Multi Variable

14/02/2009

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CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES

Control Multivariable

MSc. María Antonieta Alvarez

Control de proceso multivariable

• Se tratará los siguientes temas:– La respuesta y estabilidad de sistemas multivariable puede ser un poco diferente de los lazos constituidos separadamente.

– Se aprenderá como aparear las variables controladas y manipuladas para minimizar el f t d i t ióefecto de interacción.

– Como diseñar desacopladores para reducir o eliminar el efecto de interacción.

14/02/2009 Facultad de Ingeniería en Electricidad y Computación 2

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• SISTEMA DE MEZCLA.• Controlar el flujo de salida y la Fracción de Masa del componente• Controlar el flujo de salida y la Fracción de Masa del componente

A.• Variables manipulas: el flujo de cada una de las corrientes de

entrada.


• REACTOR QUIMICO.C t l l t t d lid TT l i ió AT


• Controlar la temperatura de salida, TT21 y la composición, AT21.• Variables manipuladas:

• Flujo de agua para enfriamiento• Flujo del proceso .

414/02/2009 Facultad de Ingeniería en Electricidad y Computación

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• EVAPORADOR.C t l l i l l fl j d l l t ió


• Controlar el nivel, el flujo del proceso y la concentración.• Variables manipuladas:

• Flujo de salida del proceso• Flujo de vapor de entrada .

Facultad de Ingeniería en Electricidad y Computación 514/02/2009

• MAQUINA SECADORA DE PAPEL.C t l l h d d MT l d l d t fi l BT


• Controlar la humedad, MT51 y el peso del producto final, BT51.• Variables manipuladas:

• Flujo del depósito a la máquina.• Flujo de vapor al último grupo de tambores de secado


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COLUMNA DE DESTILACIONDESTILACION.Controlar presión columna, composición destilado, nivelacumulador, nivel básico.Variables manipuladas:

Flujo agua enfriamiento.Flujo destilado.Reflujo.jFlujo sedimentos.Flujo vapor rehervidor.


Técnicas adicionales de control

• CONTROL DE PROCESO MULTIVARIABLE– PROCESO CON MULTIPLES ENTRADAS Y MULTIPLES

SALIDAS (MIMO).– Consideraciones básicas:1. ¿Cuál es el efecto de interacción en la respuesta de los lazos de

control?2. ¿Cuánta interacción existe entre los diferentes circuitos de

control y cuál es la mejor agrupación por pares de variables controladas y manipuladas para reducir el efecto de interacción?

3 ¿Se puede hacer algo para reducir la interacción entre los 3. ¿Se puede hacer algo para reducir la interacción entre los circuitos?


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• Selección de variables controladas y manipuladas


manipuladas.– Selección por pares de variables, 2x2.– Caso general, selección nxn.

• Primer n: variables controladas.• Segunda n: variables manipuladas.• Se desea que cada variable controlada se controle por Se desea que cada variable controlada se controle por la variable manipulada con mayor influencia sobre aquella



• Considerando el tanque mezclador:– El tanque mezcla una solución conteniendo 10% de sal con

l d d d l duna solución concentrada de 35% de sal, para producir 100 lb/h de una solución conteniendo 20 % de sal.

– Balance de estado estaciona de total y masa de sal:

– Donde• w = es el flujo de corriente en lb/h,• f ió d d l d i t

2211

21

xwxwwxwww+=

+=

• x = fracción de masa de sal en cada corriente– En la condición de diseño:


hlbwxhlbwx

xhlbw

/0.401.0/0.602.0

35.0/100

21

1

2

======

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• Se realizará el análisis considerando el lazo de control de la composición, asumiendo que la variable manipulada es la corriente de concentración 2corriente de concentración 2.

• Se desea conocer cómo la interacción entre los lazos afecta los parámetros de la respuesta de cada lazo.

• Para obtener la ganancia del lazo, se aplica un cambio en la variable manipulada w2 = 42.0 lb/h.

• De la ecuación, la composición del producto incrementa a 20.3% de sal. La ganancia de estado estacionario:

salK %1500.203.20 −

• Donde Kx2 es la ganancia del flujo de la corriente 2 en % de peso de sal en la corriente del producto.

• El flujo total aumenta a 102.0 lb/h


hlbKx /

15.00.400.422 =

−=

Control de proceso multivariable• Cuando la composición del

producto aumenta a 20.5 % sal. La ganancia del lazo de la La ganancia del lazo de la composición del producto:

• Representa un incremento de 67% en la ganancia del lazo de la composición del producto.

• De 0.15 a 0.25 % sal/(lb/h). Causado por la interacción con l l d fl

hlbsalKx

%25.00.400.420.205.20'

2 =−−

=

el control de flujo.• K’x2 es la ganancia en lazo

cerrado.• Kx2 es la ganancia en lazo

abierto.


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• La interacción ocurre porque cuando el p qcontrolador de la composición cambia el flujo de la concentración de la corriente causa un cambio en el flujo del producto.

• Esto causa que el controlador del flujo cambie controlador del flujo cambie el flujo de la corriente diluida el cual causa un cambio en la concentración del producto


Interacción positiva y negativa

• Interacción positiva, resulta en un incremento en la ganancia del lazo cuando el otro lazo está en la ganancia del lazo cuando el otro lazo está cerrado.

• Cuando los dos lazos pelean entre ellos, es una interacción negativa y la ganancia del lazo decrece o cambia de signo cuando el otro lazo está cerrado.

• Esto es porque la interacción causa un cambio en la variable controlada el cual es en la dirección opuesta al cambio original.


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Interacción positiva y negativa

• El cambio de signo de la ganancia ocurre d l bi d l i t ió cuando el cambio de la interacción es mayor

que el cambio original.• Por la posibilidad de cambio en el signo de la ganancia, la interacción negativa puede producir mayor problema que la interacción p y p qpositiva.


• Selección por pares de variables, 2x2.– Ganancias de estado estacionario de circuito abierto

Par de variables controladas y manipuladas

Ganancias de estado estacionario de circuito abierto.

– Matriz de Ganancia de Estado Estacionario, (MGEE).21

111

mmcK

ΔΔ

=12

112

mmcK

ΔΔ

=21

221

mmcK

ΔΔ

=12

222

mmcK

ΔΔ

=

112111 mKKC Δ=

Δ

16

2

1

2

1

222212

mm

CC

mKKC

ΔΔ

=ΔΔ

Δ=

Δ

K


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• Selección por pares de variables.– Método de Bristol, Matriz de Ganancia Relativa (MGR).


, ( )

– En forma general, μij es la medida de interacción o ganancia relativa para el par ci‐mj, elementos sin dimensiones:

'11

11

211

211

211

211

11//

//

KK

mcmc

mcmc

c

m

c

m =ΔΔ

ΔΔ≈

∂∂

∂∂=μ

'//

ij

ij

cji

mji

ijKK

mcmc

=∂∂

∂∂=μ

2

1

2221

1211

2

1

mm

CC

ΔΔ

=ΔΔ

μμμμ

– El numerador es la ganancia de lazo abierto Kij con todas las demás variables manipuladas mantenidas constante.

– El denominador es la ganancia de lazo cerrado K´ij con todas las demás variables controladas mantenidas constantes, Δc2=0.

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μμ


• μij, es una medida del efecto de cerrar todos los demás circuitos sobre la ganancia de proceso para un cierto par de variable controlada y manipulada. El valor numérico de μij, es una medida de la interacción entre los circuitos.

Si d b d l d á i i l i d l l


– Si μij = 1, cuando se abren todos los demás circuitos, la ganancia del proceso es la misma que cuando se cierran; indica que entre el circuito de interés y los demás circuitos no hay interacción o posible interacción que elimine la desviación.

• Cuanto más se desvía μij, de 1, tanto mayor es la interacción entre los circuitos.– Si μij = 0, esto puede deberse a dos posibilidades:

• La ganancia de circuito abierto, δci/δmj|m puede ser cero, en este caso mj no afecta a ci, al menos en términos de lazos abiertos.

• La ganancia de circuito cerrado es tan grande que μij, = 0, los demás interactúan en gran medida con el circuito de interés para mantener constantes las otras variables. variables.

• En todo caso, indica que ci no se debe controlar con mj.– Si μij = ∞, la ganancia de circuito cerrado es cero o muy pequeña, cuando los demás

circuitos se sitúan en automático, el lazo de interés no se puede controlar, porque mjafecta a ci muy poco o nada en absoluto.

• La única forma de controlar este circuito es colocar los demás circuitos en manual, esta situación no es deseable!


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Ejemplo 1

• Considere la siguiente matriz de ganancias relativa:

m m

• La ganancia relativa para un par, μ11= μ22=0.2=1/5. indica que para este par la ganancia de cada lazo incrementa por un factor de 5 cuando el otro lazo está cerrado.L i l ti l t 8 / i di

m1 m2

c1 0.20 0.80

c2 0.80 0.20

• La ganancia relativa para el otro par, μ12= μ21=0.8=4/5. indica que para este par la ganancia incrementa solamente por un factor de 1.25 cuando el otro lazo está cerrado.

• Los pares c1‐m2, c2‐m1 resulta en menor sensibilidad a interacción que el otro.


Ejemplo 2

• Considere la siguiente matriz de ganancias relativa:m1 m2

• La ganancia relativa para un par, μ11= μ22=2=1/0.50. indica que la ganancia de cada lazo disminuye a la mitad cuando el otro lazo está cerrado.L i l ti l t / i di

1 2

c1 2.0 ‐1.0

c2 ‐1.0 2.0

• La ganancia relativa para el otro par, μ12= μ21=‐1.0=1/‐1. indica que la ganancia de cada lazo cambia de signo cuando el otro lazo está cerrado.

• El último caso no es deseable porque significa que la acción del controlador depende en si el otro lazo está abierto o cerrado.

• Los pares correctos son c1‐m1, c2‐m2.14/02/2009 Facultad de Ingeniería en Electricidad y

Computación 20

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• Selección por pares de variables.– Método de Bristol, Matriz de Ganancia Relativa (MGR).


Método de Bristol, Matriz de Ganancia Relativa (MGR).• Para calcular la ganancia de lazo cerrado para el par C1‐M1, se debe

introducir la realimentación de C2 mediante un controlador para generar M2. Si este es un controlador con modo integral, cuando ocurra un cambio en M1 éste ajustará M2 para lograr que C2 se haga cero.

21

2

1

2221

12111

0K

mm

KKKKC

ΔΔ

=Δ

21

22

211211

1

1'11

122

21121111

122

212

KKKK

mCK

mKKKmKC

mKKm

−=ΔΔ

=

Δ−Δ=Δ

Δ−=Δ


• Selección por pares de variables.Mét d d B i t l M t i d G i R l ti


– Método de Bristol, Matriz de Ganancia Relativa (MGR).

– Para cualquier sistema 2x2.– Los términos de cada fila y en cada columna suman uno.

22

2

1

21122211

2211

21122211

211221122211

2112

21122211

2211

2

1

mm

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

KKKKKK

CC

ΔΔ

−

−

=ΔΔ

−−

−−


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Ejemplo 3

• Para el tanque mezclador Determine mezclador. Determine las fórmulas generales para el lazo abierto y ganancias relativas.

• Derive un estrategia general para el general para el apareamiento de variables para cualquier proceso mezclador


Solución

1. Resolver para las variables controladas en término de las variables manipuladas.término de las variables manipuladas.

• Donde w y x son las variables controladas y w1y w2 son las variables manipuladas.

21

2211

21

wwxwxwx

www

++

=

+=

2• Cálculo de las ganancias en lazo abierto


j

i

jkmj

i

mij m

cmcK

kj∂∂

=ΔΔ

=≠

→Δlim

0

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Solución

• Aplicando la definición

• Las ganancias relativas son obtenidas

( )( )

( )( )221

12122

21

1221

21 11

wwxxwK

wwxxwK

KK

xx

ww

+−

=+

−−=

==

ww


21

12

21

21

21

22

21

11

www

www

www

www

xx

ww

+=

+=

+=

+=

μμ

μμ

Solución

• El apareamiento correcto depende en cual de los dos flujos es mayor.j y– Si w1>w2, las ganancias relativas cercanas a 1 son μw1 yμx2 (iguales ambas).

• El correcto par sería w‐w1, x‐w2– Si w2>w1, las ganancias relativas cercanas a 1 son μw2 yμx1 (iguales ambas).

• El correcto par sería w‐w2, x‐w1• Esta es la estrategia general para apareamiento para g g p p p

procesos mezcladores:– El control del flujo de producto con la corriente de entrada tiene mayor flujo, y la composición con el flujo de entrada tiene menor flujo.


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• Selección por pares de variables.– Método de Bristol Matriz de Ganancia Relativa


– Método de Bristol, Matriz de Ganancia Relativa (MGR).

– Para cualquier sistema nxn, un elemento de la MGR:

• Se calcula la transpuesta de la inversa de la matriz de ganancia de estado estacionario K y se multiplica cadatérmino de la nueva matriz por el términocorrespondiente en la matriz original. Los términos quep g qse obtienen son los de la matriz de interacción o matriz de ganancia relativa.

27

ijjiij KB== −

μ

1KB


• Ejemplo, diseño del control de un sistema de mezcla de gasolina.

CONTROL DE PROCESO MULTIVARIABLE

– Calcular la MGEE, MGR y seleccione los pares de variables controladas y manipuladas

– Asuma que las propiedades de la gasolina es el promedio de los flujos de alimentación y que la densidad de los flujos es aproximadamente igual.

– Las variables del proceso son:

Octano, x RVP, y Flow, f

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Alkylate, f1 97 5 7.5

Straight run, f2 80 11 28.12

Reformate, f3 92 3 24.38

Gasoline 87 7 60


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• Ejemplo, diseño del control de un sistema de mezcla de gasolina


gasolina.– Asuma que las propiedades de la

gasolina es el promedio de los flujos de alimentación y que la densidad de los flujos es aproximadamente igual.

332211 xfxfxfx ++=

29

321

321

332211

321

fffffff

yfyfyfy

fffx

++=++++

=

++=


• Ejemplo, diseño del control de un sistema de mezcla de gasolina.– Calcular la MGEE.


– Las ganancias de estado estacionario resultan de obtener la derivada parcial de la variable controlada para la variable manipulada.

( )

( )∂

++++

=∂∂

=

++++

=∂∂

=

ffff

)y-(yf)y-(yf)y-(yffyK

fff)x-(xf)x-(xf)x-(xf

fxK

2321

3j32j21j1

j2j

2321

3j32j21j1

j1j

30

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−=

=∂∂

=

111067.0067.0033.0

083.00.117-0.167

1ffK

j3j

K


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• Ejemplo, diseño del control de un sistema de mezcla de gasolina.– Calcular la MGR y seleccione los pares de variables controladas y

i l d


manipuladas

ijjiij KB=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−== −

μ406.0938.15625.5469.0688.4875.1125.025.115.7

1KB

f1 f2 f3

– Los pares de variables son: x‐f1, y‐f3 y f‐f2

31

x 1.25 0.219 -0.469y -0.375 0.312 1.063f 0.125 0.469 0.406


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