2011

Monografía del Curso

METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

PROFESORA JACQUELINE DE

CHING

PROYECTO N.3

MONOGRAFIA

GRUPO 1-IL-122

6 DE DICIEMBRE DE 2011

1

Índice de Contenido

METODO DE EULER

INTRODUCCIÓN ................................................................................................................... 4

LEONHARD EULER ................................................................................................................ 5

EL MÉTODO DE EULER ........................................................................................................ 6

PROCEDIMIENTO ................................................................................................................... 8

USO EL MÉTODO DE EULER ........................................................................................... 10

VENTAJAS Y DESVENTAJAS DEL MÉTODO DE EULER ....................................... 12

EL FALLO EN EL MÉTODO DE EULER ......................................................................... 14

EJEMPLOS DEL MÉTODO DE EULER ........................................................................... 15

CONCLUSIÓN ......................................................................................................................... 18

METODO DE EULER MEJORADO

MÉTODO DE EULER MEJORADO: CORRECTOR-PREDICTOR ............................ 20

PASOS DEL METODO DE EULER MODIFICADO ....................................................... 21

PREDICTOR Y CORRECTOR ............................................................................................ 23

PROBLEMAS PRÁCTICOS ................................................................................................ 24

CONCLUSIÓN ......................................................................................................................... 28

METODO DE RUNGE-KUTTA

MÉTODO DE RUNGE-KUTTA ............................................................................................ 31

PROCEDIMIENOS PROGRAMADOS DE EULERMOD Y EULERMODGRAF .... 33

PROCEDIMIENOS PROGRAMADOS DE MEJOREULER Y MEJOREULERGRAF ............................................................................................................ 34

UTILIZACIÓN DE LOS MÉTODOS MODIFICADO DE EULER Y MEJORADO DE

EULER....................................................................................................................................... 35

PROCEDIMIENOS PROGRAMADOS DE RUNGE3 Y RUNGE3GRAF ................... 37

PROCEDIMIENOS PROGRAMADOS DE RUNGE4 Y RUNGE4GRAF ................... 39

EJEMPLOS DE RUNGE-KUTTA ....................................................................................... 41

CONCLUSIONES ................................................................................................................... 44

CONCLUSIÓN FINAL ....................................................................................................... 45

BIBLIOGRAFIA .................................................................. ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED.

2

Introducción de la Monografía

En el curso de Métodos Numéricos para Ingenieros hemos aprendido diversos

métodos para resolver sistemas de ecuaciones, integrales, graficas, en fin

diversos problemas matemáticos para así aplicarlos al mundo de la programación.

Con el fin de adentrarnos más y más en la materia de Métodos Numéricos

debemos definir el concepto principal de este proyecto, las ecuaciones

diferenciales.

Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una

o más funciones desconocidas. Dependiendo del número de variables

independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se

dividen en:

Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas

respecto a una sola variable independiente.

Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas

respecto a dos o más variables.

A continuación estudiaremos tres métodos que nos ayudaran a resolver este tipo

de ecuaciones con más facilidad para sí poder aplicarlas a nuestra vida diaria

como programadores, las cuales son:

El método de Euler

El método de Euler Mejorado

El método de Runge-Kutta

3

Tema desarrollado por

AGRAZAL, CELSO

ARAUZ, ANGEL

BERNAL, JOY

BONILLA, NASHLA

MARCIAGA, FERNANDO

MIRANDA, ESTEPHANIE

MITCHELL, NICOLE

RODRIGUEZ, RODRIGO

ROSALES, FERNANDO

VIVAR, LUIS

Método de Euler

4

Introducción

En el curso de Métodos Numéricos para Ingenieros hemos aprendido diversos

métodos para resolver sistemas de ecuaciones, integrales, graficas, en fin

diversos problemas matemáticos para así aplicarlos al mundo de la programación.

Pero entre tantos métodos no nos podíamos olvidar de las ecuaciones

diferenciales. En este trabajo conoceremos el método de Euler para resolución de

este tipo de ecuaciones, en donde presentaremos la vida de su desarrollador,

ejemplos explicativos, los procedimientos a realizar en este método, entre otros

puntos importantes.

5

Leonhard Euler

Leonhard Euler (cuyo nombre completo era Leonhard Paul Euler) fue un respetado

matemático y físico. Nació el 15 de abril de 1707 en Basilea (Suiza) y murió el 18

de septiembre de 1783 en San Petersburgo (Rusia). Se lo considera el principal

matemático del siglo XVIII y como uno de los más grandes de todos los tiempos.

Algunos de los mayores éxitos de Euler fueron en la resolución de problemas del

mundo real a través del análisis matemático, en lo que

se conoce como matemática aplicada, y en la

descripción de numerosas aplicaciones de los números

de Bernoulli, las series de Fourier, los diagramas de

Venn, el número de Euler, las constantes e y π, las

fracciones continuas y las integrales. Integró el cálculo

diferencial de Leibniz con el Método de Fluxión de

Newton, y desarrolló herramientas que hacían más fácil

la aplicación del cálculo a los problemas físicos. Euler

ya empleaba las series de Fourier antes de que el

mismo Fourier las descubriera y las ecuaciones de

Lagrange del cálculo variacional, las ecuaciones de Euler-Lagrange.

Hizo grandes avances en la mejora de las aproximaciones numéricas para

resolver integrales, inventando lo que se conoce como las aproximaciones de

Euler. Las más notable de estas aproximaciones son el método de Euler para

resolver ecuaciones diferenciales ordinarias, y la fórmula de Euler-Maclaurin. Este

método consiste en ir incrementando paso a paso la variable independiente y

hallando la siguiente imagen con la derivada. También facilitó el uso de

ecuaciones diferenciales, y en particular mediante la introducción de la constante

de Euler-Mascheroni.

6

El Método de Euler

Es un procedimiento de integración numérica para resolver ecuaciones

diferenciales ordinarias a partir de un valor inicial dado, cuyo procedimiento

consistente en ir incrementando paso a paso la variable independiente y hallando

la siguiente imagen con la derivada, este es el más simple de los métodos

numéricos resolver un problema del siguiente tipo:

Podemos dar una descripción informal del método de la siguiente manera:

Considere el problema de calcular la pendiente de una curva desconocida que

comienza en un punto dado y satisface una cierta ecuación diferencial dada. Se

puede pensar en la ecuación diferencial como una fórmula que nos permite

calcular la pendiente de la recta tangente a la curva en cualquier punto de la

curva, siempre que el punto se conozca.

La idea es que a pesar de que la curva es desconocida en principio, su punto de

comienzo(al cual denotamos por A0) es conocido. Entonces, de la ecuación

diferencial se puede computar la pendiente de la curva en el punto A0 y por lo

tanto la recta tangente a la curva.

7

Ahora, dando un pequeño paso sobre dicha recta, podemos tomarnos un nuevo

punto A1 y suponer que dicho punto pertenece a la curva, entonces seguimos el

mismo razonamiento aplicado anteriormente y volvemos a calcular la pendiente de

la recta tangente a la curva en el punto A1. Luego de varios pasos tendremos

formada una curva poligonal A0A1A2A3... En general esta curva que obtenemos

al aplicar el método no diverge lejos de la curva original, además el error entre

ambas curvas se puede minimizar si se dan pasos muy pequeños al avanzar

sobre la recta tangente a la curva y además el intervalo sobre el que trabajamos

es finito (aunque las cosas son más complicadas para ecuaciones inestables,

como se discute más abajo).

8

Procedimiento

A continuación los pasos para el desarrollo del método de Euler:

Se multiplican los intervalos que van de “X0” a “Xf” en “n” cantidad de sub-

intervalos con ancho “h”; es decir:

Con esto se obtiene un conjunto discreto de “n+1” puntos: X0, X1, X2… Xn del

intervalo que nos interesa [X0, Xf]. Para cualquiera de estos puntos se

cumple que:

Ya con la condición inicial , que representa el punto

y por donde pasa la curva obtenemos la solución de la ecuación del

planteamiento inicial, la cual se denotará como:

Con el punto “P0” se puede evaluar la primera derivada de F(x) en ese

punto; por lo tanto:

9

Con esta información se traza una recta, aquella que pasa por “P0” y de

pendiente “F(x0,y0)”. Esta recta aproxima “F(x)” en una vecinidad de “x0”.

Se toma la recta como reemplazo de F(x) y se localiza en ella el valor de y

correspondiente a x1.

Entonces, se puede deducir según esta información para la gráfica A que:

10

Uso el Método de Euler

Este método se aplica para encontrar la solución a ecuaciones diferenciales

ordinarias (EDO), esto es, cuando la función involucra solo una variable

independiente:

El método se basa de forma general en la pendiente estimada de la función para

extrapolar desde un valor anterior a un nuevo valor:

Nuevo valor = valor anterior + pendiente x tamaño de paso

O bien,

yi+1=yi + φ h (ecuación 1)

De esta manera, la formula (1), se aplica

paso a paso para encontrar un valor en el

futuro y así trazar la trayectoria de la

solución. La figura 1, muestra el

procedimiento aplicado con la ecuación

(1).

.

El método de Euler utiliza la pendiente al inicio del intervalo como una

aproximación de la pendiente promedio sobre todo el intervalo. La primera

derivada proporciona una estimación directa de la pendiente en xi.

φ = (x, y)

11

(xi , yi), es la ecuación diferencial evaluada en x i y yi. Sustituyendo esta

estimación de la pendiente en la ecuación (1), se tiene:

yi+1 = yi + (xi , yi)h (ecuación 2)

La ecuación (2), se le conoce como el método de Euler. En esta fórmula se

predice un nuevo valor de y por medio de la pendiente que es igual a la primera

derivada en el valor original de x, este nuevo valor habrá de extrapolarse en forma

lineal sobre el tamaño de paso h.

12

Ventajas y desventajas del Método de Euler

Ventajas

Uno de los aspecto resaltante del método es que a medida que

dividimos el tamaño del paso h, los errores también se

disminuyen en aproximadamente la mitad. Es un método sencillo

de implementar pero de orden bajo por lo que dependiendo del

grado de precisión que se desees, el h puede ser muy pequeño.

Una forma de mejorar el método de Euler (Euler mejorado) es

utilizar una mejor aproximación a la integral- podríamos

considerar por ejemplo una aproximación por trapecio de modo

que:

Noten que el último término hace referencia al valor que

queremos aproximar en esta iteración ( ), sin embargo

podemos usar un paso del método de Euler para aproximar la

solución, obteniendo finalmente:

13

Desventajas

El método de Euler tiene errores grandes, sobre todo cuando la pendiente

instantánea, es decir, la función f(x,y) x.

Ese método considera que la pendiente calculada del lado izquierdo del

x es la misma para todo el intervalo.

Una mejor aproximación a esta pendiente sería considerar no sólo el punto

inicial, sino un promedio del inicial y el final. El método que utiliza esta

aproximación es el método de Euler modificado. El problema de considerar

el punto final es que no se conoce el valor de y en ese punto. Por ello, el

método de Euler modificado incluye inicialmente la aproximación del cálculo

de ese valor mediante el método original de Euler para evaluar la f(x,y) del

lado derecho del inter x, para después calcular el promedio de ambas

y que actualizaría y.

14

El fallo en el Método de Euler

El método de Euler tiene errores grandes, sobre todo cuando la pendiente

instantánea, es decir, la función f(x,y) cambia rápidamente dentro de la x. Ese

método considera que la pendiente calculada del lado izquierdo del intervalo x es la misma para todo el intervalo.

Una mejor aproximación a esta pendiente sería considerar no sólo el punto inicial, sino un promedio del inicial y el final. El método que utiliza esta aproximación es el método de Euler modificado. El problema de considerar el punto final es que no se conoce el valor de y en ese punto. Por ello, el método de Euler modificado incluye inicialmente la aproximación del cálculo de ese valor mediante el método original

de Euler para evaluar la f(x,y) del lado derecho del intervalo x, para después

calcular el promedio de ambas pendientes y utilizarlo para calcular el valor de y que actualizaría y.

En la solución numérica de ecuaciones EDO, utilizando el método de Euler se obtuvieron los siguientes errores

1. Errores de Truncamiento, causados por la naturaleza de las técnicas empleadas para aproximar los valores de y.

2. Errores de Redondeo, que son el resultado del número límite de cifras significativas que pueden retener una computadora.

15

Ejemplos del método de Euler

Ejemplo #1: Dada la ecuación diferencial y’ = y, el punto inicial y(0) =1, utilice el

Método de Euler para aproximar y3 con tamaño de paso h = 1.

El método de Euler es: Yn+1= yn + h (f(tn,yn)) así que primero tenemos que calcular

f(t0,y0), esta ecuación diferencial depende solo de y, por lo que solo introduciremos

valores de y.

f(y0) = 1

Al hacer el paso anterior, encontramos la pendiente de la recta que es tangente a

la curva solución en el punto (0,1). Recuerde que la pendiente se define como el

cambio de y dividido por el cambio de t o

El siguiente paso consisten en multiplicar el valor anterior por el tamaño del paso

h.

h * f(y0) = 1*1 = 1

Dado que el tamaño del paso es el cambio en t, cuando se multiplica el tamaño del

paso y la pendiente de la tangente, se obtiene un cambio en el valor y. Este valor

se añade al valor inicial, y para obtener el siguiente valor a ser utilizado para los

cálculos.

Y0+ h * f(y0) = y1 = 1 +1*1 = 2

Entonces debemos repetir los pasos anteriores para encontrar y2 y y3

Y1+ h * f(y1) = y2 = 2 +1*2 = 4

Y2+ h * f(y2) = y3 = 4 +1*4 = 8

16

Debido a la naturaleza de este algoritmo, puede ser útil para organizar los cálculos

en forma de grafico para evitar errores

yn tn y'(t) h dy yn + 1

1 0 1 1 1 2

2 1 2 1 2 4

4 2 4 1 4 8

17

Ejemplo #2: Calcular una iteración con el método de Euler para el sistema,

y’ = (1+z)z + y, x0=0, y0=1

z’ = (1+x)y +z, z0=1

Solución: La iteración general se escribe,

Xn+1 = xn + h

yn+1 = yn + h(( xn + 1)zn + yn)

zn+1 = zn + h((1+xn)yn + zn)

para n=0 se tiene que x0 = 0, y0=z0=1

x1 = 0 + h = h

y1 = y0 + h((1+0)1 + 1) = 1 +2h

z1 = z0 + h((1+0)1 + 1) = 1 +2h

Ejemplo #3: Use el método de Euler 0.1 construya una tabla con valores

aproximados al problema de valor inicial

y’=x+y y(0) = 1

Solución:

Tenemos que h = 0.1 , x0 = 0, y0 = 1 y F(x,y) = x+y luego

Y1 = y0 + hF(x0,y0) = 1+0.1(0+1) = 1.1

Y1 = y0 + hF(x0,y0) = 1.1 + 0.1(0.1+1.1) = 1.22

Y1 = y0 + hF(x0,y0) = 1.22+0.1(0.2+1.22) = 1.362

Esto significa que si y(x) es la solución exacta entonces y(0.3) = 1.362

18

Conclusión

Hemos encontrado diversos puntos en este trabajo, hemos aprendido otro método,

ingresando cada vez más en el mundo de la programación y en nuestro camino

como Ingenieros en Sistemas.

El método de Euler, entonces, es el método desarrollado por Leonhard Euler, con

el propósito de resolver ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) incrementando

cada la variable independiente h.

Aunque encontramos diversos errores en este método (por ejemplo errores de

precisión), que llevaron a la creación de una modificación de este método, pero

aun así para nosotros los Ingenieros en Sistemas resulta de gran utilidad a la hora

de resolver sistemas matemáticos como este.

19

Tema desarrollado por

Christian A García

Roberto Candel

Juan Chen

Johannes Zapata

Nelysvette Patterson

Alexis Espinosa

Yi Fung

Joshua Zafrani

Método de Euler

Mejorado

20

Método de Euler Mejorado: Corrector-Predictor

En el método de Euler se tomó como válida para todo el intervalo la derivada

encontrada en un extremo de éste Fig. Para obtener una exactitud razonable se

utiliza un intervalo muy pequeño, a cambio de un error de redondeo mayor (ya que

se realizarán más cálculos).

El método de Euler modificado trata de evitar este problema utilizando un valor

promedio de la derivada tomada en los dos extremos del intervalo. en lugar de la

derivada tomada en un solo extremo.

21

PASOS DEL METODO DE EULER MODIFICADO

1. Se parte de (xo,Yo) Y se utiliza el método de Euler a fin de calcular el valor

de Y correspondiente a Xl' Este valor de Y se denotará aquí como YI' ya que

sólo es un valor transitorio para Yl' Esta parte del proceso se conoce como paso

predictor.

2. El segundo paso se llama corrector, pues trata de corregir la predicción. En el

nuevo punto obtenido (XI, Yl) se evalúa la derivada [(xI' YI) usando la ecuación

diferencial ordinaria del PVI que se esté resolviendo; se obtiene la media

aritmética de esta derivada y la derivada en el punto inicial (xo' Yo)

1/2 [F(xo ,Yo) + F(Xl,YI)] = derivada promedio

Se usa la derivada promedio para calcular un nuevo valor de y1, con la ecuación

y1=y0+hf(x0,y0), que deberá ser más exacto que y1

y se tomara como valor definitivo de y1. Este procedimiento se repite hasta llegar a

yn.

El esquema iterativo para este método quedara en general así:

Primero, usando el paso de predicción resulta:

.

Una vez obtenida yi+1 se calcula f(xi+1,yi+1), la derivada en el punto (xi+1,yi+1), y se

promedia con la derivada previa (xi,yi) para encontrar la derivada promedio

22

Se sustituye f(xi,yi) con este valor promedio en la ecuación de iteración de euler y

se obtiene:

Para entender esta fórmula, analicemos el primer paso de la aproximación, con

base en la siguiente gráfica:

En la gráfica, vemos que la pendiente promedio corresponde a la pendiente de

la recta bisectriz de la recta tangente a la curva en el punto de la condición inicial y

la “recta tangente” a la curva en el punto , donde es la aproximación

obtenida con la primera fórmula de Euler. Finalmente, esta recta bisectriz se

traslada paralelamente hasta el punto de la condición inicial, y se considera el

valor de esta recta en el punto como la aproximación de Euler mejorada.

23

Predictor y Corrector

Dado un problema con una condición inicial

, con

El método de Euler mejorado con tamaño de paso h consiste en la aplicación de

las siguientes fórmulas iterativas:

para calcular las aproximaciones sucesivas a los valores a los valores

[verdaderos] de la solución [exacta] en los

puntos respectivamente.

El método de Euler mejorado pertenece a una categoría de técnicas numéricas

conocidas como métodos predictor-corrector. Primero se calcula un

predictor del siguiente valor de ; después, se usa éste para corregirse a sí

mismo. Así el método de Euler mejorado con tamaño de paso h consiste en utilizar

el predictor

y el corrector

Iterativamente para calcular las aproximaciones sucesivas del problema.

24

Problemas Prácticos

Ejemplo 1

Aplicar el método de Euler mejorado, para aproximar si:

Solución

Vemos que este es el mismo ejemplo 1 del método anterior. Así que definimos

y encontraremos la aproximación después de cinco iteraciones. A

diferencia del método de Euler 1, en cada iteración requerimos de dos cálculos en

vez de uno solo: el de primero y posteriormente el de .

Para aclarar el método veamos con detalle las primeras dos iteraciones. Primero

que nada, aclaramos que tenemos los siguientes datos iniciales:

En nuestra primera iteración tenemos:

25

Nótese que el valor de coincide con el (Euler 1), y es el único valor que va

a coincidir, pues para calcular se usará y no .

Esto lo veremos claramente en la siguiente iteración:

Nótese que ya no coinciden los valores de (Euler 1) y el de . El proceso

debe seguirse hasta la quinta iteración. Resumimos los resultados en la siguiente

tabla:

n

0 0 1

1 0.1 1.01

2 0.2 1.040704

3 0.3 1.093988

4 0.4 1.173192

5 0.5 1.28336

Concluímos entonces que la aproximación obtenida con el método de Euler

mejorado es:

Con fines de comparación, calculamos el error relativo verdadero:

26

Vemos que efectivamente se ha obtenido una mejor aproximación con este

método, reduciendo el error relativo verdadero de un 5.4% hasta un 0.05%. En

nuestro tercer método veremos cómo se reduce aún más este error prácticamente

a un 0%!

Veamos un segundo ejemplo.

Ejemplo 2

Aplicar el método de Euler mejorado para aproximar y(1.3) si tenemos :

Solución

Tenemos los siguientes datos:

En una primera iteración, tenemos lo siguiente:

27

Resumimos los resultados en la siguiente tabla:

n

0 1 2

1 1.1 2.385

2 1.2 2.742925

3 1.3 3.07635

Concluímos entonces que la aproximación buscada es:

28

Conclusión Luego de trabajar, ver, observar y experimentar con ambos métodos se puede decir que el método de Euler está diseñado tanto para ecuaciones diferenciales como para la integración, pero el método de Euler modificado es un método exclusivo para las ecuaciones diferenciales. El método de Euler modificado también muestra más flexibilidad en el proceso de obtener repuestas debido a que esta puede tomar como base un valor más preciso si se acerca la integral del valor a escoger.

29

Tema desarrollado por

CRUZ, RIGOBERTO

ESCOBAR, FABIAN

HENRÍQUEZ, MARUQUEL

JARAMILLO, SERGIO

RIVAS, MELISA

SÁNCHEZ, JOEL

TRUJILLO, NÉSTOR

TRUJILLO, ROLANDO

VIETO, MARCOS

Método de

Runge-Kutta

30

INTRODUCCIÓN

El método de Runge-Kutta, es un método genérico de resolución numérica

de ecuaciones diferenciales. Este conjunto de métodos fue inicialmente

desarrollado alrededor del año 1900por los matemáticos C. Runge y M. W. Kutta.

Los métodos de Runge-Kutta (RK) son un conjuntos de métodos iterativos

(implícitos y explícitos) para la aproximación de soluciones de ecuaciones

diferenciales ordinarias, concretamente, del problema de valor inicial.

El método de Runge-Kutta es un refinamiento del método de Euler. La solución de

un problema de valores iniciales se obtiene generalmente paso a paso por

métodos de integración hacia adelante, lo que permite valuar Yi+1 tan pronto se

conozcan los valores Yi, Yi-1 de Y en uno o más pivotes anteriores. El más simple

de estos métodos, debido a Euler, es aplicable a ecuaciones de primer orden y no

requiere conocer la solución en los pivotes anteriores.

31

MÉTODO DE RUNGE-KUTTA

Los métodos de Runge-Kutta mejoran la aproximación del método de Euler para

resolver de modo aproximado el P.V.I. y' = f Ht, yL, yHt0L = y0, sin necesidad de

calcular derivadas de orden superior.

Los métodos de Runge-Kutta (RK) son conjuntos de métodos iterativos (implícitos

y explícitos) para la aproximación de soluciones de ecuaciones diferenciales

ordinarias, concretamente, del problema de valor inicial.

Sea:

Una ecuación diferencial ordinaria, con donde es un

conjunto abierto, junto con la condición de que el valor inicial de ƒ sea

Entonces el método RK (de orden s) tiene la siguiente expresión, en su forma más

general:

Donde h es el paso por iteración, o lo que es lo mismo, el incremento Δtn entre los

sucesivos puntos tn y tn + 1. Los coeficientes ki son términos de aproximación

intermedios, evaluados en ƒ de manera local

Con aij,bi,ci coeficientes propios del esquema numérico elegido, dependiente de

la regla de cuadratura utilizada.

32

Los esquemas Runge-Kutta pueden ser explícitos o implícitos dependiendo de las

constantes aij del esquema. Si esta matriz es triangular inferior con todos los

elementos de la diagonal principal iguales a cero; es decir, aij = 0 para j = i,...,s, los

esquemas son explícitos.

Para fijar ideas, un método clásico de Runge-Kutta de 2-etapas de orden 2 viene

dado por el diagrama de Butcher:

Donde los coeficientes que aparecen verifican el sistema de ecuaciones:

Así pues, existe una familia infinita de métodos de Runge-Kutta de orden 2. Los

más utilizados son:

Método modificado de Euler: que se corresponde con

y cuya expresión es:

33

PROCEDIMIENOS PROGRAMADOS DE EULERMOD Y EULERMODGRAF

Ejemplo de programación de procedimientos de Eulermod y EulerModGraf que

permiten calcular la tabla de valores correspondiente y la representación gráfica

de la solución aproximada obtenida mediante el método de Euler modificado.

Donde f es la función asociada a la ecuación diferencial, h es la longitud de paso,

ini es el valor de la condición inicial, a es el extremo inferior del intervalo donde

vamos a calcular la aproximación y b es el extremo superior del citado intervalo.

34

b) Método mejorado de Euler, que se corresponde con

cuya expresión es

PROCEDIMIENOS PROGRAMADOS DE MEJOREULER Y MEJOREULERGRAF

Ejemplo de programación de procedimientos de mejoreuler y mejoreulergraf,

que permiten calcular la tabla de valores correspondiente y la representación

gráfica de la solución aproximada obtenida mediante el método de Euler

modificado.

Donde f es la función asociada a la ecuación diferencial, h es la longitud de paso,

ini es el valor de la condición inicial, a es el extremo inferior del intervalo donde

vamos a calcular la aproximación y b es el extremo superior del citado intervalo

35

UTILIZACIÓN DE LOS MÉTODOS MODIFICADO DE EULER Y MEJORADO DE EULER

Para en el intervalo [0,1] con longitud de paso 0,1.

36

Como se puede observar la solución exacta de este P.V.I. en t = 1 vale 1.70187 .

En este caso, por tanto, la aproximación alcanzada por el primer método de

Runge-Kutta es mejor que la obtenida por el segundo.

Un método clásico de Runge-Kutta de 3-etapas de orden 3 viene dado por el

diagrama de Butcher:

Donde los coeficientes que

aparecen verifican el

sistema de ecuaciones:

Así pues, existe una familia infinita de métodos de Runge-Kutta de orden 3. Uno

de los más utilizados es el correspondiente a:

y cuya expresión es:

37

PROCEDIMIENOS PROGRAMADOS DE RUNGE3 Y RUNGE3GRAF

Ejemplos de procedimientos programados de Runge3 y Runge3graf, que permiten

calcular la tabla de valores correspondiente y la representación gráfica de la

solución aproximada obtenida mediante el método de Runge-Kutta de orden 3

seleccionado:

Donde f es la función asociada a la ecuación diferencial, h es la longitud de paso,

ini es el valor de la condición inicial, a es el extremo inferior del intervalo donde

vamos a calcular la aproximación y b es el extremo superior del citado intervalo.

38

Aplicamos:

Probamos el método anterior con el P.V.I. en el

intervalo [0,1], con longitud de paso 0.1

El método de Runge-Kutta de orden 4 más utilizado viene dado por el esquema

Butcher siguiente:

Cuya expresión

es:

39

PROCEDIMIENOS PROGRAMADOS DE RUNGE4 Y RUNGE4GRAF

Ejemplos de procedimientos programados de Runge4 y Runge4graf, que permiten

calcular la tabla de valores correspondiente y la representación gráfica de la

solución aproximada obtenida mediante el método de Runge-Kutta de orden 4

seleccionado:

Donde f es la función asociada a la ecuación diferencial, h es la longitud de paso,

ini es el valor de la condición inicial, a es el extremo inferior del intervalo donde

vamos a calcular la aproximación y b es el extremo superior del citado intervalo.

40

Aplicamos:

Probamos el método anterior con el P.V.I. en el

intervalo [0,1], con longitud de paso 0.1

41

EJEMPLOS DE RUNGE-KUTTA

Ejemplo 1:

Resolución mediante el método de Runge-Kutta de orden 4 programado

anteriormente, en el intervalo [1,2] con h=0.1

Solución

Borramos posibles asignaciones de las variables, definimos la función asociada al

P.V.I. y aplicamos el método numérico.

42

Ejemplo 2:

Dado el P.V.I. obtener el valor

aproximado de la solución en t=3, usando el procedimiento Runge4 y tomando

como longitud de paso h=0.01. Analizar el comportamiento de la gráfica

comparándola con la de la solución del P.V.I.

Solución:

No se puede resolver este P.V.I:

Borramos posibles asignaciones de las variables, definimos la función asociada al

P.V.I. y aplicamos el método numérico:

43

Resolvemos ahora, mediante el mismo procedimiento el segundo P.V.I

Como vemos, las dos gráficas se separan poco antes de t = 2. El brusco descenso

que se produce en la gráfica de la solución del primer P.V.I. se debe a la presencia

del impulso que se resta a y hace variar el crecimiento de

la solución. El impulso citado se representa a continuación:

44

CONCLUSIONES

El método de Runge-Kutta, es uno de los métodos genérico que nos sirve para la

resolución numérica de ecuaciones diferenciales. Los sucesivos métodos a

estudiar tienen su base en el Método de Euler, también llamado el método RK4.

Se concluye que esta forma del método de Runge-Kutta, es un método de cuarto

lo cual significa que el error por paso es del orden: 0(h5) mientras que el error total

acumulado tiene el orden: 0(h4).

Cada método que se presentó en este proyecto como ejercicios resuelto que

fueron puestos en este trabajo, fue colocado con el único objetivo de que fuera

más fácil su compresión de cada método que fue investigado en este proyecto,

también podemos decir que estos métodos para poder resolver un problema es

necesario tener una calculadora programable por la razón de que si hace sin una

de ellas resulta demasiado largo la resolución de cada problema.

Tener en cuenta que para resolver cada problema de los métodos numéricos es

necesario tener orden porque la cantidad de datos son demasiados, también se

necesita tener los programas para resolver cada método.

45

Conclusión Final

Luego de haber analizado los tres métodos podemos concluir que:

El método de Euler, entonces, es el método desarrollado por Leonhard

Euler, con el propósito de resolver ecuaciones diferenciales ordinarias

(EDO) incrementando cada la variable independiente h.

El método de Euler modificado es un método exclusivo para las ecuaciones

diferenciales. El método de Euler modificado también muestra más

flexibilidad en el proceso de obtener repuestas debido a que esta puede

tomar como base un valor más preciso si se acerca la integral del valor a

escoger.

El método de Runge-Kutta, es uno de los métodos genérico que nos sirve

para la resolución numérica de ecuaciones diferenciales. Los sucesivos

métodos a estudiar tienen su base en el Método de Euler, también llamado

el método RK4.

Dando así finalizado el trabajo de la monografía, teniendo en cuenta estos

métodos podemos expandir nuestros conocimientos en la programación para

resolver casi cualquier problema matemático aplicando la lógica y los conceptos y

métodos aprendidos durante el curso.

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Bibliografía

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2. http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/EcuacionesDiferenciales/EDO-

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4. http://www.tonahtiu.com/notas/metodos/Euler.htm

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6. Libro Métodos Numéricos para Ingenieros, Steven C. Chapra, Quinta

Edición

7. Libro de Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado, Dennis

Gill, Sexta Edicion

8. http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Runge-Kutta

9. http://www.unizar.es/acz/02AcademicosNumerarios/Discursos/Calvo.pdf

10. http://portalevlm.usal.es/Portal/e_books/guiaalumno/Chapter10SG_Spanish.

pdf

11. http://metodoaugma.blogspot.com/2010/04/metodo.html