MODELO NUMÉRICO BIDIMENSIONAL DE FLUJO DE

ALIVIADERO

TWO-DIMENSIONAL NUMERICAL MODEL OF SPILLWAY FLOW

K. Unami, T. Kawachi, M. Munir Babar, and H. Itagaki, traducido por Alberto Tupa OrtizFacultad de ingeniería Civil, Universidad Nacional de San Agustín, Arequipa, Perú

Correo-e: atupao@hotmail.com

Resumen:

Un modelo numérico usando los métodos de elemento finito y volumen finito es desarrollado por la solución de ecuaciones de flujo de superficie libre bidimensional incluyendo el arrastre de aire y aplicado al cálculo del flujo del aliviadero. El modelo está implementado en una malla triangular estructurada donde el esquema estándar de Galerkin y un esquema de volumen finito contra el viento están desarrollados para resolver las ecuaciones de continuidad y conservación de cantidad de movimiento, respectivamente. La integración respecto al tiempo es realizada usando el método de precisión de cuarto orden de Runge-Kutta con intervalos de tiempo que satisface la condición de Courant-Friedrichs-Lewy. Un término artificial de dispersión es introducido para eliminar oscilaciones falsas. Un problema de prueba en un aliviadero es resuelto para verificar la aplicabilidad del modelo al diseño práctico. Una solución realista es obtenida que representa series de alternaciones de estados de flujo de supercrítico a subcrítico y viceversa, así como el incremento de nivel de superficie debido al arrastre de aire. El significado temporal de las soluciones calculadas es comparado con información experimental temporal y examinada por evaluación posterior del término residual debido a la heterogeneidad vertical de la velocidad. Las investigaciones prueban que el modelo es válido como una herramienta de primer análisis para el diseño hidráulico de aliviaderos Palabras clave— Aire arrastrado, alteraciones de estado de flujo, superficie libre bidimensional, volumen finito.

Abstract—A numerical model using the finite-element and finite-volume methods is developed for the resolution of two-dimensional free-surface flow equations including air entrainment and applied to calculation of the flow in a spillway. The model is implemented on an unstructured triangular mesh where the standard Galerkin scheme and an upwind finite-volume scheme are developed to solve the continuity and the conservative momentum equations, respectively. The time integration is performed using the fourth-order-accurate Runge-Kutta method with time steps that satisfy the Courant-Friedrichs-Lewy condition. An artificial dispersion term is introduced to eliminate spurious oscillations. A test problem in a spillway is solved to verify the applicability of the model to practical design. A physically realistic solution is obtained that represents a series of flow state alternations from supercritical to subcritical and vice versa, as well as the surface level increase due to the entrained air. The temporal mean of the calculated solution is compared with experimental temporal mean data and examined by posteriorly evaluating the residual term due to vertical nonhomogeneity of velocity. The investigations prove that the model is valid as a primary analysis tool for hydraulic design of spillways.Key Words —Entrained air, flow state alterations, bi-dimensional free surface, finite-volume.

I) INTRODUCCIÓN

Un aliviadero, el cual consiste de una cresta de desbordamiento, el canal cola, y la cuenca de aquietamiento, es un componente clave de la presa. La alternación de los estados subcrítico y supercrítico así como el arrastre de aire en el agua es un fenómeno particular que hace que el diseño

hidráulico de un aliviadero requiera un modelo de análisis numérico particular. Las ecuaciones bidimensionales de superficie libre, las cuales resultan de la integración vertical de las ecuaciones de Euler, pueden ser usadas para este propósito como un modelo matemático primario de flujos de canales abiertos, mientras el incremento del nivel de superficie libre debido al arrastre de aire puede

ser tomado en cuenta mediante el uso de una fórmula empírica. Varios modelos numéricos que ya se han desarrollado para resolver las ecuaciones de flujo bidimensional de superficie libre incluyen el método de diferencias finitas, el método de elementos finitos, y el método de volumen finito. En la mayoría de los casos, cualquiera de estos métodos requiere una técnica especial para analizar los flujos sub-críticos y supercríticos sin un algoritmo computacional separado. Moll y Chaudhry (1995) aplicaron el esquema de diferencia finita de dirección alterna implícita (ADI) en coordenadas de contorno equipado con viscosidad artificial a una amplia variedad de problemas hidráulicos. Bova y Carey (1996) presentaron un esquema de elemento finito de Petrov-Galerkin aerodinámico contra el viento introduciendo una nueva forma simétrica de las ecuaciones de conservación. Laible y Lillys (1997) utilizaron un filtro de cálculo conservador de masas para controlar las oscilaciones numéricas en un esquema de elementos finitos. Zhao et al. (1996) examinó tres diferentes solucionadores de Riemann aproximadas usando el método de volúmenes finitos y demostró que todos ellos pueden simular satisfactoriamente ondas de choque. Anastasiou y Chan (1997) desarrollaron un esquema de volumen finito de precisión de segundo orden para mallas triangulares no estructuradas. En el presente trabajo, un modelo numérico se desarrolla utilizando tanto el elemento finito y los métodos de volumen finito. El esquema estándar de Galerkin se aplica a la ecuación de continuidad, mientras que un esquema de volúmenes finitos contra el viento resuelve la ecuación de cantidad de movimiento. La idea principal que subyace en el modelo es que el uso de diferentes espacios de funciones para la representación de las incógnitas puede eliminar las oscilaciones espurias. Esto ya ha sido demostrado por Ambrosi et al. (1996) utilizando un esquema de elementos finitos contra el viento con las funciones por tramos lineales y funciones cuadráticas por tramos para la elevación y la descarga de unidades de ancho, respectivamente. Ambrosi et al. Afirma que como incompatibilidad de espacios de funciones nunca ha sido teóricamente explicado por las ecuaciones de aguas superficiales. En lo que se refiere al presente modelo, la imposición del orden mínimo de regularidad en cada uno de los espacios de funciones permite sólo una condición de contorno que se especificará en un punto en el límite, y esto es consistente con la realidad física porque la elevación y la descarga por unidad de ancho son interdependientes.El ruido numérico que el esquema estándar de Galerkin no puede evitar es manejado por un término de dispersión artificial, que funciona como un filtro numérico, la conservación de la masa.

Dado que una ventaja común de los métodos de elementos finitos y volumen finito es su adaptabilidad a cualquier malla no estructurada, el modelo es muy adecuado a la geometría compleja. Además, el elemento finito y los métodos de volúmenes finitos son complementarios. El método de volumen finito requiere menos esfuerzo computacional que el método de elementos finitos para que un esquema de en contra del viento en particular pueda ser introducido, y el método de elementos finitos incorpora fácilmente condiciones de contorno en comparación con el método de volúmenes finitos. El modelo numérico se aplica al cálculo del caudal en un vertedero. El campo de flujo que representa una serie de alternaciones de estados de flujo, así como el aumento de nivel de la superficie debido al arrastre del aire está demostrado. El significado temporal de la solución calculada se compara con los significados de los datos experimentales temporales. El término residual debido a la no homogeneidad vertical de la velocidad se evalúa posteriormente para confirmar el resultado calculado.

II) CONTENIDO

1) Diseño hidráulico usando el modelo numérico

Antes de presentar la descripción matemática del modelo numérico, se discuten brevemente sus aspectos prácticos en el diseño hidráulico.

Dado que un vertedero es muy importante para la seguridad de la presa, los experimentos de modelo hidráulico deben llevarse a cabo para verificar su capacidad. Sin embargo, los inconvenientes de la realización de experimentos de modelo hidráulico es que son costosos y la dificultad de cambiar detalles, que dan lugar a un procedimiento de diseño ineficiente. Un modelo numérico versátil, incluso si no se puede usar para la determinación definitiva del diseño, es valiosa para obtener una guía aproximada para corregir detalles porque el coste computacional es bajo en relación con el modelado físico.

El modelo numérico que aquí se presenta es un modelo 2D que es incapaz de reproducir estructuras de flujo 3D y utiliza una fórmula empírica de profundidad promediada bastante simplificada para estimar el aire arrastrado. Por lo tanto, los resultados calculados se deben utilizar como un suplemento para el experimento de modelo hidráulico. Sin embargo, este modelo numérico, que es capaz de manejar el flujo en todo

el aliviadero de forma simultánea, es más ventajoso que otros modelos, que hasta el momento no se han aplicado a un caso práctico tan complejo.

2) Ecuaciones gobernantes

La integración de las ecuaciones de Euler de la parte inferior del canal a la superficie de flujo con las hipótesis de distribución de presión hidrostática y aceleración de Coriolis insignificante resulta en las ecuaciones de flujo de superficie libre 2D, que se podrán escribir en la conservadora forma como:

∂(ρh)∂ t

+∂(ρhu)

∂ x+

∂( ρhv)∂ y

+ρd=0

(1)

y

∂∂ t (ρhu

ρhv )+ ∂∂ x ( ρhu2+ 1

2ρg h2

ρhuv )+ ∂∂ y ( ρhuv

ρh v2+12

ρg h2)=(Sx

S y) (2)

Donde t = tiempo; X e Y = cartesianas cartesianas; ρ= densidad; h = profundidad de flujo; (u, v) T = profundidad promedio de velocidad del vector, donde elsuperíndice T representa la transpuesta; g = aceleración de la gravedad; d = término residual debido a la no homogeneidad vertical de la velocidad expresada como:

d= (uh−u ) ∂h∂ x

+( vh−v ) ∂ h∂ y

+( uh−u0 ) ∂ z∂ x

+( vh−v0 ) ∂ z∂ y

(3)Donde:

(uh−u )T=¿ vector de velocidad superficial

(u0 , v0 )T=¿vector de velocidad inferior

Y Sx y S y=¿ términos de fuente/sumidero, los cuales pueden ser dados por:

Sx=−ρgh( ∂ z∂ x

+ n2u√u2+v2

h43 )

(4)

Sy=−ρgh( ∂ z∂ y

+ n2 v √u2+v2

h43 )

(5)Donde:z= nivel inferior del canal n=coeficiente de rugosidad de Manning

Note que (4) y (5) contienen términos de pendiente inferior y los términos de fricción usando el coeficiente de rugosidad de Manning n para estimar la cama de corte. Cuando la densidad ρ es expresada como ρ=γ ρ0 donde γ=¿gravedad específica y ρ0=¿densidad del agua pura, (1) y (2) pueden ser reescritas como:

∂ H∂ t

+ ∂ P∂ x

+ ∂ Q∂ y

+D=0 (6)Y

∂∂ t (P

Q)+ ∂∂ x ( P2

H+ g H2

2 γPQH

)+ ∂∂ y (

PQH

Q2

H+ gH 2

2 γ)=(Sx

S y ) (7)

usando las notaciones H = gh, P = ghu, Q = ghv, y D = gd.Dado que la densidad r se ve afectada principalmente por el aire arrastrado en un canal de alta velocidad, la gravedad g específico se supone que es ser dado por la fórmula empírica:

γ= 21+√1+0.02 F2

(8)

Donde: F= Número de Froude dado por:

F=√P2+Q2

g H 3

(9)

Como propuso Gumensky (1949). Las ecuaciones parciales (6) y (7) son solucionadas simultáneamente en un dominio Ω, donde una condición inicial es dada, bajo una condición de límite de Neumann impuesta en el límite de Ω como:

P nx+Q ny=φ (10)

Donde:φ =Valor límite especificado de descarga exterior de anchura de unidad; y (nx, ny)T =vector normal unitario hacia afuera.

3) El Método de Discretización

Los métodos de elementos finitos y volúmenes finitos son aplicados a discretización espacial de (6) y (7), respectivamente. En el modelo del discretizado, el

dominio Ω está dividido en elementos triangulares por nodos. Los números de los elementos y nodos están implícitos por Ne y Nn, respectivamente. Los valores nodales de H y los valores elementales de P y Q son tomados como incógnitas.

4) El Esquema de Elementos Finitos

El esquema de elementos finitos para solucionar la ecuación de continuidad (6) se basa en la forma débil

∂∂ t∫Ω

❑

Hw d Ω=∫Ω

❑

( P ∂ w∂ x

+Q ∂ w∂ y )d Ω−∫

Ω

❑

( P nx+Q n y) wd Γ−∫Ω

❑

Dw d Ω

(11)

Donde:w = función de ponderación; y Γ= límite de Ω.

A partir de que la estructura vertical de distribución de velocidad es tan difícil para identificar que el término residual D no puede ser precisamente estimado, el tercer término del lado derecho de (11) está por consiguiente repuesto por un término artificial de dispersión.

∫Ω

❑

Dw d Ω=¿ v∫Ω

❑

( ∂ H∂ x

∂ w∂ x

+ ∂ H∂ y

∂w∂ y )d Ω ¿

(12)

Donde: v = coeficiente artificial de dispersión, el cual es tomado como una constante espacial. No hay significado físico de este término artificial de dispersión, pero su introducción, cumpliendo con la conservación de la masa, amortigua las oscilaciones numéricas y pueden ser justificadas si está apropiadamente relacionada con el término residual original tan discutido después. El método estándar de Galerkin, que usa piezas de las funciones lineales sabias para interpolar el valor de H adelante en los elementos como para las funciones de opresión, reducen (11) a una ecuación matricial de elementos finitos.

dHdt

=W−1 K ( PQ)−W−1b−vW−1 K D H

(13)

Donde:W=Matriz de masa NnxNn;

K=Matriz de fluidez Nnx2Ne

b=Vector de carga Nn- dimensional que determina φ KD=Matriz dispersión NnxNn

H=Vector Nn-dimensional del cual el j-ésimo componente es el j-ésimo valor nodal de HP y Q = Vectores Nn-dimensionales de los cuales el i-ésimo componente son los i-ésimos valores nodales de P y Q, respectivamente.

5) El Esquema de Volumen Finito Contra el Viento

La ecuación de momento (7) es integrada sobre cada elemento Ωe

i por una técnica de volumen finito. La aplicación de la fórmula de Green a las integrales resulta en:

Aie ∂

∂ t ( PQ)=∫

Γ ie

❑ {( P2

H+ g H 2

2 γPQH

)dy−(PQH

Q2

H + gH 2

2 γ)dx}+¿∫

Ωie

❑

(Sx

S y)d Ω¿

(14)

Donde:

Aie=Área de Ωi

e

Γ ie=límite de Ωi

e

Y el subíndice i representa el i-ésimo valor elemental

Un esquema contra el viento es empleado evalúa numéricamente el lado de la mano derecha de (14).

Figura 1. Detalles del modelo de aliviadero:(a) Malla; (b) Contornos de elevación de cama cada 1 m

Note que los vectores (P,Q)T, los cuales son vectores propios de la matriz Jacobiana de la forma no conservativa de (14), juega un rol dominante en el esquema contra el viento.

El límite integral en (14) está dado por la sumatoria de tres integrales lineales sobre los respectivos lados de Ωi

e

y denotado por (I xi , Iy

i)T. La integral de línea en un lado es evaluada por el procedimiento descrito en el Apéndice I, y el término del dominio de la integral en (14) es determinada por el procedimiento resumido en el Apéndice II y denotado por (S x

i , Syi)T. En ambos

procedimientos, los parámetros de edad de enlace sirven para determinar los valores apropiados de contra el viento

Finalmente, (14) se redujo a:

ddt ( Pi

Qi)=1A i

e ( I ix

I iy )+ 1

A ie (S i

x

Siy)

(15)

Para el i-ésimo elemento genérico.

6) Integración respecto al tiempo

La integración respecto al tiempo de las ecuaciones diferenciales ordinarias (13) y (15) es ejecutada por el siguiente procedimiento desde una etapa actual a una siguiente.Primero, considerando la condición Courants-Friedrichs-Lewy, el intervalo de tiempo Δt es tomado como:

∆ t=N e

MINi=1 (r i

e( √Pi2+Qi

2

3MINk=1

( H σ (i ,k))+√ g

3MAXk=1

( H σ ( i ,k)))−1

) (16)

Donde

r ie = radio del interior círculo tangente a Ωi

e

H σ (i ,k )= valor H en el k-ésimo vértice de Ωie

. El método de Runge-Kutta de precisión de cuarto orden, es empleado para integrar:

dHdt

=W−1 K ( PQ)−W−1b

(17)Y (15) simultáneamente. Usando el H actualizado, el coeficiente artificial de dispersión v se determina por:

v=C1 AN e Δt (exp(

C2

N e

minj=1

( H j ) )−1) (18)

Donde: A = área de Ω; C1y C2= parámetros constantes, que dominan toda la magnitud de la dispersión artificial y su decaimiento con respecto a la profundidad de flujo, respectivamente; y el subíndice j representa el j-ésimo valor nodal. Luego, H

es corregido adicionalmente restandovW−1 K D H Δt, lo cual puede hacer estable a la solución pero cosmética si el coeficiente de dispersión artificial v se hace grande.

7) Aplicación

7.1) Cálculo del flujo del aliviadero

Para verificar la aplicabilidad del modelo numérico, una prueba de problema se examina en el

vertedero de una presa de llenado que está actualmente bajo construcción. Se han realizado experimentos por Taruya et al. (1986) en un modelo de Froude del

aliviadero de escala 1/30, pero no podía predecir el aumento del nivel de la superficie libre debido al aire arrastrado por el efecto de escala. La Fig.1 muestra la configuración del aliviadero modelado, que es el dominio Ω cubierto por la malla que tiene 1,023 nodos y 1,852 elementos. El agua, que desborda la cresta de 105 m de ancho, está dirigido por el canal de cola de 410 m de longitud para llegar a amortiguar a una cuenca de 55 m de largo del tipo USBR II. La parte empinada del canal de cola está en una pendiente de 1 a 2.5. Bloques Tolva y embarcaderos deflectores están instalados en el cuenco amortiguador. El problema de prueba de prescribir la siguiente condición es seleccionado. La descarga de entrada se especificada a una velocidad de 530 m3/s, que es el mayor caudal de diseño de descarga del sitio de la presa, mientras que la descarga de la unitaria de salida se da por 0,85 H5 / 3 m2 / s que asume una cierta condición de flujo aguas abajo.La aceleración de la gravedad g = 9.81 m / s2 y el coeficiente de rugosidad de Manning n = 0.015 s / m1 / 3 se toman como constantes.La condición inicial especificada en t = 0 s se resume en Tabla 1. Los parámetros constantes se fijan como C1 = 0,1 y C2 = 0,05 m después de un proceso de ensayo y error para hacer una compensación entre la estabilidad computacional y la adecuación de la solución.Después del aumento que se produce en el desbordamiento la cresta llega al extremo de aguas abajo, el flujo se vuelve estable, pero no asintótica.Ciertamente, los flujos perturbados con olas son observados en los experimentos, y los niveles medidos de superficie de flujo media.Por lo tanto, la media temporal de H se toma de t = 300 s hasta t = 900 s por lo que la media calculada de los niveles de superficie de flujo

Figura 2. Niveles de superficie de agua medios calculados y medidos excluyendo el aire arrastrado vs. Distancia a través de la cola del canal (la medida ha sido hecha en modelo de Froude a una escala de 1/30) – La sección mostrada en la figura 1: (a) AA’; (b) BB’; (c) CC’; (e) EE’; (f) FF’; (g) GG FIG. 3. Campo de flujo medio calculado incluyendo aire arrastrado de t = 300 s a t = 900 s; (a) Diagramas vectoriales de descarga por unidad de ancho y gráfica del número de Froude F; (b) Nivel de contorno de agua cada 1 m and gráfica de coeficiente de variaci

FIG. 4. Nivel medio de agua calculado incluyendo aire arrastrado desde t = 300 s a t = 900 s a lo largo de HH9

mostrado en la Fig. 1FIG. 5. Posteriormente evaluado el término residual, se grafica.

excluyendo el aire arrastrado se comparan con los medidos de la Fig. 2. Las comparaciones se hacen sólo en algunas secciones transversales en el canal de cola porque no hay datos que son medidos en el cuenco amortiguador. El estado supercrítico de flujo sobre la cresta cambia a estado subcrítico y otra vez cambia de subcrítico a supercrítico en la parte inclinada del canal de cola.El modelo numérico representa estos estados capturando el salto hidráulico dentro de unos pocos elementos. Sin embargo, discrepancias considerables se pueden observar entre el cálculo y medición de los perfiles en las secciones AA’, BB’ y CC’.En las partes correspondientes de un aliviadero real, la dirección de flujo cambia repentinamente y se forma una espiral grande. Un modelo 2D es incapaz de manejar tales características de flujo altamente 3D, y una inmersión se produce debajo de la cresta de desbordamiento en el presente modelo.

Las figuras 3 y 4 muestran un campo de flujo calculado incluyendo el aire arrastrado. El valor mínimo de γ= 0,78 se logra de inmediato aguas arriba del cuenco amortiguador. Fluctuaciones intensas de la superficie del agua en dos saltos hidráulicos en la parte de aguas abajo de la cresta de desbordamiento y en el cuenco amortiguador puede ser reconocido a partir del coeficiente de variación (CV) en H. Dos flujos circulatorios que difieren en tamaño se desarrollan en el cuenco amortiguador de manera que la corriente principal se deja de lado. Los patrones de flujo asimétrico incluso en expansiones bruscas perfectamente simétricas fueron investigados por Graber (1982), y se demostró que analíticamente los fenómenos se deben a la inestabilidad estática del flujo. Zhou (1995) numéricamente reprodujo tal flujo usando un modelo de volumen finito. El flujo que se presenta aquí se considera similar.

Tabla 1. Condición inicial especificadaComponente del aliviadero(1)

H(m)(2)

P(m2/s)(3)

Cresta de desbordamiento y la parte no empinada del canal de colaParte empinada del canal de colaCuenco amortiguador

188-z1134-z

000

7.2) Evaluación posterior del término residual

El significado del campo de flujo obtenido arriba es ahora examinado posteriormente por evaluación del término residual D en la ecuación de continuidad. Contrario al modelo numérico donde el método de elementos finitos es usado para resolver la ecuación de continuidad, el método de volumen finito es aplicado a (6) eliminación de un término inestable, y el término D residual puede ser evaluado posteriormente de la media calculada de la descarga por unidad de ancho como:

Di=

−∫Γ i

e

❑

(Pdy−Qdx)

A ie

(19)

Donde:Di= Posteriormente evaluado el valor D en un i-ésimo

elemento genérico. La Fig. 5 muestra la gráfica de |Di| posteriormente evaluado por un esquema sin contra-venteo. La investigación cualitativa de cómo cada término de la mano derecha de (3) contribuye a Dino es evaluada aquí porque eso requiere asunciones torpes acerca de la distribución de la velocidad y la fluctuación temporal en el gradiente de h. Por lo tanto la discusión está restringida al tamaño relativo de |Di|. El valor

|Di| es pequeño en la parte escarpada de la cola del canal y grande en el salto hidráulico en la mitad aguas abajo del cuenco amortiguador, donde la velocidad cambia drásticamente del fondo de la superficie y del gradiente de h es evidentemente grande. Los valores grandes de |Di| son también encontrados a lo largo de las paredes de la parte llana de la cola del canal, donde considerablemente una compleja estructura 3D es esperada. Ésta distribución de los valores de |Di| es consistente con la realidad física y tolerados en el estudio primario del problema hidráulico.

8) CONCLUSIONES:

Un modelo numérico usando ambos métodos de volúmenes y elementos finitos es presentado para la resolución de ecuaciones de superficie libre en 2 dimensiones con la fórmula empírica de Gumensky, la cual determina el incremento del nivel de la superficie libre debido al arrastre de aire y la aplicación de flujos en aliviaderos. Aparte del esquema estándar de Galerkin

usado para la ecuación de continuidad, el esquema de volumen finito contra el viento es desarrollado para resolver la ecuación de momento. El tamaño del intervalo de la integración respecto del tiempo satisface la condición de Courant-Friedrichs-Lewy y el término artificial de dispersión confiere estabilidad numérica. Consecuentemente la fortaleza del modelo es adaptabilidad a cualquier malla triangular no estructurada y control de oscilaciones numéricas.La prueba del problema en el aliviadero es resuelto para verificar la aplicabilidad del modelo. El nivel de superficie de flujo medio calculado es comparado con la información experimental.La solución numérica además examinada posteriormente por la evaluación del término residual, y el modelo prueba para ser validado como una herramienta de análisis primario en diseño de práctica.Si el término residual es irrazonablemente largo, el modelo debería ser revisado por refinamiento de malla o cambio de los parámetros constantes C1 y C2 para controlar la dispersión artificial.

Para mayor exactitud de análisis de flujos de aliviadero, es probablemente necesario resolver ecuaciones tridimensionales junto con una ecuación de convección-difusión que gobierna la concentración del arrastre de aire.Esto requiere un modelo físico riguroso en tres dimensiones de flujo de arrastre de aire unido a un modelo numérico potente, el cual será investigado en el futuro.

APÉNDICE I. EVALUACIÓN DE INTEGRAL DE LÍNEA

La integral de línea contribuye a que la ecuación (14) sea evaluada como sigue. Dejamos que el trayecto de la integral sea el segmento BF que es inter-conector del elemento de la izquierda ΩL

e cuyo límite es el

triángulo LBF, y el elemento de la derecha ΩRe , cuyo

límite es el triángulo RFB, como se muestra en la Fig. 6. El punto medio del segmento BF está denotado por M. Los valores de H en los puntos B y F están denotados por HB y H F, respectivamente. Las incógnitas P y Q son trasformadas en la componente normal p y la componente tangencial q por:

( pL pR

qL qR)=(sin θ −cosθ

cosθ sin θ )( PL PR

QL QR)

(20)

Donde: θ=ángulo entre el segmento BF y el eje X (medido de forma anti-horaria desde el eje X), y los suscritos L y R representan las propiedades en ΩL

e y

ΩRe

respectivamente. Luego, usando un número de Froude segmental F dado como:

F=√ p2+q2

g HM3

(21)

Donde: p=¿promedio de pL y pR; q=¿promedio

de qL y qR, y H M= promedio de los valores de H en los puntos B y F, un parámetro vinculante α está definido por:

α={1+min (1 , F2 )

2( p>0 )

¿12

( p=0 )

¿1−min (1 , F2)

2( p<0)

(22)

Para determinar la estimación de valores de contraviento de P y Q como:

( Pup

Qup)=α (PL

QL)+(1−α)( PR

QR)

(23)

Donde el subíndice “up” representa un valor de contraviento estimado. En caso de la información de flujo supercrítico, sólo de los elementos contribuyentes de corriente arriba, mientras que en caso de flujo sub-crítico la información ponderada de elementos contribuyentes de ambas corrientes arriba y abajo.Cuando ( Pup ,Qup )T no es el vector cero, un punto S es arreglado en el cuadrilátero BRFL tal como el vector SM es paralelo a ( Pup ,Qup )T . Donde H Srepresenta el valor de H en el punto S es

FIG. 6. Geometría de la integración de línea en el esquema contra el viento.

Linealmente interpolado en el cuadrilátero BRFL. Otro parámetro enlace βes definido por:

β={ 1 ( pup>g HM3 )

¿ 12 ( pup=g H M

3 )

¿0( pup<g H M3 ó (Pup

Qup)=0)

(24)

Con:

pup=Pup sin θ−Qup cosθ (25)

Para evaluar H−1, el significado del valor de 1/H, como:

H−1=β 1H s

+(1−β )log HB−log HF

HB−HF

(26)

Y H 2, el significado del valor de H 2, como:

H 2=β H s2+(1−β)

(HB2+H B H F+H F

2)3

(27)

Para que el valor H S de corriente arriba, el valor

segmental HB y H F, e igualmente ambos de ellos son aplicados de acuerdo a si el flujo en el segmento BF es super-crítico, sub-crítico, o crítico. Usando un valor γ corriente arriba estimado por:

∫B

F {( P2

H+ g H2

2 γPQH

)dy−(PQH

Q2

H+ g H2

2 γ)dx }=lBF (H−1 Pup

2 + g H 2

2 γ upH−1 Qup Pup

H−1 Qup Pup H−1Qup2 +

g H2

2 γup)( sin θ

−cosθ) (29)

Donde lBF=¿ longitud del segmento BF.

Cuando el segmento BF cae en el límite Γ , PR y PR son sustituidos por φsinθ y – φcosθ, respectivamente, para hacer posible a usar el mismo procedimiento que se describió arriba, siempre que no

haya afluencia supercrítica en ninguna parte del límite Γ .

APÉNDICE II. EVALUACIÓN DEL DOMINIO INTEGRAL

El procedimiento de la evaluación para el término del dominio integral involucrado en la ecuación (14) es presentado como sigue.

Dejamos ser el centro de gravedad de Ωie, al punto XC .

Cuando ( Pi ,Qi)T no es el vector cero, un punto E es

fijado en Γ ie tal que el vector E XC sea paralelo a

( Pi , Qi)T

. Dejamos a H Eser el valor H en el punto E

cuando es linealmente interpolado sobre Γ ie. Un

parámetro enlace λ está definido por:

λ=min(1 ,Pi

2+Qi2

g H M3 )

(30)

Para estimar un valor H a contraviento como:

H up=λ H E+(1−λ) HC (31)

Donde: HC= Valor H en el punto XC cuando es

linealmente interpolado en Ωie. Tomando la dirección y

el estado de flujo en cuenta, el valor estimado contra el viento H upes empleado para evaluar el dominio integral

más bien que HC. Usando un valor γ en Ωie evaluado

por:

γi=2

(1+√1+0.02Pi

2+Qi2

g H up3 )

(32)

El dominio integral (S ix , Si

y)T es computado como:

(S ix

Siy)=−A i

e( gs ix H up+g n2 γ i

4 /3 Pi √Pi2+Qi

2

H up7 /3

g s iy H up+g n2 γi

4 /3 Pi √Pi2+Qi

2

H up7/3 )

(33)

Donde: (S ix , Si

y)T= gradiente local de elevación de

cama en Ωie.

APÉNDICE III. REFERENCIAS

Ambrosi, D., Corti, S., Pennati, V., and Saleri, F. (1996). ‘‘Numericalsimulation of unsteady flow at Po river delta.’’ J. Hydr. Engrg., ASCE,122(12), 735–743.Anastasiou, K., and Chan, C. T. (1997). ‘‘Solution of the 2D shallowwater equations using the finite volume method on unstructured triangularmeshes.’’ Int. J. Numer. Methods Fluids, 24, 1225–1245.Bova, S. W., and Carey, G. F. (1996). ‘‘An entropy variable formulationand applications for the two-dimensional shallow water equations.’’ Int.J. Numer. Methods Fluids, 23, 29–46.Graber, S. D. (1982). ‘‘Asymmetric flow in symmetric expansions.’’ J.Hydr. Engrg., ASCE, 108(10), 1082–1101.Gumensky, D. B. (1949). ‘‘Air entrained in fast water affects design oftraining walls and stilling basins.’’ Civ. Engrg., ASCE, 19(12), 35–93.Laible, J. P., and Lillys, T. P. (1997). ‘‘A filtered solution of the primitiveshallow-water equations.’’ Adv. in Water Resour., 20(1), 23–35.Molls, T., and Chaudhry, M. H. (1995). ‘‘Depth-averaged open-channelflow model.’’ J. Hydr. Engrg., ASCE, 121(6), 453–465.Taruya, H., Ishino, S., Okushima, S., and Kato, T. (1986). ‘‘Hydraulicmodel study of the spillway of Goi dam.’’ Tech. Rep. Nat. Res. Inst.Agri. Engrg. Japan, 172, HE-5, 33–46 (in Japanese).Zhao, D. H., Shen, H. W., Lai, J. S., and Tabios, G. Q. III. (1996). ‘‘ApproximateRiemann solvers in FVM for 2D hydraulic shock wave modeling.’’J. Hydr. Engrg., ASCE, 122(12), 692–702.Zhou, J. G. (1995). ‘‘Velocity-depth coupling in shallow-water flows.’’J. Hydr. Engrg., ASCE, 121(10), 717–724.

APÉNDICE IV. NOTACIÓN

Los siguientes símbolos son usados en este documento:

A=¿ Área deΩAi

e=¿ Área de Ωie

B , F , L , R=¿ Vértices de elementos de izquierda y derecha b=¿ Vector de carga C1 , C2=¿ Parámetros constantes D=¿ Término residual excluyendo aire arrastradod=¿ Término residual E=¿ Punto de contraviento para integración de dominio.F=¿ Número de Froudeg=¿ Aceleración de la gravedad

H=¿ Profundidad de flujo excluyendo el aire arrastradoH=¿ Vector discretizado de H H−1=¿ Valor medio de 1/HH 2=¿ Valor medio de H 2

HB , HC , H E , HF ,H S=¿ Valores de H en B, C, E, F y S, respectivamenteH M=¿ Promedio de HB y H F

h=¿ Profundidad de flujo

(I ix , Ii

y)T=¿ Límite de la integral en el i-ésimo

elementoK=¿ Matriz de fluidezK D=¿ Matriz de dispersiónlBF=¿ Longitud del segmento BFM=¿ Punto medio del segmento BFN e=¿ Número de elementos N e=¿ Número de nodosn=¿ Coeficiente de rugosidad de Manning

(nx ,n y )T=¿ Vector unitario normal exterior

( P ,Q )T=¿ Vector de descarga por unidad de ancho, excluyendo el arrastre de aireP ,Q=¿ Vectores discretizados de P y Q, respectivamente p=¿ Promedio de pL y pR

q=¿ Promedio de qL y qR

rie=¿ Radio del círculo interior tangente a Ωi

e

S=¿ Punto hacia arriba para el límite de integración

( S❑x , S❑

y )T=¿ Términos fuente/lavadero del vector

(S ix , Si

y)T=¿ Gradiente local de la cama de elevación

en Ωie

t=¿ Tiempo

(u , v )T=¿ Vector de velocidad de Profundidad promediada

(u0 , v0 )T=¿ Vector velocidad en el fondo

(us , vs )T=¿ Vector velocidad en la superficie

W =¿ Matriz de masa w=¿ Función ponderación

XC=¿ Centro de gravedad de Ωie

x , y=¿ Coordenadas cartesianas z=¿ Nivel de fondo de canal α , β , λ=¿ Parámetros de enlace γ=¿ Gravedad específicaΔt=¿ Intervalo de tiempoθ=¿ Ángulo entre el segmento BF y el eje x (medido en sentido anti-horario desde el eje x)v=¿ Coeficiente de dispersión artificial ρ=¿ Densidadρ0=¿ Densidad del agua pura

σ ( i , k )=¿ Número de nodo del k-ésimo vértice de Ωie

φ=¿ Valor de límite específico de descarga exterior por unidad de anchoΩ=¿ Dominio de análisis

Ωie=¿ i-ésimo elemento y

ΩLe ;ΩR

e= Elementos izquierdo y derecho,

respectivamente.

Superíndice

T=¿ Transpuesta

Subíndices

i=¿ i-ésimo valor elemental j=¿ j-ésimo valor nodal

L y R=¿ Propiedades en ΩLe y ΩR

e respectivamente, y up=¿ Valor superior estimado.