Modulo 1. Regímenes Financieros

Regmenes financierosM. ngels Pons Cardell Teresa Preixens BenedictoPID_00166350

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Regmenes financieros

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ndice

Introduccin .......................................................................................... Objetivos ................................................................................................. 1. Operaciones de financiacin. Regmenes financieros ........... 1.1. Operacin financiera de financiacin .......................................... 1.2. Regmenes financieros: definicin y clasificacin ....................... 2. Rgimen financiero de inters simple vencido ....................... 3. Rgimen financiero de descuento comercial ........................... 3.1. Tanto de inters simple vencido y de descuento comercial equivalentes .................................................................................. 4. Rgimen financiero de inters compuesto a tanto constante ............................................................................ 4.1. Tantos de inters: tanto nominal y tanto efectivo ....................... 4.2. Tantos efectivos de inters equivalentes ...................................... 5. Rgimen financiero de inters compuesto a tanto variable ............................................................................... 6. TAE de una operacin financiera de financiacin ................ Resumen .................................................................................................. Bibliografa ............................................................................................

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Introduccin

Para poder analizar las operaciones financieras de financiacin que se pactan en el mercado financiero es necesario definir en primer lugar lo que se entiende por operacin financiera y, concretamente, qu se entiende por operacin financiera de financiacin, as como cules son los elementos que las definen. Mediante las operaciones financieras de financiacin se presta un servicio, que consiste en la cesin temporal de liquidez dineraria, servicio que debe pagarse. Por ejemplo, en una operacin de prstamo, quien recibe el importe del prstamo, adems de estar obligado a restituir su importe, debe pagar un precio, ya que le han avanzado una cierta cantidad de dinero y ha podido usarla durante un cierto espacio de tiempo. En general, nos interesar conocer cundo se paga el precio y cmo se determina dicho precio en las operaciones de financiacin. El momento de pago y la manera de calcularse el precio depender de los pactos o acuerdos a los que lleguen los sujetos que realizan las operaciones de financiacin. La formalizacin matemtica de estos pactos se conoce con el nombre de regmenes financieros. En este primer mdulo estudiaremos los principales regmenes financieros que se utilizan en el mercado para pactar las operaciones de financiacin, que son los siguientes: el inters simple vencido, el descuento comercial, el inters compuesto a tanto constante, el inters compuesto a tanto variable. Haremos especial hincapi en el estudio de los tantos de inters, diferenciando entre tantos nominales y tantos efectivos, as como en el clculo de los tantos efectivos de inters compuesto equivalentes que, como veremos, son unos tantos de inters aplicados a una misma operacin y que permiten obtener el mismo resultado. Los regmenes financieros proporcionan las bases para poder realizar el estudio de los siguientes mdulos.

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Objetivos

En este primer mdulo lo que se pretende es que el estudiante adquiera los conocimientos bsicos para poderlos aplicar en el anlisis de las operaciones de financiacin que se analizarn en los siguientes mdulos. Tienen que ser capaces de identificar bajo qu rgimen financiero se ha pactado cada operacin de financiacin y saber diferenciar entre tantos de inters nominales y efectivos. Ms concretamente los objetivos que se pretenden alcanzar en este mdulo son: 1. Conocer el concepto de operacin financiera de financiacin. 2. Identificar los sujetos que intervienen en una operacin de financiacin. 3. Conocer el concepto de capital financiero y equivalencia financiera. 4. Conocer los pactos que rigen las operaciones de financiacin y que dan lugar a los diferentes regmenes financieros. 5. Saber diferenciar los tantos de inters nominales y efectivos. 6. Saber calcular tantos efectivos de inters compuesto equivalentes. 7. Conocer el concepto de tasa anual equivalente: TAE. 8. Utilizar la hoja de clculo para realizar los clculos necesarios.

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1. Operaciones de financiacin. Regmenes financieros

1.1. Operacin financiera de financiacin Una operacin financiera es todo intercambio, entre sujetos econmicos, de disponibilidades monetarias en distintos momentos de tiempo, esto es, entre los sujetos que intervienen en la operacin se intercambian distintas cantidades de dinero en distintos momentos de tiempo.Un ejemplo de operacin financiera podra ser realizar un depsito en una cuenta bancaria durante un ao con el derecho a recibir al cabo de ese plazo la cantidad de dinero inicialmente depositada ms el cobro de los intereses. En esta operacin se intercambian, entre el cliente que efecta el depsito y la entidad bancaria, dos capitales, uno en el origen de la operacin y el otro al cabo de un ao.

Una operacin financiera es un intercambio de distintas cantidades de dinero en distintos momentos de tiempo, entre los sujetos que intervienen en la operacin.

Dentro de las operaciones financieras nosotros vamos a centrar nuestro estudio en las operaciones financieras de financiacin, tales como depsitos bancarios, operaciones de prstamo o descuento de efectos comerciales, entre otros. Una operacin financiera de financiacin es una operacin financiera en la que el sujeto activo, o financiante, proporciona al sujeto pasivo, o financiado, la liquidez dineraria temporal que el sujeto pasivo precisa para llevar a cabo su proyecto econmico, ya sea de consumo o de inversin.

En una operacin financiera de financiacin el sujeto activo o financiante no participa en el proyecto econmico del sujeto pasivo o financiado, se limita a prestar un servicio: suministrar temporalmente liquidez. A cambio de prestar este servicio, el financiante exige al financiado la devolucin de la cuanta prestada y el pago de un precio, que se denomina inters.

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El inters es un precio, el precio de un servicio, por lo tanto es positivo y se determina en el mercado del dinero. Las operaciones de financiacin tienen lugar en el mercado financiero y su precio se determina como consecuencia de las leyes de equilibrio que rigen en dicho mercado.

En una operacin financiera de financiacin el sujeto activo o financiante se limita a prestar un servicio, ceder temporalmente una cierta cantidad de dinero, a cambio de un precio, el inters.

Toda operacin financiera de financiacin consta de tres elementos: Elemento personal: quin realiza la operacin? Elemento material: qu es lo que se intercambia en la operacin? Elemento convencional: en qu contexto se realiza la operacin? 1) Elemento personal En toda operacin de financiacin intervienen dos sujetos: el sujeto activo y el sujeto pasivo. El sujeto activo o financiante es el que dispone de una cierta cantidad de dinero y decide cederla, durante un cierto plazo, a cambio de recibir un precio. Por su parte, el sujeto pasivo es el que necesita liquidez para llevar a cabo su proyecto econmico.As, por ejemplo, en un depsito bancario el sujeto activo es la persona que realiza el depsito, mientras que el sujeto pasivo es la entidad bancaria en la que se realiza el depsito. En una operacin de prstamo, el sujeto activo es la entidad bancaria que concede el prstamo y el sujeto pasivo es quien solicita el prstamo.

2) Elemento material En toda operacin financiera de financiacin se realiza un intercambio de disponibilidades monetarias en distintos momentos de tiempo. Los elementos que se intercambian entre los sujetos son los denominados capitales financieros. Todo capital financiero est formado por dos componentes: Cuanta, que vamos a simbolizar por C y que es el importe de la disponibilidad monetaria, expresado en unidades monetarias. Se deber cumplir queC > 0.

Diferimiento, que vamos a simbolizar por T e indica el tiempo que tiene que transcurrir, desde el origen de la operacin, para que la cuanta est disponible. Est expresado en aos y T 0 , ya que el plazo durante el que el sujeto activo cede dinero al sujeto pasivo es siempre positivo. Un capital financiero se simboliza mediante un par ordenado cuya primera componente es la cuanta, C, y la segunda componente es el diferimiento, T.

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Ambas componentes son positivas, aunque el diferimiento puede ser igual a cero, cuando coincide con el origen de la operacin o con el momento en el que se realiza el anlisis: (C, T) con C > 0 y T 0 Grficamente:

Un capital financiero est formado por dos componentes, la cuanta, C, y el diferimiento, T, y se simboliza mediante un par ordenado: (C, T) conC> 0 y T 0.

Por ejemplo, (1.000,0) es un capital financiero que indica que 1.000 ( C = 1.000 ) estn disponibles hoy ( T = 0 ) , en el origen de la operacin o momento en el que se realiza el anlisis, y

(T = 112 ) , a contar desde el origen de la operacin o momento en el que se realiza elanlisis, 3.000 ( C = 3.000 ) estarn disponibles. Si los representamos en el eje temporal tenemos:

( 3.000, 112 )

es otro capital financiero que indica que dentro de un mes

Los capitales financieros que se intercambian entre el sujeto activo y el sujeto pasivo de una operacin de financiacin se denominan prestaciones y contraprestaciones: Prestaciones: capital o conjunto de capitales financieros cedidos por el sujeto activo al sujeto pasivo. Contraprestaciones: capital o conjunto de capitales financieros cedidos por el sujeto pasivo al sujeto activo.

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En una operacin de prstamo, por ejemplo, lo habitual es que la prestacin sea nica, un nico capital en el origen de la operacin, que es la cuanta que presta la entidad bancaria, mientras que la contraprestacin suele estar formada por un conjunto de capitales financieros, ya que lo ms frecuente es que el sujeto pasivo pague al final de cada periodo una cierta cuanta, que se destina al pago de los intereses generados en el periodo y a la devolucin de una parte de la cuanta prestada.3) Elemento convencional

Como ya hemos dicho, las operaciones de financiacin tienen lugar en el mercado financiero y estn regidas por sus leyes de equilibrio, de manera que es el mercado quien proporciona las bases para establecer la equivalencia, el intercambio de capitales financieros entre los sujetos de la operacin. Si dos capitales financieros son equivalentes, lo vamos a simbolizar como:

( C, T ) ( C ', T ' )Esto significa que es posible realizar una operacin financiera de financiacin en la que el sujeto activo cede una cuanta C en el diferimiento T a cambio de recibir una cuanta C ' en el diferimiento T '. Si el diferimiento T ' es posterior al diferimiento T (T ' > T ), la cuanta C ' que recibir el sujeto activo estar formada por la devolucin de la cuanta inicial, C, ms el pago del precio. De manera que, en toda equivalencia financiera hay definido un precio, al que se ha pactado la operacin. Se verifica, por lo tanto, que si T ' > T C ' > C .As, por ejemplo, la equivalencia financiera (1.000, 0 ) (1.150, 1) significa que el sujeto activo de la operacin est dispuesto a ceder hoy ( T = 0 ) 1.000 a cambio de recibir 1.150 dentro de un ao ( T ' = 1) . Al final de la operacin al sujeto activo no slo le devuelven la cuanta inicialmente cedida ( C = 1.000 ) sino que adems se le paga un precio, en este caso, le pagan 150 en concepto de intereses, por ceder 1.000 durante un ao. El esquema temporal de esta equivalencia financiera es el siguiente:

Diferimiento El diferimiento de un capital financiero se expresa en aos.

Toda operacin de financiacin consta de tres elementos, el elemento personal, el elemento material y el elemento convencional.

1.2. Regmenes financieros: definicin y clasificacin

El mercado se sirve de formas propias para definir sus equilibrios, para pactar las operaciones, que se conocen como regmenes financieros.

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Un rgimen financiero es la expresin formal del conjunto de pactos o acuerdos que rigen una operacin de financiacin en el mercado del dinero. Estos pactos hacen referencia al precio, a la cuanta sobre la que se calcula el precio y al momento en el que se paga dicho precio.

El rgimen financiero formaliza matemticamente los acuerdos entre los sujetos de una operacin de financiacin sobre el momento en el que se debe pagar y de qu manera se tiene que calcular el precio de la operacin.

Los regmenes financieros se pueden clasificar segn diferentes criterios. Nosotros vamos a clasificarlos en:

regmenes financieros simples y regmenes financieros compuestos. La principal diferencia entre estos regmenes es que en los regmenes financieros simples el precio se calcula y se paga una vez en el plazo, mientras que en los regmenes compuestos, aunque el precio se paga tambin una vez en el plazo, se calcula peridicamente.1) Los regmenes simples se caracterizan por utilizar expresiones matemticas

Clasificacin La clasificacin en regmenes financieros simples y compuestos es la ms comn.

muy sencillas, pero que presentan algunas limitaciones que deben tenerse en cuenta en la aplicacin prctica. Suelen aplicarse en operaciones a corto plazo, esto es, con plazo inferior o igual a un ao. En este grupo vamos a estudiar: Rgimen financiero de inters simple vencido. Este rgimen coincide formalmente con el rgimen financiero de descuento matemtico o racional, por ello slo haremos referencia al inters simple vencido. Rgimen financiero de descuento comercial. Este rgimen coincide formalmente con el rgimen financiero de inters simple anticipado, por este motivo slo haremos referencia al descuento comercial. En el mercado las operaciones a corto plazo suelen pactarse en rgimen financiero de inters simple vencido y en rgimen financiero de descuento comercial, que es la denominacin ms comnmente utilizada para identificarlos. As por ejemplo la rentabilidad que proporcionan las letras del Tesoro, para plazos inferiores al ao natural, se calcula en inters simple vencido y los efectos comerciales, con vencimiento inferior al ao, se suelen descontar aplicando descuento comercial.2) Los regmenes compuestos son los ms utilizados y se pueden aplicar en

la prctica sin ningn tipo de limitacin temporal. Suelen utilizarse en operaciones de plazo superior al ao. En este grupo vamos a estudiar:

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el rgimen financiero de inters compuesto a tanto constante y el rgimen financiero de inters compuesto a tanto variable. Para estudiar los regmenes financieros vamos a considerar una operacin de financiacin elemental, esto es, con prestacin y contraprestacin nica, que viene representada por la siguiente equivalencia financiera:

( C, T ) ( C ', T ' )donde: C es la cuanta inicial. C ' es la cuanta final.

con T ' > T

t = T ' T > 0 es el plazo de la operacin, expresado en aos.

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2. Rgimen financiero de inters simple vencido

Si una operacin de financiacin se pacta en rgimen financiero de inters simple vencido los pactos que se establecen entre los sujetos son los siguientes:a) El precio o inters total se paga al final de la operacin conjuntamente con

la devolucin de la cuanta inicial.b) El precio o inters total es proporcional a la cuanta inicial y al plazo de la

operacin, y se calcula en funcin de una constante de proporcionalidad, i, que es el tanto nominal de inters. Sea: C : cuanta inicial. C ' : cuanta final. Y : inters total. i : tanto nominal de inters simple vencido (tanto anual), en tanto por uno. t = T ' T > 0 : plazo de la operacin, expresado en aos.

El esquema de la operacin es el siguiente:

Teniendo en cuenta los dos pactos anteriores resulta:

Y = iC t C' = C + Y = C + i C t C ' = C (1 + i t ) El tanto nominal de inters es un tanto anual, de modo que el plazo de la operacin debe expresarse en aos.

El rgimen financiero de inters simple vencido viene caracterizado por la siguiente expresin:C' = C . (1 + i . t)

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A partir de la expresin que caracteriza el rgimen financiero de inters simple vencido,C' = C . (1 + i . t)

se deduce:C = C ' (1 + i t ) i= C ' C C t C ' C Ci1

t=Ejemplo

En un depsito bancario cuyo plazo mximo es nueve meses, pactado al 4% anual de inters simple vencido, colocamos hoy 9.000 y dentro de tres meses depositaremos 6.000 ms. Se os pide calcular:1) Saldo acumulado al final del plazo. 2) Saldo final si el plazo de la operacin fuese de un ao. Solucin

A continuacin y para resolver cada uno de los apartados del ejemplo es conveniente que sigamos los siguientes pasos: esquema temporal, ecuacin que se aplica y resolucin.1) Saldo acumulado al final del plazo a) Esquema temporal

El esquema temporal de esta operacin es el siguiente:

b) Ecuacin que se aplica

Las variables que conocemos y su valor son los siguientes: Imposiciones hechas en la cuenta: Plazo total de la operacin: t =

{( 9.000, 0 ) , (6.000, 3 12 )} .

9 ao. 12 9 Plazo de la primera imposicin: t1 = ao. 12 Plazo de la segunda imposicin: t 2 = 6 ao. 12

Tanto anual de inters simple vencido: i = 0,04. La variable que desconocemos es el saldo acumulado al final de la operacin, esto es, la cuanta final C'Total . Para hallar la cuanta final C'Total tendremos que aplicar la frmula caracterstica del rgimen financiero de inters simple vencido: C' = C . (1 + i . t)

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para cada una de las imposiciones hechas en la cuenta. La primera imposicin, cuyo importe es de 9.000 , estar depositada en la cuenta nueve meses ( t1 = 9 ao) y la segunda impo12 6 ao). Una vez hallada la cuansicin, cuyo importe es de 6.000 , estar seis meses ( t 2 = 12 ta final de cada imposicin, las sumaremos y obtendremos el saldo acumulado en la cuenta.c) Resolucin

La cuanta final de la primera imposicin, C'1, la obtendremos sustituyendo cada variable por su valor en la frmula caracterstica del rgimen financiero de inters simple vencido: 9 C '1 = 9.000 1 + 0,04 = 9.270 12 La cuanta final de la segunda imposicin, C'2, la obtendremos del mismo modo, sustituyendo cada variable por su valor en la frmula caracterstica del rgimen financiero de inters simple vencido: 6 C '2 = 6.000 1 + 0,04 = 6.120 12 El saldo acumulado al final de la operacin, C'Total , ser la suma de las dos cuantas finales:C 'Total = C '1 + C '2 = 9.270 + 6.120 = 15.390

2) Saldo final si el plazo de la operacin fuese un ao a) Esquema temporal



Las variables que conocemos y su valor son los siguientes: Imposiciones hechas en la cuenta:

{( 9.000, 0 ) , (6.000, 3 12 )} .

Plazo total de la operacin: t = 1 ao. Plazo de la primera imposicin: t1 = 1 ao. Plazo de la segunda imposicin: t 2 = 9 ao. 12

Tanto anual de inters simple vencido: i = 0,04. La variable que desconocemos es el saldo acumulado al final de la operacin, esto es, la cuanta final C'Total, en este caso al cabo de doce meses de realizada la primera imposicin. Para hallar la cuanta final C'Total tendremos que aplicar de nuevo la frmula caracterstica del rgimen financiero de inters simple vencido: C' = C . (1 + i . t) para cada una de las imposiciones hechas en la cuenta, durante todo el plazo que permanecen en el depsito. La primera imposicin estar depositada un ao (t1 =1 ao) y la se-

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9 ao). Una vez hallada la cuanta final de cada imposicin, 12 las sumaremos y obtendremos el saldo acumulado en la cuenta. gunda, nueve meses ( t 2 = Para hallar el saldo acumulado al cabo de un ao de realizada la primera imposicin no podemos aprovechar el saldo acumulado calculado en el apartado anterior, a los nueve meses de realizada la primera imposicin, y capitalizarlo tres meses, ya que segn la definicin de este rgimen el precio se calcula una vez en el plazo, sobre la cuanta inicial y sobre el plazo, esto es, sobre cada cuanta y su plazo.c) Resolucin

La cuanta final de la primera imposicin, C'1, la obtendremos sustituyendo cada variable por su valor en la frmula caracterstica del rgimen financiero de inters simple vencido: C'1 = 9.000 (1 + 0,041) = 9.360 La cuanta final de la segunda imposicin, C'2, la obtendremos del mismo modo, sustituyendo cada variable por su valor en la frmula caracterstica del rgimen financiero de inters simple vencido: 9 C '2 = 6.000 1 + 0,04 = 6.180 12 El saldo acumulado al final de la operacin, C'Total, ser la suma de las dos cuantas finales:C 'Total = C '1 + C '2 = 9.360 + 6.180 = 15.540

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3. Rgimen financiero de descuento comercial

Si una operacin se pacta en rgimen financiero de descuento comercial, los pactos que se establecen entre los sujetos son:a) El precio o descuento total se paga al inicio de la operacin. b) El precio o descuento total es proporcional a la cuanta final, que en este

rgimen se denomina nominal, y al plazo de la operacin y se calcula en funcin de una constante de proporcionalidad, d, que es el tanto nominal de descuento. Sea: C' : cuanta final o nominal. C : cuanta inicial o lquido o valor descontado. D : descuento total. d : tanto nominal de descuento (tanto anual), en tanto por uno. t = T ' T > 0 : plazo de la operacin, expresado en aos. El esquema de la operacin es el siguiente:

Teniendo en cuenta los dos pactos anteriores resulta: D = d C ' t C = C ' D = C ' d C ' t C = C ' (1 d t ) El tanto nominal de descuento es un tanto anual, de modo que el plazo de la operacin debe expresarse en aos. Si analizamos la expresin que caracteriza este rgimen, C = C' . (1 d . t) para poder asegurar la positividad de las cuantas C y C' se debe cumplir que: 1 d. t> 0

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o, lo que es lo mismo,

d t < 1 t T

si la operacin se pacta en rgimen financiero de inters simple vencido resulta: C' = C . (1 + i . t) Del mismo modo, si esta misma operacin se pacta en rgimen financiero de descuento comercial resulta:

C = C' . (1 d . t)

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o, lo que es lo mismo, C' = C . (1 d . t)1 Al tratarse de la misma equivalencia financiera, la cuanta final, la cuanta inicial y el plazo de la operacin son los mismos, por lo tanto deben verificarse simultneamente las dos ecuaciones:

C ' = C (1 + i t )

1 C ' = C (1 d t ) y para ello debe cumplirse que: 1 + i . t = (1 d . t)1 de donde, si despejamos el tanto nominal de inters simple vencido, resulta:

i=

d 1 d t

o bien, si despejamos el tanto nominal de descuento comercial:

d=

i 1+ it

A los tantos i y d se les denomina tantos equivalentes y se simbolizan porid .

Esta equivalencia implica que el resultado de aplicar a una misma operacin el rgimen financiero de inters simple a un tanto i es exactamente el mismo que se obtiene al aplicar el rgimen financiero de descuento comercial al tantod, si es equivalente al tanto de inters simple vencido aplicado.

Si observamos las expresiones que hemos obtenido para hallar el tanto de inters y de descuento equivalentes:d 1 d t i 1+ i t

i=

y d=

cabe destacar la dependencia de los tantos equivalentes del plazo de la operacin. El tanto de inters simple vencido, i, equivalente al tanto de descuento comercial, d, no slo depende del tanto de descuento comercial dado sino que tambin depende del plazo de la operacin. De modo que para un tanto de descuento comercial dado el valor numrico del tanto de inters simple vencido equivalente es distinto segn cual sea el plazo de la operacin. Lo mismo ocurre con el tanto de descuento comercial equivalente.

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El tanto de inters simple vencido equivalente al tanto de descuento comercial para una operacin de plazo t aos, o viceversa, cumple la siguiente relacin:i= d 1 d t

o d=

i 1+ it

Ejemplo

Un particular, para poder llevar a cabo un proyecto de inversin, procede al descuento de un efecto comercial de 4.000 de nominal, que vence dentro de nueve meses. Si la entidad financiera que le descuenta el efecto aplica un 6% anual de descuento comercial, cul es tanto anual de inters simple vencido que mide la rentabilidad que le ha proporcionado la operacin de descuento a la entidad financiera?Solucin

Aunque para el descuento del efecto comercial se aplica el rgimen financiero de descuento comercial, la rentabilidad que obtiene la entidad financiera de dicha operacin puede describirse mediante un tanto anual de inters simple vencido. A continuacin y para resolver este ejemplo es conveniente que sigamos los siguientes pasos: esquema temporal, ecuacin que se aplica y resolucin.a) Esquema temporal

El esquema temporal de la operacin es el siguiente:


Las variables que conocemos y su valor son los siguientes: Nominal del efecto comercial: C' = 4.000 . Tanto de descuento comercial: d = 0,06. Vencimiento del efecto comercial o plazo del descuento: nueve meses. Como el tanto de descuento es anual, el plazo de la operacin tambin deber expresarse en aos. As, t= 9 3 ao. = 12 4

La variable que desconocemos es el tanto anual de inters simple vencido, i. Para hallar la rentabilidad obtenida por la entidad financiera del descuento del efecto comercial podemos seguir cualquiera de los dos siguientes planteamientos:Planteamiento 1

Calculamos el lquido obtenido del descuento y, a partir de l, relacionamos los capitales resultantes aplicando la expresin caracterstica del rgimen financiero de inters simple vencido. A partir de esta expresin podremos deducir el tanto anual de inters simple vencido. Para obtener el lquido resultante del descuento del efecto comercial deberemos aplicar la expresin caracterstica del rgimen financiero de descuento comercial: C = C' . (1 d . t)

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Una vez deducido el lquido resultante del descuento del efecto, podemos resumir la operacin de descuento mediante la siguiente equivalencia entre capitales financieros:

( C,0 ) ~ 4.000,

3 4

Los dos capitales de esta equivalencia pueden relacionarse aplicando la expresin caracterstica del rgimen financiero de inters simple vencido segn la cual, C' = C . (1 + i . t) De esta expresin puede deducirse el tanto anual de inters simple vencido: i=Planteamiento 2

C' C C t

Tambin podemos calcular el tanto anual de inters simple vencido aplicando la relacin de equivalencia entre el tanto de inters en rgimen financiero de inters simple vencido y el tanto de descuento en rgimen financiero de descuento comercial, i d. Esta relacin es: i= d 1 d t

El resultado por ambos mtodos debe ser el mismo.c) Resolucin

El efectivo o lquido que resulta del descuento del efecto comercial es: 3 C = 4.000 1 0,06 = 3.820 4 Una vez obtenido dicho lquido, la operacin de descuento se puede resumir en la siguiente equivalencia entre capitales financieros:

( 3.820,0 ) ~ 4.000,

3 4

3 ao, obtenemos que el tanto 4 anual de inters simple vencido que mide la rentabilidad de la operacin de descuento para la entidad financiera es: Si tenemos en cuenta que C = 3.820 , C' = 4.000 y t =i= 4.000 3.820 = 0,062827 anual 3 3.820 4

Alternativamente, podemos tambin hallar el tanto de inters con la relacin de equivalencia entre el tanto de inters simple vencido y el tanto de descuento comercial: i d.3 Teniendo en cuenta que d = 0,06 y t = ao, obtenemos que el tanto anual de inters 4 simple vencido es: i= 0,06 1 0,06 3 4 = 0,062827 anual

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4. Rgimen financiero de inters compuesto a tanto constante

Si una operacin de financiacin se pacta en rgimen financiero de inters compuesto a tanto constante los pactos que se establecen entre los sujetos de la operacin son los siguientes:a) El precio o inters total se paga al final de la operacin conjuntamente con

la devolucin de la cuanta inicial.b) El plazo total de la operacin se divide en periodos de capitalizacin y el

precio se calcula peridicamente aplicando en cada periodo una constante de proporcionalidad, i, que es el tanto nominal de inters, a la cuanta acumulada al inicio del periodo considerado y a la extensin del periodo. El primer pacto coincide con el del rgimen financiero de inters simple vencido. Lo que diferencia a un rgimen y otro es la manera de calcular el precio. A diferencia con el rgimen de inters simple vencido, en el que el precio se calcula una vez en el plazo sobre la cuanta inicial y sobre el plazo de la operacin, en el rgimen de inters compuesto los intereses se generan en cada periodo y se acumulan al capital, lo que genera nuevos intereses en los periodos siguientes y se produce la denominada capitalizacin de los intereses. Sea: C : cuanta inicial. Cr : cuanta acumulada al final del periodo r, con r = 1,2, ..., n, siendo Cn = C'. i : tanto nominal de inters, que es un tanto anual, en tanto por uno. t = T ' T : plazo de la operacin, expresado en aos. p : periodo de capitalizacin, expresado en aos. m : frecuencia de capitalizacin, que es el nmero de periodos de capitalizacin en un ao. Se cumple que m =t = mt . p 1 . p

n : nmero de periodos de capitalizacin en el que se divide el plazo de la operacin. Se cumple que n =

Para interpretar correctamente las magnitudes definidas anteriormente veamos el siguiente ejemplo.Ejemplo

Supongamos una operacin pactada en rgimen financiero de inters compuesto de cinco aos de plazo. Si la periodicidad con la que se van a calcular los intereses es por ejemplo: Anual: p = 1 m = 1 siendo n = m t = 1 5 = 5 .

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Semestral: p = Trimestral: p = Mensual: p =

1 m = 2 siendo n = m t = 2 5 = 10 . 2 1 m = 4 siendo n = m t = 4 5 = 20 . 4

1 m = 12 siendo n = m t = 12 5 = 60 . 12

El esquema temporal correspondiente a este rgimen es el siguiente:

Si analizamos la evolucin de la cuanta acumulada, periodo a periodo, podremos obtener la expresin caracterstica de este rgimen, aplicando los pactos establecidos entre los sujetos, antes descritos:

Diferimiento T T+p T +2 p T + 3 p ... T = T + n p

Cuanta C C1 = C + i C p = C (1 + i p ) C2 = C1 + i C1 p = C1 (1 + i p ) = C (1 + i p ) ... C n = Cn 1 + i Cn 1 p = Cn 1 (1 + i p ) = C (1 + i p )n 2 3

C3 = C2 + i C2 p = C2 (1 + i p ) = C (1 + i p )

La relacin entre la cuanta final y la cuanta inicial que se deduce de la aplicacin de los pactos del rgimen financiero de inters compuesto a tanto constante es:C' = C . (1 + i . p)n

o bien, sustituyendo el nmero de periodos de capitalizacin en el plazo, n, por su expresin en funcin del plazo y del periodo de capitalizacin o de la frecuencia,

C ' = C (1 + i p ) p = C (1 + i p )

t

m t

El rgimen financiero de inters compuesto a tanto constante se caracteriza por las siguientes expresiones alternativas:

C ' = C (1 + i p ) = C (1 + i p ) p = C (1 + i p )n

t

mt

A partir de una de las expresiones que caracteriza el rgimen financiero de inters compuesto a tanto constante,C' = C . (1 + i . p)m t.

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se deduce:

C = C ' (1 + i p ) C' i= C 1 m t

m t

1 p

t=

ln ( C ' C ) m ln (1 + i p )

4.1. Tantos de inters: tanto nominal y tanto efectivo

1) Tanto nominal de intersEn la expresin que caracteriza al rgimen financiero de inters compuesto, . C' = C . (1 + i . p)m t, aparece el tanto nominal de inters, i, que es un tanto anual, en tanto por uno. Es un tanto anual aunque su frecuencia de capitalizacin puede ser distinta a la anual, por ello, es importante poner de manifiesto su frecuencia de capitalizacin. A partir de ahora vamos a simbolizar el tanto nominal de inters como im . Por ejemplo, i12 simboliza un tanto nominal de inters capitalizable mensualmente, esto es, un tanto anual con frecuencia de capitalizacin mensual. Es un tanto anual pero los intereses se van a calcular dentro del ao por meses. Del mismo modo, por ejemplo, i4 simboliza un tanto anual de inters capitalizable trimestralmente, en este caso, el tanto es tambin anual pero los intereses se van a calcular dentro del ao por trimestres.

El tanto nominal de inters, im, es siempre un tanto anual, pero est asociado a una determinada frecuencia de capitalizacin.

Si utilizamos im para simbolizar el tanto nominal de inters, la expresin que caracteriza al rgimen financiero de inters compuesto se puede escribir como:

C' = C . (1 + im . p)m t 2) Tanto efectivo de intersComo ya sabemos, hay una relacin inversa entre la frecuencia y el periodo de

.

1 , de manera que si la aplicamos en la expresin que rem laciona las cuantas:capitalizacin, p =

C' = C . (1 + im . p)m t

.

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sta puede escribirse tambin como: i C ' = C 1 + m m m t

Al cociente entre el tanto nominal de inters y su frecuencia de capitalizacin se le denomina tanto efectivo de inters con frecuencia de capitalizacin m y se simboliza por Im: Im = im m

El tanto efectivo de inters en tanto por uno, Im, est referido al periodo de capitalizacin. Es un precio unitario respecto la cuanta inicial de cada periodo y total respecto al periodo de capitalizacin.

El tanto efectivo de inters, I m = pitalizacin.

im , est referido al periodo de cam

As, por ejemplo, si el tanto nominal de inters es del 6% anual capitalizable mensualmente, el tanto efectivo mensual de inters ser:

i12 = 0,06 I12 =

0,06 = 0,005 12

El tanto nominal es un tanto anual pero en este caso los intereses no se calcularn anualmente en el plazo, sino que al ser un tanto anual capitalizable mensualmente, se van a calcular mensualmente. Si en un ao hay doce meses y el tanto anual es del 6%, cada mes se aplicar un 0,5%, de modo que el tanto efectivo mensual ser de un 0,5%. Del mismo modo, si por ejemplo el tanto nominal de inters es del 4% anual capitalizable trimestralmente, el tanto efectivo trimestral de inters es i4 = 0,04 I 4 = 0,04 = 0,01 . El tanto anual es del 4%, pero capitalizable tri4

mestralmente. Los intereses se van a calcular, dentro del ao, por trimestres. El tanto de inters que efectivamente se va aplicar cada trimestre ser una cuarta parte del anual, esto es, el tanto efectivo trimestral ser del 1%. La expresin que caracteriza el rgimen financiero de inters compuesto en funcin del tanto efectivo de inters es la siguiente: C ' = C (1 + I m ) = C (1 + I m )n mt

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La expresin que caracteriza el rgimen financiero de inters compuesto en funcin del tanto efectivo de inters es la siguiente: C ' = C (1 + I m ) = C (1 + I m )n mt

Ejemplo 1

La empresa XYZ prev que dentro de cinco aos precisar 120.000 para renovar parte de la maquinaria, que se le quedar obsoleta. Se os pide:1) Qu cuanta tendra que ingresar hoy en una cuenta bancaria, pactada al 4,5% anual capitalizable trimestralmente en rgimen financiero de inters compuesto, para disponer dentro de cinco aos de 120.000 ? 2) Si hoy dispusiese de 90.000 y los ingresase en la cuenta bancaria, pactada al 4,5% anual capitalizable trimestralmente en rgimen financiero de inters compuesto, cuntos aos tardara en disponer de un saldo acumulado de 120.000 ? Solucin

A continuacin y para resolver cada uno de los apartados del ejemplo es conveniente que sigamos los siguientes pasos: esquema temporal, ecuacin que se aplica y resolucin.1) Qu cuanta tendra que ingresar hoy en una cuenta bancaria, pactada al 4,5% anual capitalizable trimestralmente en rgimen financiero de inters compuesto, para disponer dentro de cinco aos de 120.000 ? a) Esquema temporal



Las variables que conocemos y su valor son los siguientes: Cuanta final: C' = 120.000 . Tanto anual capitalizable trimestralmente de inters compuesto: i4 = 0,045 I 4 = i4 = 0,01125 . 4

Plazo de la operacin: t = 5 aos. Nmero de periodos de capitalizacin: n = m . t = 4 . 5 = 20 (trimestres). La variable que desconocemos es la cuanta inicial, C. Para hallar la cuanta inicial, C, tendremos que despejarla en la frmula caracterstica del rgimen financiero de inters compuesto,

C ' = C (1 + I m )de donde resulta que:

m t

C = C ' (1 + I m )

m t

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c) Resolucin

Para hallar la cuanta inicial basta sustituir en la frmula anterior, que permite hallar la cuanta inicial, cada variable por su valor: C = 120.000 (1 + I 4 )4 5

= 120.000 (1 + 0,01125)

20

= 95.942,39

Para disponer de 120.000 dentro de cinco aos la empresa XYZ debe ingresar hoy 95.942,39 , si el tanto de inters aplicado es el 4,5% anual capitalizable trimestralmente.*2) Si hoy dispusiese de 90.000 y los ingresase en la cuenta bancaria, pactada al 4,5% anual capitalizable trimestralmente en rgimen financiero de inters compuesto, cuntos aos tardara en disponer de un saldo acumulado de 120.000 ? a) Esquema temporal

* Cuanto mayor sea el tanto de inters aplicado menor cuanta inicial se precisa para conseguir el mismo saldo final en el mismo plazo.



Las variables que conocemos y su valor son los siguientes: Cuanta final: C' = 120.000 . Cuanta inicial: C = 90.000 . Tanto anual capitalizable trimestralmente de inters compuesto: i4 = 0,045 I 4 = i4 = 0,01125. 4

La variable que desconocemos es el plazo de la operacin, t. Para hallar el plazo de la operacin, t, tendremos que despejarlo en la frmula caracterstica del rgimen financiero de inters compuesto: C ' = C (1 + I m ) siendo el plazo, t= C m ln (1 + I m ) ln C 'm t

(

)

c) Resolucin

Para hallar el plazo basta sustituir en la frmula anterior cada variable por su valor: ln 120.000 90.000 ln 120.000 90.000 = = 6,428828 aos 4 ln (1 + I 4 ) 4 ln 1,01125* Cuanto mayor sea el tanto de inters aplicado menor nmero de aos se precisar para obtener el mismo saldo final a partir de la misma imposicin inicial.

t=

(

)

(

)

Si la empresa XYZ ingresa hoy 90.000 tardar aproximadamente 6,43 aos en disponer de un saldo acumulado de 120.000 , si el tanto de inters aplicado en la cuenta es el 4,5% anual capitalizable trimestralmente.*

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Ejemplo 2

La empresa ZZZ se dispone a abrir hoy una cuenta bancaria en la que tiene previsto ingresar 50.000 en la apertura, 40.000 dentro de seis meses y 60.000 dentro de quince meses. Si la cuenta se pacta en inters compuesto al 4,5% efectivo anual. Se os pide:1) Cuanta disponible dentro de dieciocho meses. 2) Si transcurridos diecisis meses se debe reintegrar de la cuenta bancaria 30.000 , cul ser la cuanta acumulada dentro de dieciocho meses? Solucin

A continuacin y para resolver cada uno de los apartados del ejemplo es conveniente que sigamos los siguientes pasos: esquema temporal, ecuacin que se aplica y resolucin.1) Cuanta disponible dentro de dieciocho meses. a) Esquema temporal



Las variables que conocemos y su valor son los siguientes: Plazo total de la operacin: t = 1,5 aos. Imposiciones hechas en la cuenta: {( 50.000 , 0 ) , ( 40.000, 6 /12 ) , ( 60.000, 15/12 )} . Tanto de inters compuesto aplicado: I1 = 0,045. Frecuencia del tanto de inters aplicado: m = 1. La variable que desconocemos es la cuanta acumulada en la cuenta de ahorro al final de la operacin, C'Total . Para obtener la cuanta acumulada, C'Total , tenemos que aplicar la frmula caracterstica del rgimen financiero de inters compuesto: C ' = C (1 + I m ) = C (1 + I m )n m t

c) Resolucin

Para hallar la cuanta acumulada en la cuenta de ahorro al final de la operacin, podemos hacerlo de dos maneras alternativas:Alternativa 1:

Calculamos la cuanta final de cada imposicin por separado, con el tanto efectivo anual de inters compuesto I1 = 0,045, y sumamos las tres cuantas finales obtenidas. La primera imposicin, de 50.000 , la capitalizamos 1,5 aos (n = m . t = 1 . 1,5 = 1,5). La segunda imposicin, de 40.000 , la capitalizamos 1 ao (n = m . t = 1 . 1 = 1).

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Y la tercera imposicin, de 60.000 , la capitalizamos ( n = m t = 1 3 3 = ). 12 12

3 ao 12

Alternativa 2:

O bien, capitalizamos la primera imposicin hasta donde est la segunda imposicin, esto es, 6 6 6 = ao ( n = m t = 1 ). Al resultado obtenido, le sumamos la segunda imposicin 12 12 12 9 9 9 = ao ( n = m t = 1 ), hasta donde est la tercera 12 12 12 imposicin. Al nuevo resultado obtenido le sumamos la tercera imposicin de 60.000 y lo de 40.000 y lo capitalizamos capitalizamos 3 3 3 = ao ( n = m t = 1 ), hasta el final de la operacin. 12 12 12

Las dos maneras alternativas de calcular la cuanta acumulada son:C 'Total = 50.000 (1 + 0,045)1,5

+ 40.000 (1 + 0,045) + 60.000 (1 + 0,045)

3 / 12

=

6 / 12 9 / 12 3 / 12 = 50.000 (1 + 0,045) + 40.000 (1 + 0,045) + 60.000 (1 + 0,045) = 155.876,59

(

)

2) Si transcurridos diecisis meses se debe reintegrar de la cuenta bancaria 30.000 , cul ser la cuanta acumulada dentro de dieciocho meses? a) Esquema temporal



Las variables que conocemos y su valor son los siguientes: Plazo total de la operacin: t = 1,5 aos. Imposiciones hechas en la cuenta (prestaciones):

{( 50.000, 0 ) , ( 40.000,

6 /12 ) , ( 60.000, 15/12 )} .

Reintegro hecho en la cuenta (contraprestacin): Tanto de inters compuesto aplicado: I1 = 0,045. Frecuencia del tanto de inters aplicado: m = 1.

{ ( 30.000, 16 /12 )} .

La variable que desconocemos es la cuanta acumulada en la cuenta de ahorro al final de la operacin, C'Total . Para hallar la cuanta acumulada, C'Total , tenemos que aplicar la frmula caracterstica del rgimen financiero de inters compuesto:C ' = C (1 + I m ) = C (1 + I m )n m t

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c) Resolucin

Para hallar la cuanta acumulada en la cuenta de ahorro, al final de la operacin, podemos hacerlo, como en el apartado anterior, de dos maneras alternativas:Alternativa 1:

Calculamos la cuanta final de cada imposicin por separado y restamos el resultado de capitalizar el reintegro, con el tanto efectivo anual de inters compuesto I1 = 0,045 y sumamos las cuantas obtenidas: La primera imposicin, de 50.000 , la capitalizamos 1,5 aos (n = m . t = 1 . 1,5 = 1,5). La segunda imposicin, de 40.000 , la capitalizamos 1 ao (n = m . t = 1 . 1 = 1). La tercera imposicin, de 60.000 , la capitalizamos 3 3 3 ao ( n = m t = 1 ). = 12 12 12

2 2 Y el reintegro de 30.000 lo capitalizamos 2 ao ( n = m t = 1 ). = 12 12 12Alternativa 2:

O bien, capitalizamos la primera imposicin hasta donde est la segunda imposicin, esto es, 6 6 6 ao ( n = m t = 1 ). Al resultado obtenido, le sumamos la segunda = 12 12 12

imposicin de 40.000 y lo capitalizamos

9 9 9 ao ( n = m t = 1 ), hasta donde = 12 12 12 est la tercera imposicin. Al nuevo resultado obtenido le sumamos la tercera imposicin de 60.000 y lo capitalizamos 1 1 1 ao ( n = m t = 1 ), le restamos los 30.000 = 12 12 12 2 2 2 = ao ( n = m t = 1 ), hasta el 12 12 12

del reintegro y el resultado lo capitalizamos final de la operacin.

Las dos maneras alternativas de calcular la cuanta acumulada son: C 'Total = 50.000 (1 + 0,045) =1,5

{( 50.000 (1 + 0,045)

+ 40.000 (1 + 0,045) + 60.000 (1 + 0,045)9 / 12

3 / 12

6 / 12

+ 40.000 (1 + 0,045)

+ 60.000 (1 + 0,045)

)

30.000 (1 + 0,045)

2 / 12

1 / 12

30.000 (1 + 0,045)

}

= =

2 / 12

= 125.655,69

4.2. Tantos efectivos de inters equivalentes

Dada la equivalencia entre dos capitales financieros:

( C, T ) ( C ', T ' )

con T' > T

si la operacin se pacta en rgimen financiero de inters compuesto al tanto efectivo Im resulta: C ' = C (1 + I m )m t

Del mismo modo, si esta misma operacin se pacta en rgimen financiero de inters compuesto pero al tanto efectivo Im' resulta: C ' = C (1 + I m ' )m 't

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Al tratarse de la misma equivalencia financiera, la cuanta final, la cuanta inicial y el plazo de la operacin son los mismos, por lo tanto deben verificarse simultneamente las dos ecuaciones:

C ' = C (1 + I m )

m ' t C ' = C (1 + I m ' ) m t

y para ello debe cumplirse que:

(1 + I m )

m

= (1 + I m ' )

m'

Los tantos efectivos de inters Im e Im ' que permiten obtener la misma equivalencia financiera se denominan tantos efectivos de inters equivalentes y se simbolizan del siguiente modo: Im Im' Se dice que dos tantos efectivos son equivalentes, I m I m ' , cuando proporcionan la misma equivalencia financiera y verifican:

(1 + I m )

m

= (1 + I m ' )

m'

Conocido el tanto efectivo Im , la expresin que nos permitir determinar el tanto efectivo Im ' equivalente es la siguiente:I m ' = (1 + I m )m m'

1

Dado Im el tanto efectivo Im ' equivalente es el que verifica:

I m ' = (1 + I m )

m

m'

1

Ejemplo

Dado el tanto efectivo mensual de inters compuesto del 0,5%, calculad el tanto efectivo trimestral y el tanto anual capitalizable semestralmente equivalentes. Para calcular el tanto efectivo trimestral, I4, y el tanto anual capitalizable semestralmente, i2, equivalentes al tanto efectivo mensual de inters compuesto del 0,5%, hay que aplicar la igualdad que permite obtener tantos efectivos de inters compuesto equivalentes.Solucin

A continuacin y para resolver el ejemplo es conveniente que sigamos los siguientes pasos: ecuacin que se aplica y resolucin.a) Ecuacin que se aplica

La variable que conocemos y su valor es el siguiente: Tanto efectivo mensual de inters compuesto: I12 = 0,005.

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Las variables que desconocemos son el tanto efectivo trimestral, I4, y el tanto anual capitalizable semestralmente, i2. Para calcular un tanto efectivo de inters equivalente a otro tanto efectivo de inters, I m I m ' , tenemos que plantear la siguiente igualdad:

(1 + I m )

m

= (1 + I m ' )

m'

Una vez obtenido el tanto efectivo correspondiente, para calcular el tanto nominal slo hay que multiplicar el tanto efectivo por su frecuencia: im = m . Imb) Resolucin

Para calcular I 4 I12 = 0,005 tenemos que plantear la siguiente igualdad:

(1 + I 4 ) = (1 + I12 ) I 4 = (1 + I12 ) 4 1. 3 I 4 = (1 + I12 ) 1 = 1,0053 1 = 0,015075125.4 12 12

Para calcular i2 I12 = 0,005 tenemos que plantear la siguiente igualdad:

(1 + I 2 ) = (1 + I12 ) I 2 = (1 + I12 ) 2 1. 6 I 2 = (1 + I12 ) 1 = 1,0056 1 = 0,030377509.2 12 12

de donde i2 = 2 I 2 i2 = 2 0,030377509 = 0,060755018.

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5. Rgimen financiero de inters compuesto a tanto variable

La nica diferencia existente entre este rgimen y el anterior, el rgimen financiero de inters compuesto a tanto constante, es que el tanto nominal de inters que se aplica en cada uno de los periodos de capitalizacin consideradoss puede ser distinto. Vamos a simbolizar por im , con s = 1, 2, ..., n, el tanto no-

minal de inters en tanto por uno, de frecuencia m, para cada uno de los periodos de capitalizacin. El esquema de la operacin es en este caso:

y la evolucin de la cuanta acumulada, periodo a periodo:

Diferimiento

Cuanta

T T+p T +2 p T + 3 p ... T = T + n p

C1 1 C1 = C + im C p = C (1 + im p ) 2 2 1 2 C2 = C1 + im C1 p = C1 (1 + im p ) = C (1 + im p ) (1 + im p ) 3 3 1 2 3 C3 = C2 + im C2 p = C2 (1 + im p ) = C (1 + im p ) (1 + im p ) (1 + im p )

...s n n Cn = Cn 1 + im Cn 1 p = Cn 1 (1 + im p ) = C (1 + im p ) s =1 n

La relacin entre la cuanta final y la cuanta inicial que se deduce de la aplicacin del rgimen financiero de inters compuesto a tanto variable es:

s C' = C (1 + im p ) s =1

n

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1 y teniendo en cuenta la relacin existente entre m i el tanto nominal y el tanto efectivo de la misma frecuencia, I m = m , resulta m s im s s que im p = = I m , siendo la expresin caracterstica de este rgimen: m o bien, sustituyendo p =s C = C ( 1 + I m ) s =1 n

El rgimen financiero de inters compuesto a tanto variable se caracteriza por la siguiente expresin:s C = C ( 1 + I m ) s =1 n

Ejemplo

Hace seis aos se abri una cuenta de ahorro con una imposicin inicial de 3.000 y en la que posteriormente se ingresaron 2.000 hace cuatro aos y 2.500 hace dos aos. Esta cuenta, pactada en rgimen financiero de inters compuesto, ha proporcionado un 3,25% efectivo anual los tres primeros aos y 4,2% anual capitalizable mensualmente el resto del plazo. Calculad el saldo acumulado hoy en la cuenta.Solucin

A continuacin y para resolver el ejemplo es conveniente que sigamos los siguientes pasos: esquema temporal, ecuacin que se aplica y resolucin.a) Esquema temporal



Las variables que conocemos y su valor son los siguientes: Plazo total de la operacin: t = 6 aos. Imposiciones hechas en la cuenta:

{( 3.000, 0 ) , ( 2.000, 2 ) , ( 2.500, 4)} .

Tantos de inters compuestos aplicados: Los tres primeros aos: I1 = 0,0325. Los tres ltimos aos: i12 = 0,042 I12 = i12 = 0,0035 . 12 La variable que desconocemos es la cuanta acumulada en la cuenta de ahorro al final de la operacin, C'Total. Para hallar la cuanta acumulada, C'Total, tendremos que aplicar la frmula caracterstica del rgimen financiero de inters compuesto a tanto variable:s C = C (1 + I m ) s =1 n

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c) Resolucin

Para hallar la cuanta acumulada en la cuenta de ahorro, al final de la operacin, podemos hacerlo de dos maneras alternativas:Alternativa 1:

Calculamos la cuanta final de cada imposicin por separado, con los tantos efectivos de inters compuesto correspondientes, y sumamos los importes. En este caso: La primera imposicin se ha depositado en la cuenta durante seis aos: los tres primeros aos se ha aplicado el tanto efectivo anual (n = m . t = 1 . 3 = 3) y los tres ltimos aos, el tanto efectivo mensual (n = m . t = 12 . 3 = 36). La segunda imposicin se ha depositado en la cuenta durante cuatro aos: el primer ao se ha aplicado el tanto efectivo anual (n = m . t = 1 . 1 = 1) y los tres ltimos aos, el tanto efectivo mensual (n = m . t = 12 . 3 = 36). La tercera imposicin se ha depositado en la cuenta durante dos aos, en los cuales se ha aplicado el tanto efectivo mensual (n = m . t = 12 . 2 = 24).Alternativa 2:

O bien, capitalizamos la primera imposicin dos aos, con el tanto efectivo anual, (n = m . t = 1 . 2 = 2) hasta donde est la segunda imposicin. Al resultado obtenido le sumamos la segunda imposicin y lo capitalizamos dos aos hasta donde est la tercera imposicin, utilizando durante el primer ao el tanto efectivo anual (n = m . t = 1 . 1 = 1) y durante el segundo ao el tanto efectivo mensual (n = m . t = 12 . 1 = 12). Al nuevo resultado le sumamos la tercera imposicin y lo capitalizamos dos aos hasta el final de la operacin, con el tanto efectivo mensual (n = m . t = 12 . 2 = 24). Las dos maneras alternativas de calcular la cuanta acumulada son:C 'Total = 3.000 1,03253 1,003536 + 2.000 1,0325 1,003536 + 2.500 1,003524 = = 3.000 1,03252 + 2.000 1,0325 1,003512 + 2.500 1,003524 = = 8.805,15

{

}

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6. TAE de una operacin financiera de financiacin

Dada una operacin financiera de financiacin definida por los dos conjuntos de capitales financieros siguientes: Prestaciones:

{( C , T )}r r

r =1,2,...,n

Contraprestaciones:

{( C ' ,s

T 's )}s =1,2,...,m

la tasa anual equivalente, TAE, a la que resulta la operacin de financiacin es el tanto efectivo anual de inters compuesto, I1, que equilibra las prestaciones y las contraprestaciones:

{( C , T )}r r

r =1,2,...,n

{( C ' ,s

T 's )}s =1,2,...,m

I1independientemente del rgimen financiero al que se hubiera pactado inicialmente la operacin. La equivalencia financiera nos indica que el valor de las prestaciones y contraprestaciones, en un mismo momento de tiempo, tiene que ser igual. Si por ejemplo planteamos la equivalencia en el origen de la operacin, momento cero, la ecuacin resultante es:

C (1 + I )r =1 r 1

n

Tr

= C ' s (1 + I 1 )s =1

m

T 's

donde la incgnita es el tanto efectivo anual de inters compuesto que equilibra prestaciones y contraprestaciones, que no es ms que la TAE de la operacin.

En general, la TAE es el tanto efectivo anual de inters compuesto que hace equivalentes las prestaciones y las contraprestaciones asociadas a una operacin de financiacin. La equivalencia entre prestaciones y contraprestaciones se define bajo rgimen financiero de inters compuesto y para calcular la TAE se debe igualar el valor, en un mismo instante de tiempo, de las prestaciones y de las contraprestaciones.

Ejemplo 1

Calculad la TAE resultante del descuento de un efecto comercial de nominal 12.000 con vencimiento dentro de nueve meses que se descuenta al 4% anual de descuento comercial, si hay una comisin del 0,5% sobre el nominal.Solucin

A continuacin y para resolver el ejemplo es conveniente que sigamos los siguientes pasos: esquema temporal, ecuacin que se aplica y resolucin.

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a) Esquema temporal



Las variables que conocemos y su valor son los siguientes: Plazo de la operacin: t = 9 ao. 12

Tanto nominal de descuento comercial: d = 0,04. Nominal del efecto: C' = 12.000 . Comisin: 0,005 12.000 = 60 . La variable que desconocemos es la TAE resultante del descuento del efecto, I1. Para poder calcular la TAE primero deberemos obtener el lquido del efecto comercial y para hallarlo tenemos que aplicar la frmula caracterstica del rgimen financiero de descuento comercial: C = C' . (1 d . t) Una vez obtenido el lquido del descuento, hallar la TAE de la operacin consiste en calcular el tanto efectivo anual de inters compuesto que hace equivalentes la prestacin, el lquido obtenido del descuento del efecto comercial y las contraprestaciones, esto es, la comisin que se tiene que pagar, sobre el nominal del efecto, en el origen de la operacin y el nominal del efecto. Para hallar la TAE tendremos que aplicar la frmula caracterstica del rgimen financiero de inters compuesto, que es la siguiente: C ' = C (1 + I m )m t

o bien C = C ' (1 + I m )

m t

segn planteemos la equivalencia financiera al final o en el origen de la operacin.c) Resolucin

Para hallar el lquido del efecto basta sustituir en la frmula caracterstica del descuento comercial cada variable que conocemos por su valor: 9 C = 12.000 1 0,04 = 11.640 12 Una vez obtenido el lquido del efecto, para hallar la TAE deberemos calcular el tanto efectivo anual, I1, que hace equivalentes la prestacin y las contraprestaciones:

(11.640, 0 )

{(60, 0 ) ; (12.000, 912 )}

Si planteamos la equivalencia financiera en el origen de la operacin, aplicando la frmula caracterstica del rgimen financiero de inters compuesto que permite hallar la cuanta inicial, C = C ' (1 + I m ) m t , resulta:

11.640 = 60 + 12.000 (1 + I1 ) I1 = 0,048649

9

12

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Ejemplo 2

Hace tres aos se abri una cuenta de ahorro con una imposicin de 20.000 . Al cabo de dos aos se realiz otra imposicin de 15.000 y hoy se reintegran 9.000 . Se os pide:1) Cul ser el saldo acumulado dentro de tres aos, a contar desde hoy, si los tantos de inters compuestos aplicados son el 3% anual capitalizable mensualmente el primer ao, el 3,5% anual capitalizable semestralmente los dos aos siguientes y el 1,25% efectivo trimestral el resto del plazo? 2) Plantead y resolved la ecuacin que permite obtener la TAE de la cuenta de ahorro. Solucin

A continuacin y para resolver cada uno de los apartados del ejemplo es conveniente que sigamos los siguientes pasos: esquema temporal, ecuacin que se aplica y resolucin.1) Cul ser el saldo acumulado dentro de tres aos, a contar desde hoy, si los tantos de inters compuestos aplicados son el 3% anual capitalizable mensualmente el primer ao, el 3,5% anual capitalizable semestralmente los dos aos siguientes y el 1,25% efectivo trimestral el resto del plazo? a) Esquema temporal



Las variables que conocemos y su valor son los siguientes: Plazo total de la operacin: t = 6 aos. Tantos de inters compuestos aplicados: El primer ao: i12 = 0,03 I12 = i12 = 0,0025. 12 i2 = 0,00175. 2

El segundo y tercer ao: i2 = 0,035 I 2 = Los tres ltimos aos: I4 = 0,0125.

Imposiciones realizadas en la cuenta: {( 20.000, 0 ) , (15.000, 2 )}. Reintegro realizado en la cuenta:

{( 9.000, 3)}.

La variable que desconocemos es la cuanta acumulada en la cuenta de ahorro al final de la operacin, C'Total. Para hallar la cuanta acumulada, C'Total, tenemos que aplicar la frmula caracterstica del rgimen financiero de inters compuesto a tanto variable:s C ' = C (1 + I m ) s =1 n

c) Resolucin

Para hallar el saldo acumulado en la cuenta de ahorro, al final de la operacin, podemos hacerlo de dos maneras alternativas:

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Alternativa 1:

Calculamos la cuanta final de cada imposicin por separado, con los tantos efectivos de inters compuesto correspondientes, y despus sumamos las tres cuantas finales obtenidas. En este caso: La primera imposicin estar depositada en la cuenta durante seis aos: el primer ao se aplicar el tanto efectivo mensual (n = m . t = 12 . 1 = 12), los dos aos siguientes el tanto efectivo semestral (n = m . t = 2 . 2 = 4) y los tres ltimos aos el tanto efectivo trimestral (n = m . t = 4 . 3 = 12). La segunda imposicin estar depositada en la cuenta durante cuatro aos: el primer ao se aplicar el tanto efectivo semestral (n = m . t = 2 . 1 = 2) y los tres ltimos aos, el tanto efectivo trimestral (n = m . t = 4 . 3 = 12). El reintegro se deber capitalizar tres aos, durante los cuales se aplicar el tanto efectivo trimestral (n = m . t = 4 . 3 = 12).Alternativa 2:

O bien, capitalizamos la primera imposicin dos aos hasta donde est la segunda imposicin, con el tanto efectivo mensual (n = m . t = 12 . 1 = 12) el primer ao y con el tanto efectivo semestral (n = m . t = 2 . 1 = 2) el segundo ao. Al resultado obtenido le sumamos la segunda imposicin y lo capitalizamos un ao, hasta donde est el reintegro, utilizando el tanto efectivo semestral (n = m . t = 2 . 1 = 2). Al nuevo resultado le restamos el reintegro y lo capitalizamos tres aos hasta el final de la operacin, con el tanto efectivo trimestral (n = m . t = 4 . 3 = 12). Las dos maneras alternativas de calcular el saldo acumulado son: C 'Total = 20.0001,002512 1,01754 1,012512 + 15.0001,01752 1,012512 9.0001,012512 = = ( 20.0001,002512 1,01752 + 15.000 )1,01752 9.000 1,012512 = 33.219,41

2) Plantead y resolved la ecuacin que permite obtener la TAE de la cuenta de ahorro. a) Esquema temporal



Las variables que conocemos y su valor son los siguientes: Plazo total de la operacin: t = 6 aos. Prestaciones:

{( 20.000, 0 ) , (15.000, 2 )} .

Contraprestaciones: {( 9.000, 3) , ( 33.219,41, 6 )} . La variable que desconocemos es la TAE de la operacin, I1. La TAE es el tanto efectivo anual de inters compuesto que hace equivalentes las prestaciones y las contraprestaciones, esto es, el tanto efectivo anual de inters compuesto constante para todo el plazo de la operacin que, con las mismas imposiciones realizadas y reintegro realizado, generarn el mismo saldo final que el obtenido de la aplicacin de los tantos de inters compuesto variables. Para poder hallar la TAE tendremos que plantear una ecuacin, en rgimen financiero de inters compuesto, cuya frmula caracterstica es: C ' = C (1 + I m )m t

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c) Resolucin

La equivalencia financiera entre prestaciones y contraprestaciones es la siguiente:

{( 20.000, 0 ) ; (15.000, 2 )}

{( 9.000, 3) ; ( 33.219,41, 6 )}

siendo la TAE el tanto efectivo anual, I1, que hace equivalentes las prestaciones y las contraprestaciones. Para hallar la TAE plantearemos la ecuacin de equilibrio al final de la operacin, aunque la podramos plantear en cualquier otro diferimiento, y la incgnita ser el tanto efectivo anual de inters compuesto, I1, que hace equivalentes las prestaciones y las contraprestaciones: 20.000 (1 + I1 ) + 15.000 (1 + I1 ) = 9.000 (1 + I1 ) + 33.219,416 4 3

lo que es lo mismo, 33.219,41 = 20.000 (1 + I1 ) + 15.000 (1 + I1 ) 9.000 (1 + I1 )6 4 3

siendo, I1 = 0,042637Nota

El valor del tanto efectivo anual de inters se puede obtener utilizando la funcin Buscar objetivo que viene programada en la hoja de clculo Excel. Antes de utilizar la funcin Buscar objetivo, debemos introducir la ecuacin en la que aparece la variable que deseamos despejar y hallar su valor, que en nuestro caso es la TAE de la operacin. La ecuacin que vamos a utilizar es la segunda que hemos propuesto en la resolucin: 33.219,41 = 20.000 (1 + I1 ) + 15.000 (1 + I1 ) 9.000 (1 + I1 )6 4 3

En primer lugar introducimos en la celda B1 un valor cualquiera para el tanto de inters efectivo anual. En este caso le hemos asignado un valor del 3% efectivo anual e introducimos en la celda B2 la expresin del segundo miembro de la igualdad de la ecuacin anterior:

Como puede apreciarse al asignarle al tanto de inters anual un valor del 3% efectivo anual, el resultado de la ecuacin planteada no coincide con nuestro valor, 33.219,41 . Por lo tanto, el 3% efectivo anual no es la TAE de esta operacin. Para hallar el verdadero valor de la TAE, deberemos utilizar la funcin Buscar objetivo, que se halla dentro del men de Herramientas, e indicar que queremos que la ecuacin que hemos introducido en la celda B2 tenga el valor deseado, nuestro saldo final, 33.219,41 , y para obtener este valor debe cambiar el valor de la TAE, que se halla en la celda B1:

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Como puede apreciarse, el tanto efectivo anual de inters compuesto que hace que se verifique la ecuacin: 33.219,41 = 20.000 (1 + I1 ) + 15.000 (1 + I1 ) 9.000 (1 + I1 )6 4 3

es I1 = 0,042637, que es la TAE de la operacin.

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Resumen

Una operacin financiera es todo intercambio de disponibilidades monetarias en distintos momentos de tiempo entre los sujetos que intervienen en la operacin. En una operacin financiera de financiacin el sujeto activo se limita a prestar un servicio, suministrar temporalmente liquidez, a cambio de un precio que es el inters, y consta de tres elementos, el elemento personal, el elemento material y el elemento convencional. Un capital financiero est formado por dos componentes, la cuanta, C, y el diferimiento, T, y se simboliza mediante un par ordenado, (C, T) con C, T + . El rgimen financiero formaliza matemticamente los acuerdos entre los sujetos de una operacin de financiacin sobre el momento en el que se tiene que pagar y de qu manera se debe calcular el precio de la operacin. En el rgimen financiero de inters simple vencido el precio se paga al final de la operacin conjuntamente con la devolucin de la cuanta inicial y es proporcional a la cuanta inicial y al plazo de la operacin; se calcula en funcin del tanto nominal de inters. La expresin que caracteriza este rgimen es C' = C . (1 i . t). En el rgimen financiero de descuento comercial el precio se paga al inicio de la operacin y es proporcional al nominal y al plazo de la operacin y se calcula en funcin del tanto nominal de descuento. La expresin que caracteriza este rgimen es C = C' . (1 d . t) y slo se puede aplicar en aquellas operaciones cuyo plazo cumpla 0 t < 1 . d El tanto de inters simple vencido equivalente a un tanto de descuento comercial para una operacin de plazo t aos, o viceversa, cumple la siguiente relacin: i = d i o d= . 1 d t 1+ it

En el rgimen financiero de inters compuesto a tanto constante el precio se paga al final de la operacin conjuntamente con la devolucin de la cuanta inicial. El plazo total de la operacin se divide en periodos de capitalizacin y el precio se calcula peridicamente aplicando en cada periodo una constante de proporcionalidad, im , que es el tanto nominal de inters, a la cuanta acumulada al inicio del periodo considerado y a la extensin del periodo. La ex-

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presin que caracteriza el rgimen financiero de inters compuesto en funcin del tanto efectivo de inters es la siguiente: C ' = C (1 + I m ) = C (1 + I m )n mt

siendo I m =

im m

Se dice que dos tantos efectivos de inters son equivalentes, I m I m ' , cuando proporcionan la misma equivalencia financiera y verifican:

(1 + I m )

m

= (1 + I m ' )

m'

de donde I m ' = (1 + I m )

m

m'

1

La nica diferencia existente entre el rgimen financiero de inters compuesto a tanto variable y el de inters compuesto a tanto constante es que el

tanto nominal de inters que se aplica en cada uno de los periodos de capitalizacin considerados puede ser distinto. La TAE es el tanto efectivo anual de inters compuesto que hace equivalentes las prestaciones y las contraprestaciones asociadas a una operacin de financiacin. Para calcular la TAE se debe igualar el valor, en un mismo instante de tiempo, de las prestaciones y de las contraprestaciones, utilizando la expresin caracterstica del rgimen financiero de inters compuesto.

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Bibliografa

LibrosAlegre, P.; Bada, C.; Borrell, M.; Sancho, T. (1995). Ejercicios resueltos de matemtica de las operaciones financieras (2. ed.). Madrid: AC. Bada, C.; Fontanals, H.; Galisteo, M.; Lecina, J. M.; Pons, M. A.; Preixens, T.; Ramrez, D.; Sarras, F. J.; Sucarrats, A. M. (2005). Introduccin a la matemtica financiera (4. ed.). Barcelona: Departamento de Matemtica Econmica, Financiera y Actuarial de la Universidad de Barcelona (n. 59). Fontanals, H. (1992). Matemtica financiera. Supuestos. Barcelona: Ediciones S. Terceo, A.; Sez, J.; Barber, M. G.; Ort, F.; De Andr, J.; Belvis, C. (1997). Matemtica financiera. Barcelona: Pirmide.

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