NÚMERO PHI

O número de ouro.

Paula Melero Valentín

Paula Pérez Martínez

Antía Rodríguez Martínez

Índice

• ¿Que é phi?• Historia do número áureo.• O número de ouro nas matemáticas (a sucesión

de Fibonacci).• O número de ouro na natureza.• O número de ouro na música.• O número de ouro na arte.• O número de ouro no ser humano.• O número de ouro no universo.• Curiosidades áureas.

¿Que é phi?• Phi é o número áureo ou de ouro, tamén chamado número dourado, razón

áurea, razón dourada, media áurea, proporción áurea e divina proporción; representado pola letra grega φ (fi). Recibe o seu nome en honor ó escultor grego Fideas.

• É o número irracional:

• Trátase dun número alxebraico que posúe moitas propiedades interesantes e que foi descuberto na antigüidade, non como “unidade” senón como relación ou proporción. Esta proporción atópase tanto nalgunhas figuras xeométricas como na natureza en elementos como caracolas, nervios das follas dalgunhas árbores, no grosor das ramas, etc.

• O seu carácter estético atribúese en especial a obxectos que seguen a razón áurea, así como unha importancia mística. Ao largo da historia fóiselle atribuíndo importancia en diversas obras de arquitectura e outras artes.

Historia do numero áureo.

Existen numerosos textos que suxiren que o número áureo se atopa como proporción en certas estelas Babilonias e Asirias de ó redor de catro mil anos de antigüidade.

Sen embargo non existe documentación histórica que indique que o número áureo foi usado conscientemente polos arquitectos ou artistas na construción das estelas. Por esta razón Mario Livio concluíu que é moi improbable que os Babilonios descubriran o número áureo.

O primeiro en facer un estudo formal sobre o número áureo foi Euclides, quen o definiu da seguinte maneira: “Dise que unha liña recta está dividida no extremo e a súa proporcional cando a liña enteira é ao segmento maior como o maior é ao menor”.

Euclides tamén demostrou que este número non pode ser descrito como a razón de dous números enteiros, é dicir, é irracional.

Platón viviu antes de que Euclides estudara o número áureo, sen embargo, ese atribúelle o desenrolo de teoremas relacionados co número áureo debido a que o historiador grego Proclo escribiu:

“Eudoxo... Multiplicou o número de teoremas relativos á sección ós que Platón deu orixe.”

En 1509 o matemático e teólogo Luca Pacioli publica o seu libro De divina proportione (La divina proporción), no que se plantexan cinco razóns polas que considera apropiado considerar divino ó número áureo:

1. A unicidade; Pacioli compara o valor único do número áureo coa unicidade de Deus.

2. O feito de que estea definido por tres segmentos de recta, Pacioli asóciao coa Trinidad.

3. A inconmensurabilidade; para Pacioli a infinidade do número áureo e a de Deus eran equivalentes.

4. A autosimilaridade asociada ó número áureo; Pacioli compáraa coa omnipresencia e invariabilidade de Deus.

5. Segundo Paiolo, da mesma maneira en que Deus deu ser ó Universo a través da quinta esencia, representada polo dodecaedro; o número áureo deu ser ó dodecaedro.

En 1525, Alberto Durero publica Instrución sobre a medida con regra e compás de figuras planas e sólidas onde describe como trazar con regra e compás a espiral baseada na sección áurea, que se coñece como “espiral de Durero”.

O astrónomo Johannes Kleper, desenrolou un modelo Platónicodo Sistema Solar utilizando os sólidos platónicos, e referiuse ó número áureo en termos grandiosos no libro Mysterium Cosmographicum (O misterio cósmico):

“A xeometría ten dous grandes tesouros: un é o teorema de Pitágoras; o outro, a división dunha liña entre o extremo e a súa proporcional”

O primeiro uso coñecido do adxectivo áureo para referirse a este número faino o matemático alemán Martín Ohm nunha nota ó pe de letra do seu libro“ Die Reine Elemental Matematik” (As matemáticas puras elementais), no que escribe:

“ Un tamén acostuma chamar a esta división dunha liña arbitraria en dúas partes como estas a sección dourada”

A pesar de que a forma de escribir suxire que o termo xa era coñecido, o feito de que non o incluíra na primeira edición do libro fai pensar que gañou popularidade a partir de 1830.

Ó principio, nos textos matemáticos usábase a letra τ que viña do grego τομή, e que significa corte ou sección; sen embargo, en 1900 Mark Barr en honor a Fidias adxudicoulle a letra Φ, que era a primeira letra do seu nome (Φειδίας).

O número de ouro nas matemáticas (a sucesión de Fibonacci).

1. Phi a partir dun cadrado e un rectángulo.

Para obter o número áureo nun cadrado, trázase un arco que teña por centro o punto medio dun dos seus lados e tal que o seu diámetro alcance o vértice do lado oposto. Dende ese punto lévase o arco ata a súa intersección con prolongación do primeiro lado, elixido obtendo un segmento que chamamos Phi. A relación entre Phi e un lado do cadrado é o número áureo.

Partindo dun cadrado que mida dous de lado, o segmento Phi (Φ) mide 1 máis o diámetro do arco. Segundo Pitágoras nun triángulo rectángulo o cadrado da hipotenusa é a suma dos cadrados dos catetos.

2² + 1² = 5 , polo que a hipotenusa é igual a √5.

Súmaselle 1 para completar o segmento e obtense o valor de phi para dous, polo tanto divídese por dous.

(√5 + 1) ÷ 2 = 1,618034...

2. Phi a partir dun triangulo rectángulo:

Debúxase un triángulo rectángulo ABC co ángulo recto na esquina A. O segmento BC é a hipotenusa deste triángulo. O cateto AB mide 2 e o cateto AC mide 1. Trazamos unha prolongación da hipotenusa en dirección B->C ata que se cruza co arco de centro C e cun radio que alcanza o punto A. O punto onde se intersecan a prolongación da hipotenusa e o arco anteriormente mencionado é o punto E.

Trázanse dous arcos, un con centro en B e radio que alcanza A (AB=2 -> radio=2) e outro con centro en E e radio de 2. Trázase unha liña que pase polos dous puntos onde se intersecan os dous arcos anteriores. Esta liña cruza a hipotenusa do triángulo no punto D.

Os dous segmentos BD e ED miden exactamente o valor de Phi e CD é igual a Φ/1.

3. Phi nun cadrado inscrito nun semicírculo:

Debúxase un circulo partido polo seu diámetro (cor verde). Dentro deste semicírculo inscríbese un cadrado ABCD que ten un dos seus lados (CD) sobre o diámetro do semicírculo e as súas outras dúas esquinas (A e B) que intersequen co mesmo semicírculo.

Se a lonxitude da liña CD é igual a 1, CE é igual a Phi.

4. Phi a partir de círculos concéntricos :

Trázanse dous círculos (cor verde) concéntricos nos que o diámetro dun deles sexa o dobre do outro.

Desprázanse estes dous círculos cambiando o seu centro dende Oa a Ob, Ob debe situarse no primeiro círculo pequeno (cor verde). Agora temos dous círculos concéntricos (cor verde) máis outros dous círculos concéntricos (cor morado).

Os dous círculos de diámetro pequeno intersécanse en dous puntos A e B. Os dous círculos de diámetro grande tamén se intersecan en dous puntos sendo C un deles. Se dividimos a medida do segmento AC pola medida do segmento AB obtemos Φ.

5. Phi a partir dun pentágono:

No primeiro pentágono ABCDE, trázase unha liña AD e outra BE que se cruzan en F, se BF é igual a un BE, é igual a Phi.

No segundo pentágono ABCDE trázanse liñas dende cada esquina ata as súas dúas esquinas opostas obtendo outro pentágono FGHIJ.

Se AG é igual a 1, AB é igual a phi e FG ó inverso de Phi: 1/Φ.

6. Phi a partir dun triángulo isósceles inscrito nun círculo:

Na seguinte táboa, dividindo o valor de arriba polo de abaixo o

resultado é Phi:

FG AB FB CB FH AF Arco AB

FE AK FJ CM ON AI Arco AG

Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ

• Debúxase un triángulo isósceles ABC inscrito nun círculo. Os centros dos lados do triángulo son DEF. Trázase unha liña que pasa polo centro de dous lados do triángulo levándoa ata o círculo no punto G. Se a medida FE é un, FG é phi.

• No seguinte debuxo, trazo unha liña dende C ata G e outra de B ata F e teñen a intersección en H.

• A liña CG cruza AB en K. Dende K trazo outra liña paralela a FB que cruza FG en L e chega ata a liña AC en I.

• Perpendicularmente a IK trazo unha liña que cruza FB en J e vai ata a liña CB en M.

• Dende M trazo unha liña paralela a IK que cruza CG en N e chega ata AC no punto O.

7. Phi a partir de tres círculos e un triángulo rectángulo:

• Debúxanse 3 círculos de diámetro 1 que se intersecan sobre a mesma liña (CB). O primeiro círculo intersécase nun so punto co segundo e este tamén se interseca nun punto co terceiro.

• O punto de intersección do primeiro círculo coa liña é C e co terceiro círculo é B. Sácase unha liña perpendicular ó segmento BC dende o punto C ata o punto A que é a intersección co primeiro círculo. Acabamos de debuxar un triángulo ABC.

• AB intersécase co segundo círculo en dous puntos D e E. DE é o diámetro do segundo círculo polo tanto mide 1. AC é o diámetro do primeiro círculo conseguintemente mide 1. BC mide o diámetro do segundo círculo máis a metade do primeiro e a metade do terceiro que é igual a 1+ 0,5 + 0,5= 2. AB é a hipotenusa do triángulo rectángulo e segundo Pitágoras nun triángulo rectángulo o cadrado da hipotenusa é a suma dos cadrados dos catetos:2² + 1² = 5 --> a hipotenusa é igual a v5.

Recapitulando:AB= v5 BC= 2 CA= 1 DE= 1

Agora imos ver onde se atopa Phi:AE = BD = (v5 – 1) / 2 + 1 = (v5 + 1) / 2 = 1,618034... (Phi) AD = BE = (v5 – 1) / 2 + 1 = 0,618034… ( 1/ Phi)

8. Phi no triángulo de Pascal :

• Este é o triángulo de Pascal que se forma situando o número un polos seus dous laterais e os demais números áchase sumando os dous números que ten xusto enriba (segundo as V do debuxo). Sumando os números segundo as diagonais (liñas verdes e azuis no debuxo) obtemos a sucesión de Fibonacci.

• Se collemos a terceira liña diagonal: 1-3-6-10-15-21-28-36... e lle sumamos un número á seguinte, obtemos os cadrados sucesivamente de cada numero:• 1 + 3 = 4 que é o cadrado de 2.• 3 + 6 = 9 que é o cadrado de 3. • 6 + 10 = 16 que é o cadrado de 4.Así poderíamos seguir ata o infinito.

9. A sucesión de Fibonacci:

Consideremos a seguinte sucesión de números:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34...

Cada número a partir do terceiro, obtense sumando os dous que lle preceden. Por exemplo, 21 = 13 + 8; o seguinte a 34 será 34 + 21 = 55.

Esta sucesión é a chamada "sucesión de Fibonacci"*.

*É o alcume co que se coñeceu ó rico comerciante Leonardo de Pisa. Viaxou polo Norte de África e Asia e trouxo a Europa algúns dos coñecementos da cultura árabe e hindú, entre outros a vantaxe do sistema de numeración arábigo ( o que usamos) fronte ó romano.

A sucesión de Fibonacci presenta diversas regularidades numéricas. Para que resulte máis sinxelo imos enunciar os casos particulares e calcular os primeiros catorce termos desta sucesión:

a) Se se suman os catro primeiros termos e se engade 1, sae o sexto (1+1+2+3 + 1 = 8). Se se suman os cinco primeiros termos e se lle engade 1, obtense o sétimo (1+1+2+3+5 + 1 = 13).

b) Se se suman os tres primeiros termos que ocupan posición impar (t1,t3,t5) sae o sexto termo (t6), (1+2+5 = 8). Sie sumas os catro primeiros termos que ocupan posición impar (t1,t3,t5,t7) sae o oitavo termo (t8), (1+2+5+13 = 21).

c) Se se suman os tres primeros termos que ocupan posición par (t2,t4,t6) e se engade 1, sae o séptimo termo (t7), (1+3+8 + 1 =13). Se se suman os catro primeiros termos que ocupan posición par (t2,t4,t6,t8) e se lle engade 1, sae o noveno termo (t9), (1+3+8+21 + 1 =34).

d) Se tomamos dous termos consecutivos, por exemplo: t4=3 e t5=5; elevando ó cadrado e sumando: 32+52=9+25=34 que é o noveno (4+5) termo da sucesión. Tomando t6=8 y t7=13; elevando ó cadrado e sumando: 82+132=64+169=233 que é o (6+7) decimoterceiro termo da sucesión.

Pero se elevamos ó cadrado os cinco primeiros termos e os sumamos, sae o produto do quinto e o sexto termo: 12+12+22+32+52=40=5*8. Se facemos o mesmo para os seis primeiros termos, sae o produto do sexto e o sétimo termo:

12+12+22+32+52+82=104=8*13.

e) E quizais o máis sorprendente sexa a seguinte propiedade. Dividamos dous termos consecutivos da sucesión, sempre o maior entre o menor e obtemos o seguinte:

1 : 1 = 12 : 1 = 23 : 2 = 1´55 : 3 = 1´666666668 : 5 = 1´613 : 8 = 1´62521 :13 = 1´6153846....34 :21 = 1´6190476....55 :34 = 1´6176471....89 :55 = 1´6181818....

f) Ó tomar máis termos da sucesión e facer o seu cociente achegámonos ó número de ouro. Canto maiores son os termos, os cocientes achéganse máis a =1,61803....

O número de ouro na natureza.

Na natureza hai sorprendentes elementos relacionados coa sección áurea:

• A relación entre a distancia entre as espirais do interior espiralado de calquera caracol (non só do nautilus). FOTO

• A relación entre os lados dun pentáculo.

• A disposición dos pétalos das flores (o papel do número áureo na botánica recibe o nome de lei de Ludwig).

• A distribución da follas nun talo.

• A relación entre as nervaduras das follas das árbores.

• A relación entre o grosor das pólas principais e o tronco, ou entre as ramas principais e as secundarias (o grosor dunha equivale a phi tomando como unidade a rama superior).

• Existen cristais de Pirita dodecaédricos pentagonais cuxas caras son pentágonos perfectos.

• A disposición das sementes dun xirasol está estruturada con 21 espirais cara á esquerda e 34 cara á dereita. Vinteun e trinta e catro son dous números consecutivos da sucesión de Fibonacci: 1-1-2-3-5-8-13-21-34-55-89-144-233...

• O mesmo ocorre coas piñas dos piñeiros, temos dous números consecutivos da sucesión de Fibonacci: 8 e 13.

• A medida do abdome dunha abella dividida por phi é igual á medida do seu tórax e á súa vez a medida do tórax dividida por phi é igual á medida da súa cabeza.

• Tamén podemos encontrar phi na cuncha dun Nautilo

Leonardo de Pisa (Fibonacci) no seu Libro dos ábacos usa a sucesión que leva o seu nome para calcular o número de pares de coellos meses despois de que unha primeira parella comeza a reproducirse ( supondo que os coellos están illados por muros, empezan a reproducirse cando teñen dous meses de idade, tardan un mes dende a fecundación ata a parición e cada camada é de dous coellos).

Este é un problema matemático puramente independente de que sexan coellos os involucrados . En realidade o plantexo recuriu a coellos como podia recorres a outros seres; é un soporte para facer comprensible unha incógnita, un acertixo matemático.

O número áureo na música.No pentagrama:

Pentagrama que ilustra algunhas das razóns áureas: os segmentos vermello e azul, azul e verde, verde e morado.

O número áureo ten un papel moi importantenos pentágonos regulares e nos pentagramas. Cadaintersección de partes dun segmento, interseca a outro segmento nunha razón áurea.

O pentagrama inclúe dez triángulos isósceles: cinco acutángulos e cinco obtusángulos. En ambos, a razón de lado maior e o menor é φ. Estes triángulos coñécense como os triángulos áureos.

Tendo en conta a gran simetría de este símbolo, obsérvase que dentro do pentágono interior é posible debuxar unha nova estrela, cunha recursividade ata o infinito.

Do mesmo modo, é posible debuxar un pentágono polo exterior, que sería á súa vez o pentágono interior dunha estrela máis grande. Ó medir a lonxitude total dunha das cinco liñas do pentáculo interior, resulta igual á lonxitude de calquera dos brazos da estrela maior, ou sexa Φ. Polo tanto o número de veces en que aparece o número áureo no pentagrama é infinito ó anidar infinitos pentagramas.

Tamén autores como Bártok, Messiaen ou stockhausen, entre outros , compuxeron obras cuxas unidades formais se relacionaban coa sección áurea.

O compositor mexicano Silvestre Revueltas utilizou tamén o número áureo na súa obra Alcancías, para organizar as partes (unidades formais).

O grupo de rock progresivo norteamericano Tool, no seu disco Lateralus (2001) fai múltiples referencias a este número e á sucesión de Fibonacci, sobre todo na canción que lle dá nome ó disco (audio da presentación), pois os versos da mesma están cantados de tal forma que o número de sílabas pronunciadas en cada un van compondo dita secuencia..

Zeysing notou a presenza dos números 3, 5, 8 e 13, da sucesión de Fibonacci, no cálculo dos intervalos aferentes ós dous tipos de acordes perfectos. Os dous tons de acorde maior final, mi e do por exemplo, están entre si na razón cinco oitavos. Os dous tons do acorde menor final, por exemplo, mi bemol e do, dan a razón tres quintos.

Nas estruturas formais das sonatas de Mozart, na Quinta Sinfonía de Beethoven, en obras de Schubert e Debussý tamén observamos as proporcións áureas, aínda que quizais compuxeron estas relacións de maneira involuntaria e guiándose soamente nos equilibrios das masas sonoras.

O número de ouro na arte:

Durante toda a historia da arte houbo diferentes estilos e normas sobre as proporcións das figuras talladas. Estas proporcións baseábanse en medidas matemáticas e xeométricas tomando como modelo o corpo humano. Ademais tamén influían consideracións relixiosas, estéticas, antropolóxicas e de “modas”.Hai diferentes estudos sobre o corpo humano no que se diferenza ó home da muller, xa que nesta a cabeza é máis alongada en relación co corpo que no home, ademais as súas formas están vinculadas a cilindros e globos e no home a cubos e liñas.Os primeiros criterios sobre proporción orixináronse no antigo Exipto. A escultura esta directamente relacionada coa arquitectura. As proporcións eran medidas por un sistema cuadriculado no que a altura do home era de 18 a 24 cadradiños segundo as épocas e 14 se estaba sentado. Con este método determinábase a posición exacta de cada parte do corpo.Os gregos estudaron o corpo humano e crearon multitude de estatuas humanas. Policleto destacou polos seus estudos, onde dicía que a beleza estaba directamente relacionada coas proporcións numéricas do corpo humano. Estas relacións entre as matemáticas e o corpo aparecen no seu tratado “canon”.

• O debuxo está realizado en lápiz e tinta e mide 34’2 x 24’5 cm. Na actualidade forma parte da colección da Galería da Academia de Venecia.

• O cadrado está centrado nos xenitais e o círculo no embigo. A relación entre o lado do cadrado e o radio do círculo é a razón áurea. Para Vitruvio o corpo humano está dividido en dúas metades polos órganos xenitais, mentres que o embigo determina a sección áurea. No recén nacido, o embigo ocupa unha posición media e co crecemento migra ata a súa posición definitiva no adulto.

• Dacordo coas notas do propio Leonardo no Home de Vitruvio dánse outras relacións:

– Unha palma equivale ó ancho de catro dedos.– Un pé equivale ó ancho de catro palmas.– Un antebrazo equivale ó ancho de seis palmas.– A altura do home son catro antebrazos.– Un paso é igual a un antebrazo.– A envergadura dun home é igual á súa altura.– A distancia entre o nacemento do pelo e o queixo é un décimo da altura do

home.– A altura da cabeza ó queixo é un oitavo da altura dun home.– A distancia entre o nacemento do pelo e a parte superior do peito é un

séptimo da altura dun home.– A altura da cabeza ata o final das costelas é un cuarto da altura dun home.– A anchura máxima dos ombreiros é un cuarto da altura dun home.– A distancia do codo ó extremo da man é un quinto da altura dun home.– A distancia do codo á axila é un quinto da altura dun home.

•A lonxitude da man é un décimo da altura dun home.•A distancia da barbilla ó nariz é un tercio da lonxitude da cara.•A distancia entre o nacemento do pelo e a cella é un tercio da lonxitude da cara.•A altura da orella é un tercio da lonxitude da cara.•A distancia dende a planta do pe ata debaixo do xeonllo é a cuarta parte do home.•A distancia dende debaixo do xeonllo ata o inicio dos xenitais é a cuarta parte do home.•O inicio dos xenitais marca a metade da altura do home.•O redescubrimento das proporcións matemáticas do corpo humano no s. XV por Leonardo e outros autores, está considerado un dos grandes logros do Renacemento.•O debuxo tamén é a menudo considerado como un símbolo da simetría básica do corpo humano e, por extensión, do universo no seu conxunto.•Examinando o debuxo pode notarse que a combinación dos brazos e pernas cra ralmente 16 posicións distintas. A posición cos brazos en cruz e os pés xuntos vése inscrita no cadrado sobreimpreso.Por outra parte, a posición superior dos brazos e as dúas pernas vése inscrita no círculo sobreimpreso. Esto ilustra o principio de que no cambio entre dúas posicións, o centro aparente da figura parece moverse, pero en realidade o embigo da figura, que é o centro de gravidade verdadeiro, permanece inmóbil.

Outro exemplo da proporción áurea é a pirámide de Keops.Se a distancia Ac é igual e 1, AB mide a raíz cadrada de phi e BC mide phi. A pirámide de Keops mide 230 metros de lado e ten unha base cadrada.

AC =230/2 = 115√Φ ≈ 1.272

AB= Φ x 115 ≈ 186,07 que son os metros da altura da pirámide.

BC = Φ x 115 ≈ 186,07 que son os metros que hai dende o centro dun lado da base ata o pico da pirámide.

Esta tese foi defendida polos matemáticos Jarolimek, K. Kleppisch y W.A. Price e conta cun testimonio histórico de Herótodo.

Os demais investigadores famosos inclínanse pola hipótese de que os constructores intentaron unha cuadratura de círculo, pois a raíz cadrada do número áureo aproxímase moitó ó cociente de catro sobre pi. Sen embargo unha construcción tal aínda que se coñecera pi cunha aproximación grande, carecería completamente de sentido matemático.

Non obstante, en base a medicións non é posible escoller entre unha ou outra pois a diferenza sobre o monumento real non é maior a 14’2 cm e esta pequena variación queda enmascarada polas incertidumes das medidas, os erros construtivos e, principalmente, porque a pirámide perdeu o revestimento en mans dos primeiros construtores de El Cairo.

Os eixes dos catro pilares da torre Eiffel forman un cadrado de 100 metros, que sería o lado pequeno dun rectángulo áureo.

Se pomos dous rectángulos consecutivos conseguimos a altura desta torre.

Tamén atopamos a phi nas diferentes partes da torre.

No debuxo, o espazo azul sería 1 e phi sería o espazo azul máis o dourado.

100 x Φ x 2 ≈ 323,61

A continuación imos mostrar a construción fase por fase do mapa áureo do rostro da Mona Lisa:

• No esquema nº 1 pódese ver como o rostro da Gioconda se encadra perfectamente nun rectángulo áureo.• Dentro dese rectángulo áureo se se debuxa un cadrado no esquema nº 2 queda arriba outro rectángulo áureo.• No rectángulo áureo obtido no esquema nº 2 realízase a mesma operación (nº 3).• Vólvese a realizar a mesma operación no esquema nº 4.• No nº 5 trasládase simetricamente segundo a liña que pasa xusto enriba dos ollos o cadrado grande de arriba e o último rectángulo áureo obtido. Pódese ver que la liña apuntada sae exactamente do nacemento do pelo (xusto na raia do pelo), pasa pola metade do nariz e remata na metade de onde empeza a boca da Mona Lisa.• No debuxo nº 6 se se realiza a mesma operación descrita no nº 2 dos veces, o punto que se sinala é exactamente o centro da pupila do ollo esquerdo da Gioconda e no nº 8 o ollo dereito. • No debuxo 7 trasládase simetricamente segundo a liña que vai do pelo á la boca o debuxado no nº 6. • Por último,no nº 8 trázase un novo rectángulo áureo no cal a esquina inferior esquerda do último cadrado debuxado é exactamente o centro da pupila do ollo dereito da Gioconda.

Tamén podemos atopar a proporción áurea en Las Meninas de Velázque

Outro exemplo é a Tumba Rupestre de Mira, que está baseada nun pentágono regular , no cal o cociente entre a diagonal do pentágono regular e o lado de dito pentágono é o número áureo.

O cadro de Dalí Leda atómica, pintado en 1949, sintetiza séculos de tradición matemática e simbólica, especialmente pitagórica.

Trátase dunha filigrana baseada na proporción áurea, pero elaborada de tal forma que non é evidente para o espectador.

No boceto de 1947 advírtese a meticulosidade do análise xeométrico realizado por Dalí baseado no pentagrama místico pitagórico.

(Este cadro foi feito en colaboración co matemático Matila Ghyka).

A relación entre as partes, o teito e as columnas do partenón de Atenas (s. V a.C.). Durante o primeiro cuarto do século XX, Jay Hambidge, da Universidade de Yale, inspirouse nunha paisaxe do Theeteto de Platón para estudar as proporcións relativas das superficies, algo moi natural cando se trata de obras arquitectónicas.

En 1837 descubríronse correccións ópticas no Partenón. Se as columnas e os ángulos que o conforman fosen totalmente rectos e todas as súas liñas fosen paralelas, polas propiedades da división humana o conxunto veríase máis ancho arriba que na súa base e as columnas percibiríanse inclinadas cara á fora. Sen embargo os construtores compensaron estes efectos de ilusión óptica inclinando ou curvando en sentido inverso ós elemnetos involucrados.

O número de ouro no ser humano:

A anatomía dos seres humanos baséase nunha relación Phi exacta,así podemos ver:

• A relación entre a altura do ser humano e altura do seu embigo.

• A relación entre a distancia do ombro ós dedos e a distancia dos codos ós dedos.

• Podemos atopar a Phi se observamos a espiral que forma a nosa orella.

• A relación entre a altura da cadeira e o xeonllo.

• A relación entre o primeiro óso dos dedos (metacarpiano) e a primeira falanxe, ou entre a primeira e a segunda, ou entre a segunda e a terceira . Se dividimos todo é Phi.

• A relación entre a man e o antebrazo.

• A relación entre o diámetro da boca e o do nariz.

• Tamén é Phi a relación entre o diámetro dos ollos e a liña inter - pupilar.

• Cando a tráquea se divide nos seus bronquios, se se mide o diámetro dos bronquios pola tráquea obtense Phi, ó igual que se obtén da relación entre a aorta coas súas ramas terminais (ilíacas primitivas).

• A relación que hai entre a metade dereita o esquerda da nosa mandíbula superior e a distancia do beizo ó nariz.

• Está comprobado que a maior cantidade de números Phi no rostro e o corpo fan que a maioría das persoas recoñezan a eses individuos como guapos, belos e proporcionais. Se se miden os números Phi dunha poboación determinada e se a compara cunha poboación de modelos publicitarios, estes últimos resultan achegarse máis ó número Phi.

O número de ouro no universo

Podemos atopar a phi na relación que existe entre as distancias dos distintos planetas do sistema solar ó sol.

Na terceira columna da seguinte táboa amósase o resultado de dividir a distancia dos planetas ó sol pola distancia ó anterior.( Para Mercurio como ten planeta anterior asignóuselle 1).

Moitas veces cando falamos do sistema sola omitimos o cinto de asteroides, que tamén representa unha masa considerable para o equilibrio do universo, sendo Ceres o asteroide maior.Ceres é tan grande que ten forma esférica coma os planetas e representa un terzo da masa total do cinto, situándose entre Marte e Xúpiter.

PlanetasDistancia ó sol en millóns de Km.

Relación entre as distancias dos sucesivos planetas

Mercurio 57,9 1

Venus 108,2 1,869

Tierra 149,6 1,383

Marte 227.9 1,523

Ceres 413,7 1,815

Júpiter 778,6 1,881

Saturno 1433,5 1,841

Urano 2872,5 2,004

Neptuno 4495,1 1,565

Plutón 5870 1,306

Total 16,187

Media 1,6187

Numero Phi 1,6180

Nos aneis de Cassini do planeta de Saturno tamén se atopa a relación phi.

Se o segmento dourado é igual a 1, o segmento azul é igual a phi.

Curiosidades áureas

Supondo que a distancia de 0º a 100º é phi:

Unha unidade partindo de 0º serían aproximadamente 62º, que é a temperatura límite da vida, a temperatura mínima necesaria para matar ás bacterias. ( A pasteurización realízase en media hora a esta temperatura).

Unha unidade partindo de 100º cara 0º serían 38º, que é a temperatura

aproximada dos mamíferos. A temperatura normal do home é de 37º, sen embargo a dos cans ou gatos é de 39º, por iso a media está moi preto dos 38º.

• 100/Φ ≈ 61,8 ≈ temperatura limite de la vida.

• 100 - [100/Φ] ≈ 38,2 ≈ temperatura de los mamíferos.

Como non, tamén podemos atopar exemplos de rectángulos áureos nas tarxetas de crédito, no noso carné de identidade ou nas caixatiñas de tabaco.

Nas xoias tamén atopamos exemplos de proporción áurea.

Xeralmente son obxectos de metais preciosos que serven como adornos.

O valor sentimental que se lle dá ás xoias conforma consigo a perfección, coincidindo ademais en ocasións coas proporcións divinas que outorga o número áureo.

Outros claros exemplos son instrumentos musicais como a frauta, libros, décimos de lotería ou ata ferramenta de traballo.

Na páxina seis da novela de Dan Brown El código Da Vinci, aparece unha versión desordenada dos primeiros oito números da sucesión de Fibonacci (13, 3, 2, 21, 1, 1, 8, 5), que funcionan como unha pista deixada polo curador do museo do Louvre, Jacques Saunière. Nas páxinas 121 a 123 explica algunhas das aparicións deste número Phi na natureza.

Tamán no episodio de “Sabotaje” da serie de televisión NUMB3RS, o xenio das matemáticas Charlie Epps menciona que o número phi se atopa na estrutura dos cristais, na espiral das galaxias e na cuncha dos nautilus.

Na cinta de Darren Aronfsky Pi, fe en el caos, o personaxe central, Max Cohen explica a relación que hai entre os números de Fibonacci e a sección áurea, aínda que denominándoa incorrectamente como Theta no canto de Phi.

Fin.