Muest Re Ot Ipos

7/22/2019 Muest Re Ot Ipos

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II Curso de PostgradoMANEJO DE SUELOS TROPICALES

Centre Tecnolgic Forestal de CatalunyaUniversitat de Lleida

Solsona, 26 de Abril 21 de Mayo de 1999

EVALUACION DE TIERRAS EN ZONAS TROPICALES:Generacin y Anlisis de la Informacin

Francisco A. Ovalles Viani

Fondo Nacional de Investigaciones Agropecuarias (FONAIAP)-Centro Nacional de Investigaciones Agropecuarias (CENIAP)-

Instituto de Investigaciones en Recursos Agroecolgicos (IIRA).

Universidad Central de Venezuela (UCV)-Facultad de Agronoma (FAGRO)-Departamento de Edafologa.

Aptdo. 4846, Maracay 2101, Venezuela.

[email protected], [email protected]

GENERACIN Y ANALISIS DE LA INFORMACIN:1- MUESTREO

INTRODUCCION

En todo estudio las primeras preguntas que surgen, por lo general, estan relacionadas con

el muestreo, entre ellas encontramos Por qu muestreamos?, Cuntas muestras tomamos?,

Cundo muestreamos?, Qu muestreamos? (muestreamos reas?, volmenes?, pedones?,

perfiles?, horizontes?, profundidades?, algn tipo particular de suelo?, algn tipo particular

de atributo?).

El propsito fundamental de cualquier muestreo de suelos, es obtener informacin acerca

de ellos (Petersen y Calvin, 1986); sin embargo, no existe un nico y ptimo diseo de muestreo

que sirva para todas las exigencias (Burrough, 1991). El suelo ha sido conceptualizado desde dos

puntos de vista (Arnold, 1975); uno, con un enfoque eminentemente geogrfico, donde se

considera al suelo como un continuo sobre la superficie terrestre. Otro, con un enfoque

fundamentado en mostrar las interrelaciones entre suelos de una manera ordenada, considerando

en este caso al suelo como una coleccin de cuerpos naturales. Aunque el suelo existe como un

manto continuo, ste debe ser dividido en un nmero de elementos discretos o individuales para

los propsitos de muestreo (Webster y Oliver, 1990).

Indistintamente del concepto, el suelo es un cuerpo tridimensional donde solo muy pocos

atributos pueden determinarse desde la superficie; por consiguiente, para establecer su naturaleza

debemos estudiar sus horizontes. Este estudio requiere la apertura de calicatas, hoyos o el empleo

de algn medio para extraer partes del suelo que van desde la superficie hasta el fondo del mismo


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(Soil Survey Staff, 1975). En consecuencia, se hace necesario recurrir al muestreo para as

caracterizar al suelo bajo estudio.

Para entender el proceso de muestreo es necesario hacer algunas consideraciones previas,

ya que el muestreo es funcin de varios aspectos; as tenemos que diversos autores han

establecido que antes del muestreo es necesario saber cual es el propsito que se tiene (Burrough,

1991; Ovalles, 1984). El objetivo del estudio establece el grado de exactitud y precisin que sequiere alcanzar; por tal motivo, el propsito del estudio tiene un gran peso en el diseo de

muestreo a utilizar. Otros factores como son el tiempo disponible y el presupuesto tambien

influyen en el proceso de muestreo. Otros elementos, como son la naturaleza del atributo y la

escala, tanto la escala de medicin del atributo como la escala de percepcin del proceso, son

factores determinantes en el proceso de muestreo.

Solo los atributos morfolgicos pueden ser estudiados directamente en el campo (e.g.

color del suelo, espesor y topografa de los horizontes), otros requieren de la instalacin de ciertos

dispositivos (e.g. tensimetros) para evaluar sus cambios en el tiempo y en el espacio (e.g. el agua

del suelo); pero en su mayora requieren que se tomen porciones del suelo para ser analizadas en

el laboratorio (e.g. capacidad de intercambio catinico, niveles de elementos qumicos). Por lo

general, se habla de muestreo solo en este ltimo caso; no obstante, en todas las situacionesestamos basando nuestro conocimiento del suelo en la caracterizacin de porciones del mismo.

Por consiguiente, en todas las situaciones anteriormente planteadas estamos realizando muestreos,

con diferentes instrumentos, distinto nivel de precisin, diferente nmero y volumen de muestras

e incluso diversidad en cuanto al mtodo de muestreo.

Desde el punto de vista de su naturaleza los atributos del suelo han sido agrupados en dos

grandes categoras: variables estticas y variables dinmicas (Univ. of California, 1985). Cada

uno de estos grupos tiene un comportamiento diferencial que influye la forma y frecuencia del

muestreo. El primer grupo cambia muy poco, incluye entre otras a las variables morfolgicas. El

segundo grupo se caracteriza por los marcados cambios en el tiempo y en el espacio, los

elementos qumicos solubles se incluyen en este grupo.

En Fsica de Suelos estos grupos han sido ampliamente estudiados (Ovalles, 1996) y se haestablecido que las variables estticas tienen caractersticas que estn influenciadas

principalmente por la rgida matriz del suelo; en base a susu caractersticas se agrupan en: (i)

propiedades estructurales, tal como porosidad y densidad aparente; (ii) propiedades de

composicin, como es la distribucin de tamao de partculas y (iii) las propiedades de retencin

de agua, esta categora incluye tambin propiedades qumicas de las fraccin solida, pH y

coeficientes de distribucin de adsorcin. El grupo de las variables dinmicas esta asociado al

transporte de agua, tal como conductividad hidrulica, difusividad y tasa de infiltracin. A

diferencia de la medicin de las variables estticas, las metodologas para determinar las

propiedades de transporte de agua varan y frecuentemente dependen de un modelo para los

coeficientes o para el proceso de transporte.

Como se indic, la escala de medicin del atributo influye sobre el muestreo en trminosdel diseo y nmero de observaciones a tomar ya que la escala de medicin implica distintos

niveles de exactitud y precisin. Cuando se mide un atributo se le asigna un valor que puede

corresponder a cuatro escalas: nominal, ordinal, proporcin e intervalo. Las dos primeras estan

dentro del grupo de las consideradas variables cualitatvas y las dos ltimas en el grupo de las

llamadas variables cuantitatvas. Una variable nominal es aquella cuyo valor se asigna a una clase

sin ningun orden establecido (e.g. tipo de estructura: laminar, granular, blocosa, prsmatica,

columnar); una variable ordinal es aquella cuyo valor se asigna a una clase con un orden


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establecido (e.g. grado de desarrollo estructural: debil, moderado, fuerte). La variable proporcin

se refiere a un atributo cuyo valor es de caracter numrico y tiene un cero absoluto (e.g. contenido

en mg kg-1

de potasio); una variable intervalo es similar a la proporcin, pero se diferencia en que

no tiene un cero absoluto (e.g. pH).

Finalmente debe sealarse que la muestra est influenciada por varios factores, como son

la variabilidad del suelo, el nivel de confianza establecido y el grado de exactitud que se quierealcanzar, pero no hay duda que la utilidad de la muestra est en funcin directa del grado de

representatividad que ella tiene. La representatividad de una muestra depende de la variabilidad

de suelo existente, mientras ms homogneos son los suelos, la representatividad es mayor y

viceversa. La representatividad de la muestra por lo general se expresa a travs de una superficie,

cuyo tamao es funcin de la intensidad de uso, como consecuencia de la influencia que sta tiene

sobre la variabilidad de suelos (Ovalles, 1992).

OBJETIVO DEL MUESTREO

La nica forma de tener un conocimiento exacto del suelo es haciendo la caracterizacin

del mismo en toda su extensin vertical y horizontal en toda el rea de estudio, ello implica

remover el suelo en su totalidad. Sabemos que lo anterior no es posible, por ello la caracterizacin

del suelo se basa en una fracccin del mismo que debe tener un alto grado de representatividad

del total; por consiguinete el objetivo del muestreo es el de hacer inferencias sobre la poblacin

de inters, basado en la informacin contenida en la muestra. Ampliando lo anterior se puede

indicar que la finalidad que tiene toda muestra es la revelar informacin sobre la poblacin que

representa, de tal forma que se puedan hacer recomendaciones adecuadas con un determinado

nivel de confianza (Burrough, 1991).

IMPORTANCIA DEL MUESTREO

El grado de nfasis que se ha dado al diseo de muestreo es muy variable y el msmo ha

sido frecuentemente ignorado. La seleccin de la muestra y del diseo de muestreo por parte del

investigador es casi inviolable y pasa sin rplica. En consecuencia, las tcnicas de muestreo

pueden convertirse en una fuente de controversia y por lo tanto son enmascaradas con reserva.

Poco nfasis se ha hecho para controlar y mejorar el proceso de muestreo, la atencin en

cuanto al diseo de muestreo vara mucho y por lo general es ignorado (Reynolds, 1975), siendo

sta una situacin comn no solo al diagnstico de fertilidad sino tambin a los estudios de suelo

en general (Edmonds et al., 1982).Los resultados son funcin de la calidadde la muestra.; no obstante, poca atencin se d a

este aspecto. La muestra debe ser lo mas representativa posible de la poblacin bajo estudio, de

otra manera la estimaciones van a ser muy poco valederas, indistintamente de la calidad de los

anlisis que realicemos.

La confiabilidad de los resultados depende en gran parte de la representatividad de la

muestra (Ovalles, 1992). La representatividad de la muestra es crtico ya que ella acta como un

sustituto y se convierte en la fuente bsica de informacin sobre la cual se basan todos los


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posteriores anlisis e interpretaciones (Size, 1987). Jones (1984) ha establecido que ms de la

mitad de los resultados de los anlisis de suelos con fines de diagnstico de fertilidad son

probablemente de poco valor debido al uso de tcnicas de muestreo no adecuadas. El programa de

anlisis de suelo con fines de fertilidad es afectado en la parte analtica y de recomendaciones

debido al uso de muestras no representativas (Sabbe y Marx, 1987), por tal motivo, la precisin

del muestreo de campo es un factor de peso que limita la confiabilidad de los resultados delaboratorio.En base a lo anterior, puede decirse que la validez y exactitud de los resultados de los

anlisis son funcin directa de la calidad de la muestra.

PRINCIPIOS DEL MUESTREO

Cline (1944) resumi los principios del muestreo de suelos, los cuales son:

Una muestra que est compuesta de varias unidades de muestreo dispersas aleatoriamente

a travs de una poblacin homognea, contiene informacin de toda la poblacin. Unamuestra mayor, pero confinada solo a parte de la poblacin, no contiene informacin

sobre la porcin no incluida.

Un estimado no sesgado de la media requiere que cada unidad de muestreo tenga igual

probabilidad de ser seleccionada.

Un estimado no sesgado del intervalo y nivel de confianza requiere que cada unidad de

muestreo tenga igual probabilidad de ser seleccionada.

CONCEPTOS DE MUESTREO

Elemento, individuo o partcula primaria.

Es el objeto sobre el cual una medicin es hecha. Est representado por cada porcin de

suelo que se toma con barreno o pala.

Unidad de muestreo.

Es una coleccin de elementos ntimamente asociados pero no coincidentes de una pobla-cin. El elemento y la unidad de muestreo son arbitrarios, son funcin del objetivo. La unidad de

muestreo puede estar representada por el rea en la que se toma la muestra compuesta. El sistema

de clasificacin de suelos Taxonoma de Suelos (Soil Survey Staff, 1975) ha definido al pedon

como la unidad de muestreo (el rea mas pequea que puede ser usada para describir y muestrear

al suelo para representar la naturaleza y arreglo de sus horizontes y la variabilidad en otras

propiedades que son preservadas en muestras.


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Poblacin.

Es el objeto o blanco de nuestra curiosidad, no es ms que la coleccin de elementosacerca de los cuales deseamos hacer inferencia. Desde el punto de vista de fertilidad estamos inte-

resados en la capa superficial del suelo (aproximadamente 25cm), esto constituye nuestra

poblacin en un sentido amplio.

Muestra.

Es una coleccin de unidades de muestreo tomadas de la poblacin de inters, utilizados

para representar la poblacin de un suelo en particular. Tambian puede ser definida como un

subconjunto de mediciones de una poblacin o mas sencillamente como el medio para hacer lainferencia. Desde el punto de vista de fertilidad est representada por una muestra compuesta, que

puede ser individual o constituida por varias de ellas. (Ovalles, 1992).

Marco, esqueleto (frame).

Es una lista de unidades de muestreo que representa a la poblacin (de aqu tomamos la

muestra).

METODOS DE MUESTREO

1.- Muestreo dirigido

Este mtodo se basa en la seleccin de lugares tpicos. Estos lugares se eligen en base a

estudios previos o bien el grado de conocimiento que se tenga sobre los suelos de la zona. Los

sitios seleccionados se consideran representativos de la condicin que se quiere caracterizar. Este

mtodo de muestreo es de uso comn en los estudios agrolgicos donde las unidades cartogrficas

y los suelos que las integran son caracterizados en base a un bajo nmero de observaciones.

Este mtodo tiene como ventaja que es ms preciso que otros mtodos cuando el tamaode la muestra es pequeo. Sin embargo, tiene como desventajas que no se puede evaluar la

confianza del juicio y existe un gran riesgo de sesgo. Este mtodo solo se recomienda cuando el

tiempo y el presupuesto son limitados y se tiene un muy buen conocimiento de los suelos que se

quieren muestrear.

1.1.- Estimadores:


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Poblacin Muestra

Media=

=N

i

ixN 1

1

=

=n

i

ixn

x1

1

Varianza

( )= =N

i

ixN 1

22 1

( )= =N

i

i xxns 1

22

1

1

1.2.- Desviacin estndar:

=2

s s=2

1.3.- Error estndar:

s

s

n

s

nx = =

2

1.4.- Error de estimacin o muestreo:

Si es estimador del parmetro : - => x determinado por diferencia de tamaode n y N.

1.5.- Correccin para poblacin finita (c.p.f.)

N

nNes denominado el factor de correcin para poblacin finita (c.p.f.), se utiliza para

corregir el clculo de 2xs . Este factor se emplea cuando la poblacin es finita y la

muestra es grande. Cuando la muestra es pequea en relacin con el tamao de la

poblacin el c.p.f. es cercano a la unidad.El factor c.p.f. se ignora en los siguientes casos:

N20

1n 95.0

N

nN

Cuando se utiliza c.p.f., el calculo de 2xs se realiza segn la siguiente ecuacin:


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N

nN

n

ssx

=

2

2

2.- Muestreo aleatorio simple

El muestreo es aleatorio simple cuando una muestra de tamao n es tomada de unapoblacin de tamao N de tal forma forma que cada muestra posible de tamao n tiene la mismaprobabilidad de ser seleccionada.

Este mtodo de muestreo tiene las siguientes ventaja: (i) el error del muestreo puede ser

evaluado, (ii) es el diseo de muestreo ms sencillo que existe y (iii) bajo ciertas condiciones

permite obtener buenos estimados de los parmetros a bajo costo.

Las principales desventajes del diseo son: (i) requiere de muchas muestras para obtener

buenos estimados de los parmetros, (ii) el proceso de aleatorizacin provoca muchas veces queel rea es cubierta desuniformemente y (iii) no contribuye a reducir el efecto de la variacin de

los datos en el error de estimacin. Este diseo de muestreo es recomendable cuando la poblacin

a estudiar es bastante uniforme.

2.1.- Estimadores:

Poblacin Muestra

Media=

=N

i

ixN 1

1

=

=n

i

ixn

x1

1

Varianza ( )=

=N

i

ixN 1

22 1 ( )=

=N

i

i xxn

s1

22

11

2.2.- Varianza de la media:

N

nN

n

ssx

=

2

2

2.3.- Correccin para poblacin finita (c.p.f.)

N

nNes denominado el factor de correcin para poblacin finita (c.p.f.), se utiliza para

corregir el clculo de 2xs . Este factor se emplea cuando la poblacin es finita y la

muestra es grande. Cuando la muestra es pequea en relacin con el tamao de la

poblacin el c.p.f. es cercano a la unidad.


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El factor c.p.f. se ignora en los siguientes casos:

N20

1n 95.0

N

nN

Cuando se utiliza c.p.f., el calculo de 2xs se realiza segn la siguiente ecuacin:

N

nN

n

ssx

=

2

2

2.4.- Tamao de la muestra (n):

Para establecer el tamao de la muestra se requiere de:

a) Grado de exactitud, a travs del intervalo L, - L + L

b) Nivel de confianza, 1 -

c) Conocimiento de la variacin presente, 2

Para un nivel de confianza de 95%:

Poblacin Infinita NL

96.1=

= 2

2

4 Ln

Poblacin Finita( )

( )[ ]22

1

+=

DN

Nn donde

4

2LD =

3.- Muestreo aleatorio estratificado.

Este muestreo se lleva a cabo dividiendo a los elementos de la poblacin en estratos y

seleccionando una muestra aleatoria simple en cada estrato.

Las ventajas de este diseo son: (i) el error de muestreo puede ser evaluado y (ii) este

diseo es mas eficiente que el muestreo aleatorio simple, ya que se obtiene una menor s2

para un

mismo tamao de muestra. Sin embargo, presenta la desventaja que la cobertura del rea es

todava algo desuniforme.


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Tamao de la muestra:

=

2

2

4L

sn

Para estos clculos se requiere estimar la varianza para cada estrato 2222

1 ,..., hsss

3.1.2.- Para poblacin finita:

Media:

=

=h

k

kkxNN

x1

1

donde N = tamao total de la poblacin

Nk= tamao de la poblacin en el estrato k

kx = media de la muestra en el estrato k

Varianza de la media:

=

= k

kh

k k

kk

kxn

s

N

nNN

Ns

2

1

2

2

2 1

donde N = tamao total de la poblacin

Nk= tamao de la poblacin en el estrato knk = tamao de la muestra en el estartp k

2

ks = varianza de la muestra en el estrato k

Tamao de la muestra:

=

=

+

=h

kkk

k

h

k

kk

NDN

w

N

n

1

22

1

22

donde4

2LD =


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Para calcular n se nrequiere estimar la varianza para cada estrato22

2

2

1 ,..., h

3.2.- Precisin Relativa (PR)

Se refiere a la ganancia en precisin por usar el muestreo aleatorio estratificado en lugar

del muestreo aleatorio simple:

adoestratificams

simpleamsPR

x

x

..

..2

2

=

Mayores valores de del ndice de precisin relativa (PR) indican una mayor precisin del

muestreo aletorio estratificado.

4.- Muestreo sistemtico

Este mtodo de muestreo consiste en tomar las muestras a distancias fijas, existen diversas

variantes del mtodo, entre ellas se tiene:

4.1.- Muestreo sistemtico en una dimensin:

La muestra se obtiene mediante la seleccin aleatoria de un elemento de los primeros kelementos en el marco y cada k elemento a partir de all (muestreo sistemtico 1 en k); en otraspalabras se selecciona aleatoriamente el primer punto de muestreo, a partir de all se toman los

otros puntos a una distancia fija previamente determinada. Esta variante se corresponde con el

muestreo en transecta.

Punto inicial seleccionadoaleatoriamente

Observaciones tomadas a unadistancia fija

4.2.- Muestreo sistemtico en dos dimensiones


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Los puntos de muestreo se ubican a intervalos regulares en una cuadrcula, las

observaciones por lo general se toman en las intersecciones de la cuadrcula, pero tambien pueden

tomarse en el centro de cada celda. La cuadrcula est formada por celdas de igual tamao y

forma, el primer punto se selecciona aletoriamente, las observaciones siguientes se seleccionan a

distancias fijas en ambas direcciones. Otra manera de hacerlo es ubicando aleatoriamente lacuadrcula tomando las muestras en el centro de las celdas o en las intersecciones.

El muestreo sistemtico tiene las siguientes ventajas: (i) las muestras son fcilmente

seleccionadas y ubicadas en el campo, (ii) hay una cobertura uniforme de la poblacin, (iii)

provee de ms informacin por unidad de costo comparado con el muestreo aleatorio simple, (iv)

los resultados son fciles de expresar en un mapa, (v) es unn mtodo ms preciso que el muestreo

aleatorio simple especialmente cuando la poblacin es muy heterognea.

Las principales desventajas de este mtodo de muestreo son: (i) existe un gran riesgo de

sesgamiento cuando hay presencia de variacin peridica en la poblacin, en este caso los puntos

de observacin pueden coincidir con determinadas variaciones en los atributos estudiados,

resultando en una mayor homogeneidad y por consiguiente mayor precisin que la que en

realidad existe. Por consiguiente, si existe sospecha de variacin peridica (e.g. muestreo ensentido de la pendiente), se recomienda tomar las muestras a distancias variables, cambiar la

orientacin de la cuadrcula, incrementar el tamao del rea de estudio y de la muestra. Otra

desventaja es que no existe un mtodo enteramente vlido para estimar el error de muestreo, par-

tiendo de una sola muestra sistemtica.

4.3.- Muestreo sistemtico no alineado

Este diseo combina las ventajas de la cuadrcula regular y la aleatorizacin. A

continuacin se describe una forma sencilla de realizar este muestreo:

- Se divide el rea total en celdas mediante una cuadrcula.

- En cada celda se superpone una cuadrcula mas fina.

- En una de las celdas de las esquinas se ubica un punto aleatoriamente (X, Y).

- Para las celdas restantes en la fila, se escoge el punto utilizando el mismo valor de X

pero con Y determinado en forma aleatoria (la fila tiene el valor de X constante y el

valor de Y aleatorio).


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- Para la primera columna se ubican los puntos de cada celda utilizando el mismo valor

de Y de la celda incial y variando el valor de X aleatoriamente (la columna tiene el

valor de X aleatorio y el valor de Y constante).

- En las celdas restantes, la posicin del punto es determinada por el valor de X de la

primera celda de esa fila y el valor de Y de la primera celda de esa columna.- En resmen los valores de Y y X por fila y columna se seleccionan de la siguiente

manera:

X Y

Fila Constante Aleatorio

Columna Aleatorio Constante

X

Y

Este diseo tiene la ventaja de que aunque su anlisis es similar al muestreo sistemtico, la

forma de muestreo contribuye a evitar que ste coincida con alguna variacin peridica de la

poblacin; incluso en algunas circunstancias puede ser ms preciso que el muestreo aleatorio

estratificado y que el muestreo sistemtico alineado.

Al igual que el muestreo sistemtico tiene la desventaja de que no hay una forma

simple de estimar el error de muestreo.

4.4.- Mtodos para inferir el error de muestreo:

Como se indic anteriormente, en el muestreo sistemtico no hay un mtodo enteramente

vlido para estimar el error de muestreo ( xs ), ya que las observaciones no estan ubicadas

aleatoriamente en el rea, por tal motivo se tiene lo siguiente:

(=

=n

i

i xxn

s1

22

1

1)


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donde n = 1, por consiguiente

( )=

=n

i

i xxn

s1

22

1

1

Por este motivo se han establecido varios mtodos para inferir el error de muestreo, enter

ellos estan:

011 =

1. Asumir que la poblacin esta ordenada aleatoriamente (no existe relacin entre la variable

medida y el punto seleccionado) y estimar el error de muestreo como una muestra aleatoria

simple.

2. Estratificar la muestra y asumir que las muestras dentro de cada estrato estan ubicadas

aleatoriamente, en este caso se estima el error de muestreo como en un muestreo aleatorio

estratificado.

3. Tomar repetidas muestras sistemticas, cada una de ellas tomada aleatoriamente dentro de

todas las posibles muestras sistemticas del mismo tipo.

- Cada muestra sistemtica tiene un punto inicial diferente, seleccionado aleatoriamente.

- Las medias de las muestras sistemticas son tratadas como datos provenientes de un

muestreo aleatorio simple, donde n = nmero de muestras sistemticas repetidas.

=

=sn

i

i

s

xn

X1

1donde ns = nmero de muestras sistemticas

ix = media de la muestra sistemtica

( )

( )

==

N

nN

nn

Xx

Sss

n

i

i

x

s2

12

1

Este es el nico mtodo insesgado para estimar el error de muestreo sin hacer ningn supuesto

sobre la poblacin; sin embargo, si los supuestos de los dos primeros mtodos sonrazonablemente vlidos, ellos dan mayor precisin en la estimacin del error.

El muestreo sistemtico es recomendable cuando la poblacin bajo estudio es muy

heterognea; a la luz de los desarrollos actuales se recomienda este diseo ya que facilita la

representacin en mapas con fines de anlisis exploratorio.


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5.- Muestreo en conglomerado

Este mtodo de muestreo constituye una muestra aleatoria simple en la cual cada unidad

de muestreo es una coleccin o conglomerado de elementos. Se utiliza cuando se estudian grandes

extensiones y no se dispone de los recursos ni el tiempo para abarcar toda el rea. Es equivalentea los estudios por rea muestra. Las reas muestras deberian de representar lo mejor posible la

diversidad de condiciones existentes en el rea de estudio, por ello se require que la variabilidad

interna (s2

dentro del conglomerado) sea mayor que la variabilidad entre conglomerados (s2

entre

conglomerados).

Este diseo tiene la ventaja de ser una metodologa apropiada cuando se dispone de poco

tiempo y recursos; sin embargo, existe un alto riesgo a sesgo en la seleccin del conglomerado;

requiere de un buen nivel de conocimiento de la zona a estudiar.

Estimadores:

Media:

=

==n

i

i

n

i

i

m

x

x

1

1

donde mi es el nmero de elementos en el conglomerado i, i= 1, 2, N

Varianza:

( )

11

2

22

=

=

n

mxx

MNmnN

n

i

ii

s

donde N = nmero de conglomerados en la poblacin

n = nmero de conglomerados seleccionados en una muestra aleatoria

simple

=

=n

i

imn

m1

1= promedio del tamao del conglomerado para la muestra

==N

i

imM1

= nmero de elementos de la poblacin

N

MM = = promedio del tamao del conglomerado para la poblacin

xi = total de observaciones en el cluster i


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6.- Muestreo anidado

Este diseo es til cuando las escalas espaciales de los patrones de suelo no son conocidas

o no pueden ser deducidos fcilmente por la superficie y el relieve; en otras palabras hay

desconocimiento sobre la poblacin que se va a estudiar.

El muestreo anidado busca repetir el muestreo a diferentes intervalos para cubrir un rango

completo de escalas. El consiguiente anlisis anidado de varianza permite determinar la tasa decambio de la varianza con el intervalo de muestreo y de esta manera sugerir las escalas

principales en las cuales ocurre estructura.

Este mtodo tiene las siguientes ventajas: (i) permite detectar el patrn (estructura) de

variacin de un suelo, cuando ste es desconocido y no puede ser inferida su escala por la

superficie; (ii) puede ser utilizado como muestreo preliminar, permitiendo estimar la distancia de

muestreo ms eficiente; (iii) ofrece indicaciones acerca de las variables ms convenientes para

distinguir unidades de suelo.

L s d s en as ue ti ne el diseo anidado son: (i) requiere de un estricto esquema del

trabajo de campo; (ii) el m t eo es distribuido desigualmente entre los diferentes intervalo, esto

implica que existan pocas repeticiones para las variaciones de largo alcance (pobre estimacin) y

un sobremuestreo a cortas distancias (innecesariamente intenso); (ii) la escogencia de lasdistancias de muestreo es lamentablemente algo arbitrario; (iii) el uso de las distancias

incrementadas geomtricamente ocasiona grandes saltos entre los intervalos de muestreo.

E++BA+=Z a e v taj q

uesC+ ijklijkijiijkl

e

r

El modelo del anlisis anidado est representado por la siguiente ecuacin:

donde:

Zijkl = valor de la propiedad de suelo considerada.


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= valor promedio de la propiedad de suelo en el rea estudiada.= diferencia entre y la media de Z al nivel 1.Ai= diferencia de la media de Z al nivel 2 dentro del nivel 1 y la media del nivel 1,

as sucesivamente para definirC .

Bij

ijk

Eijkl = residuales.

En el cuadro 1 se presenta la estructura del anlisis de varianza considerando 4 niveles.

El grfico de las varianzas acumuladas contra las distancias se conoce como variograma. Miesh

(1975) lo considera a su vez como un semivariograma aproximado. La distancia donde se observe

un cambio marcado en la pendiente de la curva, constituye la distancia que mejor resuelve el

patrn de variacin de los suelos (Ovalles, 1991). Esta distancia es la ms apropiada para ser

usada en el muestreo y clculos de semivarianza de la propiedad en cuestin en el marco del

anlisis geoestadstico (Mateos, 1987; Oliver y Webster, 1986; Ovalles, 1991, 1992).


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Cuadro 1. Esquema del Anlisis de Varianza Anidado.

Nivel Fuente de variacin Grados de libertad Componentes de la varianza

1 A n1-1 42+n43

2+n3n42

2+n2n3n41

2

2 B n1(n2-1) 42+n432+n3n422

3 C n1n2(n3-1) 42+n43

2

4 D n1n2n3(n4-1) 42

TOTAL n1n2n3n4-1

El anlisis anidado requiere de un muestreo multiestratificado jerrquico, donde cada

jerarqua o nivel puede ser representado por una distancia entre observaciones (Webster y Oliver,

1990). Un nmero de niveles adecuado es cuatro, debido a que es la cifra mnima que permite

detectar cambios consistentes en la pendiente del variograma que se genere (Ovalles, 1992).

Los objetivos del anlisis de varianza anidado son: (i) partir la varianza total de un grupode observaciones en un nmero de niveles jerrquicamente ordenados y (ii) determinar cuan

variables son las observaciones para cada nivel de muestreo, y que proporcin de la varianza es

contribuida por cada nivel.

El anlisis es una prolongacin del anlisis de varianza de 1 va para ms de dos niveles,

la Varianza es acumulativa, es decir que la varianza en un nivel es igual suma de los componentes

de varianza de los niveles inferiores mas la varianza del mismo nivel. El anlisis estima como

cambia la varianza con la distancia, un cambio abrupto de la varianza de un nivel al siguiente

indica

que la distancia menor ha resuelto el patrn (o estructura) no detectado por la distancia mayor.

6.1.- Como se expresan los resultados

Por lo general se utiliza un grfico de la varianza o proporcin de la varianza

acumulada vs. las distancias de muestreo utilizadas, expresadas logartmicamente, este grfico

es denominado por algunos el variograma. El variograma ilustra el patrn de variacin de las

propiedades del suelo consideradas.

El anlisis de los patrones de variacin permite estimar la escala de variacin de cada

variable y la distancia de muestreo mas eficiente.

Ejemplo terico del variograma:

0,1 1 10 100 1000 10000

0

20

40

60

80

100 A

BC

D


19/34

A.- Gran parte de la variacin ocurre a corto alcance La variable no es

apropiada para distinguir unidades de mapeo de suelos.

B.- Gran incremento entre 10 - 100 m. Muestrear a distancias mayores de

100 m resulta en una informacin demasiado variable. Muestrear adistancias menores de 10 m resulta en un muestreo innecesariamente in-

tenso.

C.- No hay escalas discretas, no existe una distancia donde la variacin sea

homognea. El grado de resolucin de la propiedad depende de la

distancia.

D.- La varianza es homognea hasta 100m. Muestrear a distancias

inferiores resulta en un muestreo innecesariamente intenso.

7.- Muestra simple vs. Muestra completaLa muestra compuesta reduce el esfuerzo para evaluar propiedades de suelo, manteniendo

parte de la precisin de observaciones repetidas.

La muestra compuesta es vlida cuando:

El volmen muestreado representa una poblacin homognea.

Cada submuestra contribuye en igual volmen a la muestra total.

No ocurren interacciones que afecten los resultados.

El objetivo es tener un estimado no sesgado del valor promedio de la propiedad de

inters.

Cuando la variabilidad del rea muestreada es muy alta y el inters es tener una

estimacin del valor promedio es recomendable utilizar muestras compuestas. Se recomienda el

uso de muestras sencillas en el caso contrario, es decir, en caso de existencia de una baja

variabilidad de las condiciones existentes. En condiciones de relativa uniformidad el uso de

muestras sencillas permite hacer una buena estimacin de los parmetros de la poblacin.

8.- Factores que influyen en el tamao de la muestra

El tamao de la muestra se establece de acuerdo a la siguiente ecuacin:

( )

=

x

stn

22


20/34

Donde n es el nmero de observaciones requeridas para la estimacin de la media con una desviacin tolerable de x-, si la varianza es s2. La cantidad t es el valor t de Studenta un nivel de confianza dado.

En base a los factores que intervienen en la ecuacin anterior se puede establecer que

los el tamao est influenciado por :

Variabilidad de los atributos que se estudian.

Nivel de precisin que se quiere alcanzar

Grado de exactitud deseado

Sin embargo, esta forma de estimar el nmero de observaciones necesarias para

determinar los valores medios de una propiedad de suelo en particular, tiene sus bases en la esta-

dstica clsica, en la cual se considera que cada observacin es independiente; sin tomar en cuenta

la dependencia espacial de los datos (McBratney y Webster, 1983; Sabbe y Marx, 1987).

Actualmente se reconoce que la mayora de las propiedades de suelo poseen dependencia

espacial, es decir, los valores tienden a ser ms parecidos mientras ms cercanas se hacen lasobservaciones (Gurovich y Stern, 1983; McBratney y Webster, 1983; Trangmar et al., 1985;

Vauclin, 1983; Webster y Oliver, 1990). En consecuencia, se hace necesaria una revisin crtica

de los conceptos de muestreo a la luz de los nuevos desarrollos, ya que los resultados de cualquier

muestreo podran considerarse sesgados, si no es tomada en cuenta la dependencia espacial de las

propiedades de suelo (Sabbe y Marx, 1987). Burrough (1991) introduce diferencias en los

procesos de muestreo cuando no existe y cuando est presente la dependencia espacial , haciendo

nfasis en el uso de la geoestadstica para mejorar el proceso de muestreo.


21/34

GENERACIN Y ANALISIS DE LA INFORMACIN:2- ANALISIS DE LA INFORMACIN

Para analizar la informacin se utilizan metodologas que abarcan desde el uso de

cuadro hasta grficos de distinto tipo. En esta parte se tratar exclusivamente lo relativo alanlisis exploratorio de los datos.

Los datos provenientes de los anlisis de las muestras deben ser sometidos a anlisis

exploratorios previos; ya que muchos de los anlisis cuantitativos a que son sometidos los

datos exigen ciertos supuestos que deberan de cumplirse.

Laslett y McBratney (1990, citados por Burrough, 1993) sealan que los valores

atpicos pueden afectar seriamente la calidad de cualquier mtodo de prediccin, por lo tanto

recomiendan su remocin. Por consiguiente, los datos obtenidos a partir de los muestreos

anidado y sistemtico, deben someterse a un anlisis exploratorio con la finalidad fundamental

de detectar la presencia de valores atpicos y tendencias, que pudieran entorpecer los anlisis

estadsticos posteriores. Tukey (1977) desarroll una metodologa para la eliminacin de los

datos atpicos, donde tomando como base el primer y el tercer cuartil establece las llamadascercas internas y externas, que son referencia para determinar presencia o ausencia de valores

atpicos; las cercas son establecidas de la siguiente manera:

Rango (H) = 3er

Cuartil - 1er

Cuartil

Paso = 1.5 * H

Cerca Interna Superior = 3er

Cuartil + Paso

Cerca Interna Inferior = 3er

Cuartil - Paso

Cerca Externa Superior = 3er

Cuartil + 2Paso

Cerca Externa Inferior = 3er

Cuartil - 2Paso

Tukey (1977) denomina a los valores que se encuentran entre las cercas internas como

adyacentes, los que estn entre las cercas internas y externas los denomina como externos y

los que estn fuera de las cercas externas los denomina como datos muy lejanos. Por lo

general, los datos que se consideraron atpicos y por consiguiente, se eliminan son los

correspondientes a la categora muy lejanos.

Otros autores han desarrollado otros mtodos de anlisis exploratorio de los datos

(Hamlett et al., 1986; Cressie 1993), donde histogramas y grficos de medias generales vs

locales y medias vs varianzas son usados para evaluar la distribucin de los datos y predecir

la estacionaridad de la media y la varianza varianza. Algunos proponen el uso de la mediana

en lugar de la media, ya que el primero es un valor real, mientras que el segundo puede no

serlo.

Para que las varianzas sean estacionarias, ellas no deben estar relacionadas con las

medias. Se recomienda elaborar grficos de las medias contra la posicin en el campo para

determinar la presencia de tendencias locales, a objeto de establecer la estacionaridad o no

estacionaridad de la media.

Una vez eliminados los valores atpicos es conveniente examinar la distribucin de los

datos a travs del uso de histogramas y curvas de probabilidad acumulada.


22/34

SUPERFICIES OPTIMAS DE MUESTREO1

MATERIALES Y METODOS

Areas Estudiadas

Este estudio abarc 12 estados, en los cuales se desarrolla la mayoractividadagrcoladel pas, seleccionando en cada uno de ellos las condiciones ambientales msrepresentativas ydentro de stas el cultivo y las condiciones de manejo comnes del rea.

Superficie muestreada por Estado y cultivo.

Estado Cultivo Superficie (ha)

Anzotegui Man 15.41Aragua Pasto sabanero 2.1

2

Barinas Maz 1.12

Cojedes Sorgo 1.02

Falcn Cebolla 14.0

Gurico Sorgo 50.0

Mrida Papa 4.0

Miranda Cacao 30.0

Monagas-1 Maz 67.5

Monagas-2 Caf 6.03

Monagas-3 Caf 6.8

3

Portuguesa Caa de azcar 40.0

Zulia-1 Tomate 38.4

Zulia-2 Tomate 8.0

Yaracuy-1 Maz 3.1

Yaracuy-2 Caa de azcar 10.0

Yaracuy-3 Caa de azcar 11.0

1Pivote central.

2Campo experimental.

3Muestreo efectuado por Jos Simoza (UDO).

Fuente: Ovalles et.al., 1998. Determinacin de superficies ptimas de muestreo con fines de diagnstico de

fertilidad. FONAIAP.


23/34

Muestreo

El proceso de muestreo en las reas representativas seleccionadas, se llev a cabo en dos

fases:

Muestreo anidado; con cuatro niveles, partiendo de tres puntos de muestreo con dosrepeticiones a cada nivel (3x2x2x2x2), lo que resulta en un total de 48 muestras.

El modelo del anlisis anidado est representado por la siguiente ecuacin:

Zijkl = + Ai + Bij + Cijk+ Eijkl

donde:

Zijkl = valor de la propiedad de suelo considerada.

= valor promedio de la propiedad de suelo en el rea estudiada.

Ai = diferencia entre y la media de Z al nivel 1.

Bij = diferencia de la media de Z al nivel 2 dentro del nivel 1 y la media del

nivel 1, as sucesivamente para definir Cijk.

Eijkl = residuales.

Esquema del Anlisis de Varianza Anidado:

Nivel Fuente de Grados de Componentes de la varianza

variacin libertad

1 A n1-1 42+n43

2+n3n42

2+n2n3n41

2

2 B n1(n2-1) 42+n43

2+n3n42

2

3 C n1n2(n3-1) 42+n43

2

4 D n1n2n3(n4-1) 42

TOTAL n1n2n3n4-1


24/34

Muestreo sistemtico, hasta alcanzar un total de 100 observaciones.

Las observaciones fueron tomadas en los primeros 20cm de suelo

En Anzotegui y Mrida, solo se realiz el muestreo anidado; en Portuguesa solo seejecut un muestreo sistemtico.

Anlisis de Laboratorio:

Las muestras fueron sometidas a anlisis de rutina para diagnstico de fertilidad.Las variables medidas fueron:

Arena (a), limo (L), arcilla (A) y materia orgnica (MO) (%)

Fsforo (P), potasio (K) y calcio (Ca) (mg kg-1

).

pH.

Conductividad elctrica (CE) (ds/m).

Aluminio (Al), hidrgeno int. (H), capacidad de intercambio catinico (CIC)

(cmol (+) kg-1

) y saturacin con aluminio (Al sat.) (%) Monagas (1 y 2)

Nitratos (NO3-) (mg kg

-1) Aragua y Portuguesa.

Aluminio (Al) (cmol (+) kg-1

) Cojedes.

Fsforo (P), potasio (K) y calcio (Ca), magnesio (Mg) (mg kg-1

), y pH

Anzotegui.

Anlisis Estadstico y Geoestadstico

Anlisis Anidado

Se utiliz la rutina NEST del programa PC-GEOSTAT (Burrough y van Keulen, 1986)


25/34

Anlisis Exploratorio

Se utiliz el programa GEOEAS (EPA, 1988), siguiendo a metodologa de Tukey (1977)

para detectar la presencia de valores atpicos.

D = 3er

Cuartil - 1er

Cuartil

donde D = dispersin

Paso = 1.5 x D

Cerca Interna Superior = 3er

Cuartil + Paso

Cerca Interna Inferior = 1er

Cuartil - Paso

Cerca Externa Superior = 3er

Cuartil + 2Paso

Cerca Externa Inferior = 1er

Cuartil - 2Paso

Anlisis Geoestadstico

Se us el programa PC-GEOSTAT (Burrough y van Keulen, 1986).

Para este estudio, se consider que la variabilidad de las propiedades del suelo es

isotrpica, es decir, que la variacin de las propiedades es igual en todas las direcciones.

Se realiz el clculo de las semivarianzas totales para los datos conjuntos (anidado+ sistemtico).

Se determin el semivariograma para cada propiedad.

Ajuste de los semivariogramas a modelos tericos a travs de la metodologa de los

mnimos cuadrados ponderados.


26/34

Determinacin de la Superficie Optima y Nmero de Submuestras

para la toma de Muestras Compuestas

Superficie ptima

Area de influencia = r2

donde:

r = alcance o rango de dependencia espacial.

A objeto de garantizar que las observaciones hechas dentro del rea de influencia de

la muestra compuesta, presentaran menor variacin que observaciones tomadas a distancias

mayores, se consideraron los siguientes criterios para ajustar el alcance:

Si a distancias largas, existan valores observados de semivarianza menores al valordel sill establecido por el modelo terico, se procedi a interpolar el semivariograma

con el menor valor de semivarianza y se estableci un nuevo alcance.

Si a distancias largas, existan valores observados de semivarianza cercanos al valor

del sill establecido por el modelo terico, se estableci un nuevo alcance que

constitua las 2/3 partes del alcance determinado por dicho modelo.

Si a distancias largas existan valores observados de semivarianza mayores al valor

del sill, se us el alcance determinado por el modelo terico.

Nmero de submuestras

Se utiliz la siguiente frmula:

n = t2

S2/( - )

Substituyendo el valor de la varianza de la muestra por el sill; por estar las

observaciones, en la mayoria de los casos, distribuidas sobre un rea que por lo

menos triplica el alcance.

Por otra parte, el nivel de confianza usado en los clculos fu de 5%. El valor de t

para un = 0.05 es 1.96, este valor se aproxim a 2. La desviacin de la media( - ) se estableci en un 10%, es decir:

( - ) = 0.1

donde: = media de la muestra.


27/34

Muestreo Simulado

Se realizaron estimaciones por medio de kriging puntual, para ello se utiliz el

programa PC-GEOSTAT (Burrough y van Keulen, 1986).

Se hicieron tres tipos de muestreo: Aleatorio, sistemtico y zig-zag; en cada uno de

ellos se determin la media, coeficiente de variacin y la diferencia de la media con

la media de la muestra original. Con el objeto de evaluar los resultados obtenidos en

el clculo del rea de influencia y nmero de submuestras y determinar cul de los

tres tipos de muestreo es el ms eficiente.

RESULTADOS Y DISCUSION

En general las variables fsicas mostraron una variacin inicial (distancia ms corta

de muestreo) menor (< 40%) que las variables qumicas (> 40%).

Las distancias ms eficientes de muestreo, derivadas de los variogramas fueron:

Estado Superficie (Ha) Distancias (m) DME(m)

Anzotegui 15.4 10,20,40,80 20Aragua 2.1 10,20,40,80 20

Barinas 1.1 5,10,20,40 10

Cojedes 1.0 0.5,5,10,70 5

Falcn 14.0 2.5,25,50,100 50

Gurico 50.0 25,50,100,200 100

Mrida 4.0 10,20,50,100 20

Miranda 30.0 25,50,100,200 50

Monagas-1 67.5 25,50,100,200 50

Monagas-2 6.0 10,20,50,100 50

Monagas-3 6.8 10,20,50,100 50

Portuguesa 40.0Zulia-1 38.4 50,60,100,240 100

Zulia-2 8.0 10,20,40,100 40

Yaracuy-1 3.1 10,18,35,70 18

Yaracuy-2 10.0 15,30,60,120 30

Yaracuy-3 11.0 15,31,62,124 40

DME: Distancia ms eficiente.


28/34

Los semivariogramas tuvieron diferentes comportamientos; pero en general,

mostraron un comportamiento cclico, debido posiblemente a que los suelos

muestreados fueron en su mayora de origen deposicional.

Promedios de los alcances para las variables fsicas y qumicas en las zonas

estudiadas.

Estado Fsicas Qumicas Alcance Total (m)

Anzotegui - 72 72

Aragua 30 52 48

Barinas 55 37 44

Cojedes 12 23 19

Falcn 128 190 172

Guarico 240 212 226Mrida 45 36 41

Miranda 171 100 123

Monagas-1 172 169 170

Monagas-2 131 131

Monagas-3 190 142 149

Portuguesa 332 269 294

Zulia-1 219 178 203

Zulia-2 90 59 80

Yaracuy-1 99 84 90

Yaracuy-2 166 105 128

Yaracuy-3 110 160 143

Las variables fsicas, generalmente, presentaron mayores alcances y menor

variabilidad que las qumicas, lo cual puede deberse a que stas ltimas estn ms

influenciadas por el manejo.


29/34

Superficie ptima (SOPT) y nmero de submuestras (n) que constituyen una muestra

compuesta.

Estado Superficie (ha) SOPT (ha) n

Anzotegui 15.4 1.8 22

Aragua 2.1 0.1 16

Barinas 1.1 0.4 20

Cojedes 1.0 278m2

23

Falcn 14.0 1.8 25

Gurico 50.0 3.2 21

Mrida 4.0 0.2 12

Miranda 30.0 1.3 24

Monagas-1 67.5 2.5 40

Monagas-2 6.0 2.0 40

Monagas-3 6.8 1.5 40Portuguesa 40.0 9.3 30

Zulia-1 38.4 3.4 16

Zulia-2 8.0 0.4 24

Yaracuy-1 3.1 2.6 26

Yaracuy-2 10.0 1.0 25

Yaracuy-3 11.0 4.8 16

A medida que se incrementa la superficie muestrada, el rea de influencia y el

nmero de observaciones tiende a ser mayor.

Para los cultivos con manejo ms intensivo se apreciaron menores reas de influencia

que para los cultivos con manejo menos intensivo.

Promedios de superficies ptimas (SOPT) y nmero de submuestras (n)

que constituyen una muestra compuesta por rubro.

Rubro SOPT (ha) n

Hortalizas 1.5 19

Caf y Cacao 1.6 35

Cereales 1.7 26

Oleaginosas 1.8 22

Caa de Azcar 5.0 24


30/34

Los muestreos simulados indicaron que los muestreos sistemtico y zig-zag fueron

los ms eficientes, los coeficientes de variacin fueron < 40%; y las medias fueron

muy similares a las medias de los datos originales (muestreo anidado + sistemtico).

Sin embargo, en base a Webster y Oliver (1990) que sealan que el muestreo quegenera menos error es el sistemtico sobre una gradilla de espaciamiento regular; se

considera al muestreo sistemtico como el ms conveniente para la toma de muestras

compuestas representativas.

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

El anlisis de varianza anidado indic que la distancia ms eficiente de muestreo fu

mayor a medida que aument la superficie muestreada.

5 m 1 ha

10 a 20 m 1 a 4 ha

20 a 50 m 4 a 16 ha

50 a 100m > 16 ha

Los semivariogramas, en su mayora, presentaron un carcter transitivo y

comportamiento cclico. Los rangos de dependencia espacial fluctuaron para las

variables fsicas entre 12 y 332m y para las variables qumicas entre 23 y 260m.

Las propiedades qumicas por lo general presentaron una mayor variabilidad.

Las SOPT fluctuaron de 0.03 a 9.3ha.

El nmero de submuestras que constituyen una muestra compuesta fluctuo entre 12 y

40 submuestras.

Se recomienda al muestreo sistemtico para la recoleccin de muestras compuestas.


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ESTADO CULTIVO NIVELES DE

MUESTREO (m)DME(m)

SOPT(ha)

Anzotegui Man 10,20,40,80 20 1.8

Aragua Pasto sabanero 10,20,40,80 20 0.1

Barinas Maz 5,10,20,40 10 0.4

Cojedes Sorgo 0.5,5,10,70 5 278m2

Falcon Cebolla 12.5,25,50,100 50 1.8

Gurico Sorgo 25,50,100,200 100 3.2

Mrida Papa 10,20,50,100 20 0.2

Miranda Cacao 25,50,100,200 50 1.3

Monagas-1 Maz 25,50,100,200 50 2.5

Monagas-2 Caf 10,20,50,100 50 2.0

Monagas-3 Caf 10,20,50,100 50 1.5

Portuguesa Caa de azcar 9.3

Zulia-1 Tomate 50,60,100,240 100 3.4

Zulia-2 Tomate 10,20,40,100 40 0.4

Yaracuy-1 Maz 10,18,35,70 18 2.6

Yaracuy-2 Caa de azcar 15,30,60,120 30 1.0

Yaracuy-3 Caa de azcar 15,31,62,124 40 4.8

DME: Distancia ms eficiente de muestreo.SOPT: Superficie Optima.


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