Parábola

Parábola

La parábola, se forma al cortar el cono con un plano que no pase por el vértice y sea paralelo a una generatriz.

Vértice

Plano

Generatriz

La parábola como Lugar Geométrico:

Parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que están a igual distancia de un punto fijo, llamado foco, y una recta dada, llamada directriz.

Foco

Directriz

Elementos de la Parábola

F

D

V

e En toda Parábola conviene considerar:

F : Es el punto fijo llamado Foco.

D : Es la recta fija llamada Directriz.

e : Es la recta perpendicular a la Directriz trazada por F y es el eje de Simetría de la Parábola.

V : Se llama Vértice y es el punto de intersección de la Parábola con el Eje de Simetría.

Elementos de la Parábola

F

D

V

Q

P ( x, y )

p : Se conoce como Parámetro y es la distancia que existe entre el Foco y la Directriz. Su valor se representa por p ( FQ = p)

Se cumple que el vértice por equidistar del foco y la directriz, es el punto medio del segmento FQ. Es por ello que VQ = VF =p/2

P : Es un punto determinado de la Parábola.

p

e

Elementos de la Parábola

F

D

V

QP ( x, y )

Radio Vector: Para un punto cualquiera de la Parábola, P, se denomina vector PF que va desde el punto al Foco.

Según la definición de la Parábola el radio vector, PF, es igual a la distancia, PB, del punto a la Directriz.

p

B

e

La parábola. Ecuación de la parábola con vértice en el origen y Foco.

X

Y

O

lP(x, y)

F(a, 0)

x = -a

LR

V(0, 0)

Demostración: Ecuación analítica de la parábola

Demostración

La Directriz es una recta vertical D de ecuación x = - a.

Dado el punto: P ( x, y ) de la parábola, distinta lo mismo del foco que de la Directriz, y se tiene que:

axyax 22

La expresión anterior se obtiene mediante la formula de distancia entre dos puntos:

Después en esta ecuación se elevan al cuadrado los binomios y se agrupan

términos

22

22 axyax

222 axyax

22222 22 aaxxyaaxx

axy 42

Como a > 0, puede tomar cualquier valor positivo.

El eje de simetría de la parábola es el eje x positivo.

La parábola es simétrica con respecto a su eje, pues y =± 2 ax

La parábola…GENERALIZANDO

X

Y

OX

Y

O

a < 0a > 0

La ecuación de una parábola con vértice en el origen y foco en (a, 0) es y2=4ax

La parábola se abre hacia la derecha si a>0 y se abre hacia la izquierda si a<0.

La parábola…GENERALIZANDO

XO

Y

XOY

a > 0

a < 0

La ecuación de una parábola con vértice en el origen y foco en (0, a) es x2=4ay

La parábola se abre hacia la arriba si a>0 y se abre hacia la abajo si a<0.

Si la parábola no tiene su vértice en (0,0) si no en (h, k) entonces la ecuación sería: 1.- La ecuación de la parábola con vértice en (h, k) y foco en (h + a, k) es:

(y – k)2 = 4a(x – h)

2.- La ecuación de la parábola con vértice en (h, k) y foco en h +a, k) es:

(x – h)2 = 4a(y – k)

Desarrollando la ecuación tendremos:  

y2 + k2 – 2yk + 4ax – 4ah = 0 ó x2 + h2 – 2xh + 4ay – 4ak = 0

Cuando h = 0 y k = 0, se reducen a ecuaciones más simples hacemos y2 + Dx + Ey + F = 0 ó x2 + Dx + Ey + F = 0 Siempre que E = 0 y D = 0

Ecuación analítica de la parábola con vértice en (h, k)

Ejemplo Escríbase la ecuación de la parábola con vértice en el

origen y foco en (0, 4).Ecuación:

x2=4ayLa distancia del vértice al foco es 4 y, por tanto, a = 4.

sustituyendo este valor con a se obtiene: x2=16y

Haz click para observar la gráfica

Propiedad de reflexión de la parábola:

Por ejemplo; Si se recibe luz de una fuente lejana con un espejo parabólico, de manera que los rayos incidentes son paralelos al eje del espejo, entonces la luz reflejada por el espejo se concentra en el foco.

Propiedad de reflexión de la parábola

Esto se basa en el hecho de que, en los espejos planos, cóncavos y convexos, los rayos iguales se reflejan en ángulos iguales.