Modelos Para La Toma de Decisiones 3 SEPTIEMBRE 2012

[Modelos para la Toma de Decisiones] | Ing. Rubn Daro Estrella, MBA Cavaliere 1 Ingeniero de Sistemas, Administrador, Matemtico, Telogo y Maestro

1

Pontificia Universidad Catlica Madre y Maestra

Recinto Santo Toms de Aquino

Vice Rectora de Post Grado

MG-617-T Modelos para la Toma de Decisiones

en honor a Carlos Dreyfus

PROGRAMA GENERAL

Ing. Rubn Daro Estrella Snchez, MBA Cavaliere dellordine al Merito della Repubblica Italiana

Ingeniero de Sistemas (UNIBE), Administrador (PUCMM), Matemtico (PUCMM), Telogo (UNEV)

y Maestro (SALOME UREA)

[email protected] ; [email protected]

www.atalayadecristo.org

SEPTIEMBRE, 2012

Objetivo General:

Este curso persigue desarrollar habilidades en los gerentes y futuros gerentes de negocios que

le permitan valorizar, aplicar y crear diferentes modelos matemticos, tiles en el proceso de

toma de decisiones en el mundo de los negocios, con la finalidad de optimizar los resultados a

obtener en las diferentes situaciones del mundo real.

CONTENIDO DEL PROGRAMA

Teora de Toma de Decisiones. o Informacin Crtica. o Simulacin. o Modelos o Toma de Decisiones.

Modelos Matemticos. o Modelos Lineales.

Modelos de Costos, Ingresos y Beneficios. Punto de Equilibrio

Modelos de Oferta y Demanda. Anlisis del Equilibrio. Depreciacin en lnea recta.

o Modelos No Lineales. Funciones cuadrticas de ingresos, oferta y demanda. Equilibrio entre oferta y demanda. Modelo de ubicacin.


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Modelos Estadsticos. o Estadstica Descriptiva.

Conceptos generales de Estadstica. Tabla de Frecuencias y Grficos Estadsticos. Medidas de Tendencias Central y de Dispersin.

Los Cuantiles. Proyecto Parcial Uso de Herramientas Estadsticas.

o Estadstica Inferencial. Introduccin a las Probabilidades. Distribucin Binomial. Distribucin Hipergeomtrica. Distribucin de Poisson. Distribucin Normal. Distribucin T. Aproximacin Binomial a Normal. Teora de Regresin y Correlacin. Distribucin Muestral (Adicional). Estimados y Tamao de Muestra. Distribucin Chi cuadrada. El Anlisis de Varianza ANOVA. Prueba de Hiptesis. Pruebas no paramtricas.

Modelos de Programacin Lineal. o Mtodo Grfico. o Mtodo Simplex. o Mtodo PERT.

o Diagrama de Gantt.

Proyecto Final Modelos de Programacin Lineal.

Evaluacin

Pruebas Cortas 10 puntos: 5 puntos (Modelos Lineales)

5 puntos (Modelos No Lineales)

1 Parcial 25 puntos Modelos Lineales / No Lineales / Descriptiva

Proyecto Parcial 15 puntos Modelos Estadsticos (Presentacin en el Aula)

2 Parcial 25 puntos Modelos Estadsticos - Estadstica Inferencial

Proyecto Final 25 puntos Modelos de Programacin Lineal (Presentacin en el Aula)

Materiales tiles:

- Calculadora Cientfica con Combinacin nCr - Computador Porttil Notebook - Laptop - Juego de Reglas, Comps. - Manual de Ejercicios. - Bibliografa indicada a continuacin.


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Agenda Calendario

Modulo Contenido Fecha Hora Valor

I Introduccin y Reglas del Juego 3, 5 Sept. 6-8/8-10 Asistencia

I Teora de Toma de Decisiones 10, 12 Sept. 6-8/8-10 Asistencia

I Modelos Lineales 10, 12 Sept. 6-8/8-10 Asistencia

I Control de Lectura 17, 19 Sept. 6-8/8-10 5 puntos

I Modelos No Lineales 26 Sept. 6-8/8-10 Asistencia

I Control de Lectura 1, 3 Oct. 6-8/8-10 5 puntos

II Modelos Estadsticos Estadstica Descriptiva 8, 10 Oct. 6-8/8-10 Asistencia

II Modelos Estadsticos Estadstica Descriptiva 15, 17 Oct. 6-8/8-10 Asistencia

I , II Primer Parcial 22, 24 Oct. 6-8/8-10 25 puntos

II Proyecto Parcial Modelos Estadsticos (Presentacin en el Aula)

29, 31 Oct. 6-8/8-10 15 puntos

II Modelos Estadsticos Probabilidades 5, 7 Nov. 6-8/8-10 Asistencia

II Modelos Estadsticos Distribuciones de Probabilidades y Aproximacin

12, 14 Nov. 6-8/8-10 Asistencia

II Modelos Estadsticos Teora de Regresin y Estimacin y Tamao de Muestra

19, 21 Nov. 6-8/8-10 Asistencia

II Modelos Estadsticos Prueba de Hiptesis 26, 28 Nov. 6-8/8-10 Asistencia

II Segundo Parcial 3, 5 Dic. 6-8/8-10 25 puntos

III Modelos de Programacin Lineal 10, 12 Dic. 6-8/8-10 Asistencia

III Proyecto Final Modelos de Programacin Lineal

10, 12 Dic. 6-8/8-10 25 puntos


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Pontificia Universidad Catlica Madre y Maestra - Recinto Santo Toms de Aquino

MG-617-T Modelos para la Toma de Decisiones - Ing. Rubn Daro Estrella, MBA

Aplicacin de las Estadsticas

Proyecto Parcial

Valor 15 puntos - Fecha de Entrega: 29-31/10/2012

Una empresa multinacional del Sector Supermercados que est ubicada en el Distrito

Nacional, Santo Domingo y Santiago, est pensando expandir sus operaciones

establecindose en otras 3 provincias del Pas, con este propsito un equipo de

estudiantes de Modelos para la Toma de Decisiones fue contratado, para determinar en

cules y qu orden debe ubicarse tomando en consideracin las siguientes informaciones

estadsticas:

1. Poblacin Rural y Urbana. 2. Hogares Rurales y Urbanos. 3. Poblacin Ocupada. 4. Poblacin Econmicamente Activa. 5. Proporcin de la Ocupada en relacin a la Activa. 6. Gasto Anual por Hogar Rural (En alimentos, bebidas y tabaco). 7. Gasto Anual por Hogar Urbano (En alimentos, bebidas y tabaco). 8. Demanda total (En base a la suma del Gasto Rural y Urbano). 9. Densidad Poblacional.

Utilizando las Herramientas estadsticas, algunas consideraciones de Operaciones y

Mercadeo, presente su Informe.

- Caracterstica del Sector Industrial, situacin actual, entorno, tendencias, etc. - Estilo de vida. - Desarrollo provincial. - Nivel de Educacin. - Acceso a la tecnologa y medios de comunicacin. - Nivel de participacin de la competencia. - Distancia de los centros de distribucin. - Rentabilidad del negocio.

Impreso y en CD.

FECHA DE ASIGNACIN: 3-9-2012

www.bancentral.gov.do

www.one.gov.do


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Pontificia Universidad Catlica Madre y Maestra - Recinto Santo Toms de Aquino

MG-617-T Modelos para la Toma de Decisiones - Ing. Rubn Daro Estrella, MBA

PROYECTO FINAL

Valor 25 puntos - Fecha de Entrega: 10-12/12/2012 Lineamientos generales para el trabajo final

Elaborar para una empresa de su eleccin, las recomendaciones necesarias para lograr una mejor u ptima programacin de

un proceso determinante o crtico para el logro de los objetivos de la organizacin que la hagan ms competitiva y rentable,

tomando en consideracin la situacin actual de la empresa, cultura, posibilidades econmicas, caractersticas de su sector

industrial, disponibilidad de tecnologa, etc.

Algunos detalles a incluir en su trabajo:

Breve resea de la empresa, historia, evolucin, cultura, etc.

Caracterstica del Sector Industrial, situacin actual, entorno, tendencias, etc.

Misin, Visin y Objetivos.

Evaluar la situacin actual del proceso seleccionado; hacer una crtica de la situacin, emitir un diagnstico claro y completo.

Utilizando El Diagrama Gantt indicar los tiempos empleados para la realizacin de este proyecto final.

Utilizando el Mtodo PERT (Program Evaluation Review Technique - Tcnica de Revisin y evaluacin de programas) determine:

o Lista de actividades del proceso (Descripcin, actividades predecesoras inmediatas, duracin, etc.). o Tiempo de finalizacin de cada actividad. o Actividades Crticas del proceso. o Tiempo que se pueden retardar las actividades no crticas o Diagramas de Red del proceso. o Diagrama de Gantt del proceso. o Determinacin del tiempo total requerido del proceso. o Determinacin del Camino Crtico o Ruta Crtica. o Determinacin de Tiempos ms prximos y Tiempos ms lejanos. o Determinacin de holguras. o Formas de reducir la duracin del proceso. o Tiempos inciertos de actividad del proceso.

Tiempo promedio o esperado, varianza, distribucin de probabilidades beta. o Variabilidad en el tiempo de terminacin del proceso. o Probabilidad de terminar el proceso a tiempo. o Cmo pueden concentrarse ms eficientemente los recursos en actividades, a fin de acelerar la

terminacin del proceso.

o Qu control se debe ejercer en el flujo de gastos para las diversas actividades a lo largo del proceso. o Consideraciones de Tiempo y Costo.

Evaluacin y presentacin clara, evidente y objetiva de los efectos y el impacto de sus recomendaciones en la empresa: econmicas, de calidad, de imagen, etc.

Mnimo de Fuentes Bibliogrficas (Libros) a utilizar: 5

Impreso y en CD.

FECHA DE ASIGNACIN: 3-9-2012


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Bibliografa de Modelos Lineales y No Lineales.

o ANDERSON David, SWEENEY Dennis, WILLIAMS Thomas, CAMM Jeffrey and MARTIN Kipp. Mtodos Cuantitativos para los Negocios.

CENGAGE Learning: 11, 2011.

o BUDNICK Franck S. Matemticas Aplicadas para Administracin, Economa y Ciencias Sociales. McGraw-Hill: Segunda Edicin, 1990.

o HAEUSLLER Ernest F. And PAUL Richard S. Matemticas para Administracin y Economa. Pearson Educacin Prentice Hall: Dcima edicin, 2003.

o VISCENCIO Brambila. Economa para la Toma de Decisiones. CENGAGE Learning: Primera Edicin, 2002.

o HILLIER Frederick S., HILLIER Mark S. Mtodos Cuantitativos para Administracin. McGraw-Hill: Tercera Edicin, 2008.

o HILLIER Frederick and LIEBERMAN Gerald. Introduccin a la Investigacin de Operaciones. McGraw-Hill: Novena Edicin. 2010.

o RENDER Barry, STAIR Ralph M. and HANNA Michael. Mtodos Cuantitativos para Negocios. Pearson Prentice Hall: Novena Edicin, 2006.

o LORA Ricardo and GRULLON Ramn. METODOS CUANTITATIVOS EN LA TOMA DE DECISIONES. Departamento Editorial de la Pontificia

Universidad Catlica Madre y Maestra. Santiago de los Caballeros, Repblica

Dominicana: Tercera Edicin, 1994.

o HERNANDEZ SAMPIERI Roberto, FERNANDEZ COLLADO Carlos and BAPTISTA LUCIO Pilar. Mtodos de la Investigacin. Mc Graw Hill.

Quinta Edicin. 2010.

o BONINI Charles, HASUMAN Warren and BIERMAN Harold. Anlisis Cuantitativo para Negocios. McGraw-Hill: Novena Edicin, 2000.

o KELTON W. David, SADOWSKI Randall P. and STURROCK David T. Simulacin con Software Arena. McGraw-Hill: Cuarta Edicin, 2008.

o HOFFMANN Laurence and BRADLEY Gerald. CLCULO. McGraw-Hill: Stima Edicin, 2001.


7

o BIERMAN Harold, BONINI Charles and HASUMAN Warren. Anlisis Cuantitativo para la Toma de Decisiones. McGraw-Hill: 1994.

o EPPEN G.D., GOULD F.J., SCHMIDT C.D., MOORE Jeffrey and WEATHERFORD Larry. Investigacin de Operaciones en la Ciencia

Administrativa. Pearson Educacin Prentice Hall: Quinta edicin, 2000.

o SAMUELSON Paul and NORDHAUS William. ECONOMIA. McGraw-Hill: Decimoquinta Edicin, 1996.

o HORNGREN Charles and SUNDEM Gary. Contabilidad Administrativa. Prentice-Hall Hispanoamericana: Novena Edicin, 1994.

o HORNGREN Charles, SUNDEM Gary and ELLIOTT John. Contabilidad Financiera. Prentice-Hall Hispanoamericana: Quinta Edicin, 1994.

o CHASE Richard and AQUILANO Nicholas. Direccin y Administracin de la Produccin y de las Operaciones. McGraw-Hill: Sexta Edicin. 1995.

o HIRSCHEY Mark and PAPPAS James L. Fundamentals of Managerial Economics. The Dryden Press: Fitth Edition. 1995.

o LEHMANN Charles H. Geometra Analtica. Editorial Limusa, S.A., Mxico. 2006.

Bibliografa de Modelos Estadsticos.

o LIND Douglas A., MARCHAL William G. and WATHEN Samuel A. Estadstica Aplicada a los Negocios y a la Economa. McGraw-Hill. 13

Edicin. 2008.

o WEBSTER, Allen L. Estadstica Aplicada a los Negocios y la Economa. McGraw-Hill: Tercera Edicin. 2000.

o ANDERSON David, SWEENEY Dennis and WILLIAMS Thomas. Estadstica para Negocios y Economa. CENGAGE Learning: 11 Edicin

2004 / Sptima Edicin. 2012.

o SPIEGEL Murray, SHILLER John and SRINIVASAN R. Alu. Probabilidad y Estadstica. Mc Graw Hill. 3. Edicin Serie Shaum. 2010.


8

o NIEVES Antonio and DOMINGUEZ Federico. Probabilidad y Estadstica para Ingeniera un enfoque moderno. Mc Graw Hill. 2010.

o HERNANDEZ SAMPIERI Roberto, FERNANDEZ COLLADO Carlos and BAPTISTA LUCIO Pilar. Mtodos de la Investigacin. Mc Graw Hill.

Quinta Edicin. 2010.

o GUTIERREZ PULIDO Humberto and DE LA VARA SALAZAR Romn.

Control Estadstico de Calidad y Seis Sigma 6. Mc Graw Hill. 2004

o TRIOLA Mario. Estadstica Elemental (Elementary Statistics). Addison-Wesley: Sptima Edicin. 1998.

o JONSON Robert and KUBY Patricia. Estadstica Elemental Lo Esencial. International Thomson Editores, S. A.: Tercera Edicin 2004.

o LIPSCHUTS Seymour and LIPSON Marc. PROBABILIDAD. Mc Graw Hill. Segunda Edicin. 2001.

o MILTON J. Susan and ARNOLD Jesse C. PROBABILIDAD Y ESTADISTICA. Mc Graw Hill. Cuarta Edicin. 2004.

o MONTIEL A. M., RIUS F. And BARON F.J. Elementos Bsicos de Estadstica Econmica y Empresarial. Prentice Hall: 1997.

o HOPKINS Kenneth, HOPKINS B.R. and GLASS Gene. Estadstica Bsica para las Ciencias Sociales y del Comportamiento. Prentice Hall: Tercera

Edicin. 1997.

o LAPIN Lawrence L. Statistics for Modern Business. The Dryden Press: 1995.

Bibliografa de Programacin Lineal.

o GIDO Jack and CLEMENTS James P. Administracin exitosa de Proyectos. Cenage Learning: Quinta Edicin. 2012.

o HILLIER Frederick and LIEBERMAN Gerald. Introduccin a la Investigacin de Operaciones. McGraw-Hill: Novena Edicin. 2010.

o ANDERSON David, SWEENEY Dennis and WILLIAMS Thomas. Mtodos Cuantitativos para los Negocios. International Thomson Editores: Novena

Edicin. 2004 - Sptima Edicin.


9

o ARREOLA RISA Jess S. And ARREOLA RISA Antonio. Programacin Lineal Una introduccin a la toma de decisiones cuantitativa. International Thomson Editores: Primera Edicin. 2003.

o HILLIER Frederick S., HILLIER Mark S. Mtodos Cuantitativos para Administracin. McGraw-Hill: Tercera Edicin, 2008.

o HAEUSLLER Ernest F. And PAUL Richard S. Matemticas para Administracin y Economa. Pearson Educacin Prentice Hall: Dcima edicin 2003.

o WINSTON Wayne L. Investigacin de Operaciones Aplicaciones y algorimos. Thomson: Cuarta Edicin, 2005.

o BONINI Charles, HASUMAN Warren and BIERMAN Harold. Anlisis Cuantitativo para Negocios. McGraw-Hill: Novena Edicin, 2000.

o BIERMAN Harold, BONINI Charles and HASUMAN Warren. Anlisis Cuantitativo para la Toma de Decisiones. McGraw-Hill: 1994.

o LORA Ricardo and GRULLON Ramn. METODOS CUANTITATIVOS EN LA TOMA DE DECISIONES. Departamento Editorial de la Pontificia

Universidad Catlica Madre y Maestra. Santiago de los Caballeros, Repblica

Dominicana: Tercera Edicin, 1994.

o HILLIER Frederick and LIEBERMAN Gerald. Introduccin a la Investigacin de Operaciones. McGraw-Hill: Sexta Edicin. 1997.

o CHASE Richard and AQUILANO Nicholas. Direccin y Administracin de la Produccin y de las Operaciones. McGraw-Hill: Sexta Edicin. 1995.

o EPPEN G.D., GOULD F.J., SCHMIDT C.D., MOORE Jeffrey and WEATHERFORD Larry. Investigacin de Operaciones en la Ciencia

Administrativa. Pearson Educacin Prentice Hall: Quinta edicin 2000.


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Modelos de Programacin Lineal.

La Programacin Lineal es una de la ms vieja y an una de las ms importantes

herramientas de la investigacin de operaciones, se utiliza cuando un problema se puede

describir utilizando ecuaciones y desigualdades que son todas lineales.

La Programacin Lineal (PL) es una tcnica matemtica de optimizacin. Por

tcnica de optimizacin se entiende un mtodo que trata de maximizar o minimizar un

objetivo; por ejemplo, maximizar las utilidades o minimizar los costos. La

programacin lineal es un subconjunto de un rea ms extensa de procedimientos de

optimizacin matemtica llamada Programacin Matemtica.

La Programacin Lineal trata la planeacin de las actividades para obtener un

resultado optimo, esto es, el resultado que mejor alcance la meta especificada (segn el

modelo matemtico) entre todas las alternativas de solucin.

La Programacin Lineal no da espacio para que haya incertidumbre en ninguna de las

relaciones; no incluye ninguna probabilidad o variable aleatoria. Por consiguiente, el

problema de maximizar la funcin objetivo, sujeta a las distintas restricciones, es

conceptualmente simple. Cuando hay slo unas pocas variables, el sentido comn y

algo de aritmtica pueden dar una solucin, y es que as se han resuelto esos problemas

por generaciones. Sin embargo, como es frecuente, la intuicin es poco valida cuando el

problema es ms complejo; ya que cuando el nmero de variables de decisin aumenta

de tres o cuatro a cientos de miles, el problema desafa los procedimientos empricos.

La programacin lineal ha hecho posible manejar de una manera ordenada, problemas

con grandes cantidades de restricciones.

Esta tcnica tiene excepcional poder y aplicacin general. Es aplicable a una gran

variedad de problemas organizacionales de los negocios modernos y puede manejarse

como una rutina con la ayuda de los computadores actuales. Es una de las tcnicas

cuantitativas que le ha dado a la gerencia elementos eficaces para abordar un conjunto

de problemas que admitan slo soluciones parciales hasta hace pocos aos.

En todo problema de programacin lineal hay que tomar ciertas decisiones. Estas se

representan con variables de decisin xj que se utilizan en el modelo de programacin

lineal. La estructura bsica de un problema de este tipo es maximizar o minimizar la

funcin objetivo, satisfaciendo al mismo tiempo un grupo de condiciones restrictivas o

restricciones (que limitan el grado en que se puede perseguir algn objetivo).

La funcin objetivo.


11

En un problema de programacin lineal, la funcin por maximizar o minimizar se

llama funcin objetivo. Aunque por lo regular existe un numero infinito de soluciones

para el sistema de restricciones (llamadas soluciones factibles o puntos factibles), la

meta es encontrar una que sea una solucin ptima (esto es, una que d el valor mximo

o mnimo de la funcin objetivo).

Restricciones estructurales y restricciones de no negatividad.

Las restricciones son limitaciones impuestas al grupo de decisiones permisibles.

Algunos ejemplos especficos de tales restricciones son:

1. Un administrador de cartera tiene determinada cantidad de capital a su disposicin. Las decisiones estn limitadas por la cantidad de capital

disponible y por las regulaciones gubernamentales.

2. Las decisiones del administrador de una planta estn limitadas por la capacidad de dicha planta y por la disponibilidad de recursos.

3. Los planes de una aerolnea para llevar a cabo la asignacin del personal y los vuelos estn restringidos por las necesidades de mantenimiento de los aviones

y por la cantidad de empleados disponibles.

El Modelo de programacin lineal se ocupa de maximizar o minimizar una

funcin objetivo lineal sujeta a dos tipos de restricciones:

1. Restricciones estructurales. 2. Restricciones de no negatividad.

Las restricciones estructurales reflejan factores como la limitacin de recursos y

otras situaciones que impone la situacin del problema.

Las restricciones de no negatividad garantizan que ninguna variable de decisin

sea negativa.


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El Mtodo Grfico

Este mtodo se fundamenta en la versin grfica que presentemos de todas las

restricciones planteadas; las cuales se superpondrn una sobre otra, hasta llegar a limitar

un rea, denominada rea factible.

El procedimiento ms funcional para la aplicacin de este mtodo es introducir una

pequea modificacin en las restricciones, las cuales generalmente estn planteadas

como inecuaciones, transformndolas en ecuaciones.

Ya convertidas las restricciones en ecuaciones para su grafica aplicamos el mtodo

de los interceptos consistente en determinar los puntos donde la recta intercepta los ejes

(X e Y).

Graficada la recta se sombrea la parte superior o inferior de esta dependiendo del

tipo de inecuacin.

Si la restriccin tiene el signo se sombrea a la derecha y por encima de la lnea,

pero si el signo es se subraya a la izquierda por debajo del grfico de la lnea recta. La regin que satisface de manera simultanea las restricciones ya sombreada se llama

rea o regin factible, donde cada punto en esta regin representa una solucin factible.

Aunque existe un numero infinito de soluciones factibles, debemos encontrar una que

maximice o minimice la funcin objetivo.

La condicin de no negatividad hace que el grafico de la restriccin X1, X2 0, sea todo en el primer cuadrante.

Caso I.

Un fabricante esta tratando de decidir sobre las cantidades de produccin para dos

artculos x1 y x2. Se dispone de 96 unidades de material y 72 horas de mano de obra.

Cada producto x1 requiere 12 unidades de materiales y 6 horas de obra al mximo.

Mientras que el producto x2 usara 8 unidades de material y 12 horas de mano de obra.

El margen de beneficio es el mismo para ambos artculos US$5. El fabricante prometi

construir por lo menos dos artculos del producto x1 Determinar la cantidad a producir

y vender de cada artculo que garanticen mayores beneficios.

Funcin objetivo: Z = 5x1 + 5x2

Restricciones x1 y x2 0 (condicin de no negatividad)

12x1 + 8x2 96

6x1 + 12x2 72

x1 2 Maximice: Z = 5x1 + 5x2


13

1. Convertimos las restricciones en ecuaciones.

12x1 + 8x2 = 96

6x1 + 12x2 = 72

x1 = 2

2. Utilizamos el mtodo del intercepto determinamos los puntos que de las respectivas lneas rectas interceptan los ejes.

Para 12x1 + 8x2 = 96

a) Si x2 = 0 implica 12x1 + 8(0) = 96

12x1 = 96

x1 = 96/12

x1 = 8

(8,0)

b) Si x1= 0 implica 12(0) + 8x2 = 96

8x2 = 96

x2 = 96/8

x2 = 12

(0,12)

Para 6x1 + 12x2 = 72

a) Si x2 = 0 implica 6x1 + 12(0) = 72

6x1 = 72

x1 = 72/6

x1 = 12

(12,0)

b) Si x1= 0 implica 6(0) + 12x2 = 72

12x2 = 72

x2 = 72/12

x2 = 6

(0,6)

Para x2 = 2

(2,0)

3. Graficamos.


14






Para 12x1 + 8x2 = 96

(8,0)

(0,12)

Para 6x1 + 12x2 = 72

(12,0)

(0,6)

Para x2 = 2

(2,0)

Esta rea factible tiene los siguientes vrtices (8,0), (6,3), (2,0) y (2,5). Es preciso

aclarar que cualquier punto que caiga dentro del rea factible garantiza beneficios, pero

son los puntos extremos o vrtices de la figura lo que garantizaran mximos beneficios.


15

Maximice: Z = 5x1 + 5x2

En el punto (8,0) implica Z = 5(8) + 5(0) = $40




El mayor valor es $45 lo que implica que habr que vender 6 unidades del producto x1 y

3 producto x2. Si pretendemos obtener los mayores beneficios.

Caso II.

Un comprador est tratando de seleccionar la combinacin ms barata de dos alimentos,

que debe cumplir con ciertas necesidades diarias de vitaminas. Los requerimientos

vitamnicos son por lo menos 40 unidades de vitaminas W, 50 unidades de vitamina X y

49 de unidades vitaminas Y, cada onza de alimento A proporciona 4 unidades de

vitamina W, 10 unidades de vitamina X y unidades de vitamina Y, cada onza de

alimento B proporciona 10 unidades de W, 5 unidades de X y 7 unidades de unidades Y.

El alimento A cuesta 5 centavos/onza y el alimento B 8 centavos/onza.

Requerimiento

Alimento A Alimento B Vitamnico Mn.

Vitamina W 4unids/onza 10unids/onza 40

Vitamina X 10unids/onza 5unids/onza 50

Vitamina Y 7unids/onza 7unids/onza 49

Costo 5cents/onza 8cents/onza

Determinar la combinacin que disminuir los costos:

Funcin Objetivo: Minimizar C = 5A + 8B

Restricciones:

A, B 0

4A + 10B 40

10A + 5B 50

7A + 7B 49


16


4A + 10B = 40

10A + 5B = 50

7A + 7B = 49


Para 4A + 10B = 40

a) Si B = 0 implica 4A + 10(0) = 40

4A = 40

A = 40/4

A = 10

(10,0)

b) Si A = 0 implica 4(0) + 10B = 40

10B = 40

B = 40/10

B = 4

(0,4)

Para 10A + 5B = 50

a) Si B = 0 implica 10A + 5(0) = 50

10A = 50

A = 50/10

A = 5

(5,0)

b) Si A = 0 implica 10(0) + 5B = 50

5B = 50

B = 50/5

B = 10

(0,10)

Para 7A + 7B = 49

a) Si B = 0 implica 7A + 7(0) = 49

7A = 49

A = 49/7

A = 7

(7,0)


17

b) Si A = 0 implica 7(0) + 7B = 49

7B = 49

B = 49/7

B = 7

(0,7)

3. Graficamos.






Para 4A + 10B = 40

(10,0)

(0,4)

Para 10A + 5B = 50

(5,0)

(0,10)

Para 7A + 7B = 49

(7,0)

(0,7)

Regin

Factible


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Minimizar C = 5A + 8B

a) En el punto (10,0) implica C = 5(10) + 8(0) = $50

b) En el punto (4.2,2.5) implica C = 5(4.2) + 8(2.5) = $41

a) En el punto (2.2,5) implica C = 5(2.2) + 8(5) = $51

a) En el punto (0,10) implica C = 5(0) + 8(10) = $80

El menor costo a que se podra comprar es a $41, pero esto implicara 4.2 onzas del

producto A y 2.5 onzas del producto B y se mantendra el nivel vitamnico.

Caso III.

Una empresa fabrica dos productos, los cuales deben procesarse en los departamentos 1

y 2. En la tabla se resumen las necesidades de horas de trabajo por unidad de cada

producto en uno y otro departamento. Tambin se incluyen las capacidades de horas de

trabajo semanales en ambos departamento y los mrgenes respectivos de utilidad que se

obtienen con los dos productos. El problema consiste en determinar el nmero de

unidades que hay que fabricar de cada producto, con el objeto de maximizar la

aportacin total a los costos fijos y a las utilidades.

Capacidad de

Producto A Producto B Trabajo semanal

Departamento 1 3h/unidad 3h/unidad 120h

Departamento 2 4h/unidad 6h/unidad 260h

Margen de utilidad $5/unidad $6/unidad

Si se supone que x1 y x2 son el nmero de unidades fabricadas y vendidas,

respectivamente, de los productos A y B, entonces puede calcularse la aportacin a las

utilidades totales sumando las contribuciones de ambos productos. La que hace cada

uno se obtiene al multiplicar el margen de utilidad por unidad por el nmero de

unidades producidas y vendidas. Si z se define como la aportacin a los costos y

utilidades totales, se tendr:

Z = 5x1 + 6x2

Las restricciones vienen dadas de la siguiente forma:

3x1 + 2x2 120 departamento 1


El modelo de programacin lineal que representa el problema se formula as:

Maximice Z = 5x1 + 6x2

Sujeta a 3x1 + 2x2 120

4x1 + 6x2 260

x1 0

x2 0


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Inecuaciones o Desigualdades lineales



Ecuaciones o Igualdades lineales

3x1 + 2x2 = 120 departamento 1



Para 3x1 + 2x2 = 120

a) Si x2 = 0 implica 3x1 + 2(0) = 120

3x1 = 120

x1 = 120/3

x1 = 40

(40,0)

b) Si x1= 0 implica 3(0) + 2x2 = 120

2x2 = 120

x2 = 120/2

x2 = 60

(0,60)

Para 4x1 + 6x2 = 260

a) Si x2 = 0 implica 4x1 + 6(0) = 260

4x1 = 260

x1 = 260/4

x1 = 65

(65,0)

b) Si x1= 0 implica 4(0) + 6x2 = 260

6x2 = 260

x2 = 260/6

x2 = 43.33

(0,43.33)


20

6. Graficamos.


pero si el signo es se subraya a la izquierda por debajo del grfico de la lnea recta. La regin que satisface de manera simultnea las restricciones ya sombreada se llama


Aunque existe un nmero infinito de soluciones factibles, debemos encontrar una que


Para 3x1 + 2x2 = 120

(40,0)

(0,60)

Para 4x1 + 6x2 = 260

(65,0)

(0,43.33)

7. Ya que la funcin objetivo Z = 5x1 + 6x2, es equivalente a:

6/6x2 = -5/6 x1 + Z/6

x2 = -5/6 x1 + Z/6

Define una familia de rectas paralelas, cada una con pendiente de 5/6 e interseccin de y (0, Z/6).

La pendiente de la funcin objetivo es 5/6, y no recibe el influjo del valor de Z. Se determina exclusivamente por los coeficientes de las dos variables de la funcin

objetivo.

4x1+6x2260

3x1+2x2120


21

La interseccin con el eje x2 est definida por (0,Z/6). Desde ella se advierte que,

al cambiar el valor de z, lo mismo sucede con la interseccin con el eje x2. Si Z

aumenta el valor, tambin lo hace la interseccin con el eje x2, lo cual significa que la

lnea de utilidades iguales se desplaza hacia arriba y hacia la derecha. Si quisiramos

maximizar las utilidades, tendramos que desplazar la lnea de utilidades lo ms afuera

posible, sin dejar de tocar un punto dentro del rea de las soluciones factibles.

Una vez definida el rea factible usted puede tratar de encontrar la solucin ptima,

identificando combinaciones de los dos productos que generen un nivel de utilidad

previamente establecido, por ejemplo:

a) 5x1 + 6x2 = $120 b) 5x1 + 6x2 = $180 c) 5x1 + 6x2 = $240

8. A partir de la figura anterior vemos que el punto o vrtice A del rea factible pertenece a las rectas:



Sus coordenadas pueden hallarse resolviendo el sistema anterior.

Por igualacin:

x1 = 120 - 2x2 3

x1 = 260 - 6x2

4

120 - 2x2 = 260 - 6x2

3 4

480 - 8x2 = 780 - 18x2

- 8x2 = 300 - 18x2

10x2 = 300

x2 = 30

3x1 + 2(30) = 120

3x1 = 60

x1 = 60/3

x1 = 20

Por eliminacin:


22

3x1 + 2x2 = 120 (-4)

4x1 + 6x2 = 260 (3)

-12x1 - 8x2 = -480 departamento 1

12x1 +18x2 = 780 departamento 2

10x2 = 300

x2 = 30

3x1 + 2(30) = 120

3x1 = 60

x1 = 60/3

x1 = 20

Al deslizarse hacia fuera, el ltimo punto que debe tocarse es A. Este punto se

encuentra en la lnea de utilidades de $280 cuando se fabrican 20 y 30 unidades,

respectivamente, de los productos A y B.


23

Ejercicios Propuestos. Optimice cada situacin basado en el modelo grfico e interprete

los resultados.

Caso I.

Una compaa produce dos tipos de artculos, manuales y elctricos. Cada uno requiere

para su fabricacin del uso de tres maquinas, A, B y C. La tabla siguiente da la informacin

relacionada con la fabricacin de estos artculos. Cada artculo manual requiere del uso de

la maquina A durante 2 horas, de la maquina B por 1 hora y de la maquina C otra hora. Un

articulo elctrico requiere 1 hora de la maquina A, 2 horas de la maquina B y 1 hora de la

maquina C. Adems, supongamos que el numero mximo de horas disponibles por mes

para el uso de las maquinas A, B y C es de 180, 160 y 100, respectivamente. La utilidad

por cada artculo manual es de $4 y por cada artculo elctrico es de $6. Si la compaa

vende todos los artculos que puede producir, cuntos artculos de cada tipo debe producir

con el fin de maximizar la utilidad mensual?

Artculo Artculo Horas

Manual Elctrico Disponibles

Mquina A 2 1 180

Mquina B 1 2 160

Mquina C 1 1 100

Utilidad/unidad $4 $6

Caso II.

Un agricultor va a comprar fertilizante que contienen tres nutrientes: A, B y C. Los

mnimos necesarios son 160 unidades de A, 200 unidades de B y 80 unidades de C.

Existen dos marcas muy aceptadas de fertilizantes en el mercado. Crece Rpido cuesta

$8 una bolsa, contiene 3 unidades de A, 5 unidades de B y 1 unidad de C. Crece Fcil

cuesta $6 cada bolsa, y contiene 2 unidades de cada nutriente. Si el cultivador desea

minimizar el costo mientras se satisfacen los requerimientos de nutrimentos, cuntas

bolsas de cada marca debe comprar? La informacin se resume como sigue:

Crece Crece Unidades

Rpido Fcil Requeridas

Nutriente A 3 unidades 2 unidades 160

Nutriente B 5 unidades 2 unidades 200

Nutriente C 1 unidad 2 unidades 80

Costo/bolsa $8 $6


24

Caso III. Resuelva por el Mtodo Grfico:

Maximizar 5000E + 4000F (Mxima contribucin a las ganancias)

E + F 5 (Requisito de Produccin Mnima)

10E + 15F 150 (Capacidad en el Departamento A)

20E + 10F 160 (Capacidad en el Departamento B)

30E + 10F 135 (Horas de trabajo empleadas en las pruebas)

E, F 0 (Condicin de no negatividad)

Caso IV.

Construye el diagrama de red para el siguiente listado de actividades que permitira el traslado de una

oficina del sector financiero.

Predecesores

Actividad Descripcin Inmediatos

A Seleccionar sitio de oficinas -

B Crear plan organizacional y financiero -

C Determinar requerimiento de personal B

D Disear la instalacin A,B

E Construir el interior D

F Seleccionar al personal que se va a transferir C

G Contratar nuevos empleados F

H Trasladar registros, personal clave, etc. F

I Hacer arreglos financieros con instituciones B

J Capacitar nuevo personal H,E,G

Modelos Para La Toma de Decisiones 3 SEPTIEMBRE 2012

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