Metodos Numericos tema5

5/11/2018 Metodos Numericos tema5 - slidepdf.com

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Métodos Numéricos Curso SAI Tema 5 Interpolación.

Tema 5

5. Interpolación

5.1. Introducción

En la practica de la ingeniería y ciencias, es frecuente que la información necesaria para realizar

un calculo ó los resultados del mismo, se encuentren en una tabla de la forma:

Tabla 1. Ejemplo de una tabla de ingeniería

X

Y

x0 y0

x1 y1

•

•

•

xm ym

Esto ocurre al tomar los datos de un experimento, ó al evaluar una función matemática

complicada. También es frecuente que al requerir de la tabla algún valor, este no este tabulado.

Al problema de hallar valores no tabulados se le conoce como interpolación.1

5.2. Tipos de interpolación

El problema puede ser de 2 tipos:

1. El punto de interés cae en el rango de valores de la tabla.

2. El punto de interés esta fuera del rango de valores de la tabla.

1Siempre y cuando x0<x<xm. En caso contrario se conoce como extrapolación.

Página 5-1



Métodos Numéricos. Curso SAI © M en C Hugo Pablo Leyva 7/24/2004 9:11

El primer caso es el mas común y se conoce propiamente como interpolación. El segundo caso,

se conoce como extrapolación. Cada punto de la tabla se le llama polo, de ahí los nombres.

Como veremos mas adelante, la interpolación es mas confiable que la extrapolación.

5.2.1. Enfoques para realizar la interpolación

Dado que en general la función f(x) no se conoce ó es difícil de evaluar, se busca aproximar la

curva por otra mas simple, que pueda determinarse de los puntos de la tabla. Hay 2 enfoques en

este sentido:

1. Curvas de colocación.

2. Ajuste de curvas.

En el primero la curva que se emplea pasa por 2 ó mas puntos de la tabla. En el segundo la

curva se aproxima, lo mas posible a todos los puntos de la tabla. En esta unidad consideraremos

solo el primer enfoque, el segundo lo trataremos en la siguiente unidad.

5.3. Curvas de colocación

Para encontrar una curva de colocación, requerimos proponerla. Las curvas que mas se usan

para este fin son los polinomios. Esto es, por que los polinomios como se menciono en la

unidad anterior poseen propiedades que los hacen muy atractivos en los cálculos. Por ejemplo

son eficientemente evaluados con la División Sintética.

5.3.1. Polinomios de colocación

Un polinomio de colocación es aquel que coincide en 2 ó mas puntos de una curva, es decir se

coloca en los puntos de otra curva.

Siguiendo con este enfoque comenzaremos con el caso mas simple, que es cuando usamos una

recta. Para una recta requerimos 2 puntos. Si tenemos por ejemplo los puntos (x0, y0) y (x1, y1),

se busca que estos encierren el punto de interés (xi, yi ). La ecuación de la recta que pasa por 2

puntos es:

y y y y x x

x x= −

− −

−

( )( )1 0 0

1 00

Esta formula es la mas simple para interpolar y se conoce como interpolación lineal.

Desafortunadamente no es muy precisa.

5-2




Si usamos un polinomio de grado 2, es decir, una parábola, necesitamos 3 puntos: (x 0, y0), (x1,

y1) y (x2, y2). La ecuación de la general de una parábola es:

y a a x a x= + +

0 1 2

2

Para hallar los coeficientes, sustituimos cada uno de los puntos en la ecuación, obtenemos:

y a a x a x0 0 1 0 2

2= + + 0

1

y

0

1

y a a x a x1 0 1 1 2

2= + +

y a a x a x2 0 1 2 2 2

2= + +

Este es un sistema de ecuaciones lineales para los coeficientes. Resolviendo este sistema, por

cualquiera de los métodos del capitulo anterior, se hallan los coeficientes, con los cuales se

puede realizar la interpolación.

Podemos seguir con una ecuación cúbica, cuartica ,etc. Para el caso general de un polinomio de

grado n tenemos que se requieren n+1 puntos.2 Sustituyendo, se obtiene el sistema lineal:

a a x a x y

a a x a x

a a x a x y

n

n

n

n

n n n

n

n

0 1 0 0

0 1 1 1

0 1

+ • • • + =

+ • • • + =

•

•

•

+ • • • + =

Este se puede resolver por los métodos del capitulo anterior. Cabe una pregunta ¿ el sistema

anterior tiene solución única ? La respuesta es si. Se puede demostrar que el determinante de

este sistema es:

D x x j k

j k

= −<

∏ ( )

2¿ Por qué ?

Página 5-3




El cual se denomina Determinante de Van Der Monde. Como ya sabemos el sistema tiene

solución única si y solo si es ≠ 0. Como podemos apreciar, esto solo no ocurre si al menos 2

x's son iguales. Dado que en una tabla las x's no se repiten,3 el determinante es ≠ 0 y el sistema

tiene solución única.

Esta manera de realizar la interpolación tiene varias desventajas:

1. Hay que resolver un sistema lineal cada vez.

2. Los cálculos realizados para un grado, no sirven para el siguiente.

3. Si se cambia un punto por otro, hay que realizar nuevamente los cálculos.

4. El sistema lineal tiende a ser inestable.

El ultimo problema se debe al hecho de que si bien las x's son distintas y por ende el

determinante es ≠ 0 pueden estar tan juntas que el determinante sea cercano a 0. Como se

mencionó la unidad anterior si el determinante es cercano a 0, el numero de condición tambiénlo será y por ende el sistema será inestable.

Por estos problemas este manera de interpolar no se recomienda. En vez de eso, se pueden

emplear algunos métodos que evitan plantear el sistema lineal y directamente obtienen el valor

buscado. Consideraremos 2 casos:

1. Tabla igualmente espaciada.

2. Tabla desigualmente espaciada.

5.4. Tablas equiespaciadas

Estas se presentan frecuentemente al tabular funciones matemáticas complicadas. Se tiene que

el espaciamiento entre cada punto es constante, en toda la tabla. Para este caso se puede usar el

método de Diferencias Finitas de Newton, Diferencias Progresivas, Diferencias hacia adelante,

o también llamado Formula de Newton Gregory

5.5. Método de la diferencias finitas hacia adelante de Newton

Omitiendo el desarrollo la formula es

y x y yi

s

i

ni( ) ( )= +

=

∑0

1

0∆

3¿ Por qué ?

5-4




Donde:

• n: grado del polinomio a usar.

• y0: y del punto de apoyo para el calculo.

• s: variable auxiliar

• i: índice de la sumatoria.

• : Coeficiente binomial( )i

s

• : i-esima diferencia hacia adelante respeto al punto de apoyo.∆i

s se define como:

s x x H = − 0

donde:

• x: punto de interés.

• x0: x del punto de apoyo.

• H: espaciamiento constante de la tabla.

El coeficiente binomial se define como:

( ) !!( )!i

s si s i

=−

Dado que s es un numero real, no es común usar la formula de arriba.4 En vez de ello, el

coeficiente binomial se calcula como:

( )( )

!i

s s k

ik

i

=∏ −

=

−

0

1

donde:

4Aunque si es posible calcular el factorial de un numero real. Esto se realiza con

la función Gamma. Por ejemplo: ( )− = =12

12! ( )Γ π

Página 5-5




• : productoría. NO la confundas con el numeroΠ π .

• k: índice de la productoría.

Las primeras diferencias hacia adelante se definen como

∆ y yi i

yi

= −+1

Se pueden definir diferencias de orden superior. Las segundas diferencias son:

∆ ∆∆ ∆ ∆2

1 y y y yi i i= = − i =+

( )

y y y yi i i i+ + +

− − − =2 1 1

( )

y yi i+ + yi− +2 12

y en general

∆ ∆ ∆ j

i

j

i y y=−( )1

Para calcularlas mas fácilmente se construye una tabla de diferencias, de la siguiente manera:

Tabla 2 Tabla de diferencias

X

Y

∆Y ∆2Y ∆

3Y ∆mY

x0 y0

∆ y0

x1 y1 ∆2

0Y

∆ y1

∆

3

0Y

•

x2 y2 ∆2

1Y

•

∆ y2

x3 y3 ∆mY

0

• •

• •

• ∆3

3Y

m−

• ∆2

2Y

m−

∆ ym−1

xm ym

5-6




Como podemos ver en cada columna se calcula una diferencia de orden mayor a la de la

columna anterior.

El punto de apoyo es comúnmente el punto inmediato al punto de interés.

Al realizar alguna interpolación, se requiere fijar el grado del polinomio. Este puede

determinarse algunas veces con el siguiente teorema que no demostraremos. Si se tabula un

polinomio de grado n, entonces la diferencia n+1 es 0, es decir, si en la columna n+1 de la

tabla de diferencias se tiene solamente 0's, entonces la función de la cual se genero la tabla es

un polinomio de grado n. Este teorema es útil, ya que nos permite determinar el grado

apropiado del polinomio, si la tabla de diferencias llega a 0. Luego discutiremos que pasa si la

tabla de diferencias no llega a 0.

5.5.1. Ejemplo del método de diferencias finitas hacia adelante de Newton

Consideremos la función definida por la tabla 3

Tabla 3.

X

Y

0 0

1 1

2 8

3 27

4 32

5 125

6 216

Deseamos hallar y(1.5). Primero calculemos la tabla de diferencias:

Página 5-7




Tabla 4. Tabla de diferencias

X

Y

∆Y ∆2Y ∆

3Y ∆4Y ∆

5Y ∆6Y

0 0

1

1 1 6

7 6

2 8 12 0

19 6 0

3 27 18 0 0

37 6 0

4 64 24 0

61 6

5 125 30

91

6 216

Podemos apreciar que la columna 4 es de ceros por lo cual el grado del polinomio es 3.

El espaciamiento constante es 1. El punto de apoyo es (1,1)

s vale:

s = =−1 5 11

0 5. .

Para leer las diferencias necesarias se traza una horizontal en el punto de interés y después una

diagonal hacia abajo, las diferencias arriba de la línea, son las que se emplean.

5-8




Tabla 5 Tabla de diferencias con diagonal para leer diferencias

Realizando cálculos:

y y i

s i

i

( . ) ( )15 0 0

1

3

= +=

∑ ∆ y

y

y y y y s s s( . ) ( ) ( ) ( )15 0 1 0 22

0 33

0= + + +∆ ∆ ∆

y y y y s k s k s k

k k k ( . )( )

!

( )

!

( )

!15 0 1 0 2

2

0 3

3

00

1 1

0

2 1

0

3 1

= +∏

+∏

+∏− − −

=

−

=

−

=

−

∆ ∆ y∆

y y y y s s s s s s( . )

!

( )

!

( )( )

!15 0 1 0

1

2

2

0

1 2

3

3

0= + + +− − −

∆ ∆ y∆

y( . ) ( ) ( ) ( ).!

. ( . )

!

. ( . )( . )

!15 1 7 12 60 5

1

0 5 0 5 1

2

0 5 0 5 1 0 5 2

3= + + +

− − −

( . ) .15 3 375=

Dado que la tabla viene de un polinomio, todas las cifras del resultado son significativas.

5.6. Diferencias finitas hacia atrás

Tenemos un problema ¿ qué pasa si el punto de interés esta al final de la tabla ? Por ejemplo, si

queremos y(5.5), al trazar la diagonal tenemos:

Página 5-9




Tabla 6 Tabla de diferencias con diagonal hacia abajo para leer diferencias

Es decir se nos terminan las diferencias. Este problema lo podemos arreglar si invertimos la

tabla y recalculamos las diferencias. Esto puede tomar tiempo. Si se realiza este procedimiento

es posible modificar la formula de Newton. Al invertir la tabla se puede demostrar que solo las

diferencias nones cambian de signo. Al modificar se obtiene la formula de diferencias finitas

hacia atrás ó formula regresiva:

y x y yi

s

i

n i( ) ( )= + ∇=

∑0

1

0

donde:

• n: es el grado del polinomio.

• y0: es la y del punto de apoyo, en este caso el punto siguiente al punto de interés.

La s se define igual.

El coeficiente binomial se calcula por:

( )( )

!i

s s k

ik

i

=∏ +

=

−

0

1

5-10




Las se llaman diferencia hacia atrás.∇

5.6.1. Ejemplo de diferencias finitas hacia atrás

Calculemos y(5.5). La diagonal ahora se traza en el punto siguiente al punto de interés y haciaarriba.

Tabla 7 Tabla de diferencias con diagonal hacia arriba

Realizando cálculos.

s = = −−5 5 61

0 5. .

y y i

s i

i

( . ) ( )55 0 0

1

3

= + ∇=

∑ y

y

y y y y s s s( . ) ( ) ( ) ( )55 0 1 0 2

2

0 3

3

0= + ∇ + ∇ + ∇

y y y y

s k s k s k

k k k ( . )

( )

!

( )

!

( )

!55 0 1 0 22

0 33

00

1 1

0

2 1

0

3 1

= +

∏

∇ +

∏

∇ +

∏

∇

+ + +

=

−

=

−

=

−

y

y y y y s s s s s s( . )

!

( )

!

( )( )

!55 0 1 0

1

2

2

0

1 2

3

3

0= + ∇ + ∇ + ∇+ + +

y

y( . ) ( ) ( ) ( ).!

. ( . )

!

. ( . )( . )

!55 216 91 30 60 5

1

0 5 0 5 1

2

0 5 0 5 1 0 5 2

3= + + +− − − + − − + − +

y( . ) .55 166 375=

Página 5-11




Como en el caso anterior, dado que la tabla viene de un polinomio, el resultado es correcto en

todas sus cifras.5

5.7. ¿ Que hacer si la tabla de diferencias no converge a 0 ?

Todavía queda el problema de que pasa si la tabla de diferencias no llega a 0. En la practica,

esto es lo que ocurre, en la mayoría de los casos, ya que las tablas no se obtienen de

polinomios, lo que nos genera un error de truncamiento, además de que puede existir error

inherente y error de redondeo. Consideremos por ejemplo la siguiente tabla:

Tabla 8.

X

Y

1.00 1.0000

1.01 1.0050

1.02 1.0100

1.03 1.0149

1.04 1.0198

1.05 1.0247

1.06 1.0296

Calculemos y(1.015). Al calcular la tabla de diferencias

5De hecho como se puede demostrar la tabla es de la función x3.

5-12




Tabla 9. Tabla de diferencias

X

Y

∆Y ∆2Y ∆

3Y ∆4Y ∆

5Y ∆6Y

1.00 1.0000

.005

1.01 1.0050 0

.005 -.0001

1.02 1.0100 -.0001 .0002

.0049 .0001 -.0003

1.03 1.0149 0 -.0001 .0004

.0049 0 .0001

1.04 1.0198 0 0

.0049 0

1.05 1.0247 0

.0049

1.06 1.0296

Tenemos que no se llega a una columna de 0's, pero sin embargo la tabla tiene muchos 0's. El

punto de apoyo es 1.01

Calculemos s:

s = =−1 015 1 0101

0 5. ..

.

Tracemos la diagonal.

Página 5-13





¿ Dónde nos paramos ?. Para contestar esto, calculemos cada termino de la formula por

separado:

y y i s i

i

n

( . ) ( )1015 0 0

1

= +=

∑ ∆ y

y +

y y y y y s s s s( . ) ( ) ( ) ( ) ( )1015 0 1 0 2 2 0 3 3 0 4 4 0= + + + +∆ ∆ ∆ ∆

( )5

5

0

s y∆

y y y y

s k s k s k

k k k ( . )

( )

!

( )

!

( )

!1015 0 1 0 2

20 3

30

0

1 1

0

2 1

0

3 1

= +∏

+∏

+∏− − −

=

−

=

−

=

−

∆ ∆ y∆

( )

!

( )

!

s k s k

k k y y− −

=

−

=

−

∏+

∏0

4 1

0

5 1

4

4

0 5

5

0∆ ∆

y y y s s s( . )

!

( )

!1015 0 1 0

1

2

2

0= + +−

∆ ∆ y +

s s s s s s s y y( )( )

!

( )( )( )

!

− − − − −+ +1 2

3

3

0

1 2 3

4

4

0∆ ∆

s s s s s y

( )( )( )( )

!

− − − −1 2 3 4

5

5

0∆

+−++=−

)0001.()005(.005.1)015.1(!2

)15.0(5.0

!15.0 y

0 5 0 5 1 0 5 2

3

0 5 0 5 1 0 5 2 0 5 3

40001 0001

. ( . )( . )

!

. ( . )( . )( . )

!(. ) ( . )

− − − − −+ − +

5-14




0 5 0 5 1 0 5 2 0 5 3 0 5 4

50001

. ( . )( . )( . )( . )

!(. )

− − − −

( . ) .1015 1 0025= + - 0.0000125

-0.00000625- 0.00000390625

-0.000002734375

y( . ) .1015 10025=

Dado que la tabla tiene 4 decimales, el termino es despreciable, respecto a los

decimales de la tabla. Nuestra respuesta debe de darse a 4 decimales que son los que tiene la

tabla. Aunque consideraremos este termino, no afectaría el resultado, es más tampoco afectan

los otros términos. En este caso podemos decir que el grado es 1. El resultado tiene 5 cifras

significativas.

- 0.0000125

6 Resumiendo si el valor absoluto de un termino es despreciable respecto a los

decimales que tenga la tabla, lo consideramos 0 y podemos determinar el grado. Este primer

termino despreciado es el error cometido por la aproximación. Para ver esto considera que:

y x y yn i

s

i

ni( ) ( )= +

=

∑0

1

0∆

y x y yn i

s

i

ni

−

=

−

= + ∑1 0

1

1

0( ) ( )∆

El error esta dado por:

e y x y xn n n= −−

( ) ( )1

e y y y yn i

s

i

ni

i

s

i

ni

= + − −= =

−

∑ ∑0

1

0 0

1

1

0( ) ( )∆ ∆

e yn i

s

i

ni

i

s

i

ni

= −= =

−

∑ ∑( ) ( )1

0

1

1

0∆ ∆ y

y∆

e y yn n

s i

i

s

i

ni

i

s

i

ni

= + −=

−

=

−

∑ ∑( ) ( ) ( )∆ ∆0

1

1

1

1

0

e yn n

s n= ( )∆ 0

Para fines de calculo es mejor fijar un criterio de convergencia basado en el error relativo,

como ya lo comentamos en las unidades anteriores.

Para el método de Newton, el criterio de convergencia será:

6¿ Por qué ?

Página 5-15




cc Tol n

y x y x

y x

e

y x

y

y xn n

n

n

n

n s n

n= = =

− −( ) ( )

( ) ( )

( )

( )1 0∆

≤

Por otro lado, si calculamos y(1.025), tenemos:

y( . ) .1025 10100= + 0.00245 + 0

El grado es 1, porque llegamos a un 0, entonces la función localmente es un polinomio de

grado 1. En pocas palabras, es posible que la tabla de diferencias no llegue a cero, pero puede

ocurrir que localmente si se tengan ceros, con lo cual la función localmente se comporta como

un polinomio. Curiosamente la función de la cual viene la tabla anterior NO es un polinomio es

x .

También puede ocurrir que cuando la tabla de diferencia no llega a 0, es posible que no se logrela convergencia. Puede ocurrir que cada termino sea más pequeño que el anterior en valor

absoluto, pero puede ser que se nos termine la tabla, en cuyo caso, el ultimo termino lo

tomamos para dar el grado. Esto lo veremos mejor con los ejemplos al final de la unidad.

5.8. Ventajas y desventajas del método de Newton

Este método tiene las siguiente ventajas:

1. Nos puede dar el grado del polinomio.

2. Los cálculos de un grado sirven para el siguiente.

3. Es bueno en los extremos de la tabla.

4. Es fácil para cálculos manuales.

Tiene las desventajas:

1. La tabla tiene que estar igualmente espaciada.

2. No es bueno en el centro, al menos que el grado del polinomio sea bajo.

3. No es fácil de programar.

5.9. Tablas no equiespaciadas

5-16




Estas se hallan frecuentemente al tabular datos experimentales. No es posible aplicar el método

de Newton.7 Una formula comúnmente usada en este caso, es la de interpolación de Lagrange.

5.10. Formula de Interpolación de Lagrange

Omitiendo el desarrollo es

y x yi

x x

x x

j j i

n

i

n j

i j( )

( )

( )=

−

−

=≠

=

∏∑00

Donde:

• n: grado del polinomio.

• : Productoría∏

• xi ,yi : Puntos de la tabla.

Esta formula si puede aplicarse independientemente del espaciamiento de la tabla, pero tiene el

inconveniente de que no se conoce el grado del polinomio. Como no se conoce, se tiene que

determinar iterativamente. Se propone un grado, se realiza la interpolación, se propone el

siguiente grado, se vuelve a interpolar y se compara con algún criterio de convergencia, si se

cumple terminamos si no se repite el procediendo. Es decir, se tienen la sucesión

y x y x y x y x y xn1 2 3( ), ( ), ( ), , ( ), , ( )• • • • • •

El cc puede ser:

cc Tol n

y x y x

y xn n

n= ≤

− −( ) ( )

( )1

Aquí la tolerancia esta restringida ya que no podemos pedir mas cifras que las que vienen dadas

en la tabla.

5.10.1. Ejemplo del método de interpolación de Lagrange

Consideremos la tabla

7¿ Por qué ?

Página 5-17




Tabla 11.

X

Y

0 1.0000000

5.0000000E-03 9.9713854E-01

1.0000000E-02 9.9432585E-01

1.5000000E-02 9.9156129E-01

2.0000000E-02 9.8884420E-01

2.5000000E-02 9.8617396E-01

3.0000000E-02 9.8354995E-01

Deseamos y(2.6000000E-02). El criterio de convergencia será

cc xn

y x y x

y xn n

n= ≤

− −−( ) ( )

( )1 5 10 9

Comenzamos con n=1. La formula desarrollada es

y x yi

x x

x x

j j i

i

j

i j( )

( )

( )=

−

−

=≠

=

∏∑0

1

0

1

y x y y x x

x x

x x

x x( )( )

( )

( )

( )= +−

−

−

−0 11

0 1

0

1 0

Los puntos empleados son:

(x0=2.5000000E-02, y0=9.8617396E-01)

(x1=3.0000000E-02, y1=9.8354995E-01)

Sustituyendo valores:

Y1 ( 2.6000000E-02) = 9.8564920E-01

Con n=2. La formula desarrollada es:

5-18




y x yi

x x

x x

j j i

i

j

i j( )

( )

( )=

−

−

=≠

=

∏∑0

2

0

2

y x y y y x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )= + +

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−0 1 21

0 1

2

0 2

0

1 0

2

1 2

0

2 0

1

2 1

Los puntos empleados son:

(x0=2.0000000E-02, y0=9.8884420E-01)

(x1=2.5000000E-02, y1=9.8617396E-01)

(x2=3.0000000E-02, y2=9.8354995E-01)

Sustituyendo valores:

Y2 ( 2.6000000E-02) = 9.8564550E-01

El criterio de convergencia es:

cc2 = 3.6888350E - 06

Como no se cumple se realiza otra iteración. Los cálculos se resumen en la tabla 15

Tabla 12.

n

Y

ccn

1 9.8564920E-01 -

2 9.8564550E-01 3.6888350E - 06

3 9.8564550E-01 0

El grado del polinomio es 2. y(2.6000E-02)= 9.8564550E-01

Es posible que te confundas al desglosar la formula de Lagrange al realizar cálculos. Parachecar si esta bien tu desarrollo ten en cuenta:

1. Hay n+1 términos.

2. Cada termino consta de n factores de x.

3. En cada termino se excluye el factor que coincide con el numero de termino.

Página 5-19




4. Si te confundes al excluir un factor, no te preocupes, te darás cuenta por que tendrías una

división entre 0.

5.11. Ventajas y desventajas del método de Lagrange

Este método tiene las ventajas:

1. Se puede aplicar si la tabla no esta igualmente espaciada.

2. Se puede aplicar en toda la tabla.

3. No requiere tabla de diferencias.

4. Es fácil de programar.

Sus desventajas son:

1. No da el grado del polinomio.

2. Es complicado para cálculos manuales.

5.12. Interpolación Inversa

A veces en vez de buscar la y se desea la x, es decir, x(y). Si Por ejemplo si de la tabla 14, la

cual esta igualmente espaciada deseamos x(.98564455). Aunque la tabla esta igualmente

espaciada en x en y no lo esta, por lo cual usamos el método de Lagrange. El criterio de

convergencia es8

cc xn

y x y x

y xn n

n= ≤

− −−( ) ( )

( )1 5 10 4

Los cálculos se resumen en la tabla 13

Tabla 13. Cálculos del método de Lagrange

n

x

ccn

1 2.6007030E-02 -

2 2.6000130E-02 2.6535400E-04

Por lo cual x(.98564455)=2.6000E-02. El grado del polinomio es 1.

8¿ Por qué ?

5-20




Hay problemas adicionales al hacer interpolación inversa. Es posible que el grado del

polinomio NO sea el mismo que con la interpolación normal. Hay otros problemas pero estos

los veremos en los ejemplos al final de la unidad.

5.13. Oscilación

El caso problemático en interpolación se denomina oscilación. Consideremos la siguiente

gráfica:

Fig. 1

Dado que los polinomios de colocación son: continuos, pasan por 2 ó más puntos de las curva,

tienen n-1 máximos y mínimos. El polinomio a forciori tiene sus máximos o mínimos entre

cada par de puntos de la curva. Esto puede provocar que si la curva es como la de la gráfica, el

error sea muy grande. Esto es mas probable a medida que el polinomio aumenta de grado. Este

fenómeno se conoce como Oscilación, por que el polinomio oscila9 entre cada punto de la

curva. Si la curva no se aproxima bien por polinomios, el error producido por la oscilación

puede ser grande. Por esta razón conviene usar siempre el grado mas bajo posible.

5.14. Extrapolación

La extrapolación es menos confiable que la interpolación, ya que si bien conocemos como se

comporta la curva en el intervalo en que esta tabulada, fuera de el no podemos asegurar nada.

Además si no oscila dentro del intervalo de la tabla, afuera si lo hará. Solo podemos asegurar

que mientras mas lejos extrapolemos peor será el resultado. Para extrapolar, podemos usar

ambos métodos. Para el método de Newton si el punto de interés es mayor al ultimo punto de la

tabla, entonces usamos como punto de apoyo el ultimo y empleamos diferencias finitas hacia

atrás.10

Si el punto de interés es menor al primer punto de la tabla usamos como punto de apoyo

el primero y diferencias finitas hacia delante.11 Para el método de Lagrange, la argumentación

es similar. Para este problema es mas útil el enfoque de la siguiente unidad.12

5.15. Ejemplos prácticos

9 Sube y baja. Como en un subibaja.

10¿ Por qué ?

11¿ Por qué ?

12El de ajuste de curvas.

Página 5-21




A continuación mostramos algunos ejemplos de la interpolación.

5.15.1. ¿ Cuántos lectores potenciales tenía Superman cuando se publico por primera vez?

Consideremos los siguientes datos:

Tabla 14. Censo de USA

Año

Población

1930 123203000

1940 131669000

1950 150697000

1960 179323000

1970 203212000

1980 226505000

Son datos del censo de USA. En el año de 1938 salió la primera revista de Superman ¿ qué

población había entonces ?

Dado que la tabla esta igualmente espaciada usemos el método de Newton. La tabla de

diferencias es:


Podemos apreciar que no tiende a 0.

El espaciamiento constante es 10.

5-22




El punto de apoyo es 1930.

s vale:

s = =−1938 193010

0 8.

Realizando cálculos

y y i

s i

i

n

( ) ( )1938 0 0

1

= +=

∑ ∆ y

y y y y y y s s s s( ) ( ) ( ) ( ) ( )1938 0 1 0 2

2

0 3

3

0 4

4

0= + + + + +∆ ∆ ∆ ∆

( )5

5

0

s y∆

y y y y s k s k s k

k k k ( )( )

!

( )

!

( )

!1938 0 1 0 2

2

0 3

3

00

1 1

0

2 1

0

3 1

= + ∏ + ∏ + ∏− − −=

−

=

−

=

−

∆ ∆ y∆

( )

!

( )

!

s k s k

k k y y− −

=

−

=

−

∏+

∏0

4 1

0

5 1

4

4

0 5

5

0∆ ∆

y y y s s s( )

!

( )

!1938 0 1 0

1

2

2

0= + +−

∆ ∆ y +

s s s s s s s y y

( )( )

!

( )( )( )

!

− − − − −+ +

1 2

3

3

0

1 2 3

4

4

0∆ ∆

s s s s s y

( )( )( )( )

!

− − − −1 2 3 4

5

5

0∆

y( ) ( ) ( ).

!

. ( . )

!1938 1232030000 8

1

0 8 0 8 1

2= + +

−

8.466E6 1.0562E7 +

0 8 0 8 1 0 8 2

3

0 8 0 8 1 0 8 2 0 8 3

4

. ( . )( . )

!

. ( . )( . )( . )

!( ) (

− − − − −+ +-9.64E5 -1.3371E7)

0 8 0 8 1 0 8 2 0 8 3 0 8 4

5

. ( . )( . )( . )( . )

!( )

− − − −3.1847E7

( )1938 123203000= + 6773280 - 844960.

-30848.+ 235329.6

+ 358724.608

Podemos apreciar que el 4to termino tuvo un aumento de valor absoluto respecto al anterior,

esto es causado por la oscilación, si aumentamos el grado del polinomio empeoraremos el

resultado. Nos quedamos hasta el 3er

termino, el anterior al que sube de valor. Por lo anterior el

grado es 2. El error cometido es de -30848. El valor es 1.2913080E+08. Redondeando a las

cifras significativas obtenidas conforme al error, tenemos que P(1938)= 129100000.13

13¿ Por qué ?

Página 5-23




Por lo tanto había a lo mas 129100000 lectores potenciales de Superman.14

5.15.2. ¿ Cuántos lectores tuvo Superman en su Boda ?

En 1996, después de un noviazgo de mas de 50 años, Superman se caso con Lois Lane.15

Calculemos la población en ese año en USA con los datos de la tabla 15. Con el método de

Lagrange tenemos los resultados en la tabla 16

Tabla 16.

n

Y

ccn

1 1.7907860E+08 -

2 3.7426430E+08 5.2151840E-01

3 3.4694860E+08 -7.8731290E-02

4 5.9566080E+06 -5.7246000E+01

Como podemos apreciar se tiene oscilación en grado 3 por lo cual nos quedamos con n=2 y un

error de -7.8731290E-02. Por lo anterior P(1996)=3E+08.16

De acuerdo con estos datos hubo aproximadamente 3E+08 lectores potenciales de Superman,

en el año que se caso.

5.15.3. Determinación del volumen del H2O

Una de las propiedades que comúnmente se emplean en mecánica de fluidos es el volumen del

liquido. El volumen de un liquido es una función de la temperatura. El liquido mas utilizado

por el hombre es el H2O. A continuación se muestra el volumen de un gramo de H20, en el

intervalo de 273.15 oK a 279.15 oK.

14Por supuesto hay que descontar a los analfabetas, que había en aquel entonces.

15Hasta que se le hizo.

16¿ Por qué ?

5-24




Tabla 17 Volumen de un 1 gr. de H2O

Temperatura (oK)

Volumen (cm3)

273.15 1.0001329

274.15 1.0000733

275.15 1.0000321

276.15 1.0000078

277.15 1.0000000

278.15 1.0000081

279.15 1.0000318

Deseamos determinar el volumen para las temperaturas de: 274, 275, 277, 278, 279, 280.15,

281.15, 282.15, 283.15 oK . Nota que en los últimos puntos estamos extrapolando.

Considerando que son datos experimentales, el criterio de convergencia será:

cc xn

y x y x

y xn n

n= ≤

− −−( ) ( )

( )1 5 10 8

Dada que la tabla esta igualmente espaciada usaremos el método de Newton. La tabla de

diferencias es:

Página 5-25




Tabla 18. Tabla de diferencias del volumen de 1 gr. de H2O

Temp. Y

∆Y ∆2Y ∆

3Y ∆4Y ∆

5Y ∆6Y

273.15 1.0001329

-5.96E-05

274.15 1.0000733 1.84E-05

-4.12E-05 -1.5E-06

275.15 1.0000321 1.69E-05 1.1E-06

-2.43E-05 -4.E-07 -1.3E-06

276.15 1.0000078 1.65E-05 -2.E-07 1.8E-06

-7.8E-06 -6.E-07 5.E-07

277.15 1.0000000 1.59E-05 3.E-07

8.1E-06 -3.E-07

278.15 1.0000081 1.56E-05

2.37E-05

279.15 1.0000318

Los cálculos se resumen en las siguientes tablas.

Tabla 19 y(274).

n

Y

ccn

1 1.0000820E+00 -

2 1.0000810E+00 -3.6653270E-08

Tabla 20 y(275).

n

Y

ccn

1 1.0000380E+00 -

2 1.0000370E+00 -3.6653270E-08

Tabla 21 y(277).

n

Y

ccn

1 1.0000010E+00 -

2 1.0000000E+00 1.5725000E-08

5-26




Tabla 22 y(278).

n

Y

ccn

1 1.0000280E+00 -

2 1.0000270E+00 2.3587360E-08

Tabla 23 y(279).

n

Y

ccn

1 1.0000070E+00 -

2 1.0000060E+00 1.1793430E-08

Tabla 24 y(280.15).

n

Y

ccn 1 1.0000560E+00 -

2 1.0000710E+00 -2.9997540E-07

3 1.0000710E+00 0

Tabla 25 y(281.15).

n

Y

ccn

1 1.0000790E+00 -

2 1.0001260E+00 -1.1998420E-06

3 1.0001250E+00 1.4997990E-06

Tabla 26 y(282.15).

n

Y

ccn

1 1.0001030E+00 -

2 1.0001960E+00 -2.9994050E-06

3 1.0001930E+00 4.4990820E-06

Tabla 27 y(283.15).

n

Y

ccn

1 1.0001270E+00 -

2 1.0002830E+00 -5.9983170E-06

3 1.0002770E+00 1.0496940E-05

Página 5-27




Podemos observar que en los puntos donde interpolamos los resultados son confiables en 7

cifras significativas y que el grado del polinomio fue de 1, en todos los puntos. Exceptuando en

el primer punto donde se extrapolo, en los demás se presentaron oscilaciones. Además los

resultados fueron menos confiables, ya que de acuerdo al criterio de convergencia solo se

obtuvieron 5 cifras significativas.

Moraleja: Es mas seguro interpolar que extrapolar.

Determinación de la temperatura del H2O

Comúnmente es fácil determinar el volumen de un liquido en función de la temperatura, pero

no viceversa. Esto se debe a que la dependencia del volumen con respecto a la temperatura es

por lo regular muy pequeña. Por esta razón se considera como una aproximación útil para

cálculos de ingeniería que el volumen es casi constante. Si consideramos los datos de la tabla

20, podemos intentar calcular la temperatura en función del volumen. Usaremos los volúmenes

de: 1.00012, 1.00071, 1.000031, 1.000008, 1.000045, 1.0001909, 1.0002719 cm3.

A pesar de que la tabla esta igualmente espaciada NO es posible usar el método de Newton. 17

Usaremos el método de Lagrange.

El criterio de convergencia es de:

cc xn

x y x y

x yn n

n= ≤

− −−( ) ( )

( )1 5 10 5

Los cálculos se resumen en las siguientes tablas:

Tabla 28 x(1.0001200E+00).

n

x

ccn

1 2.7336570E+02 -

2 2.7332100E+02 -1.6346250E-04

3 2.7339850E+02 2.8352260E-04

Tabla 29 x(1.0000710E+00).

n

x

ccn

1 2.7418780E+02 -

2 2.7419810E+02 3.7729870E-05

17¿ Por qué ?

5-28




Tabla 30 x(1.0000310E+00).

n

x

ccn

1 2.7485980E+02 -

2 2.7518030E+02 1.1646750E-03

3 2.7518730E+02 2.5395520E-05

Tabla 31 x(1.0000080E+00).

n

x

ccn

1 2.7525190E+02 -

2 2.7586340E+02 2.2167170E-03

3 2.7615850E+02 1.0684970E-03

4 2.7616670E+02 2.9946630E-05

Tabla 32 x(1.0000450E+00).

n

x

ccn

1 2.7462580E+02 -

2 2.7481120E+02 6.7473520E-04

3 2.7476430E+02 1.7082290E-04

4 2.7505090E+02 1.0419550E-03

Tabla 33 x(1.0000450E+00).

n

x

ccn

1 2.7462580E+02 -

2 2.7481120E+02 6.7473520E-04

3 2.7476430E+02 1.7082290E-04

4 2.7505090E+02 1.0419550E-03

Tabla 34 x(1.00019090E+00).

n

x

ccn

1 2.8586130E+02 -

2 2.1157910E+02 6.7473520E-04

3 -1.9428510E+05 1.0010890E+00

Página 5-29




Tabla 35 x(1.0002719E+00).

n

x

ccn

1 2.8928150E+02 -

2 1.2740430E+02 1.2705790E+00

3 -6.0377190E+05 1.0002110E+00

Podemos observar que el grado del polinomio vario a lo largo de la tabla. Además NO fue el

mismo que cuando interpolamos para hallar el volumen en función de la temperatura. En caso

de la extrapolación obtuvimos valores sin sentido. Esto se debe a la oscilación.

Moraleja: La extrapolación a veces no es posible.

Determinación de la presión de saturación

Una de las propiedades de una sustancia pura que más comúnmente se utiliza en cálculos de

Termodinámica es la presión de vapor o presión de saturación. Esta se define como la presión a

la cual existen en equilibrio una fase líquida y una fase vapor. Si la presión de vapor iguala a la

presión atmosférica, el líquido entrará en ebullición. Solo depende de la temperatura. Existen

diversas ecuaciones para calcular. Pero si están disponibles es mejor determinarla de tablas. La

siguiente tabla muestra la presión de saturación del H2O a diversas temperaturas

Tabla 36 Presión de vapor del H2O

Temperatura (o

R)

Presión (Psia)4.9168880E+02 8.8650000E-02

5.1899300E+02 2.5000000E-01

5.3925600E+02 5.0000000E-01

5.6141000E+02 1.0000000E+00

6.2191000E+02 5.0000000E+00

6.5288000E+02 1.0000000E+01

6.7167000E+02 1.4696000E+01

Deseamos determinar la presión de saturación a las siguientes temperaturas: 500, 530, 555, 615,

650, 666, 672, 672.7, 687.63 oR.

Dado que la tabla no esta igualmente espaciada usaremos el método de Lagrange. La tolerancia

es de 5x10-6. Los cálculos se resumen en la siguientes tablas.

5-30




Tabla 37 y(500).

n

Y

ccn

1 1.3776380E-01 -

2 1.1643070E-01 1.8322550E-01

3 1.2585800E-01 7.4904320E-02

4 1.2219320E-01 2.9992150E-02

5 1.2320530E-01 8.2145800E-03

6 1.2329140E-01 6.9900120E-04

Tabla 38 y(530).

n

Y

ccn

1 3.8580170E-01 -

2 3.6122680E-01 6.8031880E-02

3 3.7010840E-01 2.3997370E-02

4 3.6624160E-01 1.0557950E-02

5 3.6695100E-01 1.9331050E-03

6 3.6701320E-01 1.6938800E-04

Tabla 39 y(555).

n

Y

ccn

1 8.5533080E-01 -2 8.0216150E-01 6.6282550E-02

3 8.3278830E-01 3.6776250E-02

4 8.2211840E-01 1.2978600E-02

5 8.2363200E-01 1.8377140E-03

6 8.2359830E-01 4.0962000E-05

Página 5-31




Tabla 40 y(615).

n

Y

ccn

1 4.5431400E+00 -

2 4.1572040E+00 9.2835660E-02

3 4.2508120E+00 2.2021180E-02

4 4.2379780E+00 3.0281230E-03

5 4.2367960E+00 2.7911570E-04

6 4.2368660E+00 1.6656630E-05

Tabla 41 y(650).

n

Y

ccn

1 9.5350330E+00 -

2 9.3911940E+00 1.5316360E-02

3 9.4028930E+00 1.2441620E-03

4 9.4054000E+00 2.6657130E-04

5 9.4057380E+00 3.5893060E-05

Tabla 42 y(666).

n

Y

ccn

1 1.3278950E+01 -

2 1.3146690E+01 1.0060790E-02

3 1.3124800E+01 1.6676660E-03

4 1.3119260E+01 4.2212640E-04

5 1.3118410E+01 6.5064190E-05

6 1.3118480E+01 5.8884560E-06

Tabla 43 y(672).

n

Y

ccn

1 1.4778470E+01 -

2 1.4789690E+01 7.5857050E-04

3 1.4791800E+01 1.4267910E-04

4 1.4792370E+01 3.8102190E-05

5-32




Tabla 44 y(672.7).

n

Y

ccn

1 1.4953420E+01 -

2 1.4989720E+01 2.4214490E-03

3 1.4996640E+01 4.6149100E-04

4 1.4998500E+01 1.2424440E-04

5 1.4998800E+01 1.9965180E-05

Tabla 45 y(687.63).

n

Y

ccn

1 1.8684730E+01 -

2 1.9670830E+01 5.0129940E-02

3 1.9914060E+01 1.2214310E-02

4 1.9988330E+01 3.7153950E-03

5 2.0001730E+01 6.7018430E-04

6 2.0000340E+01 6.9807790E-05

Podemos observar que en la mayoría de los casos casi se logra la convergencia. Esto implica

que si tuviésemos mas puntos si se hubiese logrado. También podemos observar que esta tabla

se aproxima bien por un polinomio de colocación, ya que inclusive en el punto donde se

extrapoló se logro la convergencia.

Moraleja: A veces faltan puntos para lograr la convergencia.

Determinación de la temperatura de saturación.

La temperatura de saturación de una sustancia pura es análoga a la presión de saturación. Esta

se define como la temperatura a la cual existen en equilibrio una fase líquida y una fase vapor.

Es bien sabido que la presión atmosférica es variable y depende de la altura. Por esta razón un

líquido no hierve a la misma temperatura en cualquier parte del planeta. Estimando la

temperatura de saturación, podemos inferir de cierta forma cuanta energía requeriremos parahervir una sustancia. La temperatura de saturación puede estimarse de una tabla para la Pvap.

Con la tabla del problema anterior determinemos la Tsat para las siguientes presiones: 0.1, 0.3,

0.75, 2.4, 7.5, 12, 20 psia, con una tolerancia de 5x10-6 . Los cálculos se muestran en las

siguientes tablas.

Página 5-33




Tabla 46 x(1E-1).

n

x

ccn

1 4.9360950E+02 -

2 4.9397450E+02 7.3882300E-04

3 4.9409800E+02 2.5002160E-04

4 4.9411950E+02 4.3603640E-05

5 4.9413000E+02 2.1122000E-05

6 4.9413690E+02 1.3957620E-05

Tabla 47 x(3E-1).

n

x

ccn

1 5.2304560E+02 -

2 5.2353560E+02 9.3592530E-04

3 5.2359810E+02 1.1948290E-04

4 5.2362650E+02 5.4084950E-05

5 5.2364460E+02 3.4617830E-05

6 5.2471390E+02 2.0378250E-03

Tabla 48 x(75E-2).

n

x

ccn

1 5.5033300E+02 -

2 5.5073830E+02 7.3598380E-04

3 5.5089190E+02 2.7875610E-04

4 5.5098230E+02 1.6405800E-04

5 5.5293150E+02 3.5252440E-03

Tabla 49 x(2.4).

n

x

ccn

1 5.8258500E+02 -

2 5.8619710E+02 6.1619580E-03

3 5.8774470E+02 2.6331290E-03

4 6.0025850E+02 2.0847340E-02

5-34




Tabla 50 x(7.5).

n

x

ccn

1 6.3739500E+02 -

2 6.3880840E+02 2.2125430E-03

3 6.4132450E+02 3.9232130E-03

4 6.0025850E+02 2.0847340E-02

Tabla 51 x(12).

n

x

ccn

1 6.6088260E+02 -

2 6.6210200E+02 1.8417430E-03

3 6.5999050E+02 3.1992130E-03

4 6.0025850E+02 2.0847340E-02

Tabla 52 x(20).

n

x

ccn

1 6.9289280E+02 -

2 6.8089770E+02 1.7616620E-02

3 7.2540550E+02 6.1355770E-02

4 6.0025850E+02 2.0847340E-02

Podemos observar que en este caso la tabla NO se aproxima bien por polinomios ya se presenta

el fenómeno de oscilación. Solo al principio existe un comportamiento aceptable.

Moraleja: El que una función se aproxime bien por polinomios de colocación NO implica que

la función inversa lo hará.

5.16. Resumen

La interpolación trata de hallar valores de y para x's que no estén tabuladas y estén entre los

limites de la tabla. Si la x esta fuera de los limites el problema se denomina extrapolación.

Si la tabla esta igualmente espaciada se usa el método de diferencias Finitas de Newton.

Si no lo esta se usa la formula de Interpolación de Lagrange.

Página 5-35




El método de diferencias de Newton tiene las siguiente ventajas:

Nos da el grado del polinomio.

Los cálculos de un grado sirven para el siguiente.

Es bueno en los extremos de la tabla.

Es fácil para cálculos manuales.

Tiene las desventajas:

La tabla tiene que estar igualmente espaciada.

No es bueno en el centro, al menos que el grado del polinomio sea bajo.

No es fácil de programar.

La formula de Lagrange tiene las ventajas:

Se puede aplicar si la tabla no esta igualmente espaciada.

Se puede aplicar en toda la tabla.

No requiere tabla de diferencias.

Es fácil de programar.

Sus desventajas son:

No da el grado del polinomio.

Es complicado para cálculos manuales.

La interpolación inversa consiste de intercambiar los papeles de x y se usa el método de

Lagrange. Por lo regular el grado del polinomio NO es el mismo que el caso de la interpolación

normal.

La oscilación implica que el grado del polinomio debe ser bajo. Comúnmente se realiza con elmétodo de Lagrange.

La oscilación se presenta comúnmente cuando:

La función no puede aproximarse bien por polinomios.

Al extrapolar.

5-36




Al interpolar de manera inversa.

Cuando los datos tienen mucho error.

Página 5-37




5.17. Índice Interpolación

5. Interpolación ____________________________________________________________________ 5-1

5.1. Introducción__________________________________________________________ 5-1

5.2. Tipos de interpolación __________________________________________________ 5-1 5.2.1. Enfoques para realizar la interpolación _________________________________________ 5-2

5.3. Curvas de colocación___________________________________________________ 5-2 5.3.1. Polinomios de colocación ___________________________________________________ 5-2

5.4. Tablas equiespaciadas __________________________________________________ 5-4

5.5. Método de la diferencias finitas hacia adelante de Newton ____________________ 5-4 5.5.1. Ejemplo del método de diferencias finitas hacia adelante de Newton__________________ 5-7

5.6. Diferencias finitas hacia atrás____________________________________________ 5-9 5.6.1. Ejemplo de diferencias finitas hacia atrás ______________________________________ 5-11

5.7. ¿ Que hacer si la tabla de diferencias no converge a 0 ? _____________________ 5-12

5.8. Ventajas y desventajas del método de Newton _____________________________ 5-16

5.9. Tablas no equiespaciadas ______________________________________________ 5-16

5.10. Formula de Interpolación de Lagrange _________________________________ 5-17 5.10.1. Ejemplo del método de interpolación de Lagrange _______________________________ 5-17

5.11. Ventajas y desventajas del método de Lagrange__________________________ 5-20

5.12. Interpolación Inversa________________________________________________ 5-20

5.13. Oscilación _________________________________________________________ 5-21

5.14. Extrapolación ______________________________________________________ 5-21

5.15. Ejemplos prácticos __________________________________________________ 5-21 5.15.1. ¿ Cuántos lectores potenciales tenía Superman cuando se publico por primera vez ? ____ 5-22 5.15.2. ¿ Cuántos lectores tuvo Superman en su Boda ? _________________________________ 5-24 5.15.3. Determinación del volumen del H2O__________________________________________ 5-24

5.16. Resumen __________________________________________________________ 5-35

5.17. Índice Interpolación_________________________________________________ 5-38

5-38

Metodos Numericos tema5

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