NUEVOS APUNTES DOCENTES

UNIDADES TECNOLGICAS DE SANTANDER

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BSICAS VERSIN 12 FECHA: 2015 Pgina 1

APUNTES DOCENTES

PROFESOR: GERMN ERNESTO RINCN REY

ASIGNATURA: ESTADSTICA



Introduccin

La estadstica es una herramienta de mxima utilidad para todos aquellos que tienen que tomar decisiones, en condiciones de riesgo, porque suministra un mtodo cientfico para recolectar y luego extraer informacin de los datos relacionados con una situacin o fenmeno que sea del inters de la persona o equipo de personas que buscan optimizar el uso de los recursos de las unidades econmicas o sociales que dirigen. Para facilitar y agilizar el proceso de enseanza-aprendizaje de la asignatura de Estadstica, es conveniente contar con un material de apoyo cercano al desarrollo del programa institucional de esta asignatura y ubicado en el contexto en el cual ejercern su actividad los egresados de los programas de tecnologa La finalidad de estos Apuntes de Estadstica es reducir la dependencia exagerada de los notas que toman los estudiantes en clase, suministrando un material de apoyo conceptual para la asignatura de Estadstica, que sea gil, intuitivo y veraz, que se convierta en una gua clara y amigable para adquirir las competencias de la asignatura. Estos apuntes, se desarrollan de manera paralela al programa de la asignatura, por lo que. lo mismo que sta, se compone de cinco unidades: las tres primeras se refieren a la estadstica descriptiva y la cuarta y quinta a Estadstica Inferencial.



TABLA DE CONTENIDO

1. ARREGLO Y PRESENTACIN DE DATOS ...................................................................................... 9

1.1 ASPECTOS GENERALES DE LA ESTADSTICA ........................................................................................................... 9 1.1.1 LOS FENMENOS ......................................................................................................................................... 9 1.1.2 POR QU NOS INTERESAN LOS FENMENOS ................................................................................................ 9 1.1.3 DEFINICIN DE ESTADSTICA ...................................................................................................................... 10 1.1.4 IMPORTANCIA DE LA ESTADSTICA ............................................................................................................. 10 1.1.5 DIVISIN DE LA ESTADSTICA ...................................................................................................................... 10 1.1.6 ESTADSTICA DESCRIPTIVA .......................................................................................................................... 10 1.1.7 INFERENCIA ESTADSTICA ........................................................................................................................... 11 1.1.8 FASES DE UNA INVESTIGACIN ESTADSTICA .............................................................................................. 11

1.2 CONCEPTOS BSICOS.......................................................................................................................................... 13 1.2.1 DATO .......................................................................................................................................................... 13 1.2.2 ELEMENTO ................................................................................................................................................. 13 1.2.3 EJEMPLOS DE ELEMENTOS ......................................................................................................................... 14 1.2.4 POBLACIN ................................................................................................................................................ 14 1.2.5 COMO SE DEFINE UNA POBLACIN ............................................................................................................ 14 1.2.6 TAMAO DE UNA POBLACIN.................................................................................................................... 14 1.2.7 CLASES DE POBLACIONES ........................................................................................................................... 15

1.2.7.1 Poblaciones Finitas ........................................................................................................................... 15 1.2.7.2 Poblaciones infinitas ......................................................................................................................... 15

1.2.8 CARACTERSTICAS OBSERVABLES EN UNA POBLACIN ............................................................................... 15 1.2.8.1 CARACTERSTICAS CONSTANTES ........................................................................................................ 16 1.2.8.2 CARACTERSTICAS VARIABLES ........................................................................................................... 16

1.2.8.2.1 Variables cualitativas o categricas: .............................................................................................. 16 1.2.8.2.2 Variables cuantitativas:................................................................................................................. 17 1.2.8.2.3 Variables cuantitativas categricas: .............................................................................................. 17

1.2.9 CENSO ........................................................................................................................................................ 17 1.2.10 MUESTRA .............................................................................................................................................. 17 1.2.11 TAMAO DE LA MUESTRA ..................................................................................................................... 17 1.2.12 PARMETRO .......................................................................................................................................... 17 1.2.13 ESTADSTICO .......................................................................................................................................... 18 1.2.14 TIPOS DE ESTUDIOS ESTADSTICOS......................................................................................................... 18 1.2.15 UNIDAD DE OBSERVACIN O DE INVESTIGACIN .................................................................................. 18 1.2.16 ESTADSTICAS ........................................................................................................................................ 18 1.2.17 EJERCICIOS RESUELTOS: ......................................................................................................................... 18

1.3 ARREGLO DE DATOS DE VARIABLE CONTINUA .................................................................................................... 21 1.3.1 INTRODUCCIN.......................................................................................................................................... 21 1.3.2 CONCEPTO DE CLASE O CATEGORA ........................................................................................................... 21 1.3.3 CLASE ESTADSTICA O CATEGORA ESTADSTICA .......................................................................................... 21 1.3.4 AMPLITUD DE CLASE O INTERVALO DE CLASE ............................................................................................. 21 1.3.5 CARACTERSTICAS DE LOS CONJUNTOS DE CLASES ESTADSTICAS ............................................................... 21 1.3.6 NMERO DE CLASES .................................................................................................................................. 22 1.3.7 EJEMPLO PRCTICO ................................................................................................................................... 23 1.3.8 MTODO ESTADSTICO ............................................................................................................................... 23 1.3.9 PROCEDIMIENTO PARA CONSTRUIR UN CONJUNTO DE CLASES ESTADSTICO PARA VARIABLE CONTINUA .. 23 1.3.10 DESARROLLO DEL EJEMPLO ................................................................................................................... 24



1.3.11 CONSTRUCCIN DE LA DISTRIBUCIN DE FRECUENCIAS ........................................................................ 25 1.3.12 LOS TIPOS DE FRECUENCIAS ................................................................................................................. 26 1.3.13 LECTURA DE LA DISTRIBUCIN DE FRECUENCIAS ................................................................................... 26 1.3.14 LA TABLA MENOR QUE .......................................................................................................................... 26 1.3.15 REPRESENTACIN GRFICA DE LA SITUACIN EN ESTUDIO ................................................................... 26 1.3.16 EL HISTOGRAMA .................................................................................................................................... 27 1.3.17 EL POLGONO DE FRECUENCIAS ............................................................................................................. 27 1.3.18 MARCA DE CLASE .................................................................................................................................. 27 1.3.19 COMO INTERPRETAR UN HISTOGRAMA O UN POLGONO DE FRECUENCIAS .......................................... 29 1.3.20 LA OJIVA ................................................................................................................................................ 29 1.3.21 LA INTERPOLACIN ............................................................................................................................... 29

1.4 ARREGLO DE DATOS DE VARIABLE DISCRETA ...................................................................................................... 31 1.4.1 PROCEDIMIENTO PARA COSNTRUIR UN CONJUNTO DE CLASES ESTADSTICO PARA VARIABLE DISCRETA .... 31 1.4.2 EJEMPLO PRCTICO ................................................................................................................................... 31 1.4.3 DESARROLLO DEL EJEMPLO ........................................................................................................................ 31 1.4.4 CONSTRUCCIN DE LA DISTRIBUCIN DE FRECUENCIAS ............................................................................ 32 1.4.5 REPRESENTACIN GRFICA ........................................................................................................................ 33

1.4.5.1 HISTOGRAMA ................................................................................................................................... 33 1.4.5.2 POLGONO DE FRECUENCIAS ............................................................................................................ 34 1.4.5.3 OJIVA ................................................................................................................................................ 35

1.5 ARREGLO DE DATOS PARA VARIABLE DISCRETA EN CLASES DE AMPLITUD CERO ............................................... 36

1.6 ARREGLO DE DATOS CUALITATIVOS .................................................................................................................... 37

1.7 EJERCICIOS RESUELTOS ....................................................................................................................................... 39

2 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL, DE POSICIN Y DE DISPERSIN ........................... 41

2.1 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL .................................................................................................................... 41 2.1.1 FORMAS ESTADSTICAS DE DESCRIBIR UN FENMENO ............................................................................... 41 2.1.2 CONCEPTO DE MEDIDA EN ESTADSTICA .................................................................................................... 41 2.1.3 PARMETROS Y ESTADSTICOS ................................................................................................................... 42 2.1.4 CLASES DE MEDIDAS EN ESTADSTICA ......................................................................................................... 42 2.1.5 LAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL ...................................................................................................... 42 2.1.6 LAS MEDIDAS DE TENDENCIA NO CENTRAL O DE POSICIN ....................................................................... 42 2.1.7 LAS MEDIDAS DE DISPERSIN .................................................................................................................... 42 2.1.8 MEDIDAS PARA POBLACIONES Y MEDIDAS PARA MUESTRAS ...................................................................... 42 2.1.9 CLASES DE MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL ........................................................................................... 43 2.1.10 LA MEDIA ARITMTICA .......................................................................................................................... 43

2.1.10.1 MEDIA ARITMTICA PARA DATOS NO AGRUPADOS ........................................................................... 43 2.1.10.2 MEDIA ARITMTICA PARA DATOS AGRUPADOS ................................................................................. 44

2.1.11 SIGNIFICADO DE LA MEDIA ARITMTICA ............................................................................................... 45 2.1.12 MEDIA ARITMTICA PONDERADA .......................................................................................................... 45 2.1.13 PROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMTICA .............................................................................................. 46 2.1.14 LA MEDIA GEOMTRICA ........................................................................................................................ 46 2.1.15 CLCULO DE LA MEDIA GEOMTRICA .................................................................................................... 46 2.1.16 PROPIEDADES DE LA MEDIA GEOMTRICA ............................................................................................ 48 2.1.17 USOS DE LA MEDIA GEOMTRICA .......................................................................................................... 48 2.1.18 LA MEDIANA .......................................................................................................................................... 49 2.1.19 INTERPRETACIN DE LA MEDIANA......................................................................................................... 49



2.1.20 SMBOLO DE LA MEDIANA ..................................................................................................................... 49 2.1.21 CLCULO DE LA MEDIANA PARA DATOS NO AGRUPADOS ...................................................................... 49

2.1.21.1 Nmero impar de datos .................................................................................................................... 49 2.1.21.2 Nmero par de datos ........................................................................................................................ 50

2.1.22 CLCULO MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS ...................................................................................... 51 2.1.22.1 Primer Caso ...................................................................................................................................... 51 2.1.22.2 Segundo caso .................................................................................................................................... 51

2.1.23 MEDIDAS DE TENDENCIA NO CENTRAL O DE POSICIN ......................................................................... 52 2.1.23.1 LOS CUARTILES .................................................................................................................................. 52

2.1.23.1.1 CUARTILES PARA DATOS NO AGRUPADOS.................................................................................... 53 2.1.23.1.2 CUARTILES PARA DATOS AGRUPADOS ......................................................................................... 53

2.1.23.2 LOS PERCENTILES .............................................................................................................................. 54 2.1.23.2.1 PERCENTILES PARA DATOS NO AGRUPADOS ................................................................................ 54 2.1.23.2.2 PERCENTILES PARA DATOS AGRUPADOS ...................................................................................... 55

2.1.24 PROPIEDADES DE LA MEDIANA, CUARTILES Y PERCENTILES ................................................................... 56 2.1.25 LA MODA .............................................................................................................................................. 56 2.1.26 SMBOLO DE LA MODA .......................................................................................................................... 56 2.1.27 MODA PARA DATOS NO AGRUPADOS..................................................................................................... 56 2.1.28 MODA PARA DATOS AGRUPADOS .......................................................................................................... 57

2.1.28.1 Datos de variable discreta agrupados en clases de amplitud igual a cero .......................................... 57 2.1.28.2 Datos de variable cualitativa ............................................................................................................. 58 2.1.28.3 Datos de variable discreta o continua agrupados en clases de amplitud mayor que cero .................. 58

2.1.29 PROPIEDADES DE LA MODA ................................................................................................................... 59

2.2 CASOS ESPECIALES DE LA MEDIANA ................................................................................................................... 60 2.2.1 PRIMER CASO ............................................................................................................................................. 60 2.2.2 SEGUNDO CASO ......................................................................................................................................... 60

2.3 EJEMPLOS RESUELTOS......................................................................................................................................... 62

2.4 MEDIDAS DE DISPERSIN ................................................................................................................................... 66 2.4.1 POR QU SE REQUIERE MEDIR LA DISPERSIN ........................................................................................... 66 2.4.2 CONCEPTO DE DISPERSIN ........................................................................................................................ 67 2.4.3 LA VARIABILIDAD ........................................................................................................................................ 68 2.4.4 LA DISPERSIN ........................................................................................................................................... 68 2.4.5 IMPORTANCIA DE LA DISPERSIN............................................................................................................... 69 2.4.6 LAS MEDIDAS DE DISPERSIN .................................................................................................................... 69 2.4.7 CLASES DE MEDIDAS DE DISPERSIN.......................................................................................................... 69 2.4.8 EL RANGO .................................................................................................................................................. 69 2.4.9 CARACTERSTICAS DEL RANGO ................................................................................................................... 70 2.4.10 EL RANGO INTERCUARTLICO ................................................................................................................. 70 2.4.11 LA DESVIACIN MEDIA .......................................................................................................................... 71 2.4.12 LA VARIANZA ......................................................................................................................................... 73

2.4.12.1 VARIANZA POBLACIONAL .................................................................................................................. 73 2.4.12.2 VARIANZA MUESTRAL ....................................................................................................................... 74

2.4.13 LA DESVIACIN ESTNDAR .................................................................................................................... 75 2.4.13.1 DESVIACIN ESTNDAR PARA POBLACIONES .................................................................................... 75 2.4.13.2 DESVIACIN ESTNDAR PARA MUESTRAS ......................................................................................... 76

2.4.14 EL COEFICIENTE DE VARIACIN .............................................................................................................. 76

3 REGRESIN Y CORRELACIN....................................................................................................... 79



3.1 REGRESIN ......................................................................................................................................................... 79 3.1.1 INTRODUCCIN.......................................................................................................................................... 79 3.1.2 CONCEPTO DE REGRESIN ......................................................................................................................... 79 3.1.3 IMPORTANCIA DE LA REGRESIN ............................................................................................................... 79 3.1.4 VARIABLES DEPENDIENTES E INDEPENDIENTES .......................................................................................... 79 3.1.5 GRFICO DE DISPERSIN ............................................................................................................................ 80 3.1.6 TIPOS DE RELACIN ENTRE DOS O MS VARIABLES.................................................................................... 80 3.1.7 TIPOS DE REGRESIN ................................................................................................................................. 81 3.1.8 LA REGRESIN LINEAL ................................................................................................................................ 86

3.2 LA CORRELACIN ................................................................................................................................................ 89 3.2.1 EL COEFICIENTE DE CORRELACIN ............................................................................................................. 89 3.2.2 EL COEFICIENTE DE DETERMINACIN ......................................................................................................... 90

4 INTRODUCCIN AL CLCULO DE PROBABILIDADES............................................................ 93

4.1 PRINCIPIOS DE PROBABILIDAD ........................................................................................................................... 93

4.2 ASIGNACIN DE PROBABILIDADES ..................................................................................................................... 94

4.3 EL DIAGRAMA DE RBOL .................................................................................................................................... 95

4.4 TCNICAS DE CONTEO ......................................................................................................................................... 96

4.5 OPERACIONES CON PROBABILDADES ................................................................................................................. 97

4.6 TEOREMA DE BAYES ........................................................................................................................................... 98

5 BIBLIOGRAFA ............................................................................................................................... 100



1. ARREGLO Y PRESENTACIN DE DATOS

1.1 ASPECTOS GENERALES DE LA ESTADSTICA

1.1.1 LOS FENMENOS

Una de las aplicaciones de la estadstica es describir el comportamiento de los fenmenos en los que se interesan los seres humanos, por lo que es importante precisar que se entiende, en esta ciencia, por fenmenos. Un fenmeno es cualquier manifestacin de las actividades humanas o de la naturaleza que puede ser percibido por los sentidos o la razn. Algunos ejemplos de fenmenos son los siguientes: El crecimiento de una planta El comportamiento del clima Las ventas por periodo de una empresa Las personas, por da, que son afectadas por una enfermedad Los accidentes de trnsito en diferentes lugares de una ciudad La variacin mensual del costo de vida Palabras sinnimas de fenmeno son: suceso, hecho o acontecimiento

1.1.2 POR QU NOS INTERESAN LOS FENMENOS

Por muchos motivos los seres humanos desean poseer informacin sobre el comportamiento de diversos fenmenos y para ello realizan registros sobre el estado de estos fenmenos en diferentes momentos o espacios. Siempre que sea viable extraer datos de un fenmeno, es posible, utilizando algn proceso, convertir estos datos en informacin y es esta informacin la que nos permite tomar decisiones eficientes, es decir, elegir la alternativa ms favorable dentro de una amplia gama de posibilidades.



Estos registros o mediciones generan diversos volmenes de datos y para que estos datos se conviertan en informacin se deben procesar de diferentes maneras. Una de las formas como se pueden tratar los datos para extraer la informacin que ellos contienen es utilizando las tcnicas estadsticas

1.1.3 DEFINICIN DE ESTADSTICA

Es una ciencia que estudia cmo debe emplearse informacin para facilitar la toma de decisiones en situaciones prcticas que se manifiestan bajo incertidumbre

1.1.4 IMPORTANCIA DE LA ESTADSTICA

La actividad ms importante para las personas que trabajan en las organizaciones empresariales es la toma de decisiones. Dado el enorme aumento de la disponibilidad de datos (gracias a los sistemas de informacin), y dada la complejidad creciente de las operaciones empresariales, los procesos de decisin se ven sometidos a presiones extraordinarias. Una de las tcnicas ms valiosa que ayudan en los procesos de toma de decisiones es la Estadstica. Por lo que es indispensable que los hombres y mujeres que dirigen organizaciones o que de alguna manera participan en la toma de decisiones estn familiarizados con las tcnicas estadsticas para poder determinar cundo se puede examinar un problema existente mediante la aplicacin del anlisis estadstico.

1.1.5 DIVISIN DE LA ESTADSTICA

La Estadstica se divide en dos grandes ramas: La Estadstica Descriptiva La Inferencia Estadstica

1.1.6 ESTADSTICA DESCRIPTIVA

Son los conocimientos y mtodos que tratan de la recoleccin, organizacin y presentacin numrica y grfica de los datos. Los anlisis que se hacen con las herramientas de la estadstica descriptiva se limitan, nicamente, al



conjunto de datos que se recolectaron.

1.1.7 INFERENCIA ESTADSTICA

Son los conocimientos y mtodos que permiten: Sacar conclusiones sobre el comportamiento total de un fenmeno basndose nicamente en la

informacin recolectada sobre una parte de ese mismo fenmeno. Estas conclusiones se obtienen bajo incertidumbre.

Estimar el comportamiento futuro de un fenmeno

1.1.8 FASES DE UNA INVESTIGACIN ESTADSTICA

Las fases o pasos que se deben incluir en un estudio estadstico son muy variadas y dependen de diferentes circunstancias, tales como, los objetivos que se pretenden alcanzar o el contexto en que se realiza la investigacin. Aqu se presenta una de estas posibilidades: 1. Planeamiento

Fin de la investigacin Definir la poblacin Unidad de investigacin Naturaleza o clase de los datos Fuentes de la informacin Procedimiento para recolectar los datos Diseo de instrumentos Presupuesto

2. Recoleccin de los datos 3. Crtica y codificacin 4. Tabulacin, grficas y medidas 5. Anlisis e interpretacin La fase de planeamiento es la ms importante de todo el proceso; de la correcta elaboracin y desarrollo, de las etapas que componen esta fase, depende la calidad de los resultados que se obtengan. El fin de la investigacin se refiere al resultado concreto que se va a obtener del estudio estadstico. Usualmente se formula en forma de una pregunta que se llama Pregunta de Investigacin. Los conceptos de: Poblacin y Unidad de Investigacin se tratarn en el siguiente mdulo. Todos los datos, que se recolectan sobre un fenmeno, se pueden clasificar bsicamente en dos categoras: datos de naturaleza cualitativa y datos de naturaleza cuantitativa. Los datos de naturaleza cualitativa o datos cualitativos, son los que se registran en forma de palabras, tales como, el estado civil de las personas, las profesiones u oficios de las personas o el nivel educativo. Las fuentes de informacin de donde se pueden obtener los datos son de dos clases: Fuentes de informacin primarias Fuentes de informacin secundarias Las fuentes de informacin son primarias cuando los datos, que se procesan, los han obtenido, directamente, los realizadores del estudio. Las fuentes de informacin son secundarias cuando los datos, que se procesan, se han obtenido a travs de



otras de otras personas o entidades, como por ejemplo, El Banco de la Repblica, El DANE, las cmaras de comercio o cualquier otro estudio ya realizado. El procedimiento para recolectar los datos se refiere a las actividades que se van a ejecutar para recolectar estos datos. Estas actividades pueden ser: La observacin directa Las encuestas que pueden ser personales o virtuales

Las entrevistas individuales o grupales La experimentacin El diseo de instrumentos se refiere al diseo de los soportes donde se van a registrar los datos, como por ejemplo, el diseo de los formatos para registrar las observaciones, el diseo de las encuestas o la lista de temas que se van a tratar en una entrevista y la forma como se van a registrar las respuestas u opiniones del entrevistado. El presupuesto se refiere a la estimacin o clculo del costo, de las diferentes etapas del estudio. La recoleccin de los datos o trabajo de campo, es la etapa donde se aplican las encuestas, se registran las observaciones o se realizan las entrevistas. La crtica se refiere a la apreciacin de la veracidad, autenticidad y pertinencia de los datos recolectados. La tabulacin, grficas y medidas se refiere a los procesos, a travs de los cuales, los datos se convierten en tablas, cuadros resmenes, grficas representativas o nmeros que permitan describir y comprender el fenmeno que se est estudiando. Anlisis e interpretacin es la etapa donde se concreta el fin de la investigacin, ya sea, respondiendo a la pregunta de investigacin, describiendo el fenmeno en estudio o sacando algn tipo de conclusiones sobre l. Estos anlisis pueden tener 2 tipos de alcance: Anlisis e interpretacin descriptivos: cuando los anlisis e interpretaciones se circunscriben nicamente

a los datos recolectados. Anlisis e interpretacin inferencial: cuando los anlisis e interpretaciones se extienden a todos los

elementos de la poblacin o cuando se hacen estimaciones sobre el comportamiento futuro del fenmeno en estudio.



1.2 CONCEPTOS BSICOS Para iniciar el estudio de la estadstica, se requiere precisar el significado, que tienen en esta ciencia, ideas, palabras y conceptos que en otros campos o en nuestras actividades cotidianas, tienen sentidos que van desde ligeramente diferentes a diametralmente opuestos.

1.2.1 DATO

En trminos generales un dato es un registro o anotacin que se hace del estado de un fenmeno en un momento determinado

1.2.2 ELEMENTO

En general, un elemento es una parte indivisible de un todo o un componente indivisible o bsico de un cuerpo. Pero, en estadstica se llama elemento a las entidades que tienen una o varias caractersticas cuyo estado nos interesa registrar. El registro del estado de estas caractersticas es lo que constituye los datos. Estos elementos pueden ser individuos, objetos o sucesos. Los individuos pueden ser personas o seres vivos animales o vegetales. Los sucesos pueden ser, por ejemplo, los accidentes de trnsito, los encuentros deportivos, los recorridos que realiza un vehculo o los das del ao



1.2.3 EJEMPLOS DE ELEMENTOS

En una investigacin sobre el comportamiento de los salarios de trabajadores los elementos son los trabajadores (personas), y la caracterstica que se observa a cada elemento es el valor de su salario.

En una investigacin sobre comportamiento de las ventas de una comercializadora los elementos podran ser las facturas (un objeto), y la caracterstica observada es el valor de cada factura.

Tambin, En una investigacin sobre comportamiento de las ventas de una comercializadora los

elementos podran ser los meses (un suceso), y la caracterstica observada el valor de las ventas de cada mes

En una investigacin sobre los accidentes de trnsito los elementos son los accidentes (un suceso), y la

caracterstica observada podra ser el nmero de personas lesionadas por accidente observado Los fenmenos se producen cuando el estado de las caractersticas observadas vara, usualmente, de un elemento a otro

1.2.4 POBLACIN

En estadstica el concepto de Poblacin es mucho ms amplio que el que se utiliza en el lenguaje corriente. En esta ciencia, cuando se habla de Poblacin nos referimos a:

Todos los elementos que presentan una caracterstica comn

Es el conjunto de todos los elementos que hacen parte de una situacin que se est estudiando y sobre la cual se intenta sacar conclusiones

Las poblaciones se deben definir con toda claridad de tal manera que no exista confusin sobre si un determinado elemento pertenece o no a la poblacin

1.2.5 COMO SE DEFINE UNA POBLACIN

Las poblaciones se deben definir con toda claridad de tal manera que no exista confusin sobre si un determinado elemento pertenece o no a la poblacin. Para facilitar esta definicin, en muchos casos, las palabras que la componen se pueden ordenar de acuerdo a la siguiente sintaxis: TODOS(AS) + DESCRIPCIN DEL ELEMENTO + CONDICIN RESTRICTIVA Significa que una definicin de poblacin debe empezar por la palabra Todos o Todas seguida de una descripcin del elemento que se est observando mas una restriccin al alcance de la palabra Todos(as) EJEMPLO En un estudio del nivel salarial de los operarios del sector de confecciones de la ciudad, una definicin de poblacin podra ser la siguiente: Todos los operarios del sector de confecciones de la ciudad

1.2.6 TAMAO DE UNA POBLACIN

Es el nmero total de elementos que componen una poblacin. El tamao de una poblacin se suele representar por la letra N



EJEMPLO: Para indicar que una poblacin tiene 670 elementos se indica as: N = 670

1.2.7 CLASES DE POBLACIONES

Las poblaciones se dividen en dos clases:

Poblaciones finitas Poblaciones infinitas

1.2.7.1 Poblaciones Finitas Son las poblaciones a las cuales se les pueden determinar fcilmente el nmero de elementos que las componen, es decir, su tamao EJEMPLO: Situacin o fenmeno: La edad de los estudiantes de las UTS Poblacin: Todos los estudiantes de las UTS Tipo de poblacin: Finita, porque fcilmente se pueden contabilizar sus elementos acudiendo a la oficina de la institucin que registra estos datos

1.2.7.2 Poblaciones infinitas Son las poblaciones que fsicamente es imposible numerarlas o determinar su tamao Son las poblaciones que aunque se puede determinar su tamao, no es conveniente hacerlo por razones

econmicas o de tiempo EJEMPLO: Situacin: Accidentes por da en un cruce de calles de la ciudad Poblacin: Todas los das mientras exista este cruce Tipo de poblacin: Infinita. Es imposible determinar cuntos elementos tiene esta poblacin EJEMPLO: Situacin: Nmero promedio de hijos por pareja de un barrio de la ciudad Poblacin: todas las parejas que habitan en el barrio Tipo de poblacin: Infinita. Es muy costoso o demanda mucho tiempo determinar su tamao

1.2.8 CARACTERSTICAS OBSERVABLES EN UNA POBLACIN



A los elementos de una poblacin se les observan sus caractersticas o la intensidad con que se presenta una magnitud. De acuerdo con su comportamiento las caractersticas que se observan en los elementos de una poblacin se pueden clasificar en constantes o variables

1.2.8.1 CARACTERSTICAS CONSTANTES Una caracterstica es constante cuando el valor que presenta esta caracterstica no vara de un elemento a otro o vara muy poco; por ejemplo, la estatura de una persona adulta observada en los ltimos 20 meses o la profesin de un graduado universitario.

1.2.8.2 CARACTERSTICAS VARIABLES Es una caracterstica que cambia frecuentemente de valor cuando se observa en algunos o en todos los

elementos de la poblacin. Es un smbolo que puede tomar diversos valores dentro de un conjunto determinado de valores que

reciben el nombre de dominio de la variable.(Significado matemtico) La estadstica solamente estudia las caractersticas variables Estas caractersticas variables, comnmente denominadas variables, pueden ser de dos clases: Variables cualitativas o categricas Variables cuantitativas

1.2.8.2.1 Variables cualitativas o categricas: Son las que describen el estado de la caracterstica nicamente mediante palabras. Se refieren a atributos, cualidades, actitudes o preferencias de los elementos que se estn estudiando EJEMPLOS: Las profesiones u ocupaciones de un grupo de personas: Abogado, maestro, panadero, ingeniero, etc. El estado civil de un grupo de personas: Soltero, casado, unin libre, etc. El sabor de las naranjas de una cosecha: dulce, inspido, cido El color favorito de un grupo de individuos: Blanco, rojo, verde, etc. Pasatiempos de un grupo de estudiantes: Deportes, lectura, reuniones sociales, labores manuales, etc. La calidad de un producto: Bueno, regular o defectuoso Como se puede observar, en los ejemplos, cada una de estas variables se expresa a travs de dos o ms modalidades o categoras: soltero, casado, unin libre; bueno, regular, defectuoso. Los datos que se registran cuando las variables son cualitativas o categricas corresponden a la cantidad o proporcin de elementos que caen dentro de cada categora que toma la variable, por ejemplo: el nmero de abogados o de maestros, el nmero de individuos que prefieren el color blanco, la proporcin de productos defectuosos. Las variables categricas se pueden a su vez subdividir en variables nominales y variables ordinales.

1.2.8.2.1.1 Variables Nominales: Son las que no tienen una forma particular de organizar sus categoras. Por ejemplo, no existe una forma comn de ordenar los colores o el estado civil de las personas.

1.2.8.2.1.2 Variables ordinales: Cuando existe una forma comn de organizar las categoras que toma la variable. Por ejemplo: las modalidades como se puede expresar la calidad de un producto se pueden ordenar como bueno, regular, defectuoso o al contrario, en defectuoso, regular, bueno. Las categoras con las que se califica el servicio que presta una EPS se pueden ordenar como psimo, malo, regular, bueno o excelente.



1.2.8.2.2 Variables cuantitativas: Son las que se describen por medio de nmeros, por ejemplo, la edad de los empleados de una empresa, las personas que visitan por da un museo, los saldos de las cuentas por cobrar de una empresa, el peso de los paquetes que moviliza una empresa transportadora, el nmero de vehculos que vende un concesionario, etc. Las variables cuantitativas se pueden clasificar, tambin, en discretas o continuas:

1.2.8.2.2.1 Variables cuantitativas discretas: Son las que nicamente pueden tomar valores enteros tales como el nmero de vehculos que vende un concesionario o el nmero de personas que asisten a una sala de cine

1.2.8.2.2.2 Variables cuantitativas continuas: Son las que se refieren a mediciones de magnitudes fsicas o a caractersticas apreciables en unidades monetarias y admiten valores fraccionarios o decimales tales como el peso de los paquetes que moviliza una transportadora, los saldos de las cuentas de ahorro de una entidad financiera o el tiempo que dura el recorrido de un bus urbano.

1.2.8.2.3 Variables cuantitativas categricas: Cuando se quiere facilitar el manejo de los datos o aumentar la comprensin de un fenmeno, las variable cuantitativas se pueden convertir en categricas, como cuando las personas que miden menos de 1.50 metros se clasifican como de estatura pequea, las personas que miden entre 1.50 metros y menos de 1.70 se clasifican como de estatura mediana y las personas que miden 1.70 metros o ms se clasifican como de estatura alta.

1.2.9 CENSO

Es cuando se observa y registra el estado de una caracterstica examinado a todos los elementos de una poblacin Los censos rara vez se realizan debido al tiempo que demandan y a la cantidad de recursos que necesitan por lo que se recurre a tomar datos del estado de la variable en algunos de los elementos de la poblacin

1.2.10 MUESTRA

Es cuando se observa y registra el estado de una caracterstica variable examinado a una parte de los elementos que pertenecen a una poblacin Las muestras deben ser representativas y para esto se requiere que las caractersticas de la poblacin estn representadas en la muestra, en la misma proporcin en que estn incluidas en la poblacin.

1.2.11 TAMAO DE LA MUESTRA

Es el nmero de elementos que componen la muestra. Se suele indicar con la letra n EJEMPLO: Para indicar que una muestra tiene 350 elementos se indica as: n = 350

1.2.12 PARMETRO

Es el resultado de una medida o clculo que se hace utilizando los datos relacionados con el valor que toma una caracterstica variable cuando se observan todos los elementos de una poblacin, es decir, cuando se hace un censo. Por ejemplo, la edad promedio de los nios que cursan primer grado, este ao, en todas las



escuelas oficiales de la ciudad. El parmetro siempre es un valor constante.

1.2.13 ESTADSTICO

Es el resultado de una medida o clculo que se hace utilizando los datos relacionados con el valor que toma una caracterstica variable cuando se observan algunos de los elementos de una poblacin, o sea, una muestra. Por ejemplo, la edad promedio de los nios de primer grado de algunas escuelas oficiales de la ciudad escogidas al azar. El estadstico es un valor que vara de muestra en muestra

1.2.14 TIPOS DE ESTUDIOS ESTADSTICOS

Los estudios estadsticos pueden ser experimentales y de observacin En los estudios estadsticos experimentales el investigador controla o manipula una o varias variables con el fin de determinar su comportamiento en determinadas condiciones En los estudios estadsticos de observacin el investigador registra el estado de la caracterstica variable que le interesa sin ejercer ninguna influencia sobre ella. El estudio estadstico de observacin mas comn es la encuesta.

1.2.15 UNIDAD DE OBSERVACIN O DE INVESTIGACIN

Se llama Unidad de Observacin o de Investigacin a alguno de los siguientes conceptos: Al nombre genrico, que se le da a los elementos cuya caracterstica se est registrando A la entidad que se investiga o de la que se recolectan los datos Al soporte de donde se extraen los datos

1.2.16 ESTADSTICAS

Es cualquier conjunto ordenado de datos como por ejemplo las estadsticas de un torneo de ftbol, las estadsticas de ventas de una empresa o las estadsticas de accidentes

1.2.17 EJERCICIOS RESUELTOS:

Primer caso Se encuestaron a 200 personas escogidas al azar entre todas las personas que visitaron un centro comercial de la ciudad, preguntando lo siguiente:

Qu da de la semana prefiere para visitar el centro comercial? Realiza alguna compra cada vez que visita el centro comercial? Cundo realiza alguna compra a qu valor puede ascender esta compra?

a) Cules son los elementos de este estudio? b) Defina la poblacin en estudio c) De qu tipo es esta poblacin? d) Cul es la muestra de este estudio? e) Cul es el tamao de esta muestra? f) Cul es el tipo exacto de cada una de las variables del estudio? g) Cules son las categoras de cada una de las variables cualitativas? h) Cmo se pueden categorizar cada una de las variables cuantitativas? i) S el valor mnimo de compra, encontrado en el estudio fue de $10.000 Cmo se llama en estadstica a

este valor? j) Qu comportamiento puede tener el valor del punto anterior, cundo se tomen otras muestras? k) Se realiz un censo o un muestreo? l) Qu tipo de estudio se realiz?



SOLUCIN a) Las personas b) Todas las personas que visitan ese centro comercial c) Infinita d) Las 200 personas escogidas e) n = 200 f) Da de la semana que prefiere para visitar el centro comercialVariable ordinal Realiza alguna compra cada vez que visita el centro comercial? Variable nominal Valor de la compra Variable continua g) Das de la semana: Lunes, Martes, Mircoles, Jueves, Viernes, Sbado, Domingo

Realiza alguna compra: S, No h) Valor de la compra, por ejemplo: de $10.000 a $15.0000

de $15.0000 a $20.0000 de $20.0000 a $25.000, etc

i) Estadstico j) Comportamiento variable k) Un muestreo l) Un estudio observacional Segundo caso la cooperativa de ahorro y crdito COOPERCRDITO, encuest a todos sus 750 afiliados, preguntando lo siguiente: Cunto tiempo hace que est afiliado a la cooperativa? Cuntos crditos ha solicitado en el ltimo ao?

Califique de 1 a 5 el servicio que recibe de la cooperativa, donde 1 es psimo, 3 es regular y 5 es excelente.

a) Cules son los elementos de este estudio? b) Defina la poblacin en estudio c) De qu tipo es esta poblacin? d) Se realiz un censo o un muestreo? e) Cul es el tamao de la poblacin? f) Cul es el tipo exacto de cada una de las variables del estudio? g) Cules son las categoras de cada una de las variables cualitativas? h) Cmo se pueden categorizar cada una de las variables cuantitativas? i) S como mximo los afiliados han solicitado 5 crditos en el ltimo ao Cmo se llama en estadstica a

este valor? j) Qu comportamiento tiene el valor del punto anterior? k) Qu tipo de estudio se realiz? SOLUCIN a) Los afiliados b) Todos los afiliados a la cooperativa COOPERCRDITO c) Finita d) Un censo e) N = 750 f) Tiempo de afiliacin Continua

Crditos solicitados Discreta Calificacin del servicio Ordinal

g) Calificacin del servicio: 1, 2, 3, 4, 5 h) Tiempo de afiliacin, por ejemplo:

Crditos solicitados, por ejemplo:

de 0 a 2 aos de 2 a 4 aos de 4 a 6 aos, etc. de 0 a 1 crditos de 2 a 3 crditos de 4 a 5 crditos, etc.



i) Parmetro j) Es una constante k) Un estudio observacional



1.3 ARREGLO DE DATOS DE VARIABLE CONTINUA

1.3.1 INTRODUCCIN

Para visualizar las caractersticas de una situacin representada por un conjunto de datos o establecer el patrn de comportamiento de esta situacin, los datos se deben organizar de alguna manera. La Estadstica propone una metodologa que consiste en agrupar los datos recolectados en conjuntos de categoras o clases estadsticas y con este conjunto construir una tabla que se llama Distribucin de Frecuencias

1.3.2 CONCEPTO DE CLASE O CATEGORA

En general, una clase o categora es un conjunto de elementos que tienen una o varias caractersticas en comn, por ejemplo, las personas que compiten en algn deporte pertenecen a la clase de los deportistas, las personas mayores de 60 aos pertenecen a la clase de la tercera edad

1.3.3 CLASE ESTADSTICA O CATEGORA ESTADSTICA

En estadstica se llama clase, nicamente, a un conjunto de datos que estn dentro de un intervalo determinado de valores. Por ejemplo, para datos correspondientes a ingresos de personas podemos crear una clase de las personas que tienen ingresos entre $500.000 y $800.000. Toda clase estadstica tiene, por lo tanto, un lmite inferior ( $500.000 ), y un lmite superior ( $800.000 )

1.3.4 AMPLITUD DE CLASE O INTERVALO DE CLASE

Es la distancia o diferencia que hay entre los lmites de una clase. En el ejemplo anterior la amplitud de la clase de ingresos es de $300.000. Es decir, que para calcular la amplitud de clase se resta del lmite superior de la clase el lmite inferior.

Para expresar estas ideas en smbolos, llamamos A a la amplitud de la clase, LS al lmite superior de la clase y LI al lmite inferior de la clase, expresando aritmticamente la amplitud de la clase as:

= Para el ejemplo:

= = $800.000 $500.000 = $300.000 Entonces, para visualizar las caractersticas de un conjunto de datos, la Estadstica propone que se agrupen estos datos en intervalos de valores o clases

1.3.5 CARACTERSTICAS DE LOS CONJUNTOS DE CLASES ESTADSTICAS

Un conjunto de clases o categoras es considerado como un conjunto de clases estadstico s todas las clases, del conjunto, tienen, simultneamente, las siguientes tres caractersticas: Amplitud constante Mutuamente excluyentes Exhaustivas Amplitud constante se refiere a que la amplitud de todas las clases de un conjunto de clases en que se agrupa un determinado grupo de datos debe ser la misma para todo el conjunto.



Conjunto de clases mutuamente excluyentes se refiere a que cualquier dato, de un grupo de datos en estudio, debe corresponder nicamente a una sola clase Conjunto de clases exhaustivas cuando el conjunto de clases puede contener a todos los datos de una muestra.

1.3.6 NMERO DE CLASES

Una de las primeras inquietudes que surge cuando se van a agrupar un conjunto de datos en clases estadsticas es en cuantas clases es conveniente o adecuado agrupar estos datos. Hay dos criterios para resolver este problema como se presenta en la siguiente grfica:

Los criterios propios se aplican cuando una circunstancia tcnica o alguna otra razn hacen deseable un determinado nmero de clases para agrupar los datos del fenmeno en estudio. Tambin, se aplican criterios propios cuando se desea facilitar la comparacin del estudio actual con otro realizado en alguna poca anterior. El criterio del volumen de datos se refiere a que el nmero de clases en que se van a agrupar los datos, de algn fenmeno en estudio, depende exclusivamente, de la cantidad de datos que se hayan recolectado sobre ese fenmeno. En general, las alternativas, ms usuales, cuando se aplica el segundo criterio son: La norma emprica de la estadstica indica que el nmero de clases en que se deben agrupar cualquier

conjunto de datos debe ser como mnimo 5 6 clases y como mximo alrededor de 20 clases

La frmula exponencial que tiene la siguiente expresin: 0 = 2

La frmula logartmica que tiene la siguiente expresin: 0 = 1 + 3,3()

En la expresin, = 0. es la abreviatura de nmero de clases y indica la cantidad de

clases en que, segn esta expresin, se deben agrupar los datos. Por ejemplo, para un estudio que contiene 155 datos esta expresin funciona as:



S = 6 clases, entonces, 0 = 26 = 64 como 64 < 155 el nmero de clases igual a 6 no es

conveniente.

S = 7 clases, entonces, 0 = 27 = 128 como 128 < 155 el nmero de clases igual a 7 no

es conveniente.

S = 8 clases, entonces, 0 = 28 = 256 como 256 > 155 el nmero de clases igual a 8,

segn este procedimiento, es al ms adecuado para agrupar los 155 datos del estudio.

En la expresin = + , () es tambin, la abreviatura de nmero de clases, () se refiere a logaritmo con base 10 y es la cantidad o volumen de datos, que se desean agrupar

Por ejemplo, para el estudio de 155 datos se tiene: 0 = 1 + 3,3(155) = 8,23 quiere decir que el nmero conveniente de clases, para agrupar estos 155 datos es de 8 clases Otros criterios pueden ser, por ejemplo, nmeros de clases que hacen que los lmites de las clases sean muy fciles de establecer o que las clases automticamente queden mutuamente excluyentes.

1.3.7 EJEMPLO PRCTICO

La siguiente tabla se refiere a los galones de gasolina corriente que tanquearon la semana pasada, en un autoservicio, una muestra de vehculos escogidos al azar

3,8 1,7 2,8 2,0 2,5 1,8 2,9 3,6 2,2 3,0

2,8 4,7 3,3 6,9 5,0 2,6 4,0 2,7 4,1 3,4

4,8 5,3 4,9 3,0 3,9 2,0 5,6 2,3 4,5 2,9

6,1 3,0 1,9 6,4 2,6 2,0 2,0 2,6 3,1

Este ejemplo es til para fines de aprendizaje, porque en situaciones reales, se suelen manejar volmenes de datos muy superiores al del presente ejemplo

1.3.8 MTODO ESTADSTICO

Como se dijo al comienzo de este tema, para describir una situacin representada por un conjunto de datos, como el anterior, la estadstica propone agrupar los datos en un conjunto de clases o categoras y con este conjunto construir una tabla que se llama Tabla de Frecuencias o Distribucin de Frecuencias. Para realizar este proceso se deben resolver, en primera instancia, las siguientes preguntas: De qu tipo es la variable? En cuntas clases o categoras es ms conveniente agrupar los datos? Cul es la amplitud de clases ms conveniente? Cules deben ser los lmites de la primera clase? Para resolver estas preguntas se propone el siguiente procedimiento:

1.3.9 PROCEDIMIENTO PARA CONSTRUIR UN CONJUNTO DE CLASES ESTADSTICO CON VARIABLE CONTINUA

1. Tipo de variable relacionada con la situacin en estudio (Revisar el tema en el mdulo CONCEPTOS BSICOS)

2. Para establecer el nmero de clases teniendo en cuenta el volumen de datos, se escoge, a criterio del



analista, entre la frmula exponencial o la frmula logartmica 3. Para establecer la amplitud de las clases:

Determinar los valores mximo y mnimo del conjunto de datos que llamaremos aqu: y

Calcular el Rango, R o distancia entre el valor ms pequeo y el valor ms grande de los datos de la

muestra con la expresin: =

Calcular la amplitud de las clases con la expresin: : =

0

Modificar la amplitud calculada en el paso anterior. A esta amplitud la llamaremos: Existen varios criterios para realizar este ltimo paso, entre los cuales se encuentran: Que la amplitud tenga la misma precisin de los datos del estudio Que los lmites de las clases resultantes sean nmeros fciles de manejar. Por ejemplo,

nmeros enteros o valores terminados en nmero par Que la marca de clase, que se estudiar ms adelante, sea un valor fcil de manejar

4. Establecer los lmites de primera clase. Para realizar este paso se recomienda que siempre que sea posible, el lmite inferior de la primera clase

debe ser menor que el

Una vez realizado el cuarto paso se agregan las dems clases, faltantes, teniendo en cuenta que para, variable continua, el lmite superior de una clase debe coincidir con el lmite inferior de la siguiente. Cuando se haya establecido el conjunto de clases en que se van a agrupar los datos del estudio, se debe verificar que renan las tres condiciones de todo conjunto de clases estadstico.

1.3.10 DESARROLLO DEL EJEMPLO

1. Tipo de variable en estudio: en este caso es variable continua

2. Determinar el nmero de clases Como se indic anteriormente el nmero de clases se puede determinar de acuerdo a los siguientes criterios. Por criterios propis: Cuando exista alguna circunstancia que haga conveniente o deseable un

determinado nmero de clases

Norma emprica: Se puede escoger cualquier nmero de clases entre 6 y 20 dependiendo del criterio o preferencia personal del analista y se hacen varios tanteos hasta encontrar un nmero de clases satisfactorio

Aplicando las frmulas exponencial o logartmica

Aplicando la frmula 0 = 2

Para = 5 clases, entonces, 0 = 25 = 32 como 32 < 39 el nmero de clases igual a 5 no

es conveniente.

S = 6 clases, entonces, 0 = 26 = 64 como 64 > 39 quiere decir que 6 es el nmero

conveniente de clases

Aplicando la frmula 0 = 1 + 3,3() entonces, 0 = 1 + 3,3(39) = 6,25 quiere decir que el nmero de clases conveniente es de 6 3. Construccin de las clases o categoras: Estos pasos se presentan en la siguiente tabla y son

especficos para variable continua



TABLA No.1 No.C = 6

Xmax = 6,9 Xmin = 1,7

R = Xmax - Xmin = 6,9 - 1,7 = 5,2

A = R / No.C = 5,2 / 6 = 0,86666667 S para modificar la amplitud, utilizamos el criterio de que debe tener la misma precisin de los datos del estudio, entonces, en este caso, la amplitud debe ser igual a 0,8, pero, como hay ms dgitos despus del primer decimal, siempre se ajusta hacia arriba, por lo que la amplitud modificada queda as:

4. Establecer los lmites de la primera clase

Para establecer los lmites para la primera clase dijimos que se recomienda que el lmite inferior, de esta clase, sea un nmero inferior al Xmin, en este caso, un nmero inferior a 1,7. Con mucha frecuencia, el contexto en el que se desarrolla el estudio, orienta a la analista, sobre cul puede ser ese valor, pero, si no se tiene ninguna idea sobre este aspecto se puede utilizar el siguiente procedimiento:

Recalcular el rango, que llamaremos Rango Modificado ( Rmod ), con la amplitud modificada, es decir:

Rmod = Amod x No.C = 0,9x6 = 5,4

Hallar la diferencia entre el rango modificado y el rango original, es decir:

Rmod - R = 5,4 5,2 = 0,2

Restar esta diferencia al Xmin, es decir:

Xmin = 1,7 0,2 = 1,5 por lo que el lmite inferior de la primera clase podra ser 1,5 como se observa en la tabla No.2

Xmin se refiere al lmite inferior de la primera clase El lmite superior de la primera clase se obtiene sumndole al lmite inferior la amplitud modificada. Se puede, ahora, terminar de construir el conjunto de clases, teniendo en cuenta que, para variable continua, el lmite superior de una clase es igual al lmite inferior de la clase siguiente y teniendo el cuidado de revisar, que este conjunto, rena las tres condiciones de todo conjunto de clases estadstico.

1.3.11 CONSTRUCCIN DE LA DISTRIBUCIN DE FRECUENCIAS

Para realizar este proceso se siguen los siguientes pasos: Establecer el nmero de observaciones dentro de cada clase ( FA ) ( tabla de conteo ) Calcular la frecuencia relativa ( FR )

Amod = 0,9



Ajustar la frecuencia relativa para que la suma de igual a 1 Calcular la frecuencia relativa acumulada ( FRA)

TABLA No.2 TABLA No.3 DISTRIBUCIN DE FRECUENCIAS

CLASES

Menor

No. FA FAA FR FRA

Que FRA

1 1,5 2,4 9 9 0,23 0,23

1,5 0

2 2,4 3,3 14 23 0,36 0,59

2,4 0,23

3 3,3 4,2 6 29 0,15 0,74

3,3 0,59

4 4,2 5,1 5 34 0,13 0,87

4,2 0,74

5 5,1 6,0 2 36 0,05 0,92

5,1 0,87

6 6,0 6,9 3 39 0,08 1,00

6,0 0,92

39

1,00

6,9 1,00

La tabla No.2 recibe el nombre de DISTRIBUCIN DE FRECUENCIAS o TABLA DE FRECUENCIAS y los detalles de su construccin sern explicados por el docente en la exposicin que haga sobre este tema y el significado de las columnas FA, FR y FRA se expone a continuacin

1.3.12 LOS TIPOS DE FRECUENCIAS

Los tipos de frecuencias que se presentan en la tabla No.2 son los siguientes: Frecuencia Absoluta FA: Es la cantidad de datos de la muestra que corresponden a cada clase. Se

obtiene por conteo Frecuencia Absoluta Acumulada FAA: Se obtiene, para cada clase, sumando la frecuencia absoluta

de la clase, FA, con la frecuencia absoluta de la clase anterior

Frecuencia Relativa FR: Se calcula, para cada clase, dividiendo la frecuencia absoluta de la clase, FA, entre el total de datos de la muestra. Es prctico que los valores de la frecuencia relativa se tomen con dos decimales y su suma se ajuste para que d exactamente uno

Frecuencia Relativa Acumulada FRA: Se calcula, para cualquier clase, sumando la frecuencia relativa

de la clase, FR, con la frecuencia relativa de la clase anterior

1.3.13 LECTURA DE LA DISTRIBUCIN DE FRECUENCIAS

Esta tabla permite describir la situacin histrica de la venta de gasolina en esta estacin de servicio, por ejemplo, la mayora de los vehculos de la muestra, un 36%, tanquearon entre 2,4 y 3,3 galones de gasolina, el 5% de los vehculos de la muestra tanquearon entre 5,1 y 6,0 galones de gasolina y fue la clase con menor frecuencia de tanqueo. Solamente tres vehculos de la muestra tanquearon ms de 6,0 galones.

1.3.14 LA TABLA MENOR QUE

Es una tabla auxiliar que se construye a partir de las distribuciones de frecuencias acumuladas, FAA y FRA, con el fin de facilitar la descripcin de la situacin utilizando estas frecuencias. Esta tabla se encuentra al lado de la tabla de distribucin de frecuencias y se utiliz, en este caso, la columna de frecuencia relativa acumulada. Observando esta tabla se puede ver que el 59% de los vehculos de la muestra tanquearon menos de 3,3 galones de gasolina o que el 13% de los vehculos de la muestra tanquearon mas de 5,1 galones

1.3.15 REPRESENTACIN GRFICA DE LA SITUACIN EN ESTUDIO

La Estadstica Descriptiva utiliza tres tipos de grficos para representar cualquier situacin o fenmeno en



estudio: El histograma El polgono de frecuencias La ojiva

Estos grficos permiten visualizar de manera fcil y rpida los resultados que se presentan en la distribucin de frecuencias

1.3.16 EL HISTOGRAMA

Es un grfico de frecuencia absoluta, FA o la frecuencia relativa, FR, donde las clases se representan mediante rectngulos. El siguiente histograma se refiere al ejemplo prctico y se utiliz la frecuencia relativa

1.3.17 EL POLGONO DE FRECUENCIAS

Se hace a partir del histograma uniendo las marcas de clase proyectadas sobre el lado superior de los rectngulos y agregando, para cerrar la figura, dos clases adicionales, una, por encima del lmite superior de la clase ms alta y la otra, por debajo del lmite inferior de la clase ms baja Para construir el polgono de frecuencias necesitamos introducir el concepto de Marca de Clase

1.3.18 MARCA DE CLASE

Es el punto medio de una clase. Se calcula sumando los lmites de cada clase y dividiendo este total por 2. El smbolo que usualmente se utiliza para representar la marca de clase es Xi La expresin matemtica de la marca de clase es:

Xi = +

2

0,23

0,36

0,15 0,13

0,05 0,08

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

FREC

UEN

CIA

REL

ATI

VA

GALONES

HISTOGRAMA

1.5 2.4 3.3 4.2 5.1 6.0 6.9



Donde LS es el lmite superior de la clase y LI es el lmite inferior de la clase. Por ejemplo, para construir la marca de clase de la primera clase se procede as:

Xi = 1,5 + 2,4

2 = 1,95

Las marcas de clase se utilizan, tambin, cuando se requiere representar todos los valores de una clase por un solo nmero. Por ejemplo, 1,95 galones representa todos los valores de la muestra que se encuentran entre 1,5 galones y 2,4 galones Se puede construir, entonces, con las marcas de clase, una tabla auxiliar de clculos que permita elaborar fcilmente el polgono de frecuencias, como se presenta a continuacin: TABLA AUXILIAR DE CLCULOS

CLASES

Marca de

No. clase FR

0 0,6 1,5 1,05 0,00

1 1,5 2,4 1,95 0,23

2 2,4 3,3 2,85 0,36

3 3,3 4,2 3,75 0,15

4 4,2 5,1 4,65 0,13

5 5,1 6,0 5,55 0,05

6 6,0 6,9 6,45 0,08

7 6,9 7,8 7,35 0,00 Obsrvese que la tabla tiene ahora 8 clases porque se han agregado dos clases, la nmero cero y la nmero 7. A estas clases se les llama clases falsas porque no hay observaciones para ellas; su finalidad es presentar el polgono de frecuencias como una figura cerrada

Tanto el histograma como el polgono de frecuencias permiten visualizar algunas de las caractersticas de la situacin o fenmeno que se est estudiando, tales como: El rango de los datos Alrededor de qu valores tienden a agruparse los datos Valores de la muestra que se presentan con ms o menos frecuencia A qu lado de la grfica parecen agruparse ms los datos

Los dems detalles de la construccin del polgono de frecuencias sern explicados por el docente en la exposicin que haga sobre este tema

0,00

0,23

0,36

0,15 0,13

0,05 0,08

0,00

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

1,05 1,95 2,85 3,75 4,65 5,55 6,45 7,35

FREC

UEN

CIA

REL

ATI

VA

GALONES

POLGONO DE FRECUENCIAS



1.3.19 COMO INTERPRETAR UN HISTOGRAMA O UN POLGONO DE FRECUENCIAS

Los histogramas y los polgonos de frecuencias facilitan a las personas que tienen que tomar decisiones sobre una determinada situacin una visin rpida del comportamiento y caractersticas de la situacin que se estudia. Algunas de las preguntas que se pueden responder observando estas grficas son: Cul es el rango de los datos? En qu clases se concentran el mayor nmero de datos? Cul clase contiene menos datos? Qu valores de la muestra se presentan con ms o menos frecuencia? A qu lado de la grfica parecen concentrarse ms los datos? Se presentan huecos o clases vacas? Se presentan valores aislados de los dems? La grfica presenta subidas o bajadas bruscas o suaves? Cuntos picos tiene la grfica? Es simtrica la grfica?

1.3.20 LA OJIVA

La ojiva es un grfico de frecuencias acumuladas que describe que cuantas unidades o qu porcentaje de unidades se encuentran por encima o por debajo de un determinado valor de la variable. Este grfico se construye a partir de la tabla MENOR QUE, utilizando la frecuencia absoluta acumulada, FAA o la frecuencia relativa acumulada, FRA. En el grfico que se presenta a continuacin se utiliz la frecuencia relativa acumulada.

Los detalles sobre la construccin de estos grficos sern explicados por el docente en la exposicin que haga sobre este tema

1.3.21 LA INTERPOLACIN

En general, la interpolacin, es un mtodo de clculo para establecer el valor de la ordenada de un valor de

0

0,23

0,59

0,74

0,87 0,92

1,00

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,5 2,4 3,3 4,2 5,1 6,0 6,9

FREC

UEN

CIA

REL

ATI

VA

AC

UM

ULA

DA

GALONES

OJIVA



la variable que se encuentra dentro de otros valores ya calculados en una tabla. En el caso de la Estadstica Descriptiva, se utiliza para calcular valores de la frecuencia absoluta acumulada, FAA o de la frecuencia relativa acumulada, FRA, correspondientes a valores de la variable que no se encuentran en la tabla MENOR QUE, pero que estn dentro de los valores mnimo y mximo recolectados en el estudio. Por ejemplo, si se quiere saber qu porcentaje de los vehculos tanquearon mas de 4,8 galones de gasolina, al buscar este valor en la tabla MENOR QUE se detecta que aunque no est tabulado, se encuentra entre los valores de la variable 4,2 y 5,1 galones. Con esta informacin se pueden disponer los datos existentes y los buscados de la siguiente manera:

X0 = 4,2 Y0 = 0,74 X1 = 4,8 Y1= ? X2 = 5,1 Y2 = 0,87

La expresin matemtica que permite realizar el clculo de interpolacin es la siguiente:

Y1= Y0 + (1 0 )

(2 0 )(Y2 - Y0)

Reemplazando los smbolos por los valores se tiene:

Y1= 0,74 + ( 4,8 4,2 )

( 5,1 4,2 )( 0,87 - 0,74 ) = 0,827 0,83

Esto quiere decir que el 83% de los vehculos de la muestra tanquearon menos de 4,8 galones, pero, como se quiere saber es que porcentaje tanque ms de 4,8 galones, se debe restar el resultado anterior de 1 1 - 0,83 = 0,17 = 17% que es, entonces, porcentaje de vehculos de la muestra que tanquearon mas de 4,8 galones



1.4 ARREGLO DE DATOS DE VARIABLE DISCRETA

1.4.1 PROCEDIMIENTO PARA COSNTRUIR UN CONJUNTO DE CLASES ESTADSTICO PARA VARIABLE DISCRETA

1. Tipo de variable relacionada con la situacin en estudio (Revisar el tema en el mdulo CONCEPTOS BSICOS)

2. Para establecer el nmero de clases: 3. Por conveniencia 4. Norma emprica 5. Frmulas exponencial o logartmica 3. Para establecer la amplitud de las clases:

Determinar los valores mximo y mnimo del conjunto de datos que llamaremos aqu: y

Calcular el Rango, R o distancia entre el valor ms pequeo y el valor ms grande de los datos de la

muestra con la expresin: =

Calcular la amplitud de las clases con la expresin: : =

0

Tomar como amplitud modificada solamente la parte entera Aqu se debe revisar si la amplitud modificada es un valor impar. Cuando se da este caso, se debe hacer una correccin como se muestra en el desarrollo del Ejemplo Prctico

4. Establecer los lmites de la primera clase:

Se toma como lmite inferior de la primera clase el El lmite superior de la primera clase se obtiene sumndole al lmite inferior la amplitud modificada.

Las dems clases se construyen, teniendo en cuenta, que por ser variable discreta, las clases no pueden ser contiguas, por lo que el lmite inferior de cualquier clase es igual al lmite superior de la clase anterior ms uno

1.4.2 EJEMPLO PRCTICO

Una muestra de 41 das del nmero de transacciones que se realizan por da en un cajero automtico se presenta en la siguiente tabla:

73 68 76 71 60 41 91 67 85

83 56 79 62 64 87 66 74

87 91 78 49 91 72 63 68

47 81 54 90 77 63 52 75

80 84 36 67 51 45 61 57

1.4.3 DESARROLLO DEL EJEMPLO

1. Tipo de variable en estudio: en este caso es variable discreta

2. Determinar el nmero de clases Como se indic anteriormente el nmero de clases se puede determinar de acuerdo a los siguientes criterios. Por conveniencia: Cuando exista alguna circunstancia que haga conveniente o deseable un



determinado nmero de clases

Norma emprica: Se puede escoger cualquier nmero de clases entre 6 y 20 dependiendo del criterio o preferencia personal del analista y se hacen varios tanteos hasta encontrar un nmero de clases satisfactorio

Aplicando las frmulas exponencial o logartmica. Utilizando la frmula logartmica se tiene:

0 = 1 + 3,3(41) = 6,3 que indica que un nmero conveniente de clases para esta cantidad de datos es de 6 clases. 3. Establecer la amplitud de las clases:

No.C = 6

Xmax = 91 Xmin = 36

R = Xmax - Xmin = 91 - 36 = 55

A = R / No.C = 55 / 6 = 9,16666667

Amod = 9

En el clculo anterior se puede observar que para construir la amplitud modificada, se borra toda la parte decimal de la amplitud, A, calculada Cuando la amplitud modificada es un nmero impar, las marcas de clase, que se utilizan para representar a las clases, son valores fraccionarios, como ocurre en este ejemplo; esta situacin es incmoda porque no refleja la realidad en los casos de variable discreta, por lo que se prefiere agrupar los datos en clases que sean de amplitud par, como se presenta a continuacin, para el mismo ejemplo, donde la amplitud se cambi de 9 transacciones por da a 8 transacciones por da, esto hace que el nmero de clases pase de 6 a 7

Amod = 8

4. Establecer los lmites de la primera clase:

El lmite inferior de la primera clase es = 36

1.4.4 CONSTRUCCIN DE LA DISTRIBUCIN DE FRECUENCIAS

Se siguen los siguientes pasos:

Establecer el nmero de observaciones dentro de cada clase ( FA ) ( tabla de conteo ) Calcular la frecuencia relativa ( FR ) Ajustar la frecuencia relativa para que la suma de igual a 1 Calcular la frecuencia relativa acumulada ( FRA)

: El resultado de este proceso se presenta en la tabla No.4 :



TABLA No.4 TABLA No.5

Menor

No. CLASES FA FR FRA

Que FRA

1 36 44 2 0,05 0,05

36 0

2 45 53 5 0,12 0,17

45 0,05

3 54 62 6 0,14 0,31

54 0,17

4 63 71 9 0,22 0,53

63 0,31

5 72 80 9 0,22 0,75

72 0,53

6 81 89 6 0,15 0,90

81 0,75

7 90 98 4 0,10 1,00

90 0,90

41 1,00

99 1,00

Se observa, tambin, que el lmite inferior de cada clase es igual al lmite inferior de la clase anterior ms uno. Tambin se puede ver que el lmite superior de la ltima clase, (98), no coincide con el Xmax, (91), de los datos y el lmite inferior de la primera clase es el Xmin (36), de los datos. Las clases construidas de esta manera se llaman CLASES CERRADAS, porque en cada clase se contabilizan todos los datos incluidos entre los dos lmites de la clase. Sin embargo, estas clases, como se puede observar, son de amplitudes constantes, mutuamente excluyentes y exhaustivas. Tambin se observa que la tabla MENOR QUE, se construye de manera un poco distinta a como se hizo para el caso de variable continua, ntese que el ltimo valor de la columna Menor Que, no es igual al lmite

superior de la ltima clase, sino a se valor ms uno.

1.4.5 REPRESENTACIN GRFICA

1.4.5.1 HISTOGRAMA Para el caso de variable discreta el histograma, recibe tambin el nombre de DIAGRAMA DE FRECUENCIAS y en l las clases se encuentran separadas, como se ve en el siguiente grfico:

0,05

0,12

0,14

0,22 0,22

0,15

0,1

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

36 44 45 53 54 62 63 71 72 80 81 89 90 98

Fre

cu

en

cia

Re

lati

va

Nmero de transacciones

DIAGRAMA DE FRECUENCIAS



Con frecuencia, en lugar de identificar cada clase con sus lmites de clase, es ms prctico utilizar la marca de clase, como se muestra en este grfico, a continuacin

Ahora es mucho ms fcil leer el diagrama de frecuencias, por ejemplo, en el 14% de los das de la muestra se realizaron 58 transacciones, el nmero de transacciones por da menos frecuente, en la muestra, fue de 40 transacciones por da

1.4.5.2 POLGONO DE FRECUENCIAS Se construye de la misma manera, a partir del diagrama de frecuencias y las marcas de clase, como se hizo en el caso de variable continua. Ntese que en esta grfica se presenta una distorsin debido a que las clases no son adyacentes

0,05

0,12 0,14

0,22 0,22

0,15

0,10

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

40 49 58 67 76 85 94

Frec

uen

cia

rela

tiva


Diagrama de Frecuencias

0

0,05

0,12 0,14

0,22 0,22

0,15

0,10

0,00

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

31 40 49 58 67 76 85 94 103

Frec

uen

cia

Rel

ativ

a

Nmero de Transacciones

Polgono de Frecuencias



1.4.5.3 OJIVA Cuando la variable es discreta, como en este caso, la ojiva se construye de forma diferente, porque la variable slo toma valores enteros, aunque, aqu tambin, este grfico se construye a partir de la tabla MENOR QUE

Se puede observar, la ojiva para variable discreta es una funcin discontinua, por lo que no tiene sentido interpolar para este tipo de variable.

0,05

0,17

0,31

0,53

0,75

0,9

1,00

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

Fre

cu

en

cia

Rela

tiva

Acu

mu

lad

a


OJIVA

36 45 54 63 72 81 90 99



1.5 ARREGLO DE DATOS PARA VARIABLE DISCRETA EN CLASES DE AMPLITUD CERO

Cuando el intervalo de valores que toma la variable es reducido y la variable es discreta, es ms prctico agrupar los datos en clases de amplitud cero, como se muestra en el siguiente caso. Aqu X simboliza los valores que toma la variable que son al mismo tiempo las clases estadsticas. Estas clases cumplen con las tres caractersticas de una clase estadstica: son de amplitud constante, son mutuamente excluyentes y son exhaustivas EJEMPLO Se tom una muestra de 60 facturas registrando el nmero de errores por factura. Los resultados se presentan en la siguiente tabla:

1 0 1 2 0 0 1 0 0 1

2 1 1 1 0 1 4 0 0 0

0 3 0 0 1 0 1 2 2 0

4 1 1 0 0 0 1 0 0 1

2 2 0 3 3 1 0 2 2 0

0 0 3 1 2 2 0 1 1 1

MENOR

X FA FR FAA FRA

QUE FRA

0 25 0,42 25 0,42

0 0

1 19 0,31 44 0,73

1 0,42

2 10 0,17 54 0,90

2 0,73

3 4 0,07 58 0,97

3 0,90

4 2 0,03 60 1,00

4 0,97

60 1,00

5 1,00

25

19

10

4 2

0

5

10

15

20

25

30

0 1 2 3 4

No.

de

fa

ctu

ras

No. de errores




1.6 ARREGLO DE DATOS CUALITATIVOS Cuando la variable es cualitativa, el arreglo y presentacin de datos estadstico es limitado. Slo se pueden construir distribuciones de frecuencias con las frecuencias absolutas y relativas y diagramas de frecuencias. Adicionalmente, se utilizan en estos casos otros tipos de grficos como se presenta en el siguiente ejemplo: EJEMPLO Se interrog a una muestra de clientes de una cafetera sobre el tipo de bebida gaseosa que prefieren obtenindose los siguientes resultados:

Cocacola Quatro Pepsicola Cocacola Postobn Link Postobn

Postobn Pepsicola Seven Up Pepsicola Cocacola Cocacola Quatro

Quatro Link Cocacola Postobn Pepsicola Sprite Pepsicola

Sprite Cocacola Postobn Cocacola Postobn Cocacola Postobn

Cocacola Quatro Pepsicola Link Cocacola Postobn Sprite

No. CLASES FA FR

1 Cocacola 10 0,29

2 Link

3 0,09

3 Pepsicola 6 0,17

4 Postobn 8 0,23

5 Quatro

4 0,11

6 Seven Up 1 0,03

7 Sprite

3 0,08

35 1,00

0,29

0,09

0,17

0,23

0,11

0,03

0,08

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

Cocacola Link Pepsicola Postobn Quatro Seven Up Sprite

Fre

cu

en

cia

Rela

tiva

Tipo de bebida




0,29

0,09

0,17

0,23

0,11

0,03 0,08

Quatro

0,29

0,09

0,17

0,23

0,11

0,03 0,08

Quatro Coca cola

Link

Pepsicola

Postobn

Sprite

Seven Up



1.7 EJERCICIOS RESUELTOS Primer caso El peso de las cajas que despacha una fbrica a sus clientes, en una muestra de 153 cajas escogidas al azar, dio un valor mximo de 25,34 kilogramos y un peso mnimo de 10,47 kilogramos. Disee un conjunto de 8 clases estadsticas para agrupar estos datos SOLUCIN

n = 153 No.C = 8 (8,20948)

Xmax = 25,34 Xmin = 10,47 R = 14,87 A = 1,85875 Amod = 1,86 Rmod = 14,88 Rmod-R = 0,01 X'min = 10,46

Clase Peso / caja

No. (Kilogramos)

1 10,46 12,32

2 12,32 14,18

3 14,18 16,04

4 16,04 17,90

5 17,90 19,76

6 19,76 21,62

7 21,62 23,48

8 23,48 25,34

Segundo caso El nmero de citas por da que recibi un centro mdico, en una muestra de 139 das, escogidos al azar, dio un valor mximo de 210 citas por da y un mnimo de 119 citas por da. Disee un conjunto de clases estadsticas para agrupar estos datos SOLUCIN

Clase No. de citas

Clase No. de citas

n = 139

No. por da

No. por da

No.C = 8 (8,07195) 1 119 129

1 119 131

Xmax = 210

2 130 140

2 132 144

Xmin = 119

3 141 151

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