Monografia en evaluacion (3)

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON ECUACIONES DE SEGUNDO GRADOCON UNA INCOGNITAPOR MEDIO DE LOS SOFTWARE DERIVE Y GEÓGEBRA

EN NOVENO GRADO

Isaac Esteban Camargo Freile

Eliecer Díaz Meneses

ASESOR.

Sonia Valbuena Duarte

Universidad del Atlántico

Facultad de Educación

INTERPRETACION Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCOGNITA EN NOVENO GRADO MEDIADO

POR DERIVE Y GEÓGEBRA


EN NOVENO GRADO



ASESOR.




ISAAC ESTEBAN CAMARGO FREILE

ELIECER DÍAZ MENESES


EN NOVENO GRADO



ASESOR.




ASESOR.

SONIA VALBUENA DUARTE


EN NOVENO GRADO



ASESOR.





EN NOVENO GRADO



ASESOR.



Facultad de EducaciónUNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO

FACULTAD DE EDUCACIÓN

PROGRAMA LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS

2014

INTERPRETACION Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCOGNITA EN NOVENO GRADO MEDIADO

POR DERIVE Y GEÓGEBRA


EN NOVENO GRADO



ASESOR.




ISAAC ESTEBAN CAMARGO FREILE


EN NOVENO GRADO



ASESOR.



Facultad de EducaciónELIECER DÍAZ MENESES


EN NOVENO GRADO



ASESOR.




TRABAJO DE GRADO PRESENTADO COMO REQUISITO PARCIAL PARA OPTAR AL TÍTULO DE LICENCIADO EN MATEMÁTICAS

ASESORA

MG SONIA VALBUENA


EN NOVENO GRADO



ASESOR.




UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO

FACULTAD DE EDUCACION

PROGRAMA DE LICENCIATURA EN MATEMATICA


EN NOVENO GRADO



ASESOR.



Facultad de EducaciónBARRANQUILLA ATLANTICO

2014

Nota de aceptación:

__________________________________


EN NOVENO GRADO



ASESOR.



Facultad de Educación__________________________________

__________________________________

__________________________________

__________________________________

__________________________________


EN NOVENO GRADO



ASESOR.




__________________________________

Firma del presidente de jurado


EN NOVENO GRADO



ASESOR.



Facultad de Educación__________________________________

Firma del jurado

__________________________________


EN NOVENO GRADO



ASESOR.



Facultad de EducaciónFirma del jurado


EN NOVENO GRADO



ASESOR.



Facultad de EducaciónBarranquilla, ------------ 2014

AGRADECIMIENTOS


EN NOVENO GRADO



ASESOR.




Agradezco a la Dios por darnos la oportunidad de vivir, salud y permitirnos cumplir esta meta, a

la universidad por brindarme la oportunidad de llevar a buen final este proyecto, a sus docentes

por el gran aporte que hicieron en su momento para mi superación académica, a mis compañeros

de estudio con quienes compartí la vida universitaria y con quienes formamos nuestros sueños


EN NOVENO GRADO



ASESOR.



Facultad de Educaciónde futuro profesional. Agradecimiento especial a la directora de este proyecto quien fue siempre

mi guía para poder ejecutar las tareas y acciones convenientes en cada fase del desarrollo de este

trabajo. Y a cada una de las personas que hicieron parte de este proyecto que hoy presento con

mucha satisfacción.

Tabla De Contenido

1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA..........................................................................................................12

1.1 Descripción del Problema................................................................................................................12

1.2 FORMULACIÓN DEL PROBLEMA......................................................................................................15

1.2.1 Preguntas Subyacentes.............................................................................................................15

2 FINES DE LA INVESTIGACIÓN..................................................................................................................16

2.1 JUSTIFICACIÓN.................................................................................................................................16

2.2 OBJETIVOS.......................................................................................................................................21

2.2.1 Objetivo General.......................................................................................................................21

2.2.2 Objetivos Específicos................................................................................................................21

3 MARCO REFERENCIAL.............................................................................................................................22

3.1 ANTECEDENTES................................................................................................................................22

3.2 MARCO TEÓRICO.............................................................................................................................29

3.2.1 TIC en la Resolución de Problemas...........................................................................................32

3.3 MARCO CONCEPTUAL......................................................................................................................40

3.3.1 Resolución ecuaciones de segundo grado con una incógnita...................................................40

3.3.2 Ecuaciones de segundo grado con una incógnita.....................................................................41

4. MARCO METODOLÓGICO......................................................................................................................46

4.1 PARADIGMA....................................................................................................................................47

4.2 POBLACIÓN......................................................................................................................................47

4.3 MUESTRA.........................................................................................................................................48

4.4 ETAPAS DE LA INVESTIGACIÓN........................................................................................................49

4.4.1 Etapa 1. Identificación del Problema.......................................................................................49

4.4.2 Etapa 2 Fundamentación Teórica.............................................................................................50

4.4.2 Etapa 3 Planteamiento de la Estrategia...................................................................................51

4.4.3 Etapa 4 Evaluación de la Estrategia..........................................................................................51

4.5 INSTRUMENTOS Y TÉCNICAS DE RECOLECCIÓN DE INFORMACIÓN.................................................51

4.6 ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS................................................................................54

18

4.6.1 Observación de Campo.............................................................................................................54

4.7 ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DEL DIAGNÓSTICO Y LA ENCUESTA A ESTUDIANTES........................56

4.7.1 Análisis De La Prueba Diagnóstica.............................................................................................56

5 PROPUESTA............................................................................................................................................62

5.1 JUSTIFICACIÓN.................................................................................................................................64

5.2 OBJETIVOS.......................................................................................................................................66

5.2.1 Objetivo General.......................................................................................................................66

5.2.2 Objetivos Específicos................................................................................................................66

5.3 PLAN OPERATIVO DE ACCIÓN..........................................................................................................67

ACTIVIDADES.............................................................................................................................................70

ACTIVIDAD 1. REPRESENTA SIMBÓLICAMENTE ELABORANDO FICHAS.................................................83

ACTIVAD 2. REFUERZA TUS CONOCIMIENTOS......................................................................................84

ACTIVIDAD 3. UTILICEMOS NEKAGRA....................................................................................................87

ACTIVIDAD 4. GRAFIQUEMOS CON GEOGEBRA....................................................................................91

ACTIVIDAD 5. DEDUSCAMOS LA ECUACION A PARTIR DE LA GRAFICA..................................................92

ACTIVIDAD 6. JUGANDO JUGANDO VOY APRENDIENDO.......................................................................99

EVALUACION. PON EN PRÁCTICA LO APRENDIDO...............................................................................101

6. ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE LOS RESULTADOS DE LA PROPUESTA..............................................102

Actividad 1...........................................................................................................................................102

Actividad 2...........................................................................................................................................103

Actividad 3...........................................................................................................................................105

Actividad 4...........................................................................................................................................107

Actividad 5:..........................................................................................................................................109

Actividad 6:..........................................................................................................................................110

ANALISIS DE PRUEVA FINAL O POS TEST..............................................................................................111

7. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES...............................................................................................116

8 ANEXOS................................................................................................................................................119

Anexo 1 Ficha de Observación.............................................................................................................119

Anexo 2. Prueba diagnóstica...............................................................................................................120

Objetivos de la prueba diagnóstica......................................................................................................120

Anexo 3. Encuesta Estudiantes............................................................................................................122

19

Anexo 4. Encuesta Docente.................................................................................................................123

9. EVIDENCIAS.........................................................................................................................................124

BIBLIOGRAFIA..........................................................................................................................................128

20

RESUMEN

Construir el conocimiento matemático, en un ambiente mediado por las TIC, requiere de la

aplicación de nuevas estrategias metodológicas y didácticas. En este trabajo se reporta el

problema detectado en el Colegio Dolores María Ucros del municipio de Soledad Atlántico, en

los grados 9º, en lo referente al aprendizaje y comprensión de los sistemas matemáticos en el

caso particular de las ecuaciones de segundo grado con una incógnita. Dentro de las dificultades

encontradas es la resistencia del docente por cambiar lo monótono de la enseñanza catedrática

del algebra, lo que ha provocado en los estudiantes una apatía hacia la asignatura así como a los

problemas que involucran este tipo de ecuaciones para ser resueltos. Que al final del proceso

educativo lo que se hace evidente es falencias en el aprendizaje del estudiante, los cuales poco o

nada les interesa superar, identificándose un espíritu de frustración en porcentajes alarmantes en

la población estudiantes y lo que a la postre termina afectando su futura educación superior.

Dado los intereses de los estudiantes en la bien llamada era digital, está investigación

pretende conjugar el álgebra en la temática especifica mencionada con la propuesta de unas

estrategias didácticas que mediadas por la tecnología, particularmente por los software de uso

masivo debido a su fácil manejo y acceso gratuito, propicien aprendizajes con significado e

interés para los estudiantes.

21

ABSTRACT

Constructing mathematical knowledge in an ICT-mediated environment requires the

application of new methodologies and teaching strategies. In this paper the problem detected in

the School Maria Dolores Ucros in Soledad Atlantic Township, in ninth grades, in relation to

learning and understanding of mathematical systems in the particular case of quadratic equations

with one unknown is reported. Among difficulties is the resistance of teachers to change the

monotony of the professor teaching algebra, which has resulted in apathy in students towards this

subject and to problems involving these equations to be solved. That at the end of educational

process is evident on gaps in student learning, which interests them little or nothing overcome,

identifying a spirit of frustration at alarming rates in student population and what eventually ends

up affecting their future higher education.

Since the interests of the students in the aptly named digital age, this research aims to

combine algebra topic specified above with the proposal of some teaching strategies that

mediated by technology, particularly software in widespread use because of its easy handling and

free access, foster meaningful learning and interest to students.

22

INTRODUCCIÓN

Construir el conocimiento matemático, en un ambiente mediado por las TIC requiere de la

aplicación de nuevas estrategias metodológicas y didácticas. En este trabajo se reporta el

problema detectado en un colegio del municipio de Soledad Atlántico, en los grados 9º, en lo

referente al aprendizaje y comprensión de los sistemas matemáticos en el caso particular de las

ecuaciones de segundo grado con una incógnita

Teniendo presente que la importancia de la matemática reside en su insustituible utilidad para la

definición de las relaciones que vinculan objetos de razón, como los números y los puntos. Sin

embargo, la matemática moderna excede el simple análisis numérico y ha avanzado sobre

parámetros lógicos no cuantitativos, (Torrado, 2013) En este contexto, su aplicación a la

informática en los tiempos actuales es responsable de los avances técnicos que deslumbran al

mundo entero.

Por otro lado una de las actividades dentro del área de matemáticas de gran importancia y

exigencia es el desarrollo del pensamiento orientado a mejora la capacidad de análisis y

comprensión de cualquier persona.

Por ello esta investigación pretende lograr un proceso que permita desarrollar el pensamiento

(Piaget, 2004), es decir, la capacidad de prescindir del contenido concreto y palpable de las cosas

23

http://www.importancia.org/informatica.php

para situarse en el campo de lo abstracto, ofreciéndole un alto esquema de posibilidades y

conclusiones acerca de cualquier situación problema la cual requiera de una solución algebraica;

para ello es necesario realizar un cambio estructural en la forma de enseñar la matemáticas e

implementar nuevas tecnologías de la información y la comunicación (TIC), que ayuden al

estudiante a comprender, sistemas de ecuaciones de segundo grado con una incógnita.

En el siguiente trabajo se recoge todo un proceso descriptivo que involucró a la comunidad

educativa de la Institución Educativa Dolores María Ucros del municipio de Soledad

Atlántico, específicamente los estudiantes de Noveno Grado, en quienes fueron detectadas

algunas dificultades con base en la observación directa fruto de las practicas docentes en los

además de entrevistas con docentes y estudiantes, la realización de la prueba diagnóstica. Se notó

en los estudiantes presentaban dificultades en la resolución de problemas con ecuaciones de

segundo grado con una incógnita, por otro lado los medios y recurso que brinda la institución

propician un escenario óptimo para la implementación de instrumentos TIC.

Esta propuesta busca mejorar en forma didáctica e intervención, retomando un componente

teórico; combinando aspectos tan importantes en la matemática como la Teoría Heurística de

resolución de problemas en el cual haremos uso de las TIC; además hace énfasis en las

orientaciones para una posible solución, que fueron producto de un cuidadoso análisis de los

resultados arrojados por cada técnica e instrumentos aplicados en esta investigación.

24

1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

1.1 Descripción del Problema

En el aprendizaje y comprensión de los sistemas de ecuaciones se presenta cierta dificultad que

se ve reflejada en los estudiantes de Noveno Grado de la Institución Educativa Dolores María

Ucros en el momento de resolver ecuaciones de segundo grado con una incógnita, puesto que se

notó un gran nivel de desmotivación por parte de los estudiantes hacia la materia y hacia el

docente, lo cual es debido a la inadecuada pedagógica tradicional que los docentes imparten a

los estudiantes, la cual es de manera memorística y monótona.

De allí la importancia y búsqueda de una solución al bajo interés de los estudiantes por el

aprendizaje de las matemáticas, a los malos rendimientos que estos poseen en esta asignatura no

solo a nivel interno en la institución, sino a través de las pruebas ICFES y desde la pruebas

externas, este trabajo identifica la posibilidad de repensar el acto pedagógico desde una

perspectiva más dinámica, que incentive a cambiar este esquema memorístico tradicional, donde

se comprenda este contenido de manera significativa y activa.

Por tanto en Colombia de acuerdo con el MEN (2.2 Referentes Curriculares. P 9,10)“ha surgido

la necesidad de idear nuevas estrategias que permitan la solución a estas falencias, en los

estudiantes” y en particular los de Noveno Grado, a pesar de que ya han pasado por varios

25

procesos evaluativos, durante su currículo académico, siguen presentando una cantidad de

carencias en la resolución de problemas, dificultades tales como: situaciones en donde los

estudiantes confunden los métodos de factorización entre sí, no extraen de manera correcta los

datos necesarios para resolver un problema, lo que a su vez, incide en el bajo rendimiento

académico de los estudiantes, produciendo en ellos un sentimiento de frustración y

conduciéndolos a una apatía hacia las ecuaciones de segundo grado con una incógnita y aún más

a la asignatura de matemáticas, todas estas dificultades llevaron a detectar la existencia de un

problema al cual había que hallarle una solución, por lo cual se ideo una estrategia pedagógica la

cual incluye las TIC mediante la utilización de los software Derive y GeoGebra. Estos errores

impiden que los conocimientos nuevos sean realmente significativos.

Lo anterior repercute de manera notoria en el manejo correcto y los aprendizajes de las

ecuaciones de segundo grado ya sea por el mal reconocimiento e interpretación de los mismos,

como la implementación de la fórmula general y los casos de factorización, lo cual es debido a la

mecanización de los procesos de resolución de estos métodos que a su vez implica que los

estudiantes se confundan y realicen los ejercicios de una forma inadecuada.

Otra situación ocurre cuando los estudiantes resuelven ecuaciones de segundo grado con

una incógnita por el método de completación de cuadrados. A pesar del dominio de los

ejercicios, existe una deficiencia cuando les presentan situaciones problema donde se requiere la

aplicación de las ecuaciones. Estas deficiencias tienen que ver con el registro, análisis y

comprensión de los datos, necesarios para resolver el problema planteado. Además cuando los

26

estudiantes se encuentran en la clase de ecuaciones de segundo grado con una incógnita por el

método de formula general. En este caso, los pocos que sabían resolver las ecuaciones, tienen la

misma deficiencia al resolver los problemas con las ecuaciones. Además no logran identificar y

comprender las variables del problema y no llevan los datos a un lenguaje matemático.

Las anteriores situaciones llevaron a identificar que los estudiantes tienen serios

problemas, por la falta de dominio, en la comprensión, análisis de las incógnitas y la abstracción,

de elementos fundamentales para solucionar cualquier tipo de problema matemático.

27

1.2 FORMULACIÓN DEL PROBLEMA

¿Qué estrategias didácticas apoyadas con los software Derive y GeoGebra pueden ayudar a los

estudiantes de noveno grado de la Institución Educativa Dolores María Ucros en la interpretación

y resolución de problemas con ecuaciones de segundo grado con una incógnita?

1.2.1 Preguntas Subyacentes

¿Cuál es la metodología del docente utilizada para la enseñanza de ecuaciones de

segundo grado con una incógnita en estudiantes de Noveno Grado?

¿Cuáles son los procedimientos apropiados para desarrollar problemas con sistemas de

ecuaciones de segundo grado con una incógnita?

¿Qué conocimientos previos deben poseer los estudiantes?

¿Cuál es la mejor forma de utilizar las TIC para resolver ecuaciones?

¿De qué forma se pueden utilizar las TIC para un mejor análisis de situaciones problema?

¿De qué forma se pueden utilizar los software Derive y GeoGebra para resolver

problema?

28

2 FINES DE LA INVESTIGACIÓN

2.1 JUSTIFICACIÓN

Gran cantidad de problemas prácticos en la vida real conducen a la resolución de una

ecuación o de un sistema de ecuaciones. Traducir al “lenguaje del álgebra” resulta

imprescindible en estas ocasiones, el lenguaje algebraico nos sirve para expresar con precisión

relaciones difíciles de transmitir con el lenguaje habitual.

Para ello los maestros deben implementar estrategias que permitan la formación integral,

de los estudiantes. Según Alfonso López Quintás resalta en su investigación “Cómo Lograr una

Formación Integral” la cual debe ser tanto en lo intelectual como en lo social y cognoscitivo,

orientado a fomentar el desarrollo de las capacidades para resolver cualquier tipo de problema

matemático relacionado con el pensamiento algebraico (Cómo Lograr una Formación Integral, López

A. Madrid 1993)1

De ahí, la importancia de esta investigación, resaltando la utilización de las nuevas

tecnologías y los software Derive y GeoGebra para mejorar la comprensión de los problemas ya

que no existe un software que sea capaz de analizar la complejidad lingüística de los enunciados

propuestos para resolverlos mediante la utilización de ecuaciones de segundo grado con una

incógnita.

1http://www.filosofia.org/ave/001/a136.htm. Consultado 16/06/2014.

29

Por otro lado se busca realmente que se promueva en el estudiante de noveno grado,

actitudes de observación registro y utilización del lenguaje matemático, permitiéndole el análisis

y la comprensión de los problemas que tienen que ver con las ecuaciones primer y segundo grado

con una incógnita, además de incursionar con la utilización de las TIC, para una mejor

motivación. Esto es inicialmente, porque en la medida que el estudiante desarrolle, pensamiento

algebraico y la modelación se está aumentando sus capacidades para comprender y resolver

cualquier problema matemático que se le presente en la vida.

El aprendizaje debe ser significativo y funcional (Ausubel, 1983), es decir, tener sentido

para quien lo aprende y ser útil más allá del ámbito escolar, es decir no mecanizado buscar un

modelo de pensamiento variacional donde el estudiante capte por completo la conceptualización

de dichos procesos algebraicos y el porqué de los mismos, razón por la cual es fundamental que

los diferentes espacios educativos ofrezcan dentro de sus planes la aplicación que tienen cada

uno de estos temas en la vida cotidiana.

En el marco de la propuesta del M.E.N (Ministerio Nacional de Educación) se plantea la

necesidad de incorporar dentro de la actividad educativa de las matemáticas cinco procesos

generales entre ellos: Formular y Resolver problemas; proceso que permite desarrollar una

actitud mental perseverante e inquisitiva.

30

Así como en el quehacer pedagógico haciendo uso de todas esas estrategias y prácticas de

la pedagogía que permiten a los alumnos apropiarse del conocimiento y al maestro tomar esos

conocimientos para adaptarlos a las necesidades de los estudiantes.

Así mismo el docente debe tener presente cuales son los intereses del estudiante en la

bien llamada era digital, explotar esos intereses en pro de la enseñanza y el aprendizaje de las

matemáticas, haciendo uso de herramientas gratuitas y de fácil acceso como lo son Derive y

GeoGebra.

Además la UNESCO y el ministerio de TIC en Colombia (MINTIC) en su publicación

(Estándares TIC para Estudiantes, Docentes y Directivos, 2012) resalta dentro de las

competencias del docente2:

Los docentes deben saber dónde, cuándo (también cuándo no) y cómo utilizar la

tecnología digital (TIC) en actividades y presentaciones efectuadas en el aula. Conocer el

funcionamiento básico del hardware y del software, así como de las aplicaciones de

productividad, un navegador de Internet, un programa de comunicación, un presentador

multimedia y aplicaciones de gestión.

2 http://www.eduteka.org/pdfdir/UNESCOEstandaresDocentes.pdf (consultado, 31/08/14)

31

Por tanto el docente debe estar en capacidad de utilizar las TIC durante las actividades

realizadas en la clase, en pequeños grupos o de manera individual. Garantizando el acceso

equitativo al uso de las TIC.

El estudiante es tecnológico, es un nativo digital. Esto ha sido tan discutido, el famoso

chip de que el estudiante maneja las tecnologías, es cierto, nació sin miedo a usarla. Sin

embargo, el potencial para apropiarse pedagógicamente de ella, está en la motivación que le

generemos, y en la forma como le enseñemos a canalizarla en un proceso de autoaprendizaje

constante3.

Con el presente trabajo investigativo se plantean las siguientes hipótesis como posibles

resultados esperados al aplicar la propuesta didáctica:

Los estudiantes resuelven problemas implementado tics.

Extraen de manera lógica los datos de un en enunciado problema y los utilizan

para formular ecuaciones de segundo grado con una incógnita

Identifican con fluidez el método más apropiado para la factorización de una

ecuación de la forma ax2+bx+c

Utilizan el software derive como herramienta para factorizar y comprobar la

solución de las ecuaciones que dan resultado a una situación problema.

3 tomado de MINTIC” http://www.computadoresparaeducar.gov.co/website/es/Documentos/LIBRO/pages/formacion_docentesTIC.pdf”(consultado, 31/08/14)

32

Representa gráficamente ecuaciones de segundo grado con una incógnita

utilizando el software GeoGebra para visualizar con mayor precisión la solución

de las ya antes mencionadas ecuaciones.

Mediante la utilización de los software Derive y GeoGebra los estudiantes que

presentaban dificultades y apatía con las matemáticas, específicamente en la

temática de ecuaciones de segundo grado con una incógnita, mejoraran el

aprendizaje debido a que la utilización de herramientas tecnológicas despiertan el

interés en los estudiantes.

Con las anteriormente planteadas hipótesis se lograr en los estudiantes una

interpretación y resolución de problemas con ecuaciones de segundo grado con una incógnita en

noveno grado mediado por Derive y GeoGebra

Es precisamente esta propuesta una de las principales razones para tomar una

investigación basada en el proceso de resolución de problemas, buscando opciones para que la

enseñanza de la educación matemáticas no solo se limite a la clase catedrática y monótona por

esto la utilización de las TIC en los estudiantes de noveno grado de la Institución educativa

Dolores María Ucros, sea cada vez más indispensable, significativa y brinde a los docentes

herramientas para entender su entorno juvenil.

33

2.2 OBJETIVOS

2.2.1 Objetivo General

Diseñar e implementar estrategias didácticas apoyadas con los software Derive y

GeoGebra para ayudar a los estudiantes de Noveno Grado de la Institución Educativa Dolores

María Ucros a la interpretación y resolución de problemas con ecuaciones de segundo grado con

una incógnita.

2.2.2 Objetivos Específicos

Determinar los conocimientos previos que poseen los estudiantes, necesarios para

resolver problemas con ecuaciones de segundo grado con una incógnita.

Identificar la metodología para la enseñanza de ecuaciones de segundo grado con una

incógnita en estudiantes de noveno grado.

Utilizar software que permitan al estudiante una mejor visualización, para la resolución

de ecuaciones.

Identificar el procedimiento apropiado para resolver mediante software, problemas que

requieran la utilización de ecuaciones de segundo grado con una incógnita.

34

3 MARCO REFERENCIAL

3.1 ANTECEDENTES

La fundamentación de este proyecto se basa, en estudios de esta problemática a nivel local,

nacional e internacional, para que de esta manera se pueda tener en cuenta el apoyo al proyecto,

las cuales enriquecieron el presente trabajo investigativo, observando cómo, el cambio de la

metodología de enseñanza de los sistemas de ecuaciones de segundo grado con una incógnita, en

otros lugares (Madrid-España, Bogotá-Colombia, y con ello aterrizar en un contexto local como

lo es la universidad del Atlántico) obtuvieron resultados eficientes en la utilización de estrategias

didácticas e implementación TIC, los cuales sirvieron como punto de partida, para proponer e

implementar la propuesta adecuada a nuestro contexto; entre los cuales destacamos y citamos los

siguientes proyectos de investigación:

En la Universidad de Granada (UGR) España se realizó una importante investigación a

nivel del estudio de las ecuaciones de segundo grado con una incógnita titulada “evaluación de la

idoneidad didáctica de una experiencia de enseñanza sobre ecuaciones de segundo grado en 3º de

educación secundaria obligatoria” por Paola Posadas Prados, curso: 2012/20134

La cual trata sobre las modificaciones epistemológicas del currículo de matemáticas en la

enseñanza de las ecuaciones de segundo grado donde se resalta la importancia de implementar

4http://www.ugr.es/~jgodino/Tesis_doctorales/TFM_Posadas.pdf.consultado 16/06/2014.

35

estos sistemas en la vida cotidiana con fin de hacer un apropiamiento de cada uno de los métodos

de resolución de ecuaciones en cuestión.

La población muestral: La unidad didáctica se ha impartido en una clase de 3º de ESO. Se

trata de un grupo heterogéneo de 29 alumnos (16 chicos y 13 chicas). Es un grupo bastante

diverso en cuanto a factores sociales se refiere. Aun así, estas diferencias sociales no influyen en

el trabajo diario.

Durante la implementación de la unidad, se hizo énfasis en la importancia de los signos a

la hora de resolver las ecuaciones. También se trabajó la relación entre las ecuaciones de

segundo grado y la descomposición en factores; es decir, aplicar las identidades notables o

extraer factor común.

La segunda fase estuvo enmarcada por una secuencia de tareas centradas en la resolución

de problemas geométricos relacionados con rectángulos y cuadrados, con el fin de que los

estudiantes propongan la fórmula que resuelve las ecuaciones planteadas

En la tercera y última fase de la investigación apunta hacia la aplicación de las

ecuaciones cuadráticas en la vida real esto con el ánimo de llevar las ecuaciones de lo abstracto a

lo real. En donde los estudiantes analizaban situaciones problemas como por ejemplo.

36

Un autobús que gira en una curva, se debe desplazar hacia fuera para que las ruedas

traseras no invadan el carril bici de la autopista, a medida que el autobús gira en la curva, la

rueda delantera está sobre el borde del carril bici, pero la rueda trasera está dentro del carril bici,

de este modo se plantea una ecuación correspondiente a la situación antes descrita, y con la

ayuda de la fase 2 anteriormente descrita, el estudiante debe probar que la ecuación

x2+2 xr+w2 Es la ecuación correspondiente.

Paola Posada Prados (2012-2013) concluyó en su investigación que la noción de

idoneidad didáctica proporciona una síntesis global sobre los procesos de estudio matemáticos,

pero su aplicación requiere realizar los análisis previos de las diversas facetas implicadas. En

particular, la idoneidad epistémica requiere caracterizar los tipos de problemas, los sistemas de

prácticas institucionales correspondientes, así como la reconstrucción de las configuraciones y

procesos matemáticos implicados

La anterior investigación de Paola Posada Prados conllevo a identificar que la forma más

eficaz de la enseñanza de las matemáticas, en especial el abordaje de problemas que conllevan a

plantear ecuaciones de segundo grado con una incógnita es más eficiente su comprensión cuando

el docente cambia la metodología tradicionalista por la implementación de modelos didácticos.

Caracterizando los problemas a un contexto cotidiano de fácil comprensión para los estudiantes.

37

Mientras que en el contexto nacional tenemos en la universidad de Los Andes se realizó

la investigación sobre Acercamiento Geométrico a las Ecuaciones de Segundo Grado con

GeoGebra por Ruiz Hidalgo, Juan Francisco Lupiáñez Gómez José Luis (2011)

En donde se refiere que el proceso de construcción de raíces cuadradas y resolución de

ecuaciones cuadráticas con GeoGebra es mucho más sencillo, lo cual permite introducirlo como

parte de las actividades de esos temas. A partir de la representación de la raíz cuadrada, con la

construcción de las soluciones de la ecuación o con la combinación de ambas, se puede sugerir la

elaboración de construcciones para otros tipos de ecuaciones cuadráticas.

En esta investigación concretamente se plantea, una ecuación cuadrática aparecerá en la

forma. x2+ax+c=0 es necesario tener en cuenta que los griegos en ningún momento podía

igualar una suma de áreas a cero, además resalta que con la raíz cuadrada del término

independiente se puede introducir, como primer elemento, de modo que se analiza la raíz

cuadrada de un número o, más exactamente, la raíz cuadrada de un segmento de recta.

La anterior investigación sirvió como referencia en la utilización de GeoGebra como

herramienta de apoyo, para resolver ecuaciones de segundo grado con una incógnita, y se

identificó que el estudiante actual se motiva con herramientas tecnológicas y poco a poco con el

uso de ellas, se va eliminando el tabú, de que las matemáticas son difíciles y nuestro caso el

software antes descrito ayudo a los estudiantes a visualizar de manera eficaz problemas que

38

involucran estas ecuaciones y aún más en aquellos donde se requiere de una interpretación

geométrica.

Mientras que a nivel local tenemos, en la Universidad del Atlántico la investigación

“Causas de las dificultades en la resolución de problemas que involucran ecuaciones de primer

grado con una o dos variables” por Shirley Bocanegra & Enith Montes (2010).

Esta investigación se basó en 5 pasos para ayudar a la superación de dificultades para

solucionar problemas con ecuaciones de primer grado con una o dos variables. La estrategia

metodológica que emplearon fue:

De acuerdo al proceso diseñado los estudiantes trabajaron ejercicios y situaciones

problemas en donde pusieron en juego procedimientos de rutina como leer analizar y

comprender los procedimientos más complejos.

Dentro de las actividades planteadas se tuvo en cuenta problemas que incentivaran:

1) La construcción de nuevos conocimientos.

2) La utilización de los conocimientos ya adquiridos dentro y fuera de las matemáticas.

3) La aplicación conjunta de varias categorías del conocimiento.

Actividad 1: conceptuación de ecuación, elementos clasificación y solución general de

una ecuación de primer grado.

39

Actividad 2: como resolver ecuaciones de primer grado.

Actividad 3: Resolver ecuaciones de primer grado con dos variables.

Actividad 4: Resolución de problemas de las expresiones algebraicas más comunes.

Actividad 5: Aprender jugando.

Para cado una de las actividades antes mencionadas se realizó talleres y actividades

lúdicas donde el estudiante demostraba lo aprendido en cada sesión

Otra de las estrategias empleadas por Shirley Bocanegra &Enith Montes (2010) fue la

implementación de un bingo matemático con 30 ecuaciones de primer grado en donde uno de los

estudiantes escogidos al azar tomaba una tarjeta con una ecuación planteada mientras que el

cartón de bingo poseía la solución de la ecuación hasta que el estudiante completara todas las

soluciones del cartón y cantara el bingo.

Por último se recomendó proponer a los estudiantes la resolución de actividades que los

obligue a reflexionar sobre los conocimientos matemáticos que poseen.

Con la investigación de Shirley Bocanegra &Enith Montes. Dio pie para la creación e

implementación de una cartilla didáctica titulada “Jugando Jugando Voy Aprendiendo”, en la

cual se desarrollaron una serie de actividades correspondientes a la resolución de problemas con

40

ecuaciones de segundo grado con una incógnita, además de guías para la enseñanza y utilización

de los software Derive y GeoGebra, como herramienta para la comprensión de estos problemas.

Por otro lado se han hecho diversas propuestas en las cuales se ha incorporado la

tecnología al salón de clase con el fin de mejorar la educación. Existen tantos factores, que

pueden ser adaptadas al aprendizaje de las matemáticas utilizando los computadores para un

tema en particular, en este orden de ideas, es oportuno mencionar el trabajo presentado por

Beltrán Lleras (2003), titulado “como enseñar con tecnología” Madrid España. Cuyo objetivo

es logar en el estudiante un aprendizaje creativo, participativo y significativo al aplicar lúdica y

nuevas tecnologías para el aprendizaje además de esta forma es posible la utilización de las TIC

para la solución de ecuaciones de segundo grado con una incógnita, ya que fortalece la didáctica.

Beltrán Lleras concluye:

“Para que las TIC desarrollen todo su potencial de transformación deben integrarse en

el aula y convertirse en un instrumento cognitivo capaz de mejorar la inteligencia y

potenciar la aventura de aprender “5.

Por tanto con las TIC en función del proceso de aprendizaje, realmente constituye una

experiencia significativa y muy pertinente. Los estudiantes asumen una actitud responsable,

demostrando un interés inusitado en cada clase, en cada aplicación, en cada demostración

5http://pendientedemigracion.ucm.es/info/psicevol/CURRICULUMS/curriculum%20beltran.htm (consultado. 20/06/2014)

41

utilizar las TIC, constituye una experiencia que despertó el deseo de aprender, de ejercitando al

máximo sus competencias matemáticas de concentración, de atención y diversión.

3.2 MARCO TEÓRICO

Particularmente en los sistemas de ecuaciones es común pensar que dichos sistemas y el alegraba

empiezan desde el primer momento en que se utilizan las letras para representar los números.

Pero esto no es del todo cierto debido a que desde el momento en el que los estudiantes o bien

los niños empiezan a representar operaciones que pueden hacerse con cualquier número, por lo

cual de esta manera se lleva a cabo la transición de la aritmética al algebra (Abordaje basado en

la geometría, Cristianne Butto y Teresa Rojano.2004, pp. 113-148).

Los sistemas de ecuaciones al igual que los parámetros que se emplean para resolver

estos sistemas son de vital importancia debido a que pueden ser de gran utilidad en la vida

cotidiana y como tal en el campo tecnológico, de esta manera inclusive estos sistemas son

traducidos al lenguaje cotidiano y no son realizados de la siguiente manera, encuentre la solución

de dicha ecuación; sino que se da una relación directa entre relatos que suministran información

suficiente para resolver dichos problemas por tanto debe ser capaz de traducir una descripción

verbal al lenguaje matemático.

42

Como plantea Kolmogorov (1990) la naturaleza de las matemáticas se identifica por su

carácter abstracto, su precisión su rigor lógico y el razonamiento que implica en su amplio

campo de aplicación.

Además es importante establecer una relación biunívoca entre la aritmética y la geometría

de modo que sea posible contemplar los argumentos epistemológicos de la matemática, así

como la unión de conceptos que surgen de la geometría y la aritmética llegando a las operaciones

algebraicas que se utilizan entre estas dos ramas de las matemáticas.

Hasta el siglo XVII, la teoría de ecuaciones estuvo limitada pues los matemáticos no

fueron capaces de aceptar que los números negativos y complejos podían ser raíces de

ecuaciones polinómicas. Sólo los antiguos matemáticos indios, como Brahmagupta (598

Bhinmal, india 670) conocían las raíces negativas, pero fuera de China e India no se trabajaba

con coeficientes negativos en los polinomios. En vez de un solo tipo de ecuación de segundo

grado, Brahmagupta definió seis tipos distintos, según cuáles fueran los coeficientes negativos.

Otro importante descubrimiento del mundo antiguo, que se puede encontrar en los

escritos del matemático y científico griego Herón (Alejandría en el siglo I), es un método de

aproximación de la raíz positiva de ecuaciones como x2=2.

43

En 1629 el matemático francés Albert Girard aceptó raíces de ecuaciones tanto negativas

como complejas y fue, por tanto, capaz de finalizar el aún incompleto estudio que François Viète

había realizado sobre la relación entre las raíces de una ecuación algebraica y sus coeficientes.

Viète había descubierto que si a y b son las raíces de x2−px+q=0

Entonces P= (a+b ) Λ Q=(a . b )

Generalizando, Viète demostró que si el coeficiente del término de mayor grado de la

ecuación p(x) = 0 es la unidad, entonces el coeficiente del segundo término de mayor grado

cambiado de signo es igual a la suma de todas las raíces; el coeficiente del tercer término es igual

a la suma de todos los productos formados al multiplicar las raíces de dos en dos; el coeficiente

del cuarto término cambiado de signo es igual a la suma de todos los productos que resultan de

multiplicar las raíces de tres en tres. Si el grado de la ecuación es par, el coeficiente del último

término es igual al producto de todas las raíces; si es impar, es el producto de todas las raíces

cambiado de signo.

Por otro lado el matemático y filósofo francés René Descartes, incluyo la regla de los

signos para saber el número de raíces positivas y negativas de una ecuación (1635, libro sobre la

teoría de ecuaciones). Unas cuantas décadas más tarde, el físico y matemático inglés Isaac

Newton descubrió un método iterativo para encontrar las raíces de ecuaciones. Hoy se denomina

método Newton-Raphson, y el método iterativo de Herón.

44

A finales del siglo XVIII, el matemático alemán Carl Friedrich Gauss demostró que

cualquier ecuación polinómica tiene al menos una raíz. Sin embargo, quedaba aún por saber si

era posible expresar esta raíz con una fórmula algebraica utilizando los coeficientes de la

ecuación, como se había encontrado para las de segundo, tercer y cuarto grado. El astrónomo y

matemático francés Joseph Lagrange dio un paso importante para resolver esta cuestión con su

método de permutación de las raíces de una ecuación para el estudio de sus soluciones. Este

importante concepto, junto con los trabajos del matemático italiano Paolo Ruffini, del noruego

Niels Abel y del francés Évariste Galois, condujo a una teoría completa de los polinomios. Entre

otras cosas, esta teoría demuestra que un polinomio sólo se puede resolver utilizando una

fórmula algebraica general si es de cuarto grado o menor. El trabajo de Galois también sirvió

para resolver dos famosos problemas que se remontaban a los antiguos griegos: Galois demostró

que es imposible dividir algunos ángulos en tres partes iguales utilizando sólo el compás y la

regla recta, que es imposible construir un cubo cuyo volumen sea dos veces el de un cubo dado.

Por tanto en la enseñanza de las matemáticas siempre es importante tener en un principio

orientador, identificador, unificador que son factores esenciales para un buen conocimiento.

3.2.1 TIC en la Resolución de Problemas

Según Godino en su libro (Matemáticas y su Didáctica para Maestros, Manual para el

Estudiante, Edición Febrero 2003)

45

“La actividad de resolver problemas es esencial si queremos conseguir un aprendizaje

significativo de las matemáticas. No debemos pensar en esta actividad sólo como un

contenido más del currículo matemático, sino como uno de los vehículos principales del

aprendizaje de las matemáticas, y una fuente de motivación para los alumnos ya que

permite contextualizar y personalizar los conocimientos. Al resolver un problema, el

alumno dota de significado a las prácticas matemáticas realizadas, ya que comprende

su finalidad” p 63, 64.

A menudo se ve descontextualizada la enseñanza de las matemáticas como procesos desligados,

del conocimiento de los estudiantes por no encontrar una utilidad momentánea, del tema

planteado, por ello es importante que los encargados del área (Docentes) se encuentren en una

búsqueda constante de nuevas herramientas que permitan entender al alumno moderno como esa

temática problema, es vital para su aprendizaje y más aún en al momento de comenzar una

carrera profesional.

46

Por otro lado Schoenfiel (Mathematical Problem Solving en 1985) resalta que la

resolución de problemas de Polya es insuficiente, para la resolución de los mismos, sosteniendo

que este proceso es más complejo y por tanto emplea más instrumentos heurísticos desde el

punto de vista emocional afectivo y cultural (citado de. Shirley Bocanegra &Enith Montes, 2011,

págs.13, 14).

47

El desarrollo notable de herramientas tecnológicas ha generado diversas oportunidades

para incorporar su uso en el aprendizaje de las matemáticas. Kaput (1992) en una revisión del

impacto del uso de la tecnología en la construcción del conocimiento matemático afirmó que “las

limitaciones mayores del uso de la computadora en las siguientes décadas serían probablemente

menos debidas a las limitaciones tecnológicas y más a las limitaciones de la imaginación humana

y a las restricciones [producidas por] de los viejos hábitos y estructuras sociales” (p. 515). A más

de dos décadas, de la predicción de Kaput se confirma que las reformas recientes de las

propuestas curriculares y las formas de instrucción no han incorporado de manera sustantiva los

cambios necesarios que reclaman el empleo sistemático de las herramientas computacionales. Se

observa por ejemplo que las evaluaciones internacionales del aprovechamiento matemático de

los estudiantes no incluyen, en general, evaluar los métodos y estrategias que aparecen al

resolver problemas con el empleo de la tecnología (PISA, 2006) pero es aún más alarmante los

resultados del presente año; pues en esta ocasión la reconocida prueba PISA evaluó a 44 países.

La prueba que se aplico tiene por título "Resolución creativa de problemas y habilidades de los

alumnos para enfrentar problemas de la vida real", y de los 44 países, Colombia ocupa el último

puesto. Por tanto es muy importante cambiar la metodología de enseñanza de las matemáticas y

con ello mejorara la resolución de problemas.

Por ello el uso de las herramientas implica investigar las formas de razonamiento

matemático que se producen durante la comprensión de los conceptos matemáticos y en la

resolución de problemas. La existencia de una variedad de herramientas tecnológicas con

distintos potenciales para ser utilizadas en la instrucción matemática plantea un reto no sólo a los

48

profesores sino también a los investigadores en educación matemática en términos de ofrecer

información sustentada acerca de cómo utilizar esas herramientas en el desarrollo del

pensamiento matemático de los estudiantes. Es decir, resulta importante conocer el potencial o

ventajas reales que puede ofrecer el uso de determinada herramienta en la construcción del

conocimiento matemático de los estudiantes.

Zbiek, Heid, Blume& Dick (2007) distinguen dos tipos de actividad matemática donde el

empleo de herramientas computacionales juega un papel importante: las actividades técnicas y

conceptuales. Las técnicas se refieren a las acciones sobre los objetos matemáticos o sobre sus

representaciones como realizar una construcción geométrica, una medición, un cálculo numérico,

una manipulación algebraica, resolver una ecuación, recoger datos, ordenarlos, etc. Mientras que

una actividad conceptual se refiere a aspectos relacionados con formas de comprender ideas y

resolver problemas matemáticos. En ese proceso, es necesario que los estudiantes desarrollen

recursos que les permita comunicar y buscar conexiones, estructuras y relaciones matemáticas.

Algunos ejemplos incluyen encontrar y describir patrones, conjeturar, generalizar, abstraer,

conectar representaciones, predecir, probar y refutar. Las dos actividades se complementan ya

que ambas demandan una actitud inquisitiva por parte de los estudiantes que los conduzca a

lograr una articulación y una justificación de resultados. Es decir, las actividades técnicas que se

realizan con el empleo de la tecnología pueden involucrar una combinación de acciones

rutinarias orientadas o justificadas a partir de un razonamiento conceptual. Heid (2002) afirma

que los resultados de investigaciones que involucran el uso de CAS (Computer Algebra Systems)

49

niegan la afirmación que las habilidades de los estudiantes a realizar procedimientos deben

preceder al desarrollo de un entendimiento conceptual de las ideas matemáticas.

Estudios con CAS, han generado evidencias de que antes del desarrollo relacionados con

procesos rutinarios, los estudiantes pueden aprender a mayor profundidad que en un currículum

tradicional que recomienda el desarrollo de procedimiento rutinarios ante de los conceptos (Heid,

2002, p. 98).

¿Qué tipo de representaciones de los problemas y objetos matemáticos resultan

importantes con el uso de herramientas computacionales? ¿Cuál es el papel del uso de las

herramientas en la exploración de conjeturas o relaciones matemáticas? ¿Qué tipo de

razonamiento matemático pueden desarrollar los estudiantes cuando utilizan una o varias

herramientas computacionales? Estas preguntas señalan los temas relevantes que surgen en

escenarios de resolución de problemas que fomenten el uso sistemático de herramientas

computacionales. El proceso de solución de los problemas aporta información acerca de las

estrategias, los recursos, las representaciones y las formas de explorar y presentar resultados, de

esta, manera el empleo de las herramientas tecnológicas permiten visualizar y explorar el

significado de los problemas cotidianos.

50

Por otro lado entrando en materia de acuerdo a lo que nos compete, el software “Derive”

es uno de los llamados "Programas de Cálculo Simbólico", que podemos definir como programas

para ordenadores personales (PC) que sirven para trabajar con matemáticas usando las

notaciones propias (simbólicas) de esta ciencia. Así, en un programa de cálculo simbólico el

número ‘pi' se trata como tal, a diferencia de muchas calculadoras que consideran sólo una

aproximación (3'1415...).

Pero, además, es posible programar funciones que usen las distintas capacidades del

programa, de modo que aumenta así sensiblemente el espectro de sus aplicaciones. Derive se

suministra con varios ficheros de funciones para propósitos diversos como resolver ecuaciones

diferenciales, trabajar en Álgebra Lineal, etc.

Así mismo, la incorporación de Derive en los primeros cursos de las asignaturas de

matemáticas en la Universidad y en los últimos de la secundaria, es algo casi generalizado en

muchos países y, además, tiene una gran influencia en el proceso de enseñanza y aprendizaje.

Mientras que “GeoGebra” es un software libre, de matemática para educación en todos

sus niveles, disponible en múltiples plataformas. Reúne, aritmética, geometría, álgebra y cálculo

e incluso recursos de probabilidad y estadística, en un único conjunto tan sencillo a nivel

operativo como potente. Ofrece representaciones diversas de los objetos desde cada una de sus

51

posibles perspectivas: vistas gráficas, algebraica general y simbólica, estadísticas y de

organización en tablas, planillas y hojas de datos dinámicamente vinculadas.

52

3.3 MARCO CONCEPTUAL.

3.3.1 Resolución ecuaciones de segundo grado con una incógnita

Normalmente estos sistemas de ecuaciones de segundo grado con una incógnita tienen

procesos mecanizados que inducen a los estudiantes a una des categorización del conocimiento,

debido a la apatía de estos a aprenderse dichas estructuras algebraicas. Entre las cuales se

destacan:

Uno de los métodos se basa en la propiedad de la multiplicación por cero: si a y b

representan números reales y a*b = 0 entonces, a = 0, o, b = 0

Ejemplo. Resuelva

2 x2+5 x−3=0

Factorizando tenemos:

( x+3 ) (2 x−1 )=0

( x+3 )=0 o (2 x−1 )=0

x=−3o x=12

Por lo tanto el conjunto solución es: x={−3 ,12 }

53

Otro de los métodos de factorización es la fórmula general para resolver una ecuación. El más

potente de los métodos de solución, que se basa en la formula cuadrática

X=−b ±√b2−4 ac2 a

, cuya deducción presentamos a continuación:

Partimos de nuestra forma general de una ecuación cuadrática:

ax2+bx+c=0

Dividiendo los términos de la igualdad entre a se tiene:

ax2+bx+ca

=0, luego despejamos el término independiente a x2+bxa

=−ca

, completamos

cuadrados sumando ( b2a )

2

de la siguiente forma: x2+ ba

x+( b2a )

2

=( b2 a )

2

− ca

De esta forma nos queda un cuadrado perfecto y lo factorizamos, (x+ b2 a )

2

= b2

4 a2 −ca

Completamos las fracciones del lado derecho de la ecuación (x+ b2a )

2

=b2−4 ac4 a2 , luego sacamos

raíz cuadrada a ambos lados de la ecuación y obtenemos: x+ b2 a

=±√ b2−4 ac

4 a2 donde el ±

proviene de las dos raíces de una expresión cuadrática, x=−b2 a

± √b2−4 ac2a

resolviendo la

fracciones obtenemos: X=−b ±√b2−4 ac2 a

54

3.3.2 Ecuaciones de segundo grado con una incógnita.

Antes de hablar o definir los sistemas de ecuaciones de segundo orden con una incógnita

primero definamos lo que es una ecuación.

Ecuaciones: en octavo grado se estudian las ecuaciones cuadráticas en esta estructura

A x2+Bx+c=0donde A, B, C son números reales.

Una ecuación es una igualdad en la que aparecen números y letras ligadas mediante

operaciones algebraicas. Las letras, cuyos valores son desconocidos, se llaman incógnitas.

Resolver una ecuación consiste en transformar la igualdad en otra equivalente más

sencilla, hasta obtener la solución, que es el valor de la incógnita que hace cierta la igualdad

inicial.

Una expresión como x + (x + 1) + (x + 2) = 33 es una ecuación, sólo es cierta para x = 10.

La solución es x = 10.

55

Hay ecuaciones con muchas soluciones, e incluso infinitas soluciones, por ejemplo,

x + y = 1, senx= 0 y otras que no tienen solución como: x + 3 = x. Por lo tanto, resolver una

ecuación es obtener la solución que la satisfacen dicha ecuación.

Para resolver una ecuación se utiliza las propiedades como la relación de igualdad y las

propiedades de los números reales.

Pero también, gran cantidad de problemas prácticos en la vida real conducen a la

resolución de una ecuación o de un sistema de ecuaciones. Es por esto que traducir al “lenguaje

del álgebra” resulta imprescindible en estas ocasiones, el lenguaje algebraico sirve para expresar

con precisión relaciones difíciles de transmitir con el lenguaje habitual.

Dado que son los de carácter más importantes porque son los que pueden relacionarse al

contexto real para su vida futura y de su formación como personas de bien.

La capacidad del ser humano para resolver problemas es una actividad de gran

importancia en nuestro diario vivir y se ha venido desarrollando estos quehaceres desde tiempos

remotos; dado que posee más utilidad práctica, ya que la vida misma obliga a resolver problemas

continuamente.

56

Desde la época de (George Polya. 1969) hasta la fecha son muchos los docentes e

investigadores que se han dedicado a buscar respuestas a las dificultades de los estudiantes en la

resolución de problemas matemáticos. La misma significa para muchos un placer y para otros

una tragedia, pero lo cierto es que el ser humano no siempre puede evadir el enfrentamiento con

ellos, por lo que es necesario desarrollar habilidades para resolverlos.

Entre otros métodos, los cuales también se encuentran, los de problemas con enunciados

escritos en los cuales se debe escribir una ecuación resultante de este enunciado, en el que a

veces los estudiantes no son capaces de formar. Pero para una mejor interpretación de estos

procedimientos podemos analizar el esquema, el cual nos indica cómo debe llevarse a cabo la

resolución de estos problemas.

Para llegar a resolver cualquier problema propuesto, Polya enuncia cuatro pasos a

considerar:

1. Comprender el problema. Resume la información dada y que se desea determinar.

2. Desarrollar un plan. Expresa la relación entre los datos y la incógnita a través de una

ecuación o fórmula. Busca patrones.

3. Llevar a cabo el plan. Resuelve la ecuación, evalúa la fórmula, identifica el término

constante del patrón, según sea el caso.

57

4. Revisar. Examina la solución que se obtuvo. Preguntándose si la respuesta tiene sentido.

Es realmente esa la solución que se desea alcanzar, comprobar el resultado y leer de

nuevo el enunciado. Pero será que estos métodos tan primitivos y tradicionalistas si están

surgiendo efecto en el quehacer de la enseñanza de las ecuaciones, más bien nosotros como

futuros docentes debemos crear motivación hacia un el desarrollo del significado en los sistemas

de ecuaciones de segundo grado con una incógnita para lo cual, es mucho más rica que la

aplicación mecánica de un algoritmo, pues implica crear un contexto donde el aprendizaje sea

variacional, logrando que el estudiante se apropie de todo el conocimiento y poder aplicarlo en

su vida diaria que es el propósito fundamental de la educación formal. Educar personas para su

vida futura como seres integrales y con un gran conocimiento para solucionar cualquier

problema que se le presente en la vida.

Actualmente con el desarrollo de las TIC se han puesto en primer plano la capacidad de

usarlas y no la asimilación de conocimientos, esa utilización consiste, esencialmente, en la

resolución de problemas.

Por esta razón, la capacidad de resolver problemas se ha convertido en el centro de la

enseñanza de la matemática en la época actual, por lo que es necesario contar con una

concepción de su enseñanza que ponga en primer lugar la capacidad de resolución de problemas

58

y el desarrollo del pensamiento variacional. A partir de estas ideas centrales es que debe ser

determinado el contenido de la enseñanza.

4. MARCO METODOLÓGICO

La presente investigación ha sido de carácter participativo y de en foque cualitativo, con la

finalidad de facilitar el aprendizaje de los estudiantes de la institución Educativa Dolores María

Ucros.

La investigación consto de cinco fases la primera correspondió a la selección del tema, el

tema fue seleccionado a partir de observaciones directas, en las prácticas profesionales realizadas

en la Institución Educativa Dolores María Ucros más específicamente en el grado de noveno. la

segunda fase se enmarcó en la caracterización del problema, el problema fue identificado a partir

de la observación minuciosa de la prueba diagnóstica la cual arrojo un alto índice de dificultades

para la resolución de problemas con ecuaciones de segundo grado con una incógnita. Así mismo

la tercera fase consistió en fundamentar la investigación mediante la teoría y los antecedentes

epistemológicos correspondientes a las ecuaciones de segundo grado con una incógnita y a lo

que se ha investigado en pro de mejorar el aprendizaje de las mismas, para lo cual se enmarco la

investigación en tres ámbitos como lo fueron: Internacional, Nacional y Local.

59

La cuarta etapa constó de la definición del diseño metodológico en el cual se describe de

manera explícita cada una de las etapas de la investigación. La quinta etapa se trabajó en función

de plantear la solución del problema a partir del diseño e implementación de estrategias

didácticas para facilitar la comprensión de problemas matemáticos con ecuaciones de segundo

grado con una incógnita, además de la incursión de software como Derive y GeoGebra para la

interpretación de los enunciados en forma gráfica y reconocimiento de estas ecuaciones.

Luego de la implementación de la propuesta se realizó la sexta y última etapa

correspondiente a la evaluación de la estrategia didáctica empleada con su respectivo análisis

estadístico.

4.1 PARADIGMA.

Esta investigación tiene como propósito fundamental modificar la metodología de enseñanza, de

modo que cambie el estudio de las ecuaciones de segundo grado con una incógnita por tanto esta

visto desde un punto de vista crítico, por esto se propone una estrategia novedosa con la

implantación de TIC en los estudiantes de noveno grado de la institución educativa Dolores

María Ucros.

Por tanto la presente investigación está fundamentada filosóficamente por el paradigma

socio-critico, ya que su interés es emancipar, criticar e identificar el potencial de los estudiantes

en pro de mejorar su futuro escolar.

60

4.2 POBLACIÓN

La investigación se realizó en institución Educativa Dolores María Ucros del municipio Soledad

Atlántico, a los estudiantes de noveno grado, la población estudiantil es de 118 estudiantes en el

grado noveno A, B, C entre los cuales 75% hombres y 25% mujeres sus edades oscilan entre los

12 y 15 años.

Hombres ; 45%

Mujeres; 55%

Grafico 1. Población

Hombres Mujeres

Grafico 1. Estudiantes Noveno, A, B, C

61

4.3 MUESTRA

Para la muestra se aplicó una prueba diagnóstica y una encuesta, a una población de 118

estudiantes correspondientes a los novenos grados A, B, C, después de hacer los análisis de dicha

prueba diagnóstica y encuesta se diagnosticó, que 18 estudiantes de noveno grado, los cuales son

los estudiantes que presentaban mayor dificultad en el área de matemáticas, o por apatía a la

asignatura, es decir el equivalente a un 15% de la población, donde 12 son hombres y 6 mujeres.

18

78

22

Grafico 2. Muestra

Estudiantes con dificultades Estudiantes con pocas dificula-tadesEstudiantes sin dificulatades

Grafico 2. Estudiantes con dificultades 9°

4.4 ETAPAS DE LA INVESTIGACIÓN

Para identificar el problema, plantear estrategias y luego evaluar el proyecto, se organizo por

etapas como se expresa a continuación:

4.4.1 Etapa 1. Identificación del Problema.

62

Se observó directamente el comportamiento de los estudiantes y docentes en las

actividades de clase, también se realizó un diagnóstico de 10 preguntas, divido en dos secciones,

la primera consistió en aplicar los conceptos sobre sistemas de ecuaciones de segundo grado por

resolución algebraica. La segunda sección consistió en resolver problemas cotidianos donde el

estudiante debía interpretar un enunciado para plantear un sistema de ecuaciones cuadráticas y

resolverlo.

Después de finalizar la recolección de información se analizarán en diferentes gráficos

estadísticos para comparar resultados y tener una mejor evidencia de la problemática que se

desea identificar, con lo cual se evidencio que era necesario implementar una propuesta basada

en TIC en pro de despertar el entusiasmo por aprender en los estudiantes.

4.4.2 Etapa 2 Fundamentación Teórica.

La presente investigación se fundamentó teóricamente en el método de resolución de problemas

de George Polya, donde se guiaba al estudiante a resolver problemas con ecuaciones de segundo

grado con una incógnita a partir de la identificación de una problemática en la vida cotidiana en

la cual fuese necesario la utilización o el empleo de las ecuaciones antes mencionadas, además se

brindaron instrumentos tecnológicos tales como los software Derive y GeoGebra. Para el

desarrollo de problemas con ecuaciones.

63

4.4.2 Etapa 3 Planteamiento de la Estrategia.

Después de identificar las falencias de cada estudiante en el diagnóstico, observaciones y

entrevistas, se llevará a cabo una estrategia metodológica, basada en las teorías planteadas en el

marco teórico, donde se contextualizan los sistemas de ecuaciones de segundo grado con una

incógnita llevándolos a problemas cotidianos.

4.4.3 Etapa 4 Evaluación de la Estrategia.

Una vez planteada la estrategia se evaluará mediante un examen escrito a los estudiantes

con el cual se evaluara el aprendizaje y el interés frente a la clase, también se realizará un

análisis estadístico a estas evaluaciones, donde se recolectara evidencia suficiente, clara, precisa

y confiable.

4.5 INSTRUMENTOS Y TÉCNICAS DE RECOLECCIÓN DE INFORMACIÓN

En la presente investigación se usaran mecanismos para recolectar la información que ayudará a

identificar la problemática que causa la deficiencia académica de los estudiante de la Institución

Educativa Dolores María Ucros

64

Esta institución cuenta con espacios para realizar diagnósticos, encuestas, evaluaciones,

salas audio y entrevistas, que son de gran ayuda para la investigación, lo cual facilita la solución

del problema investigado. Se contó con cámara fotográfica donde facilitó la recolección de datos

para un buen análisis de la problemática.

Observación de Campo: En la observación de campo se recolecto información sobre

aspectos relevantes de los momentos pedagógicos en el aula de clase. El propósito es analizar la

forma como el profesor mantiene la atención, el interés y la motivación de los estudiantes en el

desarrollo de la clase. Se utilizó como elemento de recolección dado que siempre se mantuvo

una interacción constante con los estudiantes, lo cual dio pie para evidenciar la existencia de

falencias en el aprendizaje de las ecuaciones de segundo grado con una incógnita. (Anexo 1)

Prueba Diagnóstica o Pre Test: Mediante la prueba se recolecto información acerca de

los conceptos previos que tienen los estudiantes de noveno grado de la Institución Educativa

Dolores María Ucros en cuanto a los sistemas de ecuaciones de segundo grado con una

incógnita en esta se analizó no solo las dificultades sino también las habilidades requeridas para

el desarrollo de las mismas. Este instrumento fue vital para detectar las dificultades presentadas

por los estudiantes, puesto que se dio por sentado que algunos estudiantes presentaban

dificultades en aspectos concretos evaluados en esta prueba, además de verificar los conceptos

previos de las antes mencionadas ecuaciones de segundo grado y el nivel de interpretación de

situaciones problema en las que era necesario hacer uso de ellas. (Anexo 2)

65

Encuesta a Estudiantes: La finalidad de este instrumento es indagar la metodología

utilizada por el Docente, además conocer si los estudiantes utilizan las tics para el desarrollo de

su conocimiento. Así mismo uno de los objetivos de este trabajo es encontrar la metodología

apropiada de enseñanza de los sistemas de ecuaciones de segundo grado con una incógnita, por

tanto es necesario reconocer. ¿Cuáles son los interés de los estudiantes?, ¿El grado de interés

por la asignatura?, ¿Qué método es más apropiado utilizar para que los estudiantes se interesarse

más por el estudio de las matemáticas?

Preguntas como estas solo pueden ser resueltas por los mismos estudiantes que son

objeto de esta investigación por ello esta herramienta permitió hacer un acercamiento profundo a

la implementación de estrategias didácticas que potencializaran el interés y la motivación en los

estudiantes. (Anexo 3)

Encuesta a Docentes: La intención es conocer los procedimientos que utiliza en el

desarrollo de la clase y los elementos que hacen parte de ese desarrollo, además saber cómo

piensa el docente identificar cuáles son las falencias del docente en tanto a su formación

profesional y cómo reacciona a situaciones de estrés propias de un aula de clase, además de

reconocer su nivel de competencia en TIC; así como la constante utilización de estas

herramientas didácticas potencializadoras del aprendizaje en los sistemas de ecuaciones de

segundo grado con una incógnita, como parte fundamental en esta investigación. (Anexo 4)

Prueba Final o Post Test: Se realiza con el fin de comparar los resultados arrojados por

la prueba inicial o pre test, luego de aplicar la propuesta pedagógica planteada, esta prueba se

realizara de manera escrita.

66

Esta herramienta fue utilizada para mostrar el grado de efectividad de la propuesta

planificada y aplicada, por otro lado su relación con el análisis de los resultados arrojados en la

aplicación de cada una de las fases de la propuesta didáctica planteada se evidenció una mejora

secuencial y significativa en cuanto a la interpretación y resolución de problemas que involucran

ecuaciones de segundo grado con una incógnita, en comparación con el diagnostico o pre test, lo

cual demuestra la efectividad de esta estrategia pedagógica. (Anexo 5)

4.6 ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS

La interpretación de resultados de los instrumentos aplicados es una parte fundamental de esta

investigación ya que gracias a estas se pudo analizar detalladamente cada uno de los

procedimientos que realizan los estudiantes en los ejercicios propuestos y también da a conocer

aspectos que son relevantes para la investigación, por tanto a continuación se presenta la

interpretación de los resultados arrojados por los instrumentos que se han aplicado en esta

propuesta.

4.6.1 Observación de Campo

Durante la clase de algebra se notó que la atención de los estudiantes frente a las

explicaciones de la temática trabajada por el docente no es constante, porque los estudiantes se

distraen molestando a sus compañeros; además al docente se le es dificulta volver a recuperar la

atención de los estudiantes, por otra parte la participación en algunos no es espontanea, el

67

docente siempre tiene que incentivarlos con una nota para que se atrevan a participar, ya que

manifiestan temor a la equivocación publica mientras están tratando de resolver los ejercicios

planteados en la clase, lo cual ha generado conflictos entre esos estudiantes ya que no se sienten

a gusto con el docente.

En cuanto a manejo de la temática y explicación el docente lo maneja bien a pesar que se

limita solo a utilizar el tablero ya que durante la observación no se notó ningún recurso didáctico

y mucho menos tecnológico, los estudiantes en momentos tuvieron atención, el maestro manejo

el grupo y logró de cierta forma el objetivo de su clase.

Atentos clasePoca atencion

Sin interes

02468

101214161820

Noveno ANoveno BNoveno C

Grafico de observacion

Gráfico3. Atención a clases estudiante 9°

En la gráfica notamos el grado de motivación de los estudiantes de noveno grado A, B, C; frente

a la clase de algebra.

68

4.7 ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DEL DIAGNÓSTICO Y LA ENCUESTA A ESTUDIANTES

4.7.1 Análisis De La Prueba Diagnóstica.

Durante las observaciones en el aula de clase se evidenció las dificultades de los

estudiantes al momento de resolver problemas y factorizar ecuaciones por esta razón se

implementó una herramienta importante para verificar o identificar lo observado. Para esto se

realizó una prueba diagnóstica.

En el diagnóstico se tuvieron en cuenta aspectos como: identificar las características de

una ecuación cuadrática, hallar el conjunto solución de una ecuación cuadrática, de diferentes

formas e interpretar y resolver problemas mediante ecuaciones cuadráticas, así como proponer

situaciones problemáticas factibles de representar y resolver mediante ecuaciones cuadráticas

La prueba diagnóstica se realizó en la Institución Educativa Dolores María Ucros las

primeras cinco preguntas se trabajaron en cada uno de los casos de factorización más utilizados,

Donde se evaluaron los conocimientos previos que deben tener los estudiantes para comprender

la metodología para la resolución de problemas. Entre estos conocimientos previos tenemos: la

formula general, la completación de cuadrados y raíz de un número real, estos puntos fueron

escogidos para explorar la solución de una ecuación cuadrática.

69

4.7.1.1 Prueba diagnóstica.

La prueba diagnóstica que fue aplicada a 118 estudiantes de noveno grado A,B,C, de la

institución Educativa Dolores María Ucros del municipio Soledad Atlántico que representan la

población estudiada, se identificó claramente la problemática que se está desarrollando en esta

investigación, mediante la presentación de situaciones problema en la vida cotidiana, donde era

necesario plantear una ecuación y relaciones entre expresiones algebraicas factorizables por

cada uno de los diversos métodos de resolución, identificar las características de una ecuación de

segundo grado con una incógnita, y resolución de las mismas por método gráfico. En la siguiente

grafica se visualizan los resultados obtenidos.

Extra

ción de l

os dato

s de u

n problem

a

Facto

rizac

ión de exp

recio

nes

Resolucio

n de pro

blemas

Problem

as que r

esuelv

e gra

ficamen

te

15 18 18 17

78 7585

1625 25

15 20

Diagnóstico a Población.Dificultades Alguna dificultad Sin Dificultades

Grafico 4. Prueba diagnóstica.

70

En la gráfica notamos tres categorías:

1. Dificultades: son aquellos estudiantes que presentaron déficit con respecto a la

extracción de los datos necesarios para plantear una ecuación factorización de

ecuaciones de la forma ax2+bx+c, resolución de problemas y aquellos que se

resuelven gráficamente ya sea por cálculo de áreas de figuras geométricas o en el

plano cartesiano.

2. Alguna dificultad: este categoría representa aquellos estudiantes que presentan algún

déficit al momento de factorizar ya sea porque tuvieron algún error en los signos o la

no verificación del producto de la factorización, mientras que en la Resolución de

problemas y aquellos que se resuelven gráficamente, no fueron capaces de extraer de

manera correcta todos los datos necesarios para platear la ecuación o tuvieron algún

error en la misma además de una mala interpretación de la situación descrita en cierto

punto.

3. Sin dificultad: En esta categoría se ubican los estudiantes que presentaron falencias en

ninguno de los cuatro aspectos: plantear la ecuación a través de la extracción de los

datos, factorización de ecuaciones de la forma ax2+bx+c, resolución de problemas y

aquellos que se resuelven gráficamente.

71

4.7.1.2 Encuesta a Estudiantes.

La encuesta fue respondida haciendo uso de una tabla (cuadro) donde se indagaba por el

grado de interés y satisfacción con la asignatura, en la que se pretende analizar el uso que hacen

los estudiantes de las herramientas tecnológicas, y si contemplan la utilidad de estas herramientas

informáticas en las matemáticas. Hubo mucha motivación por parte de los estudiantes para

realizar la encuesta.

1. Gráfico de Encuesta.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110

20

40

60

80

100

120

1510

Estudiantes 9°A, B, C

Preguntas

Grafica 5. Encuesta estudiantes 9° A, B, C.

A continuación se muestra la cantidad de estudiantes que respondieron cada una de las

preguntas:

72

Donde 1 representa baja satisfacción (no me gusta o se me dificulta), 5 satisfacción intermedia

(más o menos) y 10 satisfacción más alta (me gusta o se me facilita), con respecto a la asignatura

de matemáticas, en noveno grado, A, B, C.

Estudiantes que respondieron.

1 5 10

1 Te gusta la asignatura de Matemáticas 91 9 18

2 Crees que es importante para mi vida 45 28 45

3 Te gustan los juegos o acertijos en los cuales se involucren matemáticas

60 20 38

4 Como califico los profesores que me han enseñado matemáticas

19 27 72

5 Me gusta realizar las operaciones con suma, resta , multiplicación y división

0 7 111

6 Si en una operación te cambian un numero por una letra, entiendes la operación

17 38 63

7 Te gusta como tu profesor actual dicta las clases de matemáticas

35 50 33

8 Te gustaría aprender matemáticas a través de un programa informático

0 10 108

9 Identificas los datos dentro de un problema matemático 17 66 35

10 Resuelves de manera correcta ecuaciones 18 49 51

11 Se te facilita de los datos extraído del problema construir una solución

15 76 27

Con esta información y el diagnostico o pre test es posible extraer la muestra, que

corresponde a 18 estudiantes los cuales presentaron un mayor déficit en factorización de

ecuaciones de la forma ax2+bx+c, resolución de problemas y aquellos que se resuelven

gráficamente, además presentaron insatisfacción con la asignatura.

4.7.1.3 Encuesta a Docentes.

73

Este instrumento también fue diseñado a manera de encuesta, la cual se aplicó al docente

de matemáticas, que estaba encargado de la asignatura a noveno grado de la institución. Se pudo

extraer la siguiente información, el docente tiene entre 7 y 10 años de trabajar en la enseñanza de

las matemáticas en secundaria, manifestó que las dificultades que se presentan en el área son

pertinentes suplirlas utilizando las TIC y otros recursos didácticos, a pesar de que el utiliza

estrategias de participación y socialización con ejercicios en clase, pero por no disposición de

tiempo, el uso de la sala de informática es poco en la asignatura, pero afirma que el empleo de

las TIC si contribuye a la mejora del aprendizaje de la matemática y en general ayuda al

desarrollo integral de los estudiantes.

74

5 PROPUESTABasados en los resultados obtenidos en la prueba diagnóstica, observaciones y durante el periodo

de la investigación, se ha evidenciado que una de las principales dificultades que presentan los

estudiantes de la Institución Educativa Dolores María Ucros es la resolución de problemas donde

sea necesario la utilización de ecuaciones de segundo grado con una incógnita, principalmente en

el hecho de no saber expresar las situaciones problemas al lenguaje matemático y posteriormente

en un lenguaje simbólico, sumándole a esto que a pesar de ser una temática vista durante su

formación académica, muestran algunos vacíos en cuanto a los conceptos previos,

procedimientos en la solución de ecuaciones sencillas y métodos de factorización.

De modo que se plantea como solución esta propuesta, con la intencionalidad de

contribuir en el fortalecimiento de habilidades y destrezas para el desarrollo de situaciones

problemas de los estudiantes conociendo que esta temática es de gran importancia durante el

desarrollo de su futura formación académica y de la aplicación de la misma, no solo como

75

requisito para trabajar una determinada asignatura, sino para su desenvolvimiento en la vida

cotidiana.

Para poner en práctica esta propuesta, se trabajaran guías que permitan la

conceptualización de cada uno de los métodos de resolución de ecuaciones de segundo grado con

una incógnita, de forma que genere en los estudiantes expectativas, interés y motivación,

además de estimular el desarrollo de habilidades cognitivas que favorezcan el aprendizaje,

significativo mediante la utilización de los software Derive y GeoGebra.

76

5.1 JUSTIFICACIÓN

La dificultad en el aprendizaje de las matemáticas es uno de los mayores retos para la didáctica y

la enseñanza de dicha materia. Comúnmente la matemática es de las materias que menos

entusiasma a los estudiantes y además es vista como unas de las asignaturas más difíciles de la

enseñanza. Por otro lado, se ha generado una controversia en su aplicación a la vida cotidiana, y

es que a pesar que se le conoce su utilidad en el área de las ciencias y la tecnología, no se le

encuentra su implicación en la resolución de problemas de la vida diaria, consecuencia pues, que

exista poca vinculación de su contenido en la resolución de problemas que involucran ecuaciones

de segundo grado con una incógnita, a la realidad. Por ello y otros factores, las dificultades y

problemas en su aprendizaje son numerosos y muy complejos.

Es así como esta propuesta es un apoyo didáctico basado en las TIC que se apoya en el

método de resolución de problemas de George Pólya, el cual es un medio interesante que busca

desarrollar la habilidad de resolver problemas con ecuaciones de segundo grado con una

incógnita, identificando claramente todos los conceptos y procedimientos implicados para tal

fin, para desde allí superar las dificultades presentadas. A demás hoy día es necesario que los

jóvenes aprendan a ser buen uso de los elementos informáticos, para que aprendan a estudiar

mediante ellos puesto que les ayudará con su formación integral.

77

Así mismo se busca que todas las habilidades aprendidas, posteriormente se conviertan

en capacidades, que el estudiante pueda adquirir en la medida en que los docentes incorporen en

su quehacer pedagógico las TIC. De ahí la importancia de esta investigación, porque la realidad

demuestra que aún no se está complementando el proceso de enseñanza-aprendizaje con estos

software (Derive y GeoGebra) para potencializar el desarrollo de esas habilidades en los

estudiantes. Razón por la cual, esta propuesta pretende aportar al grupo de profesores y

estudiantes de la institución.

78

5.2 OBJETIVOS

5.2.1 Objetivo General

Desarrollar en el estudiante aprendizaje creativo, participativo y significativo al

incorporar las TIC en la solución de Problemas con ecuaciones de segundo grado con una

incógnita.

5.2.2 Objetivos Específicos

Incursionar las TIC en la enseñanza de solución de ecuaciones de segundo grado con una

incógnita, para dar sentido a la matemática que aprende el estudiante.

Demostrar que el aprendizaje de las matemáticas es más práctico y lúdico utilizando las

TIC.

Relacionar los conceptos básicos empleados en la matemática, los cuales se ven reflejado

en la vida cotidiana, utilizando las TIC.

79

5.3 PLAN OPERATIVO DE ACCIÓN.

OBJETIVO ACCIONES ACTIVIDADES RECURSOS LOGRO

Elaborar fichas o figuras geométricas con fomi para realizar ecuaciones de segundo grado.

Actividad 1Elaborando Figuras.

Elaborar tres tipos de figuras geométricas o fichas con unas medidas específicas, (cuadrados de10cm2 , rectangulos5 x 10 cm,cuadrados mas pequeñosde5 x 5 cm.Y en base a unos patrones simbólicos representar ecuaciones cuadráticas.

Tablero,Marcador,Regla, fomiPara esta actividad necesitamos una hora.

Identificar figuras geométricas que nos permitan resolver ecuaciones cuadráticas..

Seguir patrones de figuras geométricas para realizar la transición de la parte geométrica a la algebraica.

Actividad2Secuencia Didáctica

Cada estudiante con su respectiva cartilla resuelve las situaciones descritas en ella.

Cartilla, lápiz y papel.

Reconocer la parte algebraica a partir de figuras geométricas, para plantear ecuaciones cuadráticas.

Resolver ecuaciones de segundo grado empleando patrones simbólicos (NEKAGRA)

Actividad 3Extracción de soluciones algebraicas a partir de patrones simbólicos.

En esta actividad se trabajará con el plano cartesiano en donde se ubicaran las fichas que representan los términos de una ecuación de segundo grado con una incógnita, donde se identificaran las respectivas soluciones de cada una de ellas.

Los recursos que se necesitan las fichas de la caja de polinomios que se han elaborado, la guía de trabajo, lápiz y un plano cartesiano elaborado en cartón paja

Comprender como una ecuación puede ser representada y resuelta en el plano cartesiano, atreves de, cuadro mágico, NEKAGRA

Conocer GeoGebra como una herramienta, que nos permite

Actividad 4.GeoGebra el placer de graficar.

Se trabajará GeoGebra para resolver ecuaciones de segundo grado con una incógnita, además de graficarlas y encontrarles un sentido geométrico y motivar

Se utilizará la cartilla, computador, lápiz y GeoGebra

Analizar cómo, el software GeoGebra facilita la elaboración de gráficos y con

80

graficar, ecuaciones de segundo grado con una incógnita y con ello visualizar situaciones problema.

a los estudiantes. ello la resolución de ecuaciones.

Mostrarle al estudiante que mediante el uso de las TIC, podemos realizar actividades que enriquezcan la formación académica de los estudiantes.

Actividad 5.Interpreta la gráfica.

Se realizara la actividad con un software que se ha instalado en el computador y que permite trabajar las ecuaciones de segundo grado con una incógnita (GeoGebra).

Se utilizará el computador y la cartilla. Es necesario dos horas de clase.

Analizar cómo, el software GeoGebra facilita la elaboración de gráfico y a partir del mismo encontrar la ecuación correspondiente

Emplear los cuatro pasos de Polya para resolver problemas e incorporar las TIC en la resolución de problemas, mediante el software Derive con herramienta que ayude a despertar la motivación de los estudiantes, hacia el estudio de la matemática,

Actividad 6.Jugando jugando voy aprendiendo

Llevar a los estudiantes a la sala de informática y presentarles las actividades que pueden ser resueltas mediante la utilización de los cuatro pasos de Polya y ser verificados con la ayuda de Derive.

Computador,Derive, carilla con la resolución paso a paso de cada uno de los ítems que plantea Polya.

Demostrar, la veracidad del aprendizaje adquirido empleando las TIC, para la resolución de problemas.

Identificar la Evaluación de Luego de trabajar con Derive Cartilla. Mostrar los el

81

importancia de las TIC para el aprendizaje autónomo y significativo en la resolución de problemas.

la propuesta. y GeoGebra, emplear nuevamente los cuatro pasos de Polya para resolver problemas que involucran ecuaciones de segundo grado con una incógnita.

afianzamiento del aprendizaje al momento de resolver problemas con ecuaciones de segundo grado con una incógnita.

82

ACTIVIDADES

Para la realización de las actividades propuestas presentaremos la cartilla “JUGANDO

JUGANDO VOY APRENDIENDO”, en la cual de una manera didáctica se presentó una serie

de guías y actividades en las cuales paso a paso, se dio a conocer al estudiante la importancia de

la utilización de los software Derive y GeoGebra a la vez que se le enseño al estudiante a

descargar dichos software y se le dieron pautas para la realización de problemas con ecuaciones

de segundo grado con una incógnita, mediante la técnica de los cuatro pasos de (POLYA),para

analizar y deducir las ecuaciones de los problemas planteados, a su vez se utilizó GeoGebra, para

realizar los gráficos correspondientes a dichos problemas y Derive para comprobar las soluciones

encontradas y así el estudiante demuestra que el razonamiento es válido, motivando a los jóvenes

para que sigan utilizando estas herramientas, en pro del mejoramiento y aprendizaje de las

matemáticas.

83

84

JUGANDO JUGANDO VOY APRENDIENDO

En esta cartilla aprenderás a interactuar con los software Derive y GeoGebra y te encantaras con la nueva forma de aprender matemáticas debido a que en GeoGebra podrás hacer gráficos del problema y en Derive insertara las ecuaciones y obtendrá los resultados con lo que usted verificaras lo aprendido a la vez que te autoevalúes.

Con esta serie de actividades pretendemos que el estudiante pueda afianzar sus conocimientos matemáticos y con ello lograr un proceso que permita desarrollar el pensamiento, es decir, desarrollar la capacidad de prescindir del contenido concreto y palpable de las cosas para situarse en el campo de lo abstracto, ofreciéndole un alto esquema de posibilidades y conclusiones acerca de cualquier situación problema la cual requiera de una solución algebraica; para ello es necesario realizar un cambio estructural en la enseñanza de la matemática e implementar nuevas tecnologías de la informática y la comunicación (TIC), que ayuden al estudiante a comprender, sistemas de ecuaciones de segundo grado con una incógnita

JUGANDO JUGANDO

VOY APRENDIENDOCartilla para el afianzamiento de situaciones problema en los que

estén involucradas las ecuaciones de segundo grado con una incógnita


Eliecer Diaz Meneses

ASESORIA: MG SONIA VALBUENA DUARTE

Estudiantes Lic. En MatemáticasUniversidad del Atlántico 2014

SABIAS QUE.

85

Hacia 1700 a.C., es decir, hace aproximadamente 3700 años, en Mesopotamia y Babilonia ya se sabían resolver ecuaciones de primer y segundo grado. Poco después también eran utilizadas en Egipto. La razón para ello tiene que ver con resolver problemas relacionados con la repartición de víveres, cosechas y materiales. El papel aún no existía y los babilonios escribían sobre tablillas de barro húmedo6.

¡QUE ES DERIVE!

Derive es uno de los llamados "Programas de Cálculo Simbólico", que podemos definir como

programas para ordenadores personales (PC) que sirven para trabajar con matemáticas usando las

notaciones propias (simbólicas) de esta ciencia. Así, en un programa de cálculo simbólico el

número ‘pi' se trata como tal, a diferencia de muchas calculadoras que consideran sólo una

aproximación (3'1415...).

Los programas de cálculo simbólico son capaces de hacer derivadas, integrales, límites, y

muchas otras operaciones matemáticas. Suelen tener capacidades gráficas (representación de

curvas y funciones) y, por supuesto, capacidades numéricas que suplen sobradamente a la mejor

de las calculadoras.

6 http://navegandoentrenumeros.blogspot.com/2011/01/quien-invento-las-ecuaciones_31.html ( consultado 29/07/2014)

86

Para descargar el software derive puedes ir a la página:

http://education.ti.com/es/latinoamerica/products/software/derive-6/downloads/download-instructions. O

puedes descargarlo también en: http://derive.softonic.com/descargar

Al descargarlo aparecerá como un archivo comprimido, le damos clic en el archivo luego otra

vez nos aparece el archivo comprimido así comenzamos la instalación Derive 6 en español.

87

http://derive.softonic.com/descargar

http://education.ti.com/es/latinoamerica/products/software/derive-6/downloads/download-instructions

Aceptamos los terminos de funcionamiento y damos aceptar, despues nos pide el idioma en este caso

colocamos español, damos aceptar, esperamos que carge y damos instalar y guardar el archivo en el disco

duro o en un disco de su prefrerencia damos aceptar esperamos que termine de cargar y finalizar. una vez

finalizada la instalacion se nos habre la interfax de Derive 6 donde prodra

realizar las aplicaciones contenidas. la utilizacion se explicara mas adelante

GeoGebra es un software matemático interactivo libre para la educación en Colegios y

Universidades. Su creador Markus Hohenwarter, comenzó el proyecto en el año 2001 en la

Universidad de Salzburgo y lo continúa en la Universidad de Atlantic, Florida. GeoGebra está

escrito en Java y por tanto está disponible en múltiples plataformas.

Es básicamente un procesador geométrico y un procesador algebraico, es decir, un compendio de

matemática con software interactivo que reúne geometría, álgebra y cálculo, por lo que puede ser

usado también en física, proyecciones comerciales, estimaciones de decisión estratégica y otras

disciplinas.

88

http://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsica

http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra

http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa

http://es.wikipedia.org/wiki/Lenguaje_de_programaci%C3%B3n_Java

http://es.wikipedia.org/wiki/Salzburgo

http://es.wikipedia.org/wiki/Software_libre

Su categoría más cercana es software de geometría dinámica7

Para descargar GeoGebra podemos irnos a la página (http://www.geogebra.org/ ) o también puedes ir a (http://geogebra.softonic.com/)

una vez abierta la pagina de www.GeoGebra.org seleccionamos la opcion descargar ahora, le

damos clik en la seccion windos para pc de escritorio y se nos abre el instalador damos ejecutar,

despues comineza a cargar aceptamos los terminos de funcionamiento y damos aceptar, despues

7 http://es.wikipedia.org/wiki/GeoGebra (consultado 29/07/2014)

89

http://geogebra.softonic.com/

http://www.geogebra.org/

nos pide el idioma en este caso colocamos español, damos aceptar, esperamos que carge y damos

instalar y guardar el archivo en el disco duro o en un disco de su prefrerencia damos aceptar

esperamos que termine de cargar y finalizar. una vez finalizada la instalacion se nos habre la

interfax de Geogebra como la que miraras a continuacion. Donde prodra realizar las

aplicaciones contenidas. la utilizacion se explicara mas adelante.

ANALICEMOS ELSIGUIENTE PROBLEMA.

En un árbol, hay un grupo de monos, los cuales están divididos, la octava parte al cuadrado del

total de los hacen morisquetas. Mientras que doce más aúllan, con alegres gritos ¿sabes cuantos

monos hay en total?

¡OH! ¡Y AHORA QUIEN PUEDE AYUDARME CON ESTE PROBLEMA!

Para aprender a resolver un problema matemático, a continuación te presentamos el método de

los cuatro pasos sugeridos por George Polya, el cual te iremos explicando a medidas que

90

resolvamos el anterior problema:

PASO I: COMPRENDER EL PROBLEMA

Lee tantas veces como sea necesario el enunciado del problema hasta comprenderlo. En este

paso se debe tener en cuenta:

¿Cuáles son los datos? (lo que conocemos)

¿Cuáles son las incógnitas? (lo que buscamos)

Si se puede, realiza un esquema o dibujo de la situación.

PASO II: TRAZAR UN PLAN PARA RESOLVERLO

91

Para el problema anteriormente descrito los datos son: o la octava parte de los monos que están en el árbol a su

vez están elevados al cuadradoo Otros doce monos que se encuentran aullando.

La incógnita es:o Determinar cuántos monos hay

o ¿Este problema es parecido a otros que hallas

realizado?

o ¿Puedes plantear el problema de otra forma?

o ¿Utilizas todos los datos cuando se hace el plan?

o Plantea la ecuación correspondiente.

Para resolver el problema, se necesita plantear una ecuación, utilizando los datos proporcionados por el problema:

Supongamos que la cantidad de micos es X, entonces una parte de la cantidad de micos x8 , pero

como también el problema n aclara que esta cantidad esta elevada al cuadrado de la siguiente forma:

( x8 )

2

Además enuncia que hay otros doce monos, ósea que debemos sumarle a la anterior expresión 12 y pregunta cuantos monos como es un interrogante lo igualamos a x, por tanto la ecuación

quedaría de la siguiente manera, ( x8 )

2

+12=x

Después de haber comprendido bien el problema y tener todos los datos necesarios, debes crear

una estrategia para resolverlo.

Para esto ten en cuenta lo siguiente:

PASO III: PONER EN PRÁCTICA EL PLAN

En este paso debes resolver la ecuación que planteaste en el paso anterior. Ten en cuenta lo

siguiente:

92

( X8 )

2

+12=X

X2

64+12=x x2+768

64=x

X2+768−64 X=0 X2−64 X+768=0

( X−48 )(X+16)

De donde x1 = 48, x2 = -16.

Entonces hay 48 monos en dicho árbol porque la solución negativa por tratarse de un número de monos no es posible que la cantidad de monos sea -16.

Antes de hacer algo debes pensar: ¿Qué consigues con eso?

Comprueba y justifica cada uno de los pasos.

Si te tropiezas con alguna dificultad que te deja bloqueado, debes volver al principio, reordenar

las ideas y probar de nuevo.

PASO IV: COMPROBAR LOS RESULTADOS

Ahora debes comprobar si la respuesta que se obtuvo es correcta. Para esto ten en cuenta:

Leer de nuevo el enunciado y comprueba que se te pedía, es lo que se has averiguado. Da la

solución y concluye claramente lo que hallaste.

93

INTENTA SOLUCIONAR EL PROBLEMA CUANTOS AÑOS VIVIO DIOFANTO8

8 http://www.ingenierogeek.com/2013/08/edad-diofanto-tiempo-vida-ecuacion-solucion.html(consutado 02/08/2014)

94

Para verificar la respuesta sustituimos el valor resultante y vemos si realmente es consistente con la respuesta:

( 488 )

2

+12=X , sustituimos el valor X=48

230464

+12=x , resolvemos el cuadrado de la exprecion

36+12=x, dividinos el cuadrado de 48entre 64 y por ultimo sumamos los valores resultantes

48=x, como podemos ver el resultado es consistente con el problema antes planteado.

ACTIVIDAD 1. REPRESENTA SIMBÓLICAMENTE ELABORANDO FICHAS.

En esta actividad se organizaran grupos de estudiantes para realizar figuras en foamy con las

representar geométricamente ecuaciones de segundo grado con una incógnita. Para identificarlas

simbólicamente, estas figuras deben tener las siguientes dimensiones

1. Representa cada una de las siguientes ecuaciones simbólicamente con ayuda de los

foamy:

A. x2 + 4x + 4 B. x2 + 10x + 25 C. x2 + 6x + 9 D. x2 + 8x +16 E. x2 + 2x + 1 F. x2 + 12x + 36 G. x2 + 14x + 49

95

2. Utiliza los foamy para representar ecuaciones y escríbelas dentro de los siguientes

cuadros.

Representación Algebraica Representación Geométrica.

ACTIVAD 2. REFUERZA TUS CONOCIMIENTOS

El gobierno se encuentra construyendo viviendas mediante subsidio. Para ello contrata personal

altamente calificado. El cual pueda distribuir equitativamente terrenos de modo que cumplan con

los requerimientos mínimos para una vivienda digna, empleado los siguientes modelos de

terrenos. Tú puedes ser uno de ellos si logras distribuirlos de forma correcta.

96

Modelos:

A B C

A) Realiza:

1. Un cuadrado de forma A, 2 rectángulos de tipo B y un cuadrado de tipo C

2. un cuadrado de forma A, 10 rectángulos de tipo B y 24 cuadrados de tipo C



5. Un cuadrado de forma A, 3 rectángulos de tipo B y 2 cuadrados de tipo C.

Representación simbólica del terreno Representación geométrica.

X2+2 X+1

97

B) Por otro lado se les pidió además a los aspirantes que trataran de resumir lo más posible cada

terreno distribuido por tanto se ideo una forma de disminuir cada terreno para que más familias

pudieran tener su vivienda de la siguiente forma.

Representación simbólica del terreno Representación geométrica.

x2+4 x+3

a2−13 a+40

x2+2 x−15

Explica médiate que procedimiento geométrico fue posible llegar a la construcción de cada una de las expresiones.

98

ACTIVIDAD 3. UTILICEMOS NEKAGRA.

Realiza cada una de las siguientes factorizaciones teniendo en cuanta la representación

geométrica.

PARA TENER EN CUENTA

Ten en cuenta el siguiente esquema el cual es utilizado como una caja de polinomios.

Juan quiere cercar un terreno de modo que pueda hacer tres tipos de corrales en los cuales

encerrara: vacas, ovejas y gallinas, pero desea saber cuánto es el área del terreno que debe cercar

para aprovechar de mejor forma la distribución de los mismos; por tanto las siguientes figuras

geométricas representan las divisiones entre los terrenos y áreas.

99

Cuáles deben ser las dimensiones del terreno en cada uno de los siguientes casos:

Representación simbólica Representación en la caja de polinomios Dimensiones del terreno

1) x2−3 x−28( X−7 )

(X+4)

2. x2+4 x+5

3. x2+8 x+12

4.28+x2−11 x

100

5. x2−7 x+12

6. x2+2 x−15

7. x2−5 x−14

8. x2−6−x

101

CON LA AYUDA DE

Resolvamos el siguiente ejerció X2+3 X−4 utilizando el GeoGebra.Para ello procederemos así:

Damos doble click en el icono de GeoGebra una vez instalado en tu ordenador.Esperamos que habrá el programa.Una vez abierto el programa GeoGebra observamos en la parte superior de la pantalla los diferentes iconos que nos permiten realizar diversas tareas, al igual que en el centro se divisa el plano cartesiano además de la vista algebraica y en la parte inferior encontramos la barra de entrada.En la barra de entrada escribimos el comando ´´factoriza´´ de la siguiente forma:

Dentro de los corchetes que nos aparece después de la palabra factoriza, escribiremos o insertamos la ecuación a realizar en nuestro caso y le damos enter

Al lado izquierdo en la pantalla de inicio de GeoGebra observamos que el programa nos resuelve algebraicamente la ecuación antes descrita, mientras que al lado derecho se encuentra la solución grafica de dicha ecuación.

102

ACTIVIDAD 4. GRAFIQUEMOS CON GEOGEBRA

1. Con la ayuda del software GeoGebra, ingresa cada una de las siguientes expresiones y completa el cuadro.

ENTRADA SALIDAx2−2 x-15

m2−5m−14

103

x2−7 x−30

x2−7 x−12

−x4 +2 x2+48

25 x2−5 (5 x )−84

Tuviste alguna dificultad para encontrar las soluciones a los sistemas anteriormente planteados, de qué

forma crees que sea posible resolverlos con mayor facilidad.

2. Teniendo en cuanta los ejercicios anteriores resuelve sin necesidad de utilizar GeoGebra cada

uno de los siguientes factores.

a. y2−4 y+3b. a2+33 a−14c. c2−13 c-14

d. x2+12 x−364e. a2−2 a−35f. m2−20 m-300

g. m2−2m−168h. x2+15 x+56

ACTIVIDAD 5. DEDUSCAMOS LA ECUACION A PARTIR DE LA GRAFICA.

En esta actividad deberás interpretar la gráfica de modo que a partir de la solución grafica deduzcas la ecuación correspondiente.

104

A.

B.

c

105

D.

E.

106

PORQUE SON IMPORTANTES LAS MATEMATICAS

AHORA UTILICEMOS

En la ronda final de los juegos olímpicos en la disciplina de

lanzamiento de jabalina dos deportistas A y B lanzan desde el mismo

sitio y al mismo tiempo. Las gráficas que describen la posición s

(Decámetros) de cada una en función del tiempo h (altura de la

jabalina) son las siguientes y sus ecuaciones son A=−X 2+2 X , B=−X 2+4 X ¿ cual de los dos

lanzadores obtuvo mayor distancia y con ello el primer puesto en la competencia?

108

Para resolver el problema anteriormente descrito utilizaremos el software derive.

Damos doble click en el icono derive 6 una vez instalado en tu ordenador

Esperamos que cargo el programa y una vez abierto aparecerá una ventana como la siguiente

Ahora procederemos a resolver el problema antes mencionado.

109

introducimos cada una delas ecuaciones correspondientes, en la barra de entrada, dela

siguiente forma:

Pero si queremos graficar las ecuaciones en Drive seleccionamos cada una de ellas y le

damos la opción graficar y minimizamos la ventada algebraica del programa.

Luego para hallar

cada una de las

soluciones

correspondientes, y

con ello encontrar el

lugar en el que cae

cada jabalina, en la

barra de menú

principal que se encuentra en la parte superior del Derive nos vamos a la opción “resolver”

110

Después seleccionamos la opción “Expresión” e inmediatamente aparecerá una nueva barra,

en la cual seleccionamos la variable a resolver, el método, y la solución en un Dominio Real.

111

Una vez seleccionada las opciones ya mencionadas anteriormente damos click en resolver y

nos aparecerá las soluciones de la ecuación buscada.

Aquí podemos reconocer e identificar plenamente las soluciones respectivas de cada una de

las ecuaciones y además saber cuál es la cual de los participantes ha ganado la competencia,

el cual es el participante B, quien alcanzo una distancia de 4 Decámetros

ACTIVIDAD 6. JUGANDO JUGANDO VOY APRENDIENDO.

Plantea una ecuación cuadrática para resolver las siguientes situaciones. Verifique todos los resultados

obtenidos utilizando el software Derive9.

1. Encuentren dos números cuya suma sea 28 y cuyo producto sea 187.

2. Encuentren tres números consecutivos cuyos cuadrados sumen 77.

9 http://www.educ.ar/sitios/educar/recursos/ver?id=15179, Consultado 22/07/2014.

112

3. Si un terreno rectangular tiene un perímetro de 88 m. y un área de 475 m 2, ¿cuáles son sus

dimensiones?

4. Si la edad de un padre es el cuadrado de la de su hijo, y dentro de 24 años, la edad del padre será el

doble de la del hijo. ¿Cuántos años tiene ahora cada uno?

5. la edad de una persona hace 6 años era la raíz de la edad que tendrá dentro 6 años hallar la edad actual

Resuelve cada uno de los siguientes problemas en los cuales se debe plantear ecuaciones de segundo

grado con una incógnita. Mediante la utilización del software Derive para verificar la solución.

1. Si al cuadrado de un número le restamos su triple obtenemos, 130 cuál es ese número.

2. En un rectángulo. Una de las diagonales forma un triángulo que además mide 10cm y la base

mide 2cm más que la altura, cual es el perímetro del rectángulo.

Utiliza el software GeoGebra para representar mediante dibujos las siguientes situaciones y mejorar de

forma significativa la interpretación del problema planteado.

1. Si le duplicamos el área de un cuadrado su área aumenta en 147cm2 ¿cuánto mide el lado del

cuadrado?

2. Un terreno cercado en forma rectangular mide 100 metros y su área es de 600 m2, ¿Cuáles son las

dimensiones del terreno?

3. Juan es un importante arquitecto y quiere construir un edificio moderno, localizado en una

esquina con forma de triángulo rectángulo, uno de sus lados es 3 km más que el otro lado. ¿Cuál

es el perímetro del triángulo si su área es de 54 km2?

2 Mediante la utilización del software Derive resuelve los siguientes problemas.

113

1. El perímetro de un rectángulo es 48 m y el área es de 140m2, encuentra las dimensiones de la

figura.

2. Las soluciones de una ecuación son x=8 y x=2, la ecuación de la cual provienen es.

3. Los lados de un rectángulo miden 1 y 2 m. ¿Es posible aumentar ambos lados con una misma

cantidad para que el área se duplique?

4. En un rombo de 8m de perímetro, una de las diagonales mide el doble de la otra. ¿Cuánto mide su

área en centímetros cuadrados?

114

EVALUACION. PON EN PRÁCTICA LO APRENDIDO.

Identifica que software es mejor para la interpretación y resolución de cada uno de los problemas

planteados.

1. En el partido Colombia contra Brasil se cometió una falta la cual ocasionó un tiro libre quien fue

cobrado por el jugador David Luis, donde la defensa colombiana se encontraba a poca distancia

pero la trayectoria donde se encontraba David Luis hasta la mano izquierda del arquero Ospina

fue descrita por la siguiente ecuación -2x² + x + 10. ¿Cuál fue la distancia recorrida?

2. Los tres lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los números 3, 4 y 5. Halla la

longitud de cada lado sabiendo que el área del triángulo es 24 m².

3. En un juego de Baseball, el cátcher está ubicada en la coordenada (-3, -6), mientras un corredor

se encuentra en tercera base, uno de los atrapa bolas al lado del corredor le manda una señal al

pitcher que lance la pelota en la coordenada (3,0), la cual describe una trayectoria definida por la

siguiente ecuación de segundo grado: 6+x−x2

4. En un partido de futbol cada jugador pasa a todos los demás, si el número de pases que se

intercambian es 28, ¿cuántos jugadores tocaron el balón?

115

5x

4x

3x

5

3

4

Si la situación anterior está representada por la ecuación. x ( x−1 )

2=28

6. ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE LOS RESULTADOS DE LA PROPUESTA.

Actividad 1. Al presentar la actividad se notó un interés inusual, por parte de los estudiantes ya

que no habían tenido la oportunidad de trabajar la matemática de manera más didáctica, y que no

fuese la clase catedrática tradicional. Esta actividad por ser sencilla se llevó a cabo

satisfactoriamente, ya que su intención simplemente era elaborar las fichas de la caja de

polinomios, en este caso se elaboraron las fichas con foamy, en diversos colores para

identificarlas, en la actividad se le dijo a los alumnos que recortaran cuadros y rectángulos en los

foamy de las siguientes medidas:

10cm del cuadro más grade, rectángulos de 5cm de ancho x 10cm de largo y cuadros más

pequeños de 5x5cm

La atención, colaboración por arte de los estudiantes fue constante, ellos se sintieron muy

motivados a seguir la actividad ya que estaban inquietos por saber que se iba a realizar con esas

fichas.

116

HombresMujeres

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

80%90%

70%

99%

75%

95%95% 97%

AtenciónComportamientoParticipaciónMotivación

Grafico Actividad 1.

Grafico 1 ficha de observación comparativa.

Al culminar la actividad el interés de los alumnos era más evidente ya que se observó que

los estudiantes se sintieron mejor identificados con el tema y además de estar a espera de la

siguiente actividad con el fin de conocer lo que se puede hacer con esta herramienta didáctica y

más aún cuando el docente encargado del área de matemática jamás había presentado una

herramienta de este tipo, ya que el docente no utiliza estas didácticas y mucho menos tecnologías

para la enseñanza de la asignatura.

Actividad 2: En esta actividad no fue necesario explicar la dinámica trabajar

detalladamente, ya que los estudiantes entendieron con solo ver la guía de trabajo que se les

entrego, debido a la actividad anterior identificaron plenamente lo que se debía hacer para

117

resolverla, se despertó en los estudiantes una iniciativa por parte de ellos mismos que se sentían

más cómodos trabajando en la actividad y además elaboraron las suficientes fichas para

desarrollar la actividad.

Hombres Mujeres

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

Atención ComportamientoMotivación participación

Grafico Actividad 2

Grafico 2 ficha de observación comparativa.

Se pudo notar que en esta actividad el compromiso por desarrollar las actividades fue de

una mayor eficacia, sin embargo algunos estudiantes siguen manteniéndose apáticos y con poco

interés pero a pesar de todo ejecutan todas las actividades que se les han planteado, al momento

de desarrollar la guía de trabajo, propusieron nuevos patrones para encontrarles sus perímetros y

elaboraron patrones equivalentes es decir que a pesar que no todos tenían la misma figura, ni la

misma cantidad de fichas, la ecuación que representaba su perímetro era el mismo. Con esto se

118

concluye que la capacidad de interpretar y proponer de los estudiantes es significativamente

considerable.

Actividad 3: Cuando se presentó la actividad los estudiantes se notaron un poco

confundidos porque manifestaban que no sabían utilizar el plano cartesiano, además de juntar

ambas ramas geometría algebra se vieron más confundidos cuando la intención de la actividad

era escribir o representar una ecuación de segundo grado y solucionarlo con ayuda del cuadrado

mágico ”NECAGRA” , cosa que ellos no habían visto o por lo menos no se les había presentado

en las clases de matemáticas también comentaban que les parecía, confuso como una ecuación de

segundo grado con una incógnita podía resolverse mediante la utilización del plano cartesiano y

figuras geométricas.

Hubo muchas expectativas con esta actividad, tanto que al concluirla se necesitó

improvisar más ejercicios ya que como les gustó mucho y deseaban realizar más ejercicios.

119

Hombres Mujeres0

1

2

3

4

5

6

7

8

Interpetación GeométricaSolucion de ecuacionesRepresentación simbolica


Grafico3. Habilidades adquiridas con Nekagra

El grafico refleja que el grupo trabaja muy bien les interesa la actividad pero un

porcentaje, no resolvió de manera satisfactoria lo concerniente a la solución algebraica propuesta

en la cartilla. A pesar de eso hubo una mejora significativa en comparación con el inicio de las

actividades, donde los estudiantes no resolvían siquiera una ecuación de segundo grado, y mucho

menos capaces de relacionar las soluciones de forma geométrica, se nota una mejora en el

aspecto motivacional, por otro lado algunos son muy tímidos y no se atreven a socializar sus

respuestas lo cual genera en ellos, desatenciones momentáneas, pero tiempo después vuelven a

conectarse con la actividad.

120

Actividad 4: En esta fase de la investigación se empieza con la implementación de

herramientas TIC, cuando se presentó esta actividad a los estudiantes género mucha expectativa

ya que jamás habían tenido la oportunidad de trabajar en la sala de informática para dar la clase

de matemáticas y mucho menos utilizar herramientas TIC para solucionar ecuaciones. Esta

actividad consistía en desarrollar otro de los puntos de la cartilla de trabajo.

Mediante la utilización de GeoGebra los estudiantes introducen el comando “factoriza”

para encontrar la solución algebraica de cada una de las ecuaciones de segundo grado propuestas,

y además ver las soluciones gráficas de cada una de ellas.

Hombres Mujeres0

2

4

6

8

10

12

Interpretación MotivaciónAtenciónParticipación


Grafico 4. Ficha de observación comparativa, motivación dentro de la actividad.

121

La grafica muestra claramente que hubo una mejora en todos los aspectos;

comportamental, motivacional, e interpretación algebraica de cada una de las ecuaciones, los

estudiantes mejoraron el análisis de las situaciones propuestas en la cartilla de trabajo y se

encuentran a la expectativa de cuál será la siguiente actividad.

En la siguiente grafica se muestran los datos recopilados en la actividad 4.

Hombres

Mujeres

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%

90%

95%

85%

88%

75%

90%

Representación simbólicaAnálisis algebraicoInterpretación geométrica

Grafico5. Habilidades adquiridas mediante la utilización de GeoGebra.

En esta grafica se nota el incremento del análisis e interpretación geométrica y algebraica de los

ejercicios propuestos.

122


Actividad 5: Continuando con las Herramientas TIC, los estudiantes se sintieron muy a

gustos y dispuestos a trabajar nuevamente en la sala de informática con la ayuda de GeoGebra,

continuando con las actividades propuestas en la cartilla de trabajo, los estudiantes a partir de las

gráficas anteriormente guardadas en GeoGebra, de la solución grafica encontrar la ecuación

correspondiente de dicha gráfica, produciendo en ellos la reversibilidad del proceso.

Hombres Mujeres0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%95%

90%

80%

90%

75% 75%

90% 90%

MotivaciónParticipaciónComportamientoAtención


Grafico 6.Representaion de la ficha de observación.

Es muy evidente que se va avanzando al realizar cada una de las actividades propuestas,

el nivel motivacional mejora además de la atención, por tanto es preciso afirmar que las

estrategias pedagógicas implementadas hasta el momento han mejorado tanto la solución de

ecuaciones de segundo grado con una incógnita, también se ha generado en los estudiantes un

123

interés por la asignatura, además como es un proceso innovador y didáctico que incorpora las

TIC. lo cual conlleva a que el aprendizaje sea significativo.

Actividad 6: Los resultados que se obtuvieron con esta actividad fueron satisfactorios en cuanto

al objetivo que se pretendía, los estudiantes mostraron más interés por las actividades propuestas,

más porque en esta sesión se proponía una parte teórica y otra práctica, con la ayuda del software

“Derive” y manifestaron que les parecía mucho mejor ya que así era más fácil recordar cómo

resolver una ecuación resultante de un problema planteado y practicaban los ejercicios que

comprenden esta temática que son problema de edades y cálculo de áreas.

Hombres Mujeres92%

93%

94%

95%

96%

97%

98%

99%

99%

98%

95%

97%

98%

99%

Representación simbólicaRepresentación geométricaRepresentacion algebraica


Grafico 7. Resolución de problemas, utilizando Derive y GeoGebra.

124

Se presenta la gráfica del comportamiento de la guía de observación, donde se muestra la

participación, atención y motivación. Se presentó el 100% del interés por parte de los

estudiantes.

Hombres

Mujeres

95% 100% 105%

AtenciónComportamientoParticipaciónMotivación

Gráfico. Motivación dentro de la Actividad 6.

Grafico 8. Ficha de observación, en resolución de problemas.

ANALISIS DE PRUEVA FINAL O POS TEST

Esta prueba consiste en el proposito fundamental de analizar el avance que han tenido los

estudiantes al realizar problemas en los cuales es necesario palntear una solucion de los mismos

por medio de ecuaciones y aplicando el metodo de los cuatro paso (Polya), siedo comprobada la

125

existencia de una dificulatad presentada por los estudiantes de noveno grado de la Institucion

Educativa Dolores Maria Ucros mediante la prueba diagnostica.

Luego de haber trabajao las actividades que se plantearon en la presente propuesta

pedagógica, se notó que al momento de relacionar las situaciones con una ecuación para darle

solución, un gran número de los estudiantes realizaron los problemas correctamente, cuando se

les entregó la prueba los estudiantes mostraron interés por resolverla porque también querían

saber el resultado que habían tenido luego de haber trabajado en el computador, además

sorprendió que no tardaron mucho en realizar todos los puntos de la prueba, no hicieron tantas

preguntas como en el diagnóstico, e identificaron en cada una de ellas que se debía hacer, en

cuanto a la solución de ecuaciones de segundo grado con una incógnita, al momento de realizar

la factorización recurrían al método más apropiado y a la vez correcto, por otro lado aquellas

situaciones donde se representaban cálculo de áreas y figuras geométricas, fueron realizadas sin

ningún contratiempo, aun cuando en la prueba diagnóstica manifestaron que no conocían esta

clase de ejercicios.

Con este análisis se muestra que el uso de las TIC ha influido en el aprendizaje de esta

temática de manera significativa, que es lo que siempre se espera cuando se aplica una estrategia

de aprendizaje.

126

A continuación se muestra la gráfica que representa los resultados obtenidos en el pos-test

0

2

4

6

8

10

12

HombresMujeres

Gráfico. Evaluación Propuesta

Grafico 9. Ítems evaluados en la propuesta pedagógica.

En la gráfica se muestra claramente la mejora tanto en la resolución de problemas, como

además de la interpretación de los mismos para extraer datos y con ello resolverlos, planteando

de manera correcta soluciones que satisfacen las ecuaciones y dan solución a los problemas

planteados, por ello el uso de las TIC ha enriquecido de manera significativa el aprendizaje en

los estudiantes y ha despertado en ellos el interés en la asignatura.

127

Factorización de expresiones algebraicas

problemas que resuelve graficamente

Resolucion de problemas

Extraccion de los datos de un problema

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

Post TestPre Test

Grafico 10. Comparación de resultados Pre test- Post test

Como se puede visualizar en la gráfica comparativa, luego de aplicada la propuesta, se notó un avance en los ítems establecidos, como lo son:

Extracción de los datos de una situación problema mediante los pasos de Pólya

Resolver ecuaciones, empleando método gráfico, ya sea mediante el cálculo de áreas de

una figura geométrica o usando el plano cartesiano

Resolución de problemas que requieren de plantear ecuaciones de segundo grado con una

incógnita.

Resolver una ecuación de segundo grado con una incógnita, por los métodos de

factorización.

Luego de observar los resultados arrojados por la prueba final o post test y los gráficos de

comparación entre el pre test y pos test se llegó a la comprobación de las hipótesis planteadas,

entre las cuales se destacan la motivación a los estudiantes con herramientas TIC tales como

Derive y GeoGebra, que además ayudaron a interpretar y resolver situaciones en las que es

128

Gráfico de comparación de resultados.

necesario plantear una ecuación de segundo grado con una incógnita para solucionarlas, la

identificación del método más apropiado para resolver una ecuación, la representación gráfica de

situaciones problema para su fácil interpretación, la comprobación de resultados obtenidos de

una factorización, que hacen parte de los objetivos de la propuesta y esta investigación

129

7. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

CONCLUSIONES

Después de haber realizado el presente trabajo de investigativo, se presentan las siguientes

conclusiones:

El 93% de los estudiantes desarrollaron habilidades, tales como: identificar, relacionar,

comparar, interpretar; lo cual permite afirma que hubo un buen uso de las TIC para la

enseñanza-aprendizaje de la solución de problemas con ecuaciones de segundo grado con una

incógnita. La propuesta pedagógica facilitó a los estudiantes construir de manera significativa

conocimiento, mediante el uso de herramientas TIC, dado que los intereses de los estudiantes en

la bien llamada era digital, el docente debe actualizarse conjugar el álgebra en la temática

especifica mencionada y utilizar estrategias didácticas que mediadas por la tecnología y muy

particularmente por software de uso común por lo simple de usar y en el otro caso

adicionalmente gratuito, busquen aprendizajes con significado e interés para los estudiantes.

Esto se pudo identificar en el avance que tuvieron los estudiantes en cada una de las actividades

que se les plantearon, ya que a medida que se avanzaban en el proceso se les hacía más fácil

entender el proceso para solucionar antes mencionados problemas y además encontraron en los

software “Derive y GeoGebra” una nueva alternativa de estudio.

Con la aplicación de la propuesta basada en el desarrollo de actividades prácticas de una

cartilla didáctica, se observó que los estudiantes mejoraron notablemente las dificultades, en

130

cuanto las ecuaciones de segundo grado con una incógnita, y a la resolución de problemas que

involucran las mismas puesto que al comparar la prueba diagnóstica y el post-test, la mejoría en

cuanto a la temática estudiada fue muy notoria pasaron a ser de un 10% a un 90% del total de los

estudiantes que lograron comprender y resolver problemas con ecuaciones, gracias a la

incorporación de las TIC en el proceso de enseñanza-aprendizaje.

131

RECOMENDACIONES

De acuerdo con los resultados obtenidos en la propuesta y teniendo en cuenta las debilidades

de los estudiantes en lo que respecta a la resolución de problemas, que involucran ecuaciones de

segundo grado con una incógnita:

Continuar implementado las TIC como estrategia de enseñanza para facilitar en los

educandos un mayor aprendizaje.

Propiciar en el aula de clase el uso de las TIC para motivarlos, y así lograr en ellos un

aprendizaje Significativo, para que los estudiantes interactúen con el conocimiento

matemático de manera más sencilla.

Educar a los docentes sobre la importancia que tiene el uso de las TIC en la educación y

propiciar en los estudiantes un buen uso de los recursos didácticos y tecnológicos que nos

brinda la era tecnológica en la que vivimos para obtener un mejor aprendizaje.

Es necesario contextualizar las explicaciones para un mayor rendimiento en la

compresión de los problemas matemáticos de cualquier tipo, e implementar TIC para

mejorar la interpretación de los mismos.

132

8 ANEXOS

Anexo 1 Ficha de ObservaciónI.E.D. Nuestra Señora del Carmen

Asignatura: Matemáticas Grado 8

Valoración

Característica

1 2 3 4 5

Atención

Participación

Comportamiento

Motivación

133

Anexo 2. Prueba diagnóstica.

UNIVERSIDAD DEL ATLANTICOFACULTAD DE EDUCACION

LICENCIATURA DE MATEMATICAS

I.E. DOLORES MARÍA UCROS SOLEDAD ATLANTICO.

FECHA: _________________

Objetivos de la prueba diagnóstica.

Identificar el método de factorización más adecuado para solucionar una ecuación

cuadrática de la forma ax2+bx+c=0

Plantear ecuaciones de segundo grado con una incógnita a partir de una situación

problema.

Representar mediante una figura geométrica situaciones problema.

Interpretar y resolver problemas mediante ecuaciones cuadráticas.

1. Resuélvase por factorización, si es posible.

A ¿ x¿2−9 x−10=0 B ¿ x2−8 X+6=0 C ¿2 x2=3 x

2. Resuélvase aplicando la definición de raíz cuadrada.

A ¿2 x¿2−3=0 B ¿3 x2−27=0 C ¿ (x+ 12 )

2

=54

3. Complétese al cuadrado en cada una de las siguientes expresiones:

A ¿ x¿2+6 x=0B ¿ x2−3 X=0C ¿ x2+bx=0

134

4. Resuélvase completando cuadrados.

A ¿ x¿2+6 x−2=0 B ¿2 x2−4 x+3=0

Desde el 5 al 8 resuelve las situaciones problema y realiza un grafico para facilitar su

interpretacion.

5. El largo de un rectángulo es 5 veces más que el doble de su ancho. Si su área es 75 m2 ,

determine sus dimensiones.

6. Determine el área de un cuadrado si su diagonal es igual a 8 cm.

7. Una piscina cuadrada de 21 pies x 21 pies está rodeada por un camino de ancho uniforme. Si

el área del camino es de 184 pies cuadrados, determine el ancho del camino.

8. Al medio día tomas salió del punto A caminando hacia el norte; una hora más tarde, diego

salió del punto A caminando hacia el este. Ambos muchachos caminaron a 4 millas por hora y

llevaban un radio de comunicación con un alcance de 8 millas. ¿A qué hora perdieron contacto?.

135

Anexo 3. Encuesta Estudiantes



I.E. DOLORES MARÍA UCROS SOLEDAD ATLANTICO.FECHA: _________________

OBJETIVO: Identificar el grado de satisfacción hacia la asignatura de matemáticas y la destreza

en el momento de resolver procedimientos con ecuaciones de segundo grado con una incógnita.

Califique con 1, 5 o 10 cada una de las siguientes preguntas, donde 1 representa baja satisfacción

(no me gusta o se me dificulta), 5 satisfacción intermedia (más o menos) y 10 satisfacción más

alta (me gusta o se me facilita), con respecto a la asignatura de matemáticas, en noveno grado, A,

B, C.

1 5 10

1 Te gusta la asignatura de Matemáticas

2 Crees que es importante para mi vida

3 Te gustan los juegos o acertijos en los cuales se involucren matemáticas

4 Como califico los profesores que me han enseñado matemáticas

5 Me gusta realizar las operaciones con suma, resta , multiplicación y división

6 Si en una operación te cambian un numero por una letra, entiendes la operación

7 Te gusta como tu profesor actual dicta las clases de matemáticas

8 Te gustaría aprender matemáticas a través de un programa informático

9 Identificas los datos dentro de un problema matemático

10 Resuelves de manera correcta ecuaciones

11 Se te facilita de los datos extraído del problema construir una solución

136

Anexo 4. Encuesta Docente.



OBJETIVO: Identificar las competencias del docente en la enseñanza de resolución de

problemas y determinar el uso adecuado de las herramientas tecnológicas.

I.E. DOLORES MARÍA UCROS SOLEDAD ATLANTICO.

FECHA: _________________

1. ¿Cuánto tiempo lleva en su labor como docente?

2. ¿Se siente usted a gusto en su labor de educador?

3. ¿Cree usted que los estudiantes de noveno grado de esta institución poseen falencias en la resolución de problemas con ecuaciones de segundo grado con una incógnita?

4. ¿Utiliza usted los métodos de Polya para enseñar a sus estudiantes, como resolver problemas?

5. ¿Tiene usted conocimiento en TIC?

6. ¿Considera usted que una herramienta tecnológica, como por ejemplo Derive y

GeoGebra, pueden contribuir a la superar estas falencias?

137

9. EVIDENCIAS

138

Figura 1. Estudiantes elaborando figuras en fomi para la elaboración de las fichas de la caja de polinomios

Figura 2. Estudiante participando activamente en clase

Figura 3. Estudiantes utilizando el Nekagra

139

Figura 4. Estudiante utilizando Nekagra para resolver ecuaciones

Figura 5. Estudiantes participando activamente en clase

Figura 6. Estudiantes trabajando con Derive

140

Figura 7. Estudiante utilizando GeoGebra

Figura 8. Estudiantes haciendo uso de las TIC

141

BIBLIOGRAFIA

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143

Monografia en evaluacion (3)

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