PD_PRO1 Curso probabilidad unad

Probabilidad I Programa desarrollado

Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología 1

Área de Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnológicas

Cuatrimestre TRES

Programa de la asignatura:

Probabilidad I

Clave:

050910311

Febrero de 2011



SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA Alonso Lujambio Irazábal SUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN SUPERIOR Rodolfo Tuirán Gutiérrez PROGRAMA DE EDUCACIÓN SUPERIOR ABIERTA Y A DISTANCIA COORDINACIÓN GENERAL Manuel Quintero Quintero COORDINACIÓN ACADÉMICA Soila del Carmen López Cuevas DISEÑO INSTRUCCIONAL Karla Contreras Chávez EVALUACIÓN Y ACREDITACIÓN DE PROGRAMAS EDUCATIVOS Karina Montaño AGRADECEMOS LA COLABORACIÓN EN EL DESARROLLO DE ESTE MATERIAL A: Mtra. Haydeé Gómez Díaz y Mtro. Salvador Bernardo Martínez Jiménez

Secretaría de Educación Pública, 2011



Tabla de contenidos

I. Información general de la asignatura __________________________________________ 6

a. Ficha de identificación _____________________________________________________ 6

b. Descripción ______________________________________________________________ 6

c. Propósito _______________________________________________________________ 7

II. Fundamentación de la asignatura ____________________________________________ 8

III. Competencia(s) a desarrollar _______________________________________________ 8

IV. Temario _________________________________________________________________ 8

V. Metodología de trabajo ____________________________________________________ 10

VI. Evaluación _____________________________________________________________ 11

VII. Materiales de apoyo _____________________________________________________ 12

VIII. Desarrollo de contenidos por unidad _______________________________________ 14

UNIDAD 1. INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD _______________________________ 14

Propósito de la unidad ______________________________________________________ 14

Competencia específica _____________________________________________________ 14

Presentación de la unidad ___________________________________________________ 14

1.1. Fundamentos__________________________________________________________ 14

1.1.1. Importancia de la probabilidad _________________________________________ 15

Actividad 1. ¿Por qué aprender probabilidad? __________________________________ 16

1.1.2. Experimento aleatorio ________________________________________________ 16

1.1.3. Eventos simples y compuestos _________________________________________ 18

1.1.4. Espacio muestral ____________________________________________________ 19

Actividad 2. Construye conceptos a través de ejemplos ___________________________ 22

1.1.5. Técnicas de conteo __________________________________________________ 22

Actividad 3. Construye conceptos a través de ejemplos ___________________________ 31

Actividad 4. Espacio muestral de un experimento ________________________________ 31

1.2. Enfoques para el cálculo de probabilidades __________________________________ 32

1.2.1. Enfoque clásico _____________________________________________________ 32

1.2.2. Enfoque de frecuencia relativa _________________________________________ 33

1.2.3. Enfoque subjetivo ___________________________________________________ 34

1.3. Reglas básicas ________________________________________________________ 35

1.3.1. Regla general para suma de eventos ____________________________________ 35

1.3.2. Regla para suma de eventos excluyentes _________________________________ 38

Actividad 5. Probabilidades de uno o más eventos _______________________________ 40

Evidencia de aprendizaje. Reflexión sobre el respeto a las reglas de tránsito ____________ 41

Consideraciones específicas de la unidad _______________________________________ 42

Fuentes de consulta ________________________________________________________ 43



UNIDAD 2. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD _____________________________________ 45




2.1. Cálculo de probabilidades ________________________________________________ 45

2.1.1. Definición de probabilidad _____________________________________________ 46

Actividad 1. Aplicaciones de probabilidad simple y condicional _____________________ 47

2.1.2. Axiomas de probabilidad ______________________________________________ 47

2.1.3. Teoremas de probabilidad _____________________________________________ 48

Actividad 2. Axiomas y teoremas en el cálculo de probabilidades ___________________ 49

2.2. Probabilidad condicional _________________________________________________ 50

Actividad 3. ¿Por qué nace la probabilidad condicional? __________________________ 51

2.2.1. Definición de probabilidad condicional ___________________________________ 51

Actividad 4. Reglas para el cálculo de probabilidades condicionales _________________ 55

2.2.2. Eventos independientes ______________________________________________ 57

Actividad 5. Eventos independientes _________________________________________ 60

2.2.3. Teorema de Bayes __________________________________________________ 61

Actividad 6. Teorema de Bayes _____________________________________________ 68

Evidencia de aprendizaje. Aplicación del teorema de Bayes en las reglas de tránsito _____ 69

Consideraciones específicas de la unidad _______________________________________ 71

Fuentes de consulta ________________________________________________________ 72

UNIDAD 3. MODELOS DE PROBABILIDAD DISCRETOS ___________________________ 73




3.1. Modelos de probabilidad _________________________________________________ 74

3.1.1. Modelos determinísticos vs. probabilísticos _______________________________ 74

3.2. Variable aleatoria discreta ________________________________________________ 76

3.2.1. Definición de variable aleatoria discreta __________________________________ 77

3.2.2. Distribución de probabilidad ___________________________________________ 78

3.2.3. Valor esperado y varianza de una variable aleatoria discreta __________________ 79

3.3. Modelos de probabilidad para variables aleatorias discretas _____________________ 82

3.3.1. Modelo Binominal ___________________________________________________ 82

Actividad 1. ¿En qué áreas se aplica el modelo Binomial? _________________________ 84

Actividad 2. Aplicación de la distribución Binomial _______________________________ 85

3.3.2. Modelo de Poisson __________________________________________________ 86

Actividad 3. ¿En qué áreas se aplica el modelo Poisson? _________________________ 88

Actividad 4. Aplicación del modelo Poisson ____________________________________ 89

3.3.3. Modelo Hipergeométrico ______________________________________________ 90

Actividad 5. ¿En qué áreas se aplica el modelo Hipergeométrico? __________________ 92



Actividad 6. Aplicación del modelo Hipergeométrico ______________________________ 93

Evidencia de aprendizaje. ¿Quién ganará las elecciones? __________________________ 94

Consideraciones específicas de la unidad _____________________________________ 96

Fuentes de consulta ______________________________________________________ 96

UNIDAD 4. MODELOS DE PROBABILIDAD CONTINUOS ___________________________ 98




4.1. Variables aleatorias continuas ____________________________________________ 100

4.1.1. Definición de variable aleatoria continua _________________________________ 100

4.1.2. Función de densidad de probabilidad ___________________________________ 100

Actividad 1. Ejemplos de funciones de densidad _______________________________ 102

4.1.3. Función de distribución de probabilidad _________________________________ 103

4.2. Modelos de probabilidad para variables aleatorias continuas ____________________ 103

4.2.1. Distribución uniforme continua ________________________________________ 104

4.2.2. Distribución normal _________________________________________________ 106

Actividad 2. Importancia del modelo normal en la estadística ______________________ 109

Actividad 3. Valores y parámetros para el cálculo de probabilidades ________________ 110

4.2.3. Distribución normal estándar __________________________________________ 111

Actividad 4. Aplicación del cálculo de probabilidad normal ________________________ 113

Evidencia de aprendizaje. Modelando las ganancias de una empresa ________________ 115

Consideraciones específicas de la unidad ______________________________________ 117

Fuentes de consulta _______________________________________________________ 117



I. Información general de la asignatura

a. Ficha de identificación

División Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnología

Nombre de la licenciatura o ingeniería Licenciatura en matemáticas

Nombre del curso o asignatura Probabilidad I

Clave de asignatura 050910311

Seriación Probabilidad II

Cuatrimestre Tercero

Horas contempladas 72

b. Descripción La probabilidad es una rama de la matemática empleada para modelar diversas situaciones en donde está

presente el azar o la incertidumbre, como ejemplo tenemos diversas situaciones presentes en las ciencias

económico-administrativas, en las ciencias de la salud, en las ciencias naturales y en sí en casi todas las

disciplinas, así como en la vida cotidiana: cuando un inversionista enfrenta riesgos al elegir una acción, un

agricultor al proceder a la siembra, una compañía de seguros al asegurar un auto, una población ante la

amenaza de inundación y una empresa de transporte en el riesgo de perder la carga.

Por otro lado es preciso mencionar que la probabilidad juega un papel muy importante en la inferencia

estadística, ya que muchas decisiones se toman usando solo una pequeña parte de la información de una

población, por ejemplo en la salud de un enfermo se determina a partir de una pequeña muestra de su

sangre, o la calidad de un proceso de producción, seleccionando una muestra de los artículos producidos.

En estos procesos la probabilidad mide los riesgos inherentes a la incertidumbre debida a la información

contenida en la muestra. Este curso de probabilidad proporciona las bases para calcular la probabilidad de

enfrentar estos riesgos.

El enfoque de la asignatura se basa en la probabilidad clásica y la probabilidad relativa, donde los

experimentos aleatorios presentan resultados con la misma probabilidad de que suceda y cuando las

muestras para obtener el resultado posible son de tamaño grande, respectivamente. Al finalizar, se podrá

utilizar y seleccionar reglas básicas, cálculo de probabilidad y modelos probabilísticos para poder predecir

los resultados posibles, en situaciones donde se presenta un cierto grado de incertidumbre.

La asignatura, que se encuentra dentro del tercer cuatrimestre de la licenciatura de Matemáticas, te

permitirá conocer diversos enfoques y sentar las bases para aplicar axiomas, teoremas en el cálculo de

probabilidades, así como aplicar algunos modelos de probabilidad básicos que son de gran utilidad en la

mayoría de los problemas de inferencia estadística.



La probabilidad se encuentra relacionada con otras áreas del conocimiento, por lo que será base para otras

asignaturas como Probabilidad II, Estadística, Análisis combinatorio y Procesos estocásticos. Por ejemplo,

la estadística es una medición cuantitativa de fenómenos y su relación es que la probabilidad estudia la

posibilidad de que ocurra un cierto evento dentro de un estudio estadístico.

En la unidad 1. Introducción a la probabilidad. Se estudiaran los diferentes enfoques para el cálculo de

probabilidades y las reglas básicas.

En la unidad 2. Teoría de la probabilidad. Se abordan los axiomas y teoremas para el cálculo de

probabilidades y probabilidades condicionales.

En la unidad 3. Modelos de probabilidad discretos. Se estudian los modelos de probabilidad para variables

aleatorias discretas: Bernoulli, Binomial, Hipergeométrico y Poisson.

En la unidad 4. Modelos de probabilidad continuos. Se estudian modelos de probabilidad para variables

aleatorias continuas: uniforme continua, normal y normal estándar.

Al finalizar, el egresado será capaz de interpretar los resultados de los análisis de la información para

establecer concordancias y diferencias en la toma de decisiones.

c. Propósito El propósito de la asignatura es formar profesionales competentes en el uso de la probabilidad, con un

conjunto de habilidades que posibiliten el conocimiento, de acuerdo con propósitos concretos y en

contextos específicos que promuevan el aprendizaje y el crecimiento individual, la interacción y la

convivencia en su vida académica y social.

Por lo tanto en el curso:

Identificarás los conceptos básicos de probabilidad como experimento aleatorio, espacio muestral,

eventos, probabilidad clásica, relativa y subjetiva que fundamentan el cálculo de probabilidades.

Aplicarás las técnicas de conteo, para hallar el número de ocurrencias de un evento en los

resultados posibles.

Utilizarás axiomas y teoremas para el cálculo de probabilidades de eventos simples, compuestos,

independientes y dependientes.

Utilizarás los modelos probabilísticos para el cálculo de probabilidades de un experimento aleatorio

considerando las propiedades de su función de distribución y sus valores asociados.

Identificarás una función de densidad a través de sus características.

Identificarás las propiedades de distribución uniforme continua y de una función de probabilidad

acumulada para una variable continua.

Aplicaras el modelo normal y normal estándar para el cálculo de probabilidades, apoyándote en

tablas de normal estándar.



II. Fundamentación de la asignatura

El estudio de la probabilidad en el perfil del egresado es fundamental, dada la importancia y la frecuencia

de su aplicación en la vida cotidiana y en otras áreas de la ciencia. Además, en el diseño curricular de la

carrera, el conocimiento adquirido en esta asignatura, será base para el aprendizaje significativo de otras

áreas, por ejemplo la Estadística.

Por otro lado, la verdadera utilidad de la probabilidad es cuando se aplica. Utilizarla para tomar decisiones

cundo se tiene fenómenos de mucha incertidumbre, saber si un evento sucederá y el grado de predicción

son importantes en la toma de decisiones, por ejemplo para tener el control de ganancias o de perdidas

sobre fenómenos aleatorios que suceden en la industria, en la ciencia, en la educación, etc.

Además, para poder obtener los resultados probabilísticos correctos de diversos experimentos o

fenómenos aleatorios, es importante que se comprenda bien los conceptos, las propiedades, axiomas y

teoremas que presenta la teoría de la probabilidad, pero como toda área de la matemática, su verdadero

entendimiento llega en la aplicación de lo que se presenta teóricamente, a través de ejercicios y actividades

que deberás desarrollar, por lo tanto para lograr los objetivos de la asignatura y sobre todo, lograr un

aprendizaje significativo, el curso de Probabilidad se desarrolla con enfoque práctico con base en casos

reales que ocurren en nuestro alrededor.

III. Competencia(s) a desarrollar

Utilizar modelos probabilísticos para medir los parámetros de incertidumbre de diversos eventos por medio

de distribuciones, variables aleatorias discretas y continuas mediante las técnicas de probabilidad.

Identificar los principios básicos de la probabilidad para obtener los resultados de un experimento

aleatorio por medio de las técnicas de conteo y las reglas básicas.

Utilizar axiomas y teoremas de la probabilidad para resolver eventos independientes mediante la

aplicación de la teoría de Bayes y la probabilidad condicional.

Utilizar modelos de probabilidad discretos para el análisis de eventos a través del valor esperado y

la varianza de las variables aleatorias discretas.

Utilizar los modelos de probabilidad continuos para el análisis de eventos a través de variables

aleatorias continuas y con el uso de tablas de cálculo de probabilidad.

IV. Temario

Unidad 1. Introducción a la probabilidad

1.1. Fundamentos

1.1.1. Importancia de la probabilidad

1.1.2. Experimento aleatorio



1.1.3. Eventos simples y compuestos

1.1.4. Espacio muestral

1.1.5. Técnicas de conteo

1.2. Enfoques para el cálculo de probabilidades

1.2.1. Enfoque clásico

1.2.2. Enfoque de frecuencia relativa

1.2.3. Enfoque subjetivo

1.3. Reglas básicas

1.3.1. Regla general para suma de eventos

1.3.2. Regla para suma de eventos excluyentes

Unidad 2. Teoría de la probabilidad

2.1. Cálculo de probabilidades

2.1.1. Definición de probabilidad

2.1.2. Axiomas de probabilidad

2.1.3. Teorema de probabilidad

2.2. Probabilidad condicional

2.2.1. Definición de probabilidad condicional

2.2.2. Eventos independientes

2.2.3. Teorema de Bayes

Unidad 3. Modelos de probabilidad discretos

3.1. Modelos de probabilidad

3.1.1. Modelos determinísticos vs. probabilísticos

3.2. Variable aleatoria discreta

3.2.1. Definición de variable aleatoria discreta

3.2.2. Distribución de probabilidad

3.2.3. Valor esperado y varianza de una variable aleatoria discreta

3.3. Modelos de probabilidad para variables aleatorias discretas

3.3.1. Modelo Binomial

3.3.2. Modelo de Poisson

3.3.3. Modelo Hipergeométrico

Unidad 4. Modelos de probabilidad continuos



1.1. Variables aleatorias continuas

1.1.1. Definición de variable aleatoria continua

1.1.2. Función de densidad de probabilidad

1.1.3. Función de distribución de probabilidad

1.2. Modelo de probabilidad para variables aleatorias continuas

1.2.1. Distribución uniforme continua

1.2.2. Distribución normal

1.2.3. Distribución normal estándar

V. Metodología de trabajo

La asignatura Probabilidad I está conformada por cuatro unidades de aprendizaje: fundamentos y prácticas

de la probabilidad. Cada unidad contiene un bloque de ejercicios prácticos sobre aspectos probabilísticos

enfocados en diversos contextos con la intención de formarte con competencias matemáticas.

La metodología de enseñanza es el Aprendizaje Basado en el Estudio de Casos y la verdadera

comprensión del marco teórico de la probabilidad, llega con la aplicación de sus fundamentos teóricos, por

lo tanto el marco de trabajo de este curso se basa en el desarrollo de ejercicios y actividades que dirige al

alumno en su proceso de aprendizaje, con el propósito de que al término del curso, sean capaces de

analizar y aplicar axiomas, teoremas, modelos probabilísticos, etc., en la solución de problemas

específicos.

Para poder cumplir con el propósito anterior, se presenta el diseño de contenidos de manera sencilla y

organizada, que permitirá dirigir adecuadamente al alumno en su proceso de aprendizaje, además junto

con ellos, se presentan bloques de ejercicios y actividades que deberán resolver, los cuales están

planteados en base a sucesos reales, para que el alumno alcance las competencias definidas y adquiera

con ello un aprendizaje significativo.

Las actividades están diseñadas para la reflexión, análisis, participación o colaboración grupal, es por ello

que para alcanzar el objetivo de cada actividad se debe cumplir adecuadamente las instrucciones que se

presentan y utilizar las herramientas que se proponen en cada actividad y que provee el aula.

Se presenta un foro por unidad y tiene la finalidad de interactuar entre compañeros, a través de un

planteamiento y análisis del tema, donde pondrán proponer sus puntos de vista e incluso debatir con base

en la reflexión y así poder llegar al final a un conceso grupal.

En cada una de las unidades temáticas se presentan autoevaluaciones que permitirán identificar fortalezas

o debilidades en relación al tema visto. Se recomienda que, para la realización de los ejercicios se

acompañe de un cuaderno y lápiz, ya que muchos de ellos se deberán realizar operaciones matemáticas

para llegar a la respuesta correcta.



También se utilizan la Wiki para construir, de forma grupal, conceptos relacionados al tema, con base en

investigaciones previas, a la participación.

Las actividades y las evidencias de aprendizaje serán revisadas y retroalimentadas por su Facilitador(a) del

curso. Dicha revisión se centrará en la evaluación, como un proceso de revisión de los avances y

dificultades que presentan a la hora de trabajar los contenidos y en la retroalimentación (tanto en las

actividades como en el foro), de manera que el experimentar caminos de solución, que no siempre llevan a

una respuesta correcta, sea una oportunidad de aprendizaje.

VI. Evaluación

En el marco del Programa de la ESAD, la evaluación se conceptualiza como un proceso participativo,

sistemático y ordenado que inicia desde el momento en que el estudiante ingresa al aula virtual. Por lo que

se le considera desde un enfoque integral y continuo.

Por lo anterior, para aprobar la asignatura de Probabilidad I, se espera la participación responsable y activa

del estudiante así como una comunicación estrecha con su facilitador para que pueda evaluar

objetivamente su desempeño. Para lo cual es necesaria la recolección de evidencias que permitan apreciar

el proceso de aprendizaje de contenidos: declarativos, procedimentales y actitudinales.

En este contexto, la evaluación es parte del proceso de aprendizaje, en el que la retroalimentación

permanente es fundamental para promover el aprendizaje significativo y reconocer el esfuerzo. Es requisito

indispensable la entrega oportuna de cada una de las tareas, actividades y evidencias, así como la

participación en foros, wikis, blogs y demás actividades programadas en cada una de las unidades, dentro

del tiempo especificado y conforme a las indicaciones dadas. La calificación se asignará de acuerdo con la

escala establecida para cada actividad, por lo que es importante que el estudiante la revise antes de

realizar la actividad correspondiente.

A continuación presentamos el esquema general de evaluación.

Recursos y herramientas Valor

Actividades formativas (envíos a taller y tareas) 30%

Interacción en el aula y trabajo colaborativo (foro, y

base de datos)

10%

E-Portafolio. Evidencias de aprendizaje y

autorreflexión

50%



Examen final 10%

Cabe señalar que, para aprobar la asignatura, se debe de obtener la calificación mínima indicada por la

ESAD.

VII. Materiales de apoyo

Bibliografía básica

Johnson, R. y Kuby, P. (2006). Estadística elemental. México: Thomson Paraninfo, S. A.

Triola, Mario F. (2006). Estadística elemental. México: Addison Wesley Longman.

Ruiz, Elena y Ruiz, Elvia. (2007). Probabilidad y estadística. México: McGraw-Hill Interamericana.

Walpole, R., Myers, R. H. y Myers, Sharon. (2007). Probabilidad y estadística para ingenieros. Pearson

Education.

Bibliografía complementaria

Evans, M. J. (2005). Probabilidad y estadística. Reverte.

Gamiz Casarrubias, Beatriz E. (2003). Probabilidad y estadística con prácticas en Excel. México: Just in

time Press.

Lincoln L. Chao. (2000). Introducción a la estadística. México: Compañía Editorial Continental.

Spiegel, Murray R. y Stephens, Larry J. (2002). Estadística, México: McGraw-Hill.

Devore, Jay L. (2005). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias. México: Thomson.

H.T. Hayslett, Jr. (1987) Estadística simplificada. México: Grupo editorial Sayrols.

Fuentes cibergráficas

http://www.uaim.edu.mx/web-carreras/carreras/CALIDAD/04TRIM/PROBABILIDAD.pdf

http://www.vitutor.com/estadistica.html

http://www.fisterra.com/mbe/investiga/probabilidades/probabilidades.asp

http://www.zweigmedia.com/MundoReal/tutindex.html

http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/amarillo.htm

http://www.csanpablo.com.ar/apuntes_archivos/fisica_archivos/probabilidad_y_%20estadistica.PDF

http://www.itchihuahua.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/amarillo.htm

http://www.aulafacil.com/CursoEstadistica/CursoEstadistica.htm











http://www.cmat.edu.uy/~mordecki/notas_probabilidad.pdf

http://www.matematicas.unam.mx/lars/libros/cip.pdf

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/28/matematicas-28.html

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001065/html/contenido.html



http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/28/matematicas-28.html

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001065/html/contenido.html



VIII. Desarrollo de contenidos por unidad

UNIDAD 1. INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD

Propósito de la unidad Al finalizar la unidad:

Identificarás los resultados posibles de un experimento aleatorio utilizando la técnica básica de

conteo.

Obtendrás la probabilidad de un evento simple y de dos o más eventos.

Competencia específica Identificar los principios básicos de la probabilidad para obtener los resultados de un experimento aleatorio

por medio de las técnicas de conteo y las reglas básicas.

Presentación de la unidad

Uno de los objetivos del estudio de la ciencia es que el estudiante comprenda los fenómenos que ocurren a

su alrededor y poder predecir los efectos que de ellos se derivan. De lo anterior, nace la importancia del

estudio de la probabilidad. Para esto, es necesario que el estudiante aprenda hacer análisis cualitativo y

cuantitativo de situaciones que se le presentan, pero para su interpretación es necesario emplear

estrategias que surgen de la probabilidad.

De acuerdo con este planteamiento, la presente unidad ofrece elementos teóricos básicos sobre

experimentos aleatorios, eventos, técnicas de conteo, probabilidad de conteo, nociones clásica y

frecuencial de la probabilidad y las reglas básicas para calcular probabilidades, incluidos en las lecturas

complementarias y en los ejercicios, pero el hilo conductor son las actividades que, como estrategias de

enseñanza, permiten el logro de los aprendizajes a través de la práctica.

1.1. Fundamentos

La matemática sirve para modelar situaciones que se presentan en la vida cotidiana o en otras áreas de la

ciencia, pero al tratar de modelar los fenómenos de la naturaleza o sociales, se han encontrado con que

hay situaciones que obedecen a un modelo determinista y otros que obedecen a un modelo aleatorio, por

ejemplo, es difícil representar el fenómeno de que una persona de bajos recursos y que pertenece a una

nación con problemas sociales tenga un accidente o no en el próximo año.



La probabilidad propone la forma de resolver estos conflictos que se presentan, la cual radica en calcular

una medida numérica que representa la posibilidad de que ocurra un evento de un fenómeno o

experimento aleatorio, el cual a través de observaciones o a recolección de datos puede determinar los

resultados donde la mayor parte de ellos son inciertos y dependen del azar.

Los resultados de un experimento forman un conjunto llamado espacio muestral que no es más que la

colección de todos los resultados posibles de un experimento.

Además, se hace uso de propiedades y técnicas donde habría que contar el número de veces que pueden

ocurrir todos los sucesos que se desean observar, para ello, se utilizará el principio fundamental de conteo.

Por lo anterior, en este tema, se expone los conceptos básicos y que son considerados fundamentos del

estudio de la probabilidad, es decir, son necesarios para la comprensión y la aplicación del cálculo de

probabilidades, las funciones de distribuciones y modelos probabilísticos que se presentarán en los

siguientes capítulos.

1.1.1. Importancia de la probabilidad

Sin duda alguna, todos nos hemos enfrentado a la incertidumbre. Tanto en la naturaleza como en nuestra

moderna sociedad, infinidad de fenómenos presentan diversos resultados y son impredecibles.

Por ejemplo, tenemos los fenómenos ambientales como terremotos, tornados, huracanes, nevadas,

heladas, inundaciones, etc. Estos son parte de nuestra vida cotidiana; aunque, nadie puede determinar con

precisión cuándo van a ocurrir, lo que sí podemos hacer, tomando en cuenta los datos históricos, es

estimar qué tan posible es que sucedan.

En nuestra sociedad, la probabilidad es usada en la medicina, la biología, la agricultura, la economía, la

demografía, la meteorología, la política, etc. En sus inicios, la probabilidad jugó un papel muy importante en

el estudio de los juegos de azar y apuestas. También la probabilidad tiene un uso importante en la medición

de riesgos, como es el caso de las compañías de seguros de auto, vida y marítimos, entre otros. Por

ejemplo, para saber si un automovilista sufrirá un accidente, una compañía de seguros determinará y

evaluará la posibilidad de que suceda, determinará la pérdida económica para poder implementar una prima

de seguro que sea suficiente en caso de que suceda, además considerará tener un riesgo capital mínimo,

para que sea rentable y se pueda generar un negocio.



Actividad 1. ¿Por qué aprender probabilidad?

Propósitos

Activar la reflexión sobre la importancia de la probabilidad.

Incrementar los conocimientos sobre los conceptos básicos de probabilidad con los integrantes del

grupo con el fin de llegar a acuerdos comunes y consensos colectivos.

Propiciar una situación comunicativa a través del debate y los acuerdos comunes.

Instrucciones

1. Lee el subtema1.1.1. Importancia de la probabilidad y luego analiza la importancia de estudiarla.

Puedes ampliar tu información con una búsqueda en Internet.

2. Posteriormente, reflexiona sobre tus hallazgos y participa en el foro respondiendo la pregunta ¿Por

qué debemos aprender probabilidad?

3. Define tu postura y replica al menos a uno de tus compañeros. (Todas las posturas son válidas,

siempre y cuando estén argumentadas).

4. Espera la retroalimentación por este mismo medio.

1.1.2. Experimento aleatorio

Definición: Experimento o fenómeno aleatorio es un experimento que puede dar lugar a varios

resultados sin que pueda ser previsible, antes de realizar el experimento, determinar con certeza cuál de

estos resultados va a ser observado.

Definición: Experimento no aleatorio (Determinista) es un experimento en el que se obtiene siempre el

mismo resultado. Ejemplo: Si lanzamos un objeto desde la misma altura y bajo las mismas condiciones

ambientales, ¿cuál será su velocidad? Correcto, siempre será la misma, y además la podemos calcular con

la siguiente expresión.

Ejemplo 1. Un oficial de tránsito encargado de un crucero debe de entregar a sus superiores un reporte

diario del número de infracciones levantadas. El experimento consiste en observar en un turno de ocho

horas cuántas boletas de infracción entregó el oficial de tránsito.



a. ¿Es un experimento aleatorio?

b. ¿Hay distintos resultados posibles?

c. ¿Es posible prever el número de infracciones por turno?

Tus respuestas deben de ser a) sí b) sí y c) no. Por supuesto que es un experimento aleatorio.

Ejemplo 2. Un mayorista en artículos eléctricos, para tomar la decisión de adquirir un lote de 100 lámparas,

selecciona del lote, al azar, 10 de ellas y las prueba. Acepta el lote si hay al menos 9 en buen estado. (Es

decir si hay 9 o 10 en buen estado)



c. ¿Cuántos resultados puede haber?

d. ¿Es posible prever el número de lámparas en buen estado?

Tus respuestas deben de ser a) sí, b) sí, c) 11 y d) no. Por supuesto que es un experimento aleatorio.

Ejemplo 3. El próximo domingo juegan la final de un torneo los dos mejores equipos. Nos interesa el

resultado de esta final.



c. ¿Cuántos resultados puede haber?

Tus respuestas deben de ser a) sí, b) sí, y c) 2. Por supuesto que es un experimento aleatorio y uno tiene

que ganar y el otro perder; solo hay dos resultados posibles.



Ejercicio 1. De las siguientes situaciones, determina si es un experimento

aleatorio o determinista.

Experimento Respuesta

1. El movimiento de un coche cuando está en espera, al prender la luz verde del semáforo.

2. Lanzar un producto al mercado.

3. El resultado de un juego de basquetbol.

4. Las consecuencias del tiempo con relación al frente frío.

5. Volumen de un litro de agua a 0° C.

6. Lanzar una pelota al aire.

7. Aprobar un examen.

8. Los nacimientos de bebés en días nublados.

9. Introducir la mano en un vaso de agua.

10. El libro preferido de los alumnos de un grupo de probabilidad.

1.1.3. Eventos simples y compuestos

Definición: Se llama evento simple o suceso aleatorio a la observación de un resultado en un experimento

aleatorio. Se llama evento compuesto a la observación simultánea de dos o más resultados en un

experimento aleatorio. Los eventos los denotaremos con letras mayúsculas como A, B, C, D, E,… que

denotan conjuntos. Si estos eventos o conjuntos contienen un solo elemento, se llaman eventos simples; si

contienen más de un elemento, se llaman eventos compuestos.

Ejemplo 1. Un salón de fiestas ofrece a sus clientes tres tipos de menú: Básico (1), Gala (2) y Ejecutivo (3),

de los cuales pueden elegir entre el “4T” (Ensalada, Sopa, Plato Fuerte y Postre) o el “3T” (Ensalada, Sopa

y Plato Fuerte).

Representemos el evento aleatorio “Los clientes prefieren el menú básico”.



A = {(1, 4T), (1,3T)} ¿Así que tenemos un evento simple o compuesto?

Si tu respuesta fue compuesto estás en lo correcto.

Ahora representemos algunos eventos simples.

a) El cliente prefiere el Básico de 3T B ={ ( , ) }

b) El cliente prefiere el Ejecutivo de 4T C ={ ( , ) }

Si tus respuestas fueron:

a) B = {(1, 3T)} y b) C = {(3, 4T)} es correcto.

Ejercicio 2. Completa los siguientes enunciados con las palabras que están en la parte

superior.

Evento-simple Evento-compuesto Experimento -aleatorio Experimento-

determinista Suceso

Un______________ puede dar lugar a varios resultados, sin que puedan ser previsibles.

Se llama _____________ a la observación de un resultado en un experimento aleatorio.

El ________________es el resultado de la observación de un experimento.

Un _________________ es aquel donde se obtiene el mismo resultado.

Se llama _____________ a la observación simultánea de dos o más resultados en un experimento

aleatorio

1.1.4. Espacio muestral

Definición: Se llama espacio muestral al conjunto de todos los resultados posibles en un experimento

aleatorio. Al espacio muestral lo denotaremos con la letra S (de space, en inglés), cabe mencionar que

también se puede representar por la letra E o por la letra griega Ω y que la elección del símbolo a utilizar

depende del autor. En este contexto, utilizaremos el símbolo S para representar el espacio muestral.



Ejemplo 1. En el ejemplo del salón de fiestas, nuestro espacio muestral tendrá seis resultados posibles:

Representamos el espacio muestral

S= {(1, 3T), (1,4T), (2, 3T), (2,4T) {(3, 3T), (3,4T)}

Podemos también usar un diagrama de árbol para representar S:

Menú Tipo #

1 Básico

3T

1

4T

2

2 Gala

3T

3

4T

4

3 Ejecutivo

3T

5

4T

6



Ejercicio 3. De los siguientes 3 casos, identifica el espacio muestral de cada una de las

situaciones presentadas. Si es necesario, dibuja el diagrama del árbol para representar S. A

continuación relaciona las siguientes columnas.

Situación 1. Sea dos niños (A, B) y cuatro dulces (1, 2, 3, 4). Se reparte solo un dulce a cada niño.

Situación 2. Sea tres jóvenes (A, B, C) y tres señoritas (1, 2, 3), en una pista de baile.

Situación 3. Sea dos bebes (A,B), tres chupones ( 1,2,3) y cuatro diferentes listones para el chupón

(L1,L2,L3,L4).

a) {(A,B),(A,1)(B,1),(A,2)(B,2),(A,3)(B,3)(A,

4),(B,4)}

b) {(A,1)(B,1),(A,2)(B,2),(C,1)(C,2)(A,3),(B,

3),(C,3)}

c) 12

d) 9

e) 8

f) {(A,1)(B,1),(A,2)(B,2),(A,3)(B,3),(A,4),(B,

4)}

g) 24

( ) Número de resultados del espacio muestral de

la situación 3.

( ) Representación del espacio muestral S de la

situación 1

( ) Representación del espacio muestral de la

situación 2

( ) Número de elementos del espacio muestral de la

situación 2

( ) Número del espacio muestral de la situación 1.



Actividad 2. Construye conceptos a través de ejemplos

Propósitos

Al finalizar la actividad, el alumno podrá:

Ejemplificar los conceptos básicos de la probabilidad.

Colaborar y sociabilizar y llegar a un consenso en su investigación.

Desarrollo

Los estudiantes construirán un Wiki de conceptos básicos de la probabilidad a través de ejemplos que

observen a su alrededor. Serán capaces de ejemplificar conceptos como experimento, suceso, evento,

etc., de manera colaborativa con los demás integrantes del equipo.

Instrucciones

1. El maestro organizará equipos de 4 integrantes y les asignará a cada equipo algunos de los

conceptos siguientes: Experimento aleatorio, suceso, experimento determinista, evento simple,

evento compuesto y espacio muestral.

2. Observa a tu alrededor e identifica algún caso real que pueda ejemplificar los conceptos asignados.

3. Ponte de acuerdo con tu equipo y selecciona el o los ejemplos a exponer en el Wiki.

4. De acuerdo al equipo asignado y los conceptos solicitados por el maestro, podrás agregar o

modificar solo la parte que le tocó construir a tu equipo.

5. Por último, revisa cada una de las aportaciones de los demás equipos y, si deseas, podrás agregar

o modificar el contenido de los demás equipos.

1.1.5. Técnicas de conteo

Las técnicas de conteo pertenecen a una rama de las matemáticas llamada análisis combinatorio y son

expresiones matemáticas que facilitan el enumerar los resultados de un experimento aleatorio, sobre todo

cuando es difícil contar o representar con diagramas de árbol.

Para conocer la probabilidad de que suceda un evento, en donde se presenta en gran número de

resultados posibles y difíciles de contar, se convierte en casi imposible sin estas técnicas de conteo, ya que

con la utilización adecuada de estas técnicas, obtendremos el número total de posibles resultados,

suficiente para que podamos encontrar la probabilidad de que suceda un evento.

Por lo tanto, en este tema estudiaremos las permutaciones y las combinaciones, que se consideran base

en el cálculo de probabilidades.



Permutaciones

Definición: Una permutación es un arreglo ordenado (es decir, el orden es importante)

de m elementos distintos seleccionados de un conjunto X = {x1, x2,...,xn}, el cual tiene n

elementos, en donde m n.

Ejemplo 1. En el Senado de la República se desea elegir una comisión de dos senadores para la

“Educación Superior”. Para tal fin se registraron tres senadores: Beltrones (B), García (G) y Zoreda (Z). La

comisión está integrada por un Presidente y un Secretario. ¿De cuántas formas puede integrarse la

comisión?

La respuesta es de seis formas, a saber: BG, BZ, GB, GZ, ZB y ZG Observa que BG no es igual a GB ya

que en el primero Beltrones preside y en el segundo es secretario.

Ejemplo 2. Considera el conjunto con las letras M = {m, o, r, a}. ¿Cuántas palabras distintas pueden

formarse con las cuatro letras? Dado que el orden es importante la m ocupa el primer lugar, la o el

segundo, la r el tercero y la a el cuarto. Si cambiamos las letras de lugar, cambiará el sentido de la palabra,

por ejemplo roma, ramo, rmao, armo, amor. ¿Cuántas palabras puedo formar? Nótese que rmao no tiene

significado, pero lo consideraremos como una palabra.

Si tu respuesta fue 24, es correcta. Vamos a representar las 24 permutaciones (Tabla 1):

Para el primer lugar tenemos cuatro posibilidades, al elegir una letra quedan tres posibilidades para el

segundo lugar, para el tercero dos posibilidades y una sola para el cuarto lugar.

Lugar 1 2 3 4

m

o r a

a r

r o a

a o

a r o

o r

m r a



o

a r

r a m

m a

a r m

m r

r

m o a

a o

o m a

a m

a m o

o m

a

m r o

o r

o r m

m r

r m o

o m

Tabla 1. Permutaciones de 4 letras.

Ejemplo 3. Considera el mismo conjunto con las letras M = {m, o, r, a}. ¿Cuántas palabras distintas

pueden formarse ahora con dos letras?

Usando el mismo razonamiento para el ejercicio anterior tendríamos 4 x 3 = 12

Para el primer lugar tenemos cuatro posibilidades, al elegir una letra quedan tres posibilidades para el

segundo lugar. Puedes observar en la tabla anterior los 12 resultados, en la primera y segunda columna.

Expresión para el cálculo de permutaciones. Representamos por nPm el número de arreglos

ordenados de m elementos distintos seleccionados de un conjunto X el cual tiene n elementos.



nPm = n x (n – 1) x (n-2) x…x (n-m+1)

En el ejemplo 3, se observan cuatro elementos distintos en M, es decir, n = 4 y deseamos formar palabras

de 4 elementos, por lo que m = 4 entonces el número de permutaciones se calculará de la siguiente forma:

4P4 = 4 x (4 – 1) x (4-2) x…x (4-4+1)

4P4 = 4 x (3) x (2) x (1) = 24

Nota en el diagrama de árbol del ejemplo que para el primer lugar podemos asignar las cuatro letras, pero

para el segundo lugar solo podemos asignar tres letras debido a que ya hay una en el primer lugar y no se

permite repetir; de igual forma para el tercer lugar solo podemos asignar dos y para el cuarto una.

Notación factorial. Se define el factorial por la expresión n! y representa el siguiente producto:

n! = n x (n-1) x (n-2) x…x 1

Podemos representar la expresión para el cálculo de permutaciones usando notación factorial:

nPn = n!

, Para n>m

Ejemplo 4. Consideremos que se tiene cuatro placas informativas diferentes para cuatro macetas

disponibles ¿De cuántas formas diferentes se puede colocar las placas en las macetas?

Si tu respuesta fue 24, es correcta. Para este ejemplo, se tiene que n=4 placas y m=4 macetas,

sustituyendo se tiene

= , donde el factorial de (0)!=1

Por lo tanto

= = =4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24



De lo anterior observa que, cuando n=m, podemos aplicar directamente la fórmula nPn = n!, y utilizando

la notación factorial tenemos el resultado inmediato.

4P4= 4!=4 X 3 X 2 X 1 = 24

Ejemplo 5. Considera el mismo conjunto con las letras del ejemplo 3, M = {m, o, r, a}. ¿Cuántas palabras

distintas pueden formarse ahora con dos letras?

Utilizando nuevamente la fórmula y dado que n=4 y m=2 tenemos que

= = = = 12

Ejemplo 6. Supón que hay diez candidatos para los puestos de presidente, vicepresidente, secretario y

director de relaciones públicas. ¿De cuántas formas pueden llenarse estos cuatro puestos?

En este problema, n=10 y r=4. Obviamente hay 10 formas de ocupar el primer puesto. Una vez que esto se

ha hecho, quedan nueve candidatos; por lo tanto, hay nueve formas de ocupar el segundo puesto. De

manera semejante, hay ocho formas de ocupar el tercer puesto y siete formas de ocupar el último puesto.

Entonces, el número total de formas o permutaciones para ocupar las cuatro posiciones teniendo diez

candidatos es

10 X 9 X 8 X 7 = 5040

lo cual es el producto de cuatro factores.

La misma respuesta se obtiene si se utiliza la ecuación alterna.

10P4 = 10 ! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6! = 10 X 9 x 8 x 7 = 5040

(10-4)! 6!



Combinaciones

Definición: Una combinación es un subconjunto de m elementos distintos seleccionados de un conjunto X

con n elementos. El número de distintas combinaciones o subconjuntos de m elementos que podemos

formar de un conjunto con n elementos lo denotaremos por Cm, n.

Dado un conjunto con n elementos distintos. X = {x1, x2,...xn} del cual nos interesa seleccionar m

elementos distintos (es decir, no los repetimos) en donde m n. Nota que no es importante el orden.

Ejemplo 1. En un proceso de producción se requiere seleccionar dos artículos de cuatro, en los que se

supone que hay dos defectuosos. ¿De cuántas formas podemos seleccionar dos artículos?

Denotemos los dos artículos buenos con las letras B1, B2 y los dos artículos defectuosos, con las letras D1,

D2. Así que el Conjunto X está representado por cuatro elementos X = {D1, D2., B1, B2 }; los posibles

subconjuntos están dados por:

{D1, D2.} { D1, B1 } {D1, B2.} {D2, B1 } {D2, B2.} { B1, B2 }

Observa que no importa el orden, es decir, el conjunto {D1, D2.} es el mismo que {D2, D1.}.

Ejemplo 2. Supón que diez personas son candidatas para la mesa directiva de cierto distrito escolar. Debe

de elegirse tres componentes para la mesa directiva. ¿De cuántas formas pueden seleccionarse tres

personas entre 10 candidatos?

Supón que las personas están denotadas por {A, B, C, D, E, F, G, H, I, J}. Para este ejemplo el orden en el

cual se selecciona a estas tres personas para la mesa directiva no se considera, por lo que se tiene las

siguientes combinaciones:

{A, B, C} {A, B, D} {A, B, E.} {A, B, F} {A, B, G.} {A, B, H} {A,B, I }

{A, B, J.} {A, C, D} {A, C, E.} … {G, H, I} {G, H, J.} {H, I, J}

El resultado final será 120 formas de combinar los elementos de los 10 candidatos.

Relación entre permutaciones y combinaciones. En el ejemplo 1 el número de subconjuntos de dos

elementos seleccionados de un conjunto con cuatro elementos fue:

{D1, D2.} {D1, B1} {D1, B2.} {D2, B1} {D2, B2.} {B1, B2}



Sin embargo, si el orden fuera importante tendríamos:

{D1, D2.} {D1, B1} {D1, B2.} {D2, B1} {D2, B2.} {B1, B2}

{D2, D1.} {B1, D1} {B2, D1.} {B1, D2} {B2, D2.} {B2, B1}

Para calcular el número de permutaciones sustituimos en la fórmula n=4 y m=4

Obtenemos el valor de 4P2 = 12 permutaciones como observamos anteriormente.

Si deseamos calcular el número de combinaciones tendremos que quitar las que se repiten dividiendo este

resultado entre dos. (En el caso general entre m!)

Observa:

Por lo que el valor de 4C2 = 6 combinaciones como se mostró antes.

Ejemplo 3. Nuevamente considera el conjunto del ejemplo 2, utiliza la ecuación anterior para encontrar

cuántos subconjuntos podemos formar.

Sea n=5 y m=2, por lo que:

Ejemplo 4. Considera el mismo ejercicio del ejemplo 3. ¿De cuántas formas pueden seleccionarse tres

personas para la mesa directiva de entre 10 candidatos?

Se tiene que n= 10 y m= 3, por lo que:



Observa que utilizando la ecuación anterior, será más fácil obtener el número de combinaciones.

Ejercicio 4. De los siguientes enunciados, calcula el número de veces en que un evento suceda.

Utiliza las técnicas de conteo de “Permutaciones”.


1. Supóngase que se tiene un equipo de 6 alumnos en la materia de probabilidad, ¿de cuántas formas diferentes podemos seleccionar a dos alumnos de tal forma que cada uno tenga el rol de jefe y el otro de líder?

a) 12

b) 30

c) 18

d) 720

2. De cuántas maneras se puede sentar a 2 niñas y 4 niños en una fila de seis asientos.

a) 720

b) 8

c) 20

d) 180

3. Se ha contratado a 5 empleados para la empresa Cineaqui, ¿de cuántas formas diferentes podemos repartir a los empleados en 5 diferentes puestos?

a) 60

b) 25

c) 24

d) 120

4. Un estudiante tiene que seleccionar una de las 4 materias optativas; una actividad extraescolar entre danza, teatro, música, y guitarra, y entre uno de los siguientes idiomas, inglés, francés e italiano ¿De cuántas formas distintas puede escoger?

a) 10

b) 35

c) 48

d) 78

5. ¿De cuántas maneras diferentes se puede colocar ocho libros distintos en un librero?

a) 640

b) 40320

c) 20160

d) 5040



Ejercicio 5. De los siguientes enunciados, calcula el número de veces en que un evento suceda.

Utiliza las técnicas de conteo de “Combinaciones”.

Experimento Respuesta Respuesta correcta

1. En una familia de 4 hijos se tiene una niña y tres niños ¿De cuantas formas podemos seleccionar dos niños de los cuatro?

a) 12

b) 6

c) 20

d) 24

2. González tiene 15 libros. Solamente puede llevarse cuatro de ellos en su mochila. ¿Cuántos grupos diferentes de libros puede seleccionar de los 15 libros?

a) 1365

b) 32760

c) 1250

d) 2720

3. En la clase de Probabilidad hay 20 estudiantes. ¿De cuántas formas puede seleccionarse de entre esta clase a un comité de tres estudiantes?

a) 720

b) 970

c) 1140

d) 1320

4. Si se cuenta con 14 alumnos que desean colaborar en una campaña pro limpieza de la Universidad, ¿cuántos grupos de limpieza podrán formarse si se desea que cada uno de ellos conste de 6 alumnos?

a) 1287

b) 2162160

c) 13755

d) 3003

5. Halla el número de palabras de 4 letras diferentes que pueden formarse con las letras de la palabra “factor”.

a) 320

b) 16

c) 24

d) 15



Actividad 3. Construye conceptos a través de ejemplos

Propósitos


Reconocer dónde se puede aplicar la probabilidad.

Colaborar y sociabilizar para la obtención de ejemplos.

Desarrollo

Los estudiantes agregarán en el Wiki de la “Etapa1” ejemplos de casos reales donde se pueda aplicar la

probabilidad.

Instrucciones

1. Entra al Wiki y revisa los ejemplos de aplicaciones propuestas por tus compañeros, en caso de que

las haya.

2. De forma individual, investiga en alguna fuente de información dos casos reales (en las áreas de

economía y finanzas, ingeniería y las ciencias naturales) diferentes a los presentados por tus

compañeros en los que se pueda y se deba aplicar la probabilidad para prevenir un evento.

3. Agrega tus ejemplos al final del contenido actual del Wiki.

Actividad 4. Espacio muestral de un experimento

Propósitos


Identificar el espacio muestral de un experimento.

Desarrollar habilidades para la obtención de espacio muestral.

Desarrollo

El estudiante analizará el experimento para obtener el espacio muestral.

Instrucciones

1) Encuentra y representa en forma gráfica el espacio muestral de los dos siguientes experimentos.

Experimento 1. Un fabricante de cámaras produce tres modelos diferentes (MOD1, MOD2, MOD3) y cuatro

accesorio distintos (ACCE1, ACCE2, ACCE3, ACC4). Cada accesorio puede utilizarse junto con cualquiera

de los tres modelos de cámara. Cada combinación accesorio constituye un punto muestral.



Experimento 2: Un investigador de mercado entrevista a una familia de cuatro personas, dos hijos

adolescentes y sus padres, para determinar si les agrada (A) o desagrada (D) un nuevo producto. Fórma

una secuencia con la respuesta del padre, la madre, el hijo mayor y el segundo hijo. Encuentra y

representa en forma gráfica el espacio muestral de este experimento.

2) Al terminar, crea un archivo Word con la respuesta de los dos experimentos y envíalo a la Sección de

tareas.

3) Espera los comentarios del Facilitador(a).

1.2. Enfoques para el cálculo de probabilidades

Hay tres enfoques para el cálculo o estimación de la probabilidad de que un evento suceda. Seleccionar

uno de los tres enfoques dependerá de la naturaleza del problema. A continuación te presentamos sus

planteamientos generales para que puedas identificar el enfoque que debes aplicar en un determinado

evento.

1.2.1. Enfoque clásico

El enfoque clásico o "a priori" fue estudiado por Laplace, matemático y astrónomo francés a quien a los 24

años se le llamó "el Newton de Francia" por algunos de sus descubrimientos. Motivado por estimar

probabilidades en los juegos de azar, desarrolló para la teoría de probabilidades el enfoque clásico que se

emplea cuando los espacios muestrales son finitos y tienen resultados igualmente probables. Este enfoque

supone condiciones ideales en un experimento aleatorio y por lo tanto su uso es limitado, aunque nos

brinda bases sólidas para el cálculo de probabilidades. Este enfoque es un enfoque teórico y no requiere de

llevar a cabo el experimento para estimar la probabilidad de ocurrencia de un evento aleatorio.

Sin necesidad de realizar el experimento aleatorio se obtiene por razonamiento lógico el número de

resultados posibles de ese experimento y análogamente el número de resultados en que es posible se

obtenga el evento A.

A es un evento de un espacio muestral S

P(A)



P(A) representa la probabilidad de que ocurra el evento

Ejemplo 1. Supongamos que se tiene una caja cerrada con 16 lápices, 3 rojos, 3 verdes, 4 amarillos y 6

rosas. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un lápiz de color amarillo?

Sea el suceso A: Sacar un lápiz de color amarillo

Los casos favorables al evento A: 4

Casos posibles: 16

%2525.016

4

6433

4

AP

Por lo tanto la probabilidad de sacar un lápiz de color amarillo es del 25 %.

1.2.2. Enfoque de frecuencia relativa

El enfoque de la frecuencia relativa se basa en la experimentación, se le conoce también como enfoque “a

posteriori”. Éste supera las limitaciones del enfoque clásico, que se limita a situaciones en las que hay un

número finito de resultados igualmente probables. Este enfoque es empírico y no teórico. Requiere realizar

el experimento para estimar la probabilidad de ocurrencia de un evento aleatorio.

Se realiza n veces un experimento aleatorio y se observa la frecuencia de ocurrencia del evento A, se

define la probabilidad de A por:

P(A)

A es un evento de un espacio muestral S

P(A) representa la probabilidad de que ocurra el evento A

Ejemplo 1. Se lanza 1000 veces una moneda y da como resultado 529 caras, entonces la frecuencia

relativa de que salga una cara es

529.01000

529)(

n

AnAP



Si en otros 1000 lanzamientos resultan 493 caras, tenemos que la frecuencia relativa de los 2000

lanzamientos totales es de

511.02000

493529)(

n

AnAP

De acuerdo con la definición, si se continuara de esa manera, se acercaría cada vez más a un número que

representa la posibilidad de obtener una cara en un solo lanzamiento de la moneda, es decir, a solo 0.5.

1.2.3. Enfoque subjetivo

En el enfoque subjetivo o intuitivo, en algunas situaciones, se presentan situaciones en las cuales no es

posible realizar experimentos repetitivos y los resultados tampoco son igualmente probables. A diferencia

de los dos enfoques anteriores que son objetivos y se sustentan en la teoría o en la experimentación, la

probabilidad subjetiva tiene que ver con el criterio personal para medir la posibilidad de ocurrencia de un

evento aleatorio, que se hace con base en ciertos criterios o experiencias sobre casos semejantes.

Como se mencionó anteriormente, esta probabilidad no se basa ni en aspectos teóricos ni tampoco en la

experimentación. De hecho no es objeto de estudio de la teoría de probabilidad; sin embargo, es muy útil

en experimentos que no es posible repetir y en los que los posibles resultados no son equiprobables.

Ejemplo 1. Probabilidad de que hoy llueva.

Ejemplo 2. Probabilidad de que una persona se case este año.

Ejercicio 6. De los siguientes enunciados, selecciona cuál de las tres formas utilizarías para

calcular la probabilidad de que el evento suceda.

Enfoque clásico o a

priori

Enfoque de la

frecuencia relativa

Enfoque

subjetivo o

intuitivo

1. Probabilidad de que hoy llueva.

2. Probabilidad de que salga un número par al lanzar un dado.

3. Probabilidad de que caiga sol al lanzar 1000 veces una moneda.

4. Probabilidad de que tu amiga se case este año.

5. La probabilidad de que, al lanzar una tachuela cuya



forma es irregular, ésta quede sobre su cabeza o acostada.

1.3. Reglas básicas Contar es suficiente en muchos de los casos en donde se desea conocer la probabilidad de que suceda un

evento, pero, conforme el problema es más complejo, resultan necesarias varias reglas para auxiliar en la

determinación de probabilidades.

Por ejemplo, en ocasiones tendremos que analizar situaciones donde suceden simultáneamente eventos,

por lo que se necesita expresar y encontrar la probabilidad de que suceda un evento a raíz de la presencia

de varios eventos simultáneos; por lo tanto, en este tema se analizan algunas reglas básicas acerca de la

unión de dos o más eventos y la intersección de eventos que también serán base para el cálculo de

probabilidades.

1.3.1. Regla general para suma de eventos

Suponiendo que P(A) y P (B) representan las probabilidades para los dos eventos A y B, entonces la

probabilidad P(A U B) de que ocurran A o B, se obtiene por:

P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A B)

A B es el evento de que sucedan simultáneamente los eventos A y B, es decir, son eventos que no son

mutuamente excluyentes.

Ejemplo 1. Para obtener licencia para conducir, es necesario aprobar tanto el examen teórico como el

práctico. Se sabe que la probabilidad de que un alumno apruebe la parte teórica es 0,68, la de que apruebe

la parte práctica es 0,72 y la de que haya aprobado alguna de las dos partes es 0,82. Si se elige un alumno

al azar, ¿cuál es la probabilidad de que apruebe el examen para obtener licencia?

Sea A: aprobar la parte teórica, (P(A)=0,68)

Sea B: aprobar la parte práctica, (P (B)=0,72)

Sea A B: aprobar la parte teórica y la parte práctica, (P (A B) = (?)

Sea AUB: aprobar la parte teórica o la parte práctica P(AUB)=0.82, es decir, en esta última basta con que

haya probado alguna de las dos partes.



Usando P(A U B) = P(A)+P(B)-P(A B), se despeja P(A B), ya que es el dato que se desea conocer, por lo

tanto tenemos

P(A B)=P(A)+P(B)-P(AUB)

Sustituyendo tenemos que

P(A B)=0,68+0,72-0,82=0,58= 58%

Por lo tanto, la probabilidad de que el alumno seleccionado al azar pase el examen para obtener su licencia

es de 58%.

Ejemplo 2. En una muestra de 500 estudiantes, 320 dijeron tener un estéreo, 175 dijeron tener una TV y

100 dijeron tener ambos. Si un estudiante es seleccionado aleatoriamente.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga solo un estéreo?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga solo una TV?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga alguno de los dos?

Se considera los siguientes conjuntos

Sea S: tener estéreo

Sea T: tener TV

Sea S : tener estéreo y TV

Para cada inciso se tiene:

a) P(S) = 320 /500 = .64. entonces 0.64 es la probabilidad de tener un estéreo.

b) P(T) = 175 /500 = .35. entonces 0.35 es la probabilidad de tener una TV.

c) Sea P(S ) = 100 /500 = .20. entonces 0.20 es la probabilidad de que tengan estéreo y TV.

Utilizando la fórmula se tiene:

P(S U T) = P(S) + P(T) - P(S ) = 0.64 + 0.35 - 0.20 = 0.79

Entonces, la probabilidad de que tengan TV o estéreo o ambos es de 0.79.



Ejemplo 3. Un estudio de 500 alumnos que toma uno o más cursos de álgebra, física y estadísticas,

durante un semestre reveló el siguiente número de alumnos en las materias indicadas:

Álgebra 329 Álgebra y Física 83

Física 186 Álgebra y Estadística 217

Estadística 295 Física y Estadística 63

¿Cuántos estudiantes cursan las tres materias?

Sea A: tomar clase de Álgebra, ((A)=329)

Sea B: tomar clase de Física, ((B)=186)

Sea C: tomar clase de Estadística, ((C) = 295)

Sea A∩B: tomar clases de Álgebra y Física ((A∩B)=83)

Sea A∩C: tomar clases de Álgebra y Estadística, ((A∩C)=217)

Sea B c: tomar clases de Física y Estadística, ((B∩C)=63)

Sea A∩B∩C: toma los tres cursos, ((A∩B∩C) =?)

Sea AUBUC: toma uno o más cursos ((AUBUC)= 500)

Para obtener el resultado se utilizará la siguiente fórmula:

P(A U B U C) = P(A) + P(B) +P (C) - P(A B) - P(A C) - P(B C)- P(A B C)

Despejando P(A B C) se obtendrá el número de estudiantes que cursan las tres materias

P(A B C)= P(A) + P (B) +P (C) - P(A B) - P(A C) - P(B C)+ P(A U B U C)

Sustituyendo

P(A B C)= 329 + 186 + 295 -83 -63 -217 - 500

Por lo que

P(A B C) =53 que es el número de alumnos que cursa álgebra, física y estadística.



Nótese que la probabilidad (empírica) de que un estudiante curse las tres materias es

53

500

1.3.2. Regla para suma de eventos excluyentes

Definición: Dos eventos o más son mutuamente excluyentes si no pueden suceder al mismo tiempo, como

los eventos los representamos con conjuntos, entonces:

A, B son excluyentes si y solo si A B = Ø.

En la fórmula 1.3.3.- 1 si A y B son conjuntos disjuntos o mutuamente excluyentes, o sea que no pueden

ocurrir en forma simultánea, la probabilidad de P(A B) = 0, entonces la probabilidad P(A U B) de que

ocurran A o B se obtiene por:

P(A U B) = P(A) + P(B)

Ejemplo 1. Sea S el evento de que asistas a una universidad estatal y P el evento de que asistas a una

universidad privada. Considera que no asistirás a ambas simultáneamente. Si la probabilidad de que

asistas a una universidad estatal es de 0.4 y a una universidad privada es de 0.25. ¿Cuál es la

probabilidad de que asistas ya sea a una universidad estatal o a una privada?

Tenemos que los eventos son excluyentes, es decir, solo asistirás al estatal o al privado, pero no a ambas,

apliquemos la siguiente fórmula

P(S U P) = P(S) + P(P)= 0.4 + 0.25 = 0.65

La probabilidad de que asistas a la estatal o privada es 0.65.

Ejemplo 2. Supón que se tiene una urna con 50 papeles de colores, los cuales son 15 rojos, 5 morados, 9

verdes, 11 naranjas y 10 azules. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un papel rojo o un papel azul?

Sea los siguientes eventos.

A: sale un papel rojo

B: sale un papel azul

AUB: sale un papel rojo o azul



Entonces se tiene que

P(A)= 15 = 0.3

50

P (B) = 10 = 0.2

50

Utilizando la fórmula correspondiente tenemos que

P(A + B ) = P(A) + P(B) =0.3 + 0.2 = 0.5

Por lo que la probabilidad de sacar un papel rojo o azul es de 0.5

Ejemplo 3. Sea el evento A de sacar diez de calificación en la materia de probabilidad, B el evento de

sacar nueve y C el evento de sacar ocho. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un diez o un nueve o un ocho

en la materia?

Nota que los eventos son mutuamente excluyentes, es decir que solo puede suceder uno de ellos, por lo

que tenemos

P(A)= 1 / 10, P(B) = 1 / 10 y P(C) = 1/10, y utilizando la fórmula se tiene

P(A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C) = 1/10 + 1/ 10 + 1/10 = 0.3

Por lo tanto la probabilidad de sacar un 10 o un 8 o un 7 es de 0.3.

Ejercicio 7. De los siguientes enunciados, calcula la probabilidad de que suceda el evento. Utiliza las

reglas básicas de cálculo de probabilidades.


1) Considera los siguientes eventos

A= {extraer un as de una baraja}

B= {Extraer una espada}

¿Cuál es la probabilidad de extraer un as o una espada o ambas?

a) 20/52

b) 12/52

c) 16/52

d) 2/52

2) En Cinepolito presentan las películas Amanecer, Barbie, Cómplices, Duende, Esperanza y Familia en espera, llegan 2 amigos y deciden escoger una de ellas. ¿Escribe la probabilidad de al menos algunos de ellos escoja la película “Familia en espera”?

a) 20/36

b) 11/36

c) 2/6

d) 7/12



3) Supón que la probabilidad de que asistas a la universidad es de 50%, de que trabajes tiempo completo es de 60%, y la probabilidad de que asistas a la universidad y trabajes tiempo completo es del 30%. ¿Cuál es la probabilidad de que asistas a la universidad o trabajes tiempo completo?

a) 0.8

b) 0.35

c) 0.5

d) 0.7

4) La probabilidad de que un hombre esté vivo dentro de 25 años es de 3/5 y la probabilidad de que su esposa lo esté es de 2/3. Calcula la probabilidad de que al término de ese plazo al menos uno esté vivo.

a) 2/5

b) 1/5

c) 4/15

d) 13/15

5) Supón que tienes que elegir entre tres talleres extracurriculares: “guitarra”, “manualidades” y “danza”, y la probabilidad de que vayas a uno de estos es de 0.35, 0.30 y 0.20, respectivamente. Supón que solo puedes asistir a uno de estos. ¿Cuál es la probabilidad de que asistas a algunos de estos talleres?

a) 0.60

b) 0.55

c) 0.25

d) 0.85

Actividad 5. Probabilidades de uno o más eventos

Propósitos


Analizar las reglas básicas del cálculo de probabilidades.

Desarrollar habilidades para la obtención de la probabilidad a través de suma de eventos.

Desarrollo

Los estudiantes encontrarán las probabilidades de que suceda un evento o más de un experimento

aleatorio.

Instrucciones

1) Encuentra las probabilidades del siguiente caso. Resuélvelo en tu libreta.



CASO: En la ciudad de Perote, en un mes, se realizó el siguiente estudio de las propiedades que los

novios pueden tener antes del matrimonio, las cuales se reportaron en la siguiente tabla:

Coche Casa

Novio 17 5

Novia 10 2

Encuentra las probabilidades de que, cuando se casen dos personas:

a) El novio tenga coche.

b) El novio tenga coche y casa.

c) La novia tenga casa y coche.

d) El novio tenga coche o casa.

e) El novio tenga casa y la novia coche.

2) Al terminar, copia el resultado de cada inciso en un archivo de Word y envíalo a la Sección de tareas.


Evidencia de aprendizaje. Reflexión sobre el respeto a las reglas de tránsito

Propósitos


Identificar las probabilidades de que suceda un evento a fin de tomar una postura crítica ante los

principios probabilísticos a través de la utilización de las reglas básicas de la probabilidad.

Desarrollo:

Dado el caso de estudio sobre las reglas de tránsito, reflexiona cómo afecta en los resultados la falta de

cumplimiento de dichas reglas.

Procedimiento:

1) A continuación lee con cuidado lo siguiente:

Cuando circulas en automóvil o microbús por las calles de la ciudad, te has preguntado:



¿Qué pasaría si en un crucero conglomerado no funcionaran los semáforos?

Cuando un peatón atraviesa la calle y un automovilista le silva. ¿Por qué lo hace?

¿Cuántas personas se ponen el cinturón de seguridad?

¿Cuántos accidentes automovilísticos suceden en la ciudad?

¿Cuántas muertes o heridos hay en los accidentes?

Analiza lo aprendido en esta unidad y reflexiona si podrías contestar cada una de estas preguntas a través

de los principios y conceptos básicos de la probabilidad. Si tu respuesta fue afirmativa, ¿podrías ayudar al

sistema de tránsito de tu localidad a disminuir estos problemas?

2) Con base en las anotaciones del punto anterior, elabora un reporte en Word con tu “Reflexión” de no

más de una cuartilla sobre el estudio de este caso que incluya:

Breve introducción al caso.

Incluye de manera narrativa las respuestas dadas a las preguntas anteriores.

3) Concluye al final de tu reporte sobre la importancia de aplicar la probabilidad en estos eventos.

4) Envía el archivo a la Sección de tareas.


Consideraciones específicas de la unidad

La asignatura de Probabilidad I desarrolla el pensamiento analítico mediante la solución de problemas

reales basados en el enfoque clásico y el enfoque de la frecuencia relativa. Para cumplir con los propósitos

de la Unidad 1. “Introducción a la probabilidad” se ha diseñado diversas actividades y ejercicios destinados

al desarrollo de destrezas o habilidades para la solución de problemas donde se desea conocer los

resultados de un experimento aleatorio.

De acuerdo con este planteamiento, la unidad ofrece, a través de las temáticas y las lecturas, elementos

básicos sobre la probabilidad, pero también actividades para ejercitarse en su práctica.

Para lograr los propósitos y desarrollar las competencias, es indispensable que el estudiante realice todas y

cada una de las actividades previstas en la unidad, vinculando así la teoría con la práctica.



Para guiar las acciones que tendrá que realizar el estudiante y facilitar su identificación, a continuación se

presentan los íconos que corresponden a las actividades y ejercicios de la Unidad:

Ejercicios. Son actividades formativas que tienen como función la activación

de conocimientos relacionados con las temáticas de la propia unidad. Estos

no cuentan con valor numérico pero sí son indispensables para avanzar en

los procesos de aprendizaje.

Actividades de aprendizaje. Las actividades de aprendizaje además de tener

un valor formativo cuentan con un valor sumativo. A través de su realización

se ejercitan habilidades, destrezas y actitudes que permiten la aplicación de

métodos y técnicas en situaciones de aprendizaje y que más tarde serán

aplicadas en contextos académicos y sociales.

Foro de debate. El foro es un espacio de debate académico que contribuye

al desarrollo del pensamiento crítico. En este esquema, el estudiante tendrá

que defender sus puntos de vista a través de argumentos sólidos y compartir

sus opiniones y aportaciones con otros compañeros para llegar a acuerdos

comunes sobre conceptos, teorías y perspectivas teóricas. En este espacio

también se desarrollan actitudes de tolerancia y respeto hacia los demás.

Fuentes de consulta

Anderson, David R. y Sweeney, Dennis J. (2008). Estadística para administración y economía. Cengage

Learning Latin America.

Devore, Jay L. (2005). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias. México: Thomson.

Evans, M. J. (2005). Probabilidad y estadística. Reverte.

Gamiz Casarrubias, Beatriz E. (2003). Probabilidad y estadística con prácticas en Excel. México: Just in

time Press.

Hayslett, H. T. Jr. (1987) Estadística simplificada. México: Grupo editorial Sayrols.

Johnson, R. y Kuby, P. (2006). Estadística elemental. México: Thomson Paraninfo.

Lincoln L. Chao. (2000). Introducción a la estadística. México: Compañía Editorial Continental.

Ruiz, Elena y Ruiz, Elvia. (2007). Probabilidad y estadística. México: McGraw-Hill Interamericana.

Spiegel, Murray R. y Stephens, Larry J. (2002). Estadística. México: McGraw-Hill.



Tripla, Mario F. (2006). Estadística elemental. México: Addison Wesley Longman.

Walpole, R., Myers, R. H. y Myers, Sharon. (2007). Probabilidad y estadística para ingenieros. Pearson

Education.
























UNIDAD 2. TEORÍA DE LA PROBABILIDAD

Propósito de la unidad Al finalizar la unidad el estudiante:

Reconocerá la importancia de la utilización del cálculo de probabilidades.

Analizará algunos axiomas y teoremas como base para el cálculo de probabilidades.

Identificará la independencia de eventos.

Analizará diferentes situaciones donde podrá aplicar la regla de probabilidad condicional.

Obtendrá la probabilidad de un experimento utilizando el teorema de Bayes.

Competencia específica Utilizar axiomas y teoremas de la probabilidad para resolver eventos independientes mediante la aplicación

de la teoría de Bayes y la probabilidad condicional.


Utilizando los conceptos básicos de la unidad 1 y en especial las reglas de conteo, es posible calcular la

probabilidad de cualquier evento en un experimento particular simple, pero, cuando un problema es

complejo, resultan necesarias varias reglas, para auxiliar en la determinación de las probabilidades.

La presente unidad ofrece elementos teóricos sobre el cálculo de probabilidades, que nos permitirá

encontrar probabilidades en situaciones difíciles, a través del estudio y análisis de axiomas y teoremas, los

cuales son base de las reglas probabilísticas y, por consiguiente, son fundamentos en el cálculo de

probabilidades.

Todo lo anterior está incluido en las lecturas y ejercicios, que permitirán el logro del aprendizaje a través de

la práctica.

2.1. Cálculo de probabilidades Recordemos que la predicción y el azar representan herramientas útiles para el diseño e interpretación de

encuestas o interpretación de información general y conforme se aumenta el grado de dificultad para

interpretar los resultados de un fenómeno aleatorio, se necesita de nuevas herramientas para poder

interpretar eficientemente la información.



Por lo anterior, a lo largo de de esta unidad, se conocerá los conceptos básicos de la teoría de la

probabilidad, a través del análisis de sus propiedades, axiomas y teoremas, que serán fundamentos para el

cálculo de probabilidades. Además, se presenta la probabilidad condicional y eventos independientes,

donde se realiza un análisis de cómo obtener la probabilidad de un evento cuando intervienen dos o más

eventos. Para poder entender y emplear mejor estos conceptos, se propone una serie de ejemplos y

ejercicios contenidos en cada subtema de esta unidad.

2.1.1. Definición de probabilidad

Definición de probabilidad. Si un experimento aleatorio tiene un espacio muestral S con n resultados

posibles que corresponden a n eventos mutuamente excluyentes E1, E2,…, En la probabilidad es una

función P que toma valores en el espacio muestral S y le asigna un valor en el conjunto [0,1] y su

regla de correspondencia cumple con las siguientes propiedades:

Para cualquier Ei en S:

1) P(Ei) ≤ 1

2) P(Ei) ≥ 0

3) = 1

Cálculo de probabilidad de un evento A. Sea A un evento que sucede si uno de los k eventos E1, E2,...,

Ek sucede entonces:

P(A) = P(E1) + P( E2)+ …+ P( Ek)



Actividad 1. Aplicaciones de probabilidad simple y condicional

Propósitos

Al finalizar la actividad el alumno podrá:

Ejemplificar los conceptos básicos de la probabilidad simple y condicional

Colaborar e incrementar sus cocimientos sobre el tema de probabilidad simple y condicional.

Identificar aplicaciones donde podría aplicar la probabilidad simple y condicional

Instrucciones

1. Elabora una nueva entrada en tu blog, considerando lo siguiente:

Observa tú alrededor e identifica diversos eventos que pasas en tu ambiente familiar, laboral o

en tu sociedad y clasifícalos de acuerdo al cálculo de probabilidades simples y condicionales.

Una vez identificados tus eventos, da un ejemplo propio de probabilidad simple y otro de

probabilidad condicional.

Concluye argumentando en dónde aplicarías la probabilidad simple y la probabilidad

condicional.

Recursos de apoyo

Buscadores de Internet, revistas, libros, etc.

Criterios de evaluación:

Orden y claridad

Relación correspondiente a los conceptos vistos

Planeación de acuerdo a los pasos indicados

Conclusión argumentada correctamente

2.1.2. Axiomas de probabilidad

Los axiomas en la teoría de probabilidad constituyen la base para deducir a partir de ellas un amplio

número de resultados. La letra P como se mencionó antes se utiliza para designar la probabilidad de un

evento, siendo P(A) la probabilidad de ocurrencia de un evento A en un experimento.

Axioma 1. Si A es un evento de S, entonces la probabilidad del evento A es:

0 ≤ P(A) ≤ 1

Como no podemos obtener menos de cero éxitos ni más de n éxitos en n experimentos, la

probabilidad de cualquier evento A, se representa mediante un valor que puede variar de 0 a 1.



Axioma 2. Si dos eventos son mutuamente excluyentes, la probabilidad de obtener A o B es igual a

la probabilidad de obtener A más la probabilidad de obtener B.

P(A U B) = P(A) + P(B)

Axioma 3. Si A es un evento cualquiera de un experimento aleatorio y A’ es el complemento de A,

entonces:

P(A’) = 1 - P(A)

Es decir, la probabilidad de que el evento A no ocurra, es igual a 1 menos la probabilidad de que

ocurra.

2.1.3. Teoremas de probabilidad

TEOREMA 1. Si A es un evento nulo o vacío, entonces la probabilidad de que ocurra A debe ser cero.

Demostración: Si obtenemos la probabilidad de A U B, por un lado A y B son mutuamente excluyentes, por

lo que A B = Ø = A; por otro lado, A U B es igual con B, ya que A es vacío, entonces:

P(A U B) = P(A) + P(B) => P(B) = P(A) + P(B) siendo esto posible si y solo si P(A) = 0

TEOREMA 2. La probabilidad del complemento de A. A’ debe ser p(A’)= 1 – p(A)

Demostración: Sabemos que la probabilidad de P(S) = P(A U A’) = 1; por otro lado, A y A’ son mutuamente

excluyentes por lo que P(A A’) = 0 entonces:

P(A U A’) = P(A) + P(A’) - P(A A’) = P(A) + P(A’) – 0 = 1

Despejando P(A’) obtenemos que P(A’) = 1 - P(A)



Ejercicio 1. Analiza cada una de las definiciones y contesta verdadero(V) o falso (F), según

corresponda de acuerdo a los fundamentos del cálculo de probabilidades.

Respuesta Respuesta

correcta

1) La probabilidad es una función P que toma valores en el espacio

muestral S y le asigna un valor en el conjunto [0,1], su regla

cumple con la propiedad > 1.

2) Sea A un evento que sucede si uno de los k eventos E1, E2,…, Ek

sucede entonces: P(A) = P(E1) X P( E2) X … X P( Ek).

3) Si dos eventos son mutuamente excluyentes, la probabilidad de

obtener A o B es P(A U B) = P(A) + P(B).

4) Si A es un evento nulo o vacío, entonces la probabilidad de que

ocurra A debe ser cero.

5) Si A es un evento cualquiera de un experimento aleatorio y A’ es el complemento de A, entonces, P(A’) = 1 + P(A).

Actividad 2. Axiomas y teoremas en el cálculo de probabilidades

Propósitos


Identificar los axiomas y teoremas para el cálculo de probabilidades.

Aplicar adecuadamente los conceptos vistos en el tema 2.1, para el cálculo de probabilidades en

eventos simples y compuestos.

Desarrollo

Los estudiantes revisaran el material expuesto en el tema “2.1. Cálculo de probabilidades” y posteriormente

resolverán los siguientes problemas, utilizando los axiomas y teoremas en el cálculo de probabilidades

simples y compuestas.

Procedimiento

1) Para cada uno de los siguientes problemas, encuentra la probabilidad simple o compuesta

según sea el caso, utilizando lo expuesto en el tema “2. 1 Cálculo de probabilidades”. En cada

ejercicio argumenta por qué utilizas algún axioma o teorema, para el cálculo de su probabilidad,

es decir, explica cómo llagaste a tus resultados.



a. Se registra que en un grupo de alumnos de acuerdo a su aprovechamiento durante todo

el año, la probabilidad de que pase un alumno el examen de “Enlace” es del 75%. ¿Cuál

es la probabilidad de que un alumno no pase el examen?

b. Se tiene que en una agencia de autos, el vendedor Juan tiene una probabilidad de sacar

el premio del vendedor del mes de 35%, y Pedro tiene una probabilidad de sacar el

premio de vendedor del mes del 20%. ¿Cuál es la probabilidad de que Juan o Pedro

saque el premio del mejor vendedor?

c. Sea que se indique E1 es el evento de que asistas al balneario público y E2 al evento que

asistas al balneario privado. Considera, que no asistirás simultáneamente a ambas. Si la

probabilidad de que asistas a un balneario público es del 30% y al balneario privado es

del 18%, entonces ¿cuál es la probabilidad de que asistas a un balneario este fin de

semana?

2) Una vez terminados tus ejercicios, pásalos a un archivo de Word.

3) Sube tu archivo a la sesión de tareas.

4) Espera la retroalimentación de tu Facilitador(a) y si es necesario corrige tus ejercicios.


Orden y claridad

Habilidades procedimentales

Resultado correcto

Justificación o interpretación de su resultado

2.2. Probabilidad condicional El concepto de probabilidad condicional fue desarrollado por el reverendo inglés Thomas Bayes (1702-

1761), cuyo trabajo fue leído póstumamente, en 1763. Bayes da la primera definición rigurosa y explícita de

sucesos o eventos de los cuales se tiene información previa de la ocurrencia de algunos de ellos, lo cual

cambia el sentido de la probabilidad clásica.

Un ejemplo de ello se puede apreciar en los juegos de azar, supóngase que se lanza un dado pero los

resultados del experimento aleatorio no son equiprobables como lo menciona la teoría clásica de

probabilidad, imagina un dado cargado de forma tal que uno de sus números no tiene ocurrencia, esto es

muy fácil modificar, simplemente se colocan contrapesos al número que deseamos “no ocurra”.

En general en la práctica tenemos idea de la posibilidad de ocurrencia de algunos eventos, o bien usamos

escenarios de cómo se comportaría un evento si ocurriera otro evento. En economía es frecuente

plantearse escenarios, por ejemplo, qué probabilidad existe de aumentar las utilidades de una empresa si

se incrementan las tasas de interés. En esta sección aplicaremos estos conceptos para estimar



probabilidades de eventos que están relacionados con otros eventos y su ocurrencia modifica su

probabilidad de ocurrencia. Imagina que en un dado no ocurre un número impar, ¿cuál es la probabilidad

de que al lanzar un dado aparezca un dos? Es claro que nuestro espacio muestral se reduce a tres

resultados y la probabilidad P(“aparezca un dos”) = 1/3 en lugar de 1/6 como sucedería en un dado normal.

Actividad 3. ¿Por qué nace la probabilidad condicional?

Propósitos

Debatir e intercambiar opiniones y experiencias con los compañeros(as) de grupo sobre el surgimiento de

la probabilidad condicional y la importancia de su estudio.

Instrucciones

En este espacio podrás compartir experiencias, puntos de vista, opiniones sobre la probabilidad

condicional. Es importante tu participación y el intercambio de experiencias para construir conocimiento.

1. Comenta con tus compañeros(as) en el foro lo que ha significado este tramo de aprendizaje para

llegar a acuerdos y consensos comunes a partir de las siguientes preguntas:

o ¿Qué entiendes por probabilidad condicional?

o ¿Por qué nace la probabilidad condicional?

o ¿Consideras importante que existan definiciones y propiedades ya fundamentadas para la

solución de problemas probabilístico-condicionales?

2. Revisa las respuestas de tus compañeros(as) y replica a dos de ellos, argumentando por qué estás

de acuerdo o en desacuerdo con ellos.


En el foro se considerarán los siguientes criterios:

Pensamiento crítico

Asociación de ideas

Participación creativa y oportuna

Relevancia de la participación

Contenido de la participación

2.2.1. Definición de probabilidad condicional

Sean A, B dos eventos pertenecientes a un espacio muestral S, con A ≠ Ø. Se define probabilidad

condicional P(B|A), que se lee probabilidad de que suceda B, dado que sucedió el evento A, o la

probabilidad de que ocurra B, condicionado a que haya ocurrido A.



Ejemplo 1. Los resultados de un estudio a una población de 50,000 mujeres muestran que el 83.45%

puede esperar vivir hasta la edad 65 años, mientras que el 61.32% puede esperar vivir hasta la edad de 80

años. Dado que una mujer tiene 65 años, ¿cuál es la probabilidad que ella viva hasta la edad de 80 años?

Solución

El espacio muestral es el conjunto de las 50,000 mujeres. Definimos a los subconjuntos A y B del espacio

muestral, como:

A=todas las mujeres que viven al menos 65 años.

B=todas las mujeres que viven al menos 80 años.

Entonces la probabilidad de que ocurra que una mujer de 65 años, viva 80 años está dada por P(B|A).

Como B es un subconjunto de A, B ∩ A=B, entonces

P( B A ) P(BA)

P(A)P(B)

P(A)

61.32

83.45 0.73

Así, una mujer de 65 años tiene una probabilidad de 0.7348 de vivir 80 años.

Ejemplo 2. En un supermercado por aniversario, había una canasta con manzanas y naranjas para regalar

a los clientes. El 40% de la gente tomó solo una manzana, el 60% tomó solo una naranja y el 25% tomó

naranja y manzana. Encuentra las siguientes probabilidades:

a) Si se selecciona una persona al azar y se observa que está comiendo manzana, ¿cuál es la

probabilidad de que haya tomado una naranja?

b) Si se selecciona una persona al azar y se observa que está comiendo naranja, ¿cuál es la

probabilidad de que haya tomado una manzana?

Solución

Tenemos los siguientes eventos

M: Evento de que se tome una manzana. Por lo que la P(M)=0.40

N: Evento de que se tome una naranja. Por lo que la P(N)=0.60

y además la probabilidad de que se haya tomado una manzana y naranja es P(M∩N)=0.25.

Aplicando la regla de probabilidad condicional se tiene que:

a) 625.04.0

25.0

)(

)()/(

MP

MNPMNP



b) 416.060.0

25.0

)(

)()/(

NP

NMPNMP

Ejemplo 3. En un grupo de 15 personas, 7 personas padecen de presión alta y 8 no. Escogemos al azar 2

personas para someterlas a un tratamiento, en el supuesto de que hemos identificado que una de las dos

personas tiene presión alta:

¿Cuál es la probabilidad de que…?

a) La otra padezca también de presión alta

b) Al menos una padezca presión alta

c) La otra no padezca presión alta

Solución

Definamos los siguientes eventos:

A= La persona padezca presión alta

N= La persona padezca presión normal

Observe también que la P(A) = 1 – P(N).

Ahora, representemos nuestro problema con ayuda de un diagrama de árbol.

De acuerdo a la definición de probabilidad condicional tenemos:

Se requiere la probabilidad de que la primera persona tenga presión alta y la segunda presión alta por lo

que necesitamos encontrar P(P1 A ∩ P2A).

Por definición de probabilidad condicional se tiene que

8

15

7

15

Primera persona

con presión normal

Primer persona

con presión alta

Segunda persona con presión normal

dado que la primera tiene presión normal

7

14

6

14

7

14

8

14

)(

)()/(

AP

ABPABP

Segunda persona con presión alta

dado que la primera tiene presión

normal

Segunda persona con presión

normal dado que la primera tiene

presión alta

Segunda persona con presión alta

dado que la primera tiene presión

alta

P(P1N)=

P(P1A)=

= P(P2N/P1N)

= P(P2A/P1N)

= P(P2N/P1A)

= P(P2A/P1A)



Por lo tanto, sustituyendo y despejando de la formula anterior tenemos que

P(P1 A ∩ P2A) = P(P2 A / P1A) P(P1A)

= * = * = * = = = 0.2

a) Para este, recuerde que la P(A) = 1 – P(A’), por lo tanto P(A) = 1 – P(N)

Esto quiere decir que al menos uno tendrá presión alta entonces, analizando el diagrama de árbol y

utilizando el teorema 2, del tema 2.1.3., se tiene que:

P(A) = 1- P(N) = 1 - . = 1 - . = 1 - = = 0.733

b) Para este caso se deberá calcular P(P1 A ∩ P2N) = P(P2 N / P1A) P(P1A)

= * = = 0.266

Ejercicio 2. Resuelve los siguientes ejercicios de probabilidad condicional y posteriormente

selecciona la respuesta correcta.

Respuestas Respuesta

correcta

1) Se tienen 10 lapiceros, tres de ellos ya no tienen tinta. Se selecciona 2 aleatoriamente. ¿Cuál es la probabilidad de que los dos lapiceros tengan tinta?

a) 0.7

b) 0.49

c) 0.6666

d) 0.47

2) La universidad del valle cuenta con tres carreras:

administración, derecho y medicina. Se desea realizar

una excursión a Taxco, por lo que se somete a selección.

La siguiente tabla muestra los resultados.

Adm Der Med Abstin

Sí

25 20 8 12

No 15 10 2 8

Se selecciona un alumno al azar. ¿Cuál es la

probabilidad de que sea de administración, sabiendo que

voto por que “sí” se realizará la excursión?

a) 0.25

b) 0.38

c) 0.45

d) 0.65

3) En una agencia de autos, se reportaron 70 coches

vendidos, de los cuales son grandes y chicos. De los

a) 0.51

b) 0.4285

8

15

7

14

1

2

4

15

8

15

11

15

3

15

1

5

1

2

6

15

6

14

7

15

6

15

7

14

8

14

7

15

4

15



grandes se vendieron 25 blancos y 15 rojos y de los

chicos 10 blancos y 20 rojos. ¿Cuál es la probabilidad de

que, dado que se compró un auto rojo, éste sea grande?

c) 0.3525

d) 0.482

4) En un torneo de atletismo, donde se reportó la asistencia

de 120 personas, 48 de los que van saben lanzar la

jabalina, 36 de ellos saben lanzar la bala y 12 de ellos

saben lanzar los dos. Si escogemos un deportista al azar

¿cuál es la probabilidad de que sepa lanzar la bala,

sabiendo que lanza la jabalina?

a) 0.6

b) 0.4

c) 0.45

d) 0.25

5) En un embarque de uvas se tiene las siguientes

cantidades:

- El 30 % son rojas con semilla - El 10% son rojas sin

semilla

- El 40% son verdes con semilla - El 20% son verdes sin

semilla

Se selecciona una uva roja, ¿cuál es la probabilidad de que

sea sin semilla?

a) 0.25

b) .0.1

c) 0.40

d) 0. 09

Actividad 4. Reglas para el cálculo de probabilidades condicionales

Propósitos


Identificar las reglas para el cálculo de probabilidad condicional.

Aplicar adecuadamente las reglas en problemas específicos para el cálculo de probabilidades

condicionales.

Interpretar los resultados con base en la probabilidad condicional.

Desarrollo:

Los estudiantes revisarán el material expuesto en el tema “Probabilidad condicional” y a continuación

resolverán los siguientes ejercicios utilizando las reglas de probabilidad condicional.

Procedimiento

1) Realiza los siguientes tres ejercicios utilizando la regla para el cálculo de probabilidad

condicional.

a. De acuerdo a un estudio de una población rural, el 55% de las personas termina la

educación media superior y el 25% termina la educación a nivel superior. Si una



persona termina el nivel medio superior, ¿cuál es la probabilidad de que una persona

termine el nivel superior o profesional?

b. En una academia, el 30% de los alumnos practican natación, 40% tenis y el 15%

ambos. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona escogida al azar y que se

identifica su práctica en natación también practique tenis?

c. En una población pequeña se hace el siguiente estudio donde se informa de cuántas

mujeres y hombres mayores de edad tienen coche y arroja los siguientes resultados.

Coche No coche Total

Hombre 150 80 230

Mujer 75 195 270

Total 225 275 500

i) Calcula las intersecciones de probabilidades que faltan en la siguiente tabla y

termina de llenarla:

Recuerda que la probabilidad de un evento es P(E)= h /n donde h es el número

de elementos de la muestra y n es el total de elementos del espacio maestral.

Coche No coche Total

Hombre 0.46

Mujer 0.15

Total 0.55 1.0

ii) De la tabla anterior contesta las siguientes preguntas:

¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer y tenga coche?

¿Cuál es la probabilidad de que una persona de esa población tenga

coche?

iii) Utilizando probabilidad condicional contesta las siguientes preguntas

¿Cuál es la probabilidad de que si una persona tiene coche sea

hombre?

¿Cuál es la probabilidad de que si una persona no tiene coche sea

mujer?





Orden y claridad




Resultado correcto


2.2.2. Eventos independientes

Se dice que dos o más eventos son independientes en S, cuando la probabilidad de que ocurra uno no es

influida por la ocurrencia de otro. Si A y B representan dos eventos y si la ocurrencia de A no afecta a la

ocurrencia de B, y la ocurrencia de B no afecta a la ocurrencia de A, entonces se dice que A y B son

independientes.

En este caso, la probabilidad de que ocurran A y B es igual al producto de sus respectivas probabilidades, y

se expresa así: P(A B) = P(A) P(B).

Es decir, si A y B son eventos independientes, se tiene que P(A/B)=P(A).

Ejemplo 1. Una compañía ha determinado que el 2% de los celulares que vende están defectuosos. Si una

persona compra dos celulares de la compañía recientemente, ¿cuál es la probabilidad de que de ambos

estén defectuosos?

Definimos dos eventos:

A= Compra de un celular defectuoso

B= Compra de un segundo celular defectuoso

Representemos también este problema con el diagrama del árbol y señalemos los dos eventos

Defectuoso

No defectuoso

0.02

0.98

Defectuoso

No defectuoso

No defectuoso

Defectuoso

0.02

0.02

0.98

0.98



La probabilidad de que el celular esté defectuoso es P(A)=P(B)=0.02.

Como la compra de uno de ellos no influye en el otro, la probabilidad de que ambos sean defectuosos está

dada por

P(A∩ B)= P(A) ∩ P(B)= (0.02) (0.02) = 0.0004

Ejemplo 2. Una planta puede producir semillas amarillas o verdes. Dos plantas son “cruzadas” (una

poliniza a la otra). Cada planta tiene dos genes para cada color y cada uno de estos genes tiene una

probabilidad de un ½ de pasarlo a la semilla. Los dos genes, G y Y, que recibe la semilla determinan su

color. Las plantas contribuyen con sus genes independientemente una de la otra. La semilla será verde si

ambas plantas contribuyen con un gen V. ¿Cuál es la probabilidad de que al cruzarse la semilla sea verde?

Definimos los eventos:

A=si la planta 1 contribuye con un gen G.

B=si la planta 2 contribuye con el gen G.

Como las plantas contribuyen con un gen independientemente una de otra, la probabilidad está dada por

P(BA) P(B)P(A) (0.5)(0.5) 0.25.

Así, un cuarto de todas las semillas producidas por estas plantas serán verdes.

Ejercicio 3. A partir de los siguientes pares de eventos, identifica aquellos que sean

dependientes o independientes.


correcta

1. En una escuela, el 30% de los alumnos tiene problemas de

lectura, el 15% tiene problemas de escritura y el 8% tienen tanto

problemas lectura como de escritura.

A= Los que tienen problemas de lectura

B= Los que tienen problemas de escritura

Dependientes

Independientes

2. A= El primer hijo es hombre

B= El segundo hijo es hombre

Dependientes

Independientes

3. En una compañía se contrata personal con estudios y sin

estudios universitarios para realizar el mismo tipo de trabajo.

A= Sea malo el desempeño de una persona con estudios

B= Sea bueno el desempeño de una persona sin estudios

Dependientes

Independientes



4. Se lanza dos dados:

A= Números dobles en los dados=

{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}

B= Números pares en los dados=

{(2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(4,4),(4,6),(6,2),(6,4),(6,6)}

Dependientes

Independientes

5. Sean los eventos:

A= de que una mujer se case antes de los 30 años, donde

P(A)=0.5

B= de que un hombre se case antes de los 40 años, donde P(B) =

0.6, y la P(A∩B)=0.4

Dependientes

Independientes

6. Se lanza una moneda al aire:

A= En el primer lanzamiento sale sol

B= En el segundo lanzamiento sale águila

Dependientes

Independientes

7. A= Ser el mejor cantante de pop

B= Tener ojos azules

Dependientes

Independientes

8. A= Estar ebrio mientras se maneja un automóvil

B= Tener un accidente fatal

Dependientes

Independientes

9. A= El señor Suárez recibió un aumento de salario

B= La esposa del señor Suárez se compró un vestido

Dependientes

Independientes

10. En una carrera de caballos corren tres veces dos caballos A y

B.

A= En la primera carrera gane el caballo A

B= En la tercera carrera gane el caballo B

Dependientes

Independientes

Ejercicio 4. Encuentra la probabilidad de los siguientes problemas, utilizando la definición de

eventos independientes.


correcta

1. La Sra. Martínez y su esposo tienen 60 y 65 año respectivamente. La probabilidad de que un hombre de 65 años viva otros 10 años es de 45% y la probabilidad de que la mujer viva otros 10 años después de 60 años es de 60%. ¿Cuál es la probabilidad de que tanto la señora Martínez como su esposo continúen vivos dentro de 10 años?

a) 0.25

b) 0.27

c) 0.44

d) 0.38

2. En una carrera de automóviles, corren 3 autos A, B, C, la

probabilidad de que ganen una carrera es P(A)=0.5, P(B)=

a) 0.3



0.3 y la P(C)=0.4. Si los automóviles corren dos veces

¿cuál es la probabilidad de que en la primera carrera gane

A y en la segunda gane C?

b) 0.15

c) 0.11

d) 0.2

3. Una constructora, tiene 3 propuestas diferentes de casas para diseñar. Llegan dos arquitectos y eligen una casa al azar para diseñar. ¿Cuál es la probabilidad de que elijan la misma casa?

a) 0.25

b) 0.11

c) 0.5

d) 0.33

4. En un juego de disparo, se encuentran jugando Juan y

Luisa, desean tirar al blanco y se les da solo dos

oportunidades, por lo que deciden tirar cada uno un tiro. La

probabilidad de que Luisa tire al blanco es de 1/4 y de que

Juan acierte es de 2/5. ¿Cuál es la probabilidad de que

Juan y Luisa le den al blanco?

a) 0.10

b) 0.55

c) 0.30

d) 0.43

5. Se lanza dos veces un mismo dado, ¿cuál es la

probabilidad de que salga en los dos lanzamientos un

número par?

a) 0.33

b) 0.49

c) 0.25

d) 0.11

Actividad 5. Eventos independientes

Propósitos


Explicar que son los eventos independientes.

Identificar la relación existente entre los eventos independientes y su cálculo de probabilidades en

los experimentos aleatorios.

Colaborar y sociabilizar para llegar a un consenso en su investigación.

Desarrollo

Los estudiantes construirán un Wiki a través de lectura e investigación de conceptos relacionados a

eventos independientes y la relación que existe con los experimentos aleatorios.

Procedimiento

1) Investiga en libros o en ligas de Internet publicadas por alguna universidad, qué es:

- Evento independiente

- Evento dependiente

- Evento aleatorio

- Evento conjunto



- Regla de la multiplicación para los eventos dependientes e independientes

- Probabilidad conjunta

- Ejemplo de probabilidad conjunta

- Otros conceptos que identifiques relacionados a eventos independientes

2) Entra al Wiki y lee detenidamente la investigación que han realizado ya tus compañeros(as) (en el

caso de que seas el primero empieza con una introducción de tu investigación).

3) Si lo consideras necesario, podrás agregar nuevo material o modificar algo que ya esté escrito, con

el objetivo de mejorar el contenido.

4) Al final, construye un ejemplo sencillo de cálculo de probabilidad de un experimento aleatorio

relacionado a eventos independientes.

Recursos de apoyo

Buscadores de Internet y libros.

Criterios de evaluación

Trabajo en equipo

Esquematización de conceptos


2.2.3. Teorema de Bayes

El teorema de Bayes es una respuesta a la teoría tradicional de probabilidad que se fundamenta en

experimentos repetibles y que tienen un soporte empírico. El teorema de Bayes permite probabilidades

subjetivas, aunque es útil para modificar nuestras probabilidades subjetivas con la información obtenida en

un experimento aleatorio.

En la realidad es posible realizar estimaciones de la probabilidad de un evento basadas en el conocimiento

subjetivo a priori. El teorema de Bayes nos permite revisar estas estimaciones en función de la evidencia

empírica.

Ejemplo 1. En un proceso de producción sabemos por experiencia la capacidad de nuestros equipos,

suponte que una empresa cuenta con tres equipos. El equipo A1 produce el 30%, el equipo A2 el 50% y el

equipo A3 el 20 %. Es fácil obtener esta información de los registros de la empresa. También se conoce la

calidad de cada equipo el equipo: A1 produce 5 % de artículos defectuosos, el equipo A2 10% y el equipo A3

solo 2%. En términos de probabilidad, ¿qué conocemos?:

Dados los datos anteriores se tiene que:



- La producción del equipo A1 es 30 %, por lo que la probabilidad de que un articulo sea producido

por A1 es P(A1)=0.3.

- La producción del equipo A2 es 50%, entonces la P(A2)=0.5.

- La producción del equipo A3 es 20%, entonces la P(A3)=0.2.

Sea D el evento de obtener un artículo defectuoso. Observa que esta probabilidad no es conocida; sin

embargo. conocemos la probabilidad de que un artículo sea defectuoso si es producido por un equipo por

lo que:

- La producción de defectuoso del equipo A1 es 5%, por lo que la probabilidad de que un artículo

defectuoso sea producido por A1 es P(D /A1)=0.05

- La producción de defectuoso del equipo A2 es el 10%, entonces P(D/A 2)=0.1

- La producción de defectuoso del equipo A3 es el 2%, entonces P(D/A 3)=0.02

Además, observa que ∑ P(A i ) = 1 y que la P (A i ∩ A j ) = 0, es decir, son excluyentes.

Para mejor compresión representemos el problema con un diagrama de árbol.

Consideremos D= El evento de producir artículos defectuosos y B= El evento de producir artículos bueno

Ahora calculemos la probabilidad conjunta dado que, para que un artículo sea defectuoso, debe de suceder

lo siguiente:

Es defectuoso y proviene del equipo A1 corresponde al evento D A1

o es defectuoso y proviene del equipo A2 corresponde al evento D A2

o es defectuoso y proviene del equipo A3 corresponde al evento D A3

0.3

P(A1)

P(A2)

P(A3)

P(D/A1)

P(B/A1)

P(D/A2)

P(B/A2)

P(D/A3)

P(B/A3)

0.5

0.2

0.95

0.05

0.1

0.9

0.02

0.98



Entonces observa que:

P(D) = P(D A1) + P(D A2) + P(D A3)

Usando la definición de probabilidad condicional obtenemos que:

)(

)()/(

1

11

AP

ADPADP

)(

)()/(

2

22

AP

ADPADP

)(

)()/(

3

33

AP

ADPADP

Despejamos para cada caso

)()/()( 111 APADPADP

= 0.015


= 0.05


= 0.004

Vamos a organizar la información anterior en una tabla de doble entrada, completando los datos que faltan:

D B Total

A1 0.015 0.285 0.300

A2 0.050 0.450 0.500

A3 0.004 0.196 0.200

Total 0.069 0.931 1.000

Ahora podemos conocer la probabilidad de cualquier suceso como la probabilidad total de que un artículo

salga defectuoso es

P(D) = 0.015 + 0.05 + 0.004 = 0.069

Teorema de Bayes. Si un experimento aleatorio tiene un espacio muestral S con n resultados posibles que

corresponden a n eventos mutuamente excluyentes A1, A2,…, An, tal que

S = A1 U A2 U ….U An



El conjunto {A1, A2,…, An} es una partición del espacio muestral S

Sea B un evento en S ≠ Ø, del que se conocen las probabilidades condicionales

, ,……., ,

Entonces la P(B) =

Ejemplo 2. De acuerdo con los datos de un banco, 40% de sus clientes tienen tarjeta de crédito. Un cliente

es seleccionado aleatoriamente para un estudio sobre el uso de la tarjeta de crédito. Es conocido después

que el cliente seleccionado se encontraba sin empleo. También 3% de sus clientes con tarjeta de crédito y

10% sin tarjeta de crédito se encontraba sin empleo. Encuentre las probabilidades de que:

a) Al seleccionar una persona al azar tenga empleo

b) Al seleccionar una persona al azar no tenga tarjeta de crédito

c) Si al seleccionar una persona al azar y se observa que tiene empleo. ¿Cuál es la probabilidad de

que no tenga tarjeta crédito?

Solución:

Definimos los eventos de la siguiente manera:

CT=cliente con tarjeta de crédito

ST=cliente sin tarjeta de crédito

SE=cliente sin empleo

CE=cliente con empleo

Dada la información tenemos que:

P(CT)=0.40 porque 40% de los clientes tiene tarjeta de crédito.

P(ST)=0.60 porque 60% de los clientes no cuenta con tarjeta de crédito.

P(SE|TC)=0.03 porque dado que 3% se encuentra sin empleo sabiendo que cuenta con tarjeta

de crédito.



P(SE|ST)=0.1 porque dado que 10% se encuentra sin empleo sabiendo que no cuenta con

tarjeta de crédito.

Representemos la información con un diagrama de árbol:

Representemos a través de una tabla de doble entrada las probabilidades de que sucedan ambos eventos.

Utilicemos la definición de probabilidad condicional donde tenemos que

)(

)()/(

CTP

CTSEPCTSEP

)(

)()/(

STP

STSEPSTSEP

Y despejando la intersección de los eventos y calculando, para cada caso se tiene que

)()/()( CTPCTSEPCTSEP

= (0.03) (=.40) = 0.012

)()/()( STPSTSEPSTSEP

= (0.1) (0.60) = 0.06

Ahora organicemos la información anterior en una tabla de doble entrada, completando los datos que

faltan:

ST CT Total

SE 0.06 0.012 0.072

CT

ST

0.40

0.60

SE

CE

CE

SE

0.03

0.10

0.90

0.97

P(CT)

P(ST)

P(SE/CT)

P(CE/CT)

P(SE/ST)

P(CE/ST)



CE 0.54 0.388 0.928

Total 0.60 0.40 1.000

También recordemos que por probabilidad total de un evento se tiene que es la suma de sus

intersecciones, por ejemplo para este caso:

P(SE) = P(SE CT) + P(SE ST)

Ahora conociendo esta información, calculemos las probabilidades de cada inciso

a) La probabilidad de que al seleccionar una persona tenga empleo

P(CE) = 0.54 + 0.388 = 0.928

b) La probabilidad de que al seleccionar una persona no tenga tarjeta de crédito es P(ST)= 0.06+0.54=0.60

c) Se selecciona una persona al azar y se observa que tiene empleo. ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga tarjeta?

El teorema de Bayes nos dice que:

Por lo que dicha probabilidad se obtiene dividiendo la probabilidad de ST y CE entre las suma de las

probabilidades de las intersecciones.

P( ST/CE) = P(CE/ST)P(ST) = P( CE ∩ ST)

∑(P(CE/ST) P(ST) P(ST ∩CE) + ( CT∩CE)

Observe que los valores de intersección ya los tenemos calculados y representados en la tabla, por lo que

solo debemos sustituir:

P(ST/CE)= 0.54 _ = 0.58189

0.54 + 0.388

Así que la probabilidad de que no tenga tarjeta de crédito, dado que se observó que tiene empleo es

0.58189.

Ejemplo 3. Una compañía de seguros tiene tres tipos de seguros para auto. 45% de sus clientes son de

cobertura básica. La probabilidad de un cliente de cobertura básica tenga un accidente y llame a la



compañía es de 0.12. Otro 30% de sus clientes son de cobertura media. La probabilidad de que tenga un

accidente un cliente de cobertura media y llame a la compañía es de 0.25. Finalmente, 25% de los clientes

son de cobertura total. La probabilidad de que tenga un accidente un cliente de cobertura total es de 0.50.

Encuentre la probabilidad de que un cliente tenga un accidente y llame a la compañía durante este año, y

este tenga un seguro cobertura total.

Definimos como los conjuntos:

B=clientes de bajo riesgo.

M=moderado riesgo.

H=alto riesgo.

Llamemos C al evento de que un cliente tenga un accidente y llame a la compañía. El hecho de

ocurra un accidente es independiente de qué tipo de cliente sea, entonces

P(C) P( C B )P(B) P( C M )P(M ) P( C H )P(H)

P(C) 0.054 0.075 0.125 0.254

Así, la probabilidad de que un cliente de alto riesgo llame, está dada por

P( H C ) P(CH)P(H)

P(C)

0.125

0.254 0.492.

Ejercicio 5. Encuentra la probabilidad de los siguientes problemas utilizando el teorema de Bayes.


correcta

1. Una revista está conformada por 3 artículos del mismo autor. En el 85% de las líneas del primer artículo no se detectaron errores de escritura; del segundo artículo 90% y del tercero 95% tampoco se detectaron errores. El primer artículo tiene 125 líneas, el segundo 150 líneas y el tercero 175 líneas. Supongamos que elegimos una línea al azar y observamos que no tiene ningún error. ¿Cuál es la probabilidad de que sea del segundo artículo?

a) 0.2341

b) 0.3331

c) 0.4311

d) 0.2901

2. Sean A, B, y C enfermedades y P un síntoma que aparece con cualquiera de las tres enfermedades. Las enfermedades son excluyentes y su estudio indica que P(A)= 0.02, P(B)=0.01 y P(C)= 0.005 y P(H/A)=0.75, P(H/B)= 0.8 y P(H/C) = 0.95. Dado que se presentó el síntoma H, la probabilidad de que provenga de la enfermedad B es:

a) 0.02775

b) 0.54231

c) 0.03512

d) 0.4522



3. En una agencia de autos, 4% de los hombres y el 1% de las mujeres tienen más de 6 ventas de autos en un mes. Además, 60% de los empleados son mujeres. Si se selecciona al azar un empleado y ha realizado más de 6 ventas ¿cuál es la probabilidad de que el empleado sea mujer?

a) .0.3333

b) 0.5

c) 0.2727

d) 0.25

4. En un horno de microondas, la probabilidad de que se queme un paquete de palomitas que dispone de una alarma es de 0.1. La probabilidad de que suene la alarma si identifica que se está quemando es de 0.97 y la probabilidad de que suene si no se está quemando nada es de 0.02. Suponiendo que haya sonado la alarma. ¿Cuál es la probabilidad de que no se haya quemado nada?

a) 0.111

b) 0.157

c) 0.97

d) 0.223

5. Una prueba diagnóstica para la diabetes tiene un CFP de 4% y un CFN del 5%. Si la prevalencia de la diabetes en la población donde se usa es del 7% ¿cuál es la probabilidad de que sea diabético un individuo en el que la prueba dé positiva?

a) 0.996

b) 0.272

c) 0.641

d) 0.57

Actividad 6. Teorema de Bayes

Propósitos


Identificar el teorema de Bayes

Aplicar adecuadamente el teorema de Bayes para el cálculo de probabilidades en problemas

específicos.

Interpretar los resultados con base en el teorema de Bayes.

Desarrollo

Los estudiantes revisarán el material expuesto en el tema “Teorema de Bayes” y a continuación resolverá

el siguiente ejercicio utilizando las reglas de probabilidad condicional.

Procedimiento

1. Resuelve el siguiente problema utilizando el teorema de Bayes; además, desglosa los pasos que

realizaste para el cálculo de la probabilidad.

PROBLEMA:

Una empresa turística que les proporciona a sus trabajadores un premio por su gran desempeño

en todo el año planea invitarlos a un viaje a Acapulco o a Cancún ya sea por avión o autobús.

Haciendo un estudio se conoce que la empresa repartió el 30% de boletos para tomar un avión y



que de estos el 40% son para Cancún. Además, se tiene que, de los boletos que son para

autobús, el 70% tiene como destino Acapulco.

Representa los datos a través de un diagrama de árbol y una tabla de doble entrada, antes de

encontrar las probabilidades de los siguientes incisos. Utiliza el teorema de Bayes.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona escogida al azar tenga un boleto de avión con

destino a Acapulco?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona escogida al azar tenga boleto de autobús con

destino a Cancún?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que se dirige a Acapulco tenga un boleto de

avión?

2. Una vez obtenidos los resultados, pásalos a un archivo de Word.

3. Sube tu archivo a la sesión de tareas.

4. Espera la retroalimentación de tu facilitador y si es necesario corrige tu ejercicio.


Orden y claridad


Resultado correcto

Justificación o interpretación de su resultado.

Evidencia de aprendizaje. Aplicación del teorema de Bayes en las reglas de tránsito Propósitos


Identificar los eventos independientes y condicionales antes de aplicar la solución de un problema.

Identificar el teorema de Bayes como una herramienta importante para la solución de problemas

específicos.

Utilizar las reglas de cálculo de probabilidad, axiomas y teoremas propuestos en esta unidad para la

solución de casos de las reglas de tránsito.

Descripción general

De los problemas que existen en las reglas de tránsito, reflexiona en lo siguiente:

¿Qué pasa si conocemos con anterioridad?

1.- La probabilidad de accidentes de: microbuses, taxis y automóviles.

2.- El porcentaje de que suceda un accidente por alcoholismo, imprudencia y cansancio físico.



3.- El porcentaje de que los semáforos estén funcionando mal y suceda un accidente.

Los anteriores son algunos casos que podernos resolver utilizando la probabilidad condicional, con la

identificación de eventos independientes y la utilización adecuada de los teoremas y axiomas del cálculo de

probabilidades.

Desarrollo

El estudiante, para comprender mejor la utilización de los axiomas y teoremas, analizará el siguiente caso

propuesto, donde se involucra algún problema con relación a la violación de las reglas de tránsito:

CASO.

En un institución gubernamental de tránsito, se detectó que, de todos los vehículos que circulan

en la ciudad, el 15% son taxis, 30% son microbuses y 55% automóviles. El registro de las

infracciones da a conocer que por no respetar las reglas de tránsito, los accidentes recaen en el

8% en taxis, el 12% en microbuses y el 7% en automóviles.

Reflexiona y responde a las siguientes preguntas. Justifica tu respuesta.

a) El evento de que un accidente sea de un taxi o el evento de que un accidente sea de un

automóvil ¿son eventos independientes?

b) El evento de que un vehículo sea un microbús y el evento de que un vehículo tenga un

accidente ¿son eventos condicionales?

c) ¿Consideras poder utilizar el teorema de Bayes para encontrar la probabilidad de que, si

sucedió un accidente, sea por culpa de la violación de las reglas de tránsito de un taxista?

Procedimiento

1. Lee con atención el caso propuesto en esta actividad.

2. Contesta las tres preguntas de la reflexión del caso, justifica tus respuestas a través de los axiomas y

teoremas vistos en esta unidad.

3. Representa la información que tienes a través de un diagrama de árbol y una tabla de doble entrada.

4. Ahora calcula las siguientes probabilidades:

a) Selecciona un automóvil al azar ¿cuál es la probabilidad de que no tenga un accidente dado que

es un taxi?

b) De la infracción diaria se toma una al azar y se observa que es de un accidente. Calcule la

probabilidad de que haya sido de un microbús.

c) Si la boleta de infracción seleccionada al azar no resultó ser accidente, ¿cuál es la probabilidad

de que haya sido por un automóvil?

5. Una vez terminada tu actividad y cuando estés seguro de que cumple los puntos anteriores, pásala a

un archivo de Word.

6. Espera la retroalimentación del Facilitador(a).




La actividad tiene un valor de 25% y se considerarán los siguientes aspectos:


Orden y claridad

Organización del trabajo

Esquematización de las probabilidades del caso


Habilidades actitudinales

Análisis de casos

Apertura al cambio

Consideraciones específicas de la unidad En el proceso de tu aprendizaje, a través de la realización de lecturas, investigaciones, ejercicios,

actividades y foros, te recomendamos que a medida que avances en el estudio tomes nota de los aspectos

más importantes y registres tus dudas. No olvides que el Facilitador(a) te ayudará a comparar los

resultados, superar las dificultades, corregir errores.

Te recomendamos también que leas los textos, las explicaciones de cada ejemplo, que realices tus

ejercicios y las propuestas de trabajo detenidamente, que retrocedas si es necesario para recordar

conceptos, definiciones y los fundamentos de la probabilidad, como las reglas, propiedades, axiomas y

teoremas que te ayudarán a resolver los problemas que se te presenten.

Para cumplir con los propósitos de la Unidad 2. Teoría de la probabilidad se han diseñado diversas

actividades y ejercicios destinados al desarrollo de destrezas y habilidades para resolver problemas

específicos, donde haya un grado de incertidumbre en los efectos de fenómenos que se nos presentan a

nuestro alrededor.

Con el fin de guiar las acciones a realizar y facilitar su identificación, a continuación se presentan los íconos

que corresponde a las actividades y ejercicios de la unidad:



Ejercicios. Corresponden a diferentes actividades de tipo formativo para la

activación de conocimientos relacionados con las temáticas de la propia

unidad. Estos no cuentan con valor numérico pero sí son indispensables

para avanzar en los procesos de aprendizaje.

Actividad de aprendizaje. Las actividades de aprendizaje tienen un valor

formativo, ya que a través de su realización se ejercitan habilidades,

destrezas y actitudes que permitan la aplicación de métodos y técnicas en

situaciones de aprendizaje y que más tarde serán aplicadas en contextos

académicos y sociales.


al desarrollo del pensamiento crítico y al desarrollo de la capacidad

argumentativa. En este esquema, tendrás que defender tus puntos de vista

a través de argumentos sólidos y compartir opiniones y aportaciones con

otros compañeros para llegar a acuerdos comunes sobre conceptos,

teorías y perspectivas teóricas. En este espacio también se desarrollan

actitudes de tolerancia y respeto hacia los demás.

Fuentes de consulta Corral, M. J. (2009). Comunicación y vida. México: Edere.

Devore J. L. (2005). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias. Thomson.

David R. Anderson, Dennis J. Sweeney, (2008). Estadística para administración y economía. Cengage


Evans, M. J. (2005). Probabilidad y estadística. México: Reverte.

Ronald Walpole, Raymond H. Myers, Sharon Myers (2007). Probabilidad y estadística para ingenieros.

Pearson Education.


Álvarez Muro, Alexandra. (s/f). Oralidad y cotidianidad. http://elies.rediris.es/elies15/cap11.html

Stefan Waner, Matemáticas finitas y Cálculo aplicado, Consultado el 18 de abril en:


Instituto Tecnológico de Chihuahua, consultado en el 18 de abril en:


http://www.google.com.mx/search?hl=en&tbo=p&tbm=bks&q=+inauthor:%22David+R.+Anderson%22&source=gbs_metadata_r&cad=4

http://www.google.com.mx/search?hl=en&tbo=p&tbm=bks&q=+inauthor:%22Dennis+J.+Sweeney%22&source=gbs_metadata_r&cad=4

http://elies.rediris.es/elies15/cap11.html





UNIDAD 3. MODELOS DE PROBABILIDAD DISCRETOS

Propósito de la unidad

Al finalizar la unidad el estudiante:

Distinguirá una variable aleatoria de una continua.

Determinará los valores de los parámetros en los modelos probabilísticos y calculará probabilidades,

interpretando sus resultados.

Identificará los modelos de probabilidad como el Binomial, Poisson e Hipergeométrico, así como las

propiedades de una función de probabilidad.

Obtendrá la probabilidad de un experimento utilizando el teorema de Bayes.

Representará en forma de tabla, gráfica o función una distribución de probabilidad discreta.

Competencia específica

Utilizar modelos de probabilidad discretos para el análisis de eventos a través del valor esperado y la

varianza de las variables aleatorias discretas.


En general, podemos dividir el estudio de la probabilidad de acuerdo a las características de la información

contenida en un experimento aleatorio. En algunos experimentos, el número de resultados posibles del

experimento aleatorio que conforman su espacio muestral es un número finito, es decir, podemos enumerar

y contar los resultados posibles, y a esto se le llama espacios muestrales discretos. En otros el número de

resultados es infinito y es imposible contar, a estos se les llama espacios muestrales continuos.

Generalmente, podemos distinguir un espacio muestral discreto cuando realizamos conteos como el

número de personas que se presenta a un evento, el número de accidentes de tránsito en un día, el

número de nacimientos en un hospital, el número de resultados en el lanzamiento de un dado, etc. En un

espacio muestral continuo los resultados en general representan mediciones de tiempo, superficie,

volumen, como el peso o la estatura de una persona o el tiempo de vida de una lámpara de luz.

En esta unidad se presentan los modelos de probabilidad discretos y se distinguen los modelos

determinísticos, por otro lado se define, reconoce y distingue la variable aleatoria de la continua.



Un modelo matemático es una representación de la realidad, en particular los modelos de probabilidad

representan experimentos aleatorios, para este fin emplea variables, parámetros y una relación o función

que contiene a esa variable que nos facilita el cálculo de probabilidades.

En especial en esta unidad abordaremos los temas de valor esperado y varianza de una variable aleatoria

discreta para los modelo Binomial, Poisson e Hipergeométrico. Para entender los modelos de probabilidad

discretos o distribuciones de probabilidad discretas empezaremos esta unidad comparando los modelos

determinísticos con los probabilísticos identificando los elementos de un modelo de probabilidad, siendo los

elementos más importantes las características del experimento aleatorio, su variable aleatoria, sus

parámetros y su función para el cálculo de probabilidades, también conocida como distribución de

probabilidad. Los modelos de probabilidad nos presentan una relación que nos permite obtener la

probabilidad para cada uno de los valores que puede tomar la variable aleatoria. Esta relación se conoce

como función de probabilidad o función de distribución de probabilidad, la cual aprenderás a representar en

una función, en una tabla o en una gráfica.

Presentaremos varios ejemplos para emplear estos modelos de probabilidad y se propone una serie de

ejemplos y ejercicios contenidos en cada subtema de esta unidad. Todo lo anterior está incluido en las

lecturas y ejercicios, que permitirán el logro del aprendizaje a través de la práctica.

3.1. Modelos de probabilidad Definición de modelo. Un modelo constituye una representación abstracta de un cierto aspecto de la

realidad y tiene una estructura que está formada por los elementos que caracterizan el aspecto de la

realidad modelada y por las relaciones entre estos elementos.

3.1.1. Modelos determinísticos vs. probabilísticos

En los modelos deterministas o determinísticos todos los datos del problema se conocen con absoluta

certeza esto no es así en los modelos probabilísticos.

Ejemplos de modelos determinísticos. En el área de investigación de operaciones se plantea el

problema de control de inventarios que radica principalmente en optimizar los costos de operación y

producción y tomar decisiones de ¿cuánto se debe comprar?, ¿cuándo se debe comprar? El contar con un

inventario implica costos de almacenamiento de preparación, de merma o daño. El no contar con un

inventario implica un costo de oportunidad y retraso en la producción y venta. Los modelos de control de

inventarios buscan optimizar la función de costo que se relaciona con estos factores.



En las matemáticas financieras podemos calcular con precisión la tabla de amortización de una deuda si

conocemos el plazo, la tasa de interés y el número de pagos. Una característica de estos modelos es que

la información es conocida y los resultados son iguales siempre que usemos la misma información.

Ejemplos de modelos probabilísticos. En el control de la producción se requiere inspeccionar los

artículos producidos; cuando se producen grandes cantidades, el proceso se hace complejo y costoso. Una

solución se tiene en el muestreo aleatorio. Se toman muestras de los artículos producidos y con base en la

información contenida en estas se toman decisiones. A diferencia de los modelos deterministas no se

cuenta con certeza con la información necesaria para tomar decisiones. Un riesgo presente en el control de

la producción es que al tomar muestras la información muestral no se observe evidencia de un proceso

fuera de control, o bien puede suceder que se observen artículos defectuosos y el proceso esté bajo

control, dicho de otro modo no se conoce el total de artículos defectuosos producidos y la información

disponible es solo una parte del total de artículos producidos. En este ejemplo, la variable de interés es el

número de artículos defectuosos en la muestra.

En la medicina frecuentemente se toman muestras de sangre para determinar la salud de una persona. Las

técnicas usadas realizan un conteo de algunas características en la sangre; sin embargo, existen riesgos

de concluir que una persona está enferma cuando realmente está sana, o bien concluir que está sana

cuando realmente está enferma. En este ejemplo la variable aleatoria podría ser el número de glóbulos

rojos por cm3.

Una característica de los modelos de probabilidad es que las muestras tomadas son siempre diferentes, es

decir, presentan un patrón aleatorio. Otra característica es la incertidumbre y riesgo presentes debido a la

aleatoriedad generada por el muestreo aleatorio. Los modelos de probabilidad nos permiten medir los

riesgos de tomar estas decisiones. En esta asignatura abordaremos modelos para variables aleatorias

discretas y modelos para variables aleatorias continuas. Los modelos de probabilidad nos presentan una

relación que nos permite obtener la probabilidad para cada uno de los valores que puede tomar la variable

aleatoria. Esta relación se conoce como función de probabilidad o función de distribución de probabilidad.



Ejercicio 1. Analiza cada uno de los enunciados y evalúa si se trata de un modelo

probabilístico contestando falso (F) o verdadero (V)

Respuesta

1) Obtener el monto de los activos de una empresa, que dispone de información sobre Pasivos y Capital, requiere de un modelo probabilístico…

2) El encargado del control aéreo requiere conocer el promedio de llegadas de

aviones por un periodo determinado de tiempo, y para tal fin puede usar un

modelo de probabilidad...

3) El secretario de salud pública requiere estimar el número de casos de cáncer

uterino en las mujeres mayores de 40 en los próximos 6 años, para tal fin se

apoya en un modelo de probabilidad…

4) El jefe del D.F. requiere conocer el número de personas por hora que viaje en

el servicio de transporte colectivo Metro en la Ciudad de México. Usa un

modelo de probabilidad para tal fin…

5) Calcular el tiempo que tarda en caer un objeto desde un edificio requiere de un modelo probabilístico…

3.2. Variable aleatoria discreta Una característica de los modelos es que para representar la realidad usan variables, en particular los

modelos de probabilidad para representar experimentos aleatorios, requieren de variables que asumen

valores al azar, lo que les da el nombre de variables aleatorias. En esta unidad estudiaremos las variables

aleatorias relacionadas a experimentos aleatorios cuyos resultados son finitos o numerables, por lo que les

llamamos variables aleatorias discretas.

Dado un experimento aleatorio y su correspondiente espacio muestral se denomina variable aleatoria

discreta a una función X que le asigna a cada elemento del espacio muestral S un número en el conjunto

Rx = {s ɛ S | X(s) ɛ }. El conjunto Rx se conoce como rango o recorrido de la variable aleatoria x. Los

valores en Rx de la variable aleatoria corresponden a eventos numéricos relacionados con los resultados

del experimento aleatorio.

Ejemplo 1. Considere el experimento aleatorio que consiste en observar a dos personas que regresan de

viaje en la terminal internacional del aeropuerto en la Ciudad de México y que, al pasar por la aduana

deben de oprimir un botón que se puede encender en rojo o en verde. Si es rojo, se les detiene para una

inspección completa; si es verde, no pasan inspección. El espacio muestral asociado a este experimento es

S = {RR, RV, VR, VV}. Si nos interesa la variable aleatoria que describa, pasar el semáforo en verde para la

pareja, observamos que esta variable puede tomar tres valores posibles: 0: no pasa ninguno, 1: pasa uno



de los dos, 2: pasan los dos. Entonces Rx = {0, 1, 2} y la función X tiene la siguiente regla de

correspondencia:

X:S ------------------------------- Rx

Ejercicio 2. Resuelve los siguientes ejercicios determinando el rango o recorrido Rx de la variable

aleatoria que se describe y selecciona la respuesta correcta.


correcta

1) Se lanzan dos dados y se observa la suma de los puntos que muestran.

a) Rx = {0,1,2}

b) Rx = {2,4,6,8,10,12}

c) Rx = {1,3,5,7,9,11}

d) Rx = {2≤ x≤ 12|x ɛ Z}

2) El 20% de los científicos en energía nuclear ha

desarrollado algún tipo de cáncer. Un grupo de 5

científicos es sometido a pruebas para determinar

indicios de cáncer. La variable aleatoria es el

número de científicos en el grupo de 5 que resulta

positiva la prueba (es decir tienen indicios de

cáncer).

a) Rx ={1}

b) Rx ={1,2,3,4}

c) Rx ={0,1}

d) Rx ={0,1,2,3,4,5}

3.2.1. Definición de variable aleatoria discreta

Dado un experimento aleatorio y su correspondiente espacio muestral, se denomina variable aleatoria

discreta a una función X que le asigna a cada elemento del espacio muestral S un número en el conjunto

Rx = {sɛS | X(s)ɛ}. El conjunto Rx se conoce como rango o recorrido de la variable aleatoria x. Los valores

en Rx de la variable aleatoria corresponden a eventos numéricos relacionados con los resultados del

experimento aleatorio.

RR

RV

VR

VV

0

1

2



3.2.2. Distribución de probabilidad

Definición de distribución de probabilidad. La distribución de probabilidad de una variable aleatoria X es

una función que proporciona a cada uno de los valores de la variable aleatoria X: x1, x2,…, xn una

probabilidad y debe cumplir con las siguientes propiedades:

Para cualquier valor de X en Rx

1) P(x) ≤ 1

2) P(x) ≥ 0

3) = 1

Una distribución de probabilidad puede ser expresada mediante una tabla, una función o bien una gráfica,

como se muestra a continuación.

En el ejemplo 1 anterior si consideramos que cada uno de los resultados del espacio muestral es

igualmente probable entonces:

P(RR) = P(RV) = P(VR) = P(VV) =

Asignaríamos probabilidades a los valores de X en Rx observando los eventos o sucesos equivalentes:

Para el evento de x = 0 el suceso equivalente es {RR}

Para el evento de x = 1 el suceso equivalente es {RV, VR}

Para el evento de x = 2 el suceso equivalente es {VV}

X P(X)

0 0.25

1 0.5

2 0.25

Tabla de distribución de probabilidad

La tabla anterior se conoce como Distribución de Probabilidad para la variable aleatoria X, observa que las

propiedades dadas en la definición se cumplen.



0

0.2

0.4

0.6

0 1 2

P(X)

Gráfica de la distribución de probabilidad

Representación por una función de probabilidad o distribución de probabilidad para el ejemplo 1.

P(X=x) = 2Cx (0.5)x (1 – 0.5)2-x para X =0,1,2

Ejercicio 3. Resuelve los siguientes ejercicios representando en una tabla la distribución de

probabilidad correspondiente.

Respuestas Respuesta correcta

1) Se lanzan dos monedas y se observa el

número de caras que muestran. Se

representa la tabla con el valor de la variable

aleatoria como abscisa y su probabilidad

como su ordenada. (x, P(X)).

a) {(0,0.5), (1,0.25),(2,0.25)}

b) {(0,0.25), (1,0.5),(2,0.25)}

c) {(0,0.25), (1,0.25),(2,0.5)}

d) {(0,0.5), (1,0.5),(2,0.5)}

2) El 20% de los científicos en energía

nuclear ha desarrollado algún tipo de cáncer.

Un grupo de 5 científicos es sometido a

pruebas para determinar indicios de cáncer.

La variable aleatoria es el número de

científicos en el grupo de 5 que resulta

positiva la prueba (es decir tienen indicios de

cáncer).

a) Rx ={1}

b) Rx ={1,2,3,4}

c) Rx ={0,1}

d) Rx ={0,1,2,3,4,5}

3.2.3. Valor esperado y varianza de una variable aleatoria discreta

Definición. Sea X una variable aleatoria discreta con una distribución de probabilidad P(X), se define el

valor esperado, media o promedio de X por:

E[x] =



Observa que si P(x) es una descripción exacta de las frecuencias relativas para una población de datos,

entonces E[x] = μ la media o promedio de la población.

Ejemplo 1. Se selecciona un empleado al azar entre 5, 000 empleados que trabajan para un armadora de

coches. Sea X=el número de faltas por año del empleado seleccionado. La función de distribución de

probabilidad de la variable X está dada por la siguiente tabla:

X 1 2 3 4 5 6 7

P(x) 0.013 0.07 0.25 0.15 0.08 0.03 0.008

Una manera de ver esta situación es pensar que valores de la variable X representan a la población, es

decir, algunos son 1’s en la población, otros son 2’s,…, y finalmente unos son 7’s.

Una vez que hemos modelado a la población, podemos caracterizarla a través de la media de la siguiente

manera. Desde que P(1)=0.02, sabemos que (0.01)(5,000)= 50 de los empleados faltan un día, y

análogamente con los demás valores de X.

X 1 2 3 4 5 6 7

P(x) 0.02 0.17 0.39 0.25 0.13 0.03 0.01

Número de

empleados

100 850 1950 1250 650 150 50

Calculando el valor medio de la variable X,

E[x] xp(x) 1(0.02)2(0.17) ...7(0.01) 3.43.x

Así, este último valor representa la media del número de días que falta un trabajador por año.

Ejemplo 2. Una compañía fabricante de aviones pequeños (50 pasajeros o menos), realizó un estudio

sobre el equipaje de mano con usuarios de este tipo de aviones. Al fabricante le gustaría saber acerca del

espacio mínimo para el equipaje de mano debido a que el espacio es un punto crucial en aeronaves

pequeñas. A continuación se muestra la información que obtuvo:

Número de 1 8 18 41 22 8 2



pasajeros

Volumen

del

equipaje(ft3)

0 1 2 3 4 5 6

Para modelar esta situación representamos como X a los pies cúbicos, la cual representa a los usuarios. La

función de distribución de probabilidad la encontramos en la siguiente tabla

X 0 1 2 3 4 5 6

P(x) 0.01 0.08 0.18 0.41 0.22 0.08 0.02

Un espacio razonable necesario para el equipaje de mano es la media de la variable X, la cual está dada

por:

E[x] xp(x) 0(0.01)1(0.08) ...6(0.02) 3.07.x

Definición. Sea X una variable aleatoria discreta con una distribución de probabilidad P(X), se define la

varianza de X por:

V[x] = E[(x- μ)2 ] =

Observa que si P(x) es una descripción exacta de las frecuencias relativas para una población de datos,

entonces V[x] = la varianza de la población.

Ejemplo 1. Si X representa el número de faltas que un empleado tiene durante un año, con la función de

distribución de probabilidad del ejemplo 1 (sección anterior), para la cual =3.43, tenemos que,

V[x] 2 (x )2 p(x)x

(0.01)(1 3.43)2 (0.08)(2 3.43)2 ... (0.02)(6 3.43)2 3.07.

La desviación estándar de X es =2.24. Tanto la varianza como la desviación estándar miden qué tan

dispersos se encuentran los valores de una población.



Ejercicio 4. Resuelve los siguientes ejercicios calculando el valor esperado y la varianza de

las siguientes distribuciones de probabilidad.


correcta

1) Suponga ahora que se lanzan tres monedas y la variable aleatoria es el número de caras

Y 0 1 2 3

p(y) 0.125 0.375 0.375 0.125

a) E(x) = 1.0 V(x) = 1.5

b) E(x) = 1.5 V(x) = 0.75

c) E(x) = 1.75 V(x) = 0.937

d) E(x) = 0.937 V(x) = 1.75

2) En un proceso electoral se observa que

uno de los candidatos tiene al 80% de

votantes a su favor. Si se seleccionan 5

personas del padrón electoral al azar ¿cuál

es el valor esperado y la varianza del

número de votantes a favor del candidato?

Y 0 1 2 3 4 5

p(y) 0.00032 0.0064 0.0512 0.2048 0.4096 0.32768

a) E(x) = 4 V(x) = 0.8

b) E(x) = 1.6 V(x) = 8

c) E(x) = 0.80 V(x) = 5

d) E(x) = 5.00 V(x) = 1.00

3.3. Modelos de probabilidad para variables aleatorias discretas Un modelo es una representación de la realidad, un modelo de probabilidad representa un experimento

aleatorio, en esta unidad estudiaremos los modelos de probabilidad más frecuentemente usados en la

práctica relacionados con experimentos aleatorios discretos.

El modelo binomial es ampliamente usado en control de calidad en la industria, la medicina, la electrónica,

etc.

El modelo Poisson y el modelo Hipergeométrico comparten con el modelo binomial que cada resultado

puede tener o no una característica, a la que se le denomina “éxito”. Por ejemplo, un artículo producido

puede ser “bueno” o “defectuoso”, un elector puede votar “en contra” o “a favor”. En un modelo binomial

nos interesa el número de éxitos en una muestra, y en Poisson, el “número de ocurrencias o éxitos” en una

unidad especificada de tiempo, volumen, o superficie. En un modelo Hipergeométrico nos interesa también

el número de éxitos en una muestra, pero la probabilidad de éxito no es constante como en el caso de

binomial.

3.3.1. Modelo Binominal

El modelo binomial es empleado en situaciones en donde nos interesa conocer una suma de éxitos o una

proporción en una población.



Como ejemplos tenemos la proporción de votantes de toma de decisiones, en la práctica requieren conocer

algunas características de una población la suma de elementos o la proporción de elementos de la

población involucran la selección de una muestra aleatoria de una población. En donde el interés del

investigador es que cumple con una característica que se requiere observar, si un elemento de la población

presenta esta característica le llamamos un éxito. Corresponde a un experimento aleatorio que tiene las

siguientes características:

Se realizan n ensayos o pruebas de forma idéntica.

Cada ensayo tiene dos posibles resultados: éxito o fracaso.

Los ensayos son independientes, es decir, el resultado de un ensayo no depende de los

ensayos anteriores.

La probabilidad de éxito (p) no varía de una prueba a otra.

La probabilidad de fracaso es q = 1- p

La variable aleatoria es el número de éxitos en los n ensayos.

Su función de distribución de probabilidad está dada por:

P(X=x) = nCx (p)x (1 – p)n-x

El rango o recorrido de la variable aleatoria X es {0,1, 2,…, n}

Todo experimento que tenga estas características diremos que sigue el modelo de la

distribución Binomial.

A la variable X que expresa el número de éxitos obtenidos en los n ensayos del experimento,

la llamaremos variable aleatoria Binomial.

Ejemplo 1. Supón que 20% de todas las computadoras producidas por una compañía necesitan un servicio

durante su periodo de garantía. Sea X el número de computadoras, entre 15 seleccionadas aleatoriamente,

que necesitarán un servicio. Entonces si X tiene una distribución binomial con n=15 y p=0.2

a) La probabilidad de que a lo más 8 necesiten servicio es

P(X 8) nCx

x0

8

(p)(1 p)15x

P(X 8)15C

0(0.2)(0.8)

15

15C

1(0.2)(0.8)

14 ...

15C

8(0.2)(0.8)

7

P(X 8) 0.999

b) La probabilidad de que exactamente 8 necesiten servicio es:



P(X 8)15C

8(p)(1 p)158 0.003

c) La probabilidad de que al menos necesiten servicio es

P(X 8) 1P(X 7)

115C

0(0.2)(0.8)15

15C

1(0.2)(0.8)14 ...

15C

8(0.2)(0.8)8

P(X 8) 0.004

Ejercicio 5. Resuelve los siguientes ejercicios para la distribución binomial y selecciona la

respuesta correcta.


1) En el ejercicio 4.1 obtenga los parámetros de la

distribución binomial y calcule su valor esperado y

varianza que están dados por E(x) = np V(x) =

npq 0.8 y compare con los resultados de este

ejercicio.

a) n=3 p=0.5

b) n = 3 p= 0.8

c) n= 3 p = 0.2

d) n=3 p= 1.0

2) El 20% de los científicos en energía nuclear ha

desarrollado algún tipo de cáncer. Un grupo de 5

científicos es sometido a pruebas para determinar

indicios de cáncer. La variable aleatoria es el número

de científicos en el grupo de 5 que resulta positiva la

prueba. (Es decir tienen indicios de cáncer). ¿Cuál es

la probabilidad de que al menos uno tenga cáncer?

a) P(x≥1)=1 – P(x=0) =0.672

b) P(X=1) = 0.4096

c) P(X<1) = 0.3277

Actividad 1. ¿En qué áreas se aplica el modelo Binomial?

Propósitos

Debatir e intercambiar opiniones y experiencias con los compañeros(as) de grupo sobre las aplicaciones

del modelo Binomial y las condiciones para aplicarlo.

Instrucciones

1. En este espacio podrás compartir experiencias, puntos de vista, opiniones sobre el modelo de

probabilidad Binomial. Es importante tu participación y el intercambio de experiencias para construir

conocimiento. Comenta con tus compañeros lo que ha significado este tramo de aprendizaje para


o ¿En qué áreas de la vida real se aplica el modelo Binomial?

o ¿Qué características se deben presentar para aplicarlo?



o Como todo modelo de probabilidad, ¿qué condiciones deben cumplirse?

2. Revisa las respuestas de tus compañeros(as) y replica a dos de ellos, argumentando por qué estás









Actividad 2. Aplicación de la distribución Binomial

Propósitos


Identificar los modelos de probabilidad binomial.

Aplicar adecuadamente la distribución de probabilidad en problemas específicos para el cálculo de

probabilidades con este modelo.

Interpretar los resultados con base en el contexto del problema.

Desarrollo

Dado un problema que requiera de una distribución binomial identificar los valores y parámetros para el

cálculo de las probabilidades correspondientes

Procedimiento

Realiza los siguientes tres ejercicios utilizando una distribución binomial.

a. Una tienda departamental tiene un sistema de cuatro alarmas que funcionan en

forma independiente, cada una tiene una probabilidad de detectar a un intruso de un

95%. Sea Y la variable aleatoria el número de alarmas que detectan al intruso

¿puede afirmarse que se trata de un problema para ser resuelto con una distribución

binomial?

Obtén la probabilidad de que al menos una alarma detecte a un intruso e

interpreta.

b. En una consulta sobre la equidad de género, el 30% de la población afirma que no

existe equidad de género. Se toma una muestra al azar de 10 personas y se



observan los que opinan en contra de la equidad. ¿Se puede aplicar el modelo

binomial a este problema?

Obtén la probabilidad de que las diez personas opinen en contra de la

equidad de género.

c. En una clínica para el dolor se ha observado que el 90% de los pacientes elimina el

dolor con sus terapias. Se seleccionan de los registros de la clínica 10 pacientes a

los que se les aplicará la terapia. ¿Cuál es la probabilidad de que todos eliminen el

dolor?





Orden y claridad


Resultado correcto

Justificación o interpretación de tu resultado

3.3.2. Modelo de Poisson

El modelo Poisson es empleado en situaciones en donde nos interesa conocer la suma de ocurrencias de

un evento en un continuo de tiempo, superficie o volumen.

Ejemplos

Un departamento de atención a clientes desea estimar el promedio de llamadas por hora.

Entendemos el número de llamadas la suma de ocurrencias en un espacio de tiempo de una

hora.

Una tienda de telas tiene interés en estimar el promedio de defectos por metro cuadrado en

un lote de telas. Entendemos el promedio de defectos como el parámetro a estimar y un

metro cuadrado como unidad de espacio.

Un laboratorio de análisis clínicos realiza estudios en los que requiere contar el número de

ocurrencias de plaquetas, leucocitos, neutrófilos, linfocitos, etc., por con el fin de estimar

el promedio de ocurrencias por unidad de volumen.

Un supermercado se interesa en observar el promedio de clientes que llega a las cajas por

hora. Este tipo de situaciones se aborda con el modelo Poisson en teoría de colas.



El departamento de tránsito está interesado en estimar el promedio de accidentes por

semana en un crucero peligroso. ¿Cuál es el parámetro de interés? ¿Sirve el modelo

Poisson para representar este problema?

El modelo Poisson corresponde a un experimento aleatorio que tiene las siguientes características:

El promedio de ocurrencias por unidad especificada es proporcional al tamaño de la unidad.

El número de ocurrencias es independiente de la unidad especificada

λ es el parámetro de la población a estimar y se conoce como el promedio de ocurrencias

por unidad especificada.

La variable aleatoria asociada al experimento es el número de ocurrencias por una unidad

especificada, la cual puede ser de tiempo, superficie o volumen.

La suma de variables Poisson es una variable Poisson con la suma de sus promedios.


P(X=x) = Para valores de x:0,1,2,…..

Media: E[x] = λ

Varianza V[x] = λ

Desviación estándar =

Ejemplo 1. Una compañía de seguros de vida ha determinado que en promedio recibe 4.5 reclamos por

seguro de muerte al día. Suponemos que X tiene una distribución de Poisson con =4.5,

a) La probabilidad de que ocurran 5 reclamos en un día está dada por:

P(X 5) e4.5 (4.5)5

5! 0.1708

b) La probabilidad de que ocurran a lo más 5 reclamos es:

P(X 5) e4.5 (4.5)x

x!

x0

5

e4.5 (4.5)0

0!e4.5 (4.5)1

1! ...

e4.5 (4.5)5

5! 0.7029



Ejercicio 6. Resuelve los siguientes ejercicios para la distribución de Poisson y

selecciona la respuesta correcta.


correcta

1) El número de defectos en una pieza de mármol tiene una distribución de Poisson con media dos por metro cuadrado. ¿Qué tan probable es encontrar 6 defectos en una pieza de mármol?

a) P(x=6)= .27

b) P(x=6) = .09

c) P(x=6) = .18

d) P(x=6) = .01

2) El número de llamadas por turno nocturno al

911 en una pequeña ciudad es de 3 en

promedio. ¿Considera normal observar 10

llamadas en un turno?

a) Sí es probable

b) Sí es muy probable

c) Es un poco probable

d) Es casi imposible

Actividad 3. ¿En qué áreas se aplica el modelo Poisson?

Propósitos


del modelo Poisson y las condiciones para aplicarlo.

Instrucciones

En este espacio podrás compartir experiencias, puntos de vista y opiniones sobre el modelo de

probabilidad Poisson. Es importante tu participación y el intercambio de experiencias para construir

conocimiento. Comenta con tus compañeros(as) lo que ha significado este tramo de aprendizaje para llegar

a acuerdos y consensos comunes a partir de las siguientes preguntas:

o ¿En qué áreas de la vida real se aplica el modelo Poisson?


o Como todo modelo de probabilidad ¿qué condiciones deben cumplirse?

Revisa las respuestas de tus compañeros(as) y replica a dos de ellos, argumentando porque estás











Actividad 4. Aplicación del modelo Poisson

Propósitos


Identificar el modelo de Poisson.

Aplicar adecuadamente las distribuciones de probabilidad en problemas específicos para el cálculo

de probabilidades con el modelo Poisson.


Desarrollo

Dado un problema que requiera de una distribución Poisson identificar los valores y parámetros para el

cálculo de las probabilidades correspondientes

Procedimiento

Realiza los siguientes tres ejercicios utilizando una distribución de Poisson.

a. El número de automóviles que llega a un estacionamiento es de 9 cada hora. ¿Cuál

es la probabilidad de que en un periodo de 10 minutos lleguen al estacionamiento

más de dos automóviles?

b. En un almacén se encontró que la venta de cierto artículo sigue un proceso de

Poisson con promedio de cinco ventas por día. ¿Cuál es la probabilidad de que en

un día el artículo sea pedido más de 6 veces?

c. En la caja de un banco, llegan a pagar, en promedio, ocho clientes por hora. ¿Cuál

es la probabilidad que en una determinada hora lleguen a la caja a pagar un máximo

de cuatro clientes?

Una vez terminados tus ejercicios, pásalos a un archivo de Word.




Orden y claridad




Resultado correcto


3.3.3. Modelo Hipergeométrico

El modelo Hipergeométrico es empleado en experimentos binomiales cuando no se cumple que los eventos

sean independientes y la probabilidad de éxito no se mantenga constante.

El modelo Hipergeométrico corresponde a un experimento aleatorio que tiene las siguientes características:

Se realizan n ensayos o se obtiene una muestra de n observaciones sin reponer.

Cada ensayo tiene dos posibles resultados: éxito o fracaso.

Los ensayos no son independientes, es decir, el resultado de un ensayo depende de los

ensayos anteriores.

La probabilidad de éxito (p) varía de una prueba a otra.

El valor de p = es la proporción de éxitos en la población, parámetro de la población a

estimar. En donde N es el total de elementos y r el número de éxitos en la población.

La probabilidad de fracaso es q = 1- p

La variable aleatoria es el número de éxitos en los n ensayos.


P(X=x) = siempre y cuando 0 ≤ x ≤ k

Observa que:

N es el total de elementos en la población.

n es el tamaño de muestra seleccionado.

k es el número de éxitos.

N-k es el número de fracasos.

x es el número de éxitos en la muestra (valor de la variable aleatoria).

n – x es el número de fracasos en la muestra.

P(X=x) es la probabilidad de seleccionar x éxitos.

Representa la cantidad de formas para seleccionar una muestra de tamaño n de

una población con N elementos en donde N ≥ n.



Representa la cantidad de formas para seleccionar n –x fracasos de

un total de N – k fracasos en la población.

Representa la cantidad de formas para seleccionar x éxitos de un total de k éxitos

en la población.

Media: E[x] = n*

Varianza V[x] = n* ( )

Desviación estándar =

Una compañía fabrica sistemas con componentes complejos que requieren de un proceso

de instalación costoso para realizar pruebas; se solicita un pedido de 10 sistemas y se

seleccionan al azar tres de ellos para hacer pruebas. Si una de las pruebas falla, se rechaza

el embarque.

Observe que la selección se realiza sin reemplazo, es decir, el sistema seleccionado no

puede ser seleccionado nuevamente. La probabilidad de éxito cambia de un ensayo al

siguiente, para la primera selección se tiene una probabilidad de éxito de , si se

selecciona un sistema que presenta fallas, la siguiente selección tendrá una probabilidad de

y en el caso de que no presente fallas será de .

Ejemplo 1. Cinco animales de una especie que se pensaba estaba cerca de la extinción en cierta región

han sido capturados, marcados y liberados para que mezclaran con los de su misma especie. Después de

que ellos han tenido la oportunidad de mezclarse, una muestra aleatoria de 10 animales fue seleccionada.

Sea X= al número de animales marcados en la segunda muestra. Si hay en la actualidad 25 animales de

este tipo en la región.

a) ¿Cuál es la probabilidad que X=2?

b) ¿X

2?

Los valores de los parámetros son n=10, k=5 (5 animales marcados) y N=25, entonces,



Para la parte (a),

P(X 2) 5C

2 20C

102

25C

10

0.385

Para la parte (b),

P(X 2) P(X 0, 1 o 2) kCx N kCnx

NCn

x0

2

0.0570.2570.385 0.699

Ejercicio 7. Resuelve los siguientes ejercicios para la distribución Hipergeométrica y selecciona

la respuesta correcta.

Respuestas

1) Una agencia de autos recibe un nuevo modelo en el que algunos autos presentan problemas en el sistema de frenos. Si en un lote de 10 autos le envían cuatro defectuosos. ¿Qué probabilidad hay de que los cinco primeros compradores no presenten reclamaciones? Suponga X el número de clientes satisfechos.

a) P(X=5) =

b) P(X=5) =

c)

d)

2) Para atender una contingencia médica sólo hay 5 expertos calificados en

un grupo de 20 médicos que se presentan para apoyar. Si se seleccionan

10 para atender esta contingencia, qué tan probable es que los 5 mejores

estén incluidos.

a) 0.0162

b) 0.3480

c) 0.8838

d) 0.0001

Actividad 5. ¿En qué áreas se aplica el modelo Hipergeométrico?

Propósitos


del modelo Hipergeométrico y las condiciones para aplicarlo.

Instrucciones:

En este espacio podrás compartir experiencias, puntos de vista, opiniones sobre el modelo de probabilidad

Hipergeométrico. Es importante tu participación y el intercambio de experiencias para construir

conocimiento. Comenta con tus compañeros(as) lo que ha significado este tramo de aprendizaje para


o ¿En qué áreas de la vida real se aplica el modelo Hipergeométrico?




o Como todo modelo de probabilidad ¿qué condiciones deben cumplirse?

Revisa las respuestas de tus compañeros(as) y replica a dos de ellos, argumentando por qué estás









Actividad 6. Aplicación del modelo Hipergeométrico

Propósitos


Identificar el modelo de probabilidad Hipergeométrico.

Aplicar adecuadamente la distribución de probabilidad en problemas específicos para el cálculo de

probabilidades con el modelo Hipergeométrico.


Desarrollo

Dado un problema que requiera de una distribución hipergeométrica identificar los valores y parámetros

para el cálculo de las probabilidades correspondientes.

Procedimiento

a. Se tiene un grupo de 30 alumnos, de los cuales 5 alumnos están becados por

excelencia. Si se selecciona una muestra de 5 alumnos ¿cuál es la probabilidad de

que los 5 alumnos de la muestra tengan una beca?

b. Al auditar 90 cuentas por pagar de una compañía, se inspecciona una muestra de

10 cuentas. Suponiendo que 15 de las 90 cuentas contiene un error, ¿cuál es la

probabilidad de que existan dos cuentas incorrectas en una muestra?

c. Supóngase que de 100 cuentas de crédito en un banco, 3 han sido alteradas

fraudulentamente. Las alteraciones son bastantes sutiles y sólo una auditaría muy

detallada las puede descubrir. Se elige al azar 20 cuentas para una revisión



detallada. ¿Cuál es la probabilidad de que se descubra al menos una de las cuentas

alteradas?


Sube tu archivo a la sesión de tareas.

Espera la retroalimentación de tu Facilitador(a) y si es necesario corrige tus ejercicios.


Orden y claridad


Resultado correcto


Evidencia de aprendizaje. ¿Quién ganará las elecciones? Propósitos


Identificar las características de un experimento binomial.

Identificar los parámetros correspondientes.

Utilizar la distribución de probabilidad para responder en términos de probabilidad si hay un ganador

de una elección usando información preliminar.

Descripción general

Es frecuente que, en un proceso electoral, dos o más candidatos afirmen que obtuvieron la victoria:

Cómo podemos usar la información de la votación preliminar para determinar:

1.- Si un candidato es ganador aunque no se tengan contabilizados todos los votos.

2.- Si la contienda es muy reñida y no es posible con la información obtenida determinar un

ganador.

Desarrollo

Para una mayor compresión de un experimento binomial, el estudiante analizará el siguiente caso

propuesto, donde se involucran problemas con relación a un proceso electoral:

CASO. ¿Quién ganará las elecciones?

En las pasadas elecciones para una gubernatura dos de los más fuertes candidatos afirmaron que

obtuvieron el triunfo. En los primeros minutos del conteo de información preliminar se observaron las

siguientes estadísticas:

Si consideramos a la variable aleatoria como el número de personas en la muestra preliminar de

6696 que votó a favor del candidato del PRO y suponemos los siguientes escenarios:

a) El candidato del PRO ganó las elecciones, es decir, consideramos p > 0.5.

b) El candidato del PRO perdió las elecciones, es decir, consideramos p < 0.5.



c) ¿Qué pasaría si p= 0.5?

Calcula la probabilidad de que Y > 3348 para cada uno de los incisos anteriores:

Reflexiona y responde a las siguientes preguntas, justifica tu respuesta.

a) El evento de que un accidente sea de un taxi o el evento de que un accidente sea de un

automóvil ¿son eventos independientes?

b) El evento de que un vehículo sea un microbús y el evento de que un vehículo tenga un

accidente ¿son eventos condicionales?

c) ¿Consideras poder utilizar el teorema de Bayes para encontrar la probabilidad de que, si

sucedió un accidente, sea por culpa de la violación de las reglas de tránsito de un taxista?

Procedimiento

1. Lee con atención el caso propuesto en esta actividad.

2. Contesta las tres preguntas de la reflexión del caso, justifica tus respuestas a través de los axiomas y

teoremas vistos en esta unidad.

3. Representa la información que tienes a través de un diagrama de árbol y una tabla de doble entrada.

4. Ahora calcula las siguientes probabilidades:

a) Selecciona un automóvil al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga un accidente dado

que es un taxi?

b) De la infracción diaria se toma una al azar y se observa que es de un accidente. Calcula la

probabilidad de que haya sido de un microbús.

c) Si la boleta de infracción seleccionada al azar no resulto ser accidente, ¿cuál es la probabilidad

de que haya sido por un automóvil?

5. Una vez terminada tu actividad y cuando estés seguro de que cumple los puntos anteriores, pásala a

un archivo de Word.

6. Espera la retroalimentación del Facilitador(a).


La actividad tiene un valor de 30% y se considerarán los siguientes aspectos:


Orden y claridad


Esquematización de las probabilidades del caso


Habilidades actitudinales

Análisis de casos

Apertura al cambio



Consideraciones específicas de la unidad

En el proceso de tu aprendizaje, a través de la realización de lecturas, investigaciones, ejercicios,

actividades y foros, te recomendamos que, a medida que avances en el estudio, tomes nota de los

aspectos más importantes y registres tus dudas. No olvides que el Facilitador(a) te ayudará a comparar los

resultados, superar las dificultades, corregir errores y ampliar el conocimiento.



conceptos, definiciones de las variables aleatorias discretas y de los modelos de probabilidad para poder

resolver problemas específicos.

Para cumplir con los propósitos de la Unidad 3. Modelos de probabilidad discretos se han diseñado

diversas actividades y ejercicios destinados al desarrollo de destrezas, así como las habilidades para

resolver problemas específicos, donde se presenten funciones de distribuciones discretas.


que corresponden a las actividades y ejercicios de la unidad:



unidad. Estos no cuentan con valor numérico pero sí son indispensables



formativo ya que a través de su realización se ejercitan habilidades,











Fuentes de consulta

Robert Johnson, Patricia Kuby. (2007). Estadística elemental. Internacional Thomson.



Ruiz, E. y Ruiz, E. (2007). Probabilidad y estadísticas. México: Mc Graw Hill.

David K. Hildebrand y R. Lyman Ott. (2001). Estadística aplicada a la administración y a la economía.

Addison-Wesley Iberoamericana.

Michael J. Evans. (2005). Probabilidad y estadística.

Jay L. Devore. (2005). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias. Thomson.

David R. Anderson, Dennis J. Sweeney. (2008). Estadística para administración y economía, Cengage


Ronald Walpole, Raymond H. Myers, Sharon Myers. (2007). Probabilidad y estadística para ingenieros.

Pearson Education.

William Mendenhall, Richard L Scheaffer, Dennis D Wackerly, Estadisticas Matemáticas con aplicaciones,

Grupo Editorial Iberoamerica.


Stefan Waner. Matemática finitas y Cálculo aplicado. Consultado el 18 de abril en:


Instituto Tecnológico de Chihuahua, consultado el 18 de abril en:


Pértegas Díaz S., Pita Fernández S. Unidad de Epidemiología Clínica y Bioestadística el 18 de abril en:

http://www.fisterra.com/mbe/investiga/distr_normal/distr_normal2.pdf

Francisco Álvarez González, consultado el 18 de abril en:

http://ww.uca.es/uca/dpto/C146/pag_personal/f_alvarez/documentos/CC%20Trabajo%20Tema%205.pdf









UNIDAD 4. MODELOS DE PROBABILIDAD CONTINUOS

Propósito de la unidad Al finalizar la unidad el estudiante:

Identificará y validará las características que debe tener una función para ser una función de

densidad.

Identificará las propiedades de la distribución uniforme continua y resolverá e interpretará problemas

de cálculo de probabilidades.

Calculará probabilidades relacionadas con el modelo normal apoyándose en tablas de normal

estándar.

Competencia específica Utilizar los modelos de probabilidad continuos para el análisis de eventos a través de variables aleatorias

continuas y con el uso de tablas de cálculo de probabilidad.

Presentación de la unidad Una de las distribuciones de probabilidad continuas más importantes para la estadística es la distribución

normal; la gran mayoría de los problemas de inferencia estadística son modelados con esta distribución.

En esta unidad abordaremos dos modelos de probabilidad, el modelo uniforme continuo y el modelo

normal. A diferencia de una variable aleatoria discreta, un modelo para una variable aleatoria continua toma

un número infinito de valores posibles, lo que hace que asignar un valor de probabilidad a un punto

específico no tenga sentido. Sin embargo, es posible asignar probabilidades por intervalos.

Imagina que en un experimento aleatorio lanzamos dos monedas equilibradas, su distribución de

probabilidad para el número de caras tendrá dos resultados posibles X: 0, 1, 2. La probabilidad de que en

las dos monedas aparezca cara es 0.25. Ahora imagina que nos interesa el número de caras en el

lanzamiento de 10 monedas, es claro que nuestra variable aleatoria tendría once valores posibles y la

probabilidad asignada a cada valor posible de la variable aleatoria sería más pequeña, por ejemplo que

aparezcan 10 caras es .0009765, si lanzamos 100 monedas la probabilidad de que aparezcan las 100

caras es 0.000000000000000013655.

En el caso de una variable aleatoria continua existe un número infinito de resultados en comparación de

una variable discreta, por lo que la probabilidad de cada uno de los resultados posibles es un valor

prácticamente cero.



Ejemplo

Comparando una variable discreta con una continua, supongamos que lanzamos dos monedas

equilibradas y graficamos su distribución de probabilidad.

0.25

0.5

0.25

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 1 2

0

1

2

Observa que la probabilidad para el valor de x = 0 caras está representada por un rectángulo de altura 0.25

y ancho 1, por lo que su área es de 0.25, así que podemos concluir que la probabilidad de las tres áreas

de: 0.25, 0.5 y 0.25 suma uno.

En forma análoga para una variable aleatoria continua tenemos un número infinito de valores y para cada

valor calculamos la probabilidad para cada pequeño rectángulo de altura f(x) y ancho Ʌx en donde f(x)

representa la función de densidad de probabilidad y Ʌx un valor muy pequeño cercano a cero, por lo que la

probabilidad en un punto representada como área será f(x) * Ʌx que es casi cero. Sin embargo, la suma de

todas estas pequeñas áreas que corresponden al área bajo la curva es igual a uno.



4.1. Variables aleatorias continuas Una variable aleatoria continua puede tomar un número de valores infinitamente grande que corresponden

a los puntos en un intervalo o intervalos de la recta de los números reales. Los resultados del experimento

aleatorio se basan en escalas de medición, como el tiempo, el peso, la distancia, la temperatura, etc.

4.1.1. Definición de variable aleatoria continua

Se dice que X es una variable aleatoria continua en un intervalo, si existe una función f(x) (función de

densidad de la variable aleatoria continua X) tal que:

a. El área bajo la curva f(x) en el intervalo definido para la variable es igual a la unidad.

b. La probabilidad de que la variable aleatoria continua X tome valores en un intervalo [a, b] será

igual al área bajo la curva f(x) acotada entre a y b.

c. La probabilidad en un punto es cero para fines prácticos, por lo que para una variable aleatoria

continua no tiene sentido el cálculo de la probabilidad en un punto.

4.1.2. Función de densidad de probabilidad

En teoría de la probabilidad, la función de densidad de probabilidad, función de densidad o simplemente

densidad de una variable aleatoria continua es una función, usualmente denominada f(x), que describe la

densidad de la probabilidad en cada elemento del espacio, de tal manera que la probabilidad de que la

variable aleatoria tome un valor dentro de un determinado conjunto sea la integral de la función de

densidad sobre dicho conjunto.

La revista de la facultad de Ingeniería de Antioquia presenta un artículo sobre el Análisis de decisiones de

inversión utilizando el criterio valor presente neto en riesgo (VPN en riesgo) del Dr. Diego Fernando

Manotas Duque. El riesgo es modelado con la siguiente función de densidad:



Para que la función f(x) corresponda a una función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria

continua, debe cumplir con las siguientes condiciones:

1.- > 0 para cualquier valor de la variable aleatoria x

2.-

Considera la siguiente función de densidad

Si calculamos la integral de en el intervalo [2, 4], esta cumple con las condiciones para ser una

función de densidad de probabilidad de esta variable aleatoria continua.

Ejercicio 1. Resuelve los siguientes ejercicios que se describen y selecciona la respuesta

correcta.

Respuestas

Un chofer de autobús con un tanque de 150

litros lo llena al principio de cada semana. Su

demanda semanal tiene una frecuencia relativa

que crece constantemente desde cero hasta

100 litros y permanece constante entre 100 y

150 litros. Si Y denota la demanda semanal en

cientos de litros, la frecuencia relativa de la

demanda se puede representar por:

= y2 / 2,

y – ½

1.1.- Calcular P(0 0.5)

1.2.- Calcular P(0.5

a) 1.1 0.05, 1.2 0.95

b) 1.1 0.125, 1.2 0.575

c) 1.1 0.98, 1.2 0.12

Una alberca tiene dos bombas, que pueden

bombear cada una hasta 10,000 litros de agua



por mes. La cantidad total de agua bombeada

en un mes es variable aleatoria Y (expresada

en diez miles de litros) con una función de

probabilidad dada por:

F(y) = y2 / 2,

2y – y2 / 2 -1

1.3. Calcular la probabilidad de que se bombee entre 8,000 y 12,000 litros en un mes.

1.4. Si se sabe que se ha bombeado más de 10,000 litros en un mes en particular, encuentra la probabilidad de que se haya bombeado más de 15,000 durante el mes.

1.3 1.4

a) .15 75

b) 0.36 1/4

c) ¼ 0.36

Actividad 1. Ejemplos de funciones de densidad

Propósitos


Ejemplificar el concepto de funciones de densidad de probabilidad.

Verificar las propiedades de las funciones de densidad.

Colaborar, sociabilizar y llegar a un consenso en su investigación.

Desarrollo

Los estudiantes construirán un Wiki de ejemplos de funciones de densidad de probabilidad, identificando

sus propiedades.

Procedimiento

1. Lee el contenido de “funciones de densidad de probabilidad”, investiga en libros y páginas de

Internet confiables funciones que representen densidad de probabilidad, identificando las

propiedades para las funciones que investigaste.

2. Ingresa a la wiki y elabora una entrada en Ejemplos de funciones de densidad de probabilidad,

incluyendo las propiedades de las funciones de densidad.

3. En el caso de que alguno o algunos de tus compañeros(as) ya hayan escrito algo, lee con atención

y respeto sus aportaciones y enriquécelas; además, agrega un diferente ejemplo que hayas

encontrado.



4. Verifica en el mismo wiki, las propiedades de la función de densidad de probabilidad del ejemplo

que propones.


Trabajo en equipo

Orden y claridad en su ejemplo expuesto

Identificación de las propiedades

Ejecución de acuerdo a los pasos indicados

4.1.3. Función de distribución de probabilidad

Para el ejemplo anterior la función de distribución de probabilidad F(X) = P(X ≤x) se obtiene calculando la

siguiente integral:

Por lo que la función de distribución de probabilidad F(X) = P(X ≤x) queda definida por:

Ejercicio 2. Resuelve los siguientes ejercicios que se describen y compara con la respuesta

correcta.

Respuesta correcta

2.1 Obtén la función de distribución de probabilidad

para el ejercicio 1.1.

2.2 Obtén la función de distribución de probabilidad

para el ejercicio 1.2.

4.2. Modelos de probabilidad para variables aleatorias continuas



En la práctica, los modelos de probabilidad para variables aleatorias continuas más usados son el modelo

uniforme continuo, que es ampliamente usado en simulación, y el modelo normal, cuya importancia radica

en que nos permite modelar numerosos fenómenos naturales, sociales y psicológicos.

Un resultado interesante es que en inferencia estadística la distribución normal se aplica en la mayoría de

los problemas en donde nos interesa estimar promedios o proporciones.

4.2.1. Distribución uniforme continua

La distribución o modelo uniforme continuo se considera como un experimento aleatorio para obtener una

muestra. Cuando se selecciona una muestra aleatoria se requiere que cada observación en la muestra

tenga la misma probabilidad de ser seleccionada, dicho de otro modo la probabilidad se distribuye

uniformemente a lo largo de un intervalo.

Dada una variable aleatoria continua, x, definida en el intervalo [a, b] de la recta de números reales, x tiene

una distribución uniforme en el intervalo [a, b] cuando su función de densidad está dada por:

para x en el intervalo [a, b]

= 0 en cualquier otro punto

Observa que el área por debajo de la función ƒ(x) es un rectángulo con altura y base (b – a), por lo

que su área es 1.

Se define la función de distribución o distribución de probabilidad acumulada a F(x)



Ejemplo

Estimar el peso de una persona siempre presenta márgenes de error que dependiendo de la báscula

pueden variar por gramos o hasta algunos kilos. Considere una báscula digital que nos garantiza un error

entre 0 y 1000 g. ¿Qué probabilidad hay de que el peso real exceda a 500 g?

Si la distribución del error es uniforme en el intervalo [0, 1000], entonces la función de densidad queda

representada por función ƒ(x) con una altura de .

La probabilidad se calcula integrando el área debajo de ƒ(x) en el intervalo [500, 1000], por observación

sabemos que esta área es igual a 0.5, si usamos F(x).

P (x≥500) = 1 – P (x≤500) =1 - = 0.5

Ejercicio 3. Resuelve los siguientes ejercicios que se describen y selecciona la respuesta

correcta.

En un congreso se fija una hora para registro, los participantes llegan en forma aleatoria uniforme en un

intervalo de una hora.

1. Calcula la probabilidad de que una persona llegue en la primera

media hora P(X ≤ 0.5).

Respuestas

a) 0.5

b) 0.3

c) 0.1

d) 0.7

2. Calcula la probabilidad de que una persona aparezca en los últimos

15 minutos P(0.45≤x≤1)

a) 0.5

b) 0.3

c) 0.25

d) .5.5



4.2.2. Distribución normal

La distribución normal fue estudiada por primera vez por el francés Abraham de Moivre (1667-1754).

Posteriormente, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) profundizó en el desarrollo de lo que actualmente

conocemos como “campana de Gauss”, la cual es usada como función de densidad de la distribución

normal.

La distribución de probabilidad normal se considera la distribución más importante en inferencia estadística.

Está requiere de muestras aleatorias seleccionadas de una población para estimar algunas características

numéricas que se llaman parámetros. Ejemplos de parámetros son la (media), la proporción de éxitos

(π), o bien cuando nos interesa comparar dos poblaciones (diferencia de medias) o bien diferencia

de proporciones .

La distribución de una variable normal está completamente determinada por dos parámetros, su media µ y

su desviación estándar Ơ. La densidad de la distribución normal está dada por la siguiente función:

Figura 4. 8

Figura 4. 9

Se cumple con:

a) = 1

b) f(x) ≥ 0 para cualquier valor de x en

Propiedades de la función de densidad.

a. Tiene una única moda, que coincide con su media y su mediana.

Gráfica de la función de densidad de una normal



b. La curva normal es asintótica al eje de abscisas. Por ello, cualquier valor entre -

y es teóricamente posible. El área total bajo la curva es, por tanto, igual a 1.

c. Es simétrica con respecto a su media, por lo que existe una probabilidad de un 50% de

observar un valor mayor que la media y un 50% de observar un valor menor.

d. La distancia entre la línea trazada en la media y el punto de inflexión de la curva es igual a

una desviación estándar.

e. El área bajo la curva comprendida entre los valores situados aproximadamente a dos

desviaciones estándar de la media es igual a 0.95. En concreto, existe un 95% de

posibilidades de observar un valor comprendido en el intervalo.

Definición de distribución de probabilidad para la normal. Sea x una variable aleatoria continua en el

intervalo con densidad dada por la función de la figura 4.1, entonces la probabilidad

acumulada de se obtiene por:

= =

La función tiene las siguientes propiedades:

a. 0 ≤ ≤ 1

b.

c.

d. Si ≤ entonces ≤

e.



Ejercicio 4. Usando las propiedades de la función de densidad de una distribución normal, resuelve

los siguientes ejercicios que se describen y selecciona la respuesta correcta.


correcta

En la ciudad de Puebla se estima que la temperatura

máxima en el mes de junio sigue una distribución

normal, con media 23° y desviación estándar de 2°.

4.1 Calcular el número de días del mes en los que

se espera alcanzar máximas entre 21° y 25°.





4.1 4.2 4.3

a) 20 27 30

b) 21 25 30

c) 17 19 21

El promedio de los pesos de 100 estudiantes de una

universidad es de 70 kg y la desviación típica 3 kg.

Suponiendo que los pesos se distribuyen

normalmente, hallar cuántos estudiantes pesan:

4.4 Entre 67 kg y 73 kg. 4.5 Más de 70 kg. 4.6 Menos de 64 kg. 4.7 Exactamente 64 kg. 4.8 67 kg o menos.

4.

4

4.

5

4.

6

4.

7

4.8

a) 6

8

5

0

2 0 16

b) 6

6

5

2

4 2 32

c) 6

8

2

5

1 0 16

Los resultados de un examen siguen una distribución

normal con media 72 y desviación estándar 6.

Calcula:

4.9 La probabilidad de que una persona que

presenta el examen obtenga una calificación

superior a 72.

4.10 La proporción de estudiantes que tienen

puntuaciones que no alcanzan a aprobar, si el

mínimo aprobatorio es 60.

4.11 La proporción de estudiantes que tienen

una calificación de excelente, es decir, mayor

a 90.

4.9 4.10 4.11

a) 0.2 0.02

0

0.01

b) 0.5 0.02

5

0.00

5

c) 0.1 .25 0.00

1



Actividad 2. Importancia del modelo normal en la estadística

Propósitos


Reconocer la importancia del modelo normal en la estadística.

Identificar las diferentes aplicaciones del modelo normal en la estadística.

Colaborar hasta llegar a un consenso de su investigación y reflexión.

Desarrollo:

Los estudiantes participarán en un foro respondiendo a preguntas planteadas con base en el modelo

normal de probabilidad.

Procedimiento

1. Elabora una nueva entrada en el foro, considerando lo siguiente:

¿Qué hace que el modelo normal se aplique en diversos problemas?

¿Qué temas aborda?

¿Cuáles son las características del modelo normal?

¿Cómo se representa la función acumulada de una distribución normal? ¿Qué propiedades

debe de cumplir?

En función de las respuestas anteriores y además investigado ejemplos donde se aplique la

distribución normal, contesta la siguiente pregunta de reflexión:

¿Cuál es la importancia del modelo normal de la estadística?


Orden y claridad

Análisis de conceptos

Habilidad de relacionar conceptos y fórmulas

Reflexión argumentada



Actividad 3. Valores y parámetros para el cálculo de probabilidades

Propósitos


Identificar los valores y parámetros para el cálculo de la probabilidad, donde se presente una

distribución normal.

Identificar adecuadamente las propiedades de distribución normal de probabilidad.


Desarrollo

Dado un problema que requiera de una distribución normal o normal estándar identificar los valores y

parámetros para el cálculo de las probabilidades correspondientes.

Procedimiento

Encuentra los valores que se te piden en los incisos del siguiente problema. Resuélvelo en tu libreta.

PROBLEMA

La venta mensual de refrigeradores domésticos de una compañía, se distribuye

normalmente con un promedio de 200 refrigeradores por mes y desviación estándar de 50.

a. ¿Cuáles son los valores y ?

b. ¿Cómo se obtiene la variable normal estándar Z?

c. Dado lo anterior calcula P(x<90) usando la distribución normal estándar.

d. ¿Qué probabilidad hay de que las ventas sean menores de 90 refrigeradores?

Una vez terminado, pásalo a un archivo de Word.


Espera la retroalimentación de tu facilitador y si es necesario corrige tu ejercicio.


Orden y claridad


Resultados correctos

Justificación o interpretación de sus resultados



4.2.3. Distribución normal estándar

Las fórmulas anteriores no se usarán para el cálculo de probabilidades, en lugar de esto aprovecharemos

las tablas que existen para el cálculo de probabilidades de una distribución normal. El proceso de

estandarización de la variable aleatoria consiste en un “Cambio de Variable” de tal manera que la

distribución obtenida con dicho cambio se comporte como normal con media 0 y desviación estándar 1.

Sea una variable aleatoria con distribución normal, media y desviación estándar, considere la variable

, la nueva variable aleatoria z se distribuye normalmente con µ = 0 y desviación estándar Ơ = 0.

La densidad de la distribución normal estándar está dada por la siguiente función:

Propiedades de la distribución normal estándar.

1. Tiene las mismas propiedades de la distribución normal mencionadas en la sección anterior

2. Su media es 0.

Ejemplo 4.1. Cada día más se usan las computadoras en el mundo y cada casa tiene al menos una

computadora. Esta computadora es usada para trabajo en casa, investigación, comunicación, finanzas

personales y entretenimiento, entre otras cosas. Supón que en promedio el número de horas que se usa

esta computadora para entretenimiento es de 2 horas por día. Asume que los tiempos para entretenimiento



son normalmente distribuidos y la desviación estándar para los tiempos es una media hora. Encuentra la

probabilidad de que una computadora personal sea usada entre 1.8 y 2.75 horas por día.

Sea X=la cantidad de tiempo (en horas) que una computadora es utilizada para entretenimiento. X N

(2,0.5) donde =2 y =0.5. Entonces:

P(1.8 X 2.75) P(1.82

0.5 z

2.752

0.5) P(0.4 z 1.5)

Buscando en la tabla de la distribución normal estándar (puede consultar esta página

http://www.ucm.es/info/ecocuan/mjm/ectr1mj/Tablas.pdf) los valores para z=-0.4 y z=1.5,

P(0.4 z 1.5) P(z 1.5)P(z 0.4) 0.93320.3446 0.5886

Así, la probabilidad de que una computadora personal de casa sea usada para entretenimiento entre 1.8 y

2.75 horas es de 0.5886.

Ejemplo 4.2. En una nueva compañía de construcción, la edad de los empleados contratados en los

últimos 5 años tiene una distribución normal. Dentro de esta curva 68.2% de los empleados, centrado

respecto a la media, tiene entre 22.4 y 34.6 años. Encuentre la media y la desviación estándar de los datos.

En la figura siguiente se muestra la distribución normal estándar. Como se puede observar 68.2% implica

una extensión de 1 respecto a la media. La media es simétricamente colocada entre -1, que equivale a

22.4 años, y 1, que equivale a 34.6 años, así la edad media es:

22.4 34.6

2 28.5 años

De 22.4 a 28.5 años, con una diferencia de 6.1 años, hay 1, por tanto, la desviación estándar:

6.1

2 3.05 años.



Ejercicio 5. Usando tablas de distribución normal estándar, resuelve los siguientes ejercicios que se

describen y selecciona la respuesta correcta.


Varios test de inteligencia dieron una puntuación que sigue

una ley normal con media 100 y desviación típica 15.

5.1 Determinar el porcentaje de población que obtendría

un coeficiente entre 85 y 115.

5.2 ¿El intervalo de 100 a 130 qué porcentaje contiene

de la población?

5.3 En una población de 1000 individuos, ¿cuántos

individuos se espera que tengan un coeficiente superior

a 130?

5.1 5.2 5.3

a) 0.2

0

0.05

0

0.05

b) 0.5 0.25 0.68

c) 0.6

8

.34 0.25

Actividad 4. Aplicación del cálculo de probabilidad normal

Propósitos


Aplicar adecuadamente el cálculo de probabilidad normal apoyándose en el uso de tablas.


Desarrollo

Dados dos problemas, calcula las probabilidades correspondientes utilizando la distribución normal

estándar.

Procedimiento

Realiza los siguientes tres ejercicios; utiliza el cálculo de probabilidades de una distribución normal



estándar.

Los ingresos anuales de los trabajadores de una ensambladora de autos siguen,

aproximadamente, una distribución normal, con una media de 18,600 pesos y una

desviación de 2, 700 pesos. Encuentra la probabilidad de que un trabajador seleccionado al

azar tenga:

a) Un ingreso anual inferior a 15, 000 pesos

b) Un ingreso mayor a 21,000 pesos

Una fábrica que produce sobres de té sabe por experiencia que el peso de los sobres está

distribuido normalmente. Su promedio es 1.95 gramos, y su desviación es igual a 0.05

gramos. En un paquete que contiene 200 sobres, ¿cuántos pesan 2 gramos o más?

¿Cuántos pesan menos de 2 gramos?

Los resultados de un examen presentan una distribución normal, con un promedio de 78

puntos, y una desviación estándar de 6 puntos. ¿Cuál es la probabilidad de que un

estudiante que presenta el examen obtenga más de 75 puntos?

Un veterinario reporta que los hámsters viven un promedio de 40 meses cuando su

alimentación se reduce drásticamente y posteriormente se les suministran vitaminas y

proteínas. Supón que el tiempo de vida de los hámster bajo estas condiciones se distribuye

normalmente con una desviación estándar de 6.3 meses. Encuentre, la probabilidad de que

un ratón dado viva: (Nota que μ = 40 y σ = 6.3)

a. más de 32 meses

b. menos de 28 meses

c. entre 37 y 49 meses



Espera la retroalimentación de tu Facilitador(a) y si es necesario corrige tus ejercicios.


Orden y claridad






Evidencia de aprendizaje. Modelando las ganancias de una empresa Propósitos


Aplicar adecuadamente la distribución de probabilidad normal a problemas de cálculo de

probabilidades cuya información es posible representar con un modelo normal.


Desarrollo

La compañía BICICLEMEX fabrica y vende bicicletas. Al licenciado Teodoro Lima, gerente de la empresa,

le gustaría contar con información sobre sus ventas a futuro para estimar sus ganancias. Sus registros

muestran, en las ventas mensuales de los últimos 5 años, la siguiente información:

2006 2007 2008 2009 2010

ENERO 2.694 2.913 3.111 2.625 2.146

FEBRERO 3.518 3.733 3.933 2.201 3.125

MARZO 1.502 3.557 2.879 1.283 2.009

ABRIL 0.869 2.180 2.623 2.001 2.033

MAYO 3.563 1.110 2.986 2.810 2.060

JUNIO 2.940 1.919 2.073 1.220 1.942

JULIO 3.128 2.944 1.207 2.714 3.038

AGOSTO 2.208 2.395 1.863 4.079 2.045

SEPTIEMBRE 1.860 3.123 2.421 3.513 1.857

OCTUBRE 2.732 3.130 2.380 2.948 3.345

NOVIEMBRE 2.224 3.117 2.970 2.558 2.523

DICIEMBRE 2.597 3.448 0.872 1.324 2.566

RESUMEN DE VENTAS (Millones de pesos)

Como se aprecia sus ventas mensuales fluctúan desde $18,000.00 hasta $4, 079,000. Al obtener el

promedio de sus ventas y la desviación estándar de estos cinco años obtiene un promedio de 2.55 y una

desviación estándar de 0.8 millones de pesos. Al graficar los datos se observa la siguiente gráfica.



0

2

4

6

8

10

12

14

16

1.369 1.869 2.369 2.869 3.369 3.869 4.369

Procedimiento

a. Obtén el promedio de ventas para cada año, opina sobre el comportamiento de las ventas en

esos cinco años.

b. ¿Qué porcentaje de las ventas mensuales futuras se espera excedan de 3, 500, 000?

c. Para que la empresa funcione adecuadamente sus ventas no deben disminuir de 1, 500,000.

¿Qué probabilidad hay de que esto ocurra?


Orden y claridad






Esquematización de principios


Hábitos de investigación, estrategias aptas para la resolución de problemas, utilización de métodos

de investigación adaptados al objeto de estudio



Consideraciones específicas de la unidad En el proceso de tu aprendizaje, a través de la realización de lecturas, investigaciones, ejercicios y

actividades, te recomendamos que a medida que avances en el estudio tomes nota de los aspectos más

importantes y registres. No olvides que el Facilitador(a) te ayudará a comparar los resultados, superar las

dificultades, corregir errores.



conceptos, definiciones y los fundamentos de la probabilidad como las reglas, propiedades, axiomas y

teoremas que te ayudarán a resolver los problemas que se te presenten.

Para cumplir con los propósitos de la Unidad 4. Modelos de probabilidad continuos se han diseñado

diversas actividades y ejercicios destinados al desarrollo de destrezas y habilidades que serán

fundamentales en tu proceso de aprendizaje y que a la vez serán útiles en tu vida cotidiana.


que corresponden a las actividades y ejercicios de la Unidad:



Unidad. Estos no cuentan con valor numérico pero sí son indispensables



formativo ya que a través de su realización se ejercitan habilidades,











Fuentes de consulta

Robert Johnson, Patricia Kuby. (2007). Estadística elemental. Internacional Thomson.



Ruiz, E. y Ruiz, E. (2007). Probabilidad y estadísticas. México: Mc Graw Hill.

David K. Hildebrand y R. Lyman Ott. (2001). Estadística aplicada a la administración y a la economía.

Addison-Wesley Iberoamericana.

Michael J. Evans. (2005). Probabilidad y estadística.

Jay L. Devore. (2005). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias. Thomson.

David R. Anderson, Dennis J. Sweeney. (2008). Estadística para administración y economía, Cengage


Ronald Walpole, Raymond H. Myers, Sharon Myers. (2007). Probabilidad y estadística para ingenieros.

Pearson Education.

William Mendenhall, Richard L Scheaffer, Dennis D Wackerly, Estadisticas Matemáticas con aplicaciones,

Grupo Editorial Iberoamerica.


Stefan Waner. Matemática finitas y Cálculo aplicado. Consultado el 18 de abril en:


Instituto Tecnológico de Chihuahua, consultado el 18 de abril en:


Pértegas Díaz S., Pita Fernández S. Unidad de Epidemiología Clínica y Bioestadística el 18 de abril en:


Francisco Álvarez González, consultado el 18 de abril en:








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