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144
MOVIMIENTO ONDULATORIO LUIS FRANCISCO GARCÍA RUSSI UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA DE FÍSICA BUCARAMANGA, NOVIEMBRE DE 2010
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MOVIMIENTO ONDULATORIO
LUIS FRANCISCO GARCÍA RUSSI
UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER FACULTAD DE CIENCIAS
ESCUELA DE FÍSICA
BUCARAMANGA, NOVIEMBRE DE 2010
2
MOVIMIENTO ONDULATORIO
LUIS FRANCISCO GARCIA RUSSI
BUCARAMANGA
UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER
3
“Al Todopoderoso, Dios Soberano, Omnipotente, Incomparable, Luz Inefable
que a cada instante vierte su amoroso piélago de bondad, paz y vida. A
nuestro Padre Celestial, Manantial de Sabiduría que dirige nuestra vida, nos
llena de gozo, de inmensa alegría y engrandece sobre nosotros su misericordia
cada día”.
4
Contenido
MOVIMIENTO ONDULATORIO ............................................................................................. 12
1. INTRODUCCIÓN: ............................................................................................................. 12
2. EXPRESIÓN ANALÍTICA DE UNA ONDA VIAJERA ................................................. 13
3 ECUACIÓN DIFERENCIAL DEL MOVIMIENTO ONDULATORIO: .......................... 16
4 ONDAS TRANSVERSALES EN UNA CUERDA: ......................................................... 24
5 ENERGÍA PROMEDIO DE LAS ONDAS EN UNA CUERDA:.................................... 26
6 POTENCIA PROMEDIO DE LAS ONDAS EN UNA CUERDA: ................................. 30
7 SUPERPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS ONDULATORIOS TRANSVERSALES: ... 32
7.1 Superposición de dos movimientos ondulatorios paralelos y de igual sentido. .. 33
7.2 Superposición de dos movimientos ondulatorios paralelos y de sentido contrario.
................................................................................................................................................. 33
7.3 Superposición de dos movimientos ondulatorios normales (ó perpendiculares)
entre sí y del mismo sentido. .............................................................................................. 33
7.1 SUPERPOSICIÓN DE DOS MOVIMIENTOS ONDULATORIOS PARALELOS Y
DE IGUAL SENTIDO: .......................................................................................................... 33
7.2 SUPERPOSICIÓN DE DOS MOVIMIENTOS ONDULATORIOS PARALELOS Y
DE SENTIDO CONTRARIO: .............................................................................................. 40
7.3 SUPERPOSICIÓN DE DOS MOVIMIENTOS ONDULATORIOS
MUTUAMENTE PERPENDICULARES DEL MISMO SENTIDO: ................................. 43
8 COEFICIENTES DE REFLEXIÓN Y TRANSMISIÓN EN PUNTOS DE
DISCONTINUIDAD: ................................................................................................................. 48
9 ONDAS ESTACIONARIAS: ............................................................................................. 52
9.1 ONDAS ESTACIONARIAS EN UNA CUERDA FIJA POR AMBOS EXTREMOS:
................................................................................................................................................. 53
9.2 ONDAS ESTACIONARIAS EN UNA CUERDA FIJA EN UN EXTREMO .......... 57
9.3 ONDAS ESTACIONARIAS EN UN TUBO ABIERTO EN AMBOS EXTREMOS:
................................................................................................................................................. 60
9.4 ONDAS ESTACIONARIAS EN UN TUBOS CERRADOS .................................... 62
10 ONDAS LONGITUDINALES EN UNA COLUMNA DE GAS: ................................... 64
5 11 ONDAS LONGITUDINALES EN BARRAS SÓLIDAS: .............................................. 69
12 ONDAS LONGITUDINALES EN RESORTES: ........................................................... 73
13 ONDAS SONORAS ......................................................................................................... 75
14 ONDAS DE DESPLAZAMIENTO, DE PRESIÓN Y DE DENSIDAD:...................... 84
15 POTENCIA PROMEDIO DE UNA ONDA LONGITUDINAL ..................................... 86
16 INTENSIDAD PROMEDIO DE UNA ONDA LONGITUDINAL: ................................ 87
17 NIVEL DE INTENSIDAD ................................................................................................ 89
La tabla 17.1 relaciona el nivel de intensidad de algunos sonidos. ................................. 90
18 EFECTO DOPPLER: ...................................................................................................... 91
18.1 FUENTE EN MOVIMIENTO Y RECEPTOR EN REPOSO ................................ 92
18.2 FUENTE EN REPOSO Y RECEPTOR EN MOVIMIENTO ................................ 97
18.3 FUENTE Y RECEPTOR EN MOVIMIENTO ......................................................... 97
18.4 PARED REFLECTORA EN MOVIMIENTO: ......................................................... 98
18.5 MEDIO EN MOVIMIENTO: ...................................................................................... 98
19 EFECTO MACH ............................................................................................................... 99
21 VELOCIDAD DE FASE Y VELOCIDAD DE GRUPO ............................................... 106
22 PROBLEMAS: ................................................................................................................. 108
6
MOVIMIENTO
ONDULATORIO
Se propagan en el
vacío y en ciertos
materiales (dieléctricos)
ONDAS MECÁNICAS O
ELÁSTICAS
Necesitan un medio
material para su
propagación
ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS
FUNCIONES DE ONDAS CUÁNTICAS DE SCHRODINGER
Se estudian en
Mecánica Cuántica
7
ONDAS
MECÁNICAS O
ELÄSTICAS
TRANSVERSALES
LONGITUDINALES
Las partículas del medio se
mueven perpendicularmente a la
dirección de propagación del
movimiento ondulatorio
Las partículas del medio se
mueven en la misma
dirección de propagación del
movimiento ondulatorio
Ej: Ondas en una cuerda tensa
Ej: Ondas sonoras en una
columna de gas
8
CLASIFICACION
DE LAS ONDAS
DE ACUERDO A
LA DIRECCION DE
PROPAGACION
ONDAS
UNIDIMENSIONALES
Se requiere solo una
coordenada espacial
para describirla.
ONDAS
BIDIMENSIONALES
ONDAS
TRIDIMENSIONALES
Ejemplo: el movimiento
de una cuerda vibrante,
ondas planas.
Se requiere solo dos
coordenadas espaciales
para describirla.
Ejemplo: Ondas
circulares en la
superficie de un líquido,
ondas producidas en
una membrana tensa.
Se requiere tres
coordenadas espaciales
para describirla.
Ejemplo: Ondas
esféricas, ondas
cilíndricas.
9
CLASIFICACIÓN
DE LAS ONDAS
DE ACUERDO A
LA FORMA.
Armónicas Escalares
El perfil puede tener
cualquier forma, pero
tiene un patrón
regularmente repetitivo.
ONDAS ARMONICAS O
ARMÓNICAS SIMPLES
O SENOIDALES.
Armónicas Vectoriales
ONDAS PERIODICAS
ANARMÓNICAS.
El perfil de la onda es
un seno o un coseno.
10
CLASIFICACIÓN DE LAS ONDAS
DE ACUERDO A LA SIMETRÍA
PLANA
ESFÉRICA
CILÍNDRICA
A
11
PASOS FUNDAMENTALES PARA
EL ESTUDIO DE LAS ONDAS
A partir de:
SEGUNDA LEY DE NEWTON
Se obtiene
Ecuación diferencial de
movimiento Ondulatorio
Se plantea
Solución Armónica
Se determina
ENERGÍA TRANSMITIDA
Derivando respecto al tiempo
se encuentra
POTENCIA TRANSMITIDA
Conocida la potencia se
encuentra
INTENSIDAD
A
12
MOVIMIENTO ONDULATORIO
1. INTRODUCCIÓN:
Las diversas clases de fenómenos ondulatorios (u ondas) que estudia la
Física, se clasifican en:
- Ondas elásticas en medios materiales.
- Ondas electromagnéticas en el vacío y en ciertos medios materiales
(dieléctricos).
- Funciones de Ondas Cuánticas de Schrodinger.
En este capítulo consideramos las ondas mecánicas (u ondas elásticas).
En el siguiente se analizarán las Ondas Electromagnéticas.
La teoría de las Ondas describe fenómenos como:
- Las ondas que provoca en el agua una piedra al ser arrojada en un
lago en calma.
- El sonido que emite una cuerda tensa al vibrar en el aire.
- La luz de las estrellas.
- Las ondas emitidas por un circuito oscilante.
- El suave vaivén de la superficie del océano.
Una onda es realmente una forma de oscilación, donde la cantidad
oscilante puede ser periódicamente tanto en el tiempo como en el espacio.
La propiedad esencial que caracteriza al movimiento ondulatorio,
consiste en poder transmitirse de un lugar a otro por medio de un medio, sin
que el medio en sí mismo se transporte.
Otros aspectos importantes de las ondas son su velocidad de
propagación, las modificaciones que sufren cuando cambian las propiedades
físicas del medio (reflexión, refracción, polarización), los cambios que se
experimentan cuando se interponen obstáculos en su trayectoria (difracción,
dispersión), ó cuando coinciden en la misma región del espacio (interferencia).
Las ondas transmiten momentum y energía. Tal es el caso de los graves
daños que a veces producen las ondas u olas del mar.
13
Las ondas llenan la mayor parte del universo, y nos proporcionan un
enorme conocimiento sobre
el mismo.
2. EXPRESIÓN ANALÍTICA DE UNA ONDA VIAJERA
Consideremos una perturbación que viaja en la dirección positiva
con velocidad constante . Entonces debe ser función tanto del
tiempo como de posición, es decir:
(2.1)
La forma de la perturbación para , representa el perfil de la onda,
el cual corresponde a la fotografía formada del pulso que va viajando, en ese
momento.
La figura (2.1) muestra la perturbación tomada al comienzo y al final de
un intervalo de tiempo , durante el cual la onda no cambia.
Si introducimos un sistema que viaja junto con el pulso a la velocidad
, el perfil mantiene la misma forma funcional, ya que ahora , no es función
del tiempo; por tanto:
(2.2)
Figura (2.1) Onda en una cuerda
14
Figura (2.2) Sistema de referencia móvil
De la figura (2.2) se sigue que:
(2.3)
De tal manera que puede escribirse en términos de las variables asociadas
al sistema , mediante
(2.4)
La ecuación (2.4) representa la forma más general de la función de onda
unidimensional.
Si la onda estuviera viajando en la dirección negativa de , la ecuación
sería:
(2.5)
por tanto, una expresión matemática de la forma
(2.6)
describe una situación física que se propaga sin deformación en la dirección
del eje , denominada Movimiento Ondulatorio.
Una expresión equivalente a la ecuación (6), en la que resulte más
evidente el signo del segundo término de la función de onda, como indicativo
de la dirección en que avanza la onda, es:
15
(2.7)
En donde el signo negativo se utiliza para una onda que se mueve en el
sentido positivo de , y el signo positivo se usa para la onda que
avanza en sentido opuesto .
Una onda consistente en una perturbación aislada, recibe el nombre de
pulso de onda, que presenta la característica principal de tener un principio y
un final, es decir una perturbación de extensión limitada.
La figura (2.1) representa un pulso de onda moviéndose por una cuerda
hacia la derecha. El pulso normalmente varía de forma ensanchándose
(aunque no sucede así para las ondas electromagnéticas en el vacío), dando
origen al efecto denominado dispersión.
Una función de onda cuyo perfil es un seno o un coseno, se
denomina Onda Armónica. Existen muchas formulaciones de Onda Armónica
progresiva, pero algunas de las más comunes son:
(2.8)
(2.9)
(2.10)
(2.11)
Las ondas armónicas son periódicas tanto en el espacio como en el
tiempo.
La periodicidad espacial se expresa mediante
(2.12)
siendo el periodo espacial el cual corresponde a la longitud de onda.
La periodicidad temporal se expresa mediante
(2.13)
Siendo , el periodo temporal, el cual corresponde a la cantidad de tiempo
que le toma a una onda completa al pasar frente a un observador estacionario.
Si se tiene una onda armónica de la forma
16
(2.14)
al sustituir por se obtiene:
(2.15)
(2.16)
Pero:
(2.17)
Luego (2.18)
Usando la expresión:
(2.19)
Entonces
, (2.20)
con lo cual queda demostrado que
.
Téngase en cuenta que la frecuencia angular se define mediante:
(radianes / s), (2.21)
y la frecuencia se relaciona con el periodo , mediante
(ciclos / s, ó, Hertz), (2.22)
Además la velocidad de fase se relaciona con , mediante
(m / s). (2.23)
3 ECUACIÓN DIFERENCIAL DEL MOVIMIENTO
ONDULATORIO:
La ecuación diferencial de una onda unidimensional es:
(3.1)
17
La cual nos dice que la cantidad en movimiento (puede representar
diversas cantidades físicas, tales como la deformación de un sólido, la presión
de un gas, la magnitud de un campo eléctrico, el desplazamiento de una
cuerda tensa, etc.) es una función del tiempo y de la posición .
La ecuación (1) describe un movimiento ondulatorio que se propaga a
una velocidad definida y sin distorsión según las direcciones y .
La solución de la ecuación (1) puede expresarse como la superposición
de dos movimientos ondulatorios, que se propagan en la misma dirección pero
en sentidos opuestos, así:
(3.2)
o en forma abreviada
(3.3)
Para probar que es una solución de la ecuación
de onda, independiente de la forma de la función , hagamos ,
por tanto:
y
(3.4)
Aplicando la regla de la cadena
(3.5)
(3.6)
Hallando las segundas derivadas:
(3.7)
(3.8)
(3.9)
(3.10)
18
Comparando las ecuaciones (8) y (10) se concluye que
(3.11)
Lo cual prueba que es una solución de la ecuación de onda.
Si de funciones de onda diferentes y son soluciones diferentes,
entonces también es una solución. Por lo tanto la ecuación de onda
se satisface de manera más general, por una función de onda que tiene la
forma
(3.12)
donde y son constantes y las funciones son diferenciables dos veces.
Las dos ondas de la ecuación (12) viajan a lo largo del eje con la
misma velocidad pero no tienen necesariamente el mismo perfil, la suma de las
dos ondas obedece al principio de superposición.
La ecuación diferencial de una onda tridimensional es:
(3.13)
que puede escribirse en forma más concisa, introduciendo el operador
Laplaciano
(3.14)
obteniéndose:
(3.15)
El ejemplo más simple de una onda tridimensional es la Onda Plana.
Una onda plana se presenta cuando todas las superficies sobre las cuales una
perturbación tiene fase constante, forman un conjunto de planos, generalmente
perpendiculares a la dirección de propagación. La figura (3.1) muestra una
onda, moviéndose en la dirección de .
La expresión matemática correspondiente a un plano perpendicular al vector
que pasa por el punto es:
(3.16)
19
Siendo un vector posición que empieza en un origen arbitrario y termina
en un punto arbitrario , la ecuación (16) puede expresarse en la forma
(3.17)
(3.18)
(3.19)
Figura (3.1) Onda Plana moviéndose en la dirección de
Un conjunto de planos sobre los cuales varía sinodalmente,
puede expresarse mediante
(3.20)
que puede representarse gráficamente como la muestra la figura (3.2).
20
Figura (3.2) Frentes de onda para una onda plana armónica.
Una onda esférica constituye también un ejemple de onda
tridimensional. En este caso los frentes de onda son esferas concéntricas y el
operador Laplaciano puede describirse en términos de coordenadas esféricas
polares mediante:
(3.21)
donde se define por:
(3.22)
La figura (3.3) indica las coordenadas esféricas polares.
21
Figura (3.3) Geometría de las coordenadas esféricas.
Para el caso de ondas esféricas simétricas se satisface la relación
(3.23)
que pone de manifiesto, que las ondas no dependen ni de ni de , por
tanto:
(3.24)
que tiene por solución
(3.25)
en donde la ecuación (25) representa una onda esférica que se propaga
radialmente hacia fuera desde el origen, con una velocidad constante .
Para el caso de una onda esférica armónica, la forma funcional es
22
(3.26)
Ó
, (3.27)
donde es una constante llamada intensidad de la fuente.
Una onda esférica disminuye su amplitud, cambiando su perfil cuando se
aleja del origen. La figura (2.3-4) representa la mitad de un pulso esférico
cuando la onda se expande hacia fuera.
Figura (3.4) Frentes de Onda Esféricas
Otros ejemplos de ondas tridimensionales lo constituyen las Ondas
Cilíndricas. El Laplaciano de en coordenadas cilíndricas es:
(3.28)
en donde
(3.29)
como puede apreciarse en la figura (3.5).
23
Figura (3.5) Geometría de las coordenadas cilíndricas.
Para el caso de simetría cilíndrica se requiere que
(3.30)
es decir, la función de Onda es independiente de y de , por lo tanto la
ecuación diferencial de Onda es:
(3.31)
La solución de esta ecuación cuando es suficientemente grande es:
(3.32)
(3.33)
que corresponde a la representación de un conjunto de cilindros circulares
coaxiales. Una perturbación parecida a una onda Cilíndrica, puede ser obtenida
por el choque de una Onda Plana contra una pantalla opaca plana que
contiene una rendija delgada y larga, como lo muestra la figura (3.6).
24
Figura (3.6) Ondas Cilíndricas emergiendo de una rendija angosta.
4 ONDAS TRANSVERSALES EN UNA CUERDA:
Consideremos una cuerda situada a lo largo del eje . Si desplazamos
la cuerda perpendicularmente a su longitud, una pequeña cantidad, un
diferencial de longitud , se desplaza de su posición de equilibrio una
distancia , como lo indica la figura (4.1).
Figura (4.1) Fuerzas que se ejercen sobre un segmento de cuerda cuando esta se desplaza.
El segmento AB queda sometido a dos fuerzas tangenciales y ,
de igual magnitud.
25
Aplicando la Segunda Ley de Newton al segmento AB, de densidad
lineal de masa uniforme , se obtiene:
(4.1)
(4.2)
(4.3)
Pero para ángulos pequeños:
(4.4)
(4.5)
Por tanto:
(4.6)
(4.7)
Pero es la pendiente de la curva formada por la cuerda, entonces
, luego:
(4.7)
(4.9)
(4.10)
Ó
(4.11)
en donde la velocidad con la que se propaga la onda a lo largo de la cuerda es:
26
(4.11)
La tensión se expresa en Newton y la densidad lineal de masa en
(Kg / m).
5 ENERGÍA PROMEDIO DE LAS ONDAS EN UNA CUERDA:
Consideremos un pequeño segmento de cuerda comprendido entre y
, como se aprecia en la figura (5.1).
Figura (5.1) Desplazamiento y alargamiento de un segmento corto de cuerda que
transporta una onda elástica transversal.
Supongamos que no varía por la deformación de la cuerda a partir de
su longitud y configuración normales.
La energía total promedio asociada con una longitud de onda completa
de una onda sinusoidal sobre una cuerda tensa, está dada por:
(5.1)
La energía cinética para el segmento en consideración es:
(5.2)
La densidad de energía cinética se define mediante:
27
(5.3)
Suponiendo que tenemos una onda sinusoidal descrita por la ecuación
, (5.4)
para cualquier valor dado de tenemos:
(5.5)
Denotando por la velocidad máxima del movimiento
transversal, se sigue que:
(5.6)
Evaluando la velocidad transversal para , se obtiene:
(5.7)
Teniendo en cuenta que
, la ecuación (7) puede escribirse
como:
(5.8)
Elevando al cuadrado la ecuación (5.8) y reemplazando en la ecuación
(5.3) se sigue que:
(5.9)
La energía cinética total en el segmento de cuerda entre y
viene dada por:
(5.10)
Pero:
28
(5.11)
(5.12)
(5.13)
La energía potencial puede calcularse hallando el incremento de longitud
cuando la cuerda se deforma. La tensión multiplicada por el alargamiento, es
igual al trabajo realizado en la deformación, por tanto, la energía potencial del segmento en consideración es:
(5.14)
pero aplicando el teorema de Pitágoras a la figura (2.5) se sigue que:
(5.15)
(5.16)
Admitiendo que
, la ecuación (16) puede aproximarse a:
(5.17)
(5.18)
Reemplazando la ecuación (18) en la ecuación (14) se obtiene:
(5.19)
Por tanto, la densidad de energía potencial es:
(5.20)
Pero de la ecuación (4) se sigue que:
29
(5.21)
Evaluando
para , se obtiene:
(5.22)
Reemplazando la ecuación (5,22) en la ecuación (5,20) se sigue que:
(5.23)
Integrando desde hasta se obtiene la energía potencial media:
(5.24)
(5.25)
Teniendo en cuenta que , la ecuación (5.25) se
puede escribir así:
(5.26)
Reemplazando las ecuaciones (5.13) y (5.26) en la ecuación (5.1) se
sigue que:
, (5.27)
que también puede escribirse como:
(5.28)
donde es la energía promedio total por longitud de onda, la cual es
igual a la energía cinética promedio que tendría un trozo de la cuerda de
longitud , si toda ella se moviese con la velocidad máxima asociada con la onda.
30
6 POTENCIA PROMEDIO DE LAS ONDAS EN UNA CUERDA:
Cuando una porción dada de la cuerda, ha entrado a formar parte del
movimiento ondulatorio, su energía media permanece constante. La cuerda
actúa como un medio de transporte de energía de un punto a otro.
Para cada nueva longitud de onda que se pone en movimiento a lo
largo de la cuerda, haciendo oscilar transversalmente un extremo de la cuerda,
de modo que se genera una sinusoidal
(6.1)
debe suministrarse una cantidad de energía dada por:
(6.2)
El trabajo equivalente a esta energía, debe ser suministrada por un agente
exterior situado en un extremo de la cuerda de gran longitud, como lo indica la
figura (2.6).
Figura (6.1) Generación de una onda sinusoidal en una cuerda tensa, mostrando el vector de
la fuerza aplicada en un instante arbitrario.
El trabajo realizado por unidad de tiempo, por el agente exterior, es igual
a la potencia media de entrada, así:
(6.3)
Teniendo en cuenta que , se sigue que:
(6.4)
31
por tanto, la potencia media es igual a la energía total por unidad de
longitud que la onda añade a la cuerda
multiplicada por la
velocidad de la onda .
Otra forma de obtener la potencia media de entrada , consiste
en determinar el trabajo por ciclo por unidad de tiempo, es decir:
(6.5)
El trabajo por ciclo ó trabajo para un período completo de la
onda, se obtiene a partir del trabajo realizado en un tiempo cualquiera, de
acuerdo al siguiente procedimiento:
Admitiendo que el movimiento de punto extremo, de la cuerda de la
figura (2.6), es puramente transversal, de la ecuación (1) se sigue que:
(6.6)
La componente de en la dirección de este movimiento transversal,
viene dada por:
(6.7)
siendo la tensión de la cuerda.
A partir de la ecuación (6.1) se sigue que:
(6.8)
Por lo tanto:
(6.9)
Reemplazando la ecuación (6.9) en la ecuación (6.7) se obtiene:
(6.10)
El trabajo realizado en un tiempo cualquiera puede calcularse mediante:
32
(6.11)
(6.12)
Teniendo en cuenta que la velocidad máxima del movimiento transversal
es , se sigue que:
(6.13)
El trabajo por ciclo ó trabajo para un período completo de la onda se
obtiene integrando desde a
, así:
(6.14)
(6.15)
Reemplazando la ecuación (6.15) en la ecuación (6.5) se obtiene:
(6.16)
que es exactamente igual a la ecuación (6.4).
7 SUPERPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS ONDULATORIOS
TRANSVERSALES:
Se pueden presentar varios casos de superposición de ondas, pero solo
trataremos los siguientes:
33
7.1 Superposición de dos movimientos ondulatorios paralelos y de igual
sentido.
7.2 Superposición de dos movimientos ondulatorios paralelos y de sentido
contrario.
7.3 Superposición de dos movimientos ondulatorios normales (ó
perpendiculares) entre sí y del mismo sentido.
7.1 SUPERPOSICIÓN DE DOS MOVIMIENTOS ONDULATORIOS
PARALELOS Y DE IGUAL SENTIDO:
Dos movimientos ondulatorios se denominan paralelos cuando los
movimientos del medio ocurren a lo largo del mismo eje, y son del mismo
sentido cuando la velocidad tiene el mismo signo.
Si tenemos varios movimientos ondulatorios con
amplitudes: frecuencias:
velocidades: y fases: el movimiento
resultante es:
(7.1-1)
(7.1-2)
que expresa en forma de ecuación el principio de Superposición.
Consideremos, por simplicidad, los casos particulares que se presentan
con mayor frecuencia, en los que solo hay que sumar los dos movimientos
ondulatorios.
- AMPLITUDES DIFERENTES:
Consideremos dos movimientos ondulatorios
(7.1-3)
(7.1-4)
cuyos parámetros son iguales, excepto la amplitud.
La composición, superposición o suma de los dos movimientos
ondulatorios es.
34
A2 cos (7.1-5)
(7.1-6)
como puede observarse, la amplitud del movimiento ondulatorio resultante es la
suma de las amplitudes individuales. La frecuencia, la velocidad de fase de la
onda y la fase del movimiento ondulatorio resultante, siguen siendo las de cada
movimiento por separado.
De la ecuación (7.1-6) se infiere que cuando se suman tres o más ondas
en las que solamente varíe la amplitud, el movimiento resultante tendrá una
amplitud igual a la suma de las amplitudes de las ondas constituyentes.
- FASES DIFERENTES:
Si tenemos dos movimientos ondulatorios
(7.1-7)
(7.1-8)
con y el movimiento ondulatorio resultante es:
cos 2 (7.1-9)
(7.1-10)
35
(7.1-11)
(7.1-12)
(7.1-13)
como y son constantes, podemos definir una nueva constante:
(7.1-14)
(7.1-15)
que corresponde a un movimiento ondulatorio armónico de frecuencia igual a la
de las ondas constituyentes pero con distinta amplitud y diferente fase (la
nueva fase es igual a la media aritmética de las fases de las ondas que se
superponen). Si , el movimiento ondulatorio resultante tiene
amplitud y fase igual a la de cada uno de los movimientos
ondulatorios individuales, dando lugar a un caso particular de suma o
composición de dos movimientos ondulatorios de distinta amplitud [ecuación
(6)]. Cuando , la amplitud es cero, o sea que no existirá
onda resultante.
Para , se tiene una amplitud intermedia
.
Cuando , el fenómeno se denomina interferencia “destructiva”.
Cuando , el fenómeno es llamado interferencia “constructiva”.
- AMPLITUDES Y FASES DIFERENTES
Sean
(7.1-16)
36
(7.1-17)
dos movimientos ondulatorios con
y . La ecuación del movimiento ondulatorio
resultante es:
(7.1-18)
(7.1-19)
(7.1-20)
Haciendo
(7.1-21)
(7.1-22)
se sigue que:
(7.1-23)
(7.1-24)
y se obtienen de las ecuaciones (21) y (22), así:
Elevando la ecuación (21) al cuadrado se obtiene,
(7.1-25)
37
Elevando la ecuación (22) al cuadrado se obtiene:
(7.1-26)
Sumando la ecuación (25) y la ecuación (26) se obtiene:
(7.1-27)
(7.1-28)
Dividiendo la ecuación (7.1-21) por la ecuación (7.1-22) se obtiene:
(7.1-29)
(7.1-30)
La ecuación (7.1-24) describe un movimiento ondulatorio armónico con
una amplitud dada por la ecuación (7.1-28) y con una fase dada por la ecuación
(7.2-30). Obsérvese que para , la amplitud nunca será cero y por
tanto no se presentará interferencia destructiva total.
- FRECUENCIAS DIFERENTES::
Sean:
(7.1-31)
(7.1-32)
dos movimientos ondulatorios con
. Su superposición es:
(7.2-33)
(7.2-34)
38
La ecuación (7.1-34) se puede interpretar como la oscilación de una
partícula con frecuencia
y con una amplitud que varía armónicamente
en el tiempo, con frecuencia
. Si se vuelve a obtener la
ecuación (7.1-6) pero con . Si las frecuencias son
aproximadamente iguales, es decir, , entonces:
(7.1-35)
y
es pequeña, lo cual hace que la amplitud varíe lentamente respecto
al tiempo, como lo ilustra la figura (7.1). Este efecto se denomina batido, y se
aplica frecuentemente en electrónica por ejemplo en la detección
superheterodina. El fenómeno de las pulsaciones o batidos se suele utilizar
para comparar una frecuencia desconocida con otra conocida, como sucede al
afinar un piano con un diapasón. Los batidos también se utilizan para detectar
pequeñas variaciones de frecuencia como las producidas en un haz de radar
reflejado desde un coche móvil.
Figura (7.1) Composición de dos movimientos ondulatorios de frecuencia levemente
diferente, denominada Batido. a) Movimiento Ondulatorio de frecuencia . b) Movimiento
Ondulatorio de frecuencia , mayor en un diez por ciento que . c) Superposición de los dos
movimientos ondulatorios anteriores.
39
- FRECUENCIAS Y VELOCIDADES DIFERENTES:
Sean:
(7.1-36)
(7.1-37)
dos movimientos ondulatorios con
. El movimiento ondulatorio resultante es:
(7.1-38)
Haciendo el siguiente cambio de parámetros:
(7.2-39)
(7.1-40)
La ecuación (7.1-38) puede escribirse en forma compacta mediante:
(7.1-41)
(7.1-42)
Téngase en cuenta que:
(7.1-43)
(7.1-44)
(7.1-45)
La ecuación (7.1-42) corresponde a un batido cuando las frecuencias
son cercanamente iguales.
40
7.2 SUPERPOSICIÓN DE DOS MOVIMIENTOS ONDULATORIOS
PARALELOS Y DE SENTIDO CONTRARIO:
En el sentido de la superposición o suma de dos movimientos
ondulatorios paralelos, pero de sentido contrario, analizaremos los siguientes
casos:
- MOVIMIENTOS ONDULATORIOS OPUESTOS DE PARÁMETROS
IGUALES:
Sean
(7.2-1)
(7.2-2)
dos movimientos ondulatorios paralelos, de sentido contrario, con
El
movimiento ondulatorio es:
(7.2-3)
Figura (7.2-1) ondas estacionarias: Superposición de dos movimientos ondulatorios opuestos
para tres valores diferentes de la ordenada a) Movimiento Ondulatorio con velocidad b)
Movimiento ondulatorio con velocidad - c) Superposición de los dos movimientos ondulatorios
anteriores.
41
Haciendo
(7.2-4)
la ecuación (7.2-3) puede volverse a escribir mediante:
(7.2-5)
La ecuación (7.2-5) significa que las partículas se mueven
armónicamente, cada una con amplitud propia dependiente de su
coordenada .
El módulo de la amplitud varía desde en aquellas partículas
donde
La ecuación (7.2-3) corresponde a la clase de ondas denominadas
“Ondas estacionarias”. Cuando se presenta este tipo de movimiento
ondulatorio no es posible apreciar ni el avance ni el retroceso de la onda. Las
figuras (7.2-1) y (7.2-2) esquematizan el movimiento ondulatorio resultante,
dado por la ecuación (7.2-3).
42
Figura (7.2-2) Ondas Estacionarias: Gráfico , , de la ecuación (3).
- MOVIMIENTOS ONDULATORIOS OPUESTOS DE AMPLITUDES
DIFERENTES:
Sean
(7.2-6)
(7.2-7)
dos ondas paralelas y opuestas de amplitud diferente. Sea, por ejemplo,
, entonces la onda de mayor amplitud se puede descomponer en dos
ondas: una de amplitud igual a la opuesta y otra de amplitud igual a la
diferencia , así:
(7.2-8)
El resultado de la superposición de las ondas dadas por la ecuación
(7.2-6) y (7.2-8) es:
43
en donde se ha tenido en cuenta que:
.
7.3 SUPERPOSICIÓN DE DOS MOVIMIENTOS ONDULATORIOS
MUTUAMENTE PERPENDICULARES DEL MISMO SENTIDO:
Sean:
(7.3-1)
(7.3-2)
dos movimientos ondulatorios perpendiculares (o normales) entre sí. Hemos
supuesto que uno tiene la dirección de y el otro la dirección de , pero en
ambos casos la onda de desplaza a lo largo del eje .
El movimiento ondulatorio resultante está dado por la suma vectorial de
las ecuaciones (7.3-1) y (7.3-2). En general el movimiento de cada partícula no
es lineal, pero está contenido en el plano (para constante), como se
muestra en las figuras (7.3-1) y (7.3-2).
- AMPLITUDES DIFERENTES:
Sean
(7.3-3)
(7.3-4)
dos movimientos ondulatorios mutuamente perpendiculares con
y
El movimiento ondulatorio resultante está dado por:
(7.3-5)
44
Figura (7.3-1) Superposición de dos Movimientos Ondulatorios perpendiculares entre sí. a)
Movimiento ondulatorio en el eje y en función de con frecuencia .b) Movimiento
Ondulatorio en el eje en función de con frecuencia c) Composición o
superposición en el espacio . Para mayor claridad se señalan las componentes y
en diez instante sucesivos.
Figura (7.3-2) Proyección de la composición de movimiento de la figura (7.3-1) (c) sobre el
plano .
La figura (7.3-3) muestra las coordenadas cartesianas y polares en el
plano.
45
Figura (7.3-3) Coordenadas cartesianas sobre y polares en plano.
De la figura (7.3-3) se deduce que:
(7.3-6)
Obsérvese que la ecuación (7.3-5) describe un movimiento
ondulatorio armónico de frecuencia igual, velocidad de onda igual y fase igual a
la de las ondas constituyentes, pero con una amplitud igual a la raíz cuadrada
de la suma de los cuadrados de las amplitudes. El movimiento ondulatorio
resultante, está confinado a un plano fijo en el espacio llamado plano de
vibración y por lo tanto, se dice que la onda es linealmente polarizada,
polarizada plana ó polarizada en un plano.
Como es función de onda, que se comporta en forma parecida a una
cantidad vectorial. Podemos definir a cambio de el vector de onda , que puede escribirse en forma compacta mediante:
(7.3-7)
que puede apreciarse en la figura (7.3-4).
46
Figura (7.3-4) Ondas polarizadas linealmente.
- AMPLITUDES Y FASES DIFERENTES:
Sean
(7.3-8)
(7.3-9)
dos movimientos ondulatorios mutuamente perpendiculares con
y
Si es constante, las ecuaciones (8) y (9) describen la ecuación
paramétrica de una elipse que no está referida, en general, a sus ejes
principales.
Usando coordenadas polares
47
(7.3-10)
(7.3-11)
Si
se obtiene:
(7.3-12)
Esto significa que la partícula sometida simultáneamente a dos movimientos
ondulatorios normales entre sí, describe una trayectoria elíptica, cuyos ejes
principales son e . Debido a que la onda resultante hace describir
trayectorias elípticas a las partículas, es llamada Onda elípticamente
polarizada.
Se pueden representar algunos casos interesantes, como los siguientes:
- si se obtiene una onda linealmente polarizada.
- si y
se obtiene una onda polarizada
circularmente.
- si las ondas son de sentido diferentes, por ejemplo:
(7.3-13)
(7.3-14)
podemos definir como fases
(7.3-15)
(7.3-16)
de tal modo que las ecuaciones (7.3-13) y (7.3-14) pueden escribirse mediante:
48
(7.3-17)
(7.3-18)
donde para
Ó
Se obtiene un movimiento ondulatorio linealmente polarizado, y para
cualquier otro caso, se obtiene un movimiento ondulatorio elípticamente
polarizado. Si , la onda es estacionaria.
- FRECUENCIAS Y FASES DIFERENTES:
Sean
(7-3-19)
(7.3-20)
dos movimientos ondulatorios perpendiculares entre sí, con
; y
La trayectoria del movimiento resultante para diferentes relaciones entre
y y diferentes valores para , están graficadas en
la figura (6.4-6).
8 COEFICIENTES DE REFLEXIÓN Y TRANSMISIÓN EN
PUNTOS DE DISCONTINUIDAD:
Para estudiar la reflexión y transmisión de ondas transversales en el
punto de unión de dos cuerdas de materiales diferentes, sometidas a una
tensión , deben tenerse en cuenta los siguientes pasos procedimentales
49
Figura (8.1) Ondas transversales en dos cuerdas de densidades diferentes, unidas
en .
PASOS FUNDAMENTALES
1) Definir las ondas incidentes, reflejada y transmitida.
2) El desplazamiento vertical de la cuerda (1), es igual al
desplazamiento vertical de la cuerda (2), en , que es el punto
donde las cuerdas se unen.
3) La fuerza vertical sobre la cuerda (1) es igual a la fuerza vertical
sobre la cuerda (2), , es decir, en el punto de unión de las
dos cuerdas.
4) Los coeficientes de reflexión y de transmisión se definen
mediante los cocientes:
donde = Amplitud de la onda reflejada
= Amplitud de la onda incidente
= Amplitud de la onda transmitida
DESARROLLO:
50
1) Supongamos que tenemos dos cuerdas (1) y (2), como lo ilustra la
figura (2.8), unidas en un punto que tomaremos como origen de
coordenadas. De acuerdo al sentido mostrado en la figura (2.8), las
ecuaciones de las ondas incidentes, reflejada y transmitida son:
Onda incidente:
Onda reflejada:
Onda transmitida:
2) [ Desplazamiento vertical de la cuerda (1) ]
= [ Desplazamiento vertical de la cuerda (2) ]
(8.1)
3) Teniendo en cuenta que:
tenemos que:
[ Fuerza vertical sobre la cuerda (1) ]
= [ Fuerza vertical sobre la cuerda (2) ]
(8.2)
51
4) Obtención del Coeficiente de reflexión
Multiplicando la ecuación (1) por , obtenemos:
(8.3)
Sumando la ecuación (2) y la ecuación (3), se sigue que:
(8.4)
- obtención del Coeficiente de transmisión :
Multiplicando la ecuación (1) por , se obtiene:
(8.5)
Sumando la ecuación (2) con la ecuación (5) se sigue que:
(8.6)
(8.7)
Teniendo en cuenta que
, entonces y pueden
expresarse mediante:
y
(8.8)
Reemplazando las relaciones (8) en la ecuación (7), se obtiene:
(8.9)
Pero , entonces y pueden expresarse
mediante:
52
y
(8.10)
Reemplazando las relaciones (10) en la ecuación (9), se sigue que:
(8.11)
Si substituimos las relaciones dadas por (8.8) y (8.10) en la ecuación
(8.4), obtenemos:
(8.12)
Obsérvese que siempre es positiva, por tanto tiene siempre el
mismo signo que , y la onda transmitida estará siempre en fase con la
onda incidente. puede ser positiva o negativa, dependiendo de si
, de modo que la onda reflejada puede estar en fase ó en
oposición con la onda incidente, el desfase con respecto a la onda incidente es
.
9 ONDAS ESTACIONARIAS:
Las Ondas Estacionarias tienen muchas aplicaciones en el campo de la
música y en muchas áreas de la ciencia y de la tecnología. El comportamiento
de los instrumentos musicales, los rayos laser, los electrones en el interior de
los átomos y otros sistemas involucran el fenómeno llamado Ondas
Estacionarias.
En esta sección estudiaremos solamente las ondas estacionarias en una
dimensión, tal como se presentan en las cuerdas y en los tubos sonoros.
Una onda estacionaria se produce cuando se superponen dos ondas
progresivas de igual amplitud, igual frecuencia e igual longitud de onda, pero en
sentidos opuestos.
Las ondas estacionarias tienen la propiedad de no presentar movimiento
alguno, en ciertas posiciones fijas, llamada nodos.
La suma de las amplitudes de las ondas viajeras superpuestas,
corresponde al punto de mayor amplitud de la onda estacionaria y se denomina
vientre.
53
La condición para formar ondas estacionarias es que la frecuencia sea
un múltiplo entero de la frecuencia fundamental, la cual corresponde al valor
crítico para formar ondas estacionarias.
9.1 ONDAS ESTACIONARIAS EN UNA CUERDA FIJA POR AMBOS
EXTREMOS: El objetivo del estudio de las ondas estacionarias en una cuerda fija por
ambos extremos consiste en determinar las posibles frecuencias de oscilación
(llamadas armónicos).
Figura (9.1-1) Superposición de una onda incidente y una onda reflejada mostrando su
cambio de fase.
PASOS FUNDAMENTALES:
1) Definir la onda incidente y reflejada.
2) Superponer o sumar las ondas.
3) Establecer las condiciones límites, condiciones de contorno o
condiciones de frontera.
4) Obtener las posibles frecuencias de oscilación (llamadas armónicas).
DESARROLLO:
1) Denominemos al desplazamiento de la onda incidente que se mueve
hacia la izquierda y al desplazamiento de la onda reflejada que se mueve
hacia la derecha , y admitamos que las amplitudes son iguales. Entonces,
(9.1-1)
(9.1-2)
54
2) La onda resultante formada por la suma de la onda que se mueve
hacia la izquierda y la que se mueve hacia la derecha es:
(9.1-3)
Usando las relaciones trigonométricas:
, (9.1-4)
se obtiene la siguiente expresión para la función de onda estacionaria,
(9.1-5)
La ecuación (9.1-5) tiene la característica importante de tener separadas
las variables y , con lo cual resulta una amplitud variable a lo largo de la
cuerda, pero fija para cada punto.
Una formulación más general de una onda armónica estacionaria es una
expresión de la forma
, (9.1-6)
en donde es la amplitud de la onda en un punto . Para determinar la
amplitud , hallamos la segunda derivada de respecto de y
la segunda derivada de respecto de . Estas segundas derivadas se
sustituyen en la ecuación diferencial de una onda viajera, ya que debe ser una solución de dicha ecuación, así:
(9.1-7)
(9.1-8)
Sustituyendo las expresiones (9.1-7) y (9.1-8) en la ecuación diferencial,
(9.1-9)
obtenemos:
(9.1-10)
55
(9.1-11)
(9.1-12)
La solución general de la ecuación (9.1-12) es:
(9.1-13)
en donde y son constantes estacionarias. Por consiguiente la
ecuación (9.1-6) se transforma en:
(9.1-14)
3) Las condiciones de contorno en y , para las
funciones de onda son:
(9.1-15)
(9.1-16)
De la ecuación (9.1-15) se sigue que:
con lo cual la ecuación (9.1-14) se reduce a:
(9.1-17)
Usando ahora la condición (9.1-16) se sigue que:
(9.1-18)
De los factores de l ecuación (9.1-18), solamente , para
lo cual se requiere que:
(9.1-19)
donde es un número entero.
56
La ecuación (9.1-19) limita automáticamente las longitudes de onda de
las ondas que pueden propagarse en la cuerda a los valores:
(9.1-20)
Figura (9.1-2) Ondas estacionarias en una cuerda con ambos extremos fijos. En general el
armónico tiene antinodos y nodos.
En consecuencia, teniendo en cuenta que
(9.1-21)
las frecuencias de oscilación están limitadas a los valores
(9.1-22)
donde
57
(9.1-23)
es la frecuencia fundamental o primer armónico. Las demás frecuencias son
múltiplos de la fundamental y se denominan armónicos.
La figura (9.1-2) indica la distribución de amplitud para los tres primeros
modos de vibración .
9.2 ONDAS ESTACIONARIAS EN UNA CUERDA FIJA EN UN EXTREMO
Un sistema que aproximadamente corresponde a una cuerda con un
extremo fijo y con el otro libre, consiste de un hilo muy largo y ligero unido al
extremo libre de la cuerda y el otro extremo que resulta aproximadamente fijo,
unido al extremo de un diapasón que vibra con una amplitud pequeña, como lo
muestra la figura (9.2-1).
Figura (9.2-1) Sistema equivalente a una cuerda con un extremo aproximadamente fijo y el
otro extremo libre.
PASOS FUNDAMENTALES:
1) Considerar las funciones generales de una onda estacionaria.
2) Establecer las condiciones de contorno.
3) Obtener las frecuencias naturales.
DESARROLLO:
1) Consideremos la función general de una onda estacionaria dada por
la ecuación (9.1-14):
58
(9.2-1)
2) Las condiciones de contorno son ahora:
(9.2-2)
(9.2-3)
De la condición (9.2-9) se sigue que:
(9.2-4)
(9.2-5)
(9.2-6)
Con este valor de , la ecuación (9.2-1) se reduce a:
(9.2-7)
(9.2-8)
De la condición (9.2-3) se sigue que:
(9.2-9)
(9.2-10)
Pero no podemos hacer que , porque ello haría que fuera
cero en todos los puntos, y por lo tanto no habría onda. La única posibilidad es
que:
(9.2-11)
59
(9.2-12)
puesto que la frecuencia es
, se deduce que las frecuencias naturales
de este sistema son:
(9.2-13)
La figura (9.2-2) muestra los primeros modos de ondas estacionarias
correspondientes a una cuerda fija por un extremo fijo.
Figura (9.2-2) Ondas estacionarias en una cuerda fija solo por un extremo. Los puntos
marcados con un A son antinodos o vientres; los marcados con N son nodos.
60
9.3 ONDAS ESTACIONARIAS EN UN TUBO ABIERTO EN AMBOS
EXTREMOS:
Cuando se tiene un tubo abierto como el mostrado repetidamente en la
figura (9.3-1), al soplar a través de la boquilla se producen ondas estacionarias
debido a la reflexión que ocurre en el otro extremo.
Figura (9.3-1) Ondas de desplazamiento estacionario en una columna de aire abierta en
ambos extremos. Mostrando la distribución de amplitud para
PASOS FUNDAMENTALES:
1) Expresar la función de una onda estacionaria.
2) Establecer las condiciones de contorno.
3) Obtener las frecuencias de las ondas estacionarias.
DESARROLLO:
1) La función general de una onda estacionaria puede expresarse
mediante:
61
(9.3-1)
2) Las condiciones de contorno para y son:
(9.3-2)
(9.3-3)
Derivando respecto de la ecuación (9.3-1) se obtiene:
(9.3-4)
De la ecuación (9.3-2) se sigue que:
(9.3-4)
(9.3-5)
Luego la ecuación (2.9.3-1) se convierte en:
(9.3-6)
De la condición (2.9.3-3) se sigue que:
(9.3-7)
(9.3-8)
Pero la única posibilidad para que la expresión (9.3-8) sea cero es que el
factor:
(9.3-9)
3) Las frecuencias de las ondas estacionarias están dadas por:
(9.3-10)
62
9.4 ONDAS ESTACIONARIAS EN UN TUBOS CERRADOS
Los llamados tubos cerrados, tienen un extremo cerrado (el opuesto a la
boquilla). En el extremo cerrado debe haber un nodo de desplazamiento, ya
que el aire no puede atravesarlo en sus oscilaciones longitudinales. En el
extremo abierto tiene que haber un nodo de presión, ya que lo que ocurre en el
interior no puede alterar de manera apreciable la presión de la atmósfera. Esto
significa que los nodos de desplazamiento coinciden con los vientres de
presión. La figura (9.4-1) muestra las ondas de desplazamiento estacionarias
en una columna de aire cerrada en un extremo.
Figura (9.4-1) Ondas de desplazamiento estacionarias en una columna de aire
cerrada en un extremo.
63
PASOS FUNDAMENTALES:
1) Expresar la función general de una onda estacionaria.
2) establecer las condiciones de contorno.
3) obtener las frecuencias de los modos armónicos (o simplemente
armónicos) en que puede vibrar.
DESARROLLO:
1) La función general de una onda estacionaria es:
(9.4-1)
2) Las condiciones de contorno para la onda estacionaria de
desplazamiento, están dadas por:
(9.4-2)
(9.4-3)
Derivando la ecuación (9.4-1) respecto de , se sigue que:
(9.4-4)
De la ecuación (9.4-2) se sigue que:
(9.4-5)
(9.4-6)
Con lo cual, la expresión (9.4-1) se reduce a:
(9.4-7)
De la condición (9.4-3) se sigue que:
(9.4-8)
(9.4-9)
64
La única posibilidad que podemos tener para que la ecuación (9.4-9) sea
igual a cero, es que el factor
(9.4-10)
(9.4-11)
(9.4-12)
Luego las frecuencias posibles en las que puede vibrar un tubo cerrado
en un extremo y abierto en el otro (la boquilla), están dadas por:
(9.4.13)
La frecuencia fundamental es:
(9.4-14)
Obsérvese que la frecuencia fundamental de un tubo cerrado es la mitad
de la frecuencia fundamental de un tubo abierto.
10 ONDAS LONGITUDINALES EN UNA COLUMNA DE GAS:
Consideremos que las ondas elásticas debido a las variaciones de
presión, se propagan en un gas encerrado en un tubo cilíndrico, como lo
muestra la figura (10.1).
65
Figura (10.1) Onda de presión en una columna de gas.
PASOS FUNDAMENTALES:
1) Usar el principio de conservación de la masa.
2) Expresar la ecuación de estado como una ecuación de la densidad y
expandirla utilizando el desarrollo en serie de Taylor.
3) Definir el módulo de elasticidad de volumen .
4) Aplicar la segunda ley de Newton para encontrar la ecuación
diferencial de movimiento.
5) Obtener la onda de desplazamiento, de presión y de densidad.
DESARROLLO:
1) De acuerdo al principio de conservación de la masa, la masa del
volumen elemental en equilibrio es igual a la masa del volumen
elemental perturbado , así:
(10.1)
Siendo:
Densidad del gas en condiciones de equilibrio.
Densidad del gas perturbado.
66
Área de la sección transversal del tubo.
, siendo la distancia que se desplaza la sección y
la distancia que se desplaza la sección mostradas en la figura (10.1).
Espesor del diferencial de volumen no perturbado.
Despejando de la ecuación (10.1), se obtiene:
(10.2)
Usando el desarrollo en serie del binomio de Newton, para el caso
general el que
es pequeño, se obtiene:
(10.3)
(10.4)
2) La ecuación que relaciona la presión con la densidad , se
denomina ecuación de estado, y puede escribirse mediante:
(10.5)
Aplicando el desarrollo en serie de Taylor de esta función, se sigue que:
(10.6)
Para variaciones de densidad relativamente pequeñas, se pueden tener
en cuanta solamente los dos primeros términos, así:
(10.7)
3) El módulo de elasticidad de volumen se expresa en N / m2 y se define
mediante:
67
(10.8)
(10.9)
Reemplazando la ecuación (10.9) en la ecuación (10.7) se obtiene la
denominada Ley de Hooke para los fluidos,
(10.10)
Reemplazando la ecuación (10.4) en la ecuación (10.10), se obtiene:
(10.11)
Esta expresión relaciona la presión en cualquier punto de la columna de
gas con la deformación en el mismo punto.
4) Teniendo en cuenta que el gas situado a la izquierda del elemento de
volumen, ejerce sobre este una fuerza , la fuerza resultante en la
dirección , es:
(10.12)
Siendo:
(10.13)
De la segunda ley de Newton se sigue que:
(10.14)
(10.15)
Derivando la ecuación (10.11) respecto de , se sigue que:
(10.16)
68
Comparando la ecuación (10.16) con la ecuación (10.15), se deduce
que:
(10.17)
(10.18)
La ecuación (10-18) corresponde a la ecuación diferencial de una onda
de desplazamiento producida por la perturbación de la presión de un gas que
se propaga con velocidad
(10.19)
La ecuación diferencial de la onda de presión se obtiene combinando las
ecuaciones (10.11) y (10.15), así: Derivando dos veces la ecuación (10.11)
respecto del tiempo, se sigue que:
(10.20)
Pero de la ecuación (10.15) se sigue que:
(10.21)
Entonces, reemplazando la ecuación (10.21) en la ecuación (10.20) se
obtiene:
, (10.22)
que corresponde a la ecuación diferencial de las ondas elásticas de presión
que se propagan en un gas, con velocidad
(10.23)
Combinando las ecuaciones (10.4) y (10.18) se obtiene la onda de
densidad, así: Derivando dos veces la ecuación (10.4) respecto del tiempo, se
sigue que:
69
(10.24)
Derivando dos veces la ecuación (10.4) con respecto de , se sigue
que:
(10.25)
Pero la ecuación (10.18)
(10.26)
(10.27)
Comparando la ecuación (10.24) con la ecuación (10.27), se deduce que
(10.28)
La ecuación (10.28) indica que la densidad del gas obedece a una
ecuación diferencial de movimiento ondulatorio.
11 ONDAS LONGITUDINALES EN BARRAS SÓLIDAS:
Consideremos una barra de sección transversal uniforme , sujeta a
Figura (11.1) Las fuerzas sobre cualquier sección transversal de una barra sometida a
esfuerzo son iguales y opuestas.
70
una fuerza según se indica en la figura (11.1).
Sobre cada sección transversal actúan dos fuerzas iguales y opuestas;
una es la tensión sobre la parte izquierda debida a la porción derecha y la otra
es la tensión sobre la parte derecha debida a la porción izquierda de la barra.
Una onda se propaga a lo largo de la barra, cuando provocamos una
perturbación golpeándola por ejemplo con un martillo.
PASOS FUNDAMENTALES:
1) Definir el esfuerzo normal .
2) Definir la deformación unitaria
3) Definir la ley de Hooke para deformaciones pequeñas de materiales
elásticos.
4) Aplicar la segunda ley de Newton.
5) Obtener la ecuación diferencial del campo de deformación que se
propaga a lo largo de la barra.
DESARROLLO:
1) El esfuerzo normal sobre una sección de la barra se define como
la fuerza por unidad de área que se ejerce perpendicularmente a la sección
transversal en ambos sentidos,
(11.1)
El esfuerzo normal se expresa en N / m2.
2) La deformación unitaria normal en la barra se define como la
deformación por unidad de longitud a lo largo del eje de la barra,
(11.2)
La deformación unitaria normal es una cantidad adimensional. Si no hay
deformación, es constante y por tanto .
71
La figura (11.2) muestra dos secciones y separadas una distancia
en estado de equilibrio. Cuando las fuerzas actúan, la sección se
desplaza la distancia y la sección la distancia , por tanto la separación
entre y en el estado de deformación es:
(11.3)
Figura (11.2) Onda longitudinal en una barra.
3) La ley de Hooke establece que: “dentro del límite de elasticidad del
material, el esfuerzo normal es proporcional a la deformación unitaria normal”,
, (11.4)
donde es el esfuerzo normal, la deformación unitaria normal y el
módulo de elasticidad de Young, el cual es una constante de proporcionalidad
que se expresa en N / m2.
Reemplazando las definiciones dadas por las relaciones (11.1) y (11.2),
en la ecuación (11.4) se obtiene la expresión:
(11.5)
(11.6)
72
Si tenemos un alambre en equilibrio de longitud y de sección
transversal como lo ilustra la figura (11-3), y se le aplica una fuerza
constante, la deformación en cada sección se obtiene de la ecuación (11.6),
así:
(11.7)
Figura (11.3) Alambre de sección sujeto a una fuerza aplicada constante .
La ecuación (11.7) nos permite medir experimentalmente el módulo de
Young.
4) Cuando el alambre o la barra no está en equilibrio, la fuerza neta
sobre la sección es, de acuerdo a la segunda Ley de Newton:
(11.8)
(11.9)
Derivando la ecuación (11.6) respecto a , se obtiene:
(11.10)
Comparando las ecuaciones (11.9) y (11.10) se sigue que:
(11.11)
73
, (11.12)
que corresponde a la ecuación diferencial del campo de deformación , que
se propaga a lo largo de la barra con una velocidad
(11.13)
La ecuación diferencial del campo de fuerzas que se propaga a lo largo
de la barra, puede encontrarse a partir de la ecuación (11-6), así: Derivando la
ecuación (11-6) dos veces con respecto de , se sigue que:
(11.14)
Derivando ahora la ecuación (11-6) dos veces con respecto de , se
sigue que:
(11.15)
Pero de la ecuación (11-12)
(11.16)
Substituyendo la ecuación (11.16) en la ecuación (11.15) se obtiene que:
(11.17)
Comparando las ecuaciones (11.14) y (11.17), se deduce que:
, (11.18)
lo cual significa que el campo de fuerzas se propaga a lo largo de la barra con
la misma velocidad que el campo de desplazamiento.
12 ONDAS LONGITUDINALES EN RESORTES:
PASOS FUNDAMENTALES:
74
1) Definir las fuerzas sobre una sección del resorte en términos del
módulo de elasticidad .
2) Aplicar la segunda Ley de Newton a una porción de longitud y
masa , siendo la densidad lineal de la masa.
3) Determinar la ecuación diferencial de la onda de desplazamiento que
se propaga a lo largo del resorte, cuando se produce en este una perturbación.
DESARROLLO:
1) La fuerza sobre una sección del resorte estirada es:
, (12.1)
siendo el módulo de elasticidad del resorte y el desplazamiento
experimentado por una sección del mismo.
2) Al aplicar la segunda Ley de Newton sobre una porción de resorte de
longitud se obtiene:
(12.2)
(12.3)
Derivando con respecto de la ecuación (12.1), se sigue que:
(12.4)
3) La ecuación diferencial de la onda de desplazamiento, se obtiene
igualando las ecuaciones (12.3) y (12.4), así:
(12.5)
75
, (12.6)
que corresponde a la ecuación diferencial de la onda de desplazamiento que se
propaga a lo largo del resorte con velocidad
(12.7)
Si la longitud del resorte es y se estira hasta que su longitud aumenta
en la cantidad , en el equilibrio, la fuerza debe ser la misma en todos los
puntos del resorte, por tanto:
(12.8)
, (12.9)
como puede apreciarse, en la ecuación (12.8) se ha igualado la fuerza sobre la
sección del resorte en términos del módulo de elasticidad a la fuerza
elástica expresada en función de la constante elástica , obteniéndose la
ecuación (12.9) que relaciona el módulo de elasticidad con la constante elástica
del resorte.
13 ONDAS SONORAS
Las ondas sonoras son ondas mecánicas longitudinales. Ellas pueden
propagarse en sólidos, líquidos y gases.
Existe un rango de frecuencias que al estimular el oído humano permite
percibir una sensación audible. El rango de frecuencias va aproximadamente
desde 20 ciclos / s hasta 20.000 ciclos / s y es llamado rango audible.
76
Figura (13.1) Ondas sonoras longitudinales en un tubo, forzadas por un pistón a ejecutar
oscilaciones armónicas. Las áreas negras representan condensaciones del fluido; las áreas
claras, representan regiones de enrarecimiento. La línea vertical delgada muestra la posición
instantánea de un elemento de fluido dado, ejecutando vibraciones armónicas simples
alrededor de un punto de equilibrio. La línea oblicua a trazos muestra el progreso de una
condensación particular, que se mueve a lo largo del eje , con una velocidad .
Una onda mecánica longitudinal cuya frecuencia esté por debajo del
rango audible es llamada onda infrasónica, y una onda cuya frecuencia esté
por encima del rango audible es llamada onda ultrasónica. Las frecuencias
altas asociadas con ondas ultrasónicas pueden ser reproducidas por
vibraciones de un cristal de cuarzo, inducidas por resonancia con un campo
eléctrico alternante aplicado (efecto piezoeléctrico).
Las ondas audibles se originan en cuerdas vibrantes (violín, guitarra,
cuerdas vocales humanas), columnas de aire vibrante (órgano, clarinete,
saxofón), y en placas y membranas vibrantes.
Las formas de onda que son aproximadamente periódicas o consisten
de un número pequeño de componentes aproximadamente periódicas
producen una sensación agradable, tal es el caso de los sonidos musicales. Un
sonido cuya forma de onda no es periódica, es oído como ruido.
En la propagación de ondas sonoras en un fluido que puede ser aire,
algún otro gas o un líquido, asumimos que el fluido está contenido en un tubo
de gran longitud extendido a lo largo del eje y forzado a oscilar hacia atrás y
77
hacia delante por un pistón en la dirección paralela al eje , como se observa
en la figura (13-1).
Si ignoramos las posibles fuerzas de fricción viscosa que la pared del
tubo ejerce sobre el fluido, y consideramos una sección de fluido aislada
confinada entre y , el volumen elemental del fluido no
perturbado es , siendo el área de la sección transversal del
tubo. Como resultado del desplazamiento del pistón hacia adelante y hacia
atrás, los extremos del elemento de fluido, se mueven las distancias y
respectivamente (ver figura 13.2).
Figura (13.2) Movimiento de un elemento de fluido de longitud inducido por una onda
sonora longitudinal que viaja a lo largo del tubo; es el desplazamiento de la superficie
frontal del elemento, y es el desplazamiento de la superficie de atrás.
El cambio de volumen está dado por:
(13.1)
y el cambio fraccional en volumen está dado por:
(13.2)
78
El cambio en volumen está acompañado de un cambio en presión
(medido respecto de la presión de equilibrio del sistema no perturbado).
Introduciendo el módulo de compresibilidad adiabática (módulo
volumétrico de elasticidad, módulo de elasticidad de volumen, o simplemente
módulo volumétrico), se tiene que:
(13.3)
(13.4)
el módulo volumétrico también suele denotarse por , como se hizo en la
ecuación (10.8).
Si la presión sobre un objeto de volumen original se incrementa en
una cantidad , el incremento en la presión origina un cambio de volumen
, donde será negativo, por tanto, en la expresión (13.4) el signo
menos se una para cancelar el valor numérico negativo de y, por
consiguiente para convertir a en un número positivo. El módulo de
elasticidad volumétrico tiene unidades de presión.
La expresión (13.4) puede escribirse en la forma:
(13.5)
donde el subíndice cero significa que el diferencial
es evaluado
alrededor del volumen de equilibrio.
Insertando la ecuación (13.5) en la ecuación (13.2), se sigue que:
(13.6)
en donde es el módulo volumétrico de elasticidad del fluido en cuestión.
La fuerza neta que actúa sobre el elemento es ,
donde es la diferencia de presión entre los valores de evaluados en
y .
79
Para pequeños desplazamientos esta diferencia es
, con
lo que resulta
(13.7)
Haciendo uso de la segunda ley de Newton, se sigue que:
(13.8)
Teniendo en cuenta que la masa del fluido es , se
concluye que:
(13.9)
El factor
se obtiene derivando la ecuación (13.6) respecto de
así:
(13.10)
Reemplazando la ecuación (13.10) en la ecuación (13.9) se sigue que:
(13.11)
que corresponde a la ecuación de un movimiento ondulatorio que se propaga
con velocidad
(13.12)
En condiciones adiabáticas, es decir, cuando no hay intercambio de
energía calórica entre los elementos de volumen del gas, la presión puede
expresarse mediante:
(13.13)
en donde es una cantidad característica de cada gas, teniendo un valor
aproximadamente igual a 1,4 para muchos gases biatómicos.
80
Derivando la ecuación (13.13) respecto de la densidad , se obtiene:
(13.14)
Pero la definición del módulo volumétrico de elasticidad se sigue que:
(13.15)
(13.16)
Luego la expresión para la velocidad dada por (13.12) puede escribirse
mediante:
(13.17)
Para el caso del aire 1,4, 1,29 Kg / m3 y (a una
atmósfera) 1,01 X 105 N / m2, con lo que resulta que a temperatura y
presión normales (0o y 1 atm.) es igual a 331 m / s.
Eliminando los subíndices, la ecuación (13.17), puede escribirse como:
(13.18)
Teniendo en cuenta la ecuación de estado o ley de los gases ideales:
(13.19)
en la que es la constante universal de los gases, número de moles y
temperatura.
8,314 mol-1 k-1 0,08207 atm litro k-1 mol-1. Y teniendo en
cuenta que la densidad se define mediante:
(13.20)
siendo la masa y el volumen que ocupa. Se sigue que
81
(13.21)
Pero la masa de un mol es:
(13.22)
Por tanto la razón puede escribirse en función de la temperatura
mediante:
(13.23)
( a ) SÓLIDOS
Densidad Módulo de Young
Módulo Volumétrico Velocidad
SÓLIDOS (Kg / m³) (pa) adiabático (m / s)
ρ₀ Y K (=B) V
X 10¹⁰ X 10¹⁰ Barra Gran Cantidad
Aluminio 2.700 7,1 7,5 5.150 6.300
Bronce 8.500 10,4 13,65 3.500 4.700
Cobre 8.900 12,2 16,0 3.700 5.000
Hierro (colado) 7.700 10,5 8,6 3.700 4.350
Plomo 11.300 1,65 4,2 1.200 2.050
Níquel 8.800 21,0 19,0 4.900 5.850
Plata 10.500 7,8 10,5 2.700 3.700
Acero 7.700 19,5 17,0 5.050 6.100
Vidrio (Pyrex) 2.300 6,2 3,9 5.200 5.600
Cuarzo (Corte X) 2.650 7,9 3,3 5.450 5.750
Caucho (Duro) 1.100 0,23 0,5 1.450 2.400
Caucho (Suave) 950 0,0005 0,1 70 1.050
Madera (Ceniza a lo
4.670 lo largo de fibra)
Madera (Ceniza a lo
1.602 lo largo de anillos)
Ladrillos 3.650
82
( b ) LÍQUIDOS
Temperatura Densidad Módulo Volumétrico Velocidad
LÍQUIDO (⁰c) (Kg / m³) (pa) (m / s)
T ρ₀ K (=B) V
X 10
Agua (dulce) 20 998 2,18 1.481
Agua (de mar) 13 1.026 2,28 1.500
Alcohol etílico 20 790 0,9 1.150
Aceite de recino 20 950 - 1.540
Mercurio 20 13.600 25,3 1.450
Glicerina 20 1.260 - 1.980
( c ) GASES
Temperatura Densidad Velocidad
GAS (⁰c) (Kg / m³) (m / s)
T V
Aire 0 1 332
Aire 20 1 343
Oxígeno 0 1 317
CO₂ (baja frecuencia) 0 2 258
CO₂ (alta frecuencia) 0 2 269
Hidrógeno 0 0 1.270
Vapor de agua 100 1 405
Helio 0 965
Reemplazando la ecuación (2.13-23) en la ecuación (2.13-18) se sigue que:
, (13.24)
siendo .
De acuerdo con las mediciones experimentales, la velocidad del sonido en el
aire a una temperatura 273,15ok (0oc), es de 331,45 m / s.
83
En la tabla 13.1 se indica la velocidad del sonido en diferentes
materiales.
TABLA 13.1: Velocidad del sonido en diversos materiales y propiedades
físicas de los mismos.
La fórmula (13.24) permite calcular a partir de medidas
experimentales de y .
En la tabla (13.1) se puede observar la gran diferencia de la velocidad
del sonido en la madera, cuando es medida a lo largo de dos direcciones
diferentes. Los materiales que exhiben diferentes características de
propagación a lo largo de ejes diferentes, se dice que son anisotrópicos.
Si todas las variables acústicas son funciones de una coordenada
espacial solamente, la fase de alguna variable es una constante sobre algún
un plano perpendicular a esta coordenada. Una onda tal, es llamada onda
plana. Si las coordenadas del sistema se escogen de tal manera que la onda
plana se propague a lo largo del eje , la ecuación de onda se reduce a:
donde . La forma compleja de la solución armónica para la
presión acústica de una onda plana es:
Si la onda plana viaja en una dirección arbitraria, la solución puede
expresarse mediante
donde las superficies de fase constante, están dadas por constante.
Puesto que es un vector perpendicular a la superficie de
fase constante, apunta en la dirección de propagación.
La fuente que genera ondas acústicas, puede ser una simple esfera
pulsante (una esfera cuyo radio varía simultáneamente con el tiempo). Por
simetría una fuente así producirá ondas esféricas armónicas en un medio finito,
homogéneo e isotrópico. La onda acústica radiada por la esfera pulsante debe
ser de la forma
84
Las características del sonido son: Intensidad, altura o tono y timbre.
La intensidad es la característica que permite al oído distinguir sonidos
fuertes y sonidos débiles, y se define como la energía que pasa a través de la
unidad de área, colocada perpendicularmente a la dirección de propagación en
la unidad de tiempo.
El tono es la característica del sonido que permite al oído humano
distinguir sonidos “graves” y “agudos”. El tono está determinado por la
frecuencia de la onda; si la frecuencia es alta el tono es agudo y si la frecuencia
es baja el tono es grave.
El timbre es la característica del sonido, que permite distinguir dos
sonidos de igual frecuencia, pero provenientes de diferentes instrumentos.
Podemos concluir esta parte introductoria diciendo que el sonido es una
onda longitudinal, que puede ser percibida por el nervio acústico, la cual
consiste de una serie de rarefacciones y comprensiones que se transmiten por
algún medio elástico como el aire, el agua o el acero.
14 ONDAS DE DESPLAZAMIENTO, DE PRESIÓN Y DE
DENSIDAD:
Las ondas de desplazamiento, de presión y de densidad fueron
obtenidas en la sección (10), y están dadas por las ecuaciones (10-18), (10-22)
y (10-28, que a continuación se vuelven a escribir.
ONDA DE DESPLAZAMIENTO:
(14.1)
ONDA DE PRESIÓN:
(14.2)
ONDA DE DENSIDAD:
85
(14.3)
La velocidad de propagación de cualquiera de las ondas anteriores es la
misma, y está dada por:
, (14.4)
en donde es el módulo volumétrico de elasticidad y es la densidad del
elemento de volumen antes de la perturbación.
La relación entre las amplitudes de las ondas de desplazamiento y las
ondas de presión en una columna de gas, se obtiene de la ecuación (10.11)
así:
, (14.5)
Pero:
(14.6)
(14.7)
Reemplazando la ecuación (14-7) en a ecuación (14-6) se sigue que:
, (14.8)
lo cual significa que la onda de presión oscila en torno a su valor promedio con
una amplitud:
. (14.9)
Despejando de la ecuación (14.-4) y sustituyendo su valor en la
ecuación (14.9) se obtiene:
(14.10)
(14.11)
86
15 POTENCIA PROMEDIO DE UNA ONDA LONGITUDINAL
Para el caso de las ondas longitudinales que se propagan en una barra
sólida (figura 11.1), la potencia o trabajo por unidad de tiempo que el lado
izquierdo transmite al lado derecho de la sección considerada es:
(15.1)
en donde / es la velocidad con la que se desplaza una sección
transversal particular de la barra y es la fuerza con la que el lado
izquierdo tira del lado derecho.
Para el caso de una onda sinusoidal
(15-2)
(15.3)
De la ecuación (11.6)
(15.4)
(15.5)
Sustituyendo las ecuaciones (15.3) y (15.5) en la ecuación (15.1) se
sigue que:
(15.6)
(15.7)
(15.8)
La ecuación (15.8) corresponde a una onda de energía.
La potencia media es:
87
(15.9)
(15.10)
La densidad de energía promedio en la barra debida a las oscilaciones
producidas por el movimiento ondulatorio es
(15.11)
Sustituyendo la ecuación (15.11) en la ecuación (15.10) se sigue que:
(15.12)
La ecuación (15.12) corresponde a la energía por unidad de tiempo que
fluye a través de la sección transversal de la barra.
16 INTENSIDAD PROMEDIO DE UNA ONDA LONGITUDINAL:
La intensidad de una onda Longitudinal se define como el promedio
de la rata de flujo de energía a través de la unidad de área normal a la
dirección de propagación. Sus unidades fundamentales son vatios por metro
cuadrado (W / m2).
(16.1)
La intensidad es llamada algunas veces “irradiancia” y es el promedio
del flujo radiado sobre un periodo de oscilaciones ;
, (16.2)
en donde es el flujo de energía, o sea, la energía que atraviesa la
unidad de área por segundo, el cual está dada por la ecuación
(16.3)
Este es un resultado bastante general para perturbaciones periódicas de
cualquier clase producidas por el movimiento del pistón.
Para el caso de una onda sinusoidal que se propaga a lo largo del eje
88
(16.4)
(16.5)
(16.6)
Insertando las ecuaciones (16.5) y (16.6) en la ecuación (16.3) resulta:
, (16.7)
que indica que la energía viaja de izquierda a derecha a lo largo del eje .
Además señala que el flujo de energía es positivo para
cualquier instante de tiempo. Promediando la ecuación (2.16-7), sobre un
periodo de oscilación se obtiene:
, (16.8)
que pone de manifiesto que el flujo de energía es proporcional al cuadrado de
la amplitud. De acuerdo a la ecuación (16.8),
(16.9)
(16.10)
(16.11)
En donde es el promedio en el tiempo de la densidad de
energía, siendo
. La energía total dentro de un
cilindro de sección transversal y longitud es ,
que debe ser igual al promedio en el tiempo de la energía,
transportada a través del área situada en durante el tiempo en que es
llenado el cilindro de longitud y sección transversal como lo muestra
la figura (16.1), por tanto,
(16.12)
(16.13)
89
Figura (16.1) Promedio en el tiempo del flujo (vatio / m2) de la energía
radiante a través del área de un tubo cilíndrico, conteniendo ondas.
La ecuación (16.13) relaciona el flujo de energía radiante con su
densidad, siendo la velocidad de fase. Por simplicidad la ecuación (16.13)
se acostumbra a escribir:
(16.14)
La intensidad mínima, por debajo de la cual el sonido no es audible por
el oído humano es de 10-16 vatios / cm2 y la intensidad máxima o umbral de
dolor se presenta cuando el ruido excede el valor 10-3 vatios / cm2. El
desplazamiento de la membrana timpánica, para una frecuencia aproximada de
3.000 Hz es aproximadamente de 5 X 10-10 cm (0.05 A0).
17 NIVEL DE INTENSIDAD
El nivel de intensidad de un sonido (ó de cualquier movimiento
ondulatorio se indica con y se expresa en decibeles o decibelios
Tabla 17.1
Nivel de intensidad en decibelios de algunos sonidos comunes:
90
FUENTE DE SONIDO dB DESCIPCIÓN
Motor de cohete grande 180
Despegue de un avión a reacción 150
Martillo neumático 130
Ametralladora 130
Concierto de rock con amplificadores (a 2 m) 120 Umbral de dolor
Despegue de un avión a reacción (a 60 m) 120
Ruido de una construcción 110
Tren subterráneo 100
Cataratas de Niágara 90 La exposición constante hace
peligrar el oído
Oficina ruidosa con máquinas de escribir 80
Tráfico pesado 70
Conversación normal (a 1 m) 60
Oficina tranquila 50 Suave
Biblioteca 40
Murmullo suave (a 5 m) 30 Muy suave
Crujido de hojas 20
Respiración normal 10 Escasamente audible
0 Umbral de audición
(abreviado dB.),de acuerdo a la definición:
, (17.1)
en donde el nivel de referencia es 10-12 vatios / m2, que corresponde al
umbral de audición.
El nivel de intensidad para el umbral de audición es:
(17.2)
La tabla 17.1 relaciona el nivel de intensidad de algunos sonidos.
La figura (17.1) nos permite apreciar el intervalo medio de audición de
acuerdo a la frecuencia, la intensidad y la presión.
91
Figura (17.1) Intervalo medio de audición para el oído humano
El nivel de intensidad para el umbral de dolor es:
(17.3)
18 EFECTO DOPPLER:
El efecto Doppler consiste en el cambio o alteración de la frecuencia y
por ende del período y de la longitud de onda, que se percibe cuando la fuente
sonora o el receptor están en movimiento. Pueden hacerse dieciséis
combinaciones diferentes, según que la fuente emisora esté en movimiento,
que lo esté el receptor, o el medio material (aire, líquido o sólido) en el que se
propagan las ondas elásticas, aunque también puede darse el caso de reflexión
en un espejo en movimiento.
Consideremos los siguientes casos:
- Fuente en movimiento y receptor en reposo
- Fuente en reposo y receptor en movimiento
- Fuente y receptor en movimiento
92
- Pared reflectora en movimiento
- Medio en movimiento
18.1 FUENTE EN MOVIMIENTO Y RECEPTOR EN REPOSO
Consideremos una fuente casi puntual generadora de ondas. Si la fuente
está en reposo, los frentes de onda constituirán un sistema de esferas
concéntricas en cuyo centro está la fuente.
Sea la velocidad de la fuente y la velocidad del sonido. Si la
fuente está en movimiento con velocidad , los frentes de onda que
corresponden a máximos sucesivos, como se puede observar en la figura
(18.1-1).
La longitud es la distancia entre dos frentes de onda sucesivos. Por
tanto, indicado por el intervalo de tiempo entre dos posiciones sucesivas de
la fuente , indicadas en la figura (18.1-1), la longitud de onda en la dirección
del movimiento es:
(18.1)
Figura (18.1-1) Frentes de onda correspondiente a una fuente en movimiento
con una velocidad menor que la velocidad menor que la velocidad del sonido .
93
La longitud de onda en dirección opuesta al movimiento es:
, (18.1)
y en una dirección cualquiera, que forme un ángulo con la dirección de
movimiento de la fuente.
En la figura (18.1-1) se indican las velocidades de grupo y de fase.
De las ecuaciones (18.1) y (18.2) se concluye que hay una variación
sistemática de la longitud de onda con la dirección, para las ondas emitidas
desde una fuente móvil, tal variación corresponde al efecto Doppler.
La ecuación (18.1) puede escribirse mediante:
(18.3)
la ecuación (18.2) puede escribirse mediante:
(18.4)
La ecuación (3) puede escribirse mediante:
(18.5)
de donde se sigue que el período y la frecuencia pueden expresarse mediante:
Figura (18.1-2) Ondas que llegan a un punto distante procedentes
de un foco que se mueve con velocidad , de a .
94
(18.6)
(18.7)
(18.8)
La frecuencia es máxima cuando ; es igual a (caso de
reposo) si
; y es mínima sí .
La figura (18.1-2) ilustra la situación, cuando la distancia de la fuente al
punto de observación es muy grande, comparada con una longitud de onda.
y representan las posiciones de la fuente para y para
( períodos más tarde).
La distancia puede calcularse así:
(19.9)
La onda procedente de alcanza al punto en un tiempo
La onda procedente de , que partió en un tiempo ,
ha viajado solamente durante un tiempo y su frente de onda está en
, por tanto:
(18.10)
(18.11)
La distancia entre los dos frentes de onda puede considerarse igual a
o (siendo la diferencia entre ellos insignificante).
Haciendo , tenemos que:
(18.12)
Pero , debido a la pequeñez del ángulo , entonces:
95
(18.13)
Sustituyendo este valor en la ecuación (13), se obtiene:
(18.14)
(18.15)
Pero o comprende longitudes de onda , de la
perturbación, según se observa en la dirección respecto a la fuente móvil,
por tanto:
(18.16)
(18.17)
La ecuación (18.17) pone de presente que el efecto Doppler depende de
la componente de la velocidad de la fuente en la dirección del observador.
Los frentes de onda sucesivos pasan por el punto de observación con
onda, así:
Figura (18.1-3) Barrera de sonido que se presenta cuando la velocidad de la fuente se
aproxima a la velocidad del sonido.
96
una frecuencia , dada por la velocidad de la onda dividida por la longitud de
(18.18)
(18.19)
que corresponde al enunciado más apropiado del efecto Doppler en acústica.
Cuando la velocidad de la fuente se acerca a la velocidad del sonido, se
acumula energía sonora delante de la fuente, formando una barrera de sonido
que ofrece gran resistencia al movimiento, como se muestra en la figura (18.1-
3).
Cuando la velocidad de la fuente es mayor que la velocidad del
sonido, la energía sonora se concentra en un manto de forma cónica,
llamado onda de choque, cuyo vértice coincide con la misma fuente emisora
de ondas.
Las formas de onda que son aproximadamente periódicas o consisten
de un número pequeño de componentes aproximadamente periódicas
producen una sensación agradable, tal es el caso de los sonidos musicales. Un
sonido cuya forma de onda no es periódica, es oído como ruido.
En la propagación de ondas sonoras en un fluido que puede ser aire,
algún otro gas o un líquido, asumimos que el fluido está contenido en un tubo
de gran longitud extendido a lo largo del eje y forzado a oscilar hacia atrás y
hacia delante por un pistón en la dirección paralela al eje , como se observa
en la figura (13-1).
. Figura (18.1-4) Onda de choque.
97
Al chocar este manto contra un cuerpo denso, se produce una descarga
de energía elástica, en forma de explosión más o menos moderada, que es
loque sucede con los aviones supersónicos cuando pasan por encima de
nuestras cabezas.
En la figura (18.1-4) se aprecia la onda de choque.
Si la energía se disipa de acuerdo con la ley del inverso del
cuadrado de la distancia; en cambio, en el movimiento supersónico , la disipación es más lenta y se rige por el inverso de la distancia
18.2 FUENTE EN REPOSO Y RECEPTOR EN MOVIMIENTO
Si el receptor se aleja con velocidad , la velocidad aparente del
sonido para él, será la velocidad relativa , y la frecuencia que percibe
del sonido emitido por la fuente es:
Si la dirección de movimiento del receptor forma un ángulo con la
normal a las ondas, resulta:
Si , el receptor se acerca a la fuente con movimiento rectilíneo
uniforme, en vez de alejarse.
18.3 FUENTE Y RECEPTOR EN MOVIMIENTO
Para el caso de la frecuencia percibida por el receptor (u observador)
viene dada por:
,
en donde: frecuencia emitida por la fuente.
Velocidad del observador ó receptor.
Velocidad de la fuente.
98
Velocidad del sonido.
Ángulo que forma la dirección de movimiento del receptor
con la normal a las ondas.
Ángulo que forma la velocidad del sonido con la dirección de
movimiento de la fuente.
18.4 PARED REFLECTORA EN MOVIMIENTO:
Consideremos un medio reflector de sonido, que denominaremos
espejo, el cual se mueve con velocidad formando un ángulo con la
velocidad del sonido. El sonido parte de la fuente emisora, llega al espejo,
se refleja y avanza hacia el receptor. Se descarta la posibilidad de que el
sonido llegue directamente desde la fuente al receptor. El recorrido que hace el
sonido de la fuente emisora hasta el espejo en movimiento, es equivalente al
caso en el que la fuente está quieta y el receptor (el espejo) en movimiento. La
frecuencia que recibe el espejo es:
El sonido reflejado por el espejo que llega al receptor es equivalente al
de una fuente emisora en movimiento (el espejo) y el receptor quieto, con lo
cual resulta que la frecuencia percibida por el receptor es:
Como puede verse, el resultado es el mismo al obtenido cuando la
fuente y el receptor se muevan simultáneamente con velocidad de igual
magnitud, pero de sentido contrario formando un ángulo con la dirección en
que se propaga el sonido.
18.5 MEDIO EN MOVIMIENTO:
Si el medio está en movimiento, la velocidad del medio se suma
vectorialmente a la velocidad de la onda. Para el caso en el cual la velocidad
del medio es constante y en la misma dirección de propagación del sonido, la
expresión general para el caso unidimensional es:
99
en donde es la velocidad del medio, la velocidad del receptor (u
observador), la velocidad del sonido, la frecuencia emitida por la fuente y
la frecuencia percibida por el receptor.
Cuando no se considera la velocidad del medio, la expresión grafica
para el efecto Doppler unidimensional (caso en el cual la fuente y el receptor se
mueven a lo largo de la misma línea) es:
,
en donde: frecuencia percibida por el receptor (u observador).
Frecuencia emitida por la fuente.
Velocidad del sonido.
Velocidad del receptor (observador).
Velocidad de la fuente.
19 EFECTO MACH
Como se expuso en la sección (18.1), este efecto tiene lugar cuando la
Figura (19.1) Avión supersónico en vuelo, mostrando las ondas de choque, de proa y cola; el
ángulo del cono de Mach y una representación de la presión a nivel del suelo.
100
velocidad de la fuente es mayor que la velocidad del sonido .
La onda de choque se origina por la fuente o foco que se mueve más
rápido que la velocidad de propagación de las ondas; corresponde al “boom” o
estampido sónico generado por un avión cuya velocidad excede a la del
sonido. Un avión que se mueve con velocidad supersónica, genera dos ondas
de choque, asociadas con sus partes delantera y trasera, debido a la formación
de dos frentes de onda principales.
Las ondas de choque, de proa y cola, tienen casi la forma de conos
(conos Mach) con sus vértices en la proa y en la cola del avión. Los conos
tienen un semiángulo , dado por:
,
siendo la velocidad del sonido y la velocidad del avión. El cociente
se denomina número de Mach, y el ángulo es el ángulo de Mach (existe
solamente si el número de Mach es mayor que 1).
Las ondas de proa y de cola están asociadas con presiones más altas y
más bajas que la presión atmosférica normal. Cuando la onda de proa pasa por
encima de una persona con audición correcta, la presión aumenta en una
sobrepresión en un tiempo de subida . Seguidamente disminuye hasta
aproximadamente por debajo de la presión atmosférica normal en la onda
de cola, antes de volver rápidamente al valor normal, como se puede observar
en la figura (19-1).
La representación de la presión en función del tiempo tiene la forma de
una N aplastada y se denomina característica N, como puede apreciarse en la
figura (19.2).
101
Figura (19.2) Representación de la característica N, ó dependencia de la presión en función
del tiempo, en un punto determinado que sufre un estampido sónico. es el tiempo en el que
se produce la variación e presión.
Las variaciones de presión que experimenta el oído son debidas a las
ondas de choque de proa y de cola, que producen al alcanzar al observador, un
doble estampido.
Las ondas de choque también se observan en la estela que dejan los
botes que se mueven con mayor velocidad que la de las ondas superficiales
sobre el agua.
Refiriéndonos otra vez a la figura (2.18.1-2), consideremos que una onda
parte de cuando y que otra parte de cuando .
Los tiempos de llegada de estas ondas a están dados por:
Pero:
, por tanto:
102
Figura (19.3) En la dirección
, los pulsos procedentes del foco móvil
se acumulan simultáneamente en el punto .
Si , es siempre mayor que , es decir, las ondas llegan
a en el mismo orden en que fueron emitidas.
Si , la secuencia de tiempo depende de . En particular,
existe un valor de para el que todos los frentes de onda lleguen en el
mismo instante. Llamando a este ángulo , tenemos:
Este valor de es el complemento del ángulo de Mach y define la
dirección perpendicular al frente de onda recto, a lo largo de la cual viaja la
región de concentración de los elementos de ondas circulares, como puede
observarse la figura (19.3).
Las superficies cónicas que se producen cuando un avión se mueve
horizontalmente a velocidad constante, se muestra en la figura (19.4). Su
intersección con el suelo tiene forma hiperbólica.
103
Figura (19.4) Producción del estampido sónico.
20 PULSACIONES (O BATIDOS):
La superposición de dos ondas de frecuencias ligeramente diferentes se
denomina PULSACIÓN o batido. En este caso, el oído escucha un sonido
cuya intensidad varía armónicamente en el tiempo, alternando entre alto y bajo.
La frecuencia de la pulsación es igual a la diferencia entre las
frecuencias de las dos ondas sonoras que se combinan.
Si están vibrando dos diapasones simultáneamente a 255 y 257
vibraciones por segundo, la frecuencia de la pulsación es:
Vibraciones / segundo
Vibraciones / s
Las pulsaciones o batidos se suelen utilizar para comparar una
frecuencia desconocida con otra conocida, como sucede al afinar un piano con
un diapasón.
104
Consideremos dos ondas armónicas de amplitudes iguales, diferentes
frecuencias, fases iniciales iguales a cero y con igual dirección de propagación,
descritas por las ecuaciones:
La perturbación resultante de la combinación (o superposición) de estas
dos ondas son:
Usando la identidad trigonométrica
Se sigue que:
Definiendo la frecuencia angular promedio , el número de
propagación promedio (o número de onda promedio) , la frecuencia angular
de modulación y el número de propagación de la modulación ,
mediante:
;
;
Obtenemos que:
105
Figura (20.1) Superposición de dos ondas con frecuencia ligeramente deferentes
Esta perturbación resultante puede considerarse como una onda viajera
de frecuencia que tiene una amplitud modulada ó variable en el tiempo,
dado por:
Por tanto,
Si , entonces y cambiaría
lentamente mientras que varía muy rápidamente como puede
apreciarse en la figura (20.1).
La intensidad es proporcional a:
106
Téngase en cuenta que oscila alrededor de
con
frecuencia ó simplemente , conocida como frecuencia
angular de palpitación. La frecuencia angular de modulación, que corresponde
a la envolvente de la curva, es la mitad de la frecuencia angular de palpitación.
21 VELOCIDAD DE FASE Y VELOCIDAD DE GRUPO
La perturbación u onda resultante obtenida en la sección anterior es:
,
en donde la fase está dada por:
,
por tanto, la velocidad de fase está dada por:
La rapidez con la cual la envolvente de modulación avanza se denomina
velocidad de grupo y se simboliza por . La expresión para la envolvente
de modulación es:
, por consiguiente la
modulación avanza con una rapidez que depende de la fase dada por:
En la expresión anterior puede depender de , ó equivalente,
depender de . La expresión funcional se denomina relación de
dispersión.
107
Cuando el rango de frecuencia , centrado alrededor de , es
pequeño, es aproximadamente igual a la derivada da la relación de
dispersión, esto es:
La velocidad de grupo puede ser mayor, igual o menor que la
velocidad de fase , de la portadora.
Teniendo en cuenta que , se sigue que:
Figura (21.1) Velocidad de fase y velocidad de grupo.
Para medios no dispersos , es decir es independiente de ,
por consiguiente .
En la figura (21.1) se indica las velocidades de grupo y de fase. La onda
de amplitud, representada por la línea punteada de la figura (21.1), se propaga
con la velocidad de grupo .
Las ondas en agua profunda de gran longitud de onda, se denominan
“ondas de gravedad” y son altamente dispersivas.
La frecuencia angular de las ondas de agua cuya longitud de onda
sea mayor de dos centímetros aproximadamente, pero mucho menor que la
profundidad del agua, está relacionada con el número de onda por:
Por tanto la velocidad de fase es:
108
,
y la velocidad de grupo viene dada:
Entonces concluimos que la velocidad de grupo es la mitad de la
velocidad de fase.
22 PROBLEMAS:
1. (7.2 Fr) La ecuación de una onda transversal que se mueve a lo largo
de una cuerda viene dada por:
,
en donde y están en centímetros y en segundos.
a) Hallar la amplitud, la longitud de onda, el número de ondas, la
frecuencia, el periodo y la velocidad de onda.
b) Hallar la velocidad transversal máxima de cualquier partícula en la
cuerda.
SOLUCIÓN:
a) Comparando la ecuación:
, con la solución de la ecuación
diferencial de una onda viajera, dada por:
se obtiene la amplitud así:
cm.
Análogamente, la longitud de onda viene dada por:
cm cm.
El número de onda definido mediante:
109
cm-1
Si la ecuación dada se compara con la ecuación:
Se obtiene el siguiente valor para el periodo:
s s.
Comparando la ecuación dada, con la ecuación general de onda, dada
por:
Se obtiene para la velocidad de fase la siguiente expresión:
cm / s.
La velocidad transversal se obtiene derivando respecto a , la
expresión dada para , así:
efectuando la derivada se sigue que:
El máximo valor de la velocidad transversal, se obtiene cuando:
Por tanto, la velocidad transversal máxima está dada por:
cm / s.
2. (7.3 Fr) cuál es la ecuación para una onda longitudinal que se mueve
en el sentido de las negativas con amplitud 0.003 m, frecuencia 5 s-1 y una
velocidad de 3.000 m / s.
SOLUCIÓN:
110
La ecuación general de una onda que se desplaza en el sentido de las negativas es:
Reemplazando los valores dados:
–
Usando la velocidad de fase:
Se sigue que:
Reemplazando el valor de en la ecuación general se obtiene:
3. (7.5 Fr) Se tensa una cuerda uniforme larga de densidad de masa 0,1
Kg / m con una fuerza de 50 N. Un extremo de la cuerda se hace
oscilar transversalmente (sinusoidalmente) con una amplitud de 0,02 m y un
periodo de 0,1 s, de modo que se generan unas ondas que se mueven en el
sentido de las positivas.
a) ¿Cuál es la velocidad de las ondas?
b) ¿Cuál es la longitud de onda?
c) Si en el extremo impulsor el desplazamiento para
es 0,01 m con negativa, ¿Cuál es la ecuación de las ondas
que se mueven?
SOLUCIÓN:
a) La velocidad de fase de las ondas transversales que se propagan en
una cuerda está dada por:
111
Siendo:
Tensión de la cuerda
Densidad lineal de la masa
Reemplazando numéricamente:
Haciendo operaciones:
Aproximando:
b) La longitud de onda se obtiene mediante la expresión:
Reemplazando numéricamente:
c) La ecuación general de una onda viajera que se mueve en el sentido
de las positivas es:
Usando la condición dada en la parte c), se tiene:
Reemplazando el valor de se obtiene el valor de , así:
Despejando :
112
Sustituyendo los valores dados y los valores obtenidos en la ecuación
general de la onda que se mueve en sentido de las positivas, se obtiene:
pero:
Entonces reemplazando este valor en la ecuación anterior se sigue que:
Haciendo operaciones:
4. (7.7 Fr) Una cuerda muy larga de la misma tensión y masa por unidad
de longitud que la del problema 7. (7.6 Fr) tiene una onda móvil sobre ella con
la ecuación siguiente:
en donde y están en metros, en segundos y es la velocidad de
onda (que puede calcularse). Hallar el desplazamiento transversal y la
velocidad de la cuerda en el punto m en el instante s.
SOLUCIÓN:
En el problema 7. (7.6 Fr), la velocidad está dada por:
Reemplazando numéricamente:
por tanto:
Evaluando la ecuación de onda en m y s. Se obtiene:
113
Por tanto:
Derivando la ecuación de onda:
Evaluando la velocidad transversal en y , se
obtiene:
Por tanto:
5. (18.19 F) Una cuerda de 2 metros de longitud y de 4 gramos de masa,
se mantiene horizontalmente con un extremo fijo y el otro soportando una masa
de 2 kg. Hallar la velocidad de las ondas transversales en la cuerda.
SOLUCIÓN:
La velocidad de propagación de una onda en una cuerda está dada por:
siendo:
Tensión en la cuerda
Densidad lineal de la masa
La tensión corresponde al peso de la masa de 2 kg, por tanto:
Luego:
La densidad lineal de masa se obtiene dividiendo la masa de la cuerda
sobre su longitud, por tanto:
114
Luego:
Reemplazando los valores obtenidos, se sigue que:
Aproximando:
6. (18.17 F) Cómo varía la velocidad de propagación de una onda
transversal a lo largo de una cuerda si la tensión:
a) Se duplica
b) Se reduce a la mitad
c) En cuanto debe aumentarse la tensión en la cuerda para duplicar su
velocidad de propagación.
d) En cuanto debe reducirse la tensión en la cuerda para reducir a la
mitad su velocidad de propagación.
SOLUCIÓN:
a) La velocidad de propagación de una onda en una cuerda está dada
por:
siendo:
Tensión en la cuerda
Densidad lineal de la masa
Al duplicar la tensión, la nueva velocidad de propagación es:
115
La anterior expresión puede escribirse en la forma:
Lo cual significa que la velocidad aumenta en el factor:
b) Al reducir la tensión a la mitad, la nueva velocidad de propagación es:
lo cual significa que la velocidad se redujo en el factor:
c) Si se duplica la velocidad de propagación, la nueva velocidad es:
lo cual significa que la tensión debe aumentarse en el factor: 4.
d) Si la velocidad se reduce a la mitad, la nueva velocidad es:
Por tanto:
lo cual significa que la tensión se ha reducido en el factor:
7. (7.6 Fr) Se observa que un pulso necesita 0,1 segundo para recorrer
de un extremo a otro una cuerda larga. La tensión de la cuerda se obtiene
haciendo pasar sobre una polea y colgando un peso que tiene 100 veces la
masa de la misma.
SOLUCIÓN:
116
a) La velocidad se determina mediante la expresión:
(1)
La velocidad de fase de una onda transversal en una cuerda, también
puede determinarse mediante:
(2)
Igualando las ecuaciones (1) y (2) se obtiene:
despejando se sigue que:
reemplazando numéricamente:
b) La ecuación general de una onda estacionaria está dada por:
Siendo:
Para el tercer modo de oscilación:
por tanto:
117
Téngase en cuenta que el periodo es del tiempo total que gasta
el pulso en recorrer la cuerda, luego la ecuación para el tercer modo normal es:
8. (22.9 T) La función de una onda correspondiente a una onda
estacionaria a una cuerda fija en ambos extremos es
, estando y en centímetros
y en segundos.
a) Hallar la velocidad y la amplitud de las ondas móviles cuya
combinación da como resultado la onda estacionaria.
b) ¿Cuál es la distancia entre nudos sucesivos en la cuerda?
c) ¿Cuál es la longitud más corta posible de la cuerda?
SOLUCIÓN:
a) La velocidad de las ondas móviles está dada por:
Comparando la ecuación dada con la ecuación general de una onda
estacionaria, se obtiene que:
Expresando en metros se obtiene:
Reemplazando los valores de y en la ecuación (1) se sigue que:
por consiguiente con la ecuación general de una onda estacionaria se deduce
que:
por tanto, el valor de la amplitud es:
118
b) La longitud de onda está dada por:
Reemplazando numéricamente:
Efectuando operaciones:
La longitud más corta posible de la cuerda esta dad por:
Reemplazando el valor de se obtiene:
9. (20.25 H) Se tiene dos cuerdas unidas, una de aluminio de 0,6 m y
otra de acero de 0,866 m. Si al extremo se le ata una masa de 10 kg, como se
ilustra en la figura anexa, determinar el número de nodos que se forman en el
conjunto de las dos cuerdas. Si sobre ellas se propaga una onda.
NOTA: La densidad del aluminio es 2,60 kg / m, y la del acero 7,8 kg / m.
119
SOLUCIÓN:
La fórmula que permite encontrar la frecuencia de los armónicos de una
cuerda es:
Siendo:
Frecuencia
Longitud de la cuerda
Tensión de la cuerda
Densidad lineal de la masa
Por tanto, para la cuerda de aluminio se tendrá:
Para la cuerda de acero se tendrá:
Teniendo en cuenta que:
120
Se obtiene:
Simplificando se sigue que:
La densidad lineal se puede expresar en función de la densidad
volumétrica mediante:
Siendo:
Área de la sección transversal
Por tanto, la relación entre y se puede escribir así:
Simplificando se obtiene:
Reemplazando numéricamente:
Efectuando operaciones:
Los mínimos números enteros que reproducen la fracción 0,4 son:
121
lo cual significa que:
y
Por consiguiente el número de nodos que se forman en las dos cuerdas
sin incluir el del extremo de la izquierda es:
Por tanto, el número total de nodos sin incluir los nodos de los extremos
es:
10. (18.63 F) Demostrar que para grandes amplitudes la ecuación de las
ondas transversales en una cuerda se convierte en:
Sugerencia: Notar que
SOLUCIÓN:
La componente en de la fuerza se escribe mediante:
(1)
Siendo:
Tensión de la cuerda
Usando la expresión dada en la sugerencia se tiene:
sustituyendo los valores anteriores en la ecuación (1) se sigue que:
122
Factorizando adecuadamente:
Usando la segunda ley de Newton se obtiene:
Utilizando la relación:
Se obtiene:
Escribiendo la masa en función de la densidad lineal de masa, se
obtiene:
Simplificando por se sigue que:
Factorizando la ecuación anterior se puede escribir en la forma:
11. (7.17 Fr) Se superponen en un medio las dos ondas siguientes:
En donde está en metros y en segundos-
123
a) Escribir una ecuación para la perturbación combinada.
b) ¿Cuál es la velocidad de grupo?
c) ¿Cuál es la distancia entre los puntos de amplitud nula en la
perturbación combinada?
SOLUCIÓN:
a) Usando el principio de superposición, se obtiene la onda resultante
así:
Empleando la identidad trigonométrica:
se obtiene:
Sumando términos semejantes:
Intercambiando términos:
(1)
b) La velocidad de grupo se obtiene mediante:
Los valores de y se obtiene de la ecuación (1), por tanto:
c) La distancia entre dos puntos de amplitud nula de la perturbación
combinada corresponde a:
124
Por tanto:
12. (23.1.1 T) Dos ondas armónicas se mueven simultáneamente a lo
largo de un alambre largo. Sus funciones de onda son:
y
en donde y están en metros y en segundos.
a) ¿Cuál es el desplazamiento mayor que se produce en el alambre?
b) Escribir la función de onda de la onda resultante en la forma dada por
la ecuación:
Siendo:
c) ¿Cuál es la velocidad de fase?
d) ¿Cuál es la velocidad de grupo?
e) ¿Cuál es la separación en el espacio de dos crestas sucesivas en el
grupo?
f) ¿Estás ondas poseen dispersión o carecen de ella?
SOLUCIÓN:
a) Usando el principio de superposición se obtiene:
Escribiendo explícitamente las funciones y se obtiene:
125
Factorizando 0,002 y usando la identidad trigonométrica:
se obtiene:
Por tanto:
La amplitud modulada está dada por la expresión:
El máximo valor de la amplitud modulada se obtiene cuando:
Por tanto:
b) La función de onda resultante puede escribirse en la forma pedida así:
c) La velocidad de fase se obtiene a partir de la expresión:
Reemplazando numéricamente:
d) La velocidad de grupo, se obtiene a partir de:
126
Reemplazando numéricamente:
e) La separación entre dos crestas sucesivas se obtiene a partir de la
siguiente expresión:
Reemplazando numéricamente:
f) El medio es no dispersivo porque:
13. (7.4 Fr) Una onda de frecuencia 20 s-1 tiene una velocidad de 80 m/s.
a) ¿A qué distancia están dos puntos cuyos desplazamientos estén
separados 30o en fase?
b) En un punto dado ¿Cuál es la diferencia de fase entre dos
desplazamientos que se producen en tiempos separados por 0,01 s?
SOLUCIÓN:
a) La longitud de onda se tiene a partir de la expresión:
Reemplazando numéricamente:
El número de propagación se define mediante:
Despejando , se sigue que:
127
La distancia de separación entre los puntos que están desfasados 30o
se obtiene mediante la siguiente regla de tres:
por tanto:
b) De la definición de velocidad angular:
por tanto:
La diferencia de fase entre dos desplazamientos producidos en tiempos
separados por 0,01 s se obtiene mediante la siguiente regla de tres:
Despejando :
Expresando los radianes en grados sexagesimales:
14. (7.18 Fr) El movimiento de la onda longitudinal de onda corta (1 cm)
en el agua está controlado por la tensión superficial. La velocidad de fase de
estas ondas viene dada por:
128
en donde es la tensión superficial y la densidad del agua.
a) Demostrar que la velocidad de grupo para una perturbación formada
por longitudes de onda próximas a una longitud dada es igual a:
b) ¿Qué implica esto acerca de un movimiento observado de un grupo
de ondas que se mueven en la superficie del agua?
c) Si el grupo se compone solamente de dos ondas, de longitud de onda
0,99 y 1,01 cm, ¿Cuál es la distancia entre las crestas del grupo?
SOLUCIÓN:
a) Por definición de velocidad de grupo se sabe que:
Reemplazando la velocidad angular por la expresión:
se obtiene:
por tanto:
Usando la expresión dada para :
Usando la definición:
129
se sigue que:
Efectuando la derivada:
La expresión anterior se puede escribir en la forma:
Usando nuevamente la velocidad de fase dada:
b) El grupo de ondas se mueve con mayor velocidad que la velocidad
con que se mueve cualquiera de las ondas componentes.
c) La distancia entre dos crestas consecutivas del grupo de ondas se
obtiene a partir de:
Usando la expresión de :
entonces:
;
Luego, reemplazando estos valores en la expresión para
se obtiene:
simplificando:
130
La ecuación anterior se puede escribir así:
Reemplazando numéricamente:
aproximando:
15. (24.1 T) Un coche se mueve con una velocidad de 12 m/s hacia una
pared estacionaria. Su bocina emite ondas sonoras de 200 Hz que se mueve a
330 m/s.
a) Hallar la longitud de onda del sonido delante del coche y la frecuencia
con la que las ondas inciden en la pared.
b) Como las ondas se reflejan en la pared, esta actúa como una fuente
de ondas sonoras a la frecuencia hallada en la parte (a). ¿Qué frecuencia oirá
la persona que conduce el coche de las ondas reflejadas en la pared?
c) ¿Cuál es la frecuencia de batido oída por la persona en el coche entre
el sonido directo y el reflejado?
SOLUCIÓN:
a) Delante de la fuente los frentes de onda ocupan la distancia:
por tanto, la longitud de onda delante de la fuente es:
El número de frentes de onda , se expresa en función de la
frecuencia de la fuente y del intervalo de tiempo , mediante:
131
por tanto:
Factorizando :
Reemplazando numéricamente:
La frecuencia con la que las ondas inciden en la pared se obtiene a partir
de la expresión general para el Efecto Doppler:
siendo:
Frecuencia percibida por el receptor (observador).
Frecuencia emitida por la fuente
Velocidad del sonido
Velocidad del receptor (observador)
Velocidad de la fuente
Para el caso en el cual el receptor esta en reposo, , entonces:
Reemplazando numéricamente:
132
b) Teniendo en cuenta que la pared se ha convertido en una fuente
emisora de onda, la frecuencia percibida por una persona que viaja en el coche
está dada por:
Reemplazando numéricamente:
por tanto:
c) La frecuencia de batido esta dada por la diferencia de frecuencia
entre los dos focos sonoros así:
Para el presente caso:
Reemplazando numéricamente:
16. (18.31 F) El sonido más claro que puede oírse tiene una amplitud de
presión cerca de 2 x 10-5 N m-2, y el más alto que puede oírse sin dolor tiene
una amplitud de presión de 28 N m-2. Determinar, en cada caso, la intensidad
del sonido en W m-2 y en dB, y la amplitud de las oscilaciones si la frecuencia
es 500 Hz. Suponer que la densidad del aire es 1,29 Kg m-3 y que la velocidad
del sonido es 345 m s-1.
SOLUCIÓN:
La intensidad de una onda de presión en función de la amplitud de
presión está dada por:
por tanto, para el sonido más claro se obtiene:
133
Reemplazando numéricamente:
efectuando operaciones:
Para el sonido más alto, la intensidad del sonido está dada por:
Reemplazando numéricamente:
efectuando operaciones:
De la definición de nivel de intensidad:
se obtiene que para el sonido más claro, el nivel de intensidad esta dado por:
reemplazando numéricamente:
efectuando operaciones:
El nivel de intensidad de sonido más alto esta dado por:
reemplazando numéricamente:
134
efectuando operaciones:
La relación entre la amplitud de presión y la amplitud de desplazamiento
está dada por:
despejando la amplitud de desplazamiento:
La amplitud de desplazamiento del sonido más claro es:
reemplazando numéricamente:
Efectuando operaciones:
La amplitud de desplazamiento del sonido más alto es:
reemplazando numéricamente:
efectuando operaciones:
17. (24.2.7 T) Una fuente emite un sonido de 200 Hz que se mueve por
el aire en reposo con una velocidad de 340 m/s. El observador se mueve hacia
la fuente con una velocidad de 80 m/s y existe un viento con una velocidad de
80 m/s que sopla del observador hasta la fuente.
135
a) ¿Cuál es la velocidad del sonido desde la fuente al observador?
b) Hallar la longitud de onda del sonido entre la fuente y el observador
c) Hallar la frecuencia oída por el observador
SOLUCIÓN:
a) La velocidad de las ondas sonoras respecto al receptor está dada por:
reemplazando numéricamente:
b) La longitud de onda del sonido cuando el receptor se mueve hacia la
fuente sonora, está dada por:
Reemplazando numéricamente:
Efectuando operaciones:
c) La frecuencia percibida por un receptor en movimiento, cuando la
fuente se encuentra en reposo, está dada por:
reemplazando numéricamente:
efectuando operaciones:
18. (24.3 T) Un automóvil tiene una producción de ruido acústico de 0,10
vatios. Si el ruido se radia isotrópicamente, es decir en todas direcciones,
136
a) ¿Cuál es la intensidad sonora a una distancia de 30 m?
b) ¿Cuál es el nivel de intensidad sonora en decibelios a esta distancia?
c) ¿a qué distancia vale el nivel de intensidad sonora de 40 dB?
SOLUCIÓN:
a) La intensidad sonora se define mediante la expresión:
Siendo:
Intensidad
Potencia
Área
Como el sonido se radia isotrópicamente se escoge el área de la esfera:
Por tanto:
Reemplazando numéricamente:
realizando operaciones:
b) El nivel de intensidad se define mediante la expresión:
siendo:
Nivel de intensidad
Intensidad
137
10-12 vatios/m2 = Mínima intensidad que puede percibir el oído
humano.
Reemplazando numéricamente:
por tanto:
c) Despejando de la expresión:
se obtiene:
reemplazando numéricamente:
por tanto:
Despejando de la formula:
se obtiene:
Reemplazando numéricamente:
por tanto:
138
19. (18.35 F) Dos ondas sonoras, una en el aire y la otra en el agua,
tienen la misma intensidad.
a) ¿Cuál es el cociente entre las amplitudes de la onda en el agua y de
la onda en el aire?
b) ¿Cuál sería la razón de sus intensidades si las amplitudes de las
ondas de presión fueran las mismas?
SOLUCIÓN:
a) La intensidad de una onda de presión se expresa en términos de la
amplitud de presión mediante:
Despejando la amplitud de presión se obtiene:
Para la onda que se propaga en el agua, la amplitud de presión está
dada por:
(1)
Para la onda que se propaga en el aire, la amplitud de presión está dada
por:
(2)
Dividiendo la ecuación (1) entre la ecuación (2), se obtiene:
reemplazando numéricamente:
efectuando operaciones:
b) La intensidad de la onda que se propaga en el agua está dada por:
139
(3)
La intensidad de la onda que se propaga en el aire está dada por:
(4)
Dividiendo la ecuación (3) por la ecuación (4) se obtiene:
reemplazando numéricamente:
efectuando operaciones:
20. (2.4 B) Una onda viajera está dada por la expresión:
a) ¿Cuál es la frecuencia de la onda?
b) ¿Cuál es la dirección de propagación?
c) ¿Cuál es la longitud de onda?
d) ¿Cuál es la velocidad de fase de la onda?
SOLUCIÓN:
La onda dada puede compararse con la ecuación:
en donde:
y
140
a) De la comparación resulta inmediatamente que:
b) El vector de propagación debe ser evidentemente:
,
el cual es un vector en la dirección de propagación.
El vector unitario en la dirección de es:
c) Puesto que:
y
encontraremos que:
d) La velocidad de fase de la onda, se obtiene así:
21. (2.2-1 B) El nivel de intensidad del ruido de un Boing 707 a pocas
decenas de metros es aproximadamente 120 dB arriba del nivel de referencia
. Determine la raíz cuadrática media de la
variación de presión con el ruido del Boing 707, asuma una frecuencia angular
. Determine también la raíz cuadrada media del
desplazamiento.
SOLUCIÓN:
La intensidad correspondiente al nivel de intensidad de 120 dB se
obtiene así:
141
La intensidad está relacionada con la amplitud del desplazamiento del
aire por:
Pero como realmente el ruido no está confinado a una frecuencia,
usaremos el valor promedio de ,
Pero:
y
Además según el dato del problema:
por lo tanto se consigue que:
142
La variación de presión puede relacionarse con el desplazamiento
mediante:
,
asumiendo que:
teniendo en cuenta que:
se sigue que:
143
ÍNDICE ALFABÉTICO
Amplitudes diferentes .............................................................................................................. 32 Amplitudes y fases diferentes ................................................................................................. 34 Característica N, ..................................................................................................................... 102 Características del sonido ....................................................................................................... 84 Coeficientes de reflexión y transmisión ................................................................................ 48 Ecuación diferencial del movimiento ondulatorio: ............................................................... 15 Efecto doppler ........................................................................................................................... 92 Efecto mach............................................................................................................................. 101 Energía promedio de las ondas en una cuerda ................................................................... 24 Energía promedio total por longitud de onda ....................................................................... 28 Expresión analítica de una onda viajera ............................................................................... 11 Fases diferentes ....................................................................................................................... 32 Frecuencia de la pulsación ................................................................................................... 105 Frecuencias diferentes: ........................................................................................................... 35 Frecuencias y velocidades diferentes ................................................................................... 37 Fuente en movimiento y receptor en reposo ........................................................................ 93 Fuente en reposo y receptor en movimiento ........................................................................ 98 Fuente y receptor en movimiento .......................................................................................... 99 Intensidad promedio de una onda longitudinal .................................................................... 88 Introducción ............................................................................................................................... 10 Ley de hooke ............................................................................................................................. 72 Medio en movimiento ............................................................................................................. 100 Módulo de compresibilidad adiabática .................................................................................. 78 Movimiento ondulatorio ........................................................................................................... 10 Movimientos ondulatorios mutuamente perpendiculares ................................................... 41 Movimientos ondulatorios opuestos ...................................................................................... 38 Nvel de intensidad .................................................................................................................... 90 Nivel de intensidad en decibelios de algunos sonidos ....................................................... 91 Onda de choque ....................................................................................................................... 97 Onda de energía ....................................................................................................................... 87 Onda esférica ............................................................................................................................ 18 Onda infrasónica ....................................................................................................................... 76 Onda plana ................................................................................................................................ 16 Onda ultrasónica ....................................................................................................................... 76 Ondas cilíndricas. ..................................................................................................................... 21 Ondas de desplazamiento, de presión y de densidad ........................................................ 85 Ondas de gravedad ................................................................................................................ 109 Ondas de proa y de cola ....................................................................................................... 101 Ondas estacionarias ................................................................................................................ 52 Ondas estacionarias en un tubos cerrados .......................................................................... 62 Ondas estacionarias en una cuerda fija ................................................................................ 52 Ondas estacionarias en una cuerda fija en un extremo ..................................................... 57 Ondas longitudinales en barras sólidas: ............................................................................... 70
144 Ondas longitudinales en resortes .......................................................................................... 74 Ondas longitudinales en una columna de gas ..................................................................... 65 Ondas sonoras .......................................................................................................................... 76 Ondas transversales en una cuerda...................................................................................... 22 Pared reflectora en movimiento ............................................................................................. 99 Plano de vibración .................................................................................................................... 44 Potencia promedio de las ondas en una cuerda ................................................................. 28 Potencia promedio de una onda longitudinal ....................................................................... 87 Problemas ................................................................................................................................ 110 Pulsaciones ............................................................................................................................. 105 Rango audible ........................................................................................................................... 76 Superposición de dos movimientos ondulatorios ................................................................ 38 Superposición de dos movimientos ondulatorios paralelos y de igual sentido ............... 31 Superposición de movimientos ondulatorios transversales .............................................. 31 Trabajo por ciclo ....................................................................................................................... 29 Velocidad de fase y velocidad de grupo ............................................................................. 107 Velocidad de grupo ................................................................................................................ 108 Velocidad del sonido en diversos materiales ....................................................................... 82
