Normey-Camacho Predicción Retardos

PREDICCION PARA CONTROL: UNAPANORAMICA DEL CONTROL DE PROCESOS

CON RETARDO

Julio E. Normey-Rico ,1 Eduardo. F. Camacho ,1

Depto. de Automacao e Sistemas, Universidade Federalde Santa Catarina, 88040-900, Florianopolis, SC, Brasil,

[email protected] de Ingeniera de Sistemas y Automatica,Universidad de Sevilla, Sevilla 41092 Espana,

[email protected]

Resumen: Este trabajo analiza el control de sistemas con retardo cuando seutilizan estructuras de control basadas en predictores. Se estudia la robustez dediversas estrategias de compensacion de retardo y los efectos producidos por elpredictor en el comportamiento en bucle cerrado del sistema. Esta problematicase trata de forma unicada utilizando ideas provenientes de dos grandes areasdentro del control: el area del control predictivo basado en modelo (ModelPredictive Control, mpc) y el area de los compensadores de tiempos muertos(Dead Time Compensators, dtc). Se revisan los trabajos publicados en losultimos anos sobre el tema y se muestra que existe una relacion muy ntimaentre las estructuras de dtc y mpc. Se propone as el concepto de Prediccionpara Control que considera los efectos de las caractersticas de la estructura delpredictor utilizado en el controlador en la robustez y comportamiento del sistemaen bucle cerrado. Copyright c2006 CEA-IFAC

Palabras clave: predictores, robustez, sistemas con retardo.

1. INTRODUCCION

Los retardos entre las variables de entrada y salidade los procesos aparecen en muchas plantas indus-triales, sistemas biologicos y tambien en sistemaseconomicos o sociales. En la mayora de los casosestos retardos se deben al transporte de masa o en-erga dentro del proceso o al tiempo necesario parael procesamiento de informaciones pero tambienpueden ser asociados al efecto producido por laacumulacion de un gran numero de sistemas debajo orden.

1 Trabajo financiado por CICYT Contrato DPI 2005-4568y CAPES-BRASIL Contrato BEXO 0828/05-0.

La aparicion de un retardo en el bucle de controlde un proceso tiene efectos perjudiciales. Por unlado el retardo (tambien llamado tiempo muertoo tiempo de atraso de transporte) disminuye con-siderablemente la fase del sistema lo que produceuna disminucion de los margenes de ganancia yde fase del mismo. Por otro lado las relacionesentrada-salida del sistema con retardo dejan de serracionales. Como consecuencia de esto el analisis ydiseno de controladores para sistemas con retardoes mas difcil (Palmor, 1996). Cuando el retardoes grande y se desea obtener respuestas en buclecerrado rapidas es conveniente que se utilice unsistema de compensacion del retardo. El predictorde Smith (Smith predictor, sp) (Smith, 1957)fue el primer sistema de control propuesto en la

JLDIEZPlaced Image

JLDIEZISSN: 1697-7912. Vol. 3, Nm. 4, Octubre 2006, pp. 5-25

literatura que incluye un compensador de retardosy quizas sea el sistema mas conocido y utilizado enla practica para resolver el control de los sistemascon retardo.

Los predictores optimos (ops) (Goodwin andSin, 1984) fueron introducidos en el contexto delcontrol optimo cuando estos consideran modelosestocasticos de las perturbaciones (Clarke andGawthrop, 1979), (Palmor and Shinnar, 1979)y utilizados posteriormente en los algoritmosde control predictivo basado en modelo (mpc)(Clarke et al., 1987; Camacho and Bordons, 2004;Gomez-Ortega and Camacho, 1994). Mientras queel sp se utilizo para compensar tiempos muertos,los ops son normalmente utilizados para predecirel comportamiento futuro de la planta, sea en ununico instante, como en el caso del controladorde mnima varianza (mvc) o en un horizontedeslizante como por ejemplo en el control pre-dictivo generalizado (gpc). Los ops no aparecenexplcitamente en las estructuras de control pre-dictivo que los utilizan a pesar de que, como fueprobado en (Palmor, 1982), el mvc puede ser anal-izado como un predictor optimo mas un controlprimario. Otra diferencia importante es que losops consideran las caractersticas estocasticas delas perturbaciones, y por lo tanto deberan ofrecermejores resultados cuando son utilizados comocompensadores en sistemas con retardos afectadospor perturbaciones estocasticas.

Durante los ultimos 25 anos fueron propues-tas numerosas extensiones y modicaciones delsp (Palmor, 1996; Normey-Rico and Camacho,1998; Normey-Rico and Camacho, 1999c). En(Watanabe and Ito, 1981) se propone un nuevocontrolador basado en modelo que permite obtenerrespuestas sin error de regimen permanente ytransitorios adecuados para plantas con accionintegradora. A partir de este trabajo diversosautores estudiaron el problema de mejorar lacapacidad de rechazar perturbaciones del sp ypropusieron algoritmos que pueden ser aplica-dos para perturbaciones medibles o no (Palmorand Powers, 1985; Palmor, 1996; Normey-Ricoand Camacho, 1999a). Mas recientemente fueronpropuestas algunas modicaciones para mejorarlas caractersticas de respuesta a cambios en lareferencia y a perturbaciones de carga cuando laplanta posee accion integradora y grandes retar-dos de tiempo (Astrom et al., 1994; Matausek andMicic, 1996; Matausek and Micic, 1999; Kwak etal., 2001; Kaya, 2003; Chien et al., 2002; Hanget al., 2003), o para desacoplar las respuestasa perturbaciones y referencia (Zhang and Sun,1996; Zhang et al., 1998; Normey-Rico and Cama-cho, 2002). Tambien en (Hagglung, 1996; Normey-Rico et al., 1997) se estudian algoritmos de con-trol para sistemas no integradores con retardoque pueden ser ajustado solamente usando tres

parametros, de forma similar a un controladorindustrial tipo pid. Los resultados del predic-tor the Smith fueron extendidos a sistemas mul-tivariables con retardos en (Alevisakis and Se-borg, 1973; Ogunnaike and Ray, 1979; Ogunnaikeet al., 1983) y tambien fueron analizados pos-teriormente en otros trabajos (Bhaya and Des-oer, 1985; Palmor and Halevi, 1983; Jerome andRay, 1986).

La estabilidad de los sistemas en bucle cerrado queusan el sp fue estudiada de forma cuantitativa porprimera vez en (Furukawa and Shimemura, 1983).En este trabajo, usando la representacion de es-tados, los autores demostraron porque el sp nopuede ser usado para el control de plantas in-estables con retardo. Este resultado tambien fueprobado en (Morari and Zariou, 1989) usando elenfoque de control por modelo interno (imc). Losesquemas de control propuestos en (Furukawa andShimemura, 1983) y (Watanabe and Ito, 1981)pueden ser usados con plantas inestables si elalgoritmo de control es implementado utilizandouna estructura internamente estable. Para mejo-rar la capacidad de rechazo de perturbaciones dela estructura de control presentada en (Furukawaand Shimemura, 1983) fueron propuestas diversasmodicaciones (Palmor, 1996). Sin embargo, esteesquema de control que permite obtener mejorescaractersticas de rechazo de perturbaciones, es engeneral, muy sensible a los errores de modelado(Palmor, 1996). De forma general se puede decirque todas las modicaciones introducidas en el sppara mejorar sus caractersticas de rechazo de per-turbaciones traen como consecuencia un aumentode la sensibilidad a los errores de modelado.

La estabilidad robusta del sp ha sido estudiada envarios trabajos. En (Palmor and Halevi, 1983) seutiliza por primera vez el concepto de inestabil-idad practica para mostrar que si el controladorprimario no es ajustado correctamente, entoncesel sp puede ser inestable si se consideran pequenoserrores de modelado del tiempo muerto, a pesarde que, idealmente, el sistema disenado tengabuenos valores del margen de fase y de ganan-cia. En (Bhaya and Desoer, 1985) se utiliza unsp generalizado para sistemas multivariables pararealizar un analisis de estabilidad basando en la Q-parametrizacion del controlador. En el mismo tra-bajo se muestran las limitaciones impuestas porlas incertidumbres en el comportamiento del sis-tema de control y se presentan condiciones nece-sarias y sucientes para la estabilidad robusta delsp generalizado. Estos resultados fueron una gen-eralizacion de los presentados en (Palmor, 1980)para el caso de realimentacion unitaria. De formasimilar, en (Morari and Zariou, 1989), se anal-izan varias de las propiedades del sp y se proponeun ajuste robusto del sp usando el enfoque imc.Tambien en (Santacesaria and Scattolini, 1993)

MarinaText BoxPrediccin Para Control: Una Panormica del Control de Procesos con Retardo

MarinaText Box6

JLDIEZLine

y (Palmor, 1986) se proponen otros ajustes delsp con el objetivo de obtener un comportamientorobusto. Estructuras basadas en observadores deperturbacion, que permiten mejorar el rechazode perturbaciones, son presentadas en (Zhongand Normey-Rico, 2002) y analizadas tambien en(Zhong and Mirkin, 2002; Zhong and Li, 2003;Torrico and Normey-Rico, 2005). Extensiones deestos resultados a plantas inestables con retardose presentan en (Liu et al., 2005; Lu et al., 2005).Una revision del sp y de varias modicacionesse puede encontrar en (Palmor, 1996; Normey-Rico and Camacho, 1998; Normey-Rico and Ca-macho, 1999c).

El sp surgio como una alternativa de controlanalogico para sistemas con retardo, sin embargo,en las aplicaciones actuales de compensacion detiempos muertos, las leyes de control son imple-mentadas de forma digital. Las propiedades par-ticulares de las versiones digitales del sp fueronanalizadas por primera vez en (Palmor and Halevi,1990). La discretizacion de los dtc y el diseno di-recto han sido estudiados recientemente (Normey-Rico and Camacho, 1998; Guo et al., 2000; Torricoand Normey-Rico, 2005). En estos trabajos seanaliza el efecto del muestreo en los controladoresbasados en predictores.

El op fue denido en el dominio del controloptimo, esto es, combinado con diversos con-troladores optimos. Durante la ultima decada,fueron propuestas diversas estrategias de controlbasadas en el op, como por ejemplo: gmvc (Gen-eral Minimum Variance Controller) (Clarke andGawthrop, 1979), gpc (Generalized PredictiveController) (Clarke et al., 1987), epsac (Ex-tended Prediction Self Adaptive Control) (Keyserand Cuawenberghe, 1985), ehac (Extended Hori-zon Adaptive Control) (Ydstie, 1984). La uti-lizacion del op en estos controladores se debe a suspropiedades optimas, esto es, el op puede generarla mejor prediccion de la salida de la planta enuna conguracion de bucle abierto que consideraperturbaciones deterministas y estocasticas. Unainteresante revision del op y de sus varias for-mulaciones puede ser encontrada en (Favier andDubois, 1990). En los ultimos anos diversos au-tores (Clarke and Mohtadi, 1989; Robinson andClarke, 1991; Yoon and Clarke, 1995; Megias etal., 1997; Ansay and Wertz, 1997), han analizadola robustez de algunos de los algoritmos de controlbasados en el op y en (Normey-Rico and Cama-cho, 2006) se estudia la inuencia del predictor enla robustez del sistema en bucle cerrado.

Una caracterstica comun de todas las estructurasde control optimo que utilizan al op es que elpredictor es calculado considerando el compor-tamiento en bucle abierto de la planta, sin teneren cuenta que el mismo va a trabajar en bu-

cle cerrado. En realidad, lo que importa cuandose controla un sistema usando predictores es elcomportamiento en bucle cerrado del conjuntopredictor-control primario. Por esto, en vez deutilizar predictores denidos con informaciones debucle abierto (como se hace normalmente) debenser analizados dos aspectos muy importantes aldesarrollar un controlador predictivo: (a) el com-portamiento del sistema en bucle cerrado frentea perturbaciones y cambios de consigna; (b) larobustez del sistema en bucle cerrado cuando seconsideran errores de modelado.

Considerando estos dos aspectos, este articulo re-visa los sistemas de control derivados del predictorde Smith y los controladores predictivos cuandose aplican a procesos con retardo. Se muestransimilitudes y diferencias en las dos estructuras decontrol y se interpretan sus propiedades.

2. EL PREDICTOR DE SMITH YMODIFICACIONES

2.1 El predictor de Smith

La gura 1(a) muestra la estructura de controldel predictor de Smith (sp). En esta estrategia decontrol se realimenta la prediccion de la salida delproceso en el tiempo t, que es calculada usando unmodelo del proceso sin retardo (Gn(s)). Ademas,para que el sistema de control pueda corregir losefectos de los errores de modelado y el efectode las perturbaciones, tambien se realimenta ladiferencia entre la salida del proceso y la del mod-elo incluyendo el retardo (Pn(s) = Gn(s)eLs)como se ve en el esquema de la misma gura.Se puede ver entonces que, si no hay errores demodelado ni perturbaciones, la diferencia entre lasalida real y la predicha es cero y el controladorprimario C(s) podra ser ajustado, al menos enel caso nominal, utilizando el modelo del procesosin retardo Gn(s). Existen tres propiedades fun-damentales que deben ser analizadas al estudiar elsistema de control propuesto por Smith en el casode modelado perfecto (P (s) = Pn(s)) (Jerome andRay, 1986):

Propiedad 1- El atraso es eliminado de laecuacion caracterstica del sistema en bu-cle cerrado. Usando la gura 1(a) se puedeobtener por simple algebra de bloques que laecuacion caracterstica es:

1 + C(s)Gn(s) = 0. (1)

Propiedad 2- Para cambios de referencia, lasenal de realimentacion f generada por elpredictor que se muestra en la gura 1(b) seanticipa a la salida del proceso en un tiempoL:

JLDIEZLine

MarinaText BoxJ. E. Normey-Rico, E. F. Camacho

MarinaText Box7

C(s) P(s)r(t) y(t)

y(t+Ln)^

e-Lns

q(t)

+

_

_

+

+

+

+

y(t)^

ep(t)

+

yp(t)

G n(s)

(a)

P(s)r(t) y(t)

q(t)

+

_

+

++_

G n(s)C'(s)

e(t) u(t)C(s)

Pn(s)+

_

(b)

Figura 1. Estructura de control del predictor deSmith: (a) representacion en la forma de imc;(b) representacion normal.

f(t) = y(t + L),aunque esta propiedad no es valida para lasentradas de perturbacion ya que:

f(t) = y(t + L) + Pn(s) [d(t) d(t + L)] .Se puede deducir de esta ultima relacionque si los cambios en la dinamica de laperturbacion son lentos (d(t) d(t + L)),entonces f(t) sera una buena prediccion dey(t) en t = L pero, en el caso de que d(t)cambie rapidamente, no sera posible eliminarel efecto de la perturbacion de la senal derealimentacion f(t).

Propiedad 3- La estructura del sp factoriza,de forma implcita, el proceso en dos partes:Gn, que es la parte invertible y eLs, que esla parte no invertible debido al retardo (no seconsideran en este analisis los efectos de losceros con parte real positiva). Usando estaidea de la factorizacion del proceso y con-siderando que podra ser aplicado un contro-lador primario ideal (un control de gananciainnita) entonces se obtiene que (ver gura1(a)):

C (s) =C(s)

1 + C(s)Gn(s)= (Gn(s))1,

lo que genera una salida ideal:

y(t) = r(t L) + Pn(s) [d(t) d(t L)] .Se observa que la funcion de transferencia

ideal entre la referencia y la salida es unsimple retardo y que el resultado coincide con

Un analisis de las limitaciones impuestas por los cerosde fase no mnima en el comportamiento del sistemade control ha sido estudiada con detalle en (Holt andMorari, 1985b).

el obtenido en el caso de poder realimentarla salida sin retardo. A pesar de que estafuncion de transferencia ideal no puede serconseguida en la practica, da una buena ideade las cualidades del sp y al mismo tiempouna cota superior para el comportamiento enbucle cerrado que puede obtenerse con estaestructura. Este concepto del control ideal hasido analizado en el contexto del control pormodelo interno (Internal Model Controlimc) (Garcia and Morari, 1984). El analisisde las limitaciones impuestas por el retardoen el comportamiento del sistema de controlhan sido estudiadas con detalle en (Holt andMorari, 1985a).

Aun sin considerar la solucion ideal de gananciainnita, una lectura supercial de las propiedadesdel sp puede llevar a la erronea conclusion de queel ajuste del controlador primario C(s) podrahacerse considerando apenas el modelo de laplanta sin retardo y que los transitorios del sis-tema en bucle cerrado podran ser arbitrariamenteacelerados. Sin embargo, un analisis mas detalladode las propiedades y de las ecuaciones anteriorespermite determinar algunas limitaciones del sp,ya sea en su aplicacion como en el ajuste de susparametros:

La primera limitacion esta relacionada conel ajuste del control primario. Si C(s) seajustase teniendo en cuenta solamente laecuacion caracterstica (1), el sistema en bu-cle cerrado podra resultar inestable paraerrores de modelado (P (s) Pn(s)) muypequenos.

La segunda limitacion esta relacionada conla estructura del sp: el sistema de control nopuede ser utilizado con procesos que tenganpolos con parte real positiva y si el procesoes integrador la implementacion no puedehacerse directamente usando los diagramasde la gura 1.

La tercera limitacion esta relacionada con elrechazo de las perturbaciones. Si la plantaes estable, no es posible denir arbitraria-mente el comportamiento del sistema frente aperturbaciones de carga con el simple ajustedel control primario. Y si la planta es inte-gradora, el sistema no puede rechazar pertur-baciones constantes en regimen permanente.

Para poder entender claramente el porque deestas tres caractersticas del sp basta con calcularlas relaciones de bucle cerrado del sistema queaparece en la gura 1. En el caso nominal, estoes, cuando el modelo de la planta es perfecto(P (s) = Pn(s)) las relaciones entre R(s), Q(s) eY (s) se pueden escribir como sigue:

Hr(s) =Y (s)R(s)

=C(s)Pn(s)

1 + C(s)Gn(s)(2)

MarinaText Box8

JLDIEZLine


Hq(s) =Y (s)Q(s)

= Pn(s)[1 C(s)Pn(s)

1 + C(s)Gn(s)

](3)

Para considerar el efecto de los errores de mode-lado se supondra que las incertidumbres puedenser descritas por un modelo no estructurado conP (s) = Pn(s)(1 + P (s)).

Bajo esta hipotesis es posible calcular una medidade la robustez del sistema de control considerando,para cada frecuencia, el modulo del maximo errorde modelado admisible para que se mantengala estabilidad del bucle cerrado. Este ndice derobustez se puede calcular (Morari and Zariou,1989) como:

dP () =| 1 + C(j)Gn(j) || C(j)Gn(j) | > 0 (4)

A partir de las expresiones anteriores se puedededucir que:

Si C(s) es elegido para conseguir respuestasmuy rapidas en bucle cerrado (Hr con anchode banda grande) entonces el sistema tendraun ndice de robustez muy pequeno (valorespequenos de dP ()) ya que como se deducede las ecuaciones (2) y (4):

dP () =1

| Hr(j) | > 0. (5)

Esto signica que si C(s) no es adecuada-mente escogido y ajustado, pequenos erroresde modelado podran causar la inestabilidaddel sistema (Palmor, 1980).

Los polos de P (s) no pueden ser eliminadosde la funcion de transferencia perturbacion-salida (excepto un polo en s = 0). Esto tienetres consecuencias importantes:(1) El sp no puede ser utilizado con pro-

cesos inestables en bucle abierto puesla respuesta a las perturbaciones serainestable.

(2) Si los polos del proceso son mas lentosque los deseados para el bucle cerrado(para la relacion y/r), entonces no seraposible acelerar la respuesta a las per-turbaciones con el ajuste de C ya quelos polos lentos dominaran los transi-torios. En la practica, este problemasolamente aparece cuando los retardosson pequenos comparados con relacional tiempo de respuesta, ya que en losotros casos la norma general es disenarel sistema de control para conseguir en elbucle cerrado tiempos de respuesta simi-lares a los de bucle abierto. Resulta claroque no se justica disenar al sistema conpolos muy rapidos si su efecto en el buclecerrado no va a ser apreciado y al mismo

tiempo se perjudica la robustez del sis-tema de control.

(3) Si la planta tiene un polo en s = 0(es integradora) y el resto de los poloscon parte real negativa, entonces la razen s = 0 del denominador de Hq(s) secancela con la misma raz del numeradorde Hq(s), por lo que la ganancia estaticade Hq(s) es una constante. Esto implicaque el sistema en bucle cerrado puedefuncionar de manera estable con plantasintegradoras pero que no puede rechazarperturbaciones constantes en regimenpermanente (para hacerlo la ganancia deHq(s) para frecuencia cero debera sercero). Para ver de una manera simpleesta propiedad, se considera nuevamenteel caso ideal (C(s) con ganancia innita).En este caso, la ecuacion (3) se escribe:

Hq(s) =Ge(s)

seLs(1 eLs), (6)

donde Gn = Ge(s)/s y Ge(s) es la parteestable de la planta. Considerando ellmite para s 0 se obtiene:

lims0

Hq(s) = LGe(0), (7)

lo que demuestra que el sistema no rec-haza a la perturbacion constante ya queGe(0) = 0. Para mantener la estabilidadinterna es necesario implementar el con-trolador de una forma equivalente y nocomo en la gura 1(a). Para ello se debecalcular la transferencia no dinamica yestable equivalente de Gn Pn. Estaimplementacion sin el polo en el origen(lo que se consigue cancelando la razen s = 0 del numerador y denominadorde Gn Pn) permite que el sistema seainternamente estable aun cuando P (s) esintegradora. El calculo de esta forma nodinamica en el caso continuo se analizacon detalle en (Palmor, 1996).

Los problemas de estabilidad internaapuntados no deben ser necesariamenteconsiderados en el caso de una imple-mentacion digital de la ley de control, yaque en este caso la estructura nal delcontrolador no se corresponde con las dela gura 1.

Si C(s) se ajusta para obtener una determi-nada respuesta a perturbaciones, entonces noes posible obtener simultaneamente una re-spuesta arbitraria para cambios de referencia.Este problema es comun a todas las estruc-turas de control de un solo grado de libertad(que tienen un unico bloque de control paraajustar la respuesta) y por lo tanto no soloun inconveniente del sp.


JLDIEZLine

MarinaText Box9

Los problemas del sp citados han sido objetivo deestudio en muchas ocasiones durante los ultimosanos. El proximo apartado analiza los aspectosmas relevantes de estos estudios.

2.2 DTC para plantas estables

Como se ha mencionado anteriormente, el ajustedel sp debe considerar el compromiso entre com-portamiento y robustez. Algunos trabajos se hanlimitado a analizar la estructura propuesta porSmith sin modicarla. Por ejemplo, en (Palmor,1980) se analiza la estabilidad del sp frente aerrores de modelado innitesimales y se dene elconcepto de estabilidad practica. En su analisis,estos autores muestran (de forma similar a loexpuesto en el apartado anterior) que a pesar deque el control primario se ajuste para el caso nom-inal con buenos margenes de fase y de ganancia,el sistema puede tornarse inestable para erroresinnitesimales en la estimacion del retardo. En(Morari and Zariou, 1989) los autores estudianalgunos de los mitos del sp, destacando porejemplo, que la estructura del sp no aumenta lasensibilidad del sistema a los errores de mode-lado y que por lo tanto la estabilidad robusta delsistema depende solamente del ajuste del controlprimario C(s). En el mismo trabajo se proponeun ajuste del sp usando la tecnica del imc queconsidera el comportamiento robusto como especi-cacion de control. Tambien en (Santacesaria andScattolini, 1993) y (Lee et al., 1996) se proponendiferentes ajustes de los parametros del sp con elobjetivo de mejorar la robustez del sistema.

Todos estos resultados pueden ser analizados us-ando las ecuaciones (2-4) y una estimacion de lasincertidumbres del proceso. As, jado el mod-elo Pn y una estimacion de las incertidumbres,el mejor ajuste del controlador primario podraser aquel que permite obtener la respuesta nom-inal mas rapida siempre que se mantengan lascondiciones de estabilidad robusta dadas por laecuacion (4). Pero considerando que el conjuntode especicaciones de control puede ser diferentede un caso a otro, no se puede hablar de un unicoprocedimiento de ajuste que sea el optimo. Porotra parte, en todos los metodos de ajuste queaqu se analizan, el control primario C(s) siempreincluye un integrador de forma tal que el sistemaen bucle cerrado pueda seguir sin error a las ref-erencias de tipo escalon (que son las mas usualesen la industria).

Para mejorar la capacidad de rechazo a las pertur-baciones del sp varios autores han propuesto mod-icaciones a la estructura original. En la mayorade los casos las propuestas consisten en la uti-lizacion de una estructura con dos grados de lib-ertad, que permite conseguir una solucion con un

buen compromiso entre el comportamiento en bu-cle cerrado (tanto para cambios de consigna comopara rechazo de perturbaciones) y la robustez.Para el caso de perturbaciones medibles, es posibleincluir un lazo de prealimentacion (Palmor andPowers, 1985). Para perturbaciones no medibles,puede usarse la diferencia entre la salida del pro-ceso y del modelo como un estimador de la pertur-bacion (Huang et al., 1990; Zhong and Normey-Rico, 2002). Sin embargo, debe ser destacado quelas mejoras en la respuesta a las perturbacionesacarrean siempre una peor robustez, por lo que elajuste nal debe considerar el compromiso entrerobustez y comportamiento. El mismo tipo deestructura se puede usar solamente para mejorarla robustez del sp en el caso de controlar procesoscon incertidumbres en el retardo (Normey-Rico etal., 1997).

Para realizar un analisis general de las propiedadesde los dtc se considerara una estructura quepermite representar a todas las modicaciones yal mismo tiempo entender conceptualmente laspropiedades del controlador (Normey-Rico andCamacho, 1999c). Esta estructura se muestra enla gura 2. En esta estructura se utiliza un l-

C(s) P(s)

r(t)

y(t)

y(t+Ln)^

e-Lns

q(t)

+

_

_

+

+

+

+

y(t)^

ep(t)

+

yp(t)

G n(s)

Fr(s)

F(s)

Figura 2. Predictor de Smith modicado con dosgrados de libertad.

tro de referencia para mejorar la respuesta a loscambios de consigna, mientras que el ajuste deC(s) y Fr(s) se hace para denir el rechazo a lasperturbaciones y la robustez, que son dados por:

Hq(s) = Pn(s)[1 C(s)Pn(s)Fr(s)

1 + C(s)Gn(s)

]

dP () =| 1 + C(j)Gn(j) || C(j)Pn(j)Fr(j) |

En esta estructura puede usarse el ajuste delmodelo rapido o el ajuste de Fr(s) para mejorarel rechazo de perturbaciones. En (Watanabe andIto, 1981) F (s) = 1, Fr(s) = 1 y el modelo rapidoGn(s) se calcula de forma tal que los polos de bu-cle abierto del proceso sean eliminados de Hq(s).De esta forma, los polos lentos de bucle abierto soneliminados del lazo de realimentacion interna delsistema de control (Gn(s)Pn(s)) y el controladorprimario C(s) se ajusta considerando al modelorapido Gn(s) como si fuera el modelo nominal sinretardo. Otro procedimiento consiste en ajustar elltro Fr(s) para eliminar los polos de bucle abierto

MarinaText Box10

JLDIEZLine


de Hq(s), mientras que Gn(s) = Pn(s)eLs. Luego,C(s), F (s) y los grados de libertad de Fr(s) seajustan para obtener las prestaciones y robustezdeseadas. Se observa que si Fr(s) es pasa bajaentonces se mejora la robustez del sistema.

La modicacion propuesta permite mejorar ladinamica del rechazo a las perturbaciones deforma apreciable solamente cuando el retardo esno dominante. Como ya se explico en el apartadoanterior, esto se debe fundamentalmente a quesolo en el caso de que el retardo sea no domi-nante, interesa conseguir polos de bucle cerradomas rapidos que los de bucle abierto.

2.3 DTC para procesos inestables

Diversos autores han propuesto modicaciones delsp original para poder tratar el caso de plan-tas inestables (Watanabe and Ito, 1981; Liu etal., 2005; Lu et al., 2005; Palmor, 1996). Enotros trabajos se propone mejorar el compor-tamiento en bucle cerrado del sistema de controlcuando el proceso es integrador y posee un re-tardo dominante (Astrom et al., 1994; Matausekand Micic, 1996; Zhang and Sun, 1996; Matausekand Micic, 1999). En (Normey-Rico and Cama-cho, 1999a) se demuestra que un controlador dedos grados de libertad con el modelo rapido ad-equadamente ajustado, es posible obtener unasprestaciones equivalentes a los controladores pre-sentados en (Astrom et al., 1994; Matausek andMicic, 1996) tanto para el rechazo de perturba-ciones como para el seguimiento de consignas.Todas las estructuras mencionadas se pueden rep-resentar por el diagrama de la gura 2 que esun predictor de Smith ltrado de dos grados delibertad (2dof-fsp). Por este motivo, para elanalisis que se realiza a continuacion, solamentese considerara la estructura del 2dof-fsp.

Hay dos maneras de resolver el problema de lasplantas inestables, que coinciden con los proced-imientos usados en el caso estable. En la primera(Normey-Rico and Camacho, 1999a) el objetivoinicial es calcular Gn para eliminar el polo in-estable del bucle interno del sistema de control.Despues, en un segundo paso, se calculan C(s)y F (s) para obtener las prestaciones y robustezdeseadas. En la segunda es el ltro Fr(s) quese ajusta para eliminar los polos inestables deHq(s), mientras que Gn(s) = Pn(s)eLs. Luego,C(s), F (s) y los grados de libertad de Fr(s) seajustan para obtener las prestaciones y robustezdeseadas.

Por ejemplo, para el caso integrador es simple pro-bar que el problema se puede resolver escogiendoGn(s) como:

Gn(s) = Ge(s)1 Ls

s. (8)

si se supone que el proceso tiene un polo en s = 0y que la parte estable y sin retardo del mismo serepresenta por Ge(s)(P (s) = Ge(s) e

Lss ).

Para el caso de un polo en el semiplano derechodel plano s la planta se representa como P (s) =Ge(s) e

LsTs1 . En este caso se puede resolver el prob-

lema de la estabilidad usando Fr(s) = 1+sa(1+sT0)2y un control primario con accion integral queestabilice a la planta sin retardo Ge(s) 1Ts1 . Paraque el sistema sea internamente estable a debevericar:

a = T[eL/T (1 + T0/T )2 1

]

y T0 es el parametro libre para el ajuste de la ro-bustez. Mayores valores de T0 generan respuestasmas lentas y un sistema mas robusto. La imple-mentacion debe hacerse nuevamente de forma queGn(s) Pn(s)Fr(s) no tenga polos inestables.De las relaciones anteriores se puede ver que todaslas conclusiones que se obtuvieron para el casoestable son tambien validas para este caso. En eldiseno de ambos controladores se ajusta primerola respuesta de rechazo a las perturbaciones y larobustez. Posteriormente, en un segundo paso, seajusta F (s) para la respuesta de seguimiento deconsignas. Sin embargo, debe tenerse en cuentaque las caractersticas inestables de la plantahacen que el ajuste en este caso sea mas complejoque en el caso estable.

2.4 DTC discretos

La implementacion practica del sp y modica-ciones en equipos analogicos no es simple. Porello, la aplicacion de estos algoritmos de control ensistemas reales solo comenzo a popularizarse en losanos 80 cuando estuvieron disponibles los micro-procesadores en los controladores industriales. Apesar de que los dtc se aplicaban en plataformasdigitales, la mayora de los trabajos cientcos deltema se continuaban desarrollando en el dominiodel tiempo continuo. El primer trabajo que analizolos problemas de estabilidad de los dtc en elplano z fue presentado en los anos 90 por Palmory Halevi (Palmor and Halevi, 1990). Quizas laprincipal razon para ello es que la mayora de lascaractersticas de los dtc continuos son validasen el caso discreto. Con una eleccion adecuadadel perodo de muestreo y del metodo de dis-cretizacion (Guo et al., 2000), los algoritmos de-sarrollados en tiempo continuo pueden ser usadosen el dominio discreto calculando simplemente elequivalente discreto del control continuo (Torricoand Normey-Rico, 2005).


JLDIEZLine

MarinaText Box11

La primer idea que debe ser analizada es que entodos los dtcs se incluye un modelo del proceso.Este modelo se usa en la estructura del controlpara calcular la prediccion de la salida del proceso.En el caso discreto esta prediccion puede sercalculada de manera simple con una ecuacionen diferencias que utilice los valores anterioresdel control y de la salida. Por esta caractersticaes posible representar al dtc generico con undiagrama de bloques como el de la gura 3.

C(z) P(z)

S(z)

r(kTs)

y(kTs)

Fr(z)

q(kTs)

+

_

+

+

+

F(z)+

yp(kTs)

Figura 3. Representacion unicada de los dtcs

En la gura 3 los bloques Fr(z) y S(z) representanal predictor y los bloques C(z) y F (z) representanel control primario de dos grados de libertad.Por sus caractersticas, este controlador puede serusado para calcular un sistema de control paraprocesos con retardo que considere las ideas us-adas en los apartados anteriores para mejorar larobustez, para trabajar con procesos inestables,para mejorar el rechazo de perturbaciones o paradesacoplar las respuestas a cambios de consignay de perturbaciones. Para la implementacion elcaso discreto presenta una ventaja: el retardo serepresenta de forma polinomial y los cancelamien-tos polo-cero dentro de la estrucura del predictorse realizan de forma exacta.

El calculo nal del control puede hacerse por di-versos metodos, como por ejemplo diagramas enel dominio de la frecuencia o por la resolucionde ecuaciones polinomiales. Como se vera en losapartados siguientes, esta estructura de controlpuede representar tambien a otros controladores,como por ejemplo al Control Predictivo General-izado.

Finalmente, como se muestra en (Normey-Ricoand Camacho, 2006) los resultados pueden ex-tenderse al caso multivariable. Conceptualmente,las ideas de ltrado para mejorar la robustez y elrechazo de perturbaciones son las mismas.

3. CONTROL PREDICTIVO DE PROCESOSCON RETARDO

El control predictivo basado en modelo (ModelPredictive Control, mpc) es una de las tecnicasde control moderno mas potentes y quizas la queha tenido mas exito en aplicaciones industriales.Las principales razones del mismo se deben fun-damentalmente a que: puede ser aplicada tanto a

sistemas monovariables como multivariables, lasacciones de control por prealimentacion puedenser incluidas en el algoritmo de forma directa, lasrestricciones en las variables de entrada y salidade la planta pueden ser consideradas en tiemporeal en el controlador y ademas, por la propiadenicion del algoritmo, puede ser usado para con-trolar procesos con retardo. Esta ultima propiedades la principal motivacion para el estudio delcomportamiento y robustez de los controladorespredictivos cuando son aplicados a procesos conretardo.

El mpc no es una estrategia de control especca,sino que se trata de un campo muy amplio demetodos de control desarrollados en torno a unasideas comunes. Las caractersticas comunes deestos sistemas de control son basicamente:

usan un modelo explcito del proceso parapredecir la salida del mismo en el futuro (enun determinado horizonte nito);

calculan la accion de control a partir de laminimizacion de una cierta funcion objetivo;

el horizonte es deslizante, por lo que a cadaperodo de muestreo se desplaza el horizontehacia adelante, se aplica solamente la accionde control de aquel instante y se desecha elresto.

Las diferencias entre los diversos algoritmos sedeben a la forma de elegir la funcion objetivo, elmodelo del proceso usado para la prediccion y elmodelo de las perturbaciones.

Muchas tecnicas de control predictivo han sidoaplicadas con exito en la industria (Dormido,1987). Quizas la mayora de los resultados practicosde mpc correspondan a la familia de los mpcindustriales como por ejemplo el control por ma-triz dinamica (Dynamic Matrix Control, dmc)(Cutler and Ramaker, 1988) y el control al-gortmico basado en modelo (Model AlgorithmControl, mac) (Richalet et al., 1976). Todos loscontroladores de esta familia se han desarrolladoen el medio industrial. Estos algoritmos se basanen modelos de respuesta al impulso o al escalonpara describir la planta, mientras que las per-turbaciones son consideradas como las diferenciasentre la salida del proceso real y la del modelo deprediccion (Lee et al., 1994).

Por otro lado, se debe resaltar que existe otra fa-milia de algoritmos de la clase mpc que surgieronen el medio academico, generalmente relaciona-dos al control adaptativo y que poseen una seriede caractersticas que los diferencian del primergrupo (Datta and Ochoa, 1996). En este segundogrupo, donde debemos incluir al control predic-tivo generalizado (Generalized Predictive Con-troller, gpc) (Clarke et al., 1987), la planta ylas perturbaciones son representadas por un mod-

MarinaText Box12

JLDIEZLine


elo autorregresivo integrado y de media movil(normalmente denominado en la literatura inglesamodelo carima (Goodwin and Sin, 1984)), mien-tras que las predicciones de la salida del procesose calculan usando predictores optimos. Una delas ventajas del enfoque usado por este segundogrupo de controladores es que el modelo carimaes mas general que los de respuesta impulsionaly de respuesta al escalon y permite obtener unarepresentacion con menor numero de parametros(principalmente en el caso de procesos con re-tardo). Ademas en este tipo de controladores, larobustez frente a los errores de modelado y ruidode medicion puede ser considerada en el algoritmoa traves de la utilizacion de polinomios de ltrado(Clarke and Mohtadi, 1989).

El gpc es uno de los controladores que ha recibidomas atencion en los ultimos anos. Se han escritomuchos artculos analizando su comportamientoy su robustez (Clarke et al., 1987; Clarke andMohtadi, 1989; Robinson and Clarke, 1991; Yoonand Clarke, 1995; Ansay and Wertz, 1997; Megiaset al., 1997). Los problemas de robustez debidosa los errores de estimacion del retardo del sistemahan sido estudiados en (Normey-Rico and Cama-cho, 1999b) donde se muestra que el controladorpuede analizarse como un 2dof-dtc.

3.1 Representacion clasica del GPC

El algoritmo de control predictivo generalizadoconsiste en la aplicacion de una secuencia decontrol que minimiza una funcion de coste dadapor:

J =N2

j=N1

(j)[y(t + j | t) w(t + j)]2+

+N

j=1

(j)[u(t + j 1)]2 (9)

donde y(t+ j | t) es la prediccion optima en t+ jde la salida del sistema calculada en t, N1 y N2son respectivamente los horizontes de prediccionmnimo y maximo, N es el horizonte de control,(j) y (j) son las secuencias de ponderacion yw(t + j) es la referencia futura. El objetivo delgpc es calcular la secuencia de los incrementosfuturos de la accion de control u(t), u(t + 1),... de forma tal que se minimice J .

Las predicciones optimas se calculan usando unmodelo carima dado por:

A(z1)y(t) = zdB(z1)u(t 1) + T (z1)e(t)

D(z1) , (10)

donde A(z1), B(z1), T (z1),D(z1) son poli-nomios en z1, = 1z1, d es el retardo y e(t)

un ruido blanco. Los polinomios A(z1), B(z1)son:

A(z1) = 1 + a1z1 + a2z2 + ... + anazna,

B(z1) = b0 + b1z1 + b2z2 + ... + bnbznb.

Los polinomios T (z1) y D(z1) representan lascaractersticas estocasticas del ruido y como estasson difciles de estimar en la practica es comun quese utilice un modelo con T (z1) = 1 y D(z1) =1 para el analisis del algoritmo basico del gpc(Camacho and Bordons, 2004). Sin embargo, elpolinomio T (z1) puede usarse como parametrode diseno para mejorar la robustez del sistema yen este caso, no esta relacionado con el modelodel ruido. En lo que sigue se usara T (z1) = 1 yD(z1) = 1.

Considerando el efecto del retardo d en el sistemalos horizontes N1 y N2 se pueden elegir como sesugiere en (Camacho and Bordons, 2004): N1 =d + 1 y N2 = N + d. Usando estos valores, si sesuponen conocidas las predicciones y(t + d + j 1 | t), y(t+d+j2 | t), ..., y(t+d+jna1 | t)el mejor valor esperado para y(t + d + j | t)puede ser calculado usando un predictor optimoa partir del modelo establecido para la planta ylas perturbaciones (Camacho and Bordons, 2004)como sigue:

y(t + d + j | t) = (1 a1)y(t + d + j 1 | t)++(a1 a2)y(t + d + j 2 | t) + ...+

+anay(t + d + j na 1 | t)++b0 u(t + j 1) + ...

+bnb u(t + j 1 nb). (11)

Si la ecuacion (11) se aplica recursivamente paraj = 1, 2, , N se obtiene:

y = G u+H u1 + S y1, (12)

donde G, H y S son matrices constantes de di-mension N N , N nb y N na+1 respectiva-mente (Camacho and Bordons, 2004) y:

y =

y(t + d + 1 | t)y(t + d + 2 | t)

...y(t + d + N | t)

u =

u(t)u(t + 1)

...u(t + N 1)

u1 =

u(t 1)u(t 2)

...u(t nb)

y1 =

y(t + d | t)y(t + d 1 | t)

...y(t + d na | t)

.

Resulta claro que fr = H u1 + S y1 son losterminos que dependen de las acciones de controlpasadas y corresponden a la respuesta libre del


JLDIEZLine

MarinaText Box13

sistema, que es la que se obtendra si la senal decontrol futura se mantuviera constante (u(t +i) = 0 i 0). Sustituyendo y en la ecuacionde la funcion de coste, minimizado y manipulandola solucion se obtiene la ley de control. Como elalgoritmo es de horizonte deslizante, solamentese calcula u(t) como (Camacho and Bordons,2004):

u(t) = ly1y(t + d | t) + ly2y(t + d 1 | t)+... + lyna+1y(t + d na | t) + lu1 u(t 1) + ...

+lunb u(t nb) +N

i=1

fiw(t + d + i), (13)

Los coecientes lyi, lui, fi son funciones deai, bi, N, (i) y (i). Los valores de y(t + d | t),..., y(t + d na | t) se obtienen de aplicar lasecuaciones de prediccion optimas. Para ello seconsidera la ecuacion diofantica:

1 = Ej(z1)A(z1) + zjFj(z1). (14)

donde A(z1) = A(z1). Los polinomios Ejy Fj son unicos con grado j 1 y na respecti-vamente. Usando esta ecuacion y el modelo delproceso, la mejor prediccion de y(t + j) es y(t +j | t) = Ij(z1) u(t + j d 1) + Fj(z1)y(t)donde Ij(z1) = Ej(z1)B(z1). Usando este re-sultado, con algunas manipulaciones, el diagramade bloques del sistema de control puede dibujarsecomo un dtc de dos grados de libertad, donde elcontrol primario C(z), F (z) y el ltro de robustezFr(z) son (Normey-Rico and Camacho, 2006):

C(z) = ly1 + ... + lyna+1zna

(1 z1)(1 lu1z1 ... lunbznb)

F (z) = f1zd+1 + ... + fNzd+N

ly1 + ... + lyna+1zna

Fr(z) =ly1Fd(z1) + ... + lyna+1Fdna(z1)

ly1 + ... + lyna+1zna

As, el gpc es equivalente a un compensadorde tiempo muerto con dos grados de libertadaunque en este caso el ltro Fr(z) usado paracorregir el error entre la planta real y el modelono es un parametro de diseno sino una funcionde los parametros del modelo A y d. El ajustedel control primario en este caso se realiza porun procedimiento de optimizacion y no por losmetodos clasicos del apartado 2, a pesar de que essiempre posible usar el mismo par C(z), F (z) enambos controladores.

Es importante destacar que si se utiliza un modelocarima completo (con T = 1 y D = 1) laestructura nal del gpc no se modica pero losbloques Fr(z), C(z) y F (z) resultan funciones deT y D (Normey-Rico and Camacho, 1999b). Losresultados son cualitativamente los mismos.

Otra propiedad importante del gpc merece seranalizada usando la representacion clasica delalgoritmo. Como es bien sabido, el gpc puedeaplicarse a procesos inestables. Si se utiliza laestructura de la gura 3 se puede concluir (comoen el caso de los dtcs) que la estabilidad internadel sistema depende de la estructura del predictor.As, si el control primario (que se ajusta conN, y ) estabiliza a la planta sin retardo, laestabilidad interna solo depende del predictor.Para el analisis, la prediccion optima se calculacomo:

y(t + d | t) = Fr(z)y(t) + S(z)u(t) (15)

donde S(z) = Gn(z) Pn(z)Fr(z) o de formaequivalente S(z) = Gn(z)

[1 zdFr(z)

]. Se

puede demostrar (Normey-Rico and Camacho,2006) que si z0 es una raz inestable de A (se con-sidera que la planta es inestable) tambien es razdel polinomio 1 zdFr(z), por lo que las racesinestables de A no aparecen en la expresion nalde S(z) (observese que estas races se cancelanentre el numerador y denominador de S(z)). Porlo tanto, si S(z) es estable y C estabiliza a Gnel sistema es internamente estable. Esta es unaconclusion importante pues el predictor optimousado en el gpc se dene con base en criteriosde bucle abierto y sin embargo permite que elsistema en bucle cerrado controlado por el gpcsea internamente estable cuando se controlan pro-cesos inestables. Este analisis permite interpretaral gpc como un dtc.

3.2 Analisis comparativo entre el GPC y el DTC

El analisis del gpc y del dtc se hara usando laestructura de un 2dof-dtc. Como se muestra en(Normey-Rico and Camacho, 1999b) esta congu-racion es valida tanto para el caso de usar o no elpolinomio T del gpc.

Primero se considera que los ltros de robustezson Fr = 1 y T = 1. Se supone que en ambas es-tructuras se utiliza el mismo control primario (losmismos C(z) y F (z)). Con esta eleccion, el gpc yel dtc tienen el mismo comportamiento nominalpara cambios de consigna ya que la funcion detransferencia entre la referencia y la salida es in-dependiente de Fr(z). As, el estudio comparativode las dos estructuras se puede hacer analizandola robustez y el rechazo a las perturbaciones delos algoritmos.

La robustez se analiza usando:

dPGPC =| 1 + CGn || CFrGn | =

1| Fr |dPDTC . (16)

De la ecuacion (16) se observa que Fr puede ser us-ado como ndice comparativo de comportamiento

MarinaText Box14

JLDIEZLine


ya que C y F pueden ser los mismos en amboscontroladores. Si el modulo de Fr es mayor que launidad para toda frecuencia entonces el sistemacontrolado por el dtc sera mas robusto que elque utiliza el controlador gpc. En el gpc dPdepende del retardo nominal y en el dtc no. Porello, en general, si para un modelo el dtc es masrobusto que el gpc, entonces tambien sera masrobusto para cualquier otro sistema que tenga elmismo modelo y mayor retardo. Debe destacarseque en el gpc, d no altera el ajuste del controlprimario, por lo tanto deniendo N , y , elsistema controlado por el gpc se volvera inestablefacilmente para mayores valores del retardo y lasmismas incertidumbres.

Dada la complejidad de la expresion de Fr(z), noes posible obtener conclusiones generales sobre elvalor de su modulo en la frecuencia. En (Normey-Rico and Camacho, 1999b) se muestra que | Fr |>1 para un gran conjunto de modelos. El siguienteejemplo illustra este resultado.

Ejemplo 1: Considere el proceso:

P (s) =eLs

(1 + s)3

con dos retardos diferentes: L1 = 0.4 y L2 = 5. Elgpc se ajusta con N = 15, = 0.5 y un periodode muestreo Ts = 0.2. El modelo nominal es:

A(z) = 1 2.4562z1 + 2.011z2 0.5488z3

B(z) = 0.0011 + 0.004z1 + 0.0009z2

El retardo nominal en el caso 1 es dn1 = 2 yen el caso 2 dn2 = 25. Se considera un error deestimacion de L = 0.2 (d = 1) en los dos casos.

Un sp se ajusta con el mismo control primario delgpc. Los resultados de simulacion se muestran enla gura 4 para un cambio de consigna de 0 a 0.5en t = 30 muestras y para una perturbacion de0.5 aplicada en t = 100 muestras. El retardo reales d = 3. Se observa que los dos controladoresse comportan de manera similar. En la segundasimulacion (dn = 25 y d = 26) el sp mantieneunas prestaciones similares a las del caso anterior,pero el gpc se hace inestable.

Estos resultados se pueden explicar analizando larobustez. En la gura 5 se muestran | Fr() |(parte (a)) y dP () (parte (b)) para dn = 2 ypara dn = 25. En la parte (b) de la gura tambiense muestra el error de modelado para d = 1.Se observa que para dn = 25, dP ()

del denominador de dP y por lo tanto el ajuste esmuy simple. En el caso del gpc con el polinomioT , el controlador primario que se obtiene tambiendepende de T por lo que usar un ltro con mejorescaractersticas pasa bajos no garantiza mejoresndices de robustez. Finalmente, en el dtc sepuede ver de manera muy simple como el ltroFr afecta el rechazo de las perturbaciones.

Este analisis comparativo puede interpretarse delpunto de vista del predictor optimo considerandoal predictor de Smith como el resultado de ladesintonizacion de los parametros del op. Eneste caso Fr(z) sera un parametro de ajuste delpredictor optimo y se utilizara para modicar elcomportamiento en bucle cerrado. As, un sistemade control que utiliza una ley de control optimabasada en la prediccion optima es menos robustaque otra que utilizando el mismo control primariooptimo se basa en un predictor desajustado.

Este resultado es equivalente al que se obtiene enel problema de control conocido como lqg/ltrdonde, en general, el mejor comportamiento ro-busto no se obtiene usando el estimador de estadosoptimo sino que el ltro de Kalman debe serdesintonizado para mejorar la robustez (Doyle andStein, 1981). Aqu, el sp permite obtener mejorrobustez pese a que la prediccion en bucle abiertono es optima.

De acuerdo con los resultados obtenidos se puedeconcluir que el gpc es muy sensible a los erroresde modelado y que el ajuste de los ltros es mascomplejo y menos eciente que en el caso de losdtc. En cambio, estos ultimos parecen ofrecer unabuena solucion para el control de procesos conretardo dado que presentan buenas propiedadesde robustez y que el procedimiento de ajustede los ltros es muy simple. Por otro lado, estetipo de estrategia no es adecuada para ser usadacuando hay restricciones en las variables de con-trol y principalmente en las variables de salida delproceso. Ademas, el ajuste del control primariopara casos complejos no es simple si solamentese utilizan herramientas clasicas (el ajuste es aunmas difcil en el caso de procesos mimo). En estepunto el gpc parece ofrecer ventajas, tanto enversatilidad como en simplicidad de ajuste. Us-ando estas ideas se desarrolla en (Normey-Ricoand Camacho, 1999b) un algoritmo de control pre-dictivo que reune las buenas cualidades de ambasestructuras. Ademas este analisis cuentiona el usode predicciones optimas y controles optimos en elcontrolador. Este punto se analiza a continuacion.

4. PREDICCION PARA CONTROL

De acuerdo con lo analizado, a pesar de que losobjetivos del dtc y del gpc son diferentes, la ley

de control nal utilizada por ambos tiene la mismaestructura y puede generar un sistema en buclecerrado con las mismas prestaciones si se utilizanlos ajustes adecuados.

La idea general utilizada por los controladorespredictivos optimos es que un predictor optimo yuna ley de control optima van a producir un com-portamiento optimo en bucle cerrado. En estos al-goritmos de control predictivo, el predictor optimose usa para calcular la mejor prediccion de lasalida del proceso en bucle abierto considerandoel efecto de las perturbaciones deterministas yestocasticas. Para conseguir este comportamientooptimo es necesario utilizar un buen modelo dela planta y de las perturbaciones. Ademas, debeser destacado que, en esta parte del diseno delsistema, no se consideran en absoluto los objetivosdel control. Quizas, el motivo principal de estosea que la prediccion ha sido considerada comon y no como un medio en el sistema decontrol. As, se ha utilizado la prediccion comoun procedimiento de busqueda de la verdaderasalida futura del sistema en bucle abierto y nocomo la busqueda del modelo que permita obtenerel mejor comportamiento en bucle cerrado delsistema de control. Al mismo tiempo, es amplia-mente reconocido en la practica industrial que loscontroladores basados en modelos pueden alcan-zar muy buenas prestaciones utilizando modelossimples, inclusive cuando se utilizan para contro-lar procesos complejos. Esto implica, que paralos propositos del control, el uso de modelos sim-ples puede ser suciente si representan las prin-cipales caractersticas del proceso. Es importantedestacar que estos problemas no se maniestanexclusivamente en las estructuras de prediccion +control y que tambien pueden ser encontrados, porejemplo, en el diseno de identicadores para lasestructuras de control adaptativo (Gevers, 1991).

Ademas, como ha sido analizado, en la mayora delos casos, las caractersticas optimas del predictorutilizado en el gpc no se mantienen en la ley decontrol nal, pues, los polinomios que modelan lascaractersticas estocasticas de las perturbacionesse utilizan como parametros de diseno del con-trolador. As, uno debe preguntarse si es real-mente necesario que se utilice el predictor optimoen el controlador o en cambio la estructura deprediccion debe ser analizada unicamente con-siderando los efectos que produce en el sistemaen bucle cerrado.

El estudio de las interacciones entre predicciony control pueden ser estudiadas desde diferentespuntos de vista. El planteamiento mas generalconsiste en la denicion de una estructura global,que incluye al predictor y al control primario,que debe ser ajustada utilizando un determinadoconjunto de especicaciones de comportamiento

MarinaText Box16

JLDIEZLine


y robustez. Este es un problema combinado enel cual el ingeniero de control debe ajustar si-multaneamente los parametros del predictor y delcontrol primario y es claramente un campo abiertopara la investigacion. Aqu, el objetivo es enun-ciar este problema de diseno, que es un problemadual que llamaremos Prediccion para Control,y presentar algunas ideas que sirven de gua parasu solucion. El otro enfoque de este problema, queha sido el utilizado en el gpc y en el dtc en traba-jos anteriores, consiste en utilizar una estructuradenida para el predictor y un procedimiento desntesis en dos pasos.

Aqu se mostrara que los controladores optimosbasados en predictores optimos no permitenobtener comportamientos en bucle cerrado optimosy que el diseno de los predictores debe hacerseconsiderando el comportamiento en bucle cerradodel sistema. Para hacerlo, en el proximo apartadose compara el comportamiento de algunos con-troladores optimos con el de un dtc clasico con-siderando perturbaciones estocasticas.

4.1 Analisis en bucle cerrado de los predictoresoptimos

En los apartados anteriores, el estudio compara-tivo entre en gpc y el dtc se baso en los ndices decomportamiento y robustez de ambos sistemas decontrol. En todos los casos analizados se consideroque era muy difcil estimar las caractersticasestocasticas de las perturbaciones y por ello seutilizaron solamente las perturbaciones determin-istas mas tpicas del medio industrial (constanteso senales de baja frecuencia). Aqu, se realizara unanalisis comparativo mas completo, considerandotambien las perturbaciones estocasticas.

Consideraremos a lo largo de este apartado elmodelo carima dado por:

y(t) =B(z1)A(z1)

zdu(t 1) + Nq(z1)

Dq(z1)e(t) (17)

donde e(t) es un ruido blanco y q(t) = Nq(z1)

Dq(z1)e(t)

es la perturbacion equivalente a la salida de laplanta. En la practica industrial el valor de dy los polinomios A,B,Nq y Dq se obtienen portecnicas de identicacion. Como en general lasperturbaciones de tipo constante estan siemprepresentes en los sistemas industriales, el polinomioD siempre tiene una raz en z = 1, de formatal que se puedan eliminar los errores de regimenpermanente.

A pesar de que en muchos trabajos se utilizandiferentes tipos de modelo de las perturbaciones(en ocasiones modelos bastante complejos), enla practica solamente se utilizan modelos muy

simples porque son sucientes para conseguir losobjetivos de control normalmente propuestos. Al-gunos estudios demuestran que los modelos mascomunes utilizados en la industria son los queusan: (i) Dq = y Nq = 1; (ii) T = 1 yD = ; (iii) T = A(1 taz1) y D = ; (iv)T = 1 y D = (1 z1) (Palmor and Shin-nar, 1979; Bergh and MacGregor, 1987). Con estetipo de perturbaciones, calulando los ltros re-sultantes, se puede entender muy bien la relacionentre las caractersticas estocasticas de las pertur-baciones, el predictor y la robustez del controladoroptimo.

Por otro lado, es un resultado conocido que lassoluciones optimas, como por ejemplo las que seobtienen aplicando el mvc, son muy sensiblesa las variaciones de los parametros del proceso(Astrom, 1970). Como lo mencionan en su libroGoodwin y Sin (Goodwin and Sin, 1984)...elbuen funcionamiento del controlador de mnimavarianza depende del predictor de una formacrtica... y tambien mencionan que Por estemotivo, la utilizacion de este algoritmo no serecomienda salvo en los casos en los que losparametros del proceso son conocidos exactamenteo los mismos son estimados en tiempo real paraser utilizados en una estrategia adaptativa. Esteproblema de los controles optimos tambien hasido demostrado en (Normey-Rico and Cama-cho, 2006) en un estudio realizado con el gpc.De hecho, para el mvc, la varianza de la sal-ida predicha es muy sensible a la variacion deparametros de la planta y el ajuste del controlprimario se apunta como una solucion para dis-minuir la sensibilidad del comportamiento en bu-cle cerrado a las variaciones parametricas. Aqu,el mismo problema se ha enfocado desde el puntode vista del predictor y los resultados del analisisteorico se ilustran a seguir con algunos ejemplos.

Ejemplo 2: Para relacionar los resultados del con-trol optimo con los del enfoque determinista, eneste primer ejemplo el gpc se compara con unsp que utiliza un pi como control primario. Serecuerda aqu, que el gpc puede ser visto como lageneralizacion del mvc o del gmvc. De hecho, sien el gpc se utiliza un factor de ponderacion delerror = 1, un horizonte N = 1 y no se penalizael esfuerzo de control ( = 0), la minimizacionde la funcion de coste genera un control de var-ianza mnima. As, la estructura estudiada en elapartado 3 tambien se puede usar para represen-tar al mvc y el controlador primario equivalentepuede ser utilizado con otro predictor diferente delop, como por ejemplo el sp.

En este ejemplo el modelo de la planta es dadopor d = 10, A(z1) = 1 0.9z1 y B(z1) = 0.1.


JLDIEZLine

MarinaText Box17

El modelo de perturbacion es de tipo arima con variando entre 1 y 1.En el primer ensayo de simulacion se considerauna referencia nula w(t) = 0 y no se consider-aron perturbaciones deterministas. Asimismo, sesupone que no hay errores de modelado de laplanta ni de las perturbaciones. Con estas condi-ciones, se calculan los valores de la integral delerror cuadratico entre la referencia y la salida(ise) para diferente valores de . Los resultadosse comparan en la gura 6.

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8x 10

3

parametro del ruido

ISE

SP

GPC

Figura 6. Valores del ise para el sistema de controlcon el gpc (lnea discontinua) y con el sp(lnea continua) para diferentes valores de .

Los resultados de la gura 6 muestran que, nue-vamente para este tipo de perturbacion, en al-gunos casos el control optimo no genera la solucionoptima esperada. Observe, por ejemplo, los val-ores del ise para entre 0.3 y 0.6.

La conclusion importante de este estudio es quelas diferencias en el comportamiento de los dossistemas se debe solamente a la estructura delpredictor ya que el controlador primario es elmismo en ambos casos.

Para completar el analisis de este ejemplo se sim-ulan los dos sistemas de control en las mismascondiciones que antes, pero considerando un cam-bio de consigna de 0 a 1 en t = 0 y de 1 a 0.5 ent = 260 muestras y con un valor jo de , = 0.75cuando se considera un error de estimacion dela ganancia y del polo de la planta (el procesoreal se simula con los polinomios A(z1) = 1 0.92z1 y B(z1) = 0.12). En este caso el sistemacontrolado por el gpc se hace inestable.

Manteniendo el mismo ajuste del control, se uti-liza un modelo de perturbaciones mas complejo:

q(t) =1 + 0.7z1

(1 0.9z1)(1 + 0.4z1)(1 z1)

para simular cuatro casos diferentes utilizandosiempre el mismo control primario en el gpc yen el sp.

Caso 1: w(t) = 0, sin errores de modelado dela planta y sin errores de estimacion de lasperturbaciones en el gpc.

Caso 2: igual al caso 1 pero considerando uncambio de consigna de 0 a 1 en t = 0 y unaperturbacion del tipo escalon del 10% a lasalida de la planta en t = 60 muestras.

Caso 3: igual al caso 2 pero usando un modelodiferente de la perturbacion en la simulaciondel proceso:

qr(t) =1 + 0.8z1

(1 0.9z1)(1 + 0.3z1)(1 z1) Caso 4: igual al caso 2 pero considerando

errores de modelado del proceso. En este casose simula el proceso con denominador 1 0.92z1.

En todos los casos se calcula el ndice de compor-tamiento ise. Los resultados obtenidos se listan acontinuacion:

ISE para el gpc y el spcasos ISEgpc ISEspcaso 1 0.648 0.941caso 2 12.07 11.87caso 3 11.50 11.23caso 4 inestable 11.01

Se observa que para el caso 1 (modelo ideal y sinconsiderar cambios de consigna ni perturbacionesdeterministas) el gpc tiene un comportamientomejor que el sp. Pero en todos los otros casos,que simulan situaciones mas cercanas a la realidadpractica, el sp siempre se comporta mejor queel gpc. Estos resultados tambien se obtienen sise usa un ajuste diferente del control primario(Normey-Rico and Camacho, 2006).

4.2 Interpretacion de resultados

De los resultados obtenidos con estos ejemplos sepuede concluir que:

En algunos casos, el procedimiento utilizadopor el gpc (y por otros controladores optimos),que consiste en disenar de forma optima elpredictor y el control primario en pasos sep-arados, no es optima.

Como la solucion del problema genera unmnimo del error cuadratico estimado perono del error cuadratico real, la utilizaciondel predictor optimo dentro del sistema decontrol no es adecuada.

La utilizacion de los polinomios T y D delgpc, que modelan exactamente las pertur-baciones en el modelo de bucle abierto, nogarantiza que se obtenga un mejor control

MarinaText Box18

JLDIEZLine


en el bucle cerrado, ni siquiera en el casonominal

En algunos casos, el comportamiento del gpcy del mvc es menos robusto que el del sp(o dtc). Debe destacarse que existe unadependencia muy fuerte entre el modelo dela perturbacion y la robustez del sistema,y que si se utiliza un predictor diferenteen el sistema de control (no necesariamenteel predictor de Smith) el comportamientoen bucle cerrado del sistema global puedeser mejor que en el caso optimo. Estaes quizas la principal razon por la cual seutiliza el polinomio T en el gpc como unparametro de diseno para mejorar la robustezdel sistema y no como parte del modelo delas perturbaciones, como se analizo en losapartados anteriores.

Por lo tanto, el resultado mas importante de esteanalisis es que para los casos reales, donde no esposible encontrar un modelo exacto del proceso nide las perturbaciones, el sp (u otra estructura deprediccion y control no optima) puede presentarmejor comportamiento que la solucion optima,inclusive cuando el sistema es afectado por pertur-baciones del tipo arima, para las cuales se calculoexpresamente el predictor optimo. As, al menospara los procesos aqu analizados, la eleccion delpredictor mas adecuado en un sistema de con-trol no depende unicamente de las caractersticasde rechazo a las perturbaciones estocasticas sinotambien del comportamiento y de la robustez quese obtienen en bucle cerrado.

Estos contra-ejemplos sugieren que es necesarioanalizar el comportamiento en bucle cerrado delas estructuras de control basadas en predictoresde una forma mas general. En este nuevo enfoque,el diseno del predictor y del control primario debeser realizado en un solo paso, considerando losefectos de la eleccion del predictor y del control enel bucle cerrado. Algunas ideas de como generarsoluciones para este nuevo enfoque, llamado aqude Prediccion para Control, se presentan en elproximo apartado.

4.3 El problema de prediccion y control

Todos los sistemas de control basados en predic-tores que han sido presentados en la literaturacalculan la prediccion de la salida de la plantausando informacion de la entrada y salida realesy pueden ser representadas por el diagrama debloques que se muestra en la gura 3. Aqu sehan obtenido las expresiones de S(z) y Fr(z)para los predictores de Smith y optimo. El ob-jetivo del diseno es calcular los cuatro bloquesde esta estructura para conseguir que el sistemaen bucle cerrado cumpla un conjunto de especi-

caciones. Estas especicaciones pueden consid-erar el rechazo de perturbaciones estocasticas ydeterministas, el seguimiento de consignas y larobustez. En los casos en que se desee utilizar unafuncion de coste para calcular el control, el proced-imiento debe considerar las condiciones que debenser vericadas por el predictor en bucle cerrado.Por estos motivos, la solucion de un problemade optimizacion de este tipo es muy complejo ynormalmente requiere un tiempo de calculo ele-vado. Ademas, si se consideran las restriccionesen las variables del sistema, el problema es aunmas complejo, ya que la solucion nal no puederepresentarse de forma lineal como en la gura 3.

Aqu se estudia solamente el problema sin re-stricciones y se apuntan dos caminos posiblespara obtener la solucion. Primero se presenta unasolucion clasica que utiliza ecuaciones polinomicaspara encontrar los valores de los parametros delsistema de control. En esta solucion, solamentese consideran perturbaciones deterministas. Ensegundo lugar se propone solucionar un prob-lema mas complejo que tambien considera per-turbaciones estocasticas. En este segundo caso elmetodo propone utilizar las ideas de los algoritmosde busqueda aleatoria (conocidos en la literaturainglesa como randomized algorithms).

4.4 Una solucion clasica

En este caso, el procedimiento de diseno sigue lasmismas ideas presentadas en el apartado 2 paralos dtc. La relacion entre la referencia y la salida(Hr(z)) y entre la perturbacion a la entrada de laplanta y la salida (Hq(z)) son:

Hr(z) =F (z)C(z)P (z)

1 + C(z)(P (z)Fr(z) + S(z))

Hq(z) =P (z)(1 + C(z)S(z))

1 + C(z)(P (z)Fr(z) + S(z))(18)

y la robustez se mide con:

dP () =| 1 + C(z)(Pn(z)Fr(z) + S(z)) |

| Gn(z)C(z)Fr(z) |con z = ej, [0, ]. El ajuste del control sehace siempre eligiendo el modelo rapido o el ltrode robustez para que S(z) sea estable. Los gradosde libertad en Fr(z) y C(z) se usan para ajustarla respuesta a perturbaciones y nalmente F (z)para el seguimiento de consignas.

Claramente, el resultado nal del ajuste del sis-tema de control no es optimo, pero como se de-mostrara en el proximo ejemplo, puede generarmejores resultados que los que se obtienen usandopredictores y controles primarios optimos.


JLDIEZLine

MarinaText Box19

Ejemplo 3: En este ejemplo se considera unaplanta inestable con retardo, cuyo modelo discretoes:

P (z) =zd

z 1.1 ,donde se supone que el retardo nominal es dn = 2y el real es d = 4. Se desea obtener un sistemaen bucle cerrado que siga a consignas constantescon sobreoscilacion menor que el 5%. Ademas elsistema debe mantener la estabilidad robusta.

Si se utiliza el sp ltrado de dos grados de libertad,como el proceso es inestable Fr(z) debe elegirse:

Fr(z) =fr1z + fr2

z donde es el parametro de ajuste de la robustez yfr1 y fr2 se ajustan para que S(z) sea estable (seelimina la raz z = 1.1 del denominador de S(z))y para que S(1) = 0. As, para cada se obtienenfr1 y fr2. En este caso el modelo rapido se eligeGn(z) = 1z1.1 y el control primario se ajustausando el diagrama del lugar de las races parapolos en z = 0.86 aproximadamente. Finalmenteel ltro de referencia tiene por objetivo eliminarel efecto del cero introducido por el pi y mejorarlas respuestas a los cambios de consigna. As:

C(z) =0.37(z 0.95)

z 1 ; F (z) =58z 0.92z 0.95

Para la robustez se ajusta = 0.92 y se obtienefr1 = 1.378, fr2 = 1.298. La implementacionde la ley de control se hace usando el diagramade bloques de la gura 3. El comportamiento enbucle cerrado del sistema de control propuesto secompara en la gura 7 con el de un gpc calculadopara obtener un comportamiento nominal similaral del control propuesto (N = 15 y = 500). En

0 50 100 1500

0.5

1

1.5

y, r

caso nominal

y(GPC)y(DTC)

0 50 100 1500.5

0

0.5

1

u

u(GPC)u(DTC)

0 50 100 1501

012

y, r

caso d=4

y(GPC)y(DTC)

0 50 100 1500.5

0

0.5

1

tiempo

u

u(GPC)u(DTC)

Figura 7. Respuestas del gpc y del control ro-busto. Referencia en linea de trazo-punto.

las simulaciones se aplico un cambio de consignade 0 para 1 en t = 5 y una perturbacion de cargade 0.2 en t = 40 muestras. En el caso nominal seve como ambas respuestas y acciones de controlson similares para el rechazo de perturbaciones y

el ruido. Sin embargo, el gpc tiene un seguimientode consignas mas lento. Cuando se simula alproceso con un error de estimacion del retardo dedos muestras (d = 4), el gpc no puede mantenerla estabilidad mientras que el control propuesto slo hace.

4.5 Una solucion casi optima

En este caso se analiza una solucion mas gen-eral, que considera perturbaciones estocasticas ytiene por objetivo minimizar una funcion de costecomo la usada en el gpc pero en este caso laprediccion se calcula de manera diferente, usandouna ecuacion del tipo:

y(t+ j | t) = Sj(z) u(t+ j d 1)+Frj(z)y(t)donde tanto las acciones de control futuras comolos coecientes de Sj(z1) y Frj(z1) deben cal-cularse para minimizar J considerando las condi-ciones de robustez del sistema en bucle cerrado.De esta forma lo que se pretende es obtener unsistema de control que sea robusto y al mismotiempo obtenga un mnimo de J que aproxime lomejor posible al mnimo del objetivo real deldiseno, que es minimizar el verdadero error entrela referencia y la salida y no solamente el error es-timado. La solucion de este tipo de problema per-mite obtener la mejor estructura de prediccion+ control que verica las especicaciones, perogeneralmente, es un problema muy complejo y quenecesita gran carga de calculo para ser resuelto.

Para evitar tener que resolver un problema tancomplejo, se propone aqu utilizar un enfoquediferente para su solucion. En este enfoque, elobjetivo es resolver el problema de forma aproxi-mada y para casi todos los casos posibles y no deforma exacta y para todos los casos. Estas ideasson las utilizadas por los algoritmos de busquedaaleatoria (del ingles randomized algorithms)(Vidyasagar, 1996). Este tipo de solucion puedeser aplicado directamente a los problemas de con-trol que se formulan como la minimizacion de unafuncion de coste en los parametros del controlador.Se considera entonces que, si la planta vara dentrode una familia de plantas, es mejor utilizar unafuncion de coste que considere el comportamientomedio del controlador, en vez de considerar unafuncion que evalue la peor situacion dentro de lasposibles, ya que las soluciones halladas en esteultimo caso son siempre muy conservadoras.

Los algoritmos de busqueda aleatoria han sidoutilizados para la solucion de diversos problemasde control (Khargonekar and Tikku, 1996; Tempoet al., 1996). Aqu se mostrara como tambienpueden ser utilizadas para solucionar el problemade prediccion + control presentando las ideasbasicas de este enfoque y un ejemplo de aplicacion.

MarinaText Box20

JLDIEZLine


Para aplicar las ideas de los algoritmos debusqueda aleatoria, se considera que la plantapertenece a una familia de plantas G(x) (parame-trizada en x) y que el controlador pertenece auna familia de controladores C(y) (parametrizadaen y). El objetivo es encontrar un controladorC(y0) que controle razonablemente bien a casitodas las plantas de la familia. En el caso delproblema de prediccion + control se utilizara laestructura de la gura 3, se deniran los ordenesde F (z), C(z), S(z) y Fr(z) y un conjunto de es-pecicaciones. El objetivo del algoritmo consisteen encontrar los coecientes de las cuatro fun-ciones de transferencia para que se cumplan lasespecicaciones.

Para calcular los parametros del control, el algo-ritmo elige al azar m muestras de la planta en lafamilia G(x) y n muestras del control en la familiaC(y). Luego, para cada par, el algoritmo calculala funcion de coste que se haya denido en lasespecicaciones y comprueba las condiciones derobustez. As, para cada par (Gi, Cj) se calculaun ndice de comportamiento (ij) que tiene encuenta las prestaciones y la robustez. Cuando sehan calculado los ndices de comportamiento paralas m plantas elegidas y el controlador j, se de-termina el valor medio del ndice correspondienteal controlador j (j ). Finalmente, despues decalcular las m n combinaciones, se determinael mejor de todos los ndices () y se obtiene elcontrolador solucion.

Para la aplicacion del procedimiento mencionadoes necesario denir:

una funcion de coste normalizada (con val-ores en el intervalo [0, 1]);

el rango de variacion de los parametros de laplanta y del controlador;

un procedimiento para evaluar la funcion decoste;

el numero de plantas m y el numero decontroladores n que deben ser usados paraaplicar el procedimiento aleatorio.

Resulta claro que la bondad de la soluciondepende del numero de muestras elegidas y quecuanto mayor sea los numeros elegidos, mayor serala probabilidad de encontrar una solucion proximaa la optima. Lo interesante de este tipo de enfoquealeatorio es que se pueden elegir los valores de m yn de forma tal que se garantice una determinadabondad de la solucion. En general, los valoresde m y n dependen de tres factores:

de un parametro de conanza (0, 1),que considera la posibilidad de fallo del al-goritmo;

de un parametro de precision (0, 1), queconsidera la diferencia entre el mnimo real yel mnimo aproximado que se obtiene;

el parametro de nivel (0, 1), que consid-era la posibilidad de que eligiendo un contro-lador al azar, este tenga un comportamientomejor que el de la solucion encontrada.

La eleccion de , y se puede hacer como sepropone en (Vidyasagar, 1996):

n ln(2/)

m 122

ln4n

(19)

donde se aprecia que menores valores de , y generan mayores valores de m y n. Sin embargodebe destacarse que el crecimiento de m y nno es exponencial como en otros problemas decontrol. El procedimiento de calculo del sistemade control utilizando estas expresiones se ilustraen el siguiente ejemplo.

Ejemplo 4: En este ejemplo se considera nueva-mente una planta que se puede modelar por unafuncion de transferencia de primer orden con re-tardo y que tiene un modelo discreto del tipo:

P (z) =(1 a)bz11 az1 z

d,

donde se considera que sus parametros puedenvariar en los siguientes intervalos:

a [0.85, 0.95], b [0.8, 1.2], d [8, 12].Esta situacion es muy comun en la practica dondese utilizan diferentes modelos lineales de primerorden para representar el comportamiento delproceso en diferentes puntos de funcionamiento.

Para este ejemplo, se considera como especi-cacion de control que el sistema sea estable paratodas las plantas de la familia y que se minimice lavarianza de la salida del sistema. Como la plantaes estable, se escoge una solucion para la estruc-tura de la gura 3 compuesta por un ltro pasabajos en Fr(z), un control pi en C(z) y se eligeS(z) = Gn(z) Pn(z)Fr(z). El modelo nominalde la planta se elige como:

Pn(z) =0.1z1

1 0.9z1 z10.

Con esta eleccion, la forma general para C(z) yFr(z) se obtiene de:

Fr(z) =[1 df1 nf

] [1 nfz11 dfz1

]

C(z) =Kc(1 acz1)

1 z1donde

ac [1, 1], Kc [0.02, 0.5], df [0.5, 1]y se impone que df > nf para que Fr(z) sea pasabajos. En este caso, el ltro F (z) no se calculapues no hay especicaciones de seguimiento deconsignas.


JLDIEZLine

MarinaText Box21

Por lo tanto, el algoritmo debera calcular los val-ores de los cuatro parametros: Kc, ac, nf , df paraobtener la varianza mnima posible manteniendola estabilidad robusta del sistema. As, en estecaso, el ndice de comportamiento Y (p) se denecomo una funcion del vector de parametros p(p = [Kc, ac, nf , df ]T ) como:

Y (p) = 1, si el sistema en bucle cerrado esinestable;

Y (p) = J1+J , si el sistema de control esestable.

La funcion J se calcula como la relacion entre lavarianza de la salida y de la entrada:

J =2y2

=12

| He(ej) |2 d, (20)

donde He(z1) es la funcion de transferencia entree(t) y y(t) y se considera que el sistema en buclecerrado es estable. Se observa que este ejemplo esun caso particular del planteado en el gpc dondese elige = 0, = 0 y se utiliza un horizonte 1.

El algoritmo se aplico para los siguientes valores: = 0.05 y = = 0.01, para los cuales se obtuvom = 2453 y n = 528. La solucion nal es:

p = [3.45, 0.81, 0.76, 0.75]T .

Para comparar la solucion obtenida con la de uncontrol optimo se calculo un gpc con N = 5, =2, = 1 y con los polinomios del predictor igualesa los del ruido. Se simularon ambos sistemas decontrol para el caso nominal y para un proceso cona = 0.95, d = 8 y b = 1.1. En las simulaciones seaplico un escalon de perturbacion a la entrada delproceso de valor 0.4 en t = 10 y uno a la salidadel proceso en t = 70 muestras de amplitud 0.4y no se aplicaron cambios de consigna. Ademas,se sumo a la salida una perturbacion estocasticaq generada por el modelo arima con at = 0.5.En la gura 8 se compara el comportamiento deambos sistemas de control en el caso nominaly en el caso de error de modelado. Como sepuede observar, el comportamiento nominal essimilar. El gpc presenta mejor rechazo de laperturbacion a la entrada pero peor rechazo dela perturbacion de salida. Las amplitudes en larespuesta de rechazo del ruido son similares. ElISE calculado para este caso es: ISEgpc = 7.32and ISErand = 7.33. Pero cuando se consideranlos errores de modelado el sistema controlado porel gpc se hace inestable, mientras que el controlpropuesto mantiene un buen comportamiento.

Para evaluar la solucion del controlador prop-uesto, se muestran en la gura 9 dP () y |P (j) | para varios procesos de la familia. Comose observa, el sistema es estable para todos loscasos.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2001

0

1

y, r

caso nominal

y(GPC)y(random)

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2002

0

2

u

u(GPC)u(random)

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2001

012

y, r

d=8, a=0.95, b=1.1

y(GPC)y(random)

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2002

0

2

tiempo

u

u(GPC)u(random)

Figura 8. Comportamiento de los sistemas contro-lados por el gpc y por el control propuesto.

102

101

100

101

101

100

dP(w)|delta P(jw)|

Figura 9. dP () y | P (j) | para varios casos.Observese que, para este ejemplo simple, podraencontrarse una solucion similar a la encontradaaqu utilizando las tecnicas de ajuste de los dtc.Sin embargo, para modelos de mayor orden, lasolucion exacta es muy compleja y los algoritmosde busqueda aleatoria pueden ser una buena alter-nativa de solucion para el problema de prediccion+ control.

5. CONCLUSIONES

En este trabajo se ha mostrado que los predictorescalculados para funcionar de forma optima enbucle abierto no son optimos cuando funcionanen bucle cerrado. Por otro lado, se mostro quelas estructuras de control basadas en el predic-tor de Smith pueden ser mas robustas y ofrecerprestaciones equivalentes que las basadas en lospredictores optimos, inclusive en el caso de traba-jar en las situaciones teoricamente consideradaspor los predictores optimos (cuando se consideranperturbaciones del tipo arima). Estos resultadossugieren la presentacion de un nuevo enfoque delproblema de prediccion y control, que hemos ba-utizado como Prediccion para Control, donde

MarinaText Box22

JLDIEZLine


se tiene en cuenta el efecto de los predictores enel bucle cerrado. La principal contribucion es elplanteamiento de este nuevo problema de control.

REFERENCIAS

Alevisakis, G. and D. Seborg (1973). An extensionof the Smith predictor to multivariable linearsystems containing time delays. Int. Journalof Control 3, 541.

Ansay, P. and V. Wertz (1997). Model uncertain-ties in GPC: A systematic two-step design.In: Proc. of the ECC 97. Brussels.

Astrom, K. J. (1970). Introduction to StochasticControl Theory. Academic Press.

Astrom, K.J., C.C. Hang and B.C. Lim (1994). Anew Smith predictor for controlling a processwith a integrator and long dead-time. IEEETran. on Automatic Control 39(2), 343345.

Bergh, L. G. and J. F. MacGregor (1987). Con-strained minimum variance controllers: Inter-nal model structure and robustness proper-ties. Ind. Eng. Chem. Res. 26, 15581564.

Bhaya, A. and C. A. Desoer (1985). Controllingplants with delay. Int. J. Control 41, 813830.

Camacho, E.F. and C. Bordons (2004). ModelPredictive Control. Springer-Verlag.

Chien, I-Lung, Sheng Chun Peng and Jun HongLiu (2002). Simple control method for inte-grating processes with long deadtime. Jour-nal of Process Control 12(3), 391404.

Clarke, D.W. and C. Mohtadi (1989). Propertiesof Generalized Predictive Control. Automat-ica 25(6), 859875.

Clarke, D.W. and P.J. Gawthrop (1979). Self-tuning Control. Proceedings IEEE 123, 633640.

Clarke, D.W., C. Mothadi and P.S. Tus (1987).Generalized Predictive Control. Part I: thebasic algorithm and Part II: extensions andinterpretations. Automatica 23(2), 137160.

Cutler, C.R. and B.L. Ramaker (1988). Dy-namic Matrix Control - A computer controlalgorithm. In: AIChE 86th National Meeting.Houston, TX.

Datta, A. and J. Ochoa (1996). Adaptive InternalModel Control: Design and stability analysis.Automatica 32(2), 261266.

Dormido, S. (1987). Una revision de las tec-nologas de control predictivo basado en mod-elos en la industria. In: Wokshop sobre es-tado y perspectivas del control predictivo. Val-ladolid, Spain.

Doyle, J. C. and G. Stein (1981). Multivari-able feedback design concepts for a classi-cal/modern synthesis. IEEE Tran. on Auto-matic Control AC-26 (1), 411.

Favier, G. and D. Dubois (1990). A review of k-step-ahead predictors. Automatica 26(1), 7584.

Furukawa, T. and E. Shimemura (1983). Predic-tive control for systems with time delay. Int.J. Control 37, 399412.

Garcia, C. E. and M. Morari (1984). Internalmodel control 1: A unied review and somenew results. Ind. Eng. Chem. Process Des.Dev. 21, 308.

Gevers, M. (1991). Connecting identication androbust control: a new challenger. In: Ple-nary lecture, 9th IFAC Symp. on Identifica-tion and System Parameter Estimation. Bu-dapest. pp. 110.

Gomez-Ortega, J. and E. F. Camacho (1994).Neural network MBPC for mobile robots pathtracking. Robotics and Computer IntegratedManufacturing Journal 11(4), 271278.

Goodwin, G. and K. Sin (1984).Adaptive FilteringPrediction and Control. Prentice Hall.

Guo, S.M., W. Wang and L.S. Shieh (2000).Discretisation of two degree-of-freedom con-troller and system with state, and output de-lays. IEE Proceedings - Control Theory andApplications 147(1), 8796.

Hagglung, T. (1996). An industrial dead-timecompensating PI controller. Control Engi-neering Practice 4(6), 749756.

Hang, C.C., Q-G. Wang and X-P. Yang (2003). Amodied smith predictor for a process withan integrator and long dead time. Ind. Eng.Chem. Res. 42, 484489.

Holt, B. and M. Morari (1985a). Design of resilientprocessing plants. V: The eect of dead-timeon dynamics resilience. Chem. Eng. Science40(7), 12291237.

Holt, B. and M. Morari (1985b). Design of resilientprocessing plants. VI: The eect of right-half-plane zeros on dynamic resilience. Chem.Eng. Science 40(1), 5974.

Huang, H.P., C.L. Chen, Y.C. Chao and P.L. Chen(1990). A modied Smith predictor with anapproximated inverse of dead time. AIChEJournal 36, 10251031.

Jerome, N. F. and W. H. Ray (1986). High per-formance multivariable control strategies forsystems having time delays. AIChE Journal32(6), 914931.

Kaya, I. (2003). Obtaining controller parametersfor a new pi-pd smith predictor using autotuning. J. of Process Control 13, 465472.

Keyser, R.M.C. De and A.R. Cuawenberghe(1985). Extended prediction self adaptivecontrol. In: IFAC Simp. on Ident. and Syst.Parameter Estimation. York. pp. 13171322.

Khargonekar, P.P. and A. Tikku (1996). Random-ized algorithms for robust control analysishave polynomial complexity.. In: Proc. Conf.on Decision and Control. USA.

Kwak, H., S. Whan and I-B. Lee (2001). Mod-ied smith predictor for integrating pro-


JLDIEZLine

MarinaText Box23

cesses: comparisons and proposition. Ind.Eng. Chem. Res. 40, 15001506.

Lee, J.H., M. Morari and C.E. Garcia (1994).State space interpretation of Model Predic-tive Control. Automatica 30(4), 707714.

Lee, T. H., Q. G. Wang and K.K. Tan (1996). Ro-bust Smith predictor controller for uncertaindelay systems. AIChE Journal 42(4), 10331040.

Liu, T., T. Cai, Y. Z. Gu, D. Y. and W.D. Zhang(2005). New modied smith predictor schemefor integrating and unstable processes withtime delay.. IEE Proc. Control Theory Appl.152(2), 238246.

Lu, X., Y-S. Yang, Q-G. Wang and W-X. Zheng(2005). A double two-degree-of-freedom con-trol scheme for improved control of unsta-ble delay processes.. J. of Process Control15(5), 605614.

Matausek, M.R. and A.D. Micic (1996). A modi-ed Smith predictor for controlling a processwith a integrator and long dead-time. IEEETran. on Automatic Control 41(8), 11991203.

Matausek, M.R. and A.D. Micic (1999). On themodied smith predictor for controlling aprocess with a integrator and long dead-time. IEEE Transactions on Automatic Con-trol 44(8), 16031606.

Megias, D., J. Serrano and C. de Prada (1997).Uncertainty treatment in GPC: design of Tpolynomial. In: Proceedings ECC 97. Brus-sels. pp. FRA B1.

Morari, M. and E. Zariou (1989). Robust ProcessControl. Prentice-Hall.

Normey-Rico, J.E. and E.F. Camacho (1998).Dead-time compensators: A unied approach.In: Proceedings of IFAC-LDTS98. Grenoble,France. pp. 141146.

Normey-Rico, J.E. and E.F. Camacho (1999a).Robust tuning of dead-time compensatorsfor processes with an integrator and longdead-time. IEEE Transactions on AutomaticControl 44(8), 15971603.

Normey-Rico, J.E. and E.F. Camacho (1999b).Robustness eects of a prelter in Smith pre-dictor based generalised predictive controller.IEE Proceedings, Control Theory and Appli-cations 146, 179185.

Normey-Rico, J.E. and E.F. Camacho (1999c).Smith predictor and modications: A com-parative study. In: Proceedings of ECC99.Germany.

Normey-Rico, J.E. and E.F. Camacho (2002). Aunied approach to design dead-time com-pensators for stable and integrative processeswith dead-time. IEEE Transactions on Auto-matic Control 47(2), 299305.

Normey-Rico, J.E. and E.F. Camacho (2006).Control of Dead-time Processes. Springer Ver-lag (In Press).

Normey-Rico, J.E., C. Bordons and E.F. Camacho(1997). Improving the Robustness of Dead-Time Compensating PI Controllers. ControlEngineering Practice 5(6), 801810.

Ogunnaike, B. A., J. P. Lemaire, M. Morari andW. H. Ray (1983). Advanced multivariablecontrol of a pilot scale distillation column.AIChE Journal 29(4), 632.

Ogunnaike, B.A. and W.H. Ray (1979). Multi-variable controller design for linear systemshaving multiple time delays. AIChE Journal25, 10431060.

Palmor, Z.J. (1980). Stability properties of Smithdead time compensator controller. Int. J.Control 32, 937949.

Palmor, Z.J. (1982). Properties of optimalstochastic control systems with dead-time.Automatica 18, 107116.

Palmor, Z.J. (1986). Robust digital dead timecompensator controller for a class of stablesystems. Automatica 22, 587591.

Palmor, Z.J. (1996). The Control Handbook. TimeDelay Compensation: Smith Predictor and itsModifications. CRC Press and IEEE Press.

P

Normey-Camacho Predicción Retardos

Documents

Transcript of Normey-Camacho Predicción Retardos