Planes de Clase b2, Tercero

Plan de clase (1/4)

Escuela: _____________________________________ Fecha: __________Profr.(a): ______________________________________________________

Curso: Matemticas 9

Eje temtico: SN y PAContenido: 9.2.1 Uso de ecuaciones cuadrticas para modelar situaciones y resolverlas usando la factorizacin.Intenciones didcticas: Que los alumnos usen la factorizacin al resolver problemas y ecuaciones de la forma ax2+bx=0.Consigna: Organizados en equipos resuelvan los siguientes problemas.

1. El rea de un cuadrado es igual a 8 veces la medida de su lado. Cunto mide por lado el cuadrado?

2. El triple del rea de un cuadrado menos seis veces la medida de su lado es igual a cero. Cunto mide por lado el cuadrado?

Consideraciones previas:En el primer caso se espera que los alumnos escriban la ecuacin ; luego, es muy probable que vayan probando con diferentes nmeros hasta encontrar el valor de x que cumple con las condiciones del problema, que en este caso es 8.

Quizs algunos intenten despejar y lleguen a lo siguiente:

Si esto sucede, ayudarles a ver que se puede factorizar el primer miembro de la ecuacin como x(x 8) y que como este producto es igual a cero, uno de los factores, o los dos, debe ser cero. De manera que, o bien x=0, o x-8=0. De esta ltima ecuacin se desprende que x=8. De estas dos soluciones, x1 = 0 y x2 = 8, claramente la que cumple con las condiciones del problema es 8.

Puede ocurrir que en la ecuacin , algunos alumnos hagan lo siguiente:

Esta es otra manera de encontrar una de las soluciones de la ecuacin.

En el segundo problema la ecuacin que se espera que planteen los alumnos es: . Una vez que han planteado la ecuacin correctamente, pedirles que expresen a 3x2 -6x como el producto de dos factores. En esta parte es muy probable que lleguen a cualquiera de las siguientes ecuaciones equivalentes: x(3x -6)=0; 3x(x -2)=0; luego, que encuentren que los valores de x son 0 y 2.Observaciones posteriores:

1. Cules fueron los aspectos ms exitosos de la sesin?______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________2. Cules cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted.

Muy tiltilUso limitadoPobre

Plan de clase (2/4)


Curso: Matemticas 9

Eje temtico: SN y PAContenido: 9.2.1 Uso de ecuaciones cuadrticas para modelar situaciones y resolverlas usando la factorizacin.Intenciones didcticas: Que los alumnos usen la factorizacin para resolver problemas que implican ecuaciones de la forma ax2 =bx.

Consigna. En equipo resuelvan el siguiente problema: La edad de Luis multiplicada por la de su hermano, que es un ao mayor, da como resultado cinco veces la edad del primero. Cules son las edades de Luis y de su hermano?Consideraciones previas:

Se espera que los alumnos planteen la ecuacin: x(x+1) = 5xUna vez que hayan planteado la ecuacin y traten de despejar x, es probable que lleguen a cualquiera de las siguientes ecuaciones: x2 4x = 0 o x2 = 4x

En este caso, conviene retomar el primer caso y ayudarles a ver que se puede factorizar el primer miembro de la ecuacin, transformndose la expresin en x(x 4) = 0, y que los valores para x son 0 y 4.

En el segundo caso, es conveniente pedirles que igualen a cero la ecuacin.

Una vez que hayan logrado determinar los valores de x, es necesario que verifiquen cul de ellos es la solucin del problema.

Con la finalidad de que los alumnos se familiaricen con esta tcnica que consiste en factorizar la ecuacin para encontrar las soluciones, hay que plantearles muchos otros problemas como los siguientes:

Calcular el lado de un cuadrado, sabiendo que el triple de su rea es igual a 21 veces la longitud del lado.

El cuadrado de un nmero es igual al triple del mismo nmero. Cules es ese nmero?

Tambin se les puede pedir que resuelvan algunas ecuaciones como las siguientes:

a) x(x+2)=4x

b) 2x(x+1)=0

c) 2x2-4x=0

Observaciones posteriores:



Plan de clase (3/4)


Curso: Matemticas 9

Eje temtico: SN y PAContenido: 9.2.1 Uso de ecuaciones cuadrticas para modelar situaciones y resolverlas usando la factorizacin.Intenciones didcticas: Que los alumnos usen la factorizacin para resolver problemas que implican ecuaciones de la forma ax2+ bx + c =0.Consigna. En equipo, resuelvan los siguientes problemas:

A un cuadrado (Fig. A) se le aumenta 7 cm de largo y 3 cm de ancho, con lo que se forma un rectngulo (Fig. B) cuya rea es x2+10x+21. Con base en esta informacin, contesten y hagan lo que se indica.

a) Cules son las dimensiones del rectngulo construido (Fig. B)?

Base: _________ altura: _____________

b) Verifiquen que al multiplicar la base por la altura obtienen x2+10x+21

c) Si el rea de un rectngulo similar al de la figura B, es x2+9x+18, cuntos centmetros se le aument de largo y cuntos de ancho?

d) Si el rea x2+9x+18 es igual a 40 cm2, cuntos centmetros mide de largo y cuntos centmetros mide de ancho el rectngulo?

Consideraciones previas: Aunque en el primer apartado del bloque 1 se haya trabajado la factorizacin, hay que tomar en cuenta que factorizar es una tarea compleja, por lo que en el caso del inciso c, hay que ayudarles a que se den cuenta que para encontrar los trminos no comunes basta con descomponer el tercer trmino en dos factores tales que, sumados den el coeficiente del segundo trmino y multiplicados den como resultado el tercer trmino del trinomio. Con ello, se espera que los alumnos factoricen al trinomio como y determinen que se le aument 6cm de largo y 3cm de ancho.

En el caso del inciso d, se espera que los alumnos primero establezcan la igualdad , luego igualen a cero y despus factoricen; sin embargo es muy probable que algunos alumnos hagan lo siguiente: y luego por ensayo y error determinen el valor de x. Si esto sucede hay que decirles que un camino es igualar a cero y luego factorizar, es decir, obtener la ecuacin: y luego factorizarla para obtener . Al llegar a esta forma hay que ayudarles a ver que cada uno de los binomios se puede igualar a cero y se despejan las incgnitas, con lo cual se obtienen las dos soluciones de la ecuacin: x1= -11 y x2= 2. Como no hay longitudes negativas, entonces el valor de x que satisface el problema es 2. Por lo tanto, las dimensiones del rectngulo son 8cm de largo por 5cm de ancho.

Para consolidar lo aprendido hay que plantearles muchos otros problemas para resolver en el saln y de tarea. Por ejemplo:

a) Cuntos metros mide por lado el siguiente cuadrado?

b) Cuntos centmetros mide la base y cuntos centmetros mide la altura del siguiente paralelogramo?

c) Cules son las dimensiones del siguiente rectngulo?




Plan de clase (4/4)


Curso: Matemticas 9

Eje temtico: SN y PAContenido: 9.2.1 Uso de ecuaciones cuadrticas para modelar situaciones y resolverlas usando la factorizacin.Intenciones didcticas: Que los alumnos usen la factorizacin para resolver problemas y ecuaciones de la forma ax2 + bx + c = 0.

Consigna. En equipo resuelvan el siguiente problema:

Al desarmar las piezas que forman el marco de una fotografa y colocarlas alineadamente, como se muestra en el dibujo, se forma un rectngulo cuya rea es 72 cm2. Cules son las dimensiones del rectngulo que se forma?

Consideraciones previas:Al relacionar los datos del problema, se espera que los alumnos formulen la ecuacin x(28+4x)=72 y despus a su equivalente: . Despus, plantearles la siguiente pregunta. Qu se puede hacer para simplificar la ecuacin?

La idea de es que dividan entre 4 para llegar a lo siguiente:

Una vez que los alumnos lleguen a la ecuacin anterior hay que pedirles que la igualen a cero y que la expresen como producto de dos factores que tienen un trmino comn. Esta expresin escrita en su forma general es la siguiente:

(x+a)(x+b)=0, misma que es equivalente a: x2+ax+bx+ab= x2+(a+b)x+ab,

es decir, se trata de encontrar dos nmeros que sumados den el coeficiente de x y multiplicados den el trmino independiente. Para la ecuacin x2+7x-18=0 esos nmeros son: (x+9)(x-2)=0. A partir de aqu, las soluciones estn a la vista: x1=-9 x2=2Como no hay longitudes negativas, entonces el valor de x que satisface el problema es 2. Por lo tanto, las dimensiones del rectngulo que se forma con las ocho piezas es 36 cm de largo por 2 cm de ancho.

Una variante del problema consiste en plantearles que el rea de todo el rectngulo, formado por la foto y su marco es (2x + 6)(2x + 8)= 48 + 72. Pedirles que resuelvan esta ecuacin para hallar el ancho y el largo del marco armado.

Para consolidar esta tcnica se puede proponer que resuelvan por factorizacin ecuaciones como las siguientes:

a) 4x2 + 6x = 0

b) 5x2 + 10x = 0

c) x2 + 4x = 7xd) x2 + 6x +8 = 0

e) m2 + 10m + 21 = 0

f) n2 6 = - ng) x2 - 10x + 25 = 0

h) x2 = - 6x - 9

i) 12x +36 = - x2

o que encuentren una ecuacin cuyas soluciones sean por ejemplo:

a) x1 = 3, x2= -1

b) x1 = 5, x2= 7

c) x1 = -4, x2= -1

d) x1 = -4, x2= 3




Plan de clase (1/2)

Escuela: _________________________________Fecha: _____________________

Profesor (a). __________________________________________________________

Curso: Matemticas 9

Eje temtico: FE y M

Contenido: 9.2.2 Anlisis de las propiedades de la rotacin y de la traslacin de figuras.Intencin didctica. Que los alumnos identifiquen las propiedades de la traslacin.

Consigna 1. Organizados en parejas contesten las preguntas, con base en la informacin que ofrece el siguiente dibujo.

1. Cuando se habla de movimientos, hay dos que son muy conocidos, la rotacin y la traslacin. Cul de ellos creen que se muestra en el dibujo? ___________________________

2. Cul es la medida del movimiento que se realiz? ________Cmo lo averiguaron? _________________________________________________

3. Cules medidas del tringulo ABC, que es la figura original, se conservan en el tringulo ABC? __________________________________________

4. Cmo son los lados homlogos de ambos tringulos?______________

Consideraciones previas:

Al trmino de esta actividad, se espera que los alumnos concluyan que los lados homlogos de las dos figuras son paralelos y tienen la misma medida, as como los ngulos correspondientes. Se les puede preguntar cmo llegaron a la conclusin anterior (midiendo los lados y los ngulos, recortaron una figura y la superpusieron en la otra, etc.) En la segunda pregunta es probable que las respuestas varen ligeramente y es correcto que as sea. Lo importante es que quede claro que las distancias entre dos vrtices correspondientes cualesquiera debe ser la misma. Al final hay que decir que la flecha es la directriz del movimiento que se realiz.

Consigna 2. Individualmente, realiza la traslacin del polgono PQRST, considerando la directriz que se marca. Nombra PQRST a la figura que trazaste.

Consideraciones previas.

Para revisar los trazos realizados por los alumnos, conviene que se renan en equipo e intercambien las hojas. Es conveniente que el maestro propicie que el alumno concluya que en todo movimiento de traslacin los lados de las figuras y su imagen son congruentes y paralelos, sus vrtices equidistantes y ngulos congruentes y que toda traslacin tiene una direccin y magnitud determinada por la directriz. Por lo tanto, sobre la punta de la flecha se encontrar el punto P y los movimientos de los otros vrtices de la figura tendrn que ser paralelos a la directriz.Observaciones posteriores:

4. Cules fueron los aspectos ms exitosos de la sesin?________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________5. Cules cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________6. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted.


Plan de clase (2/2)

Escuela: _________________________________Fecha: _____________________

Profesor(a). ____________________________________________________

Curso: Matemticas 9

Eje temtico: FE y M

Contenido: 9.2.2 Anlisis de las propiedades de la rotacin y de la traslacin de figuras.Intencin didctica. Que los alumnos identifiquen las propiedades de la rotacin.

Consigna 1. Organizados en parejas contesten las preguntas, con base en la informacin que ofrece el siguiente dibujo.

1. Cuando se habla de movimientos, hay dos que son muy conocidos, la rotacin y la traslacin. Cul de ellos creen que se muestra en el dibujo? ___________________________

2. Cul es la medida del movimiento que se realiz? ________Cmo lo averiguaron? _________________________________________________

3. Cules medidas del rombo ABCD, que es la figura original, se conservan en el rombo ABCD? __________________________________________


Se espera que los alumnos deduzcan que el ngulo que deben medir es AOA y comprueben que es el mismo que BOB, COC y DOD. Si esto no sucede, se puede preguntar acerca de los ngulos que se forman entre los vrtices homlogos y el centro de rotacin. Asimismo, debern concluir que al girar cualquier figura, sta conserva la medida de sus lados y de sus ngulos, por lo tanto, las figuras ABCD y ABCD son congruentes.Consigna 2: Con sus mismos compaeros comenten cunto deben girar las siguientes figuras sobre su centro para quedar en la misma posicin y digan qu relacin existe entre la medida de ese ngulo y el ngulo central de la figura.

Consideraciones previas:Primero los alumnos deben encontrar el centro de cada figura (una forma es con el trazo de sus diagonales, con excepcin del tringulo cuyo centro se encuentra con el cruce de sus mediatrices). Posiblemente recurran a recortar las figuras y con un alfiler o algo semejante sobre su centro las hagan girar. Debern llegar a la conclusin de que, en el caso de los polgonos regulares, el ngulo de giro para que la figura quede en igual posicin y su ngulo central tienen la misma medida. Si el tiempo lo permite, se les puede dar la siguiente consigna, si no da tiempo, este trabajo se puede realizar como tarea y hacer la puesta en comn la siguiente clase.

Consigna 3. De manera individual efecta la rotacin de la siguiente figura.

a) Cuntos grados gira la figura en cada movimiento? _______________

b) Al tercer movimiento, cuntos grados habr girado la figura?__________

c) Cuntos movimientos son necesarios para que la figura A regrese a la posicin original?________________

Consideraciones previas.En este ejercicio se quiere que los alumnos deduzcan la posicin de la figura despus de cada giro de 90 teniendo como centro de rotacin el centro del cuadrado. Se puede pedir a los alumnos que elaboren o recorten un cuadrado en una hoja de papel y efecten los movimientos en cada paso y as comprobar que requiere de un giro de 360 o cuatro movimientos de 90 para llegar a la posicin original; tambin se pueden aprovechar estos movimientos dando sentido al ngulo (positivo o negativo).

Se debe considerar el material necesario para que los alumnos realicen las actividades (comps, escuadras y transportador).

Se puede proponer que elaboren algn diseo basado en la rotacin de figuras.


1. Cules fueron los aspectos ms exitosos de la sesin?________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. Cules cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted.


Plan de clase (1/3)Escuela: ___________________________________________ Fecha: _____________

Profr. (a): ______________________________________________________________Curso: Matemticas 9

Eje temtico: FEyMContenido: 9.2.3 Construccin de diseos que combinan la simetra axial y central, la rotacin y la traslacin de figuras.

Intenciones didcticas. Que los alumnos anticipen cmo cambia una figura, al aplicarle una simetra, una rotacin o una traslacin.Consigna. Organizados en parejas, averigen cules transformaciones se realizaron para pasar de la figura original a la final. En cada uno de los casos, sealen con lneas punteadas las transformaciones que identificaron.

Caso 1

Caso 2

Caso 3

En cada caso, escribe qu tipo o tipos de transformaciones sufri la primera figura para obtener la segunda.

Trapecio issceles: ________________________________________________

Cuadriltero PQRS: __________________________________________________

Pentgono ABCDE: __________________________________________________

Consideraciones previas

Con respecto al primer caso, es probable que surjan diferentes respuestas, por ejemplo, algunas de ellas podran ser:

- primero se realiza una simetra axial con relacin al eje x, luego una simetra central con centro de simetra sobre el eje y.

- primero una simetra axial con relacin al eje y, luego una traslacin con direccin vertical y sentido hacia abajo.

- una traslacin con direccin oblicua y sentido hacia abajo.

- Dos traslaciones, una con direccin horizontal y sentido a la derecha y otra con direccin vertical y sentido hacia abajo.

Cualquiera de estas respuestas es vlida, siempre y cuando se indiquen con lneas punteadas las transformaciones realizadas, como se muestra en la siguiente figura.

Con respecto al caso 2, tambin pueden surgir diferentes respuestas, por ejemplo, aplicar dos simetras axiales como se muestra en la siguiente figura.

En el caso 3, no est marcado ningn eje de simetra, esto es con la finalidad de que los alumnos tracen los que consideren necesarios. Seguramente la mayora de los alumnos identificarn una simetra axial y una traslacin, pero puede haber otras respuestas vlidas, como se muestra en la siguiente figura.

Durante el anlisis colectivo de los tres casos, hay que tratar de que los alumnos se familiaricen con el lenguaje convencional, como lados homlogos, la imagen de un punto, direccin, sentido, etctera, as como con la idea de que en este tipo de transformaciones las medidas de lados y ngulos se conservan.Observaciones posteriores

7. Cules fueron los aspectos ms exitosos de la sesin?_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

8. Cules cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________9. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted.




Eje temtico: FEyMContenido: 9.2.3 Construccin de diseos que combinan la simetra axial y central, la rotacin y la traslacin de figuras.Intenciones didcticas. Que los alumnos identifiquen el proceso de construccin corto o directo de figuras.

Consigna. Organizados en parejas describan el proceso ms corto para construir los siguientes logos, empleando traslacin, rotacin y simetras.

a) b) c)d) e) f)g) h) i) Consideraciones previas:Se espera que los alumnos puedan reconocer varios tipos de procesos de construccin que pueden deducir a partir del anlisis de sus formas y relaciones da cada uno de los logos. Por ejemplo, para el primer logo, a partir de dos simetras axiales de un rombo se forma el logo. E el caso del segundo logo, puede ser una simetra central o dos traslaciones.

Para reafirmar los conocimientos, se puede proponer que analicen los siguientes mosaicos e identifiquen un patrn que a partir de la combinacin de diferentes movimientos giros o simetras se puede cubrir el plano.


1. Cules fueron los aspectos ms exitosos de la sesin?________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________2. Cules cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted.




Eje temtico: FEyMContenido: 9.2.3 Construccin de diseos que combinan la simetra axial y central, la rotacin y la traslacin de figuras.Intenciones didcticas. Que los alumnos construyan diseos que impliquen realizar transformaciones de rotacin traslacin, simetra axial o central.

Consigna. De manera individual, elije cualquiera de las siguientes figuras y construye mosaicos por traslaciones, por rotaciones o por simetras.a) b) c)d) e) f) Consideraciones previas:Se espera que a partir de realizar rotaciones, simetras o traslaciones puedan generar mosaicos. Por ejemplo, para el primer caso, podrn llegar a lo siguiente:

En el caso del inciso c) podran generar mosaicos como por ejemplo:

En los casos de los incisos d) y f), podran formar mosaico como por ejemplo:

Los mosaicos que podran generar, depende del tipo de transformaciones que vayan haciendo los alumnos con las figuras.

Para profundizar en el estudio de mosaicos generados por simetras o por rotaciones, se les puede sugerir que consulten la siguiente pgina electrnica, donde podrn ver algunos ejemplos de cmo se generan mosaicos a partir de una figura llamada motivo; es decir, una pieza terica, lo ms pequea posible de un mosaico.http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/3eso/geometria/movimientos/mosaicos/mosaicos.htmLuego, se les puede pedir que inventen un motivo y generen mosaicos combinando varios tipos de transformaciones.Observaciones posteriores:

1. Cules fueron los aspectos ms exitosos de la sesin?________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________2. Cules cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted.


Plan de clase (1/3)

Escuela: ____________________________Fecha: ____________________ Profr. (a): _______________________________________________________

Curso: Matemticas 9 Eje temtico: FE y M Tema: MedidaContenido: 9.2.4 Anlisis de las relaciones entre las reas de los cuadrados que se construyen sobre los lados de un tringulo rectngulo.Intenciones didcticas: Que los alumnos determinen las relaciones entre las reas de los cuadrados construidos sobre los lados de un tringulo rectngulo, mediante la superposicin de superficies y el clculo de reas.Consigna 1: Organizados en equipos, construyan en una hoja dos cuadrados tomando como base las medidas de los lados menores del siguiente tringulo.

Despus tracen una diagonal en cada cuadrado que construyeron, recorten las figuras resultantes y con stas intenten cubrir el cuadrado trazado en el lado mayor.

Consigna 2: En los mismos equipos, resuelvan el siguiente problema:Se van a construir 3 plazas cuadradas adyacentes a los lmites de un jardn, como el que aparece en el dibujo, tomando como base las medidas de sus lados.

Cunto mide el rea de cada una de las plazas?Encuentren qu relaciones hay entre las reas de las tres plazas.

Qu figura geomtrica representa el jardn?

Consideraciones previas:Para realizar la actividad de la primera consigna se requieren tijeras, hojas de colores o de foami. Esta forma de comprobar la relacin entre las reas de los cuadrados es vlida para el tringulo rectngulo issceles. El armado de la figura de la primera consigna puede quedar as:

Se espera que los alumnos digan que es un tringulo rectngulo issceles y que determinen que la suma de las reas de los cuadrados construidos sobre los lados iguales es equivalente al rea del cuadrado del lado mayor.

En la segunda consigna, mediante el clculo de las reas de las plazas, se espera que los estudiantes se den cuenta que al sumar las reas de los cuadrados menores el resultado es igual al rea del cuadrado mayor.

Es importante que los alumnos adviertan que no es la nica relacin, sino que determinen que hay otras relaciones, el rea de un cuadrado menor es igual al rea del cuadrado mayor menos el rea del otro cuadrado menor.


1. Cules fueron los aspectos ms exitosos de la sesin?______________________________________________________________________________________________________________________________

2. Cules cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?______________________________________________________________________________________________________________________________

3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted.


Plan de clase (2/3)Escuela: ____________________________Fecha: ____________________ Profr. (a): _______________________________________________________

Curso: Matemticas 9 Eje temtico: FE y M Tema: MedidaContenido: 9.2.4 Anlisis de las relaciones entre las reas de los cuadrados que se construyen sobre los lados de un tringulo rectngulo.Intenciones didcticas: Que los alumnos verifiquen las relaciones entre las reas construidas sobre los lados de un tringulo rectngulo, mediante la comparacin de superficies y de forma algebraica.Consigna 1. Reunidos en binas, comparen las superficies de las figuras siguientes y determinen qu relacin hay entre el cuadrado interior de la figura 2 y los cuadrados interiores de la figura 1.

Con base en la relacin que encontraron y considerando la figura 3, elaboren una conclusin. Figura 3

Consigna 2: En la misma bina, analicen las siguientes figuras y comprueben algebraicamente que la suma de las reas sombreadas de la figura A es igual al rea sombreada en la figura B.


Para efecto de clculos, en la consigna 1 cada cuadrado de la cuadrcula representa una unidad de medida.

La expectativa es que los alumnos adviertan que los cuatro tringulos de la figura 1 son iguales entre s y con los cuatro tringulos de la figura 2, por lo tanto, la suma de las reas de los dos cuadrados interiores de la figura 1 equivale al rea del cuadrado interior de la figura 2.

A partir de la equivalencia anterior y considerando la figura 3, se trata que los estudiantes verifiquen que se cumplen las relaciones entre los cuadrados que se construyen sobre los lados de un tringulo rectngulo.Esta actividad puede realizarse utilizando el recurso tecnolgico llamado geogebra, con la ventaja que al mover un vrtice de la figura para cambiar sus dimensiones se puede apreciar que la relacin entre las reas de los cuadrados se conserva.

Si cuenta con Geogebra en su equipo, esta actividad la podr descargar en: http://www.supervision12sectec.com.mx/Documentos/matematicas/plan%20de%20clase%20para%203%b0%20pagina%20web.ggbEn la segunda consigna se trata que los alumnos recurran a sus conocimientos de lgebra para comparar las reas de las figuras A y B y determinar que la suma de las reas de los cuadrados internos de la figura A es equivalente al rea del cuadrado interno de la figura B. Una forma de proceder es la siguiente:

Que al contrastar dichos cuadrados con la figura C, puedan verificar una vez ms las relaciones entre las reas de los cuadrados que se construyen sobre los lados de un tringulo rectngulo.

Tambin se les puede solicitar que representen algebraicamente el rea de uno de los cuadrados menores, si se conoce el rea del cuadrado mayor y la del otro menor, para lo cual tendrn que despejar en .






Plan de clase (3/3)

Escuela: ____________________________Fecha: ____________________ Profr. (a): _______________________________________________________

Curso: Matemticas 9 Eje temtico: FE y M Tema: Medida

Contenido: 9.2.4 Anlisis de las relaciones entre las reas de los cuadrados que se construyen sobre los lados de un tringulo rectngulo.Intenciones didcticas: Que los alumnos infieran que slo en los tringulos rectngulos se cumple que el rea del cuadrado construido con la medida del lado mayor es equivalente a la suma de los cuadrados construidos con las medidas de los lados menores, mediante el clculo de las reas.Consigna: Organizados en equipos calculen el rea de los cuadrados que se pueden construir con las medidas de los lados de cada tringulo, posteriormente completen la tabla y contesten lo que se pide.

No. FiguraSuma de las reas de los cuadrados con las medidas de los lados menoresrea del cuadrado con la medida del lado mayorNombre del tringulo por la medida de sus ngulosNombre del tringulo por la medida de sus lados

1

2

3

4

En qu tringulos se cumple que la suma de las reas de los cuadrados construidos con la medida de los lados menores es igual al rea del cuadrado construido con la medida del lado mayor?

Escriban una conclusin acerca de la relacin que encontraron.Consideraciones previas: Despus que los alumnos analizan diferentes tringulos, la expectativa es que determinen que slo en los tringulos rectngulos la suma de las reas de los cuadrados construidos con las medidas de los lados menores es igual al rea del cuadrado construido con la medida del lado mayor.Despus de todas las experiencias relacionadas con este contenido, el profesor puede comentar que en un tringulo rectngulo el lado opuesto al ngulo recto se llama hipotenusa (lado mayor) y los lados que forman el ngulo recto se denominan catetos (lados menores) y que la propiedad estudiada la suma de las reas de los cuadrados construidos con las medidas de los lados menores es igual al rea del cuadrado construido con la medida del lado mayor, la cual es exclusiva de los tringulos rectngulos, recibe el nombre de Teorema de Pitgoras. Esta propiedad se puede enunciar de manera sinttica as, En todo tringulo rectngulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.En internet hay muchas opciones para consolidar este conocimiento, algunas de ellas se muestran a continuacin:

http://basica.sep.gob.mx/dgdgie/cva/gis/index.html En matemticas 3, Forma espacio y medida. Reactivo 38, teorema de Pitgoras /demostracin/sumar reas.

www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/teorema-pitagoras.html.

http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/pitagoras.htmVideos: http://www.youtube.com/watch?v=9wexfpHMDCk http:/www.youtube.com/watch?v=CAkMUdeB06Observaciones posteriores:





Plan de clase (1/3)

Escuela: ______________________________________Fecha: _________

Prof. (a): _______________________________________________________

Curso: Matemticas 9

Eje temtico: FEMContenido: 9.2.5 Explicitacin y uso del Teorema de Pitgoras.

Intencin didctica: Que los alumnos expresen algebraicamente las relaciones entre los cuadrados de los lados de tringulos rectngulos.

Consigna. Reunidos con dos compaeros, realicen lo que se indica enseguida:

1. Expresen algebraicamente los valores solicitados en funcin de las otras dos variables.

2. En cada figura, cul es la expresin algebraica que representa la siguiente afirmacin conocida como Teorema de Pitgoras? Escrbanla en cada espacio correspondiente.

En todo tringulo rectngulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.Figura 1: _____________ Figura 2: _____________ Figura 3: _____________


En los planes de clase del contenido 9.2.4, los alumnos realizaron varias actividades que implicaron determinar las relaciones entre las reas de los cuadrados construidos sobre los lados de un tringulo rectngulo y concluyeron que la suma de las reas de los cuadrados construidos con las medidas de los lados menores es igual al rea del cuadrado construido con la medida del lado mayor, esta propiedad es exclusiva de los tringulos rectngulos y recibe el nombre de Teorema de Pitgoras. Ahora se trata de simbolizar esta propiedad y las relaciones que se desprenden de ella.

Con respecto a la primera actividad, es probable que algunos alumnos se les dificulte escribir las expresiones algebraicas solicitadas; si esto ocurre, se les puede plantear preguntas de reflexin sobre los significados de cada expresin, por ejemplo, para el primer caso, se les puede plantear las siguientes preguntas:

Si se construye un cuadrado que tenga por lado la hipotenusa representada como z, qu representa z2? Qu representa x2? Y y2? A qu equivale z2?

Con ello, se espera que los alumnos puedan reconocer que z2 representa el rea del cuadrado sobre la hipotenusa; por lo que z2 equivale a x2 + y2. Una vez que los alumnos logren establecer la igualdad z2 = x2 + y2, se espera que no haya dificultad en escribir las relaciones restantes, ya que slo implica realizar despejes de la relacin z2 = x2 + y2.Con respecto a la segunda actividad, es probable que para la figura 2, los alumnos digan que hay un error, es decir, que un cateto del tringulo rectngulo issceles debe asignarse con otra letra. Si esto ocurre, aclarar que se usa la misma letra o literal a porque los dos catetos son iguales. En este caso, se espera que los alumnos escriban cualquiera de las dos expresiones algebraicas siguientes:

c2 = a2 + a2

c2 = 2a2Observaciones posteriores:

4. Cules fueron los aspectos ms exitosos de la sesin?____________________________________________________________________________________________________________________5. Cules cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?____________________________________________________________________________________________________________________6. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted.


Plan de clase (2/3)

Escuela: ____________________________________Fecha:__________

Prof. (a): ______________________________________________________

Curso: Matemticas 9


Intencin didctica: Que los alumnos apliquen el teorema de Pitgoras para resolver problemas.

Consigna: Organizados en equipos, resuelvan los siguientes problemas, pueden utilizar calculadora.

1. Un albail apoya una escalera de 5 m de largo contra un muro vertical. El pie de la escalera est a 2 m del muro. Calculen a qu altura se encuentra la parte superior de la escalera.

2. En la esquina de una plaza rectangular se encuentra un puesto de helados. Si estoy en la esquina opuesta diagonalmente, cuntos metros tengo que recorrer en diagonal para llegar al puesto? Los lados de la plaza miden 48 m y 64 m.

3. Cul es la mxima distancia que puedes recorrer sin cambiar de direccin en una pista de patinaje en forma de rombo, si cada lado mide 26 m y la diagonal menor 40 m?4. El pueblo B est, en lnea recta, 40 km al norte del pueblo A y el pueblo C est, en lnea recta, 30 km al este de B.

Cul es la distancia entre los pueblos A y C?Consideraciones previas:

En los problemas anteriores ser muy comn encontrar que los alumnos dibujen la situacin para ayudarse a comprenderla, sin embargo, en la puesta en comn se pueden compartir las diversas estrategias aplicadas. En todos los casos, es pertinente utilizar el teorema Pitgoras para encontrar la respuesta.

Con respecto al problema 4, es probable que los alumnos no sepan interpretar adecuadamente el problema. Si sucediera que nadie en el grupo hace una clara interpretacin de las posiciones de A, B y C, ser necesario orientarlos al respecto a travs de preguntas como: cul es el primer punto que debemos ubicar? Dnde est el siguiente pueblo (B)?, etc., incluso se les puede pedir que justifiquen sus respuestas. Una vez hecho un dibujo semejante al de abajo, se les dejar buscar la manera de responder la pregunta del problema.




Plan de clase (3/3)

Escuela: ___________________________________Fecha: _________

Prof. (a): _______________________________________________________

Curso: Matemticas 9


Intencin didctica: Que los alumnos usen el Teorema de Pitgoras y las propiedades de figuras semejantes para resolver problemas.Consigna: Los dos tringulos que aparecen abajo son semejantes. Individualmente, calculen el permetro de cada uno.


Para resolver este problema no basta aplicar el teorema de Pitgoras, sino que es necesario recordar y aplicar las propiedades de los tringulos semejantes..

Para llegar a la respuesta, existen varios caminos, por ejemplo, es probable que algunos alumnos se les ocurra primero determinar el valor de x por teorema de Pitgoras, luego, por semejanza determinar el valor de z, para finalmente determinar por semejanza o por Pitgoras el valor de y.

Es importante que mientras los alumnos trabajan, observar si han quedado claros los dos conceptos o si hay dificultad en alguno de ellos.

Si el tiempo lo permite se puede pedir al grupo que resuelva los siguientes problemas, si no, se pueden dejar de tarea y revisar sus procedimientos en una puesta en comn en la siguiente clase.

1. En la siguiente figura los tringulos son semejantes. Calcula la longitud x y determina la distancia entre los puntos A y B.

2. Calcular el rea de un hexgono regular si se sabe que la longitud de cada uno de sus lados mide 4 m.




Plan de clase (1/3)

Escuela: __________________________________Fecha: ______________

Profr. (a): _______________________________________________________

Curso: Matemticas 9

Eje temtico: MI

Contenido: 9.2.6 Clculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos mutuamente excluyentes y de eventos complementarios (regla de la suma).

Intenciones didcticas:

Que los alumnos reflexionen sobre el espacio muestra de un experimento aleatorio, sobre el significado de eventos simples, compuestos y complementarios y calculen su probabilidad.

Consigna: Las siguientes figuras representan un tetraedro (poliedro regular de cuatro caras) y una ruleta. En forma individual resuelve los problemas que se plantean y comenta tus resultados con tres de tus compaeros ms cercanos.

2 3

1 4

8 5

7 6

1. Al girar la ruleta, qu probabilidad existe de que la ruleta se detenga en

a) el nmero 5? _____________

b) un nmero menor que 4? _____________

c) un mltiplo de 2? _______________

d) un nmero impar? _________________

e) un nmero que no sea impar?f) un nmero impar o par? _____________

2. Si se lanza el tetraedro, cul es la probabilidad de que la cara que quede sobre la superficie plana,

a) sea color rojo? ___________

b) no sea de color rojo?

c) sea color verde o rojo? ___________

d) sea color verde o blanco o rojo? ___________Consideraciones previas:

Es conveniente plantear primero el problema uno y hacer una puesta en comn para analizar los resultados de los seis incisos. Debe quedar claro que el espacio muestra en el experimento de la ruleta es el conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} y que a cada elemento le corresponde una probabilidad de 1/8. Con base en esto se podrn contestar las primeras seis preguntas. Si los alumnos preguntan cules son los mltiplos de dos hay que decirles que son todos los resultados de la tabla del dos.

El evento que se detenga en un nmero que no sea impar es complementario del evento que se detenga en un nmero impar. Dos eventos se denominan complementarios cuando su unin da el espacio muestra y su interseccin es vaca. Dicho de otra manera, el complemento de un evento A son todos los elementos del espacio muestra (E) que no se encuentran en A. La probabilidad de un evento complementario Ac es:

EMBED Equation.3 As, la probabilidad de que la ruleta se detenga en un nmero impar es 4/8 o bien . La probabilidad de su complemento que se detenga la ruleta en un nmero que no sea impar es 1 = .

La suma de las probabilidades de dos eventos complementarios es igual a 1.

Por lo que la probabilidad de que se detenga la ruleta en un nmero impar o par, es la suma de las probabilidades: La probabilidad de que se detenga en un nmero par ms la probabilidad de que se detenga en un nmero impar, es decir, 4/8 + 4/8 = 1

En el segundo problema tambin conviene destacar el espacio muestra y enfatizar el hecho de que en los incisos c y d, se trata de eventos compuestos y que los conectivos o indican que se trata de la probabilidad de que suceda cualquiera de los dos o de los tres eventos, a diferencia del conectivo y, que se refiere a la probabilidad de que sucedan dos o ms eventos a la vez. Por lo tanto, la probabilidad en el inciso c) es + , mientras que en d) es + + . Observaciones posteriores:

7. Cules fueron los aspectos ms exitosos de la sesin?____________________________________________________________________________________________________________________

8. Cules cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase?____________________________________________________________________________________________________________________



Plan de clase (2/3)

Escuela: __________________________________Fecha: ______________

Profr. (a): _______________________________________________________

Curso: Matemticas 9

Eje temtico: MI


Intenciones didcticas:

Que los alumnos distingan dos eventos que son mutuamente excluyentes de aquellos que no lo son y busquen, en este ltimo caso, la manera de calcular la probabilidad.

Consigna: Resuelvan en equipos los siguientes problemas. Se hace referencia a la ruleta de la sesin anterior.

1. Si se tienen los eventos:

A. Que la ruleta se detenga en un nmero menor que cuatro.

B. Que se detenga en un nmero mltiplo de cuatro.

a) Cul es la probabilidad del evento A? p(A) = ___________

b) Cul es la probabilidad del evento B? p(B) = ___________

c) Qu significa que ocurra A o B?___________________________________

d) Cul es la probabilidad de que ocurra A o B? p(A o B) = ______________

Expliquen su respuesta.

2. Ahora se tienen los eventos siguientes:

C. Que la ruleta se detenga en un nmero mayor que cuatro.

D. Que la ruleta se detenga en un mltiplo de cuatro.

a) Obtengan: p(C) = __________ p(D) = __________

b) Cul es la probabilidad de que ocurra C o D? P(C o D) = ____________

3. Comparen los resultados de d) del ejercicio 1 y de b) del ejercicio 2 y comenten las formas de obtenerlos.

Existe alguna diferencia en estos eventos? Cul?

Consideraciones previas: Es conveniente que siempre que los alumnos calculen la probabilidad de un evento compuesto obtengan primero el espacio muestra y la probabilidad particular de cada evento, esto les permitir apreciar si hay elementos comunes o si no los hay. Si no los hay ya saben que el resultado es la suma de las probabilidades particulares, si los hay, es probable que por s solos concluyan que no se puede contar dos veces el mismo elemento del espacio muestra.






Plan de clase (3/3)

Escuela: __________________________________Fecha: ______________

Profr. (a): _______________________________________________________

Curso: Matemticas 9

Eje temtico: MI


Intenciones didcticas:Que los alumnos consoliden los procedimientos para calcular la probabilidad de eventos compuestos.

Consigna 1. Organizados en equipos, resuelvan el siguiente problema:

Se tienen dos dados, uno azul y otro rojo, que tienen sus caras marcadas con puntos del uno al seis. El experimento consiste en lanzar simultneamente los dos dados. Los resultados posibles del experimento son parejas de nmeros en los cuales el primero es el nmero de puntos del dado rojo y el segundo del azul. Completen la tabla.

D A D O A Z U L

1

2

3

4

5

6

DADO ROJO

1

1,1

2

2,2

3

4

5

5,4

6

6,5

a) Cuntos resultados posibles tiene el experimento? ________________

b) Cul es la probabilidad de que ocurra cada uno de ellos? ____________

c) Anoten los resultados que hacen falta en la siguiente tabla.

EVENTORESULTADOS POSIBLESPROBABILIDAD

A {La suma es dos}

B {La suma es tres}

C {La suma es siete}66/36

D {La suma es diez}

E {La suma es 3 o 10}

F {La suma es mayor que 10 o mltiplo de 4}

d) Qu evento tiene mayor probabilidad? _______________

e) Qu evento tiene menor probabilidad? _______________

f) Formulen un evento compuesto por dos eventos que sean mutuamente excluyentes. _________________________________

g) Formulen un evento compuesto por dos eventos que NO sean mutuamente excluyentes. _________________________________


Es necesario prever el tiempo suficiente para analizar las respuestas de una en una y detenerse en las que hay diferencias. Hay que centrar la atencin sobre todo en los dos ltimos incisos, analizando algunas respuestas para ver si los alumnos logran distinguir lo que son eventos compuestos y cundo stos se forman con eventos mutuamente excluyentes o no excluyentes.






Fig. B

Fig. A

x

x

A = 100 m2

x + 5

x + 5

x + 8

x

A = 48 cm2

x2 +6x +8= 35 cm2

8

6

x

x

A

B

C

B

C

A

P

Q

S

T

R

A

A

C

D

D

B

O

B

C

A

Q

R

S

p

A

B

C

D

A

B

C

D

Q

R

S

P

A

B

C

D

E

E

D

C

B

A

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

Con las figuras recortadas lograron cubrir toda la superficie del cuadrado mayor? Por qu crees que sucede esto?

Qu clase de tringulo es el que est sombreado?

Figura 2

Figura 1

Figura 4

Figura 3

x

y

z

a

a

c

a

b

c

Figura 3

Figura 2

Figura 1

x

32 cm

60 cm

1

y

z

8 cm

2

A

B

x

144 cm

48 cm

64 cm

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Planes de Clase b2, Tercero

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