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Ecuaciones diferenciales de primer ordenSoluciones por sustitución
Campos de pendientes
Notas de clase: Ecuaciones Diferenciales
Gilberto Arenas Díaz
Universidad Industrial de Santander
Segundo semestre 2010
Escuela de Matemáticas Ecuaciones Diferenciales
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Ecuaciones diferenciales de primer ordenSoluciones por sustitución
Campos de pendientes
Variables separablesEcuaciones linealesEcuaciones exactas
Variables separablesSi se considera la ED de primer orden y0 = f (x, y), cuando f no depende de la
variable y, es decir, f (x, y) = g (x), entoncesdydx= g (x) ,lo cual se puede
resolver por medio de integración. Si g (x) es una función continua, entonces
y =Z
g (x) dx = G (x) + C.
De�nición (Ecuación separable)
Se dice que una ecuación de primer orden es separables o que tiene variables
separables, si tiene la formadydx= g (x) h (y) .
Observe que esta ecuación se puede solucionar de la siguiente forma
dyh (y)
= g (x) dx
�p(y)= 1
h(y)
�=)
Zp (y) dy =
Zg (x) dx =) P (y) = G (x) + C.
Observe también que la ecuación se puede escribir como
p (y) dy� g (x) dx = 0.
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Ecuaciones diferenciales de primer ordenSoluciones por sustitución
Campos de pendientes
Variables separablesEcuaciones linealesEcuaciones exactas
Variables separablesSi se considera la ED de primer orden y0 = f (x, y), cuando f no depende de la
variable y, es decir, f (x, y) = g (x), entoncesdydx= g (x) ,lo cual se puede
resolver por medio de integración. Si g (x) es una función continua, entonces
y =Z
g (x) dx = G (x) + C.
De�nición (Ecuación separable)
Se dice que una ecuación de primer orden es separables o que tiene variables
separables, si tiene la formadydx= g (x) h (y) .
Observe que esta ecuación se puede solucionar de la siguiente forma
dyh (y)
= g (x) dx
�p(y)= 1
h(y)
�=)
Zp (y) dy =
Zg (x) dx =) P (y) = G (x) + C.
Observe también que la ecuación se puede escribir como
p (y) dy� g (x) dx = 0.
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Ecuaciones diferenciales de primer ordenSoluciones por sustitución
Campos de pendientes
Variables separablesEcuaciones linealesEcuaciones exactas
Variables separablesSi se considera la ED de primer orden y0 = f (x, y), cuando f no depende de la
variable y, es decir, f (x, y) = g (x), entoncesdydx= g (x) ,lo cual se puede
resolver por medio de integración. Si g (x) es una función continua, entonces
y =Z
g (x) dx = G (x) + C.
De�nición (Ecuación separable)
Se dice que una ecuación de primer orden es separables o que tiene variables
separables, si tiene la formadydx= g (x) h (y) .
Observe que esta ecuación se puede solucionar de la siguiente forma
dyh (y)
= g (x) dx
�p(y)= 1
h(y)
�=)
Zp (y) dy =
Zg (x) dx =) P (y) = G (x) + C.
Observe también que la ecuación se puede escribir como
p (y) dy� g (x) dx = 0.
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Ecuaciones diferenciales de primer ordenSoluciones por sustitución
Campos de pendientes
Variables separablesEcuaciones linealesEcuaciones exactas
Variables separablesSi se considera la ED de primer orden y0 = f (x, y), cuando f no depende de la
variable y, es decir, f (x, y) = g (x), entoncesdydx= g (x) ,lo cual se puede
resolver por medio de integración. Si g (x) es una función continua, entonces
y =Z
g (x) dx = G (x) + C.
De�nición (Ecuación separable)
Se dice que una ecuación de primer orden es separables o que tiene variables
separables, si tiene la formadydx= g (x) h (y) .
Observe que esta ecuación se puede solucionar de la siguiente forma
dyh (y)
= g (x) dx
�p(y)= 1
h(y)
�=)
Zp (y) dy =
Zg (x) dx =) P (y) = G (x) + C.
Observe también que la ecuación se puede escribir como
p (y) dy� g (x) dx = 0.
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Ecuaciones diferenciales de primer ordenSoluciones por sustitución
Campos de pendientes
Variables separablesEcuaciones linealesEcuaciones exactas
Ecuaciones lineales
De�niciónSe dice que una ED de primer orden de la forma
a1 (x)dydx+ a0 (x) y = g (x)
es una ecuación lineal en la variable dependiente y.
Observe que la ED se puede escribir como
dydx+ P (x) y = f (x) .
Esta ecuación se puede solucionar multiplicando por un término conocido comofactor integrante µ (x) = e
RP(x)dx,
eR
P(x)dx dydx+ P (x) e
RP(x)dxy = f (x) e
RP(x)dx,
pero esta ecuación es equivalente a
ddx
heR
P(x)dxyi= f (x) e
RP(x)dx.
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Ecuaciones diferenciales de primer ordenSoluciones por sustitución
Campos de pendientes
Variables separablesEcuaciones linealesEcuaciones exactas
Ecuaciones lineales
De�niciónSe dice que una ED de primer orden de la forma
a1 (x)dydx+ a0 (x) y = g (x)
es una ecuación lineal en la variable dependiente y.
Observe que la ED se puede escribir como
dydx+ P (x) y = f (x) .
Esta ecuación se puede solucionar multiplicando por un término conocido comofactor integrante µ (x) = e
RP(x)dx,
eR
P(x)dx dydx+ P (x) e
RP(x)dxy = f (x) e
RP(x)dx,
pero esta ecuación es equivalente a
ddx
heR
P(x)dxyi= f (x) e
RP(x)dx.
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Ecuaciones diferenciales de primer ordenSoluciones por sustitución
Campos de pendientes
Variables separablesEcuaciones linealesEcuaciones exactas
Ecuaciones lineales
De�niciónSe dice que una ED de primer orden de la forma
a1 (x)dydx+ a0 (x) y = g (x)
es una ecuación lineal en la variable dependiente y.
Observe que la ED se puede escribir como
dydx+ P (x) y = f (x) .
Esta ecuación se puede solucionar multiplicando por un término conocido comofactor integrante µ (x) = e
RP(x)dx,
eR
P(x)dx dydx+ P (x) e
RP(x)dxy = f (x) e
RP(x)dx,
pero esta ecuación es equivalente a
ddx
heR
P(x)dxyi= f (x) e
RP(x)dx.
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Ecuaciones diferenciales de primer ordenSoluciones por sustitución
Campos de pendientes
Variables separablesEcuaciones linealesEcuaciones exactas
Ecuaciones lineales
De�niciónSe dice que una ED de primer orden de la forma
a1 (x)dydx+ a0 (x) y = g (x)
es una ecuación lineal en la variable dependiente y.
Observe que la ED se puede escribir como
dydx+ P (x) y = f (x) .
Esta ecuación se puede solucionar multiplicando por un término conocido comofactor integrante µ (x) = e
RP(x)dx,
eR
P(x)dx dydx+ P (x) e
RP(x)dxy = f (x) e
RP(x)dx,
pero esta ecuación es equivalente a
ddx
heR
P(x)dxyi= f (x) e
RP(x)dx.
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Ecuaciones diferenciales de primer ordenSoluciones por sustitución
Campos de pendientes
Variables separablesEcuaciones linealesEcuaciones exactas
Ecuaciones exactas
Observe que y dx+ x dy = d (xy) = 0 =) xy = c.
Si z = f (x, y) es una función con primeras derivadas parciales continuas en unaregión R del plano xy, su diferencial es
dz =∂f∂x
dx+∂f∂y
dy.
Entonces, si f (x, y) = c, se tiene que
∂f∂x
dx+∂f∂y
dy = 0.
Por ejemplo, si x3 + 2x2y2 + y3 = k, entonces�3x2 + 4xy2
�dx+
�4x2y+ 3y2
�dy = 0 =) dy
dx= �3x2 + 4xy2
4x2y+ 3y2
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Ecuaciones diferenciales de primer ordenSoluciones por sustitución
Campos de pendientes
Variables separablesEcuaciones linealesEcuaciones exactas
Ecuaciones exactas
Observe que y dx+ x dy = d (xy) = 0 =) xy = c.Si z = f (x, y) es una función con primeras derivadas parciales continuas en unaregión R del plano xy, su diferencial es
dz =∂f∂x
dx+∂f∂y
dy.
Entonces, si f (x, y) = c, se tiene que
∂f∂x
dx+∂f∂y
dy = 0.
Por ejemplo, si x3 + 2x2y2 + y3 = k, entonces�3x2 + 4xy2
�dx+
�4x2y+ 3y2
�dy = 0 =) dy
dx= �3x2 + 4xy2
4x2y+ 3y2
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Ecuaciones diferenciales de primer ordenSoluciones por sustitución
Campos de pendientes
Variables separablesEcuaciones linealesEcuaciones exactas
Ecuaciones exactas
Observe que y dx+ x dy = d (xy) = 0 =) xy = c.Si z = f (x, y) es una función con primeras derivadas parciales continuas en unaregión R del plano xy, su diferencial es
dz =∂f∂x
dx+∂f∂y
dy.
Entonces, si f (x, y) = c, se tiene que
∂f∂x
dx+∂f∂y
dy = 0.
Por ejemplo, si x3 + 2x2y2 + y3 = k, entonces�3x2 + 4xy2
�dx+
�4x2y+ 3y2
�dy = 0 =) dy
dx= �3x2 + 4xy2
4x2y+ 3y2
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Ecuaciones diferenciales de primer ordenSoluciones por sustitución
Campos de pendientes
Variables separablesEcuaciones linealesEcuaciones exactas
Ecuaciones exactas
Observe que y dx+ x dy = d (xy) = 0 =) xy = c.Si z = f (x, y) es una función con primeras derivadas parciales continuas en unaregión R del plano xy, su diferencial es
dz =∂f∂x
dx+∂f∂y
dy.
Entonces, si f (x, y) = c, se tiene que
∂f∂x
dx+∂f∂y
dy = 0.
Por ejemplo, si x3 + 2x2y2 + y3 = k, entonces�3x2 + 4xy2
�dx+
�4x2y+ 3y2
�dy = 0 =) dy
dx= �3x2 + 4xy2
4x2y+ 3y2
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Ecuaciones diferenciales de primer ordenSoluciones por sustitución
Campos de pendientes
Variables separablesEcuaciones linealesEcuaciones exactas
Ecuación exacta
De�niciónUna ecuación diferencial de la forma
M (x, y) dx+N (x, y) dy = 0
se llama exacta si ella corresponde a la diferencial de alguna función f (x, y) enuna región R del plano xy.
Teorema (Criterio para una ecuación diferencial exacta)
Sean M (x, y) y N (x, y) dos funciones continuas y con derivadas parcialescontinuas en una región rectangular R = f(x, y) j a < x < b, c < y < dg.Entonces, la condición necesaria y su�cienta para que la ecuaciónM (x, y) dx+N (x, y) dy sea una diferencial exacta es que
∂M∂y
=∂N∂x
.
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Ecuaciones diferenciales de primer ordenSoluciones por sustitución
Campos de pendientes
Variables separablesEcuaciones linealesEcuaciones exactas
Ecuación exacta
De�niciónUna ecuación diferencial de la forma
M (x, y) dx+N (x, y) dy = 0
se llama exacta si ella corresponde a la diferencial de alguna función f (x, y) enuna región R del plano xy.
Teorema (Criterio para una ecuación diferencial exacta)
Sean M (x, y) y N (x, y) dos funciones continuas y con derivadas parcialescontinuas en una región rectangular R = f(x, y) j a < x < b, c < y < dg.Entonces, la condición necesaria y su�cienta para que la ecuaciónM (x, y) dx+N (x, y) dy sea una diferencial exacta es que
∂M∂y
=∂N∂x
.
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Ecuaciones diferenciales de primer ordenSoluciones por sustitución
Campos de pendientes
Variables separablesEcuaciones linealesEcuaciones exactas
Metodo de solución para ecuaciones exactasDada una ecuación de la forma
M (x, y) dx+N (x, y) dy = 0,
donde se veri�ca que es exacta.
En tal caso, existe una función f tal que
∂f∂x= M (x, y) y
∂f∂y= N (x, y) .
Se puede determinar f integrando M (x, y) con respecto a x:
f (x, y) =Z
M (x, y) dx+ g (y) .
Ahora derivando con respecto a y se obtiene
∂f∂y=
∂
∂y
ZM (x, y) dx+ g0 (y) = N (x, y) .
De esta ecuación se obtiene que g0 (y) = N (x, y)� ∂
∂y
ZM (x, y) dx.
Integrando se obtiene la función g (y), y por consiguiente la ecuaciónf (x, y) = c.
Escuela de Matemáticas Ecuaciones Diferenciales
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Ecuaciones diferenciales de primer ordenSoluciones por sustitución
Campos de pendientes
Variables separablesEcuaciones linealesEcuaciones exactas
Metodo de solución para ecuaciones exactasDada una ecuación de la forma
M (x, y) dx+N (x, y) dy = 0,
donde se veri�ca que es exacta. En tal caso, existe una función f tal que
∂f∂x= M (x, y) y
∂f∂y= N (x, y) .
Se puede determinar f integrando M (x, y) con respecto a x:
f (x, y) =Z
M (x, y) dx+ g (y) .
Ahora derivando con respecto a y se obtiene
∂f∂y=
∂
∂y
ZM (x, y) dx+ g0 (y) = N (x, y) .
De esta ecuación se obtiene que g0 (y) = N (x, y)� ∂
∂y
ZM (x, y) dx.
Integrando se obtiene la función g (y), y por consiguiente la ecuaciónf (x, y) = c.
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Ecuaciones diferenciales de primer ordenSoluciones por sustitución
Campos de pendientes
Variables separablesEcuaciones linealesEcuaciones exactas
Metodo de solución para ecuaciones exactasDada una ecuación de la forma
M (x, y) dx+N (x, y) dy = 0,
donde se veri�ca que es exacta. En tal caso, existe una función f tal que
∂f∂x= M (x, y) y
∂f∂y= N (x, y) .
Se puede determinar f integrando M (x, y) con respecto a x:
f (x, y) =Z
M (x, y) dx+ g (y) .
Ahora derivando con respecto a y se obtiene
∂f∂y=
∂
∂y
ZM (x, y) dx+ g0 (y) = N (x, y) .
De esta ecuación se obtiene que g0 (y) = N (x, y)� ∂
∂y
ZM (x, y) dx.
Integrando se obtiene la función g (y), y por consiguiente la ecuaciónf (x, y) = c.
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Ecuaciones diferenciales de primer ordenSoluciones por sustitución
Campos de pendientes
Variables separablesEcuaciones linealesEcuaciones exactas
Metodo de solución para ecuaciones exactasDada una ecuación de la forma
M (x, y) dx+N (x, y) dy = 0,
donde se veri�ca que es exacta. En tal caso, existe una función f tal que
∂f∂x= M (x, y) y
∂f∂y= N (x, y) .
Se puede determinar f integrando M (x, y) con respecto a x:
f (x, y) =Z
M (x, y) dx+ g (y) .
Ahora derivando con respecto a y se obtiene
∂f∂y=
∂
∂y
ZM (x, y) dx+ g0 (y) = N (x, y) .
De esta ecuación se obtiene que g0 (y) = N (x, y)� ∂
∂y
ZM (x, y) dx.
Integrando se obtiene la función g (y), y por consiguiente la ecuaciónf (x, y) = c.
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Ecuaciones diferenciales de primer ordenSoluciones por sustitución
Campos de pendientes
Variables separablesEcuaciones linealesEcuaciones exactas
Metodo de solución para ecuaciones exactasDada una ecuación de la forma
M (x, y) dx+N (x, y) dy = 0,
donde se veri�ca que es exacta. En tal caso, existe una función f tal que
∂f∂x= M (x, y) y
∂f∂y= N (x, y) .
Se puede determinar f integrando M (x, y) con respecto a x:
f (x, y) =Z
M (x, y) dx+ g (y) .
Ahora derivando con respecto a y se obtiene
∂f∂y=
∂
∂y
ZM (x, y) dx+ g0 (y) = N (x, y) .
De esta ecuación se obtiene que g0 (y) = N (x, y)� ∂
∂y
ZM (x, y) dx.
Integrando se obtiene la función g (y), y por consiguiente la ecuaciónf (x, y) = c.
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Ecuaciones diferenciales de primer ordenSoluciones por sustitución
Campos de pendientes
Variables separablesEcuaciones linealesEcuaciones exactas
Metodo de solución para ecuaciones exactasDada una ecuación de la forma
M (x, y) dx+N (x, y) dy = 0,
donde se veri�ca que es exacta. En tal caso, existe una función f tal que
∂f∂x= M (x, y) y
∂f∂y= N (x, y) .
Se puede determinar f integrando M (x, y) con respecto a x:
f (x, y) =Z
M (x, y) dx+ g (y) .
Ahora derivando con respecto a y se obtiene
∂f∂y=
∂
∂y
ZM (x, y) dx+ g0 (y) = N (x, y) .
De esta ecuación se obtiene que g0 (y) = N (x, y)� ∂
∂y
ZM (x, y) dx.
Integrando se obtiene la función g (y), y por consiguiente la ecuaciónf (x, y) = c.
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Ecuaciones diferenciales de primer ordenSoluciones por sustitución
Campos de pendientes
Variables separablesEcuaciones linealesEcuaciones exactas
Metodo de solución para ecuaciones exactasDada una ecuación de la forma
M (x, y) dx+N (x, y) dy = 0,
donde se veri�ca que es exacta. En tal caso, existe una función f tal que
∂f∂x= M (x, y) y
∂f∂y= N (x, y) .
Se puede determinar f integrando M (x, y) con respecto a x:
f (x, y) =Z
M (x, y) dx+ g (y) .
Ahora derivando con respecto a y se obtiene
∂f∂y=
∂
∂y
ZM (x, y) dx+ g0 (y) = N (x, y) .
De esta ecuación se obtiene que g0 (y) = N (x, y)� ∂
∂y
ZM (x, y) dx.
Integrando se obtiene la función g (y), y por consiguiente la ecuaciónf (x, y) = c.
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Ecuaciones diferenciales de primer ordenSoluciones por sustitución
Campos de pendientes
Variables separablesEcuaciones linealesEcuaciones exactas
Ejemplos�3x2y+ ey� dx+
�x3 + xey � 2y
�dy = 0.
M (x, y) =�3x2y+ ey�, N (x, y) =
�x3 + xey � 2y
�) My = 3x2 + ey = Nx. Por tanto es exacta.f (x, y) =
R �3x2y+ ey� dx+ g (y) = x3y+ xey + g (y)
N (x, y) = x3 + xey � 2y = x3y+ xey + g0 (y)=) g0 (y) = �2y =) g (y) = �y2.) f (x, y) = x3y+ xey � y2 = C.�
3y2 � t2
y5
�dydt+
t2y4 = 0, y (1) = 1.
M (t, y) =�
3y2 � t2
y5
�, N (t, y) =
t2y4) Mt = �
2ty5 = Ny.
f (t, y) =R �3y2 � t2
y5
�dy+ g (t) =
1y4
�14
t2 � 32
y2�+ g (t)
N (x, y) =t
2y4 =t
2y4 + g0 (t) =) g0 (t) = 0 =) g (t) = C.
) f (x, y) =1y4
�14
t2 � 32
y2�= C =) C =
11
�14� 3
2
�= �5
4.
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Ecuaciones diferenciales de primer ordenSoluciones por sustitución
Campos de pendientes
Variables separablesEcuaciones linealesEcuaciones exactas
Ejemplos�3x2y+ ey� dx+
�x3 + xey � 2y
�dy = 0.
M (x, y) =�3x2y+ ey�, N (x, y) =
�x3 + xey � 2y
�
) My = 3x2 + ey = Nx. Por tanto es exacta.f (x, y) =
R �3x2y+ ey� dx+ g (y) = x3y+ xey + g (y)
N (x, y) = x3 + xey � 2y = x3y+ xey + g0 (y)=) g0 (y) = �2y =) g (y) = �y2.) f (x, y) = x3y+ xey � y2 = C.�
3y2 � t2
y5
�dydt+
t2y4 = 0, y (1) = 1.
M (t, y) =�
3y2 � t2
y5
�, N (t, y) =
t2y4) Mt = �
2ty5 = Ny.
f (t, y) =R �3y2 � t2
y5
�dy+ g (t) =
1y4
�14
t2 � 32
y2�+ g (t)
N (x, y) =t
2y4 =t
2y4 + g0 (t) =) g0 (t) = 0 =) g (t) = C.
) f (x, y) =1y4
�14
t2 � 32
y2�= C =) C =
11
�14� 3
2
�= �5
4.
Escuela de Matemáticas Ecuaciones Diferenciales
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Ecuaciones diferenciales de primer ordenSoluciones por sustitución
Campos de pendientes
Variables separablesEcuaciones linealesEcuaciones exactas
Ejemplos�3x2y+ ey� dx+
�x3 + xey � 2y
�dy = 0.
M (x, y) =�3x2y+ ey�, N (x, y) =
�x3 + xey � 2y
�) My = 3x2 + ey = Nx. Por tanto es exacta.
f (x, y) =R �
3x2y+ ey� dx+ g (y) = x3y+ xey + g (y)N (x, y) = x3 + xey � 2y = x3y+ xey + g0 (y)=) g0 (y) = �2y =) g (y) = �y2.) f (x, y) = x3y+ xey � y2 = C.�
3y2 � t2
y5
�dydt+
t2y4 = 0, y (1) = 1.
M (t, y) =�
3y2 � t2
y5
�, N (t, y) =
t2y4) Mt = �
2ty5 = Ny.
f (t, y) =R �3y2 � t2
y5
�dy+ g (t) =
1y4
�14
t2 � 32
y2�+ g (t)
N (x, y) =t
2y4 =t
2y4 + g0 (t) =) g0 (t) = 0 =) g (t) = C.
) f (x, y) =1y4
�14
t2 � 32
y2�= C =) C =
11
�14� 3
2
�= �5
4.
Escuela de Matemáticas Ecuaciones Diferenciales
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Ecuaciones diferenciales de primer ordenSoluciones por sustitución
Campos de pendientes
Variables separablesEcuaciones linealesEcuaciones exactas
Ejemplos�3x2y+ ey� dx+
�x3 + xey � 2y
�dy = 0.
M (x, y) =�3x2y+ ey�, N (x, y) =
�x3 + xey � 2y
�) My = 3x2 + ey = Nx. Por tanto es exacta.f (x, y) =
R �3x2y+ ey� dx+ g (y) = x3y+ xey + g (y)
N (x, y) = x3 + xey � 2y = x3y+ xey + g0 (y)=) g0 (y) = �2y =) g (y) = �y2.) f (x, y) = x3y+ xey � y2 = C.�
3y2 � t2
y5
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t2y4 = 0, y (1) = 1.
M (t, y) =�
3y2 � t2
y5
�, N (t, y) =
t2y4) Mt = �
2ty5 = Ny.
f (t, y) =R �3y2 � t2
y5
�dy+ g (t) =
1y4
�14
t2 � 32
y2�+ g (t)
N (x, y) =t
2y4 =t
2y4 + g0 (t) =) g0 (t) = 0 =) g (t) = C.
) f (x, y) =1y4
�14
t2 � 32
y2�= C =) C =
11
�14� 3
2
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4.
Escuela de Matemáticas Ecuaciones Diferenciales
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Ecuaciones diferenciales de primer ordenSoluciones por sustitución
Campos de pendientes
Variables separablesEcuaciones linealesEcuaciones exactas
Ejemplos�3x2y+ ey� dx+
�x3 + xey � 2y
�dy = 0.
M (x, y) =�3x2y+ ey�, N (x, y) =
�x3 + xey � 2y
�) My = 3x2 + ey = Nx. Por tanto es exacta.f (x, y) =
R �3x2y+ ey� dx+ g (y) = x3y+ xey + g (y)
N (x, y) = x3 + xey � 2y = x3y+ xey + g0 (y)
=) g0 (y) = �2y =) g (y) = �y2.) f (x, y) = x3y+ xey � y2 = C.�
3y2 � t2
y5
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M (t, y) =�
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y5
�, N (t, y) =
t2y4) Mt = �
2ty5 = Ny.
f (t, y) =R �3y2 � t2
y5
�dy+ g (t) =
1y4
�14
t2 � 32
y2�+ g (t)
N (x, y) =t
2y4 =t
2y4 + g0 (t) =) g0 (t) = 0 =) g (t) = C.
) f (x, y) =1y4
�14
t2 � 32
y2�= C =) C =
11
�14� 3
2
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4.
Escuela de Matemáticas Ecuaciones Diferenciales
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Ecuaciones diferenciales de primer ordenSoluciones por sustitución
Campos de pendientes
Variables separablesEcuaciones linealesEcuaciones exactas
Ejemplos�3x2y+ ey� dx+
�x3 + xey � 2y
�dy = 0.
M (x, y) =�3x2y+ ey�, N (x, y) =
�x3 + xey � 2y
�) My = 3x2 + ey = Nx. Por tanto es exacta.f (x, y) =
R �3x2y+ ey� dx+ g (y) = x3y+ xey + g (y)
N (x, y) = x3 + xey � 2y = x3y+ xey + g0 (y)=) g0 (y) = �2y =) g (y) = �y2.
) f (x, y) = x3y+ xey � y2 = C.�3y2 � t2
y5
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t2y4 = 0, y (1) = 1.
M (t, y) =�
3y2 � t2
y5
�, N (t, y) =
t2y4) Mt = �
2ty5 = Ny.
f (t, y) =R �3y2 � t2
y5
�dy+ g (t) =
1y4
�14
t2 � 32
y2�+ g (t)
N (x, y) =t
2y4 =t
2y4 + g0 (t) =) g0 (t) = 0 =) g (t) = C.
) f (x, y) =1y4
�14
t2 � 32
y2�= C =) C =
11
�14� 3
2
�= �5
4.
Escuela de Matemáticas Ecuaciones Diferenciales
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Ecuaciones diferenciales de primer ordenSoluciones por sustitución
Campos de pendientes
Variables separablesEcuaciones linealesEcuaciones exactas
Ejemplos�3x2y+ ey� dx+
�x3 + xey � 2y
�dy = 0.
M (x, y) =�3x2y+ ey�, N (x, y) =
�x3 + xey � 2y
�) My = 3x2 + ey = Nx. Por tanto es exacta.f (x, y) =
R �3x2y+ ey� dx+ g (y) = x3y+ xey + g (y)
N (x, y) = x3 + xey � 2y = x3y+ xey + g0 (y)=) g0 (y) = �2y =) g (y) = �y2.) f (x, y) = x3y+ xey � y2 = C.
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y5
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t2y4 = 0, y (1) = 1.
M (t, y) =�
3y2 � t2
y5
�, N (t, y) =
t2y4) Mt = �
2ty5 = Ny.
f (t, y) =R �3y2 � t2
y5
�dy+ g (t) =
1y4
�14
t2 � 32
y2�+ g (t)
N (x, y) =t
2y4 =t
2y4 + g0 (t) =) g0 (t) = 0 =) g (t) = C.
) f (x, y) =1y4
�14
t2 � 32
y2�= C =) C =
11
�14� 3
2
�= �5
4.
Escuela de Matemáticas Ecuaciones Diferenciales
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Ecuaciones diferenciales de primer ordenSoluciones por sustitución
Campos de pendientes
Variables separablesEcuaciones linealesEcuaciones exactas
Ejemplos�3x2y+ ey� dx+
�x3 + xey � 2y
�dy = 0.
M (x, y) =�3x2y+ ey�, N (x, y) =
�x3 + xey � 2y
�) My = 3x2 + ey = Nx. Por tanto es exacta.f (x, y) =
R �3x2y+ ey� dx+ g (y) = x3y+ xey + g (y)
N (x, y) = x3 + xey � 2y = x3y+ xey + g0 (y)=) g0 (y) = �2y =) g (y) = �y2.) f (x, y) = x3y+ xey � y2 = C.�
3y2 � t2
y5
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t2y4 = 0, y (1) = 1.
M (t, y) =�
3y2 � t2
y5
�, N (t, y) =
t2y4) Mt = �
2ty5 = Ny.
f (t, y) =R �3y2 � t2
y5
�dy+ g (t) =
1y4
�14
t2 � 32
y2�+ g (t)
N (x, y) =t
2y4 =t
2y4 + g0 (t) =) g0 (t) = 0 =) g (t) = C.
) f (x, y) =1y4
�14
t2 � 32
y2�= C =) C =
11
�14� 3
2
�= �5
4.
Escuela de Matemáticas Ecuaciones Diferenciales
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Ecuaciones diferenciales de primer ordenSoluciones por sustitución
Campos de pendientes
Variables separablesEcuaciones linealesEcuaciones exactas
Ejemplos�3x2y+ ey� dx+
�x3 + xey � 2y
�dy = 0.
M (x, y) =�3x2y+ ey�, N (x, y) =
�x3 + xey � 2y
�) My = 3x2 + ey = Nx. Por tanto es exacta.f (x, y) =
R �3x2y+ ey� dx+ g (y) = x3y+ xey + g (y)
N (x, y) = x3 + xey � 2y = x3y+ xey + g0 (y)=) g0 (y) = �2y =) g (y) = �y2.) f (x, y) = x3y+ xey � y2 = C.�
3y2 � t2
y5
�dydt+
t2y4 = 0, y (1) = 1.
M (t, y) =�
3y2 � t2
y5
�, N (t, y) =
t2y4
) Mt = �2ty5 = Ny.
f (t, y) =R �3y2 � t2
y5
�dy+ g (t) =
1y4
�14
t2 � 32
y2�+ g (t)
N (x, y) =t
2y4 =t
2y4 + g0 (t) =) g0 (t) = 0 =) g (t) = C.
) f (x, y) =1y4
�14
t2 � 32
y2�= C =) C =
11
�14� 3
2
�= �5
4.
Escuela de Matemáticas Ecuaciones Diferenciales
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Ecuaciones diferenciales de primer ordenSoluciones por sustitución
Campos de pendientes
Variables separablesEcuaciones linealesEcuaciones exactas
Ejemplos�3x2y+ ey� dx+
�x3 + xey � 2y
�dy = 0.
M (x, y) =�3x2y+ ey�, N (x, y) =
�x3 + xey � 2y
�) My = 3x2 + ey = Nx. Por tanto es exacta.f (x, y) =
R �3x2y+ ey� dx+ g (y) = x3y+ xey + g (y)
N (x, y) = x3 + xey � 2y = x3y+ xey + g0 (y)=) g0 (y) = �2y =) g (y) = �y2.) f (x, y) = x3y+ xey � y2 = C.�
3y2 � t2
y5
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t2y4 = 0, y (1) = 1.
M (t, y) =�
3y2 � t2
y5
�, N (t, y) =
t2y4) Mt = �
2ty5 = Ny.
f (t, y) =R �3y2 � t2
y5
�dy+ g (t) =
1y4
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t2 � 32
y2�+ g (t)
N (x, y) =t
2y4 =t
2y4 + g0 (t) =) g0 (t) = 0 =) g (t) = C.
) f (x, y) =1y4
�14
t2 � 32
y2�= C =) C =
11
�14� 3
2
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4.
Escuela de Matemáticas Ecuaciones Diferenciales
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Ecuaciones diferenciales de primer ordenSoluciones por sustitución
Campos de pendientes
Variables separablesEcuaciones linealesEcuaciones exactas
Ejemplos�3x2y+ ey� dx+
�x3 + xey � 2y
�dy = 0.
M (x, y) =�3x2y+ ey�, N (x, y) =
�x3 + xey � 2y
�) My = 3x2 + ey = Nx. Por tanto es exacta.f (x, y) =
R �3x2y+ ey� dx+ g (y) = x3y+ xey + g (y)
N (x, y) = x3 + xey � 2y = x3y+ xey + g0 (y)=) g0 (y) = �2y =) g (y) = �y2.) f (x, y) = x3y+ xey � y2 = C.�
3y2 � t2
y5
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t2y4 = 0, y (1) = 1.
M (t, y) =�
3y2 � t2
y5
�, N (t, y) =
t2y4) Mt = �
2ty5 = Ny.
f (t, y) =R �3y2 � t2
y5
�dy+ g (t) =
1y4
�14
t2 � 32
y2�+ g (t)
N (x, y) =t
2y4 =t
2y4 + g0 (t) =) g0 (t) = 0 =) g (t) = C.
) f (x, y) =1y4
�14
t2 � 32
y2�= C =) C =
11
�14� 3
2
�= �5
4.
Escuela de Matemáticas Ecuaciones Diferenciales
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Ecuaciones diferenciales de primer ordenSoluciones por sustitución
Campos de pendientes
Variables separablesEcuaciones linealesEcuaciones exactas
Ejemplos�3x2y+ ey� dx+
�x3 + xey � 2y
�dy = 0.
M (x, y) =�3x2y+ ey�, N (x, y) =
�x3 + xey � 2y
�) My = 3x2 + ey = Nx. Por tanto es exacta.f (x, y) =
R �3x2y+ ey� dx+ g (y) = x3y+ xey + g (y)
N (x, y) = x3 + xey � 2y = x3y+ xey + g0 (y)=) g0 (y) = �2y =) g (y) = �y2.) f (x, y) = x3y+ xey � y2 = C.�
3y2 � t2
y5
�dydt+
t2y4 = 0, y (1) = 1.
M (t, y) =�
3y2 � t2
y5
�, N (t, y) =
t2y4) Mt = �
2ty5 = Ny.
f (t, y) =R �3y2 � t2
y5
�dy+ g (t) =
1y4
�14
t2 � 32
y2�+ g (t)
N (x, y) =t
2y4 =t
2y4 + g0 (t) =) g0 (t) = 0 =) g (t) = C.
) f (x, y) =1y4
�14
t2 � 32
y2�= C =) C =
11
�14� 3
2
�= �5
4.
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Ecuaciones diferenciales de primer ordenSoluciones por sustitución
Campos de pendientes
Variables separablesEcuaciones linealesEcuaciones exactas
Ejemplos�3x2y+ ey� dx+
�x3 + xey � 2y
�dy = 0.
M (x, y) =�3x2y+ ey�, N (x, y) =
�x3 + xey � 2y
�) My = 3x2 + ey = Nx. Por tanto es exacta.f (x, y) =
R �3x2y+ ey� dx+ g (y) = x3y+ xey + g (y)
N (x, y) = x3 + xey � 2y = x3y+ xey + g0 (y)=) g0 (y) = �2y =) g (y) = �y2.) f (x, y) = x3y+ xey � y2 = C.�
3y2 � t2
y5
�dydt+
t2y4 = 0, y (1) = 1.
M (t, y) =�
3y2 � t2
y5
�, N (t, y) =
t2y4) Mt = �
2ty5 = Ny.
f (t, y) =R �3y2 � t2
y5
�dy+ g (t) =
1y4
�14
t2 � 32
y2�+ g (t)
N (x, y) =t
2y4 =t
2y4 + g0 (t) =) g0 (t) = 0 =) g (t) = C.
) f (x, y) =1y4
�14
t2 � 32
y2�= C =) C =
11
�14� 3
2
�= �5
4.
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Ecuaciones diferenciales de primer ordenSoluciones por sustitución
Campos de pendientes
Ecuaciones homogéneasEcuación de BernoulliReducción para separación de variables
Ecuaciones homogéneasSi una función f posee la propiedad f (tx, ty) = tαf (x, y) para algún α 2 R,entonces se dice que f es una función homogénea de grado α.
Por ejemplo,f (x, y) = x2 + y2 + xy; f (x, y) = x3 + x2y+ xy2 + y3.Una ED escrita en la forma diferencial
M (x, y) dx+N (x, y) dy = 0,
se dice que es homogénea si ambos coe�cientes M y N son funcioneshomogéneas del mismo grado. Es decir
M (tx, ty) = tαM (x, y) y N (tx, ty) = tαN (x, y) .
Si M y N son homogéneas de grado α, se pueden escribir
M (x, y) = xαM (1, u) y N (x, y) = xαN (1, u) , donde u =yx
,
M (x, y) = yαM (v, 1) y N (x, y) = yαN (v, 1) , donde v =xy
.
Cualquiera de las dos sustituciones reducirá la ED homogénea a una EDseparable.
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Ecuaciones diferenciales de primer ordenSoluciones por sustitución
Campos de pendientes
Ecuaciones homogéneasEcuación de BernoulliReducción para separación de variables
Ecuaciones homogéneasSi una función f posee la propiedad f (tx, ty) = tαf (x, y) para algún α 2 R,entonces se dice que f es una función homogénea de grado α. Por ejemplo,f (x, y) = x2 + y2 + xy; f (x, y) = x3 + x2y+ xy2 + y3.
Una ED escrita en la forma diferencial
M (x, y) dx+N (x, y) dy = 0,
se dice que es homogénea si ambos coe�cientes M y N son funcioneshomogéneas del mismo grado. Es decir
M (tx, ty) = tαM (x, y) y N (tx, ty) = tαN (x, y) .
Si M y N son homogéneas de grado α, se pueden escribir
M (x, y) = xαM (1, u) y N (x, y) = xαN (1, u) , donde u =yx
,
M (x, y) = yαM (v, 1) y N (x, y) = yαN (v, 1) , donde v =xy
.
Cualquiera de las dos sustituciones reducirá la ED homogénea a una EDseparable.
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Campos de pendientes
Ecuaciones homogéneasEcuación de BernoulliReducción para separación de variables
Ecuaciones homogéneasSi una función f posee la propiedad f (tx, ty) = tαf (x, y) para algún α 2 R,entonces se dice que f es una función homogénea de grado α. Por ejemplo,f (x, y) = x2 + y2 + xy; f (x, y) = x3 + x2y+ xy2 + y3.Una ED escrita en la forma diferencial
M (x, y) dx+N (x, y) dy = 0,
se dice que es homogénea si ambos coe�cientes M y N son funcioneshomogéneas del mismo grado.
Es decir
M (tx, ty) = tαM (x, y) y N (tx, ty) = tαN (x, y) .
Si M y N son homogéneas de grado α, se pueden escribir
M (x, y) = xαM (1, u) y N (x, y) = xαN (1, u) , donde u =yx
,
M (x, y) = yαM (v, 1) y N (x, y) = yαN (v, 1) , donde v =xy
.
Cualquiera de las dos sustituciones reducirá la ED homogénea a una EDseparable.
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Campos de pendientes
Ecuaciones homogéneasEcuación de BernoulliReducción para separación de variables
Ecuaciones homogéneasSi una función f posee la propiedad f (tx, ty) = tαf (x, y) para algún α 2 R,entonces se dice que f es una función homogénea de grado α. Por ejemplo,f (x, y) = x2 + y2 + xy; f (x, y) = x3 + x2y+ xy2 + y3.Una ED escrita en la forma diferencial
M (x, y) dx+N (x, y) dy = 0,
se dice que es homogénea si ambos coe�cientes M y N son funcioneshomogéneas del mismo grado. Es decir
M (tx, ty) = tαM (x, y) y N (tx, ty) = tαN (x, y) .
Si M y N son homogéneas de grado α, se pueden escribir
M (x, y) = xαM (1, u) y N (x, y) = xαN (1, u) , donde u =yx
,
M (x, y) = yαM (v, 1) y N (x, y) = yαN (v, 1) , donde v =xy
.
Cualquiera de las dos sustituciones reducirá la ED homogénea a una EDseparable.
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Ecuaciones homogéneasSi una función f posee la propiedad f (tx, ty) = tαf (x, y) para algún α 2 R,entonces se dice que f es una función homogénea de grado α. Por ejemplo,f (x, y) = x2 + y2 + xy; f (x, y) = x3 + x2y+ xy2 + y3.Una ED escrita en la forma diferencial
M (x, y) dx+N (x, y) dy = 0,
se dice que es homogénea si ambos coe�cientes M y N son funcioneshomogéneas del mismo grado. Es decir
M (tx, ty) = tαM (x, y) y N (tx, ty) = tαN (x, y) .
Si M y N son homogéneas de grado α, se pueden escribir
M (x, y) = xαM (1, u) y N (x, y) = xαN (1, u) , donde u =yx
,
M (x, y) = yαM (v, 1) y N (x, y) = yαN (v, 1) , donde v =xy
.
Cualquiera de las dos sustituciones reducirá la ED homogénea a una EDseparable.
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Ecuaciones homogéneasEcuación de BernoulliReducción para separación de variables
Ecuaciones homogéneasSi una función f posee la propiedad f (tx, ty) = tαf (x, y) para algún α 2 R,entonces se dice que f es una función homogénea de grado α. Por ejemplo,f (x, y) = x2 + y2 + xy; f (x, y) = x3 + x2y+ xy2 + y3.Una ED escrita en la forma diferencial
M (x, y) dx+N (x, y) dy = 0,
se dice que es homogénea si ambos coe�cientes M y N son funcioneshomogéneas del mismo grado. Es decir
M (tx, ty) = tαM (x, y) y N (tx, ty) = tαN (x, y) .
Si M y N son homogéneas de grado α, se pueden escribir
M (x, y) = xαM (1, u) y N (x, y) = xαN (1, u) , donde u =yx
,
M (x, y) = yαM (v, 1) y N (x, y) = yαN (v, 1) , donde v =xy
.
Cualquiera de las dos sustituciones reducirá la ED homogénea a una EDseparable.
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Ecuaciones homogéneasEcuación de BernoulliReducción para separación de variables
Ecuaciones homogéneasSi una función f posee la propiedad f (tx, ty) = tαf (x, y) para algún α 2 R,entonces se dice que f es una función homogénea de grado α. Por ejemplo,f (x, y) = x2 + y2 + xy; f (x, y) = x3 + x2y+ xy2 + y3.Una ED escrita en la forma diferencial
M (x, y) dx+N (x, y) dy = 0,
se dice que es homogénea si ambos coe�cientes M y N son funcioneshomogéneas del mismo grado. Es decir
M (tx, ty) = tαM (x, y) y N (tx, ty) = tαN (x, y) .
Si M y N son homogéneas de grado α, se pueden escribir
M (x, y) = xαM (1, u) y N (x, y) = xαN (1, u) , donde u =yx
,
M (x, y) = yαM (v, 1) y N (x, y) = yαN (v, 1) , donde v =xy
.
Cualquiera de las dos sustituciones reducirá la ED homogénea a una EDseparable.
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Campos de pendientes
Ecuaciones homogéneasEcuación de BernoulliReducción para separación de variables
Ecuación homogéneaObserve que la ED
M (x, y) dx+N (x, y) dy = 0,
se puede escribir como
xαM (1, u) dx+ xαN (1, u) dy = 0 o M (1, u) dx+N (1, u) dy = 0,
donde u = y/x o y = ux.
Al sustituir el diferencial dy = udx+ xdu, se obtiene
M (1, u) dx+N (1, u) [udx+ xdu] = 0
pero acomodando términos se tiene
[M (1, u) + u �N (1, u)] dx+ x �N (1, u) du = 0
pero esta ecuación es equivalente a
dxx+
N (1, u) duM (1, u) + u �N (1, u)
= 0.
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Ecuaciones diferenciales de primer ordenSoluciones por sustitución
Campos de pendientes
Ecuaciones homogéneasEcuación de BernoulliReducción para separación de variables
Ecuación homogéneaObserve que la ED
M (x, y) dx+N (x, y) dy = 0,
se puede escribir como
xαM (1, u) dx+ xαN (1, u) dy = 0 o M (1, u) dx+N (1, u) dy = 0,
donde u = y/x o y = ux. Al sustituir el diferencial dy = udx+ xdu, se obtiene
M (1, u) dx+N (1, u) [udx+ xdu] = 0
pero acomodando términos se tiene
[M (1, u) + u �N (1, u)] dx+ x �N (1, u) du = 0
pero esta ecuación es equivalente a
dxx+
N (1, u) duM (1, u) + u �N (1, u)
= 0.
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Campos de pendientes
Ecuaciones homogéneasEcuación de BernoulliReducción para separación de variables
Ecuación homogéneaObserve que la ED
M (x, y) dx+N (x, y) dy = 0,
se puede escribir como
xαM (1, u) dx+ xαN (1, u) dy = 0 o M (1, u) dx+N (1, u) dy = 0,
donde u = y/x o y = ux. Al sustituir el diferencial dy = udx+ xdu, se obtiene
M (1, u) dx+N (1, u) [udx+ xdu] = 0
pero acomodando términos se tiene
[M (1, u) + u �N (1, u)] dx+ x �N (1, u) du = 0
pero esta ecuación es equivalente a
dxx+
N (1, u) duM (1, u) + u �N (1, u)
= 0.
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Campos de pendientes
Ecuaciones homogéneasEcuación de BernoulliReducción para separación de variables
Ecuación homogéneaObserve que la ED
M (x, y) dx+N (x, y) dy = 0,
se puede escribir como
xαM (1, u) dx+ xαN (1, u) dy = 0 o M (1, u) dx+N (1, u) dy = 0,
donde u = y/x o y = ux. Al sustituir el diferencial dy = udx+ xdu, se obtiene
M (1, u) dx+N (1, u) [udx+ xdu] = 0
pero acomodando términos se tiene
[M (1, u) + u �N (1, u)] dx+ x �N (1, u) du = 0
pero esta ecuación es equivalente a
dxx+
N (1, u) duM (1, u) + u �N (1, u)
= 0.
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Ecuaciones diferenciales de primer ordenSoluciones por sustitución
Campos de pendientes
Ecuaciones homogéneasEcuación de BernoulliReducción para separación de variables
Ecuación de BernoulliLa ecuación diferencial de la forma
dydx+ P (x) � y = f (x) � yn,
donde n es cualquier número real (n 6= 0 y n 6= 1), se llama ecuación deBernoulli.
La sustitución u = y1�n reduce cualquier ecuación de esta forma auna ecuación lineal.En efecto, si u = y1�n, entonces
dudx= (1� n) y�n dy
dx() dy
dx=
yn
(1� n)dudx
,
sustituyendo esto en la ecuación inicial se obtiene
yn
(1� n)dudx+ P (x) � y = f (x) � yn () du
dx+ P (x) � (1� n)
y1�n = (1� n) � f (x) ,
pero esta ecuación es equivalente a la ecuación lineal
dudx+Q (x) � u = g (x) ,
donde Q (x) = (1� n)P (x) y g (x) = (1� n) f (x) .
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Ecuaciones diferenciales de primer ordenSoluciones por sustitución
Campos de pendientes
Ecuaciones homogéneasEcuación de BernoulliReducción para separación de variables
Ecuación de BernoulliLa ecuación diferencial de la forma
dydx+ P (x) � y = f (x) � yn,
donde n es cualquier número real (n 6= 0 y n 6= 1), se llama ecuación deBernoulli. La sustitución u = y1�n reduce cualquier ecuación de esta forma auna ecuación lineal.
En efecto, si u = y1�n, entonces
dudx= (1� n) y�n dy
dx() dy
dx=
yn
(1� n)dudx
,
sustituyendo esto en la ecuación inicial se obtiene
yn
(1� n)dudx+ P (x) � y = f (x) � yn () du
dx+ P (x) � (1� n)
y1�n = (1� n) � f (x) ,
pero esta ecuación es equivalente a la ecuación lineal
dudx+Q (x) � u = g (x) ,
donde Q (x) = (1� n)P (x) y g (x) = (1� n) f (x) .
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Ecuaciones homogéneasEcuación de BernoulliReducción para separación de variables
Ecuación de BernoulliLa ecuación diferencial de la forma
dydx+ P (x) � y = f (x) � yn,
donde n es cualquier número real (n 6= 0 y n 6= 1), se llama ecuación deBernoulli. La sustitución u = y1�n reduce cualquier ecuación de esta forma auna ecuación lineal.En efecto, si u = y1�n, entonces
dudx= (1� n) y�n dy
dx() dy
dx=
yn
(1� n)dudx
,
sustituyendo esto en la ecuación inicial se obtiene
yn
(1� n)dudx+ P (x) � y = f (x) � yn () du
dx+ P (x) � (1� n)
y1�n = (1� n) � f (x) ,
pero esta ecuación es equivalente a la ecuación lineal
dudx+Q (x) � u = g (x) ,
donde Q (x) = (1� n)P (x) y g (x) = (1� n) f (x) .
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Ecuaciones homogéneasEcuación de BernoulliReducción para separación de variables
Ecuación de BernoulliLa ecuación diferencial de la forma
dydx+ P (x) � y = f (x) � yn,
donde n es cualquier número real (n 6= 0 y n 6= 1), se llama ecuación deBernoulli. La sustitución u = y1�n reduce cualquier ecuación de esta forma auna ecuación lineal.En efecto, si u = y1�n, entonces
dudx= (1� n) y�n dy
dx() dy
dx=
yn
(1� n)dudx
,
sustituyendo esto en la ecuación inicial se obtiene
yn
(1� n)dudx+ P (x) � y = f (x) � yn
() dudx+ P (x) � (1� n)
y1�n = (1� n) � f (x) ,
pero esta ecuación es equivalente a la ecuación lineal
dudx+Q (x) � u = g (x) ,
donde Q (x) = (1� n)P (x) y g (x) = (1� n) f (x) .
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Ecuación de BernoulliLa ecuación diferencial de la forma
dydx+ P (x) � y = f (x) � yn,
donde n es cualquier número real (n 6= 0 y n 6= 1), se llama ecuación deBernoulli. La sustitución u = y1�n reduce cualquier ecuación de esta forma auna ecuación lineal.En efecto, si u = y1�n, entonces
dudx= (1� n) y�n dy
dx() dy
dx=
yn
(1� n)dudx
,
sustituyendo esto en la ecuación inicial se obtiene
yn
(1� n)dudx+ P (x) � y = f (x) � yn () du
dx+ P (x) � (1� n)
y1�n = (1� n) � f (x) ,
pero esta ecuación es equivalente a la ecuación lineal
dudx+Q (x) � u = g (x) ,
donde Q (x) = (1� n)P (x) y g (x) = (1� n) f (x) .
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Campos de pendientes
Ecuaciones homogéneasEcuación de BernoulliReducción para separación de variables
Ecuación de BernoulliLa ecuación diferencial de la forma
dydx+ P (x) � y = f (x) � yn,
donde n es cualquier número real (n 6= 0 y n 6= 1), se llama ecuación deBernoulli. La sustitución u = y1�n reduce cualquier ecuación de esta forma auna ecuación lineal.En efecto, si u = y1�n, entonces
dudx= (1� n) y�n dy
dx() dy
dx=
yn
(1� n)dudx
,
sustituyendo esto en la ecuación inicial se obtiene
yn
(1� n)dudx+ P (x) � y = f (x) � yn () du
dx+ P (x) � (1� n)
y1�n = (1� n) � f (x) ,
pero esta ecuación es equivalente a la ecuación lineal
dudx+Q (x) � u = g (x) ,
donde Q (x) = (1� n)P (x) y g (x) = (1� n) f (x) .
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Ecuaciones diferenciales de primer ordenSoluciones por sustitución
Campos de pendientes
Ecuaciones homogéneasEcuación de BernoulliReducción para separación de variables
Ecuación de BernoulliLa ecuación diferencial de la forma
dydx+ P (x) � y = f (x) � yn,
donde n es cualquier número real (n 6= 0 y n 6= 1), se llama ecuación deBernoulli. La sustitución u = y1�n reduce cualquier ecuación de esta forma auna ecuación lineal.En efecto, si u = y1�n, entonces
dudx= (1� n) y�n dy
dx() dy
dx=
yn
(1� n)dudx
,
sustituyendo esto en la ecuación inicial se obtiene
yn
(1� n)dudx+ P (x) � y = f (x) � yn () du
dx+ P (x) � (1� n)
y1�n = (1� n) � f (x) ,
pero esta ecuación es equivalente a la ecuación lineal
dudx+Q (x) � u = g (x) ,
donde Q (x) = (1� n)P (x) y g (x) = (1� n) f (x) .Escuela de Matemáticas Ecuaciones Diferenciales
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Ecuaciones diferenciales de primer ordenSoluciones por sustitución
Campos de pendientes
Ecuaciones homogéneasEcuación de BernoulliReducción para separación de variables
Reducción para separación de variablesUna ecuación diferencial de la forma
dydx= f (Ax+ By+ C)
siempre se puede reducir a una ecuación con variables separables mediante lasustitución u = Ax+ By+ C, con B 6= 0.
En efecto. Observe que al realizar la sustitución entonces
dudx= A+ B
dydx() dy
dx=
1B
dudx� A
B,
implicando que la ecuación inicial se transforme en
1B
dudx� A
B= f (u) ,
la cual se puede escribir como la ecuación separable
duf (u) +A
= dx.
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Ecuaciones diferenciales de primer ordenSoluciones por sustitución
Campos de pendientes
Ecuaciones homogéneasEcuación de BernoulliReducción para separación de variables
Reducción para separación de variablesUna ecuación diferencial de la forma
dydx= f (Ax+ By+ C)
siempre se puede reducir a una ecuación con variables separables mediante lasustitución u = Ax+ By+ C, con B 6= 0.En efecto. Observe que al realizar la sustitución entonces
dudx= A+ B
dydx() dy
dx=
1B
dudx� A
B,
implicando que la ecuación inicial se transforme en
1B
dudx� A
B= f (u) ,
la cual se puede escribir como la ecuación separable
duf (u) +A
= dx.
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Ecuaciones diferenciales de primer ordenSoluciones por sustitución
Campos de pendientes
Ecuaciones homogéneasEcuación de BernoulliReducción para separación de variables
Reducción para separación de variablesUna ecuación diferencial de la forma
dydx= f (Ax+ By+ C)
siempre se puede reducir a una ecuación con variables separables mediante lasustitución u = Ax+ By+ C, con B 6= 0.En efecto. Observe que al realizar la sustitución entonces
dudx= A+ B
dydx() dy
dx=
1B
dudx� A
B,
implicando que la ecuación inicial se transforme en
1B
dudx� A
B= f (u) ,
la cual se puede escribir como la ecuación separable
duf (u) +A
= dx.
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Ecuaciones diferenciales de primer ordenSoluciones por sustitución
Campos de pendientes
Ecuaciones homogéneasEcuación de BernoulliReducción para separación de variables
Reducción para separación de variablesUna ecuación diferencial de la forma
dydx= f (Ax+ By+ C)
siempre se puede reducir a una ecuación con variables separables mediante lasustitución u = Ax+ By+ C, con B 6= 0.En efecto. Observe que al realizar la sustitución entonces
dudx= A+ B
dydx() dy
dx=
1B
dudx� A
B,
implicando que la ecuación inicial se transforme en
1B
dudx� A
B= f (u) ,
la cual se puede escribir como la ecuación separable
duf (u) +A
= dx.
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Ecuaciones diferenciales de primer ordenSoluciones por sustitución
Campos de pendientes
Ecuaciones homogéneasEcuación de BernoulliReducción para separación de variables
Ejercicios
�y2 + xy
�dx+ x2 dy = 0.
dydx=
x+ 3y3x+ y
.
2x2y dx =�3x3 + y3� dy.
xdydx+ y =
1y2 .
xdydx� (1+ x) y = xy2.
3�1+ x2� dy
dx= 2xy
�y3 � 1
�.
y1/2 dydx+ y3/2 = 1, y (0) = 4.
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Ecuaciones diferenciales de primer ordenSoluciones por sustitución
Campos de pendientes
Ecuaciones homogéneasEcuación de BernoulliReducción para separación de variables
Ejercicios
�y2 + xy
�dx+ x2 dy = 0.
dydx=
x+ 3y3x+ y
.
2x2y dx =�3x3 + y3� dy.
xdydx+ y =
1y2 .
xdydx� (1+ x) y = xy2.
3�1+ x2� dy
dx= 2xy
�y3 � 1
�.
y1/2 dydx+ y3/2 = 1, y (0) = 4.
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Campos de pendientes
Ecuaciones homogéneasEcuación de BernoulliReducción para separación de variables
Ejercicios
�y2 + xy
�dx+ x2 dy = 0.
dydx=
x+ 3y3x+ y
.
2x2y dx =�3x3 + y3� dy.
xdydx+ y =
1y2 .
xdydx� (1+ x) y = xy2.
3�1+ x2� dy
dx= 2xy
�y3 � 1
�.
y1/2 dydx+ y3/2 = 1, y (0) = 4.
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Ecuaciones diferenciales de primer ordenSoluciones por sustitución
Campos de pendientes
Ecuaciones homogéneasEcuación de BernoulliReducción para separación de variables
Ejercicios
�y2 + xy
�dx+ x2 dy = 0.
dydx=
x+ 3y3x+ y
.
2x2y dx =�3x3 + y3� dy.
xdydx+ y =
1y2 .
xdydx� (1+ x) y = xy2.
3�1+ x2� dy
dx= 2xy
�y3 � 1
�.
y1/2 dydx+ y3/2 = 1, y (0) = 4.
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Campos de pendientes
Ecuaciones homogéneasEcuación de BernoulliReducción para separación de variables
Ejercicios
�y2 + xy
�dx+ x2 dy = 0.
dydx=
x+ 3y3x+ y
.
2x2y dx =�3x3 + y3� dy.
xdydx+ y =
1y2 .
xdydx� (1+ x) y = xy2.
3�1+ x2� dy
dx= 2xy
�y3 � 1
�.
y1/2 dydx+ y3/2 = 1, y (0) = 4.
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Ecuaciones diferenciales de primer ordenSoluciones por sustitución
Campos de pendientes
Ecuaciones homogéneasEcuación de BernoulliReducción para separación de variables
Ejercicios
�y2 + xy
�dx+ x2 dy = 0.
dydx=
x+ 3y3x+ y
.
2x2y dx =�3x3 + y3� dy.
xdydx+ y =
1y2 .
xdydx� (1+ x) y = xy2.
3�1+ x2� dy
dx= 2xy
�y3 � 1
�.
y1/2 dydx+ y3/2 = 1, y (0) = 4.
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Ecuaciones diferenciales de primer ordenSoluciones por sustitución
Campos de pendientes
Ecuaciones homogéneasEcuación de BernoulliReducción para separación de variables
Ejercicios
�y2 + xy
�dx+ x2 dy = 0.
dydx=
x+ 3y3x+ y
.
2x2y dx =�3x3 + y3� dy.
xdydx+ y =
1y2 .
xdydx� (1+ x) y = xy2.
3�1+ x2� dy
dx= 2xy
�y3 � 1
�.
y1/2 dydx+ y3/2 = 1, y (0) = 4.
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Ecuaciones diferenciales de primer ordenSoluciones por sustitución
Campos de pendientes
Ecuaciones homogéneasEcuación de BernoulliReducción para separación de variables
Ejercicios
2dydx=
yx� x
y2 , y (1) = 1.
dydx=
1� x� yx+ y
(x+ y) dy� (1� x� y) dx = 0.dydx= 1+ ey�x+5.
dydx=
yx+ ey/x, y (1) = 1.
(1� sin x tan y) dx+ cos x sec2 y dy = 0.2xy dx+
�x2 + 1
�dy = 0, y (1) = 2.
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Ecuaciones diferenciales de primer ordenSoluciones por sustitución
Campos de pendientes
Ecuaciones homogéneasEcuación de BernoulliReducción para separación de variables
Ejercicios
2dydx=
yx� x
y2 , y (1) = 1.
dydx=
1� x� yx+ y
(x+ y) dy� (1� x� y) dx = 0.dydx= 1+ ey�x+5.
dydx=
yx+ ey/x, y (1) = 1.
(1� sin x tan y) dx+ cos x sec2 y dy = 0.2xy dx+
�x2 + 1
�dy = 0, y (1) = 2.
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Ecuaciones diferenciales de primer ordenSoluciones por sustitución
Campos de pendientes
Ecuaciones homogéneasEcuación de BernoulliReducción para separación de variables
Ejercicios
2dydx=
yx� x
y2 , y (1) = 1.
dydx=
1� x� yx+ y
(x+ y) dy� (1� x� y) dx = 0.
dydx= 1+ ey�x+5.
dydx=
yx+ ey/x, y (1) = 1.
(1� sin x tan y) dx+ cos x sec2 y dy = 0.2xy dx+
�x2 + 1
�dy = 0, y (1) = 2.
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![Page 68: Notas de clase: Ecuaciones Diferencialesmatematicas.uis.edu.co/~garenasd/doc/EDss2010II.pdfEcuaciones diferenciales de primer orden Soluciones por sustitución Campos de pendientes](https://reader035.fdocuments.es/reader035/viewer/2022062607/60282f3d5f78514c787d0313/html5/thumbnails/68.jpg)
Ecuaciones diferenciales de primer ordenSoluciones por sustitución
Campos de pendientes
Ecuaciones homogéneasEcuación de BernoulliReducción para separación de variables
Ejercicios
2dydx=
yx� x
y2 , y (1) = 1.
dydx=
1� x� yx+ y
(x+ y) dy� (1� x� y) dx = 0.dydx= 1+ ey�x+5.
dydx=
yx+ ey/x, y (1) = 1.
(1� sin x tan y) dx+ cos x sec2 y dy = 0.2xy dx+
�x2 + 1
�dy = 0, y (1) = 2.
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Ecuaciones diferenciales de primer ordenSoluciones por sustitución
Campos de pendientes
Ecuaciones homogéneasEcuación de BernoulliReducción para separación de variables
Ejercicios
2dydx=
yx� x
y2 , y (1) = 1.
dydx=
1� x� yx+ y
(x+ y) dy� (1� x� y) dx = 0.dydx= 1+ ey�x+5.
dydx=
yx+ ey/x, y (1) = 1.
(1� sin x tan y) dx+ cos x sec2 y dy = 0.2xy dx+
�x2 + 1
�dy = 0, y (1) = 2.
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Ecuaciones diferenciales de primer ordenSoluciones por sustitución
Campos de pendientes
Ecuaciones homogéneasEcuación de BernoulliReducción para separación de variables
Ejercicios
2dydx=
yx� x
y2 , y (1) = 1.
dydx=
1� x� yx+ y
(x+ y) dy� (1� x� y) dx = 0.dydx= 1+ ey�x+5.
dydx=
yx+ ey/x, y (1) = 1.
(1� sin x tan y) dx+ cos x sec2 y dy = 0.
2xy dx+�x2 + 1
�dy = 0, y (1) = 2.
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Ecuaciones diferenciales de primer ordenSoluciones por sustitución
Campos de pendientes
Ecuaciones homogéneasEcuación de BernoulliReducción para separación de variables
Ejercicios
2dydx=
yx� x
y2 , y (1) = 1.
dydx=
1� x� yx+ y
(x+ y) dy� (1� x� y) dx = 0.dydx= 1+ ey�x+5.
dydx=
yx+ ey/x, y (1) = 1.
(1� sin x tan y) dx+ cos x sec2 y dy = 0.2xy dx+
�x2 + 1
�dy = 0, y (1) = 2.
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Ecuaciones diferenciales de primer ordenSoluciones por sustitución
Campos de pendientesIsoclinas
Isoclinasy0 = x2 � y, Isoclinas son parábolas y = x2 �m
y0 = x2 � y, Exact solution is:�
C2e�x � 2x+ x2 + 2
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Ecuaciones diferenciales de primer ordenSoluciones por sustitución
Campos de pendientesIsoclinas
Campos de pendientesUse el campo de direcciones dado para trazar a mano una curva soluciónaproximada que cumpla la condición inicial dada.y0 = xy2, (a) y(0) = 0; (b) y(1) = 2; (c) y(�2) = �2.
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Ecuaciones diferenciales de primer ordenSoluciones por sustitución
Campos de pendientesIsoclinas
Sea y0 = sin x cos y, trace la curva solución aproximada para y (0) = �5/2.
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Ecuaciones diferenciales de primer ordenSoluciones por sustitución
Campos de pendientesIsoclinas
Use el campo de direcciones dado para trazar a mano una curva soluciónaproximada que cumpla la condición inicial dada.y0 = 1� xy2, (a) y(0) = 0; (b) y(1) = 2; (c) y(�2) = 1.
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