Organización del Organización del Computador 1Computador 1

Lógica Digital 1Lógica Digital 1

Algebra de Boole y compuertasAlgebra de Boole y compuertas

Representación de la InformaciónRepresentación de la Información

La computadoras necesitan almacenar La computadoras necesitan almacenar datos e instrucciones en memoriadatos e instrucciones en memoria

Sistema binario (sólo dos estados Sistema binario (sólo dos estados posibles)posibles)

Por qué?Por qué? Es mucho más sencillo identificar entre sólo Es mucho más sencillo identificar entre sólo

dos estados dos estados Es menos propenso a erroresEs menos propenso a errores

Lógica digitalLógica digital

Los circuitos operan con valores [0, 1], que Los circuitos operan con valores [0, 1], que pueden ser interpretados lógicamente pueden ser interpretados lógicamente como [Falso, Verdadero].como [Falso, Verdadero].

Idea:Idea: implementar las operaciones lógicas implementar las operaciones lógicas y matemáticas combinando circuitosy matemáticas combinando circuitos

George Boole, desarrolló un sistema algebraico para formalizar la lógica proposicional. El libro se llama “Análisis matemático de la lógica”.

George Boole1815-1864

Algebra de BooleAlgebra de Boole

El sistema consiste en un cálculo para resolver problemas de lógica proposicional (dos valores posibles [0, 1] y tres operaciones:

• AND (y) • OR (o) • NOT (no) )

Operadores básicosOperadores básicos

Un operador booleano puede ser Un operador booleano puede ser completamente descripto usando completamente descripto usando tablas de verdadtablas de verdad..

El operador El operador ANDAND es conocido como es conocido como producto booleano (.) y el producto booleano (.) y el OROR como como co-producto booleano (+)co-producto booleano (+)

El operador El operador NOTNOT (¬ ó una barra (¬ ó una barra encima de la expresión) conocido encima de la expresión) conocido como complemento.como complemento.

Funciones booleanasFunciones booleanas

Tabla de verdad de Tabla de verdad de esta función:esta función:

El NOT tiene más El NOT tiene más precedencia que el resto precedencia que el resto de los operadoresde los operadores

Y el AND más que el ORY el AND más que el OR

Identidades del Algebra de BooleIdentidades del Algebra de Boole

IdentidadIdentidad 1.A=A1.A=A 0+A=A0+A=A

NulaNula 0.A=00.A=0 1+A=11+A=1

IdempotenciaIdempotencia A.A=AA.A=A A+A=AA+A=A

InversaInversa A.˜A=0A.˜A=0 A+˜A=1A+˜A=1

ConmutativaConmutativa A.B=B.AA.B=B.A A+B=B+AA+B=B+A

AsociativaAsociativa (A.B)C=A.(B.C)(A.B)C=A.(B.C) (A+B)+C=A+(B+C)(A+B)+C=A+(B+C)

DistributivaDistributiva A+B.C=(A+B).(A+C)A+B.C=(A+B).(A+C) A.(B+C)=A.B+A.CA.(B+C)=A.B+A.C

AbsorciónAbsorción A.(A+B)=AA.(A+B)=A A+A.B=AA+A.B=A

De MorganDe Morgan ˜(A.B) = ˜A+˜B˜(A.B) = ˜A+˜B ˜(A+B) = ˜A.˜B˜(A+B) = ˜A.˜B

EjemploEjemplo

Usando identidades booleanas podemos reducir esta Usando identidades booleanas podemos reducir esta

función:función:

(X+Y)(X+(X+Y)(X+Y)(Y)(X+Z)X+Z) DeMorganDeMorgan

(XX + X(XX + XY+YX+YY+YX+YY)(Y)(X+Z)X+Z) DistributivaDistributiva

(X + X(X + XY+YX + 0) (Y+YX + 0) (X+Z)X+Z) Indempotencia e InversaIndempotencia e Inversa

(X + X((X + X(Y+Y)) (Y+Y)) (X+Z)X+Z) Nula y DistributivaNula y Distributiva

(X) ((X) (X+Z)X+Z) Inversa, Identidad y NulaInversa, Identidad y Nula

XXX+XZX+XZ DistributivaDistributiva

XZXZ Inversa e IdentidadInversa e Identidad

Fórmulas equivalentesFórmulas equivalentes

Varias fórmulas pueden tener la Varias fórmulas pueden tener la misma tabla de verdadmisma tabla de verdad Son lógicamente equivalentesSon lógicamente equivalentes

En general se suelen elegir las formas En general se suelen elegir las formas “canónicas”“canónicas” Suma de productos: Suma de productos:

• F(x,y,z) = xy + xz +yzF(x,y,z) = xy + xz +yz Producto de sumas: Producto de sumas:

• F(x,y,z) = (x+y) . (x+z) .(y+z)F(x,y,z) = (x+y) . (x+z) .(y+z)

Suma de ProductosSuma de Productos

Es fácil convertir una Es fácil convertir una función a una función a una suma de suma de productosproductos usando la tabla usando la tabla de verdad.de verdad.

Elegimos los valores que Elegimos los valores que dan 1 y hacemos un dan 1 y hacemos un producto (AND) de la fila producto (AND) de la fila (negando si aparece un 0)(negando si aparece un 0)

Luego sumamos todo (OR)Luego sumamos todo (OR)

F(x,y,z) = (¬F(x,y,z) = (¬xxy¬z)+(¬xyz)+(x¬y¬z)+(xy¬z)+(xyz)y¬z)+(¬xyz)+(x¬y¬z)+(xy¬z)+(xyz)

Circuitos booleanosCircuitos booleanos

Las computadores digitales contienen Las computadores digitales contienen circuitos que implementan funciones circuitos que implementan funciones booleanasbooleanas

Cuando más simple la función más chico Cuando más simple la función más chico el circuitoel circuito Son más baratos, consumen menos, y en Son más baratos, consumen menos, y en

ocasiones son mas rápidos!ocasiones son mas rápidos! Podemos usar las identidades del algebra Podemos usar las identidades del algebra

de Boole para reducir estas funciones.de Boole para reducir estas funciones.

Compuertas lógicasCompuertas lógicas

Una compuerta es un dispositivo electrónico Una compuerta es un dispositivo electrónico que produce un resultado en base a un que produce un resultado en base a un conjunto de valores de valores de entradaconjunto de valores de valores de entrada

En realidad, están formadas por uno o En realidad, están formadas por uno o varios transitores, pero lo podemos ver varios transitores, pero lo podemos ver como una unidad.como una unidad.

Los circuitos integrados contienen Los circuitos integrados contienen colecciones de compuertas conectadas con colecciones de compuertas conectadas con algún propósitoalgún propósito

Compuertas LógicasCompuertas Lógicas

Las más simples: AND, OR, y NOT.Las más simples: AND, OR, y NOT.

Se corresponden exactamente con las funciones Se corresponden exactamente con las funciones booleanas que vimosbooleanas que vimos

Compuertas lógicasCompuertas lógicas

Una compuerta muy útil: el OR exclusivo (XOR)Una compuerta muy útil: el OR exclusivo (XOR) La salida es 1 cuando los valores de entrada La salida es 1 cuando los valores de entrada

difieren.difieren.

Usamos el simbolo para el XOR.

Componentes digitalesComponentes digitales

Combinando compuertas se pueden Combinando compuertas se pueden implementar funciones booleanasimplementar funciones booleanas

Este circuito implementa la siguiente Este circuito implementa la siguiente función:función:

Simplificando las funciones se crean circuitos más chicos!

Ejemplo: La función MayoríaEjemplo: La función Mayoría

AA BB CC MM

00 00 00 00

00 00 11 00

00 11 00 00

00 11 11 11

11 00 00 00

11 00 11 11

11 11 00 11

11 11 11 11

ABCCABCBABCAC)B,M(A,

NANDNAND y y NORNOR son dos son dos compuertas muy compuertas muy importantes. importantes.

Con la identidad de De Con la identidad de De Morgan se pueden Morgan se pueden implementar con implementar con ANDAND u u OROR..

Son más baratas y ambas Son más baratas y ambas por sí solas son un por sí solas son un conjunto adecuado para conjunto adecuado para la lógica proposicional. Es la lógica proposicional. Es decir que cualquier decir que cualquier operador se puede operador se puede escribir usando cualquiera escribir usando cualquiera de ellas.de ellas.

Compuertas lógicasCompuertas lógicas

NAND y NORNAND y NOR

EjercicioEjercicio

Ejemplo: NOT usando NANDEjemplo: NOT usando NAND

Utilizando solo NAND o NOR Utilizando solo NAND o NOR realizar circuitos con la realizar circuitos con la misma funcionalidad que el misma funcionalidad que el AND y ORAND y OR

Circuitos combinatoriosCircuitos combinatorios

Producen una salida específica (casi) Producen una salida específica (casi) al instante que se le aplican valores de al instante que se le aplican valores de entradaentrada

Implementan funciones booleanasImplementan funciones booleanas La aritmética y la lógica de la CPU se La aritmética y la lógica de la CPU se

implementan con estos circuitosimplementan con estos circuitos

SumadoresSumadores

Como podemos Como podemos construir un circuito construir un circuito que sume dos bits X que sume dos bits X e Y?e Y?

F(X,Y) = X + Y (suma F(X,Y) = X + Y (suma aritmética)aritmética)

Que pasa si X=1 e Que pasa si X=1 e Y=1?Y=1?

Podemos usar un XOR para Podemos usar un XOR para la suma y un AND para el la suma y un AND para el acarreoacarreo

A este circuito se lo llama A este circuito se lo llama Half-AdderHalf-Adder

Half-AdderHalf-Adder

X

Y

C

Half Adder

¿Cómo se suman números de dos bits?

Ej:

1 1 + 1 1

___________________

Full AddersFull Adders

Full AddersFull Adders

¿Cómo se suman números de dos bits?

Ej: 1

1 1 + 1 1

___________________

0

¿Cómo se suman números de dos bits?

Ej: 1 1

1 1 + 1 1

___________________

1 0

Full AddersFull Adders

Full AddersFull Adders

¿Cómo se suman números de dos bits?

Ej: 1 1

1 1 + 1 1

___________________

1 1 0

Full AdderX

Y

Ci

Co

Full AddersFull Adders

¿Cómo se suman números de dos bits?

Ej: 1 1

1 1 + 1 1

___________________

1 1 0

En el caso de los Full Adders se asume que poseen una entrada más, el acarreo.

¿Podemos adaptar ¿Podemos adaptar nuestro half-adder para nuestro half-adder para convertirlo en un full convertirlo en un full adder?adder?

Full AddersFull Adders

Half Adder

X

Y

Ci

Co

Full Adder

Half Adder

C

C

X

Y

Full AddersFull Adders

He aquí el full adderHe aquí el full adder

Full AddersFull Adders

Ejercicio: diseñar un sumador de cuatro bits usando half y/o full adders.

Ae

B

As

Full AdderA

A

B

As

Half Adder

A4 A3 A2 A1B4 B3 B2 B1

+

C5 C4 C3 C2 C1

AddersAdders

A4 A3 A2 A1

B4 B3 B2 B1+

C5 C4 C3 C2 C1

A1

B1

AsHA

AsFA

AsFA

Ae

AsFA

Ae

AeA2

B2

A3

B3

A4

B4

C1

C2

C3

C4

C5

Sumador de cuatro bits:

AddersAdders

DecodificadoresDecodificadores

Decodificadores de n entradas pueden Decodificadores de n entradas pueden seleccionar una de 2seleccionar una de 2nn salidas salidas

Son muy importantes, por ejemplo:Son muy importantes, por ejemplo: Seleccionar una locación en una memoria a partir Seleccionar una locación en una memoria a partir

de una dirección colocada en el bus memoriade una dirección colocada en el bus memoria

Decodificadores - EjemploDecodificadores - Ejemplo

Decodificador 2-a-4Decodificador 2-a-4

Si x = 0 e y = 1, que línea de salida queda habilitada?

Selecciona una salida a de Selecciona una salida a de varias entradas varias entradas

La entrada que es La entrada que es seleccionada como salida es seleccionada como salida es determinada por las líneas determinada por las líneas de controlde control

Para seleccionar entre Para seleccionar entre nn entradas, se necesitan entradas, se necesitan loglog22nn líneas de control.líneas de control.

MultiplexoresMultiplexores

DemultiplexorDemultiplexor Exactamente lo contrarioExactamente lo contrario Dada una entrada la Dada una entrada la direcciona entre direcciona entre nn salidas, salidas, usando usando loglog22nn líneas de control. líneas de control.

Así luce un multiplexor 4-a-1Así luce un multiplexor 4-a-1

Si S0 = 1 y S1 = 0, que entrada es transferida a la salida?

Multiplexor - EjemploMultiplexor - Ejemplo

Función MayoríaFunción Mayoría

Ejercicio: Implementar la función Ejercicio: Implementar la función Mayoría con un MultiplexorMayoría con un Multiplexor

Ejercicio: Implementar la función Ejercicio: Implementar la función Mayoría con un MultiplexorMayoría con un Multiplexor

EjercicioEjercicio

Construir una ALU de 1 bitConstruir una ALU de 1 bit 3 entradas:3 entradas:

A, B, CarryA, B, Carry Cuatro operaciones: Cuatro operaciones:

A.B, A+B, NOT B, Suma(A,B,Carry)A.B, A+B, NOT B, Suma(A,B,Carry) SalidasSalidas

Resultado, CarryResultado, CarryOutOut

Alu de 1bitAlu de 1bit

Decoder

Full Adder

Alu de 1bitAlu de 1bit

Un ALU de 8 bitsUn ALU de 8 bits

Memoria ROMMemoria ROM

ROM usando un decoderROM usando un decoder

LinksLinks

Libro TanenbaumLibro Tanenbaum Demo compuertas: Demo compuertas:

http://www.play-hookey.com/digital/derived_gates.html

Para ver Compuertas logicas en detalle: Para ver Compuertas logicas en detalle: http://www.csc.sdstate.edu/%7egamradtk/csc317/csc317notes.html