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Pares balanceados, triples de cotorsióny representaciones de carcajes

Marco Antonio PerezIMERL - Universidad de la República

(colaboradores: Sergio Estrada y Haiyan Zhu)

Seminario de Álgebra del IMERL

25 de Mayo de 2018

Marco A. Pérez ([email protected]) pares balanceados, triples de cotorsión y representaciones de carcajes

organización

1 pares balanceados y triples de cotorsión

2 triples de cotorsión y pares balanceados en representaciones de carcajes

3 balanceo con objetos planos


pares balanceados

Definición (X.-W. Chen, 2010)

Sean F y L dos clases de objetos en una categoría abeliana C. Diremos que

PB = (F ,L)

es un par balanceado en C si se cumplen las siguientes condiciones:

1 F es pre-cubriente y L es pre-envolvente.

2 Para cada objeto M ∈ C, existe una F -resolución (no necesariamente exacta)

F• → M : · · · → F1 → F0 → M → 0

con Fi ∈ F para todo i ≥ 0, que es HomC(−,L)-acíclica.

3 Para cada objeto N ∈ C, existe una L-coresolución

N → L• : 0→ N → L0 → L1 → · · ·

con L i ∈ L para todo i ≥ 0, que es HomC(F ,−)-acíclica.


¿de dónde obtener pares balanceados?

pF pre-cubrienteh

ppar balanceadoPB = (F ,L)

h pL pre-envolventeh

pF ⊥1 = ⊥1Lh


¿de dónde obtener pares balanceados?

Definición (Beligiannis - Reiten, 2007)

Sean F , G y L tres clases de objetos en una categoría abeliana C. Diremos que

TC = (F ,G,L)

es un triple de cotorsión en C si (F ,G) y (G,L) son pares de cotorsión en C. Más aún,un triple de cotorsión (F ,G,L) en C es:

1 complejo si (F ,G) y (G,L) son pares de cotorsión completos.

2 hereditario si (F ,G) y (G,L) son pares de cotorsión hereditarios.

En siguiente resultado es enunciado y probado por primera vez en 1998 en las notas TorsionTheory Relative to Ext por Enochs, Jenda, Torrecillas y Xu.

Proposición (Chen, 2010)

Si TC = (F ,G,L) es un triple de cotorsión completo y hereditario en una categoría C consuficientes proyectivos e inyectivos, entonces (F ,L) es un par balanceado en C.


ejemplos

1 Sea C una categoría abeliana. Entonces,

TC = (Proj(C),C, Inj(C))

es un triple de cotorsión completo si, y sólo si, C tiene suficientes proyectivos einyectivos.

2 Sea R un asociativo con identidad. Entonces, R es quasi-Frobenius si, y sólo si,

TC = (Mod(R),Proj(R),Mod(R))

es un triple de cotorsión completo.

3 [Beligiannis - Reiten, 2007]: Sea Λ un álgebra de Artin y mod(Λ) la categoría deΛ-módulos finitamente generados. Denotamos:

CM(Λ) = objetos Cohen-Macaulay maximales sobre Λ,

proj∞(Λ) = Λ-módulos f.g. con dimensión proyectiva finita.

Si Λ es un álgebra Gorenstein, entonces

TC = (CM(Λ), proj∞(Λ),CoCM(E(Λ)))

es un triple de cotorsión completo y hereditario en mod(Λ).


ejemplos

4 [Hovey, 2002]: Denotamos:

GProj(R) = R-módulos Gorenstein proyectivos,

GInj(R) = R-módulos Gorenstein inyectivos.

Recordemos que M ∈ Mod(R) es Gorenstein proyectivo si M ' Z0(P), donde P esun complejos exact de proyectivos tal que HomR (P,Q) es un complejo exacto degrupos abelianos, para todo Q ∈ Proj(R).

Si R es un anillo Iwanaga-Gorenstein, es decir, R es Noetheriano a ambos lados yid(RR ) = id(R R) < ∞, entonces

TC = (GProj(R),Proj∞(R),GInj(R))

es un triple de cotorsión.


pares balanceados a partir de triples de cotorsión

En cada uno de los ejemplos anteriores de triples de cotorsión TC = (F ,G,L), se puedenotar que

pF ∩ G = Proj(C)h y pG ∩ L = Inj(C)h

Proposición

Sean (F ,H) y (G,L) pares de cotorsión en una categoría abeliana C tal que (F ,L) es unpar balanceado. Entonces, F ∩H = Proj(R) y G ∩ L = Inj(C).

Proposición

Sea (F ,G,L) un triple de cotorsión completo y hereditario en una categoría abeliana C.Entonces, (F ,L) es un par balanceado admisible en C.

Teorema

Las siguientes condiciones son equivalentes para toda categoría abeliana C:

a C posee suficientes proyectivos e inyectivos.

b Existe un triple de cotorsión completo y hereditario (F ,G,L) en C.


triples de cotorsión a partir de pares balanceados

En 1998, en sus notas “Torsion theory relative to Ext”, Enochs, Jenda, Torrecillas y Xu plan-tean la siguiente pregunta:

¿Qué condiciones debe cumplir un par balanceado (F ,L) para inducir untriple de cotorsión completo y hereditario (F ,G,L)?

Damos condiciones suficientes sobre F y L para construir G de manera que (F ,G,L)

sea tal triple de cotorsión.

Proposición

Sea C una categoría abeliana con suficientes proyectivos e inyectivos. Sean F y L dosclases de objetos en C cerradas por sumandos directos, tales que:

1 F es resolvente y pre-cubriente especial, y L es corresolvente y pre-envolventeespecial.

2 F ∩ F ⊥1 ⊆ ⊥1L y ⊥1L ∩ L ⊆ F ⊥1 .

3 (F ,L) es un par balanceado en C.

Entonces, existe un triple de cotorsión completo y hereditario (F ,G,L) en C.


aplicación # 1

Recordemos que un anillo R es virtualmente Gorenstein [Beligiannis - Reiten, 2007] si

GProj(R)⊥1 = ⊥1 GInj(R).

Proposición (Zareh Khoshchehreh - Asgharzadeh - Divaani Aazar, 2014)

Sea R un anillo Noetheriano conmutativo y de dimensión de Krull finita. Entonces, R esvirtualmente Gorenstein si, y sólo si, (GProj(R),GInj(R)) es un par balanceado enMod(R).

Corolario

Sea R un anillo Noetheriano conmutativo y de dimensión de Krull finita. Entonces, lassiguientes condiciones son equivalentes:

a R es virtualmente Gorenstein.

b (GProj(R),GInj(R)) es un par balanceado en Mod(R).

c Existe un triple de cotorsión completo y hereditario (GProj(R),G,GInj(R)) enMod(R).


organización





triples de cotorsión y representaciones de carcajes

El objetivo es probar el siguiente resultado.

Teorema

Si (F ,H) y (G,L) son pares de cotorsión completos y hereditarios en Mod(R), entonceslas siguientes condiciones son equivalentes:

a H = G.

b (Φ(F ),Ψ(L)) es un par balanceado en Rep(Q ,Mod(R)).

Pero hace falta explicar varias cosas.



Definición

Un carcaj Q = (Q0,Q1, s, t) es un grafo dirigido donde:

Q0 = conjunto de vértices,

Q1 = conjunto de flechas,

s, t : Q1 → Q0 donde s(α) es el punto inicial de α, y t(α) su punto final.

Dada una categoría abeliana C, una representación X = (Xi ,Xα) de Q sobre C se definepor las siguientes condiciones:

1 A cada vértice i ∈ Q0 se le asigna un objeto Xi ∈ C.

2 A cada flecha α ∈ Q1 se le asigna un morfismo Xα : Xi → Xj en C.



Xs(α)

⊕t(α)=i

Xs(α)

∏s(α)=i

Xt(α) Xt(α)

Xi Xi

Xα Xα

∃! ϕXi ψXi ∃!

Denotamosci(X) := CoKer(ϕXi ) y ki(X) := Ker(ψXi ).

Definición (Holm - Jørgensen, 2018)

Sea L una clase de objetos en C.

Rep(Q ,L) := {X ∈ Rep(Q ,C) : Xi ∈ L para todo i ∈ Q0},

Φ(L) := {X ∈ Rep(Q ,L) : ϕXi es inyectivo y ci(X) ∈ L para todo i ∈ Q0},

Ψ(L) := {X ∈ Rep(Q ,L) : ψXi es sobreyectivo y ki(X) ∈ L para todo i ∈ Q0}.



Proposición

Sea Q un carcaj no-discreto y sin ciclos orientados. Sean F y L dos clases de objetos enC tales que (Φ(F ),Ψ(L)) es un par balanceado en Rep(Q ,C). Entonces, se cumplen lassiguientes afirmaciones:

1 (F ,L) es un par balanceado en C.

2 Si F es resolvente, entonces ⊥1L ⊆ F ⊥1 .

3 Si L es corresolvente, entonces F ⊥1 ⊆ ⊥1L.

Un carcaj Q es enraizado a izquierda si no contiene caminos de la forma · · · → • → • → •.

Corolario

Si (F ,H) y (G,L) son pares de cotorsión completos y hereditarios en Mod(R), entonceslas siguientes condiciones son equivalentes:

a H = G.

b (Φ(F ),Ψ(L)) es un par balanceado para algún carcaj no-discreto Q enraizado aizquierda y derecha.


aplicaciones # 2 y 3

Corolario

Un anillo R es quasi-Frobenius si, y solo si, (Φ(Mod(R)),Ψ(Mod(R))) es un parbalanceado para un carcaj no-discreto Q enraizado a izquierda y a derecha. En este caso,tenemos en Rep(Q ,Mod(R)) un triple de cotorsión completo y hereditario

TC = (Φ(Mod(R)),Rep(Q ,Proj(R)),Ψ(Mod(R))).

Corolario

Sea R un anillo n-perfecto a izquierda y coherente a derecha. Entonces, las siguientescondiciones son equivalences:

a R es virtualmente Gorenstein.

b (GProj(R),GInj(R)) es un par balanceado en Mod(R).

c (Φ(GProj(R)),Ψ(GInj(R))) es un par balanceado en Rep(Q ,Mod(R)) para algúncarcaj no-discreto Q enraizado a izquierda y derecha.


organización





balanceo por objetos planos

¿Se puede calcular ExtiR (M,N) usando otro tipo de resoluciones o correso-luciones que no sean proyectivas o inyectivas?

Consideramos el par de cotorsión (completo y hereditario) de Enochs

PC = (Flat(R),Cot(R)),

junto con F• � M y N � C•.

Entonces:pExtiR (M,N) � Ch(R)(F•,C

•[i])/ ∼h

Teorema (Enochs, 2015)

Sea R un anillo Noetheriano a izquierda. Entonces, Flat(R) es la parte izquierda de un parbalanceado en Mod(R) si, y sólo si, R es perfecto a izquierda.


balanceo por objetos planos

¿Y qué pasa si trabajamos en una categoría sin suficientes proyectivos?

Por ejemplo:

Qcoh(X) = categoría de haces quasi-coherentes sobre un esquema X .

Proposición

Sea X un esquema Noetheriano y semi-separado, con un cubrimiento afín semi-separadorU = {U1, . . . ,Un}. Asumamos que OX (Ui) es un anillo Noetheriano pero no Artiniano, paraalgún i ∈ {1, . . . , n}. Entonces, Flat(X) no es la parte izquierda de un par balanceado enQcoh(X).


¡gracias por su atención!

Esta presentacion + preprint

(incluyendo detalles omitidos aqui)

disponibles en: arxiv:1802.09989

maperez.net

fing.edu.uy/imerl/grupos/gia


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