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OPTIMIZACIOPTIMIZACIÓÓNNEXPERIMENTALEXPERIMENTAL

Ing. José Luis Zamorano E.

IntroducciIntroduccióón a la metodologn a la metodologííaade superficies de respuestade superficies de respuesta

EXPERIMENTACIÓN: Significa variar deliberadamente las condiciones habituales de trabajo para encontrar mejores maneras de proceder, y ganar al mismo tiempo un conocimiento más profundo sobre el comportamiento de productos y/o procesos.

ESTRATEGIA PARA UNA EXPERIMENTACIESTRATEGIA PARA UNA EXPERIMENTACIÓÓN N EFICIENTE:EFICIENTE:

Objetivo

Experimentación

Diseño

Experimental

Modelos

Análisis de

Resultados

LA METODOLOGIA DE SUPERFICIES DE LA METODOLOGIA DE SUPERFICIES DE RESPUESTARESPUESTA

Conjunto de técnicas matemáticas y estadísticas útiles para modelar y analizar problemas en los cuales una respuesta de interés es influida por varias variables, y su objetivo es optimizar esta respuesta

LA METODOLOGIA DE SUPERFICIES DE LA METODOLOGIA DE SUPERFICIES DE RESPUESTARESPUESTA

�Necesidad de un modelo:- La capacidad de predecir o explicar el valor de cierta respuesta Yuna vez conocidos los valores de otras variables xi’s.- El hecho de poder seleccionar aquellas condiciones de los factores xi`s que permitan optimizar una la respuesta Y.

Superficie de respuestaSuperficie de respuesta

Reactor

Temperatura ºC

Tiempo min.

Cantidad gr.

Y = f(x1,x2)

x1

x2 y


DESIGN-EXPERT Plot

Actual Factors:

X = Tiempo

Y = Temperatura

42

58

74

90

106 Cantidad

60

82

105

128

150

210 222

235 248

260 Tiempo

Temperatura

Estrategias de la metodologEstrategias de la metodologíía de a de superficie de respuestasuperficie de respuesta

� Estrategia de primer orden:

Diseño 2k

- Estimación de un modelo lineal por mínimos cuadradosUso de mapas de contornos ó curvas de nivelCamino de la máxima pendiente (steepest ascent)

ESTRATEGIA DE PRIMER ORDENESTRATEGIA DE PRIMER ORDEN

i

ioii

x

xxx

∆

−='

((+1,+1)+1,+1)

((+1,+1,--1)1)

((--1,+1)1,+1)

((--1,1,--1)1)

((0,0)0,0)

∆

CodificaciCodificacióón de variablesn de variables

i

ioii

x

xxx

∆

−='

Variable Temperatura

Nivel inferior 60ºC

Nivel Superior 80ºC

60ºC 70ºC 80ºC

-1 0 +1

∆ = 10 ∆ = 10

Xi0

DiseDiseñño de primer ordeno de primer orden

0

0

0

+1

+1

-1

-1

x’2

x20

x20

x20

x20-∆x2

x20-∆x2

x20-∆x2

x20-∆x2

x2

y70x10

y60x10

y50x10

y4+1x10+∆x1

y3-1x10-∆x1

y2+1x10+∆x1

y1-1x10-∆x1

yx’1x1

RespuestasMatriz de diseñoVariables


Modelo de primer ordenModelo de primer orden

∑+= ii xbby 0ˆ

Trayectoria Trayectoria mmááxima xima pendientependiente

RegiRegióón Superficie n Superficie ajustadaajustada

YY=25=25

YY=35=35YY=55=55


Pendiente NormalizadaPendiente Normalizada

2/12

2

1

1

ˆ

....ˆˆ

ˆ

ˆ

∂

∂

+∂

∂+

∂

∂

=∇

∇

∑ix

y

x

y

x

y

y

yδ

DESIGN-EXPERT Plot

Actual Factors:

X = Tiempo

Y = Temperatura

Cantidad

Tiempo

Temperatura

60 82 105 128 150

210

222

235

248

260

5160

6978

78

88

88

88

92

96

104

101

5

BusquedaBusqueda del del óóptimoptimo

ESTRATEGIA DE PRIMER ORDENESTRATEGIA DE PRIMER ORDENObjetivo

Ajusta ?

SELECCIÓN

HIPÓTESISAproximación

Lineal

Diseño

ModeloPrimer Orden HIPOTESIS

AproximaciónCuadrática

MAXIMA PENDIENTEExperimentos a lo largo del

camino

Si

No

ANALISIS DE REGRESIANALISIS DE REGRESIÓÓNN

Qué entendemos por análisis de

Regresión?

Análisis de regresión es la aplicación de

métodos matemáticos y estadísticos para

el análisis de datos experimentales, y el

“ajuste” de estos modelos matemáticos a

los datos mediante la estimación de

parámetros desconocidos de los modelos.


Modelos lineales

22110ˆ xbxbby ++=

)1

exp(2110

ˆ xbxbby ++=

Modelos no lineales

)12exp(

11

0ˆ

xbb

by

+=

Mínimos cuadrados: es la suma de cuadrados de las diferencias entre los valores experimentales y los valores estimados por el modelo:


2 2( )1 1

n ne y yii i

i iφ

∧

= = −∑ ∑= =

bXY *ˆ =


( ) ( )ˆ ˆT

Te e Y Y Y YΘ = = − −

( ) ( )TTe e Y Xb Y XbΘ = = − −

( ) ( ) 02 =−−=∂

Θ∂XbYX

b

T


( ) ( )XbXYX TT =

( ) ( )YXXXb TT 1−=

Ajuste de modelos (RegresiAjuste de modelos (Regresióón)n)

0

0

0

+1

+1

-1

-1

x’2

1

1

1

1

1

1

1

x’o

y70

y60

y50

y4+1

y3-1

y2+1

y1-1

yx’1

RespuestasMatriz de diseño

b = (XTX)-1 (XTY)

DistribuciDistribucióón de varianzas en regresin de varianzas en regresióónn

_ _ _ _2 2 2 2

1 1 1

( ) ( ) ( ) ( )ipn n

ij i i iji i i iy Y p y Y p y y y y

∧ ∧

− = − + − + −∑∑ ∑ ∑ ∑∑

SCT SCR SC(Aj) SCE

AnAnáálisis de varianza para regresilisis de varianza para regresióónn

SS(E)MSA= ------------

Σpi-n

Σpi-nSS(E)Error Puro

MS(Aj)FAj = ----------

MSE

SS(Aj)MSAB= -------------

(n-q-1)

n-q-1SS(Aj)Falta de Ajuste

Error

SSRMSR= ----------

q

qSSRDebido a la

Regresión

Fo

Experim

Cuadrado MedioGrados

Libertad

Suma de

Cuadrados

Fuente de

Variación

Se acepta el modelo si : FAj < Fcrit

q=# de parámetros del modelo sin el término independiente

n=# de puntos experimentales pi=# de repeticiones por punto

Estrategias de la metodologEstrategias de la metodologíía de a de superficie de respuestasuperficie de respuesta

� Estrategia de Segundo orden:

Diseño 2k + Diseño Estrella + Puntos centrales- Estimación de un modelo de segundo orden por mínimos cuadradosUso de mapas de contornos ó curvas de nivelAnálisis Canónico

DiseDiseñños experimentales para modelos de os experimentales para modelos de segundo ordensegundo orden

((--1,+1)1,+1)((+1,+1)+1,+1)

((--1,1,--1)1) (+(+1,1,--1)1)

((0,0)0,0)

(0(0,+,+αα))

(+(+αα,0),0)((--αα,0),0)

(0(0,,--αα))

α=2k/4

DiseDiseñño Rotable o Rotable Compuesto CentralCompuesto Central

YYYY7777----αααα0000

YYYY66660000++++αααα

yyyy1111111100000000xxxx20202020xxxx10101010

YYYY55550000----αααα

YYYY8888++++αααα0000

0000

0000

+1+1+1+1

+1+1+1+1

----1111

----1111

xxxx’’’’2222

xxxx20202020

xxxx20202020

xxxx20202020----∆∆∆∆xxxx2222

xxxx20202020----∆∆∆∆xxxx2222

xxxx20202020----∆∆∆∆xxxx2222

xxxx20202020----∆∆∆∆xxxx2222

xxxx2222

YYYY101010100000xxxx10101010

YYYY99990000xxxx10101010

YYYY4444+1+1+1+1xxxx10101010++++∆∆∆∆xxxx1111

YYYY3333----1111xxxx10101010----∆∆∆∆xxxx1111

YYYY2222+1+1+1+1xxxx10101010++++∆∆∆∆xxxx1111

YYYY1111----1111xxxx10101010----∆∆∆∆xxxx1111

YYYYxxxx’’’’1111xxxx1111

RespuestasMatriz de diseñoVariables

Modelo de Segundo OrdenModelo de Segundo Orden

∑∑∑ ++= jiijii xxbxbby 0ˆ

Ajuste de un modelo de segundo ordenAjuste de un modelo de segundo orden

0

0

0

0

0

0

0

+1

-1

-1

+1

x’1 x’2

0

0

0

0

0

α2

α2

+1

+1

+1

+1

(x’1)2

0

0

0

0

0

+α

-α

+1

-1

+1

-1

x’1xo

Y7α2-α1

Y6001

y11001

Y5001

Y8α2+α1

0

0

+1

+1

+1

+1

(x’2)2

Y1001

Y901

Y4+11

Y3+11

Y2-11

Y1-11

Yx’2

RespuestasMatriz de diseño

b = (XTX)-1 (XTY)


DESIGN-EXPERT Plot

Actual Factors:

X = Tiempo

Y = Temperatura

42

58

74

90

106

Cantidad

60

82

105

128

150

210 222

235 248

260 Tiempo

Temperatura

Y=b0+b1x1+b2x2+b11x12+b22x22+b12x1x2

BIBLIOGRAFIABIBLIOGRAFIA• Diseño y análisis de experimentos, MONTGÓMERY;

Biblioteca Carrera Ing. Química

• Process Análysis by statistical methods; HIMMELBLAU. Biblioteca Particular.

• Quality by experimental design, BARKER. Biblioteca particular.

• Principios de optimización de procesos, DIAZ MATA; Biblioteca Carrera Ing. Química (Fotocopia)

• Métodos estadísticos, control y mejora de la calidad, BARTES. Biblioteca Carrera Ing. Química (Fotocopia).

• Planificación experimental y optimización, ZAMORANO. Biblioteca Carrera Ing. Química (Fotocopia).

• Probabilidad y estadística para ingenieros; WALPOLE. Biblioteca Carrera Ing. Química.

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