NÚMEROS PRIMOS, NÚMEROS PRIMOS, M.C.M Y m.c.d.M.C.M Y m.c.d.

NÚMEROS PRIMOS, NÚMEROS PRIMOS, M.C.M Y m.c.d.M.C.M Y m.c.d.

Conceptos claveConceptos claveFactores primos, divisores comunes, Factores primos, divisores comunes, múltiplos comunes, máximo común múltiplos comunes, máximo común divisor, mínimo común múltiplo.divisor, mínimo común múltiplo.

Números primos y números compuestos

• Un número primo es aquel que solo tiene dos divisores; el mismo y la unidad.

• Un número compuesto es aquel que tiene más de dos divisores.

• Para averiguar si un número es primo, se divide entre los primeros números primos hasta que el cociente sea igual o menor que el divisor. Si todas las divisiones son enteras, es un número primo.

• Número primo o compuesto.(Sigue el enlace).• Actividades• Actividades II• Actividades III

Criba de Eratóstenes

Eratóstenes, sabio del siglo III a.C. construyó la tabla de números primos menores de 100.Mira y aprende como la hizo y hazla tú hasta el 1000:

ActividadesCriba de Eratóstenes

Criba de Eratóstenes (II)Observa:

Descomposición de un número en factores

primos.Descomponer un número en factores primos es expresarlo como producto de números primos.Para descomponer un número en factores primos, se divide el número entre el menor de sus divisores primos, el cociente resultante se divide tambien por el menor de sus divisores primos, y asi sucesivamente hasta llegar al cociente igual a 1El 1 es divisor de todos los números.

Cálculo del máximo común divisor (M.C.D.)

Para hallar el M.C.D. de dos o más números, se multiplican los factores primos comunes a estos números elevados a su menor exponente.Dos números son primos entre sí cuando su M.C.D. es 1

Actividades

M.C.D. (II)• El máximo común divisor de dos o más números es el número, más grande

posible, que permite dividir a esos números.• Para calcularlo. De los números que vayas a sacar el máximo común divisor, se

ponen uno debajo del otro, se sacan todos los divisores de los dos números y el máximo que se repita es el máximo común divisor (M.C.D.)

• Ejemplo: Sacar el M.C.D. de 20 y 10: 20:1, 2, 4, 5, 10 y 2010:1, 2, 5 y 10• Esto sirve para números pequeños. Pero para números grandes hay otra

manera: la descomposición de factores.• Forma rápida de calcular el Máximo común Divisor (M.C.D.).• Ejemplo: Sacar el M. C. D. de 40 y 60:• 1º Tienes que saber las reglas divisibilidad. Haces la descomposición de

factores poniendo números primos. Por ejemplo para 40, en la tabla de abajo, se va descomponiendo en 2, 2, 2 y 5.

• 40 260 220230210215355551 1     • 2º De los resultados, se cogen los números repetidos de menor exponente y se

multiplican y ese es el M.C.D.

• MCD = 2x2x5= 20• M.C.D. 40 = 2x2x2x5 • M.C.D. 60 = 2x2x3x5

Cálculo del mínimo común múltiplo

(m.c.m.)Para hallar el m.c.m. de dos o más

números, se multiplican los factores primos comunes y no comunes a estos números elevados a su mayor exponente.

Lee y aprende.Actividades.

PROBLEMASUn faro se enciende cada 12 segundos, otro cada 18 segundos y un tercero cada minuto. A las 6.30 de la tarde los tres coinciden.Averigua la hora en que coincidirán la próxima vez.

Respuesta: 6 6,20 7 6,33

Solución

Descomponemos 12, 18 y 60 en números primos

12= 23 x 318 = 2 x 32

60 =23 x 32 x 5

Hallamos el m.c.m. (12,18,60)= 22x32 x 5

Y resolvemos 22x32 x 5 = 180 segundos

180 : 60 = 3 minutos

6 horas 30 minutos + 3 minutos = 6h 33 m

Problemas II

Un viajero va a Barcelona cada 18 días y otro cada 24 días. Hoy han estado los dos en Barcelona.¿Dentro de cuantos días volverán a estar los dos a la vez en Barcelona?

Dentro de: 100 120 72 36 96

Solución

18 = 2 x 32

24 = 23 x 3

Descomponemos 18 y 24 en números primos

Hallamos el m.c.m. (18,24)= 23x32

Y resolvemos 23 x 32 = 72 días

Problemas II

En una bodega hay 3 toneles de vino, cuyas capacidades son: 250 l, 360 l, y 540 l. Su contenido se quiere envasar en cierto número de garrafas iguales. Calcular las capacidades máximas de estas garrafas para que en ellas se pueden envasar el vino contenido en cada uno de los toneles, y el número de garrafas que se necesitan. Capacidad de las garrafas: 10 litros 20 litros 25 litros 50 litros

Número de garrafas: 75 100 112 115 175 200

Solución

Capacidad de las garrafas = 10 l.

Descomponemos 250,360 y 540 en números primos

Hallamos el m. c. d. (250, 360, 540) = 10

Número de garrafas = 25 + 36 + 54 = 115 garrafas

Número de garrafas de T1 = 250 / 10 = 25 Número de garrafas de T2 = 360 / 10 = 36Número de garrafas de T3 = 540 / 10 = 54

Problemas que enviaras por correo electrónico al profesor una vez resueltos. En el formato habitual.

1.- ¿Cuál es el menor número que al dividirlo separadamente por 15, 20, 36 y 48, en cada caso, da de resto 9?

2.-El suelo de una habitación, que se quiere embaldosar, tiene 5 m de largo y 3 m de ancho. Calcula el lado y el número de la baldosas, tal que el número de baldosas que se coloque sea mínimo y que no sea necesario cortar ninguna de ellas.

3.- Un comerciante desea poner en cajas 12 028 manzanas y 12 772 naranjas, de modo que cada caja contenga el mismo número de manzanas o de naranjas y, además, el mayor número posible. Hallar el número de naranjas de cada caja y el número de cajas necesarias.

Problemas que enviaras por correo electrónico al profesor una vez resueltos. En el formato habitual. (II)

4.- ¿Cuánto mide la mayor baldosa cuadrada que cabe en un número exacto de veces en una sala de 8 m de longitud y 6.4 m de anchura? ¿Y cuántas baldosas se necesitan?