SOBRE ALGUNAS CONJETURAS EN ARITMÉTICA

Ivo Basso Basso Jorge Campos Parra Rodrigo Ramirez Candia Depto de Ciencias Básicas Depto de Prod Animal Bachillerato en Cs Nat. Exactas Facultad de Ciencia Facultad de Agronomía Facultad de Ciencias Universidad del Bio Bio Universidad de Concepción Universidad del Bio Bio “Dios creó los números naturales, el resto lo hizo el hombre” Leopold Kronecker, 1886. INTRODUCCIÓN

La teoría de Números (Aritmética) ha ocupado siempre una posición peculiar respecto de las

distintas ramas de la matemática, por su reputación de ser difícil y por estar revestida de un aura de

cierto misterio. Es, sin embargo, única en cuanto a campo de experimentación de la imaginación.

Como ya lo señalaron Hilbert y Hardy , la Teoría de Números es fundamental para el entrenamiento

matemático inicial. La Aritmética no es propia de ningún nivel educativo en especial y aún en la

Escuela Básica su potencial no ha sido realmente evaluada y aprovechada.

Desde hace años la enseñanza de la matemática esta en verdadera crisis. En general, el espíritu de la

matemática moderna con sus numerosas definiciones y esquemas abstractos hace que el alumno

desarrolle muy pobremente su capacidad creadora y de trabajo. Por lo general, los ejemplos son

escasos y muchas veces no existen. La mayor deficiencia en la enseñanza, y esto se advierte incluso

en la Universidad, es que se aprende teoría con muy pocos ejemplos. La teoría, los ejemplos y la

resolución de problemas forman un triángulo de equilibrio de toda la enseñanza eficaz. La

Aritmética representa una opción excelente para mejorar la enseñanza de la matemática. Su fuerza

radica en la facilidad de plantear problemas de todo tipo de complejidad. El resolverlos es el

ejercicio preciso del aprendizaje (Gentile, 1986).

La Aritmética es una ciencia cotidiana, capaz de atraer a cualquier persona que posea sólo un poco

de curiosidad. Observemos como las revistas de entretenimientos numéricos llaman la atención de

mucha gente a veces con poca instrucción. ¿Por qué no explotar esa germen de curiosidad que posee

la gente joven y los niños en especial?. Hay que evitar llenar la cabeza de los alumnos con fórmulas

y teoremas sin darles la oportunidad de pensar libremente, invitándolos a imaginar. La verdadera

fuerza de la matemática es la creación; luego, si se quiere, se puede hablar de rigor, formalismo,

didáctica o lo que sea. La Aritmética no termina allí, se puede profundizar ad infinitud (Gentile,

1986)

En matemática, una conjetura es una afirmación que se supone cierta, pero que carece de

demostración. Muchos matemáticos han dedicado su vida a estos problemas, sin lograr obtener

ningún resultado: pero si valiosos avances, como lo es por ejemplo, el descubrimiento del último

número primo conocido, el cual fue descubierto por una pareja de científicos norteamericanos, los

doctores Curtis Cooper y Steven Boone, de la Universidad Estatal Central de Missouri, Estados

Unidos, el 15 de diciembre de 2005, el flamante último número primo está compuesto por 9152052

cifras. Este resultado es de gran importancia para nosotros, puesto que veremos conjeturas

relacionadas con este tipo de números, para lo cual realizaremos un previo análisis de ellos.

Comenzaremos con dos tipos de conjeturas, Catalán y Collatz. Luego seguiremos con las Conjeturas

relacionadas con números primos. Para terminar con conjeturas relacionadas con suma de divisores,

para lo cual daremos a conocer algunos de sus conceptos y propiedades.

Esperamos que este trabajo proporcione al profesor material para experimentar y lo incentive a

realizar una labor creadora que dé a sus alumnos la oportunidad de participar activamente.

1. Conjeturas Generales:

Al comenzar el trabajo, mostraremos dos conjeturas, que sólo requieren de conocimientos

matemáticos básicos, estas son la propuestas por los matemáticos Eugène Charles Catalán y

Löthar Collatz.

1.1. Conjetura de Catalán

La conjetura de Catalán fue propuesta por el matemático Eugène Charles Catalán en el año 1844.

Para entender esta conjetura, nótese que: 23 = 8 y 3

2 = 9 son dos números que son potencias

consecutivas de números naturales. La conjetura dice que éste es el único caso de dos potencias

consecutivas. Es decir, que la conjetura de Catalán afirma que la única solución en el conjunto de los

números naturales de

1=− ba yx

para x, y, a, b números naturales mayores que 1 es x = 3, a = 2, y = 2 y b = 3. En particular, nótese

que no tiene importancia que los mismos números 2 y 3 estén repetidos en la ecuación 32 − 2

3 = 1.

Un caso donde los números no estuvieran repetidos seguiría siendo un contraejemplo válido.

En 1976, Tijdeman demostró un teorema que convertía la conjetura de Catalán en un problema casi

resuelto:

Teorema: Existe un número C (efectivamente computable) tal que si x, y, m y n son números

naturales cumpliendo que 1=− nm yx , entonces mx e ny son menores que C. Este resultado

implica claramente que el número de soluciones de la ecuación de Catalán es finito. Además,

calculando la constante C y sustituyendo todas las posibles soluciones deberíamos poder ver si

realmente hay alguna otra. El problema es que hasta ahora el mejor resultado que se tiene sobre la

constante que aparece en el teorema es demasiado grande.

El matemático Suizo, de origen rumano, Preda Mihailescu afirmó haber demostrado la conjetura de

Catalán en abril de 2002. Hasta el año 2004 aún se seguía revisando la demostración.

1.2. Conjetura de Collatz

Fue formulada por el matemático Löthar Collatz en 1937, en donde asegura que para cualquier

número natural n > 1 se puede formar una sucesión finita Cn = {Ci} de números naturales que

empiezan con n y terminan con 1, aplicando el siguiente algoritmo:

Escogemos un número natural n.

Si es impar, lo multiplicamos por 3 y al resultado le sumamos uno.

Si es par lo dividimos por dos.

En cualquiera de los dos casos, al número obtenido le volvemos a aplicar el proceso.

Es decir:

+=+

13

2

1

i

i

i

C

C

C

Para cada Ci de la sucesión

Algunos ejemplos son:

Para n = 2 C2 = {2, 1}

Para n = 7 C7 = {7, 22, 11, 34, 17, 52, 26,13, 40, 20,10, 5, 16, 8, 4, 2,1}

Para n = 10 C10 = {10, 5, 16, 8, 4, 2, 1}

Sea cual sea el número natural de partida, n, siempre se llega a ese ciclo que comienza con n y

termina con 1.

A los miembros de esta sucesión producida por este algoritmo se les conoce como los números

granizo por que los valores se elevan y caen en forma análoga al granizo dentro de una nube.

El algoritmo de Collazt fue probado y se encontró que se llegaba a 1 para todos lo números

naturales menores o iguales a 3x253 ≈ 2702x1016 por Oliveira e Silva en 1999, mejorando los resultados de 1015 obtenido por Verdi en 1991 y de 5.6 x1013 hallados por Leavens y Vermeulen

en 1992.

2. Conjeturas sobre números primos

2.1. CONSIDERACIONES PREVIAS

Antes de comenzar a estudiar las conjeturas, recordaremos brevemente lo que entendemos por

número primo. El conjunto de los números primos es un subconjunto de los números naturales que

Si Ci es par

Si Ci es impar

engloba a todos los elementos de este conjunto que son divisibles exactamente tan sólo por sí

mismos y por la unidad (por convención, el 1 no se considera primo). Los veinte primeros números

primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67 y 71.

Nótese el hecho de que todos los números naturales son divisibles por sí mismos y por la unidad.

Recordemos además que el teorema fundamental de la Aritmética establece que cualquier número

entero positivo puede representarse siempre como un producto de números primos, y esta

representación (factorización) es única. Un número entero positivo se dirá compuesto si él no es

primo.

¿Cómo averiguar si un número, entero positivo, es primo?

A través del siguiente ejemplo mostraremos un procedimiento muy común para determinar si un

número entero positivo es un primo o un compuesto. Por ejemplo, 113.

- Lo primero que debemos hacer es buscar la raíz cuadrada del número. ...6301,10113 ≈

- Luego buscamos los números enteros mas cercanos a la raíz de nuestro número, la cual esta entre

10 y 11, ya que 102 = 100 y 112 = 121 y 100 < 113 < 121; esto es: 10 < 113 < 11

- Si 113 tiene algún factor positivo diferente de 1 y 113, entonces existe un factor positivo menor o

igual a la raíz cuadrada de 113, ya que todo factor mayor que la raíz cuadrada de 113 debe tener un

factor asociado menor que la raíz cuadrada con el fin de que su producto sea igual a 113.

Por lo tanto, para determinar si 113 es un primo o un compuesto, solo necesitamos determinar la

existencia de factores mayores que 1 y menores o iguales a la raíz cuadrada de 113. En este ejemplo

los factores posibles son 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Ahora bien, según el teorema fundamental de la Aritmética, solo tenemos que verificar los primos,

es decir 2, 3, 5 y 7. Como los enteros 2, 3, 5 y 7 no son factores de 113, concluimos que 113 es un

número primo.

En resumen, para determinar si un numero es primo o compuesto, “solo necesitamos determinar si

algún primo menor o igual que p es un factor del número p. Si un número primo menor o igual a

p es factor de p, entonces p es un número compuesto. Si este no es el caso, p es un número

primo”.

Otra interrogante que surge de manera casi natural, tiene que ver con la cantidad. ¿Son finitos los

números primos? Euclides (300 a.c.) logró responder a este problema en un teorema que lleva su

nombre.

Teorema: El número de primos es infinito. La demostración se realiza por el absurdo, suponiendo que existe un número primo p que es el

mayor de todos. Así si n el producto de todos los primos menores o iguales que p. Entonces

n +1 = ( 2 x 3 x 5 x 7 x . . . . . . . x p ) + 1 > p

Si n + 1 es un primo, entonces p no es el mayor de ellos. Si n + 1 es un compuesto, entonces debe

contener factores primos mayores que p, ya que la división de n + 1 por primos menores o iguales

que p deja como resto a 1. Por lo tanto, en ningún caso existe un primo que sea el mayor de ellos;

esto nos permite concluir que el número de primos es infinito.

Aunque el número de primos es infinito, se ha comprobado que el número de primos menores o

iguales a un número n, el cual designaremos como π(n), se comporta como la expresión logarítmica

)ln(n

n para todo valor de n grande. Legendre (1752 – 1833) y Gauss (1777 – 1855) conjeturaron, de

manera independiente una relación entre π(n) y )ln(n

n.

La relación matemática de los números primos menores o iguales a un número n, π(n), y la

expresión )ln(n

n, cuando n es muy grande puede expresarse como: 1

)ln()( =

∞→ n

nnlím

nπ

que corresponde al teorema de los números primos, cuyo enunciado formal es:

Teorema: Sea )(nπ el número de primos que son menores o iguales que n, entonces )ln(

)(n

nn ≈π .

La tabla que se presenta a continuación, ilustra el teorema del número primo.

n n ( )nπ ( )nn

ln

( ) ( )nn

n πln

10 4 4.34 0.921

100 25 21 1.190

1000 168 145 1.159

3000 430 375 1.147

10000 1229 1086 1.132

100000 9592 8686 1.104

1000000000 5761455 5428681 1.061

Gauss y Legendre, reconocieron el patrón pero no lo demostraron. Ni lo hizo nadie en los cien años

siguientes, el teorema de los números primos fue demostrado por Jacques Hadamard (1865-1963) y

C. J. de la Vallee Poussin (1866-1962) en 1896 usando ciertas técnicas muy complicadas de la teoría

de análisis de números. Además de compartir casi los mismos años de vida, Hadamard y Vallee

Poussin descubrieron sus demostraciones independientes y simultáneamente.

A pesar de que sabemos que hay infinitos números primos, aún quedan preguntas en el aire sobre la

distribución de los mismos o la lista de primos que hay por debajo de cierto número. Aunque no se

ha podido probar hasta la fecha, se conjetura que existen infinitos números primos de la forma p2 =

p1 + 2 (siendo p1 y p2 primos) o “primos gemelos”. Sí se ha probado que los únicos “primos

trillizos”, primos de la forma p2 = p1 + 2 y p3 = p2 + 2, son 3, 5 y 7; y esto es así porque uno de los

números p1, p2 y p3 así definidos es múltiplo de 3, y por tanto compuesto cuando p3 > 3.

2.2. Conjetura de Goldbach

Un gran número de problemas interesantes relacionados con los primos permanece sin solución.

Grandes esfuerzos han sido dedicados a la solución de un problema conocido como la conjetura de

Goldbach (mencionada por primera vez en una carta de Goldbach a Euler en 1742). En el siglo

XVIII el matemático Charles Goldbach conjeturó que:

“todo número par mayor que 2 puede ser expresado como la suma de dos números primos”.

Por ejemplo: 4 = 2 + 2; 6 = 3 + 3; 8 = 3 + 5; 10 = 3 + 7 = 5 + 5; 12 = 5 + 7 y 14 = 3 + 11 = 7 + 7

Aunque muchos matemáticos han tratado de probar o refutar la conjetura de Goldbach, nadie

todavía ha tenido éxito. La conjetura de Goldbach ha sido verificada por computador para todos los

números pares menores que 2x1016, pero aún no se ha encontrado un argumento matemático que

demuestre que es cierta para todo número par.

La mayor parte de los matemáticos cree que la conjetura es cierta, y se basan mayormente en las

consideraciones estadísticas sobre la distribución probabilística de los números primos en el

conjunto de los números naturales: cuanto mayor sea el número entero, se hace más "probable" que

pueda ser escrito como suma de dos números primos.

De hecho existen resultados ya muy "cercanos" a la conjetura:

- Se sabe que todo número par puede escribirse como suma de a lo más seis números primos

(Ramaré, 1995). Como consecuencia de un trabajo de Vinogradov, todo número par lo bastante

grande puede escribirse como suma de a lo más cuatro números primos. Además, Vinogradov

demostró que casi todos los números pares pueden escribirse como suma de dos números primos en

el sentido de que la proporción de números pares que pueden escribirse de dicha forma tiende a 1.

- Otro resultado interesante, demostrado por Chen en 1966, muestra que cualquier número par

"suficientemente grande" es suma de un numero primo más el producto de dos números primos. El

problema es que no esta claro que es lo que se quiere decir con suficientemente grande....

2.3. Hipótesis de Riemann

La distribución de los números primos dentro de los números naturales parece no seguir un patrón

regular. Sin embargo, el matemático alemán Bernard Riemann observó que la frecuencia de

números primos está muy cerca de relacionarse con el comportamiento de una elaborada función

)(zζ , llamada la función Zeta de Riemann. Afirma la hipótesis de Riemann que las partes reales de

los ceros no triviales de la llamada Función Zeta, a + bi, se cumplen para a = 1/2, es decir, están

alineados.

Esta función es: ∑∞

=

=1

1)(

izn

zζ

La Hipótesis de Riemann dice que todas las soluciones interesantes de la ecuación )(zζ =0, se

ubican dentro de una línea recta. Esto ha sido chequeado para las primeras 1500000000 soluciones.

Una prueba que sea cierta para cada solución podría dar luz sobre muchos misterios alrededor de la

distribución de los números primos. También se sabe que si la Hipótesis de Riemann generalizada es

cierta, entonces la conjetura de Goldbach también es cierta. (Deshouillers, Effinger, Te Riele y

Zinoviev en 1997)

Goldbach formuló dos conjeturas relacionadas entre sí sobre la suma de números primos: la

conjetura fuerte y la conjetura débil.

En teoría de números la conjetura débil de Goldbach afirma que:

“todo número impar mayor o igual a 7 puede expresarse como suma de tres números primos”.

(Se puede emplear el mismo número primo más de una vez en esta suma.). Esta conjetura recibe el

nombre de “débil” porque la conjetura fuerte de Goldbach sobre la suma de dos números primos, si

se demuestra, demostraría automáticamente la conjetura débil. Esto es así porque si todo número par

mayor que 2 es la suma de dos primos, se puede añadir tres a los números pares mayores que 2 para

producir los números impares mayores o iguales a 7.Esta conjetura aún no ha sido demostrada, pero

se han conseguido avances importantes. En 1923, Hardy y Littlewood mostraron que, suponiendo

una cierta generalización de la hipótesis de Riemann, la conjetura débil de Goldbach es cierta para

todos los números impares suficientemente grandes. En 1937, el matemático ruso Iván Matvéyevich

Vinogradov fue capaz de eliminar la dependencia en la hipótesis de Riemann y demostró

directamente que todos los números impares suficientemente grandes pueden escribirse como suma

de tres primos.

Aunque Vinogradov no pudo determinar lo que significaba "suficientemente grande" con exactitud,

su alumno K. Borodzin demostró que 314348907

es una cota superior para el concepto de

"suficientemente grande". Este número tiene más de seis millones de dígitos, así que comprobar la

conjetura para cada número por debajo de esta cota sería imposible. Afortunadamente, en 1989

Wang y Chen redujeron esta cota a 1043000

. Esto significa que si cada uno de los números impares

menores que 1043000

resulta ser la suma de tres números primos, entonces la conjetura débil de

Goldbach quedará demostrada. Sin embargo, aún se debe reducir bastante esta cota antes de poder

comprobarse cada número por debajo de la misma.

Conjeturas con Divisores

Recordemos primero algunos conceptos y propiedades de la divisibilidad, los cuales son

imprescindibles para el desarrollo y comprensión de las conjeturas que se plantearan más adelante.

3.1. Propiedades especiales de LOS NUMEROS ENTEROS (z):

- Principio del buen orden: Todo conjunto no vacío de enteros no negativos posee un menor

elemento.

- Principio de Arquímedes en Z: Si a > 0 y a < b, entonces Existe n > 0 tal que: na > b.

- Teorema de Euclides: Si a, b ∈ Z, b > 0, entonces existen únicos enteros q y r tal que a = bq + r

con 0 ≤ r < b

3.2. DIVISIBILIDAD

Definición: Sea a, b ∈ Z, a ≠ 0. Se dice que a divide a b si y solo si existe k ∈Z tal que ka = b Se anota a/b y se lee a factor de b, b múltiplo de a, a es divisor de b

Observaciones:

a /0, ∀ a ∈ Z Si a ∈ Z, entonces 1/a, -1/a, a/a, -a/a. Es decir, todo entero diferente de cero tiene al menos dos divisores positivos.

3.2.1. Propiedades de la Divisibilidad

Si a/b y b/c ⇒ a/c

Si a/b ⇒ ac/bc (c cte, c ≠ 0)

Si a/b y b/a ⇒ a = ± 1

Si a/±1 ⇒ a = ± 1

d/a ⇔ d/-a y d/a ⇔ -d/a

Si c/a y c/b ⇒ c/(ax + by), para todo x, y ∈ Z

3.3. Números Perfectos

Una de las áreas de investigación mas antigua en la teoría de números esta relacionada al problema

de determinar todos los enteros positivos que son múltiplos enteros de la suma de sus divisores

positivos.

“Un entero positivo n se dice un número perfecto si es igual a la suma de todos sus divisores

positivos diferentes de sí mismo”

Por ejemplo, los primeros cuatro números perfectos son 6 (1 + 2 + 3 = 6), 28, 496, 8128.

3.4 Números de Mersenne

Los números de Mersenne son de la forma Mp = 2p -1, con p primo, por ejemplo, los tres primeros

números de Mersenne son 3, 7 y 31, y los tres son números primos. Sin embargo, no todo número

de Mersenne es primo. Cuando p es primo y Mp también lo es, Mp se denomina primo de Mersenne.

Marin Mersenne (1588-1648) fue un fraile franciscano que pasó la mayor parte de su vida en los

monasterios parisinos. Fue el autor de "Cognitata Physico-Mathematica" en donde afirma sin

probarlo que Mp es primo para p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257 y para ningún otro primo

hasta 257. Llevo 300 años establecer la veracidad de esto, en 1947 se comprobó que Mersenne

había cometido cinco errores: M61 es primo, M67 es compuesto, M89 es primo, M107 es primo y

M257 es compuesto.

Ha habido mucha actividad dirigida a encontrar primos de Mersenne ya que constituyen algunos de

los primos más grandes conocidos y que por cada uno descubierto tenemos un nuevo número

perfecto par:

“Un número n es perfecto par si y solo si n =2p - 1

x Mp, siendo Mp un primo de Mersenne”.

El último número primo de Mersenne, el mayor conocido hasta ahora, se encontró en Mayo del

2004 por Findley, Woltman y Kurowsk el cual aparece cuando: p = 24036583.

3.5. Números Amigos

“Dos números son amigos cuando cada uno es igual a la suma de los divisores del otro sin

considerarse ellos mismos”.

El menor par de números amigos es el formado por el 220 y 284 (1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 11 + 22

+ 44 + 55 + 110 = 284 y 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220).

Durante muchos siglos estos dos números fueron los únicos amigos. Pero Fermat, con suma

paciencia y una admirable visión numérica, descubre la segunda pareja de números amigos, unos

amigos mucho más complicados que 220 y 284. Se trata de: 17296 y 18416. Descubre además una

regla general, la cual nos dice que si: q = 3 x 2 p-1-1; r = 3 x 2

p – 1 y s = 9 x 2

2p-1-1 son números

primos, entonces n = 2 p x q x r y m = 2

p x s, son números amigos. Por ejemplo 17296 y 18416

corresponden a los valores de p = 2; q = 5; r = 11 y s = 71.

Euler publicó en 1750 una lista de sesenta pares y curiosamente olvidó el segundo par en orden

creciente: 1184 y 1210 que fue descubierto por Paganini en 1866 a los 16 años de edad.

Otros números amigos son: 6232 y 6368; 2620 y 2924, 9437056 y 9363284.

Uno de los últimos pares de números amigos conocidos fue encontrado por Jobling & Walter en el

año 2003, ellos poseen más de 900 cifras. La búsqueda de estos números aún se sigue realizando.

3.6 Conjetura de Ziol Publicada en Junio del 2004, esta conjetura nos dice que:

“34155 es el único entero impar igual a la suma de sus divisores propios mayores que su raíz

cuadrada”.

Los divisores de 34155 son: 3, 5, 9, 11, 15, 23, 27, 33, 45, 55, 69, 99, 115, 135, 165, 207, 253, 297,

345, 495, 621, 759, 1035, 1265, 1485, 2277, 3105,3795,6831,11385. La raíz cuadrada de 34155 es

184,8... Entonces tenemos: 207 + 253 + 297 + 345 + 495 + 621 + 759 + 1035 + 1265 + 1485 + 2277

+ 3105 + 3795 + 6831 + 11385 = 34155.

BIBLIOGRAFIA

Pettofrezzo, Anthony J. (1972) “ Introducción a la Teoría de Números ”

Robledo, Alamiro (1977), “Lecciones de Aritmética Elemental Moderna”

Gentile, Enzo (1986), Serie: Monografía de Matemáticas, Notas de Aritmética, IPROCH.

http://www.numaboa.com.br

http://es.wikipedia.org

http://www.mersenne.org

http://www.matematicas.net