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Temas Selectos de Física II

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Organizador Gráfico de la Unidad

PÉNDULO SIMPLE Y

COMPUESTO

MÉCANICA ONDULATORIA

CaracterísticasTipos de Ondas FenómenosOndulatorios

CARACTERÍSTICASDE UNA ONDA

YTIPOSS DEE ONDAS

MOVIMIENTOARMÓNICO

SIMPLE(MAS)

Conceptos Fundamentales

Ley de Hooke Cálculo de posición,Velocidad y Aceleración del MAS

71

Mecánica Ondulatoria

CCAARRAACCTTEERRÍÍSSTTIICCAASS DDEE UUNNAAOONNDDAA YY TTIIPPOOSS DDEE OONNDDAA..

En nuestra infancia, la mayoría de nosotros dejamos caer una piedra en un estanque y podíamos observar como se formaban pequeñas perturbaciones (ondas) en el agua, que se iban alejando del punto donde entró la piedra en el agua. (ver figura no. 1). Si analizamos el movimiento de un pedazo de madera que flota cerca de la perturbación, veremos que sube y baja en un movimiento de vaivén alrededor de su posición original, pero no experimenta un desplazamiento neto apreciable en comparación con la perturbación. Esto significa que la onda que se genera se mueve de un lugar a otro, pero con ella no se mueve el agua, es decir, una OOnda es una perturbación que se desplaza a través de un medio mientras éste permanece básicamente en reposo en comparación con la velocidad de propagación de la onda. El medio en que se propagan puede ser: aire, agua, tierra, metal, vacío, etc.

Los diferentes sonidos musicales que escuchamos, los sismos producidos por un terremoto, etc., todos estos son fenómenos ondulatorios. Una característica muy importante de la onda es que da información de que ha ocurrido una perturbación en un medio por un efecto vibratorio el cual genera energía. La energía que se transfiere de una partícula a otra es la que se propaga, no el medio material a esto se le llama mmovimiento ondulatorio.

2.1.1. Tipos de onda.

El movimiento ondulatorio estudia las ondas mecánicas y electromagnéticas.

Las ondas mecánicas y electromagnéticas tienen mucho en común y se describen en un lenguaje muy parecido. Por lo que para comprender mejor el estudio de las ondas empezaremos por entender las ondas mecánicas, porque sus principales características nos servirán más adelante para el análisis de las ondas electromagnéticas.

Las ondas mecánicas son aquellas que necesitan de un medio (sólido, líquido o gaseoso) para poder propagarse. Las partículas del medio oscilan alrededor de un punto fijo, por lo que no existe transporte neto de materia a través del medio. Sin embargo, para poner en movimiento una onda se debe aportar energía para que se pueda realizar un trabajo mecánico, por lo tanto, en todo tipo de onda no se transporta materia sino lo que se transporta es energía.

22..11

EJERCICIO 1

Como te habrás dado cuenta nuestro mundo está lleno de ondas. En equipo decuatro miembros, anota en tu cuaderno cinco diferentes casos en donde sepresentan las ondas y clasifícalas.

Figura 1. Onda superficial del agua.


72

Figura 5. Onda transversal

Las formas de propagación (frente de onda) se clasifican en lineales,superficiales y tridimensionales, dependiendo del medio en el que se presentan.

Las ondas lineales o planas son las que se propagan en una dirección, por ejemplo: las que se propagan sobre una cuerda, un alambre, un resorte, etc. Las ondas Superficiales se propagan en dos dimensiones como las que se presentan en la superficie de agua, sobre la superficie de un pupitre, etc. y las tridimensionales que se propagan en tres dimensiones, como las de un sismo, un tsunami, una onda sonora, etc.(figura 2)

Cuando se estudia el tema de ondas es necesario utilizar la siguiente terminología:

Frente de onda: Es el lugar donde todos los puntos adyacentes en los cuales el estado de movimiento o fase de vibración de una magnitud física, asociado con la onda es la misma. Los frentes de onda pueden darse en forma esférica o plana. (ver figura 3 y 4).

Rayos: Son líneas imaginarias que indican la dirección de propagación de una onda y se representan por medio de flechas. Siempre son perpendiculares a los frentes de ondas. (ver figura 3 y 4).

A su vez las ondas mecánicas se clasifican según su dirección de propagación en ttransversales y longitudinales.

Una forma muy sencilla de demostrar la formación de una onda transversal es a través de una cuerda larga donde un extremo está bajo tensión y tenga un extremo fijo como se muestra en la figura no. 5. Cuando se realiza un movimiento lateral rápido de la muñeca va a

provocar una protuberancia llamada pulso que viaja hacia la derecha a través de la cuerda donde se puede observar que la dirección de las partículas del medio se desplazan en una dirección perpendicular a la dirección de propagación de la onda, cuando esto sucede se le conoce como: oonda transversal.

Si una onda tiene un movimiento repetitivo o periódico al propagarse por un medio se le conoce como onda periódica.

.

a

b)

c)Figura 2. Tipos de ondas: a) lineal, b) superficial y c) tridimensional.

Figura 3: Frente de onda y rayo.

Figura 4: Frente de onda y rayos de una onda plana.

73


Las oondas longitudinales son aquellas donde la dirección del movimiento de las partículas del medio es paralela a la dirección de propagación de la onda. Las ondas longitudinales se denominan también ondas compresionales. Un ejemplo típico es cuando las espiras de un resorte tenso están comprimidas en un extremo y se sueltan, un pulso de onda viaja por el resorte, donde se puede observar en la figura no. 6, que las “partículas del resorte se mueven de un lado a otro en dirección paralela a la dirección de propagación de la onda.

Figura 6. Onda longitudinal.

2.1.1. Características de onda.

Todos los fenómenos ondulatorios, sin importar su naturaleza, presentan un tipo de onda sinusoidal y comparten algunas propiedades y características, como nos muestra la siguiente figura 7.

TAREA 1

Página 93.

Figura 7. Onda armónica lineal de tipo transversal.


74

Cresta : Parte de la onda que se encuentra por encima de la línea de equilibrio y se simboliza con la letra “CC”.Valle: Parte de la onda que se encuentra por debajo de la línea de equilibrio y se simboliza con la letra “VV”.Elongación: Son las alturas que se encuentran de la línea de equilibrio hacia cualquier punto de la onda y se simboliza con la letra “ee”. Amplitud: Es la máxima altura de una cresta o un valle. En cualquier tipo de onda y se simboliza con la letra “AA”.Nodo: Son lugares donde la amplitud es cero y se simboliza con la letra “NN”. Frecuencia: Es el número de veces que se repite una onda completa y se representa con la letra “f”. En toda onda periódica, la frecuencia permanece constante desde que nace hasta que muera. La unidad de frecuencia en el Sistema Internacional es de 1/seg que se e conoce como Hertz (Hz). Período: Es el tiempo de duración de una onda y se simboliza con la letra “TT”. Por lo tanto, el período y la frecuencia se relacionan con la siguiente ecuación:

Ec. No. 1

Longitud de onda: Es la distancia entre una cresta a la siguiente cresta o de un valle al siguiente valle o de cualquier punto de la onda al siguiente punto correspondiente, la longitud de onda se representa por la letra griega llamada “lambda” ( ).Rapidez de Propagación: Se define como el cociente de la distancia que experimenta un pulso entre el tiempo en que se realice y se representa con la

letra ”v ”. Su valor depende de las propiedades mecánicas del medio.

donde:

Por lo tanto:

Sustituyendo la ecuación No. 1 en la ecuación No. 3, tenemos:

Las ondas electromagnéticas: Son aquellas que pueden viajar tanto en el vacío como en un medio; son de tipo transversal, es decir, sus campos eléctricos y magnéticos son perpendiculares entre sí y a la dirección de propagación. (ver figura No. 8)

fT 1

tdv

Tv

fv

Ttd yEc. No. 2

Ec. No. 3

Ec. No. 4

TAREA 2

Página 95.

75


Figura 8. Onda electromagnética.

Toda onda electromagnética tiene una rapidez de propagación en el vacío de 300 000 Km/s (3 X 108 m/s) y cuando penetran a medios de diferentes densidad su valor va disminuyendo, entre más denso es el medio, menor es su rapidez de propagación.

Como la rapidez de propagación de las ondas electromagnéticas en el vacío es la misma rapidez definida y constante en que viaja la luz, entonces, la ecuación de rapidez de propagación para ondas electromagnéticas, se puede expresar de la siguiente forma:

Ec. No. 5

Donde: C = velocidad de la luz = Longitud de onda

f = frecuencia

Ejemplos:

1.Determina la longitud de una onda sonora con frecuencia de 784 Hertz que corresponda a la nota Sol de la quinta octava de un piano. Si la rapidez del sonido en el aire es de 344 m/s a una temperatura de 20 0C.

Datos:f = 784 Hz

v = 344 m/s

= ?

fv

fv

Hz748m/seg344

Resultado: m0.459

fCTAREA 3

Página 97.


76

2.Un radiador de microondas que presenta una longitud de onda de 25 cm, se usa para medir las magnitudes de las velocidades de automóviles. Determina la frecuencia que emite su radiación

2.1.2. Fenómenos Ondulatorios.

Éstos se presentan cuando las ondas viajan en un medio y se encuentran con obstáculos u otros medios en su camino donde los efectos más comunes que se presentan son los siguientes fenómenos ondulatorios:

Difracción: Se presenta cuando una onda viajera se encuentra con el borde de un obstáculo y deja de viajar en línea recta para rodearlo y continuar viajando en el medio. Se produce cuando la longitud de onda es mayor que las dimensiones del objeto.

Reflexión: Ocurre cuando una onda al ir viajando choca o incide sobre un medio al que no puede penetrar y cambia su dirección, es decir rebotan, volviendo al mismo medio donde venían viajando.

Datos: = 25 cm = 0.25 m

C = 3 X 108 m/s f = ?

fC

vCf

m0.25m/seg10X3 8

f

Resultado: Hz01 x 1.2 9f

Utilizando la fórmula de rapidez de propagación de ondas mecánicas yelectromagnéticas. Resuelve los siguientes ejercicios.

1.Un barco envía una onda sonora a través de un sistema de sonar hacia el fondodel océano, donde se refleja y se regresa. Si el viaje redondo es de 0.6 seg. ¿Aqué profundidad se encuentra el fondo? Considera que la rapidez del sonido enel agua de mar es aproximadamente 1489 m/seg.

2.La longitud de onda de la luz verde es de 5.3 manómetros. Calcula su frecuencia.

3.Determina la longitud de onda de una onda electromagnética con una frecuenciade 5.70 X 1014 Hz se propaga con una rapidez de 2.17 X 108 m/s en ciertoobjeto de vidrio.

EJERCICIO 2

TAREA 4

Página 99.

77


Refracción: Ocurre cuando una onda al ir viajando, cambia su dirección y rapidez de propagación al pasar a otro medio de distinta densidad.

Interferencia: Se presenta cuando dos o más ondas se superponen combinándose entre sí al encontrarse en el mismo punto en tiempo y espacio, modificando o alterando sus características por instantes de tiempo durante sus trayectos por el medio donde viajan, dando lugar a interferencias constructivas o destructivas.

MMOOVVIIMMIIEENNTTOO AARRMMÓÓNNIICCOO SSIIMMPPLLEE..

Muchos tipos de movimientos se repiten una y otra vez en el tiempo, como por ejemplo: un péndulo oscilante de un reloj de pedestal, las vibraciones sonoras producidas por un clarinete, el movimiento de los pistones del motor de un automóvil, una cuerda que se agite constantemente hacia arriba y hacia abajo, etc. A este tipo de movimiento se le llama Movimiento Periódico u Oscilación.

Un movimiento periódico se caracteriza porque un cuerpo oscila de un lado y al otro de un punto o su posición de equilibrio en una dirección determinada y en intervalos iguales de tiempo. Cuando la partícula se aleja de su posición de equilibrio y se suelta entra en acción una fuerza o un momento de torsión para volverlo al punto de equilibrio. Sin embargo, para cuando llegue al punto central ya habrá adquirido cierta energía cinética que lo hace pasarse hasta detenerse del otro lado, de donde será impulsado otra vez al punto de equilibrio repitiéndose así sucesivamente con respecto al tiempo.

Por ejemplo, un cuerpo con masa m se mueve horizontalmente sin fricción, de modo que solo puede desplazarse en el eje xx. El cuerpo esta conectado a un resorte de masa despreciable que puede estirarse o comprimirse. Si el cuerpo se desplaza respecto a su posición de equilibrio, la fuerza del resorte tiende a regresarlo a su posición central. A una fuerza con esta característica se le conoce como fuerza de restitución o restauradora (ver figura 9).

Figura 9. Ejemplo del movimiento armónico simple.

22..22..

TAREA 5

Página 101.


78

Por lo anterior, un Movimiento Armónico Simple (MAS) es el tipo de movimiento más sencillo de oscilación y se define como un movimiento vibratorio bajo la acción de una fuerza de restitución F la cual es directamente proporcional al desplazamiento x respecto al equilibrio. Es un movimiento idealizado, donde se considera que sobre el sistema no existen las fuerzas de fricción.

2.2.1Conceptos fundamentales.

Posición de equilibrio: es la posición en la cual no actúa ninguna fuerza neta sobre la partícula oscilante.

Amplitud: Es la magnitud máxima del desplazamiento respecto al punto de equilibrio, es decir el valor máximo de IxI; siempre es positivo y se denota por la letra ““A“.

Período: Es el tiempo requerido para que se realice una oscilación completa o un ciclo, está dado por:

Ec. No. 6

donde k es la constante del resorte y m la masa del objeto.

Frecuencia: Es el número de veces en que se repite una oscilación en la unidad del tiempo.

Tf 1

entonces:mkf

21

Ec. No. 7

Frecuencia angular: Es la rapidez de un cambio de un desplazamiento angular y siempre se mide en radianes/segundo.

Ec. No. 8

Fase: Es el estado de vibración inicial.

2.2.2.Ley de Hooke.

Cuando un objeto es sometido a fuerzas externas, sufre cambios de tamaño o de forma; o de ambos. Estos cambios dependen de las fuerzas intermoleculares que existen en el interior del material; es decir, sufre un esfuerzo o tensión en el interior del material, que provoca la deformación del mismo. Obsérvese la figura 10.

kmT 2

f2

79


Donde la Ley de Hooke se enuncia de la siguiente manera: “La fuerza que ejerce el resorte sobre un cuerpo (fuerza de restitución) es directamente proporcional al desplazamiento respecto al equilibrio”.

Ec. No. 9

donde “k” es la constante de resorte y “x” el desplazamiento. El valor de la constante depende de la forma del resorte y del material que ha sido construido.

El signo menos de la Ley de Hooke indica que la fuerza tiene sentido opuesto al desplazamiento. Por ejemplo, cuando un resorte se estira o comprime, su fuerza se opone al desplazamiento, es decir, se trata de una fuerza restauradora. Por lo que resulta que: una vibración ondulatoria requiere siempre una fuerza restauradora.

Los ejemplos comunes en que se utiliza La Ley de Hooke son: una masa suspendida en un resorte, las oscilaciones pequeñas de un péndulo simple, las de un péndulo torsional, etc. Donde no es válida, si la fuerza externa supera el límite de resistencia que ofrece una material para no quedar deformado permanentemente. Al máximo esfuerzo que un material puede soportar antes de quedar permanentemente deformado se denomina límite de elasticidad.

xkF -

EJERCICIO 3

En equipo de dos determinen las unidades de la constante de resorte en el sistemainternacional y preséntenlas al profesor.

Figura 10. Ley de Hooke.


80

Ejemplos:

1.Un objeto de masa de 20 Kg que cuelga de un resorte que cumple con la Ley de Hooke, presenta una constante de elasticidad de 300 N/m. Determina la deformación en centímetros que causa el objeto.

2. ¿Cuál es el período de oscilación de una masa de 0.2 Kg. que oscila en un resorte con una constante 16 N/m?

Datos:m = 0.2 Kgk = 16 N/m T = ?

mkf

21

kmT 2

KgmNf

2.0/16

21

MN

KGT16

2.02

Hzf 42.1 Resultado: sT 702.0

Datos:m = 20 Kgk = 300 N/m x = ?

kxF

kFx

En este caso cuerpodelpesoalequivqaleF

kmgx

mN

smKg

x300

8.920 2

Resultado: cmx 33.65

En forma individual resuelve el siguiente ejercicio y muéstrale tu resultado alprofesor.

Un cuerpo de masa desconocida se une a un resorte ideal con constante de fuerzade 140 N/m. Se observa que vibra con una frecuencia de 8 Hz. Calcula: a) el período, b) la frecuencia angular y c) la masa del cuerpo.

EJERCICIO 4

TAREA 6

Página 103.

81


2.2.3. Cálculo de Posición, Velocidad y Aceleración en el MAS.

2.2.3.1. Calculo de Posición.

Una partícula presenta un MAS como se muestra en la figura No. 8. Se puede observar que cuando se coloca una masa oscilante presentando un Movimiento Circular Uniforme (MCU), de tal manera que el movimiento se pueda graficar o proyectar en un papel describiendo un movimiento en términos de una función senoidal, es decir, de un Movimiento Armónico Simple (MAS). Relacionando que como los valores máximos y mínimos de la función seno son: +1 y -1, el movimiento se realiza en una región del eje x comprendida entre –A y +A, donde A es el radio de giro del mcu

Figura 11. Relación de MCU y MAS

El MAS de un cuerpo real se puede considerar como el movimiento de la “proyección” (sombra que se proyecta) de un cuerpo que describe un MCU de radio igual a la amplitud y velocidad angular, sobre el diámetro vertical de la circunferencia que recorre. Lo cual nos permite encontrar más fácilmente las ecuaciones del MAS sin tener que recurrir a cálculos matemáticos complejos.

La ecuación general de pposición de cualquier movimiento armónico simple es:

Ec. No. 10

donde:x: es la pposición en cualquier instante, respecto de la posición de equilibrio, de la partícula que vibra. (la elongación) t: Es el tiempo, en segundos. A: es lla amplitud.

: es la ffrecuencia angular y se mide en radianes/seg, que determina el movimiento y se relaciona con la constante del resorte de la siguiente forma:

tAsentx

TAREA 7

Página 105.


82

Datos:A = 0.25 m

= 52.3 rad/s a) f = ? b) T = ?

Ec. No. 11

. Es el áángulo de fase y su valor depende del instante que se selecciona como cero en la escala del tiempo, es decir: Cuando t = 0, = 0.

Ejemplo:1. La posición de una masa fija de un resorte se determina por la siguiente

ecuación:

Donde x se expresa en metros y t en segundos. ¿Cuál es la frecuencia de oscilación y el período? Según la ecuación:

2.2.3.2. Cálculo de Velocidad

La velocidad se obtiene derivando la ecuación 10, referente a la posición de cualquier movimiento armónico simple.

a) f2

2f

2

3.52 srad

f

Hzf 32.8

segTHz

T

fTb

12.032.8

1

1)

mk

tSenx 3.5225.0

Resuelve individualmente este ejercicio y expónselo a tu profesor. 1. La posición de un objeto se determina por la siguiente ecuación:

cmtSenx 200.3Determina la amplitud, la frecuencia y el período de las oscilaciones.

2.Un sistema oscila con una frecuencia de 50 Hz y con una amplitud de 3.0 cm.Escriba una ecuación para la posición del objeto en función del tiempo paracuando: a) X0 = 0 y b) X0 = 2.0 cm

EJERCICIO 5

83


Datos:m = 0.6 Kg A = 0.5 m v = 7 m/s a) f = ? b) k = ?

dtdxV , entonces:

tAV cos Ec. No. 12Cuando el objeto pasa por la posición de equilibrio, se encuentra que la velocidad máxima es:

Ec. No. 13

Cuando se conocen las condiciones de posición inicial x0 y rapidez inicial v0 en el instante t=0, tenemos que:

CosAVSenAX

0

0

La amplitud A y la fase inicial se determina:

Ec. No. 14

Ec. No. 15

Ejemplo:Una masa de 0.6 Kg, fija a un resorte ideal, ejecuta un MAS de 0.5 m de amplitud. La velocidad máxima de la masa durante este movimiento es de 7 m/s. Determine: a) La frecuencia del MAS y b) la constante del resorte.

a) Avmáx

Hzf

srad

f

tenemoscomo

srad

ms

mAvmáx

23.22

14

:f2:

145.0

7

Según la función del coseno presenta su magnitud seencuentra entre los valores de 0 y 1. La velocidadmáxima nos queda como:

b)

6.117

6.0142

2

mNk

Kgsradk

mkmk

2

202

0vxA

0vx0tan

AVmáx


84

Datos:x = 10 cm a = - 0.6 m/s2

a) f = ?

2 xa

xa

10.0

6.0 2

ms

m

45.2 srad

389.02

45.2

2

2

Hzf

srad

f

f

f

2.2.3.3. Cálculo de aceleración Como la aceleración no es constante ya que depende de la posición de la partícula y ésta varía con respecto al tiempo; la aceleración se obtiene con la segunda derivada de la ecuación de posición con respecto al tiempo o derivando la ecuación de velocidad (ec. No. 13) con respecto al tiempo:

dtdvda

dtx2

tAsena 2 Ec. No. 16

Recuerda que el signo menos de la aceleración, indica que es proporcional pero con sentido contrario al desplazamiento.

Cuando el ángulo de fase ( ) es cero, la aceleración queda:

mkx-2xa Ec. No. 17

Ejemplo:

1. Un objeto está vibrando a lo largo de una línea recta con un movimiento armónico simple. Cuando está a 10.0 cm de su posición promedio tiene una aceleración de 0.6 m/s2. Determine su frecuencia de oscilación.

En equipo de tres, resuelvan el siguiente ejercicio y coméntenlo con su profesor.

Una masa de 800 gr se sujeta a un resorte. El sistema se pone a vibrar a su frecuencia natural de 5 Hz con una amplitud de 6.0 cm. Encuentra la constante de resorte y la velocidad máxima de la masa.

EJERCICIO 6

85


PPÉÉNNDDUULLOO SSIIMMPPLLEE YYCCOOMMPPUUEESSTTOO..

Péndulo Simple: Es un ejemplo del MAS, que consiste en una masa puntual suspendida de un hilo con masa despreciable y no estirable; donde si la masa se mueve de su posición de equilibrio, ésta oscilará alrededor de dicha posición.( Ver fig. 12)

Figura 12. Movimiento de un Péndulo Simple

Como se observa en la figura anterior, la trayectoria de la masa puntual, no es recta, sino es el arco de una circunferencia con radio L igual a la longitud del hilo. En base a la dinámica del péndulo simple, las fuerzas que actúan sobre la lenteja (masa del cuerpo suspendida en el hilo) son dos: el peso de la masa y la tensión del hilo (T).

22..33..

EJERCICIO 7 En equipo de tres resuelvan el siguiente ejercicio y coméntenlo con su profesor.

Un objeto de 0.50 Kg presenta un movimiento armónico simple tiene unaaceleración de – 3.0 m/s2 cuando x = 45 cm. ¿Cuánto tarda una oscilación?

TAREA 8

Página 107.


86

El peso de la masa m se descompone vectorialmente, la componente en el eje Y se equilibra con la tensión del hilo (T) :

Ec. No. 18

La fuerza que actúa sobre el eje X es la fuerza de restitución que es la que origina el movimiento oscilatorio:

Ec. No. 19

Es decir: Ec. No. 20

Para oscilaciones pequeñas, cuando el ángulo , toma valores pequeños, se

cumple que: sen ; cuando se mide en radianes.

gradosen radianesen Sen %enDiferencia0 2 5 0.0872 0.0871 0.11 10 15 20

Relacionando la Ley de Hooke con la ecuación No. 14, tenemos:

Lmgk

Ec. No. 21

Por lo anterior la frecuencia angular ( ), para amplitudes pequeñas nos da:

Lg

Ec. No. 22

De la misma forma la frecuencia y el período nos dan las siguientes ecuaciones:

Con ayuda de tu calculadora, comprueba para que valores pequeños del ángulose cumple la afirmación anterior.

EJERCICIO 8

CosmgT

LxmgF

senmgF -

87


Frecuencia:

Lgf

21

Ec. No. 23

Período:

gLT 2

Ec. No. 24

Se puede observar, que si las oscilaciones son pequeñas, el valor del período y de la frecuencia de un péndulo para un valor dado de la gravedad (g) depende solamente de su longitud (L); es decir; si analizamos la ecuación No. 24 vemos que si aumenta su longitud aumenta el período.

TAREA 9

Página 109.


88

Datos:T = 1 s g = 9.8 m/s2

L = ?

gLT 2

cm8.24248.04

8.914

2

22

2

2

mL

smsL

gTL

Ejemplos:1. ¿Cuál debe ser la longitud de un péndulo simple cuyo período es de un

segundo?

Péndulo Físico o Compuesto: Es un cuerpo rígido capaz de girar libremente alrededor de un eje fijo. La diferencia del péndulo simple es que es idealizado y el péndulo compuesto es un péndulo real no puntual. Ver figura 13.

EJERCICIO 9 En equipo de tres resuelvan los siguientes ejercicios y muestren los resultados a tuprofesor:

1. Un péndulo consiste de una lenteja de masa de 3 Kg y una cuerda de longitudL. ¿Cuál debe ser el valor de L para que el período del péndulo sea de 2 s?.

2. La aceleración de la gravedad varía ligeramente sobre la superficie de la Tierra.Si un péndulo tiene un período de 3.0 s en un lugar donde la g = 9.803 m/s2 yen otro lugar presenta un período de 3.0024 s. ¿Cuál es el valor de la gravedaden este último lugar?

Figura 13. Péndulo Físico o Compuesto

89


La figura anterior, muestra que un cuerpo de forma irregular puede girar sin fricción alrededor de un eje que pasa por el punto de origen. Cuando el cuerpo se desplaza de su punto de origen, el peso causa un momento de torsión de restitución .

lsenmg Ec. No. 25

El signo negativo indica que el momento de torsión va en contra de desplazamiento. Si se suelta el cuerpo, oscila alrededor de su posición de equilibrio, pero no es un MAS ya que el momento de torsión es proporcional al Sen , no a . Sin embargo, para valores pequeños de , el movimiento es aproximadamente un Movimiento Armónico Simple.

mgL Ec. No. 26

Donde:: es el momento de torsión y su unidad en el sistema internacional es N x m. m : masa del cuerpog : aceleración gravitacional. L

l: distancia desde el punto de origen hasta el centro de masa.

: ángulo.

Para poder analizar el tipo de ejercicios en este tema es muy importante que recuerdes el concepto de momento de inercia y su fórmula. Para ello, antes de empezar a estudiar este tema. Realiza la tarea no. 10

La ecuación del movimiento de rotación con respecto a un punto, se basa en la Segunda Ley de Newton:

Ec. No. 27

Donde:I = momento de inercia del cuerpo con respecto a un eje de rotación.

= la aceleración angular 2

2

dtd

Es decir;

2

2

Idtd

; entonces

TAREA 10

Página 111.

I


90

Datos:L = 1m T= ?

ImgL

dtd

2

2

Si comparamos la ecuación anterior con la ecuación No. 11, se puede

observar que el valor de : mk

en el sistema masa resorte, corresponde

aImgL

; entonces:

La frecuencia angular se determina:

ImgL

Ec. No. 28

y el período:

mgLIT 2 Ec. No. 29

Ejemplos:1.Se tiene una varilla uniforme de un metro de longitud que pivota en su extremo. ¿Cuál es el período de su movimiento?

Con la fórmula del momento de inercia (I) que se obtuvo de la tarea no. 10 tenemos:

2

31mLI

Y la distancia del pivote al centro de masa es: 2L

91


Datos:R = 40 cm T= ?

por lo tanto:

sTsultados

mmT

dosustituyengLT

Lmg

mLT

mgLIT

64.1:Re

8.93122

:322

2

31

2

2

2

2

2. Un disco uniforme de 40 cm de radio tiene un pequeño agujero a la mitad entre el centro y la orilla. El disco está sostenido por un clavo en la pared que pasa por el agujero. ¿Cuál es el período de este péndulo físico para oscilaciones pequeñas?

El momento de inercia según el teorema del eje paralelo es:

2mLII CM

Con la fórmula del momento de inercia ( CMI ) que obtuviste de la tarea no.10

tenemos:

2

21 mRICM y 2RL ; entonces:


92

¡Ojo! Recuerda que debes resolver la

autoevaluación y los ejercicios de reforzamiento;

esto te ayudará a enriquecer los temas vistos en

clase.

cmmT

smmT

gRT

Rmg

mR

mgLI

mRI

74.24247.0

8.9440.062

462

2

43

2T

2T

:entonces;43

2

2

2

EJERCICIO 10 En equipo de tres, resuelvan el siguiente ejercicio y muestren los resultados a tuprofesor: Un adorno navideño con forma de esfera hueca de 0.02 Kg y de radio 60 cm se cuelga de una rama con lazo de alambre en la superficie de la esfera. Si el adorno se desplaza una distancia corta y se suelta, oscila como un péndulo físico. Determine el período, si el momento de inercia de la esfera respecto al pivote es de

35 2mR .

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