PROGRAMACIN LINEAL

PROGRAMACIN LINEAL.

La programacin lineal es una tcnica de modelado (construccin de modelos).

La programacin lineal (PL) es una tcnica matemtica de optimizacin, es decir, un mtodo que trata de maximizar o minimizar un objetivo.

Su inters principal es tomar decisiones ptimas.

Se usa mucho en la industria militar y en la petrolera. S i bien esos sectores han sido quiz los principales usuarios de ella, el sector servicios y el sector pblico de la economa tambin la han aprovechado ampliamente.

ESTRUCTURA BSICA DE UN PROBLEMA DE PROGRAMACIN LINEAL (PL)

Un problema de PL consta de una funcin objetivo (lineal) por maximizar o minimizar, sujeta a ciertas restricciones en la forma de igualdades o desigualdades.

Conceptos clave:

Funcin objetivo: La funcin por optimizar (maximizar o minimizar)

Restricciones: Representan condiciones que es preciso satisfacer. Sistema de

igualdades y desigualdades ( )

Ejemplo:1.2Funcin objetivo

Maximizar2Y

Sujeto a

180

3Y300Restricciones

0

0

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PROGRAMACIN LINEAL

Ejemplo:6 8

Funcin objetivo

Minimizar

Sujeto a

Restricciones

0

0

TIPOS DE RESTRICCIONES.

De no negatividad

Estructurales

Garantizan que ninguna variable de

Decisin sea negativa.

Reflejan factores como la limitacin

De recursos y otras condiciones que

Funcin objetivoImpone la situacin del problema.

Ejemplo:56

Maximizar3Restricciones Estructurales

Sujeto a

2120

46y260

Restricciones de no negatividad

00

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PROGRAMACIN LINEAL

SOLUCIN GRFICA DE PROBLEMAS DE PL.

Cuando un modelo de programacin lineal se expresa en trminos de dos variables puede resolverse con procedimientos grficos.

Conceptos clave:

Conjunto factible: Es el conjunto de puntos que integran la regin de resolucin. Solucin factible: Cada punto que integra la regin (plana) que resuelve el problema. Solucin ptima: Constituye la solucin al problema de programacin lineal.Cul es el objetivo de la solucin grfica?

Encontrar (entre todos los puntos del conjunto factible) el punto o los puntos que optimicen la funcin objetivo.

Ejemplo:Maximizar3 2

Sujeto a 23Y 12

2 Y 8

0

0

Paso 1

Se igualan las restricciones:

23YEcuacin 1

12Ecuacin 2

2Y8

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Paso 2

Se grafican las ecuaciones, se puede hacer escogiendo un conjunto de nmeros que nos permitan dibujar la lnea (por ejemplo 0, 1, 2, 3,-1, -2, -3), es decir, para la ecuacin 1

XY

110/3

28/3

32

04

-114/3

-216/3

-36

Y de la misma forma se procede con la ecuacin 2.

Una manera ms sencilla es la siguiente:

Para la ecuacin 13Y12Para la ecuacin 2Y8

22

XYXY

0408

6040

Con estos puntos obtendremos la siguiente grfica.

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El rea sombreada de azul es la que corresponde al conjunto factible, cada punto que contiene el conjunto factible es un candidato para resolver este problema.

Ya que tienes graficado el conjunto factible (el rea azul de la grfica) identifica las coordenadas de todas las esquinas (vrtices) del conjunto factible:

A (0,4)

B (3,2)

C (4,0)

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Nota: Para poder encontrar las coordenadas del punto B tienes que resol ver el sistema de

ecuaciones conformado por las dos ecuaciones anteriores (2yay

) puedes resolver el sistema a travs de los mtodos quedebes de haber

3Y12

estudiado anteriormente (suma y resta, sustitucin, igualacin o grfico). En nuestro caso

2Y8

utilizaremos el mtodo de sustitucin.

23Y12Ecuacin 1

Ecuacin 2

2Y8

Paso 1. Se despeja Y de la ecuacin 2

Y 8 2

Paso 2. Se sustituye el valor de Y en la ecuacin 12 3 8 2 12

Paso 3. Se resuelve la ecuacin para encontrar el valor de X.2 24 6 12

4 12 24

412

12/ 4

3

Paso 4. Sustituye el valor de X en el despeje que hiciste en el paso 1.

Y 8 2 3

Y 8 6

2

Y con esto obtienes el resultado del vrtice B (3,2)

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Despus de haber encontrado las coordenadas de todas las esquinas es necesario que sustituyas el valor de cada una de ellas en la funcin objetivo, para que encuentres el valor mximo (o mnimo, segn sea el caso).

Sustituyendo el valor del vrtice A en la funcin objetivo. 2

Vrtice A (0,4) 2

3 0 2 4 8

Vrtice B (3,2) 2

3 3 2 2 13

Vrtice (4,0) 2

Resultados:3 42 012

Vrtice A (0,4)Valor8

Vrtice B (3,2)Valor13

Vrtice C (4,0)Valor12

Observando los resultados podemos concluir que el mximo se encuentra en el vrtice B.

FIN

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