Modelos Digitales de Terreno

Modelos Digitales de Terreno TOPOMETRÍA y MICROGEODESIA - Año 2000A.M.Felicísimo

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El curso que presento en estas páginas es un escueto resumen de un original bastante másextenso impartido en algunas Universidades.Como bien sabéis, la creación de documentos HTML extensos es trabajosa, por lo que pidodisculpas por los errores y por el escaso tiempo que he dedicado a su revisión.Poco a poco iré completando los diferentes temas, actualizando las referencias y añadiendolas imágenes necesarias.

Como es lógico, agradeceré vuestras correcciones ysugerencias.http://www.etsimo.uniovi.es/usr/feli/Correo.html

Tema 1 Concepto y construcción del modelo digital de elevacionesConceptos

•Introducción•¿Qué es un modelo?•Tipos de modelos

Modelos icónicos, análogos y simbólicosModelos analógicos y digitales

•Modelos digitales del terreno•Los MDT y los mapas•Simulación de procesos con los MDT

El modelo digital de elevaciones

•Introducción•Origen del MDE•Definición del MDE•Estructuras de datos en el MDE•Modelo vectorial

ContornosTIN

•Modelo rasterMatrices regularesQuadtrees

•¿Qué estructura usar?


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La construcción del MDE

•Introducción•Captura de datos•Métodos directos

AltímetrosGPSEstaciones topográficas

•Métodos indirectos, 1Restitución fotogramétricaRadargrametría

•Métodos indirectos, 2Digitalización automática

•Métodos indirectos, 3Digitalización manual

•Elementos de la estructura topográfica•Métodos de interpolación

Método generalLa hipótesis de la variable regionalizada

•Métodos basados en triangulacionesLa red irregular de triángulosLa transformación vector-raster

•La continuidad hidrológica

Tema 2 Valoración del error en el MDEIntroducción

Las fuentes del error

•El error de las fuentes primariasImágenes de satéliteRadargrametría

•El error de las fuentes secundariasError en la digitalizaciónAnálisis del error de la digitalizaciónCuantificación del error posicionalEl error cartográfico

La calidad de los mapasLa deformación de los mapas

La medida del error atributivo

•Análisis del error aleatorioValoraciónLos puntos de control

•Análisis de los grandes errores


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La propagación del error

•El análisis de sensibilidadMétodos de Monte CarloEl efecto de la autocorrelación

•El error y el relieve

Tema 3 Descripción y análisis del RelieveLas variables topográficas

•El gradiente•La pendiente•La orientación•La curvatura•La rugosidad

En estos momentos el curso sólo está disponible hasta aquí. La primera partedel Tema 3 ha sido añadida el 26/09/97. Espero ir moviendo este aviso haciaabajo hasta hacerlo desaparecer

Caracterización morfométrica

•Los elementos del relieve•Los métodos de clasificación

La descripción estadística

•Estadísticos básicos para variables lineales•Estadísticos básicos para variables circulares•Otros descriptores

La entropía como medida de la diversidadLa medida de la autocorrelaciónLa dimensión fractal

Tema 4 Simulación de procesosCuencas Hidrológicas

•Autómatas celulares•La generación de líneas de flujo•La definición de cuencas hidrológicas•La estimación de caudales máximos

Cuencas visuales

•Estimación de cotas•Perfiles topográficos•Intervisibilidad entre dos puntos


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•Identificación de cuencas visuales

La observación del relieve

•Modelos de reflectancia•La reducción del efecto topográfico

Modelos climáticos

•La trayectoria solar•Análisis del ocultamiento topográfico•Análisis de la insolación potencial•Análisis de la irradiancia

Tema 5 Modelos de prospección y predicciónLas herramientas

•Métodos lógicos o booleanos•Métodos bayesianos•La regresión logística•La lógica borrosa

Los resultados

•Métodos booleanos: identificación de formas•Métodos bayesianos: clasificación del relieve•La regresión logística: análisis de idoneidad de hábitat•La lógica borrosa: análisis de potencialidad de vegetación

La estructura del índice puede variar según se vaya introduciendo el texto correspondiente. La estructuradel Tema 5 está sometida a revisión y sólo se apuntan los temas que pretendo tocar.


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Ríos, Sixto (1995): Modelización. AU 822. Alianza Ediciones. Madrid.


328

Parte 1

CopyrigthLos modelos digitales del terreno son una parte importante de la información integrante de los sistemas deinformación geográfica. En la revisión de la literatura sobre ellos destaca, sin embargo, la escasa atenciónque se ha dedicado a los aspectos formales y conceptuales. Esta circunstancia ha conducido a que los librosclásicos sobre SIG traten muy superficialmente el tema de los MDT y a que puedan encontrarseocasionalmente definiciones confusas, cuando no claramente erróneas. Este apartado tiene por objeto fijarla base conceptual de los MDT con el fin de abordar posteriormente los aspectos relativos a su construccióny manejo con mayor claridad.

¿Qué es un Modelo?

Primera definición: un modelo es "una representación simplificada de la realidad en la queaparecen algunas de sus propiedades" (Joly, 1988:111).

El modelo reproduce solamente algunas propiedades del objeto o sistema original que quedarepresentado por otro objeto o sistema de menor complejidad.Los modelos se construyen para conocer o predecir propiedades del objeto real. Segunda definición: "un modelo es un objeto, concepto o conjunto de relaciones que se utilizapara representar y estudiar de forma simple y comprensible una porción de la realidadempírica" (Ríos, 1995:23).La existencia de la relación simétrica entre modelo y realidad permite que un resultado C'relativo al modelo pueda traducirse en otro C relativo al objeto real y, de esta forma, que lasrespuestas derivadas del modelo sean aplicables a la realidad sin perder sentido.

La utilidad de los modelos para conocer o predecir está condicionada principalmente por:•una buena selección de los factores relevantes para el problema•una adecuada descripción de sus relaciones funcionales

La calidad de un modelo puede valorarse sometiendo una parte de los resultados a unaverificación experimental.

El contraste experimental sirve:•para el control de calidad del modelo y sus resultados


329

•como mecanismo de realimentación para realizar ajustes

Dado que el modelo representa la realidad con una cantidad menor de información, existe unerror inherente al proceso de modelización que puede ser reducido pero no eliminado.

La reducción del error puede hacerse por dos caminos complementarios:•mayor precisión en la medida y mejor selección de los componentes: no implica mayorcomplejidad del modelo.•mayor cantidad de componentes -partes e interrelaciones funcionales-: implica unamayor complejidad del modelo.

La eliminación del error implicaría la identificación del modelo con el objeto real; en estesentido, debe buscarse un compromiso entre la complejidad del modelo y el error aceptable enlos resultados.

Parte 2

Tipos de ModelosExisten numerosas clasificaciones de los modelos, ninguna de las cuales permite establecerrealmente unas categorías estrictamente excluyentes.

Primer ejemploModelos icónicos, análogos y simbólicos Turner (1970:364) se distingue tres tipos básicos de modelos: icónicos, análogos ysimbólicos.

En los modelos icónicos, la relación de correspondencia se establece a través de laspropiedades morfológicas, habitualmente un cambio de escala con conservación del resto delas propiedades topológicas.

modelo icónico

Ejemplo: una maqueta, donde se ha establecido una reducción detamaño conservando las relaciones dimensionales básicas.

En un modelo icónico se conservan las proporciones del objeto realmediante una reducción de escala y una selección de laspropiedades representadas.

Los modelos análogos se construyen mediante un conjunto de convenciones que sintetizany codifican propiedades del objeto real para facilitar la "lectura" o interpretación de lasmismas.Ejemplo: un mapa impreso, construido mediante un conjunto de convenciones cartográficas que hacenlegibles propiedades tales como las altitudes, distancias, localización física de objetos geográficos, etc.


330

modelo análogo modelo análogo

Arriba: modelo análogo utilizado para resolver el problema del camino más corto entre dosvértices de un grafo. Los lugares se representan mediante pequeñas anillas y los caminosentre ellos se modelizan mediante hilos de la misma longitud que el camino real. Para localizarla ruta más corta entre dos puntos, A y D, se cogen las anillas correspondientes y se tensa lared. Los hilos tensos definen la ruta mínima: A>F>H>D

Los modelos simbólicos se construyen representando el objeto real mediante unacodificación matemática (geométrica, estadística, etc.)

modelo simbólico

Ejemplo: la representación de un edificio mediante laidentificación y codificación en una estructurageométrica de sus elementos básicos.

Reconstrucción virtual de un edificio prerrománico,un ejemplo de modelo simbólico Parte del edificio hasido representado a partir de un levantamientosimulado basado en restos de cimientos y muros.

Segundo ejemploModelos analógicos vs. Modelos digitales

Los modelos digitales están codificados en cifras; son, por tanto, modelos simbólicos.

Los modelos analógicos son modelos físicos, como los ya mencionados de una maqueta como modeloicónico, o un mapa convencional como modelo análogo.Los modelos digitales presentan algunas propiedades de interés:

� no ambigüedad: cada elemento del modelo tiene unas propiedades y valoresespecíficos y explícitos

� verificabilidad: los resultados se construyen mediante pasos explícitos y concretos quepueden ser analizados uno a uno y comprobados en todas las fases del proceso

� repetibilidad: los resultados no están sometidos, a menos que de diseñe expresamente,a factores aleatorios o incontrolados y pueden ser comprobados y replicados las vecesque se desee.


331

Parte 3

MDTUn MDT, o modelo digital del terreno es una estructura numérica de datos que representa ladistribución espacial de una variable cuantitativa y continua. Por tanto,

� los MDT son modelos simbólicos� las relaciones de correspondencia con la realidad se establecen mediante algoritmos� los MDT son conjuntos de datos con una estructura interna� esta estructura se refleja en la forma lógica -en el sentido informático- de almacenar y

vincular las unidades de información datos entre sí, que debe representar de algunaforma las relaciones espaciales entre los datos

� los MDT representan la distribución espacial de una variable cuantitativa y dedistribución continua

Por tanto, los mapas temáticos (variables nominales) no son MDT ni éstos están formadostampoco por entidades lineales o puntuales como, por ejemplo, una red hidrológica.

MDT y mapasLos mapas son la versión analógica de los MDT y pueden se denominados, por tanto, modelosanalógicos del terreno, MAT. Ambos tipos de modelos se complementan y no es previsible latotal sustitución de unos por los otros.

Algunas ventajas importantes de los MDT sobre los MAT son:

� la posibilidad de tratamiento numérico de los datos� la posibilidad de realizar simulación de procesos, emulando el funcionamiento de un

sistema dinámico real Su mayor problema es que el manejo de los MDT es complejo:

� necesita equipos informáticos que obligan a un entrenamiento especializado� la interpretación de la información es indirecta� la elaboración de modelos derivados requiere el dominio de lenguajes de programación

o la intervención de especialistas

Asimismo, un uso eficaz de los MDT no se concibe fácilmente sin un equipo de trabajorelativamente amplio, un equipo informático sofisticado y un conjunto de circunstancias quepermita unas condiciones de trabajo con una razonable estabilidad. En la práctica, lasposibilidades de trabajo e investigación que los SIG/MDT permiten se ven limitadas por lastambién exigencias económicas y estratégicas que plantean.


332

Parte 4

Simulación de procesosLos MDT no son esencialmente modelos estáticos, su naturaleza digital permite realizarprocesos de simulación dinámica y crear modelos de procesos:

� que se realizan mediante el diseño y empleo de algoritmos� y conducen a la construcción de nuevos MDT o modelos digitales derivados.

La simulación de procesos se realiza mediantealgoritmos que utilizan la información de los MDT paragenerar otros modelos derivados. La figura muestra elresultado de la simulación de una erupción volcánica,donde las zonas en color muestran el riesgo de que elflujo de lava pase por cada lugar. El trabajo original esde Young y Wadge (1990)

La verificación de los modelos derivados se realiza

� mediante métodos de análisis del error� comparando una muestra extraída del modelo derivado con medidas empíricas

Un algoritmo sólidamente construido aplicado sobre un MDT fiable genera resultadosaplicables al objeto real con un error moderado.

Parte 5

El MDEEn la cartografía convencional la descripción de las elevaciones a través del mapa topográfico constituye lainfraestructura básica del resto de los mapas. El papel equivalente en los MDT lo desempeña el modelodigital de elevaciones (MDE), que describe la altimetría de una zona mediante un conjunto de cotas.

Siguiendo la analogía cartográfica, es posible construir un conjunto de modelos derivados,elaborados a partir de la información contenida explícita o implícitamente en el MDE. Losmodelos derivados más sencillos pueden construirse exclusivamente con la información delMDE y reflejan características morfológicas simples (pendiente, orientación, etc.).Incorporando información auxiliar es posible elaborar otros modelos más complejos, utilizandoconjuntamente la descripción morfológica del terreno y simulaciones numéricas de procesosfísicos.


333

Origen del MDEEl término digital terrain model se originó en el Laboratorio de Fotogrametría del Instituto deTecnología de Massachussetts en la década de los años 50. En el trabajo pionero de Miller y Laflamme (1958) se establecen ya los primeros principios deluso de los modelos digitales para el tratamiento de problemas tecnológicos, científicos ymilitares.

El objeto de su trabajo fue acelerar el diseño de carreteras mediante el tratamiento digital dedatos del terreno adquiridos por fotogrametría, planteando una serie de algoritmos para laobtención de pendientes, áreas, etc. El problema del número de datos se fue crítico, dada laescasa capacidad de almacenamiento de los ordenadores en aquella época, y una buena partedel esfuerzo del proyecto se dedicó a desarrollar métodos de representar los perfilestopográficos de la forma más sintética posible. Las aplicaciones informáticas de uso menos aplicado tuvieron que esperar algunos años másy, habitualmente, surgieron en un contexto SIG que incorporaba la información topográficapara el manejo de cartografía digital en términos más generales. El Harvard Laboratory forComputer Graphics and Spatial Analysis marcó un hito cuando presentó SYMAP en 1967.SYMAP era una aplicación formada por un conjunto de programas de manejo de cartografíadigital que incluía algoritmos de interpolación para generar mapas de isopletas a partir depuntos acotados distribuidos irregularmente.

En los últimos años han surgido ya multitud de aplicaciones informáticas capaces de manejareficazmente los MDT. A pesar de ello, aún queda pendiente, lo mismo que en los SIG engeneral, la resolución de problemas básicos como, por ejemplo, conseguir una estructura dedatos idónea, conseguir algoritmos eficientes, o facilitar el uso de los sistemas por parte delos usuarios.

Parte 6

DefiniciónUn modelo digital de elevaciones es una estructura numérica de datos que representa la distribuciónespacial de la altitud de la superficie del terreno. Un terreno real puede describirse de forma genérica como una función bivariable continua:

donde z representa la altitud del terreno en el punto de coordenadas (x, y) y z es una función que relacionala variable con su localización geográfica.. En un modelo digital de elevaciones se aplica la función anterior sobre un dominio espacial concreto, D.En consecuencia, un MDE puede describirse genéricamente como MDE=(D,z).En la práctica, la función no es continua sino que se resuelve a intervalos discretos, por lo que el MDE estácompuesto por un conjunto finito y explícito de elementos. Esta generalización implica una pérdida deinformación que incrementa el error del MDE y, en consecuencia, se propaga a los modelos derivados.

Estructuras de datosDe forma general, la unidad básica de información en un MDE es un punto acotado, definido como unaterna compuesta por un valor de altitud z, al que acompañan los valores correspondientes de x e y.La estructuración de los datos elementales se ha realizado según dos modelos:

� el modelo de datos vectorial está basado en entidades u objetos geométricos definidos por lascoordenadas de sus nodos y vértices


334

� el modelo de datos raster está basado en localizaciones espaciales, a cada una de las cuales se lesasigna el valor de la variable para la unidad elemental de superficie

Las potenciales estructuras se han reducido en la práctica a las siguientes:

� estructuras vectoriales� contornos: polilíneas de altitud constante más puntos acotados� TIN: red de triángulos adosados

� estructuras raster� matriz regular: cotas distribuidas sobre una malla cuadrada� quadtrees: matrices jerárquicas imbricadas

Parte 7

Modelo vectorial

El modelo de contornos o isohipsas

Un modelo de contornos está formado por polilíneas:

� un vector de n pares de coordenadas (x, y) que describe la trayectoria de lascurvas de nivel

� el número de elementos de cada vector es variable� el MDE está constituido por el conjunto de las curvas de nivel (n>1) más un

conjunto de puntos acotados (n=1)

El uso directo del modelo de contornos es poco útil pero casi todos los SIG tienenherramientas para incorporarlos y transformarlos a otras estructuras (TIN o matrices).

El modelo TIN, de mosaico de triángulos

Un TIN (triangulated irregular network, Peucker et al., 1978) está formado por triángulosirregulares:

� se construyen ajustando un plano a tres puntos cercanos no colineales� se adosan sobre el terreno formando un mosaico� se adaptan a la superficie con diferente grado de detalle, en función de la

complejidad del relieve.

Los triángulos se construyen ajustándose a una estructura anterior de puntos


335

Parte 8

Modelos raster

El modelo matricial regularLas matrices regulares se construyen superponiendo una retícula sobre el terreno y extrayendo laaltitud media de cada celda. Normalmente,

� la retícula es una red regular de malla cuadrada� la localización espacial de cada dato está determinada de forma implícita por su

situación en la matriz, definidos el origen y el valor del intervalo entre filas ycolumnas

La matriz regular es la estructura más utilizada para construir los MDE debido a su cómodomanejo informático y simplicidad estructural.

El modelo matricial jerárquico o quadtrees

En los quadtrees, las celdas de la matriz pueden ser

� datos elementales, como en las matrices regulares� nuevas matrices de luz más reducida

La estructura final es un árbol jerárquico de matrices elementales

� de profundidad arbitraria (n niveles, si n=1 se trata de una matriz regular simple)� cuya resolución espacial se duplica en cada nivel

Los quadtrees se han utilizado en el tratamiento de variables nominales (Samet et al.,1984). Los trabajos pioneros en MDE parecen corresponder a Ebner y Reinhardt (1984,1988),que utilizan un modelo mixto de matrices jerárquicas y estructuras TIN.

Otras estructurasSe han descrito muchas variantes y alternativas para el archivo y tratamiento de los MDE:

� perfiles (Yoeli, 1983:21)� codificación de contornos mediante ecuaciones polinómicas (Miller y Laflamme,

1958:437)� id. mediante secuencias de segmentos de Bézier (Walton, 1989)� polígonos irregulares adosados (Moore et al., 1988)� redes hexagonales regulares (Roessel, 1988)

Cada uno aduce en cada caso ventajas para aplicaciones concretas pero su uso no se ha generalizadohasta el momento.


336

Parte 9

¿vectorial o raster?

La adopción de una estructura de datos concreta:

� supone decidir el método de construcción del modelo e, indirectamente, sobre qué tipode información va a ser representada y cuál descartada

� implica un esquema concreto de almacenamiento y gestión informática de los datos� implica la necesidad de traducir los algoritmos a formas compatibles con la estructura

de datos elegida� supone aceptar las limitaciones que aplicaciones informáticas puedan tener para

gestionar la información en el formato elegido Es decir, la elección de la estructura de datos es importante porque condiciona el futuromanejo de la información.

Los SIG y algunas aplicaciones dedicadas expresamente al tratamiento de los MDT usan, en lapráctica, sólo dos de las alternativas anteriores: matrices regulares y TIN. El papel del modelo de contornos ha quedado reducido a ser una etapa intermedia en lacaptura de información: la de digitalización del mapa topográfico.

Los quadtrees han despertado un mayor interés y existen aplicaciones que los usan comoestructura básica pero, a pesar de tratarse de una estructura teóricamente adecuada para eltratamiento de la topografía, presentan serios problemas en el diseño de algoritmos. Entre las dos alternativas restantes, dominan ampliamente las matrices regulares, probablemente por susimplicidad conceptual y su cómodo tratamiento informático

Parte 10

Construcción del MDE

La captura de la información hipsométrica constituye el paso inicial en el proceso deconstrucción del MDE, e incluye la fase de transformación de la realidad geográfica a laestructura digital de datos. Se trata de una fase de gran trascendencia porque la calidad delos datos es el principal factor limitante para los tratamientos que se realicen posteriormente.Tras obtener los datos, éstos deben ser estructurados para formar el MDE de alguna de lasformas presentadas en el apartado anterior.

captura de datos

Los métodos básicos para la conseguir los datos de altitudes son:

� métodos directos: medida directa de los datos de altitud sobre el terreno (fuentesprimarias)� altimetría: altímetros transportados por plataformas aéreas� GPS, global positioning system, localización mediante triangulación vía satélite


337

� topografía: estaciones topográficas con grabación de datos

� métodos indirectos: medida a partir de documentos previamente elaborados (fuentes secundarias)

� restitución� fuente digital (SPOT)� fuente analógica (cámaras métricas)

� digitalización� automática (escáner)� manual (tablero digitalizador)

Parte 11

métodos directos

altímetros, GPS y estaciones topográficas

Los altímetros transportados por satélites permiten el registro directo de los datos de altitud en formatodigital:

� son extremadamente precisos: el error nominal puede ser de unos centímetros (Bruzzi yWooding, 1990:13)

� esta precisión es relativa, es decir, el altímetro evalúa de forma muy precisa diferenciasentre medidas sucesivas

Otros problemas relacionados con la fuerte dispersión de la señal en zonas rugosas y con unaresolución espacial reducida han limitado prácticamente su uso hasta el presente al análisis dela topografía de la superficie marina y seguimiento de los hielos polares (Francis et al.,1991:42-43). Los sistemas de localización geográfica conocidos como GPS -global positioning system-utilizan un conjunto de satélites de referencia y, mediante métodos de triangulación, permitenobtener valores de las tres coordenadas espaciales para un lugar concreto de la superficieterrestre:

� es un método muy preciso en ciertas condiciones (GPS diferencial, con una segunda estación deapoyo)

� entre sus limitaciones:� es necesario acceder físicamente al lugar de medida� es necesario el acceso directo y simultáneo a un mínimo de cuatro satélites� la cubierta vegetal sobre la antena receptora dificulta la medida

Estos problemas han convertido al método GPS en un recurso de apoyo, pero no en unsistema básico de captura de datos para construir el MDE.

Finalmente, las estaciones topográficas más avanzadas pueden generar y almacenar losresultados de sus medidas en formato digital. Algunos sistemas de información geográficaincorporan utilidades que permiten el tratamiento e incorporación de estos datos (ver, porejemplo, ESRI, 1991).


338

Parte 12

métodos indirectos

Restitución fotogramétrica, radargrametría

La restitución fotogramétrica utiliza pares de imágenes de la zona a estudiar, parcialmente solapados ytomados desde puntos de vista diferentes, que forman los denominados pares estereoscópicos:

� del examen de puntos homólogos y de su paralaje se deducen las cotas de referencianecesarias para reconstruir la topografía

� los restituidores fotogramétricos actuales realizan esta labor grabando los resultados enun formato digital compatible con sistemas de información geográfica.

� es necesario el acceso al terreno para establecer un conjunto de puntos de apoyo quepermitan fijar valores de altitud en una escala absoluta

Los pares estereoscópicos han sido hasta hace pocos años exclusivamente fotogramasaéreos. Actualmente, a estas fotografías se han sumado las imágenes digitales tomadas porsensores pancromáticos transportados por satélites.

Los radares de apertura sintética mediante técnicas definidas como radargrametría permitengenerar MDE de buena precisión. Aunque probablemente es la técnica del futuro, lasdificultades operacionales son aún significativas. Sin embargo, la magnitud del error del MDEresultante permite establecer ya una competencia real con los métodos más convencionales.

A la izquierda: aspecto de unaimagen de interferencia del volcánKiluaea.

A la derecha: bloque - diagramaelaborado a partir de lainterferometría radar.

Parte 13

métodos indirectos

la digitalización automáticaLa digitalización de mapas topográficos preexistentes es la técnica más habitual en la actualidad y puederealizarse

� de forma automática mediante un escáner� de forma manual, mediante un tablero digitalizador

La digitalización automática genera una imagen de valores de reflectancia. El tamaño de la celda o pixeldebe establecerse asegurando

� que sea capaz de recoger todas las estructuras presentes en el mapa


339

� que la dimensión de los ficheros permitan el tratamiento con los medios informáticosdisponibles

Las fases del proceso son:

� toma de la imagen mediante el escáner; la imagen puede ser binaria (blanco y negro) pero tambiénes posible usar el color para separar elementos

� filtrado de la misma para separar las estructuras de interés y descartar el resto� vectorización de la imagen contrastada, de forma que los pixeles adyacentes se

estructuren en líneas, generándose una estructura vectorial� reconocimiento de los valores de elevación escritos en el mapa, en un proceso de

varios pasos:� una aplicación OCR -optical character recognition- identifica los dígitos del mapa� se restituyen los rótulos de elevaciones a partir de los dígitos� se asigna la elevación a los contornos a ambos lados del rótulo� se unen ambos extremos de contornos y se eliminan los rótulos

� edición manual, para la corrección de los errores topológicos y la asignación dealtitudes a las líneas no etiquetadas

Los mapas originales suelen ser complejos, con mucha más información que la estrictamentedeseable. En consecuencia, la fase de revisión y corrección de los errores topológicos (Peled yFradkin, 1994:246) es muy costosa.

Por este motivo, y a pesar del coste cada vez más asumible de los escáneres de granformato, la digitalización manual es un método usado muy frecuentemente por los equipos depequeña entidad.

Parte 14

métodos indirectos

la digitalización manualLa digitalización manual se realiza con un tablero digitalizador sobre el que se coloca elmapa:

� las curvas de nivel se siguen manualmente con un cursor� el ordenador recibe a ciertos intervalos las coordenadas que definen la

trayectoria de la línea� los intervalos pueden ser fijos o variables

Los trabajos de digitalización son, en la práctica, de calidad muy irregular. Existenalgunas normas que ayudan a conseguir un trabajo de mayor calidad:

� deben usarse mapas en buen estado, evitando los mapas doblados, deformadoso mal conservados

� la referencia espacial debe registrarse con precisión mediante puntos de control� debe valorarse el método de digitalización a utilizar, incremental o punto a punto� no es deseable introducir un número excesivamente elevado de puntos en las

curvas de nivel


340

Según Flach y Chidley (1988) obtendrán buenos resultados en los procesos degeneración del MDE cuando la distancia entre puntos a lo largo de una línea sea similara la distancia entre líneas.

Parte 15

¿qué digitalizar?

los elementos que definen la estructura topográfica¿Qué digitalizar? Lo más evidente es transferir todas las curvas de nivel del mapatopográfico. Pero hay más cuestiones a tener en cuenta.

La calidad de un MDE puede mejorarse significativamente complementando las curvas de nivel condatos auxiliares de diversos tipos. En general, el listado de elementos que pueden aportarinformación para construir un MDE es:

� curvas de nivel, descompuestos o no en puntos acotados -mass points- previageneralización o reducción de la densidad de vértices de la línea

� puntos acotados singulares o vips -de very important points-: cumbres de picos,fondos de dolinas, etc.

� líneas estructurales, que definen elementos lineales con valores de altitudasociados a cada vértice

� líneas de inflexión o rotura – breaklines -, que definen la posición de elementoslineales sin valores de altitud explícitos que rompen la continuidad de lasuperficie.

� zonas de altitud constante: polígonos que encierran una superficie de altitudúnica (p. ej. lagos)

� zonas de recorte, polígono que define los límites externos del MDE� zonas vacías, donde no es deseable asignar altitudes (p. ej. zonas inundadas o

cubiertas de nieve) Todas las estructuras anteriores pueden y deben usarse para generar un MDE a fin de aprovecharadecuada y eficazmente la información topográfica disponible. La construcción de un MDE matricial a partir de la información anterior es básicamenteun problema de interpolación: se definen las localizaciones de los puntos problema -intersecciones de filas y columnas-y se estima la altitud de cada uno de ellos enfunción de los datos del entorno existentes en el modelo vectorial. Los algoritmos deinterpolación deben tener en cuenta, asimismo, las diversas estructuras auxiliares paraintroducir variantes en los mecanismos de cálculo.

En el caso de la creación de una estructura TIN, en lugar de interpolar, se realiza unaselección de puntos descartando los que no aporten una información relevante para ladescripción de la altitud.


341

Parte 16

la interpolación

Método general: IDW (ponderación por distancia)La interpolación del punto problema se realiza asignando pesos a los datos del entornoen función inversa de la distancia que los separa -inverse distance weighting, IDW-.

La fórmula general es:

Donde es el valor estimado para el punto j ; n es el número de puntos usados enla interpolación; zi el valor en el punto i-ésimo y kij el peso asociado al dato i en elcálculo del nodo j. Los pesos k varían entre 0 y 1 para cada dato y la suma total deellos es la unidadPara establecer una función de proporcionalidad entre el peso y la distancia, la fórmulageneral queda como sigue:

donde y b es un exponente de ponderación que controla laforma en la que el peso disminuye con la distancia.

Esta familia de métodos permite la generación del MDE de una forma rápida y simple.Sin embargo, se trata esencialmente de una media ponderada y, por tanto, el resultadose encuentra siempre incluido dentro del rango de variación de los datos. Por estemotivo, el correcto tratamiento de las formas cóncavas y convexas dependeestrechamente de la distribución de los puntos originales y la presencia de datosauxiliares se hace muy conveniente.

La hipótesis de la variable regionalizada (kriging)

El kriging es un método de interpolación con una expresión general similar a la anterior.La diferencia básica es que asume que la altitud puede definirse como una variableregionalizada.

Esta hipótesis supone que la variación espacial de la variable a representar puede serexplicada al menos parcialmente mediante funciones de correlación espacial: lavariación espacial de los valores de z puede deducirse de los valores circundantes deacuerdo con unas funciones homogéneas en toda el área.

Las funciones pueden deducirse analizando la correlación espacial entre los datos enfunción de la distancia entre ellos midiendo la semivarianza entre datos separados pordistancias diferentes (Oliver y Webster, 1990:315, Royle et al., 1981).


342

Ejemplo de semivariogramadonde la varianza real seajusta a una distribuciónteórica; ésta es la que seaplica para la estimación delos pesos en la interpolación.

Aunque el kriging es un método de estimación óptimo desde el punto de vistaestadístico, presenta algunas dificultades a la hora de ser utilizado como método deconstrucción de los MDE:

� el semivariograma debe ser de validez general para todo el MDE: lainterdependencia entre los datos debe ser función exclusivamente de ladistancia entre ellos -de su posición relativa- y no de su localización espacialabsoluta.

� no permite el tratamiento de discontinuidades topográficas que supongancambios bruscos, como rupturas de pendiente.

Por los motivos anteriores el kriging no suele dar buen resultado en la construcción deMDE, generándose modelos muy suavizados donde la rugosidad del terreno seinfravalora fuertemente.

Parte 17

la triangulación

TIN, la red de triángulos irregularesEl modelo TIN tiene varias cualidades de interés:

� no presupone ni exige la continuidad estadística de la superficie a representar� puede generarse incorporando una amplia variedad de estructuras auxiliares� se adapta a la complejidad del terreno, variando la densidad local de la red� respeta los valores de los datos que son usados como vértices

La creación de un TIN se compone de dos partes diferentes:

� la triangulación propiamente dicha� la selección de los puntos a usar

La triangulación es un tópico bien conocido utilizado en numerosas aplicaciones como robótica,análisis de elementos finitos, visión artificial y síntesis de imágenes (Cignoni et al., 1994:2).

En el caso de los SIG el método más habitual es el conocido como triangulación deDelaunay, TD:

� dados 2 puntos Pi y Pj, en un plano T, la perpendicular al segmento Pi Pj en supunto medio divide el plano en dos regiones Vi y Vj


343

� la región Vi contiene todos y sólo los puntos cuya distancia a Pi es menor que aPj y viceversa

� el concepto se extiende a múltiples puntos Pn de forma que cada uno de ellosse asocia a una región Vn

� si el concepto se aplica a un dominio cerrado se genera un conjunto depolígonos convexos que teselan el plano denominados regiones de Voronoi

� si se conectan entre sí los puntos que comparten un borde de una región seobtiene una triangulación de Delaunay

La forma más trivial de construir un TIN es usar todos los vértices y nodos de lascurvas de nivel, así como los puntos singulares como vértices de triángulos. Estemodelo masivo no es deseable:

� por la enorme cantidad de elementos que sería necesario construir y manejarpara una zona de cierta extensión

� por la redundancia debida a que muchos puntos procedentes de unadigitalización rutinaria no aportan una información significativa.

Formalmente, el problema puede plantearse como sigue:

� dado un conjunto H de n puntos acotados, elegir un subconjunto mínimo S de Hconstituido por m puntos, a partir del cual pueda reconstruirse H con el menorerror posible.

Los dos enfoques básicos son:

1. Hacer la selección antes de la triangulación y realizar posteriormente un modelomasivo. La estrategia es suministrar al algoritmo de TD los puntos básicos yaelegidos mediante la adecuada generalización cartográfica de las curvas de nively una selección de puntos críticos.

2. Utilizar un algoritmo de TD que realice la selección según realiza la construcciónde la red.

Los métodos de construcción de TIN más utilizados pueden agruparse en las siguientesclases:

� inserción incremental, que comienza con una triangulación mínima y a la que seañaden progresiva y selectivamente nuevos puntos como vértices de la red.

� reducción selectiva, por eliminación de puntos a partir de un modelo masivomediante criterios de incremento mínimo del error.

La transformación vector- rasterLos modelos basados en triángulos generan una estructura más difícil de manejar quela matriz regular.

Por este motivo, lo más usual es crear un MDE según el modelo TIN y, posteriormente,generar un MDE matricial convencional.

Aunque la estructura matricial no puede representar puntos singulares ni estructuraslineales como el TIN, el proceso aprovecha parcialmente la capacidad del TIN paraintegrar discontinuidades en la generación del MDE por lo que es preferible a lageneración directa de la matriz regular a partir de los datos de entrada.

La interpolación puede realizarse por dos métodos básicos:


344

� interpolación lineal, donde la altitud del punto problema se estima directamentea partir la ecuación del plano definido por los tres vértices del triángulo que locontiene

� interpolación quíntica, que considera la superficie definida por el TIN como uncontinuo y, por tanto, suaviza las zonas de los vértices y lados; para estainterpolación se utiliza una ecuación polinómica bivariable de quinto grado.

Parte 18

Otros métodos

La conservación de la continuidad hidrológica

Un problema característico en la creación de MDE es la aparición de concavidades o pozos a lolargo de los fondos de valles. Este tipo de artefactos se genera por el uso de funciones deinterpolación de grado superior en zonas conflictivas.

La presencia de concavidades tiene importancia en el caso de simulación de procesoshidrológicos ya que interrumpen las líneas de flujo.

La corrección de concavidades de los MDE ya existentes es posible mediantealgoritmos que simulan la inundación y relleno de los pozos (Jenson y Domingue,1988:1594). Este proceso modifica el modelo de elevaciones original por lo que enalgunos casos -zonas kársticas, por ejemplo- debe ser aplicado con enorme precaución.

Una forma de evitar el problema es introducir la red hidrológica como líneas de roturaen la generación del modelo TIN. De esta forma, la triangulación utilizará estas líneascomo lados de los triángulos trazando correctamente las líneas de flujo.

Hutchinson (1989:213) ha propuesto un método específico para la creación de unMDE libre de pozos que impone restricciones al proceso de interpolación forzando suajuste a la red hidrológica. El trazado fluvial debe ser introducido como informaciónauxiliar.

El mayor problema de este método es que, en su estado actual, no permite laintroducción de todas las estructuras auxiliares mencionadas al comienzo de esteapartado.


345

Tema 2Valoración

del error en el MDE

IntroducciónLos ordenadores y programas utilizados para el manejo de la información cartográficapermiten definir localizaciones con una precisión casi arbitraria. Esta precisión se transmiteaparentemente al resto de las operaciones de forma que unos buenos gráficos, unaleyenda fácilmente legible y otros aspectos formales de la presentación tienen comoresultado una sobrevaloración de la calidad de la información presentada.

Sin embargo, la realidad muestra que los problemas inherentes al manejo de las bases de datoscartográficas se deben, en una buena parte, a su mala calidad. Muchos documentos digitales hansido "capturados" de mapas impresos de naturaleza muy heterogénea, generados con unos objetivosy expectativas que no tienen porqué coincidir con los actuales. La potente maquinaria actual y lossofisticados programas informáticos permiten obtener un resultado que replica fielmente todos losdefectos del original y añade algunos nuevos. Sin embargo, su naturaleza digital induce a creerfrecuentemente que el contenido de la base de datos es mejor que el original analógico.

El problema se incrementa con el tiempo, cuando unos datos originales han sidousados para diferentes modelizaciones, cuyos resultados son, asimismo, tomadoscomo ciertos y reutilizados en otros procesos. El proceso sigue hasta el punto deolvidar el origen de la cadena y perdiendo, por tanto, toda referencia con la realidad.

Por estos motivos es cada vez más necesario incorporar lo que se ha llamado meta-información en los productos SIG: información sobre la información, de la cual lareferente al error es uno de los elementos de mayor importancia (Geertman y Ruddijs,1994:152).

Las fuentes del error

El modelo digital de elevaciones es el origen de todas las modelizaciones total oparcialmente dependientes de la topografía. Por este motivo, la utilidad y validez de losresultados derivados están estrechamente relacionadas con la calidad del modelooriginal.

La calidad de un MDE depende del tipo y magnitud de los errores implicados. Lainformación es necesariamente imprecisa debido a la simplificación inherente alproceso de modelización. El problema básico consiste en conocer y controlar estaimprecisión, de forma que sea posible saber la fiabilidad de los resultados.

Los errores en los MDE pueden ser separados en dos categorías:� los errores posicionales implican una deficiente localización geográfica de la

cota o de la trayectoria de la curva de nivel y afectan, por tanto, a la situaciónen el plano XY

� los errores atributivos suponen una asignación imprecisa de la altitud asociada ala cota o a la curva e implican a las coordenadas en el eje Z


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Estos dos tipos de errores han sido denominados también, de forma más genérica,cartográficos —error en la localización de elementos—, y temáticos —error en elatributo cartografiado— (Veregin, 1989b:12).

Los errores posicionales afectan a los modelos vectoriales, como los basados encontornos o en las redes de triángulos, que manejan entidades geométricas. Losmodelos raster, basados en localizaciones definidas implícitamente no se ven afectadospor errores de posición.

Los errores atributivos afectan tanto a modelos vectoriales como raster. En el primercaso suele tratarse de errores en el sentido más básico de la palabra —blunders—, esdecir, fallos groseros y locales en la asignación de la altitud. En el caso de las matricesregulares, el origen del error suele estar en las múltiples operaciones geométricasimplicadas en la construcción del MDE. En este caso, el error es de naturalezaestadística y global, pudiendo considerarse un atributo que define y caracteriza el MDE.

El error de las fuentes primarias

La construcción del MDE con imágenes de satélite

Las imágenes de algunos sensores transportados por satélite han sido utilizadas paragenerar modelos digitales de elevaciones de forma, hasta ahora, experimental.

En un primer ensayo, Mukai et al. (1989) han utilizado pares de imágenes Landsat-TMpara calcular altitudes en la zona de solapamiento entre dos órbitas. Los resultados quepresentan señalan un error cuadrático medio, ECM, de 92 m, lo que supone 3 veces eltamaño del pixel de la imagen original —30 m—. La zona, de 40x45 km y situada enlos Alpes centrales de Japón, posee un desnivel máximo de 2200 m. Para el cálculodel ECM se utilizó un total de 60 puntos de control.

El satélite SPOT es claramente más adecuado para el cálculo de altitudes debido a doscircunstancias. La primera, que el tamaño de pixel de las imágenes es de 10 m enmodo pancromático, lo que supone un incremento muy significativo de la resolución.La segunda es que el SPOT puede tomar pares de imágenes estereoscópicas de la zonaque se desee girando las cámaras, lo que permite cubrir cualquier zona de la superficieterrestre.

Mukai et al. (1990), usando técnicas similares a las de su anterior trabajo con Landsat-TM, consiguen en este caso valores del ECM de 26 m partiendo de las imágenes SPOTpancromáticas. Sasowsky et al. (1992) realizan pruebas similares en un área de 25km2 de Alaska y proponen una magnitud del ECM de 19 m, con errores entre –13 y+48 m. En este caso, los errores no tienen media nula, lo que significa que el MDEderivado de las imágenes SPOT tiene una tendencia significativa a proponer altitudesmás elevadas que el mapa de referencia —escala 1:6.000—.

Priebbenow (1988) presenta resultados de una experiencia realizada en Australia convalores del ECM de 5,4 m. Su conclusión es que las imágenes SPOT pancromáticaspermiten generar cartografía con una precisión geométrica elevada y compatible conlos estándares de la escala 1:50.000.


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Finalmente, Kubik y Wu (1995) presentan los resultados del tratamiento de imágenesSPOT mediante estaciones de trabajo fotogramétricas con un ECM de 6 m en altitud.

La conclusión general es que las imágenes SPOT permiten construir modelos convalores del ECM variables en función del relieve y de los métodos utilizados. Lamagnitud del error limita sus aplicaciones en grandes escalas pero, como veremosposteriormente, puede ser razonable si se generan modelos matriciales donde el ECMsea aproximadamente un 10% del tamaño de la malla —distancia entre filas ycolumnas—.

La construcción del MDE mediante radarLa interferometría radar es una técnica que usa las diferencias de fase entre dosimágenes para estimar la distancia entre la superficie y el satélite o avión. La fase deun pixel es la suma de dos componentes: la fase específica —relacionada con lanaturaleza del terreno— y un desfase que depende de la distancia entre el terreno y elradar. Superponiendo y hallando la diferencia entre dos imágenes diferentes la faseespecífica puede eliminarse. La resultante es el componente debido a la diferencia dedistancia entre los dos pasos del satélite. A partir de esta imagen de interferencia esposible estimar la altitud absoluta con precisión variable en función de diferentesparámetros.

La construcción de MDE mediante radar tiene se más reciente muestra en el TOPSAR—topographic synthetic aperture radar—, desarrollado por el Jet Propulsion Laboratoryde California. El TOPSAR, en funcionamiento conjunto con el JPL Aircraft SAR,adquiere imágenes cenitales de la superficie terrestre con una resolución horizontal de5 m y un error en la determinación de la altitud de 1 a 3 m, en función del tipo derelieve. El TOPSAR/AIRSAR es transportado por un DC-8 a una altitud típica de 9 km.El sistema está dotado de un sistema GPS para la localización, lo que permite unreferenciación geográfica precisa de la trayectoria del vuelo y, por tanto, del conjuntode los datos medidos.

Thompson et al. (1995:99) indican que la satisfactoria experiencia del TOPSARanuncia un posible satélite topográfico que podría tener un error altitudinal de unos 2m con una resolución horizontal de 30 m. Sin embargo, en Evans (1995) se indica quelos radares actuales transportados por satélites no pueden ser utilizados de formarutinaria para determinar la superficie topográfica. La razón principal reside en ladesconocida influencia de la ionosfera en el retraso de la señal; este problema puedeser resuelto mediante radares de doble longitud de onda, o reducido tomando los datosdurante la noche —lo que limita la cobertura y periodo de las tomas—.

El error de las fuentes secundariasEl error posicional, que afecta a las estructuras vectoriales, puede tener variosorígenes. El más frecuente es el derivado de la digitalización de mapas, tanto másdebido a la tendencia a infravalorarlo, probablemente por la dificultad de su corrección.Cabe destacar que una magnitud elevada del error posicional puede obligar a un uso delos mapas exclusivamente cualitativo, limitando severamente la utilidad de lainformación.

La digitalización manual de mapas sigue siendo el método más usual de incorporarinformación topográfica. La razón probablemente estriba en que la digitalización


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automática es dificultosa a partir de los complejos mapas editados, que son los másfácilmente disponibles.

La digitalización manual ha sido reconocida como una importante fuente de errorcartográfico cuyas causas pueden dividirse en dos categorías, en función de su origen:

� las causas externas están relacionadas generalmente con la deformación de losdocumentos —mapas antiguos, en mal estado de conservación, referenciacióngeográfica deficiente o, simplemente, de mala calidad—

� las causas operacionales hacen referencia a los procesos de digitalización ymanipulación posterior de los datos: por ejemplo, el error introducido en elproceso de digitalización se debe básicamente a la inexacta colocación delcursor sobre la curva de nivel.

Los errores debidos a deformaciones del documento digitalizado pueden rectificarse, almenos parcialmente, mediante un proceso global de corrección geométrica. Este procesoestá integrado habitualmente en los propios programas de digitalización y son capaces demodificar coherentemente la localización de las entidades cartografiadas en función de unconjunto de puntos de referencia —ver apartado siguiente—.

El error de la digitalizaciónEn el caso de los errores derivados de la digitalización manual, cabe distinguir tres casosdiferentes:

� el error topológico, provocado por que el operador sigue una línea equivocadadebido a una mala interpretación del mapa

� el error estocástico, generado por la imprecisión en el seguimiento de las líneasdebido a una deficiente colocación del cursor

� el error de generalización, debido a la simplificación del trazado de las curvas, queson digitalizadas como una cadena de segmentos rectilíneos

Los errores topológicos son simples de detectar y corregir mediante un simple análisisvisual debido a los rígidos patrones de distribución de las curvas de nivel —paralelismo,coherencia topológica—. Por este motivo, este tipo de errores se elimina en la primeraetapa del control de calidad y no tiene una influencia relevante en la calidad del modelofinal. Como ya se ha indicado en el tema anterior, el error topológico es mucho másfrecuente en la digitalización automática mediante escáner (Peled y Fradkin, 1994:246),donde la experiencia y capacidad de interpretación del operador no pueden ser aplicadas.

Los errores estocásticos de digitalización pueden ser debidos esporádicamente a causasfisiológicas —temblores causados por el cansancio y otros movimientos bruscos—. Eneste caso, el operador suele detectarlos y corregirlos sobre la marcha.

Quedan, sin embargo, las imprecisiones debidas a la imposibilidad física de replicarexactamente la trayectoria de las curvas de nivel. En este caso se ha propuesto que loserrores de colocación están autocorrelacionados y son, al menos parcialmente, procesosno aleatorios dependientes de los puntos previamente introducidos (Keefer, 1988:477). Elmotivo es que el operador tiende a un trazado inercial de la línea rebajando o excediendola trayectoria según su morfología.

Esta circunstancia está clara en el caso de la digitalización en modo continuo —streammode—, donde el cursor está en movimiento y las coordenadas se introducen de formaautomática cada cierta distancia sin control por el operador. En el caso de la digitalizaciónpunto a punto —point mode—, se ha propuesto que el error puede ser aleatorio y noautocorrelacionado. El motivo es que existe una pausa entre punto y punto, durante la


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cual el operador coloca el cursor sobre la línea. Si el tiempo entre puntos sucesivos essuficiente el error en cada punto será independiente de los anteriores. Sin embargo, existela tendencia a mantener el cursor en continuo movimiento, pulsando de forma secuencialy continua. En este caso, el modo punto a punto se asemeja al modo continuo y elfenómeno de autocorrelación se hace significativo.

La presencia de autocorrelación puede detectarse mediante pruebas de aleatoriedad,donde la variable independiente es el tiempo o, más exactamente, la secuencia ordenadade puntos digitalizados. El análisis es básicamente equivalente a una serie temporal dondese asume que los puntos son digitalizados a intervalos constantes.

Finalmente, el error de generalización se produce por la reducción de la línea curva originala otra compuesta por pequeños segmentos rectilíneos entre los puntos digitalizados. Cabedistinguir dos tipos diferentes de generalización:

� la generalización cartográfica —graphic-oriented generalization— es utilizada pararepresentar gráficamente la información a diferentes escalas. Se trata de unproceso básicamente gráfico donde las líneas son redondeadas, comprimidas,colapsadas o simplificadas con el objetivo de facilitar su lectura y no de conservaruna extrema fidelidad al original.

� la generalización para la modelización —model-oriented generalization—tiene comoobjetivo la simplificación controlada de los datos para la conservación depropiedades relevantes del original. El proceso se realiza para utilizar el modelo ensimulación y análisis por lo que es importante la valoración y el control de lapropagación del error.

El problema de la digitalización es que se realiza para la modelización pero partiendo deoriginales sometidos a una generalización cartográfica. La conclusión es que el errorcometido es frecuentemente desconocido y no cuantificable.

En la digitalización, las curvas de nivel originales quedan representadas mediante unconjunto reducido de vértices. El producto final son polilíneas de menor complejidadque las originales. La razón de efectuar la generalización es la reducción del volumende datos pero a costa de una pérdida de información que supone un incremento delerror.

El error de generalización tiende a reducirse cuando el número de puntos aumenta, y seincrementa generalmente con la complejidad de la línea original. La forma de reducir elerror manteniendo un volumen de datos moderado es realizar una buena selección de lospuntos críticos de la curva. La experiencia del operador es un factor importante en estaselección pero probablemente es preferible realizar una digitalización densa y aplicarposteriormente algoritmos de generalización automática. Estos algoritmos, en términosgenerales, conservan la longitud y ángulos satisfactoriamente y, sobre todo, desplazanmucho menos las líneas que la generalización manual, luego causan mucha menosdistorsión (João, 1995:188).

El análisis del error de digitalización

Como se ha indicado anteriormente, el análisis del error de la digitalización puede serasimilado al de las series temporales. En el caso de existir autocorrelación, el error en un


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punto j, ej puede ser representado como una suma ponderada de un número finito n deerrores anteriores más un término aleatorio a propio de cada punto:

Además del proceso autorregresivo puro —AR, autoregression—, es posible la existenciade otros que expliquen la secuencia temporal. Si el operador se da cuenta de la tendenciade sus errores puede introducir sesgos voluntarios para corregirlos. En este caso apareceun proceso de media móvil —MA, movil average— donde la suma ponderada de losanteriores términos aleatorios a explica una parte de la varianza:

Se ha planteado la hipótesis de que el error puede explicarse mediante el modeloautorregresivo, el de media móvil o una combinación de ambos —modelo ARMA—(Keefer,1988:479).

El uso de modelos ARMA puede ser un camino para modificar los ficheros procedentes dela digitalización y reducir el error posicional global. En efecto, si se demuestra que elmodelo es coherente y puede explicar una fracción significativa del error, puede seraplicado a posteriori para realizar una corrección de las coordenadas. Al menos, la partedel error explicada por autocorrelación podría ser reducida para mejorar la calidad delproceso. Sin embargo, esta hipótesis debe ser aún comprobada ya que no se hanlocalizado trabajos en la bibliografía que lo hayan llevado a la práctica.

La cuantificación del error posicional

Cuando una curva de nivel se digitaliza y se define por un número de segmentos, laincertidumbre debida al error posicional de los vértices afecta a una banda o pasilloalrededor de la línea.

La banda de probabilidad suele denominarse banda épsilon y representa un entorno deprobabilidad de la localización real de la curva de nivel alrededor de la línea digitalizada. Sila banda es simétrica normalmente a la línea, se asume que no existe sesgo en ladigitalización, es decir, no ha existido una tendencia significativa a digitalizar a un ladoconcreto de la línea.

La banda épsilon fue utilizada originalmente por Perkal (1966) como método de generalizarobjetivamente una línea. El algoritmo más utilizado en la actualidad para generalizar laslíneas (Peuker y Douglas, 1975) es básicamente un procedimiento iterativo que manejaimplícitamente el concepto de banda e al definir una distancia umbral para la "limpieza" delas líneas —weed tolerance—. El valor de e puede usarse, sin embargo, como un índice decalidad al valorar el proceso de digitalización.

Interpretada como una banda de probabilidad, la anchura de la banda e crecerá en funcióndirecta de la magnitud del error en la digitalización. La banda épsilon puede representarse,por tanto, codificada en valores de gris de acuerdo con el valor de probabilidad asignado acada zona alrededor de la línea —ver figura—.


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Figura: Representación de la banda épsilon como regiónprobabilística. Cuanto más oscura es la zona, mayorprobabilidad tiene de contener la línea real. Los vérticesdigitalizados se muestran como puntos blancos definiendo elpentágono.

Es posible realizar una estimación de la magnitud de e en un mapa cuando se dispone deotro más detallado de la misma zona. Para ello se superponen algunas líneas homólogas yse miden las distancias entre ellas, perpendicularmente a la línea de referencia y aintervalos constantes. Los errores medidos, en ausencia de sesgo, se ajustarán a unadistribución normal de media cero y desviación estándar s. Para un valor e = ±1,96 s, labanda épsilon representa la zona donde, con una probabilidad del 95%, pasa la líneaoriginal.

Cabe considerar que el valor de e puede no ser constante en todo el mapa. El motivo esque el error de digitalización puede variar en función de la complejidad de las líneas y desu proximidad.

El manejo de la información en función del valor de e es un tema aún poco desarrollado. Eltema a empezado a preocupar en el contexto de los mapas temáticos vectoriales, donde laimprecisión de las líneas genera problemas en las operaciones de superposición y, engeneral, en el álgebra de mapas (Lowell, 1995). Sin embargo, en el caso de la generacióndel MDE a partir de líneas con error conocido aún no se ha hecho avance alguno.

El error cartográfico: la calidad de los mapas

La calidad de los mapas originales puede ser un problema importante cuando no haexistido un control de calidad suficiente, especialmente en la precisión altimétrica. EnEstados Unidos se sigue la regla del 90%: en las pruebas con puntos de control, el 90%de ellos deben tener un error menor a la mitad del intervalo entre curvas de nivel. EnEspaña, una gran parte de la cartografía de gran escala ha sido generada por muy diversosorganismos o empresas con parámetros de calidad desconocidos.

Los errores de los mapas originales se suman, por tanto, a los ya estudiados del propioproceso de digitalización. Pueden diferenciarse los siguientes componentes:

� error altimétrico absoluto del mapa o error máximo admitido en los procesosfotogramétricos

� propagación del error planimétrico a la altimetría: el error planimétrico seestablece habitualmente en 0,2 mm de la escala del mapa. Su efecto en laaltitud es proporcional a la tangente de la pendiente del terreno

� deformaciones dimensionales del mapa, debidas a alteraciones en latemperatura y humedad

En cuanto a la magnitud de la suma de errores, Tahiri y Donnai (1995) presentan unmodelo de valoración del error entre cuyos resultados cabe destacar la presencia de ECMsde 5 a 10 m para mapas 1:50.000 con 10 m de intervalo entre curvas de nivel. Estosdatos pueden prevenir sobre los errores iniciales del mapa que va a ser digitalizado ya queen el peor de los casos —una zona con fuerte relieve— el ECM iguala al intervalo entrecurvas y el error máximo lo triplica.


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El error cartográfico: la deformación de los mapas

La deformación del mapa topográfico debido a cambios dimensionales provoca erroresglobales que afectan a la totalidad de los datos del modelo. Cuando los datos van a usarseen procesos de análisis y modelización es aconsejable realizar un estricto control de lasdimensiones del problema desde el primer momento.

Cabe destacar que la detección y corrección de este tipo de errores sólo es posible cuandose trata de deformaciones globales. Esto significa que problemas tan usuales como losdobleces en los mapas pueden ser muy difíciles de corregir por tratarse de deformacioneslocales.

La medida de este tipo de error puede realizarse con criterios estadísticos a partir de unconjunto de puntos de control localizados con precisión. El problema se planteabásicamente como una transformación de coordenadas, desde un sistema originaldeformado a otro de referencia, habitualmente un sistema de proyección geográfica.

Los programas de digitalización suelen tener incorporadas utilidades para realizar lacorrección desde el principio pero también es posible realizarlo a posteriori medianteprocesos de ajuste que la mayoría de los SIG poseen.

El método de corrección se ejecuta en tres pasos:� se establece una serie de puntos de control cuya localización se conoce con

exactitud en ambos sistemas de coordenadas� se establecen unas funciones de transformación entre ambos sistemas,

calculadas a partir de los puntos de control� se aplican las funciones de transformación sobre los puntos de control para

conocer la magnitud del error� en caso de que el error sea aceptable, se realiza la transformación global

aplicando las funciones a la totalidad de puntos

Las funciones de transformación suelen estimarse de forma independiente para lasabscisas y para las ordenadas. Definiendo con el subíndice T a las coordenadas originales—tablero, por ejemplo— y con G a las finales —sistema de proyección—, se tienen lassiguientes expresiones generales:

En la mayoría de los casos, las funciones anteriores se estiman aplicando métodosestadísticos de los cuales el más utilizado es el de superficies de tendencia, en el que lasfunciones z se calculan mediante regresión múltiple o ecuaciones polinómicas estimadaspor el método de mínimos cuadrados. Se han propuesto funciones diferentes (Goshtasby,1986, 1988) pero el método polinómico es el más utilizado. La expresión general delmismo es:


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El grado del polinomio de ajuste puede ser variable. Cuando vale 1 es posible efectuartransformaciones afines, es decir, operaciones de translación, rotación y cambio deescala. Los grados superiores permiten recuperar distorsiones geométricas más complejas.En el primer caso, las ecuaciones de transformación se reducen a un plano de regresión:

La estimación del error cometido en la transformación: se realiza comparando lascoordenadas de los puntos de control con las resultantes de aplicar las funciones detransformación sobre los mismos puntos. El error suele estimarse como error cuadráticomedio, ECM, separable para las componentes x e y:

El límite aceptable para el error cuadrático máximo de los puntos o para el ECM debefijarse en función de la aplicación a la que va destinado el MDE, así como de la escala departida, primer determinante de la precisión geométrica de un modelo. En la digitalizaciónmanual puede proponerse un límite empírico que sería la distancia que corresponde a 0,25mm del mapa a la escala de trabajo. Con un original a escala 1:50.000 este valor es de12,5 m y corresponde aproximadamente a la precisión máxima que un operadorexperimentado puede obtener en la digitalización manual.

Esquema del proceso decorrección geométrica delos documentosdigitalizados a partir deoriginales deformados

En caso de errores excesivos deben examinarse individualmente los puntos de control paracomprobar si existe alguno especialmente anómalo. Posteriormente, puede variarse elgrado de la transformación para intentar mejores ajustes. De forma general, latransformación de primer grado sólo permite efectuar ajustes lineales por lo que, si elmapa está distorsionado, serán necesarias previsiblemente transformaciones de gradosuperior. Existe un límite práctico derivado de la precisión de los cálculos implicados en lasoperaciones matriciales necesarias.

Finalmente, debe destacarse que los puntos de control del mapa se digitalizanmanualmente por lo que una introducción descuidada puede una causa complementaria deerror muy significativa.

La medida del error atributivo

Como ya se ha indicado, en el error atributivo puede afectar tanto a los modelosvectoriales como a los matriciales. En el primer caso, la mayoría de las veces se trata deerrores locales, equivocaciones al asignar la altitud a las curvas de nivel o a los puntosacotados.


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En este caso, la forma más simple de detectar el problema es trazar perfiles paralelos endiversas direcciones y examinar visualmente los resultados. La corrección se realizamanualmente actualizando en la base de datos el registro que describe la curva errónea.También es posible y útil generar un MDE matricial y, a partir de él, modelos derivados.Algunos de ellos permiten ver fácilmente los errores debido a las irregularidades en ladistribución de las variables —especialmente, pendientes y sombreado—.

En el caso de los modelos matriciales, el error puede considerarse de tres tipos posibles:� grandes errores —blunders—; su magnitud excede el máximo error permitido.

Son de naturaleza local y deben ser eliminados completamente� errores sistemáticos, que presentan un patrón de distribución concreto e

introducen un sesgo en el MDE. En caso de existir, son predecibles y puedenser eliminados o, al menos, reducidos

� errores aleatorios, que permanecen tras la eliminación de los anteriores y quesuelen presentar una distribución de Gauss. Este error es global y se origina enlas imprecisiones de los datos originales y en los múltiples procesos degeneralización, interpolación, etc. que se ejecutan en su construcción.

Análisis del error aleatorio

En un MDE matricial, las elevaciones

pueden interpretarse como la suma de la altitud real, z, y un factor de error:

Los parámetros que definen la distribución del error pueden deducirse a partir de unconjunto muestral de puntos—check points— para los que se conoce la altitud real.

Los puntos de control se consideran "verdaderos", es decir, medidos sin error, por lo quedeben ser definidos mediante métodos precisos. El método más utilizado es extraer lasaltitudes de mapas preexistentes de la mayor escala posible, con la confianza de manejarerrores desconocidos pero moderados. Probablemente el uso de los GPS adquiera aquípleno sentido, al permitir establecer un conjunto de puntos de control con precisiónconocida y que, en los casos de usar GPS diferencial, pueden tener una precisiónsuficiente para el control de calidad.

Valoración del error

El error local en un punto i, ei se define como la diferencia entre la altitud en el MDE y ladel punto de control: Dado un conjunto de n puntos de control, el error medio, EM, para este conjunto de datosse define como:

El error medio para un conjunto dado de puntos de control tiene interés para comprobar silas desviaciones del modelo son aleatorias o no. En el primer caso, EM no serásignificativamente diferente de cero. Sin embargo, como las desviaciones positivas ynegativas se anulan, el EM no es una medida válida de la calidad del MDE.


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Lo más habitual es utilizar el error cuadrático medio, ECM, que se calcula mediante laexpresión:

El uso de estos estadísticos permite una evaluación objetiva de la calidad de los MDE si,del mismo modo que en el caso de la cartografía convencional, se plantean unas reglas decalidad o baremos para los MDE. Para la aplicación de un baremo se asume que losgrandes errores han sido corregidos, así como los posibles errores sistemáticos y sóloresta la componente aleatoria.

La influencia de los puntos de control

¿Cuántos puntos de control son necesarios para conocer el error de un MDE? Li (1991)plantea el concepto de fiabilidad —reliability— del control de calidad, en el sentido de quelos resultados de éste dependen de la calidad y cantidad de los puntos de control. Utilizarun gran número de puntos requiere asimismo un esfuerzo importante para conseguirfijarlos con precisión. Debe, por tanto, fijarse un número mínimo de puntos para conseguiruna meta de fiabilidad concreta en el control de calidad. Ley (1986) plantea el uso de 150puntos para garantizar que la medida del error tendrá una desviación estándar del 10%. Li(1991) presenta un análisis teórico más completo y concluye una ecuación generaldonde e es la medida del error en términos de desviación estándar —equivalente al ECM

cuando no hay sesgo, es decir, cuando EM=0—; R(e) es la fiabilidad de la medida delerror, asimismo en términos de desviación estándar —el error del error—; finalmente, n esel número de puntos de control. Para 150 puntos de control, el valor de R(e) es del 6%,similar al propuesto por Ley (1986).

La muestra mínima necesaria para una fiabilidad R(e) será:

Por tanto, si se desea evaluar el error con una fiabilidad del 10%, —R(e)=0.10—seránnecesarios 51 puntos de control. Inversamente, si se ha obtenido un error de R(e)=25 mcon 50 puntos de control, sabemos la desviación estándar del error es de 2,5 m, un 10%de la medida. En consecuencia, los límites de confianza del 95% para el error estarán en elrango de 25 ± 1,96 ∙ 2,5 m = 25 ± 4,9 m.

En la selección de los puntos de control debe tenerse en cuenta que el muestreo debe serrepresentativo de las estructuras topográficas presentes en la zona. Por este motivo, eluso de la red geodésica no es aconsejable ya que los puntos tienden a encontrarse en lascimas y otros lugares destacados. Sí es posible, en cambio, utilizar la red como apoyopara añadir otros puntos de control en zonas diferentes o utilizar el método GPS paraconseguir una red representativa con una distribución adecuada.

Análisis de los grandes erroresEn ausencia de sesgo, los grandes errores se definen como aquéllos cuya magnitudexcede el triple del ECM.


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Como ya se ha indicado, este tipo de errores son esporádicos y de naturaleza local esdecir, se producen errores que sólo afectan a una pequeña fracción del área total. Lastécnicas de detección y medida suelen ser también locales y se basan generalmente enhipótesis sobre la continuidad en los valores de la pendiente.

El origen de estos errores puede estar en causas diversas, incluso por los métodosautomáticos de estereocorrelación, que pueden tener problemas debido al bajo contrastede las imágenes, a ambigüedades por la existencia de texturas periódicas sobre el terrenoo a reflejos (Hannah, 1981:63). Cuando los modelos se construyen por transformacionesde archivos vectoriales previos, los conflictos pueden originarse en errores preexistentes oen el comportamiento de los algoritmos de interpolación utilizados en zonas problemáticas.

Es posible utilizar métodos puramente visuales para la localización de este tipo de errores(USGS, 1997). Para ello se realizan representaciones mediante bloques-diagrama,coloreado de bandas de gradientes hipsométricos, vistas estereoscópicas medianteanaglifos y simulaciones de iluminación.

Sin embargo, el análisis visual no garantiza un examen exhaustivo y metódico ni puededefinirse claramente un umbral de error, sino que la presencia o ausencia de error queda alcriterio subjetivo del operador. Por este motivo es recomendable usar métodosautomáticos donde, normalmente, un punto se comprueba usando los valores de lospuntos más próximos o "vecinos". Los vecinos se definen mediante una "ventana"superpuesta al modelo, que delimita una fracción del mismo. En general, las ventanassuelen ser cuadradas —incluyen la misma cantidad de filas y columnas— y simétricas —elpunto problema se sitúa en el centro de la ventana, lo que implica una dimensión impar—.

En el análisis más simple se calculan las diferencias de altitud entre el punto problema ysus vecinos. El punto se etiqueta si alguna de estas diferencias exceden un valor máximopredefinido. Llamando e a la condición de error , se tiene:

Analizando el MDE por filas o columnas, si sólo se detecta un valor conflictivo puedesuponerse un punto de ruptura de pendiente. La detección de dos señales de alarmasecuenciales es un indicador de que el punto implicado en ambos cálculos esprobablemente erróneo.

Hannah (1981) propone pruebas más completas, basadas en el conjunto de los vecinosmás próximos de cada punto, y utilizando tanto los valores de pendiente como los decambio de pendiente. En ellas se utilizan valores umbral para ambos parámetros con el finde detectar puntos conflictivos.

Estas pruebas, sin embargo, no tienen un valor estadístico, en el sentido de que noofrecen una medida de verosimilitud o probabilidad para el valor de la cota sometida aprueba. En Felicísimo (1994) se propone un sencillo método que tiene tres propiedades deinterés con respecto a los anteriores:

� es un método objetivo, donde los umbrales de error se determinan mediantemétodos estadísticos

� la probabilidad de que un punto sea erróneo puede conocerse.� los valores umbral se deducen de los datos propios del modelo, por lo que se

adaptan a las características del relieve de la zona estudiada —con unos valorespropios de pendiente, rugosidad, etc.—


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La base del test reside en el análisis de las diferencias existentes entre dos valores dealtitud para cada punto: la presente en el MDE —correcta o errónea— y un valor estimadomediante un proceso de interpolación a partir de las cotas vecinas. Para un punto situadoen la fila i, columna j, el valor interpolado es:

La diferencia entre la cota del modelo y la cota estimada es:

El proceso se realiza para el total de los n puntos del MDE y se obtiene la diferencia mediay su desviación estándar:

los valores anteriores definen la función de distribución de las diferencias, una distribuciónde Gauss,

que permite realizar un test de significación para los valores individuales de las diferencia.Con este test se puede aceptar o rechazar la hipótesis de que el valor individual dedesviación observado pertenece a la población de desviaciones. Para ello se utiliza un testde la t de Student, que debe realizarse para cada punto del modelo calculando el valor delestadístico mediante la expresión:

El valor anterior se considera una desviación tipificada y se compara su magnitud con elvalor

como el número de datos del modelo digital será habitualmente muy elevado, se usa elvalor infinito para los grados de libertad. El modelo digital constituye la población, por locual los valores que definen la distribución pueden considerarse parámetros poblacionalesy no estadísticos muestrales.

La probabilidad de error de Tipo I puede definirse con el fin de detectar solamente lasdiferencias muy significativas. En consecuencia, la condición de error vendrá dada, porejemplo, por

La hipótesis nula es

y la alternativa

La localización de puntos con un valor de t significativamente elevado no implicanecesariamente un error de cota pero es un buen indicador de alarma.


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La propagación del errorLas operaciones con números inciertos permiten obtener resultados inciertos. Estacircunstancia aconseja controlar estrictamente el error cuando las medidas van a serutilizadas en la determinación de otras magnitudes a través de procesos de simulación. Lainfluencia del error en la incertidumbre de un resultado se denomina propagación del errore ignorarlo puede conducir a dar por válidos resultados que no lo son en absoluto.Lainfluencia del error en los procesos derivados del MDE ha sido mucho menos estudiadaque el error de las fuentes. Los trabajos existentes tienen por objeto llamar la atenciónsobre los efectos de la propagación del error en algunas simulaciones, especialmente lasrelacionadas con las pendientes y orientaciones del terreno. Sin embargo, los métodosprácticos de "vivir con el error" en una base de datos cartográfica y de controlar susefectos de forma general no están aún claros.

En el caso de la realización práctica de modelizaciones, se han citado tres formas de tratarel problema de propagación del error (Hunter y Goodchild, 1994:771):

� omitir toda referencia al mismo� proporcionar un descriptor estadístico� proporcionar varios productos finales dentro del posible rango de variación

El primer caso es, sin duda, el más frecuente y la forma más simple de tratar el problema,pero obviar el problema puede tener consecuencias negativas en función de las decisionesque se tomen a partir de la información defectuosa.

En el segundo caso se presenta información sintética mediante descriptores como lasbandas épsilon, los valores de ECM, etc. Estas medidas pueden poner sobre aviso de lacalidad de los datos por lo que suponen un avance notable sobre la primera actitud. Sinembargo, no dan cuenta de los posibles efectos del error en el producto final cuando éstees el resultado de una modelización compleja.

Con el último planteamiento se presentarían diferentes resultados generados dentro delrango de error real con el fin de ilustrar las variaciones permitidas por la incertidumbre delos datos originales.

Queda, finalmente, una cuarta opción que la presentación de los resultados clave para unadecisión asociados a su nivel de incertidumbre y no de forma determinística estricta. Porejemplo, si es necesario delimitar las zonas con pendiente menor de 5º, el modelo que sepresente puede tener una frontera difusa entre la clase p<5º y el resto, con un significadosimilar a la banda épsilon.

Las normas de propagación del error no son necesariamente simples, por lo que susolución analítica puede ser inabordable. Asimismo, dependen estrechamente de losalgoritmos utilizados y, ocasionalmente, pueden cambiar en función de las característicasdel relieve de la zona.

El análisis de sensibilidadLa propagación del error se ha estudiado habitualmente realizando un análisis desensibilidad del proceso concreto. El análisis se realiza generando diferentes modelos deerror para los datos originales y estudiando los resultados producidos. Se trata, por tanto,de producir a partir de un MDE original, otros MDE con diversos grados de distorsión y


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generar el producto. El análisis de los resultados pueden conducir a comprender elfenómeno de propagación del error y su influencia en la calidad del resultado final.

Habitualmente se asume que el error añadido al MDE original debe ser gaussiano y conmedia nula —es decir, tener una distribución normal y no presentar sesgo—. En muchoscasos este modelo puede ser correcto pero hay autores que han propuesto también que elerror puede presentar diferentes grados de autocorrelación —ver más adelante—.

En el primer caso el error se asigna a cada punto del MDE mediante un algoritmogenerador de ruido aleatorio. La magnitud del error depende del ECM, para el cual debenensayarse varios valores. La altitud en un punto se modifica de acuerdo con la expresión:donde zi,j es la altitud en el MDE original y z’i,j es el dato modificado mediante la adición

del componente aleatorio ei,j , el factor de ruido generado de acuerdo con una distribuciónN(0,ECM).

Un método de análisis de la sensibilidad de los modelos ante el error es añadir ruidoaleatorio al MDE original y realizar la simulación con los dos modelos. La comparación delos resultados es indicativa de la robustez del método de trabajo y de la sensibilidad antelos errores.Por ejemplo, los trazados de la red hidrológica difieren notablemente entre ambosmodelos, sin y con error (arriba y a la derecha respectivamente)

En el segundo caso se asume que los errores de puntos adyacentes tienden a sersimilares. La presencia de errores correlacionados sugiere la existencia de alguna otravariable que afecta al modelo. Esta variable puede estar relacionada, por ejemplo, con elcomportamiento del interpolador utilizado en la generación del MDE. En caso de simularerrores de este tipo debe introducirse un factor de autocorrelación, lo cual suele realizarsemediante la expresión siguiente (Canters, 1994:171):

donde k1 y k2 controlan el peso relativo de la autocorrelación y del componente aleatorio.Hunter y Goodchild (1994) indican que aunque es posible introducir un error aleatorio conautocorrelación nula, este proceso no simula el error real ya que permite la existencia degrandes desviaciones esporádicas que no se presentan en los MDE reales. Sin embargo,exagerar la autocorrelación no permite analizar correctamente los efectos del error por loque este factor debe ser mantenido dentro de límites razonables.

El método de Monte Carlo

Los métodos de Monte Carlo son una potente herramienta de trabajo cuando la soluciónanalítica del problema es difícil. El método implica:


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� la suposición de las distribuciones de probabilidad de las variables influyentes y� el uso de generadores de números aleatorios para muestrear de forma simulada

la población de sucesos.

A partir de los puntos anteriores es posible generar modelizaciones numéricas del procesoen número suficiente como para construir empíricamente la función de probabilidad de lavariable resultado.

Los métodos de Monte Carlo han comenzado a ser prácticos y útiles cuando losordenadores han estado disponibles de forma generalizada. Los generadores de númerosaleatorios son rutinas bien conocidas con las cuales es posible generar series de númeroscuyas distribuciones pueden ajustarse a múltiples modelos.

En el caso que se trata aquí, podemos asumir un error gaussiano o con cierto grado deautocorrelación. Los errores serán añadidos a datos simulados y aplicados los algoritmosque ejecutan la simulación. De los resultados podemos deducir las características de lapropagación del error.

Felicísimo (1995) aplica este método al análisis de la propagación del error altitudinal alcálculo de la pendiente. Los pasos seguidos son los siguientes:

� se genera un MDE con valores de altitud iguales, simulando un terreno plano� se genera un valor de error para cada punto de acuerdo con un distribución de

Gauss N(0,ECM)� la altitud de cada punto se altera añadiéndole el valor de error� se calcula la pendiente en cada punto de acuerdo con el algoritmo que se desee

utilizar se construye la distribución de los valores de la pendiente resultantes dela modelización y se compara con la distribución del MDE "real"

Obviamente, la pendiente esperada en ausencia de error es nula ya que el MDE de partidamuestra un terreno plano. Los resultados más notorios son los siguientes:

� la distribución del error en la pendiente no es de media nula lo que significa quela construcción de un modelo digital de pendientes a partir de un MDEinfravalora las pendientes bajas proporcionalmente a la magnitud del error en elMDE

� el error medio de la pendiente en función del ECM es el siguiente:

ECM 5% 10% 20%

Error 1,4º 2,9º 5,8º

el ECM se establece en porcentaje del tamaño de la malla del MDE; por ejemplo, para unMDE de 30 m de intervalo entre datos, un ECM del 10% corresponde a 3 m

� del análisis de frecuencias de error acumuladas, se deducen los siguientesresultados: para un MDE con ECM=10%, el 50% de los datos tendrán un errorde al menos 2º; el 25% de 3,5º y el 5% de 5º o más

� un MDE con ECM=20%, el 50% de los datos tendrán un error de al menos 5º;el 25% de 7º y el 5% de 11º o más.

� en el caso de un MDE con pendiente superior a 0º, la influencia del errordisminuye proporcionalmente a la misma.


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Diagrama de síntesis con los resultados delerror en tres zonas de diferente relieve (vertexto)

El efecto de la autocorrelación

Cuando la distribución espacial del error en el MDE no es completamente aleatoria —aunque pueda serlo su distribución estadística—, interviene un nuevo factor: la intensidadde la autocorrelación.

Hunter y Goodchild (1994) analizan el efecto de la correlación del error en la estimaciónde la radiancia normalizada, L(h). Para ello generan errores de altitud para valores decorrelación r entre 0 —correlación nula— y 0,245. Los MDE resultantes son utilizadospara la estimación de valores de reflectancia mediante el cálculo del ángulo de incidenciade un vector solar dado sobre la superficie. El MDE original tiene 30 m de luz y se le haestimado un ECM real de 10 m.

Manteniendo el ECM constante, se muestra que tanto el error medio como la desviaciónestándar de la radiancia normalizada aumenta ligeramente en el rango 0 < r < 0,20 paradisminuir rápidamente si la correlación aumenta.

Dado que el rango de L(h) no se aporta en el trabajo, es imposible establecercomparaciones relativas. En el caso de que el rango de variación de L(h) sea 0-255 comoes habitual, la desviación estándar máxima observada —13 unidades— correspondería aun 5% en términos relativos.

Canters (1994:176) indica también que cuando el error presenta cierto grado deautocorrelación, las consecuencias sobre el producto final son menos graves que cuandoel error es estrictamente gaussiano. Canters analiza la influencia del error en el cálculo dela pendiente en un modelo TIN e indica que existe una alta sensibilidad ante laautocorrelación. Encuentra que si el error de altitud está correlacionado, los errores en lapendiente son menores —lo cual no es especialmente sorprendente—. Señala, enconsecuencia, que ignorar la autocorrelación en la propagación del error puede suponeruna seria sobreestimación del error en los resultados. Canters resalta asimismo ladependencia entre la pendiente del terreno y el error en el mismo sentido que el señaladoanteriormente: el error aleatorio influye en menor grado en zonas de fuerte pendiente queen zonas llanas.

El error y el relieveEn las simulaciones anteriores se han supuesto unos valores de ECM constantes para todoel modelo de elevaciones, a partir de la cuales se han realizado las simulaciones en todoslos casos.


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Los análisis realizados sobre MDE reales indican, sin embargo, que existe una dependenciaentre el ECM y la morfología del terreno que no debe ser obviada en las modelizaciones.En Felicísimo (1994:70) se muestran los resultados de analizar en error en 3 zonas de laserie MDT200 del Instituto Geográfico Nacional. Los modelos de esta serie estángenerados a partir de mapas de isohipsas con 100 m entre curvas de nivel y presentanuna luz de 200 m.

Las zonas seleccionadas presentan valores de pendiente diferentes y corresponden azonas topográficamente muy distintas:

Zona Topografía Pendiente media1 Rasa litoral, antigua plataforma de

abrasión marina 1º

2 Modelado fluvial en zona de mediamontaña 10º

3 Modelado glaciar y intensaactividad kárstica en alta montaña 22º

La estimación del error se ha realizado por comparación con mapas topográficos1:25.000. Los puntos de control han sido los vértices de la cuadrícula UTM de 1km —salvo los puntos sobre el mar—.

Los resultados se muestran en la tabla siguiente —EM: error medio; entre paréntesis, elerror estándar de la media—:

Zona Puntos de control EM ECM1 113 16 (3,1) 37

2 113 -5 (4,2) 47

3 126 2 (5,9) 67

Los estadísticos resultantes muestran dos circunstancias de interés:� el error medio es significativamente diferente de cero en la Zona 1, lo que indica

un sesgo en el sentido de que las altitudes están sobrevaloradas en el MDE conrespecto a la realidad

� el ECM aumenta perceptiblemente con la pendiente media de la zona,circunstancia ya descrita por otros autores (Hutchinson, 1991:47); en la Zona 3alcanza el 33% del tamaño de malla

Diagrama con los resultados del análisisde propagación del error en la creacióndel modelo digital de pendientes (ver

texto)


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La consecuencia previsible de este efecto es que, aunque puede darse un valor de ECMpara una zona amplia, la magnitud real del error será previsiblemente diferente si esta zonacontiene regiones con diferentes características topográficas. Los análisis sobre lapropagación del error podrán, por tanto, incorporar esta dependencia entre el error y elrelieve para mejorar los modelos.

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