Objetivos:

• Distinguir y realizar los cálculos con las operaciones matriciales básicas.

Las operaciones matriciales permiten el abordaje de los métodos del álgebra lineal para resolución de sistemas de ecuaciones.

Introducción:

30 minutos.

Tiempo aproximado de estudio:

Operaciones con matrices

Trasposición de matrices

Suma y diferencia de matrices

Producto de una matriz por un número

Producto de matrices

Matrices inversibles

Propiedades simplificativas

Las operaciones matriciales básicas

son

Dada una matriz de tamaño m x n, A = (aij), se llama matriz transpuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas (o viceversa) en la matriz A.

a11 a12 … a1n

a21 a22 … a2n

. . . .am1 am2 … amn

A =

a11 a12 … a1m

a21 a22 … a2m

. . . .an1 an2 … amn

At =

Trasposición de matrices

1ª. Dada una matriz A, siempre existe su transpuesta y además es única.

2ª. La transpuesta de la matriz transpuesta de A es A. a (At)t = A.

La transpuesta de una matriz A cualquiera se obtiene cambiando filas por columnas y se representa por At.

Si A = (aij), entonces At = (aji). Si A es mxn, entonces At es nxm.

Propiedades de la trasposición de matrices

El procedimiento para su obtención es:

La suma de dos matrices A=(aij), B=(bij) de la misma dimensión, dan otra

matriz.

S=(sij) de la misma dimensión que los sumandos y con término genérico

S = (aij + bij).

La suma de las matrices A y B se denota por A+B.

1 1/2- 4 0

3 1/40 -2 +

1+3 = 4 ½ + ¼ = ¾ -4 -2 =

A B A + B

Se suman estos dosEjemplo

La diferencia de matrices A y B se representa por A–B y se define como la suma de A con la opuesta de B : A–B = A + (–B)

1 1/2- 4 0

A

1/4-2 +

B

= NO ES POSIBLE SUMARLAS

Por tanto, para poder sumar dos matrices éstas han de tener la

misma dimensión.

Sin embargo, no se pueden sumar matrices de tamaños diferentes.

I. Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C

II. Conmutativa: A + B = B + A

III. Elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A donde 0 es la matriz nula.

IV. Elemento opuesto: A + (– A) = (– A) + A = 0

Sean A, B y C tres matrices del mismo orden. Entonces:

V. La matriz –A (opuesta) se obtiene cambiando de signo los elementos de A.

Propiedades de la suma y adición de matrices

VI. Si A + C = B + C A = B

VII. Si kA = kB A = B si k es distinto de 0VIII. Si Ka = hA H = K SI a es distinto de 0

I. Para la matriz A, (At)t = A

II. Para las matrices A y B, (A + B)t = At + Bt

III. Para la matriz A y el número real k, (k . A)t = k . At

IV. Para las matrices A y B, (A . B)t = Bt . At

V. Si A es una matriz simétrica, At = A

Propiedades:

1 2 34 5 6

A =

1 42 53 6

At =

Se invierte su posición

Ejemplo

Para multiplicar un número real por una matriz, se multiplican cada uno de los elementos de la matriz por dicho número.

Si A = (aij), entonces kA = (kaij)

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

(k)(a) = (k)(aij) = k = = (kaij)

ka11 ka12 ka13

ka21 ka22 ka23

ka31 ka32 ka33

Producto de un número por una matriz

1 0 -12 1/4 9-5 -4 5/7

(3) = =

(3)(1) (3)(0) (3)(-1)(3)(2) (3)(1/4) (3)(9)(3)(-5) (3)(-4) (3)(5/7)

3 0 -36 1/4 27

-15 -12 15/7

Se multiplica cada uno por 3

Ejemplo

I. Distributiva I: k(A + B) = kA + kB

II. Distributiva II: (k + h)A = kA + hA

III. Elemento neutro: 1 · A = A

IV. Asociativa mixta: k(hA) = (kh)A

Sean A y B dos matrices del mismo orden y k y h dos números reales.

El conjunto de las matrices m x n con las operaciones suma y producto por un escalar antes definidas, tiene estructura de espacio vectorial

Propiedades de la multiplicación de un número por una matriz

Producto de matrices

Dadas dos matrices A y B, su producto es otra matriz P cuyos elementos se obtienen multiplicando las filas de A por las columnas de B (por lo que deben coincidir éstas).

De manera más formal, los elementos de P son de la forma:

Es evidente que el número de columnas de A debe coincidir con el número de filas de B. Es más, si A tiene dimensión m x n y B dimensión n x p, la matriz P será de orden m x p.

Pij = aik · bkj con k=1,….n

Producto de matrices

4 7 9 -2A = , B =

3 5 6 8

(4)(9) + (7)(6) (4 ) (-2) + (7)(8) 78 48AB = =

(3) (9) + (5)(6) (3) (-2) + (5)(6) 57 34

1. Se multiplica cada uno

2. Se suman después

Ejemplo

5 8-4 -3

A = 1 0 , B =2 0

2 7

5 x (-4) + 8 x 2 5 x (-3) + 8 x 0 -4 -15AB = 1 x (-4) + 0 x 2 1 x (-3) + 0 x 0 = -4 -3

2 x (-4) + 7 x 2 2 x (-3) + 7 x 0 6 -6

Ejemplo

¿Cuándo es posible el producto de matrices?

(aij)m,n (bij)n,p =

Posible

filas

columnas

(cij)m,p

El producto de matrices es posible cuando coincide el número de columnas de una matriz con el número de filas de la otra matriz.

Propiedades del producto de matrices

I. Propiedad asociativa. Para las matrices A de dimensión m x n, B de dimensión n x p y C de dimensión p x r, tenemos que:

A . (B . C) = (A . B) . C

II. Elemento unidad. Si A es una matriz de tamaño m x n, y las matrices identidad de orden m y n, respectivamente, se tiene:

Im · A = A · In = A

III. Propiedad distributiva a la izquierda. Para las matrices A de dimensión m x n, B de dimensión n x r y C de dimensión n x r. Tenemos que:

A . (B + C) = A . B + A . C

IV. Propiedad distributiva a la derecha. Para las matrices A de dimensión m x n, B de dimensión m x n y C de dimensión n x p. Se cumple que:

(A + B) . C = A . C + B . C

Propiedad distributiva

Producto: Potencia de una matriz

Si A es una matriz cuadrada, las potencias de A, de exponente natural, se definen como en el caso de los números naturales: el exponente indica el número de veces que se multiplica la matriz por sí misma.

An = A . A . ........... . A

An = A … A = A A n-1 = =

n- veces

1 10 1

1 n-10 1

1 n0 1

1 10 1A =

1 10 1A2 =

1 10 1A2 =A A =

1 10 1

1 20 1

A2 =

Ejemplo

Unidad 1 Matrices y Determinantes. (pp. 27 a 30) disponible en: http://gc.scalahed.com/buscador/recurso/ver/13166

Referencias Bibliográficas