la matriz es diagonalmente dominante. Si la

matriz es diagonalmente dominante, entonces la convergencia esta asegurada para cualquier

vector inicial, tanto para el método de Gauss Jacobi como para el método de Gauss Seidel..

Para la primera aproximación lo mejor en general es usar la teoría para determinarla. Por ejemplo si la solución representa un conjunto de probabilidades, podemos suponer que xi=0.5,i=1,...n. Si no tenemos teoría podemos usar las aproximaciones propuestas arriba, ya que son

simples y cualquier aproximación es valida.24 Si en un sistema dado no se cumpliera esta condición, podemos intentar reacomodar lasecuaciones de tal forma que se cumpla. Por ejemplo

- + - + =

+ - + - = -

+ - + =

- + =

x 11x x 3x 25

2x x 10x x 11

3x x 8x 15

10x x 2x 6

1 2 3 4

1 2 3 4

2 3 4

1 2 3

− < + +

− < + + −

− < − + +

< + − +

1 2 0 10

1 11 3 1

1 1 10

0 3 1 8

2

No cumple la condición de convergencia. Sí reacomodamos

10x -x +2x = 6-x +11x -x +3x = 25

+2x -x +10x -x = -11

+3x -x +8x = 15

1 2 3

1 2 3 4

1 2 3 4

2 3 4

10 1 2 0

11 1 1 3

10 2 1 1

8 0 3 1

> − + +

> − + − +

> + − + −

> + + −

Ahora sí.

24Para ambos métodos.

Página 3-51




Existen casos donde por más que lo intentemos la condición de convergencia no se cumplirá.Aquí debemos de intentar que al menos se cumpla de la forma más cercana posible, es decir, enel mayor numero de columnas. Por ejemplo

7 8 91 2

4 5 612 2 3 6

1 2 3

1 2 3

1 2 3

x x x

x x x

x x x

41

15

+ + =

+ + =+ + =

. .

es mejor

12 2 3 6

4 5 6

7 8 91 2

1 2 3

1 2 3

1 2 3

x x x

x x x

x x x

15

41

+ + =

+ + =

+ + =. .

Aunque no se cumpla la condición de convergencia en todas las columnas.25

3.16. Pasos para aplicar un método iterativo

1. Fijar el criterio de convergencia.

2. Verificar la condición de convergencia.

3. Si es necesario, reacomodar las ecuaciones.

4. Despejar una variable de cada ecuación.

5. Proponer una primera aproximación.

6. Aplicar el método hasta que se cumpla el criterio de convergencia.

Estos métodos también se aplican si la matriz del sistema es dispersa ó rala, esto es, que tengamuchos elementos iguales a 0. En algunos casos al, plantear un problema se obtienen unsistema directamente en forma iterativa. En este caso con mayor razón, también convienen.

3.17. Pivoteo parcial

Si bien los métodos iterativos se pueden usar cuando tenemos muchas ecuaciones paradisminuir el efecto del error de redondeo, es posible modificar los métodos directos para quetengan menos error de redondeo. Una técnica para lograr esto se conoce como pivoteo parcial,y es aplicable a todos los métodos directos.

En los métodos directos el principal problema que nos introduce error de redondeo es en ladivisión entre el pivote. Si bien un pivote no es 0, puede estar muy cerca de él. Una forma de

25Verifícalo.

3-52




minimizar este efecto es buscar el elemento más grande en valor absoluto y usar este como pivote. Él pivoteo parcial consiste en buscar el elemento mas grande en valor absoluto y

llevarlo al renglón pivote. En los métodos clásicos, solo se pide que el pivote no sea 0. Estecambio puede implementarse en todos los métodos. Por ejemplo consideremos el sistema.

1 8 012344 0

1 2

1 2

E x x x x− + =

− + =.

Lo resolveremos con el método de eliminación de Gauss suponiendo que usamos unacalculadora que solo usa 8 cifras significativas.26 La matriz aumentada es:

1 8 1 01234

1 4 0

E − +

− +

.


1 8 1 01234

1 4 0

E − +

− +

.

Dividiendo entre el elemento pivote

1 1 8 1234 7

1 4 0

+

− +

E E .


1 1 8 1234 7

0 1 8 1234 7

+

+

E E

E E

.

.

Llevando el elemento≠

al renglón pivote0

1 1 8 1234 7

0 1 8 1234 7

+

+

E E

E E

.

.

26Lo cual es muy usual en las calculadoras modernas.

Página 3-53





1 1 8 1234 7

0 1 01234

+

+

E E .

.


1 1 8 1234 7

0 1 01234

+

+

E E .

.

Ahora apliquemos la sustitución en reversa. Del ultimo renglón tenemos x2=0.1234.Sustituyendo en la primera ecuación

x E x E 1 21 8 1234 7+ = .

x E E 1 21234 7 1 8 x= −.

x E E 1 1234 7 1 8 01234 0= − =. ( . )

Por lo cual la solución es x1=0, x2=0.1234. Aparentemente ya tenemos la solución. Sinembargo, si observamos la segunda ecuación

x x1 24= −

Tenemos que la “solución” es absurda. ¿ Qué paso ? ¿ A qué se debe el problema ? El problema lo causó el coeficiente 1E-8 de la primera ecuación, él cual si bien no es 0, esta muycercano al, dado que solo estamos manejando 8 cifras significativas en los cálculos.Resolveremos nuevamente el sistema usando pivoteo parcial. Nuevamente la matriz aumentadaes

1 8 1 01234

1 4 0

E − +

− +

.

Llevando el máximo elemento en valor absoluto al renglón pivote

− +

− +

1 4 0

1 8 1 01234 E .

3-54





+ −

− +

1 4 0

1 8 1 01234 E .


+ −

+

1 4 0

0 1 01234.

Llevando el máximo elemento al renglón pivote

+ −

+

1 4 0

0 1 01234.


+ −

+

1 4 0

0 1 01234.


+ −

+

1 4 0

0 1 01234.

Ahora apliquemos la sustitución en reversa. Del ultimo renglón tenemos x2=0.1234.Sustituyendo en la primera ecuación

x x1 24 0− =

x x1 24=

x1 4 01234 0 4936= =( . ) .

Por lo cual la solución correcta es x1=0.4936, x2=0.1234.

Página 3-55




El pivoteo parcial vale la pena y no es muy costoso.

Podrías preguntarte si existe un pivoteo total. Si existe y consiste no solo en buscar en losrenglones el elemento más grande en valor absoluto, sino también en las columnas. El

problema es que si intercambiamos de lugar 2 columnas, también cambiamos de lugar susvariables. Esto complica la programación del método. Se discute aun si vale la pena lacomplejidad introducida contra el error de redondeo que se evita. Por esto solo es

recomendable él pivoteo parcial

3.18. Sistemas lineales inestables

Como hemos mencionado anteriormente existen casos problemáticos en todos los métodosnuméricos. Para un sistema lineal el problema se denomina Sistemas Lineales Inestables. Un

sistema lineal es inestable si cambios pequeños en los coeficientes, producen cambios grandes

en la solución. Por ejemplo consideremos el sistema

x x x x x x

x x x

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 34 5 6 1

7 8 91 2

65

4 1

+ + =+ + =

+ + =. .

Su solución es

X =

1

1

1

Si cambiamos el 9.1 por 9.05 la solución es

X = −

2

1

2

La solución cambio mucho con tan solo un cambio de 0.05 . Para ver cuanto cambio la solución podemos usar el error porcentual. En este caso es

e x p =

− −

∞

∞

1

1

1

2

1

2

1

1

1

100(%)

3-56




e x p =

−

−

∞

∞

1

2

1

1

1

1

100(%)

e x p = =21 100 200%(%)

Usamos la norma natural por simplicidad. Claramente este sistema es inestable.

Si bien un sistema lineal solo lo resolvemos una vez usualmente, ¿ qué problemas nos puedeocasionar el que sea inestable ? Si bien voluntariamente no modificamos los coeficientes, si lohacemos al resolver el sistema. Recordemos que siempre tendremos presente el error deredondeo, por lo cual los coeficientes se ven afectados. En un sistema lineal inestable, el error de redondeo puede modificar los coeficientes de tal forma que lleguemos a una solución falsa.27 Entonces ¿ cómo podemos detectar esto ? Una forma sería resolver el sistema 2 vecescambiando ligeramente algún coeficiente del sistema y viendo si no cambia mucho la solución.Pero esto puede tomar mucho tiempo de maquina. Es mejor usar algún otro criterio. Existe un

criterio riguroso pero algo laborioso, ya que requiere calcular la matriz inversa. En vez de eso podemos implementar otro mediante la definición del numero de condición:

( )

Χn

i

ia

Anc

1

det

=

=

donde

det(A): determinante de la matriz

||ai||2: norma euclidiana del renglón i de la matriz A.28

Si nc <0.01 el sistema es probablemente inestable. Este criterio es más débil que el criterioriguroso por eso decimos probablemente, pero mientras menor sea el sistema es más inestable.

Si la matriz A del sistema es de un sistema inestable se dice que esta mal condicionada o que es singular . Si el sistema es estable la matriz es no singular o se dice que esta bien condicionada.Por ejemplo para la matriz del ejemplo anterior

A =

+ +

+ +

+ +

1 2 3

4 5 6

7 8 91.

27También podría haber problema por el error inherente.

28 Nuevamente el símbolo ∏ indica productoría, no lo confundas con el númeroπ .

Página 3-57




det( )

.

. A = =

1 2 3

4 5 6

7 8 91

0 3−

aii

21

3

=∏ =

1 2 3 4 5 6 7 8 912 2 2 2 2 2 2 2 2+ + + + + + . =

+459.43789569429300

nc = =-0.3

+459.43789569429300 +6.52971822332256E - 4 < 0.01

Por lo cual es inestable.

Conviene implementar en los métodos directos él calculo de este valor.

Si un sistema es inestable tenemos que tomar algunas precauciones.

1. Usar el método que menos tenga error de redondeo

2. Usar la mayor cantidad posible de cifras significativas en los cálculos.

3. Resolver el sistema usando quebrados.

Para la primera precaución podemos usar Montante con pivoteo parcial.

Para la segunda precisión doble.

Para la ultima es posible programar la computadora para usar quebrados pero en general se

requeriría mas tiempo de maquina.

3.19. Resumen

Existen principalmente 2 formas de resolver un sistema lineal: Métodos directos y métodositerativos.

Los directos se usan cuando hay pocas ecuaciones. Los iterativos cuando son muchas, la matrizes rala o el sistema se tiene ya en forma iterativa.

De los métodos directos el mejor es el de Montante.

En algunos casos puede convenir mas los otros métodos.Conviene usar él pivoteo parcial con estos métodos.

De los métodos iterativos el mejor es Gauss Seidel.

Conviene checar la condición de convergencia.

Existen sistemas inestables, para los cuales un cambio ligero en algún coeficiente modificamucho la solución.

La inestabilidad de un sistema lineal podemos detectarla calculando él numero de condición.

3-58




Lo mejor en estos casos es el método de Montante con pivoteo parcial y precisión doble.

Con respecto a la programación, los más simples de programar son los iterativos.

3.20. Ejemplos prácticos

Los siguientes problemas muestran algunas aplicaciones de los sistemas de ecuaciones linealesy el uso de los métodos de solución.

3.20.1. Determinar que tan seguro es que Firulaiz llegue a casa a cenar

Tu mascota Firulaiz esta perdido en un laberinto, como el que se muestra en la figura 1. Firulaizdebe salir del laberinto para llegar a casa y le des de cenar. Como puedes observar el laberintoes cuadrado y tiene varios corredores. Solamente las intersecciones numeradas conectan uncorredor con otro. Los rectángulos representan, los accesos disponibles en cada intersección. Si

Firulaiz comienza el recorrido en la intersección i, y si hace el recorrido al azar de un corredor aotro ¿ cuál es la probabilidad de que Firulaiz salga por el frente del laberinto ?

Figura 1

Solo existen 9 intersecciones interiores, como se puede observar. pi representa la probabilidadde que si Firulaiz inicia el recorrido en la intersección i, salga tarde ó temprano por el frente del

laberinto. Si suponemos que en cada intersección Firulaiz tiene la misma probabilidad de elegir por donde irse, y que llegando a cualquier salida (en las intersecciones 7, 8 y 9) su recorridoconcluye, la teoría de probabilidades nos otorga las siguientes 9 ecuaciones para las

probabilidades:

p p114 2 40 0= p+ + +( ) p p p2

14 1 3 50 p= + + +( )

p p314 2 60 0= p+ + +( ) p p p p4

14 1 50 7= + + +( )

Página 3-59




p p p p p514 2 4 6 8= + + +( ) p p p p6

14 3 5 90= + + +( )

p p p714 4 80 1= + + +( ) p p p p8

14 5 7 9 1= + + +( )

p p p914 6 8 0 1= + + +( )

Dado que las ecuaciones ya están en forma iterativa conviene resolver el sistema por el métodode Gauss Seidel. Las ecuaciones de Gauss Seidel son:

)( 42411

1k k k

p p p +=+

)( 531

1411

2k k k k

p p p p ++=++

)( 61

2411

3k k k

p p p +=++

)( 751

14

114

k k k k p p p p ++=

++

)( 861

41

2411

5k k k k k

p p p p p +++=+++

)( 91

51

3411

6k k k k

p p p p ++=+++

)1( 81

4411

7 ++=++ k k k

p p p

)1( 91

71

5411

8 +++=+++ k k k k

p p p p

)1( 18

164

119 ++=

+++ k k k p p p

Los criterios de convergencia son:

5

1

105 −

∞

∞

−

≤−

= x X

X X cc

k

k k

k

k > 100

una probabilidad por lo regular basta conocerla con 4 cifras significativas.

Para la primera aproximación podemos tomar en cuenta el hecho de que las probabilidadesestán en el intervalo [0,1]. Tomaremos como valores iniciales todas las probabilidades iguales a0.5. La tabla 3 resume los cálculos.


k p1

p2 p3

p4 p5

p6 p7

p8 p9

cck

0 .500000

.500000 .500000 .500000 .500000 .500000 .500000 .500000 .500000 -

1 .250000

.312500 .203125 .312500 .406250 .277334 .453125 .589844 .466797 .50331

3-60




2 .156250

.191406 .117188 .253906 .328125 .228027 .460938 .563965 .447998 .21472

3 .111328

.139160 .091797 .225098 .289063 .207214 .447266 .546082 .438324 9.5E-2

•

•

•

14 .071448

.098233

3

.071438

.187519 .250019 .187510 .428581 .526795 .428576 3.6E-5

Como podemos observar la convergencia es satisfactoria. Redondeando a 4 cifras la Tabla 4muestra los resultados

Tabla 4 Resultados del Método de Gauss-Seidel

p1

p2 p3 p4 p5 p6 p7 p8 p9

.07145 .09823 .07144 .1875 .2500 .1875 .4286 .5268 .4286

Como es razonable es más probable que Firulaiz logre salir si empieza en la intersección 5,dado que tiene mas opciones de adonde ir. El valor de 0.25 nos indica que Firulaiz lograra salir 1 de cada 4 veces que lo intente.

En este caso fue muy útil el método iterativo, ya que se pudo aplicar directamente. Si al plantear el problema las ecuaciones se obtienen ya en forma iterativa, es conveniente usar unmétodo iterativo. Además en este caso el sistema de ecuaciones es ralo, es decir, muchoselementos son 0, lo cual simplifica la aplicación del método iterativo. También tuvimos laventaja de poder proponer una primera aproximación razonable usando la teoría del problema.

Es más seguro que Firulaiz llegue a cenar si empieza en la intersección 5. Si no conviene

conseguirnos otra mascota.

29

3.20.2. Determinar que tan seguro es que un estudiante llegue a clase

Un estudiante30 debe ir a una clase en la Universidad. Como no hizo la tarea y sabe que su profesor se la va a pedir, quisiera no asistir, pero si no va, no vera a su susodicha.31 Solocoinciden en esa clase. Duda en ir ó no. Ya en camino, casi por llegar, ocurre que comienza adar un paso a la izquierda ó a la derecha de manera aleatoria, a causa de su indecisión. Sutrayecto podemos considerarlo que lo divide en segmentos de longitud igual al tamaño de sus

pasos. Esto se muestra en la Figura 2. Él puede empezar a dudar en cualquier segmento.Consideramos que el recorrido termina si llega al extremo izquierdo, que es donde esta la

entrada a la Universidad. ¿ Cuáles son las probabilidades de que llegue a clase ?

29Ó al menos cenar solos.30Un estudiante de CBI de la UAM. Presumiblemente de Métodos Numéricos.31Aquellita, la que quiere invitar a salir, ó ligar. Lo que ocurra primero.

Página 3-61




Figura 2

Designemos cada probabilidad como pi. La i representa el segmento en el cual empieza a dudar.La teoría de probabilidades nos afirma que p0=1 y p5=0. Además nos proporciona el siguientesistema de ecuaciones lineales para las demás probabilidades.

p = p -2p +p =

p -2p +p =

-2p +p = -1

3

2 3 4

1 2 3

1 2

00

0

−2 4 p

Como el sistema es ralo, podría ser ventajoso usar un método iterativo. Si verificamos lacondición de convergencia esta no se cumple.

0 0 1 2< + + −

1 0 2 1< + − +

1 1 2 0< + − +

0 2 1 0< − + +

Sí reacomodamos el sistema

− + = −

− + =− + =

− =

2 1

2 02 0

2 0

1 2

1 2 3

2 3 4

3 4

p p

p p p p p p

p p

Ahora si se cumple la condición de convergencia.

3-62




− > + +2 1 0 0

− > + +2 1 1 0

− > + +2 0 1 1

− > + +2 0 0 1

Despejando una variable de cada ecuación obtenemos

p p

11

22= − −

−

p p p

2 21 3= − −

−

p p p

3 22 4= − −

−

p p4 2

3= −

−

Si aplicamos el método de Gauss Seidel las ecuaciones a usar son

211

12

k pk

p++

=

21

23

11

k k p pk

p++ +

=

21

34

12

k k p pk

p++ +

=

21

4

13

+

=+ k

pk p

Calculemos las probabilidades a 4 cifras significativas. El criterio de convergencia será

5

1

105 −

∞

∞

−

≤−

= x X

X X cc

k

k k

k

k > 100

Como en el problema anterior de Firulaiz, haremos todas las probabilidades iguales a 0.5. Latabla 5 resume los cálculos


k p1

p2 p3

p4 cck

Página 3-63




0 .500000

.500000 .500000 .500000 -

1 .750000

.62500 .5625 .28125 .3333333333333333

2 .8125

.6875 .484375 .2421875 9.61538461538E-02

3 .84375

.6640625 .453125 .2265625 3.70370370370E-02

•

•

•

19 .800056506621331

.600073968127617 .400059841472284 .200029920736142 4.88029466944E-05

Como podemos observar la convergencia es satisfactoria. Redondeando a 4 cifras la Tabla 6muestra los resultados

3-64




Tabla 6 Resultados del Método de Gauss-Seidel

p1 p2 P 3 p4

.8001 .6001 .4001 .2001

Como es razonable es más probable que el estudiante llegue a su destino si empieza en elsegmento 1, dado que esta mas cerca de su meta. El valor de 0.8 nos indica que el estudiantellega a clases 8 de cada 10 veces que lo intenta.

En este caso fue muy útil el método iterativo, ya que muchos elementos son 0, lo cualsimplifica la aplicación del método iterativo. También tuvimos la ventaja de poder proponer una primera aproximación razonable usando la teoría del problema.

Podemos especular que mientras más cerca de la entrada empiece a dudar será más seguro queasista a clase. Desafortunadamente la solución de este problema, no soluciona el problema delestudiante. Tan solo nos dice que tan seguro es que llegue a clase. No que le pasara cuando

llegue.

32

3.20.3. Simulación de un circuito eléctrico

Como mencionamos antes al explicar las ventajas de los métodos directos, una aplicación delos sistemas de ecuaciones lineales consiste en simular un circuito eléctrico. Las ecuaciones quedescriben el comportamiento del circuito son lineales. Es más fácil variar los voltajes que lasresistencias, para observar el cambio en las corrientes.33 Para cierto circuito eléctrico se tiene elsiguiente sistema

i i ii i i

i i i

i i i

i i i

i i i

1 2 3

1 4

2 4 5

1 2 4

2 3 5

4 5 6

00

0

40 0 4 21 36

0 4 45 10 34

21 10 21 12

6

+ − =− − −

− + +

− −

+ +

− − =

.

.

=

=

= −

=

Estudiaremos su comportamiento variando los voltajes. Dado que el sistema lo vamos aresolver varias veces modificando solamente el vector de términos independientes, el método

mas apropiado será el de inversión de matrices. La inversa del sistema es

32Ó al menos si ligará a su susodicha.33¿ Por qué ?

Página 3-65




−− −

−−

−−

−−

−−

−−

−− − −

−− −

− − −−

−−

−−

−

1 0386 41 4613 5

2 4 515 41 4613 5

93661 4613 5

27811 4613 5

230 81 4613 5

11671 4613 5

1 1345 51 4613 5

1 1445 41 4613 5

3 066 41 4613 5

25501 4613 5

25211 4613 5

5451 4613 5

2 2302 41 4613 5

1 3070 41 4613 5

2 1294 41 4613 5

230 81 4613 5

27521 4613 5

622 41

.

... . .

.. .

.

...

.. . . .

..

..

..

.. .

..

E E

E E E E E

E E

E E

oE E E E

E E

E E

E E E E

E

E

4613 5

1 7622 41 4613 5

4 6914 41 4613 5

1 8424 41 4613 5

16131 4613 5

391 61 4613 5

22341 4613 5

9 5823 41 4613 5 5 8359 41 4613 5 9 7049 41 4613 5 93661 4613 5 21291 4613 5 27791 4613 5

2 8008 41 4613 5

7 4704 41 4613 5

2 7790 41 4613 5

11671 4613 5

622 41 4613 5

E

E E

E E

E E E E

E E E E E E E E

E E

E E

E E E E

−− −

−− −

−−

−−

−− −− −− − −− −

− − − − −

..

..

.

. ..

. .

.. .. .. .. . .

..

..

.. .

..

E

E

34011 4613 5−

. E

Se utilizo el método de Montante con pivoteo parcial. La solución del sistema es

i =

-0.535488806802552

1.16998578011598

0.634496973313425

0.6720215912310260.49796418888495

-0.136532784428474

Ahora simularemos el comportamiento del circuito. Modificaremos los voltajes de tal formaque el vector de términos se modifique como se muestra. Además multiplicándolo por la matrizinversa obtendremos

v =−

0

00

42

40

12

, i =

-0.640187664147964

1.378192801919340.738005137771379

0.75434363396732

0.623849167952022

-0.114155969819357

v =

−

0

0

0

3634

15

, i =

-0.51152303306431

1.15879737281142

0.647274339747108

0.7178837965858590.440913576225558

-0.206360763521549

3-66




v =−

0

0

0

39

3412

, i =

-0.592576371999831

1.22233520878868

0.629758836788852

0.705143382690063

0.51719182609862-0.112567010690232

v =−

0

0

0

36

35

12

, i =

-0.533909427961028

1.18723714085897

0.653327712897941

0.674701334534063

0.512535806324906

-0.140791906573035

Realizando simulaciones como estas podremos hallar los voltajes óptimos para algunaaplicación.

Con de fin de detectar posibles problemas de mal condicionamiento, también se calculó élnumero de condición. El determinante de la matriz es de -146133.4. El producto de la normaeuclidianas de los renglones es 339134.495592233. Por lo anterior su valor para todos los casosanteriores es de 0.430901019799847. Dado el valor obtenido no hubo problemas de malcondicionamiento. Su calculo se facilito, ya que al emplear el método de Montante para invertir la matriz, también se obtuvo el determinante del sistema.

En este caso resulto muy útil el método de Inversión de Matrices, ya que él numero de cálculosfue menor que con el de cualquier otro método.

3.20.4. Determinación de la ecuación de un polinomio

En la practica es común dado un conjunto de puntos hallar una ecuación que los represente. Lacurva más simple que puede cumplir esta función es un polinomio. Tenemos el siguienteconjunto de puntos de un experimento: (1,-7), (2,2), (-1,-7), (-2,-34), (3,121), (0.5,-8) ¿ Cuál esla ecuación del polinomio que pasa por ellos ?

El polinomio requerido es de 5 grado.34 Su ecuación es

y a a x a x a x a x a x= + + + + +0 1 2

2

3

3

4

4

5

5

Para hallar los coeficientes sustituimos cada punto en la ecuación del polinomio. Obtenemos elsistema lineal

34¿ Por qué ?

Página 3-67




a a a a a a

a a a a a a

a a a a a a

a a a a a a

a a a a a aa a a a a a

0 1 2 3 4 5

0 1 2 3 4 5

0 1 2 3 4 5

0 1 2 3 4 5

0 1 2 3 4 5

0 1 2 3 4 5

7

2 4 8 16 32

7

3 9 27 81 243 121

2 4 8 16 325 25 125 0625 03125 4

+

2

34

+ + + + = −

+ + + + + =

− + − + − =

+ + + + + =

− + − + − =+ + + + + =. . . . .

−

−

x

x5

Empleando el método de Montante con pivoteo parcial la solución es

a =

−

3 76.

2.98666666666667

-6.13333333333333

-3.066666666666672.89333333333333

8.E-02

por lo cual la ecuación del polinomio es

y x

x x

= − +

+ +

3 76 2

3 4

. 2.98666666666667 - 6.13333333333333

-3.06666666666667 2.89333333333333 8.E - 02

Como veremos en el próximo capitulo, el hecho de hallar un polinomio de esta manera puedeconducir a un sistema inestable. Él numero de condición del sistema anterior es8.30888316504281E-03, como es menor a 0.01 el sistema es inestable.

Si en él ultimo punto se comete un error experimental de 0.01 la ultima ecuación cambia a

a a a a a a0 1 2 3 4 551 2601 132651 067652 034025 4+ + + + + = −. . . . .

en este caso la ecuación del polinomio es

y

x x

=

+ +

-3.68968036308336 + 2.96322678769445

-6.22123287947914 - 3.0373668179514

2.9109132425625 7.41400302569464E - 02

2 3

4 5

la solución cambio en

3-68




e x p = =

−

−

−

∞

∞

3 76

3 76 100

.

. (%)

2.98666666666667

-6.13333333333333

-3.06666666666667

2.89333333333333

8.E-02

-3.68968036308336

2.96322678769445

-6.22123287947914

-3.0373668179514

2.9109132425625

7.41400302569464E-02

2.98666666666667

-6.13333333333333

-3.06666666666667

2.89333333333333

8.E-02

.. (%) .087899

2 986667 100 2 943% x =

Un cambio de 0.01 produjo un cambio de aproximadamente 3 %. Dependiendo de la aplicaciónde la solución este error puede ser indeseable.

Siempre conviene verificar la posibilidad de inestabilidad en un sistema de ecuaciones linealesy en caso de presentarse tomar todas las precauciones posibles.

Página 3-69




3.21. Índice

3. Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales ...................................................... 3-1

3.1. Introducción ................................................................................................................... 3-1

3.2. Conceptos Básicos.......................................................................................................... 3-1 3.2.1. Operaciones elementales ....................................................................................................... 3-2 3.2.2. Determinantes........................................................................................................................ 3-2 3.2.3. Producto de matrices .............................................................................................................3-2 3.2.4. Matriz Identidad .................................................................................................................... 3-3 3.2.5. Matiz Inversa......................................................................................................................... 3-3 3.2.6. Matriz Triangular Superior.................................................................................................... 3-3 3.2.7. Sistemas lineales con solución única..................................................................................... 3-4

3.3. Métodos de Solución...................................................................................................... 3-4

3.4.

Método gráfico ............................................................................................................... 3-4 3.5. Métodos directos ............................................................................................................ 3-4

3.6. Eliminación de Gauss .................................................................................................... 3-5 3.6.1. Ejemplo del Método de Eliminación de Gauss...................................................................... 3-5

3.7. Eliminación de Gauss Jordán....................................................................................... 3-9 3.7.1. Ejemplo del método de Eliminación de Gauss-Jordan .......................................................... 3-9

3.8. Inversión de matrices ..................................................................................................3-12 3.8.1. Ejemplo del Método de Inversión de Matrices.................................................................... 3-13

3.9. Regla de Cramer.......................................................................................................... 3-16 3.9.1. Ejemplo de la Regla de Cramer...........................................................................................3-16

3.10. Método de Montante................................................................................................ 3-20 3.10.1. Ejemplo del Método de Montante ....................................................................................... 3-20 3.10.2. Inversión de una matriz con el Método de Montante .......................................................... 3-36

3.11. Selección de un método directo............................................................................... 3-38

3.12. Métodos iterativos.................................................................................................... 3-39

3.13. Método de Gauss Jacobi .......................................................................................... 3-42 3.13.1. Ejemplo del método de Gauss Jacobi ..................................................................................3-42

3.14. Método de Gauss Seidel ........................................................................................... 3-46 3.14.1. Ejemplo del método de Gauss Seidel .................................................................................. 3-47

3.15. Condición de Convergencia..................................................................................... 3-50

3.16. Pasos para aplicar un método iterativo.................................................................. 3-52

3.17. Pivoteo parcial .......................................................................................................... 3-52

3.18. Sistemas lineales inestables...................................................................................... 3-56

3.19. Resumen.................................................................................................................... 3-58

3.20. Ejemplos prácticos ................................................................................................... 3-59 3.20.1. Determinar que tan seguro es que Firulaiz llegue a casa a cenar ........................................3-59

3-70




3.20.2. Determinar que tan seguro es que un estudiante llegue a clase ........................................... 3-61 3.20.3. Simulación de un circuito eléctrico ..................................................................................... 3-65 3.20.4. Determinación de la ecuación de un polinomio .................................................................. 3-67

3.21. Índice......................................................................................................................... 3-70

Página 3-71

Metodos Numericos tema3

Documents

Transcript of Metodos Numericos tema3