MATEMATIKA DBH3

2. atala: ALJEBRA

3. unitatea: POLINOMIOAK

1. Adierazpen aljebraikoak. Monomioak.2. Monomioen arteko eragiketak.3. Polinomioak: maila, gai askea eta koefizienteak.4. Polinomio laburtua, polinomio osoa eta aurkako polinomioa.5. Polinomio baten zenbakizko balioa.6. Polinomioen arteko eragiketak.7. Laburbidezko formulak.8. Polinomioen faktorizazioa. Zatiki aljebraikoak.

HELBURUAK:

1. Adierazpen aljebraikoak. Monomioen ezaugarriak ezagutu eta identifikatzea.2. Monomioekin eragiketak egitea.3. Polinomioen ezaugarriak ezagutu eta identifikatzea: maila, gai askea, koefizienteak, osoa,

ordenatua4. Polinomio bat laburtzea eta ordenatzea. Bere aurkakoa eta zenbakizko balioa kalkulatzea.5. Polinomioen batuketak, kenketak, biderketak eta zatiketak egitea.6. Laburbidezko formulak garatzea: baturaren karratua, kenduraren karratua eta batura bider

kendura.7. Polinomioen faktorizazioa burutzea. Biderkagai komuna atereaz eta biderkadura berezien

formulak erabiliz. Zatiki aljebraikoak sinplifikatzea.

, MATEMATIKA DBH3

HASIERAKOA

Hona, gaiarekin hasteko aurkezten zaigun egoera:(AnayaHaritza testuliburutik)

Nekane: Aspertzen hasi naiz! Nekatuko dugu apur bat burua? Adibidez patinetan doan mutil horrek egiten duten distantzia: “espazioa, abiadura bider denbora da” (III)

Gontzal: Bai, edo “zilindro itxura duen barkillo-deposituaren bolumena” (IV)

Nekane: Edo txartelak salduz bildu dugun dirua: nik 5 pakete saldu ditut; zuk, 8 eta Leirek 3. Beraz, “bakoitzak bildu duen txartel kopurua 5, 8 eta 3rekiko proportzionala da” (V)

Lotu Nekanek eta Gontzalek emandako bost enuntziatu horietako bakoitza hemengo adierazpen aljebraikoetako batekin:

Soluzioa, zure ikastolako korreoan sartuta google Driven DBH3Mat_Unit_didak 3Polinomioak karpetan.

Eta nola izango litzateke “Berrekizun bereko bi berreturen arteko biderketa” ?

Polinomioak 1

a)

b)

c)

d)

e)

(I) (II)

, MATEMATIKA DBH3

Polinomioak 2

, MATEMATIKA DBH3

1.-ADIERAZPEN ALJEBRAIKOAK. MONOMIOAK

Aurreko kurtsoetatik gogoratuko zara adierazpen edo hizkuntza aljebraikoa esaten denean zenbakiak eta letren arteko konbinazioaz ari garela.

Errepasatzeko egoki izan daiteke hemen topatuko duzuna:http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/1esomatematicas_eus/1quincena7/index1_7.htm

Trebatuz:1) Ezezaguna den zenbakia, x izanik, adierazi hizkuntza aljebraikoan enuntziatu hauek:

a) Zenbaki baten bikoitza:b) Zenbaki oso baten hurrengoa:c) Zenbaki oso baten aurrekoaren bikoitza:d) Kantitate baten %17:

2) Orain alderantziz: x letrak, ezagutzen ez dugun zenbaki oso bat adierazten duela kontutan hartuz, adierazi hitzez, ondorengo adierazpen aljebraikoak:

:::

::

3) Adierazi aldetzat a+b duen karratuaren azalera, berau osatzen duten lau laukien azaleren batura moduan:

Eta eta izan ezkero, nola adieraziko dugu a+b; hau da, x+3 duen karratuaren azalera eta berau osatzen duten lau laukien azalerak?

Aurreko adierazpenetan , erakoak agertu zaizkigu. Adierazpen aljebraiko horiek monomioak bezala ezagutzen dira. Hau da, letra eta zenbakien arteko biderkadurak. Beraz, monomio batek bi atal ditu: Koefizientea (zenbakia) eta zati literala (letrak). , kasuetan letra bakarra da baina, batzuetan bi edo gehiago izango dira: Monomio baten letra batekiko maila, letra horren berretzailea da, eta orokorrean monomioaren maila, zati literala osatzen duten letren berretzaileen batura.

Adibidez,

MonomioaKoefiziente

aZati literala

x-arekiko maila

y-rekiko maila

monomioaren maila

2 3 5

Polinomioak 3

, MATEMATIKA DBH3

Antzeko monomioak: Zati literala berdina dutenak. Adibidez: eta

Aurkako monomioak: Antzeko monomioak eta aurkako koefizientea dutenak: eta

Osatzeko aukera (gaztelaniaz)http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/3esomatematicas/3quincena2/3quincena2_contenidos_1a.htm

2.- MONOMIOEN ARTEKO ERAGIKETAK

Batuketa eta kenketa: Bakarrik antzeko monomioak direnen artean egin daiteke; hau da zati literala berdina dutenen kasuan. Eta antzeko bi monomioen arteko batura / kendura, antzeko beste monomio bat da, koefizientea emandako koefizienteen batura / kendura duena.

=

=

=

Biderketa: Edozein bi monomioen arteko biderketa egiteko, zenbakiak eta letrak biderkatzen dira. Ondorioz, biderkadura beste monomio bat da: Koefizientea, emandako monomioen koefizienteen arteko biderkadura, eta letren maila, berretzaileen arteko batura duena.

=

=

=

Zatiketa: Bi monomioen arteko zatiketa egiteko, monomio zatikizunaren maila, zatitzailearen maila baino handiagoa edo berdina izan behar du. Zatidura, beste monomio bat da: Koefizientea emandako monomioen koefizienteen arteko zatidura, eta letren maila letren berretzaileen kendura duena.

=

=

=

Berreketa: Monomio baten berreketa, lehendik ezagutzen duzun eragiketa da. Monomioen kasuan, koefizienteak eta letrak berretzen dira.

= =

Koadernoan egiteko (1):

Polinomioak 4

, MATEMATIKA DBH3

Egin monomioen arteko eragiketa hauek:

1) 2)3)

4) 5) 6)

7) 8) 9)

10) 11)12)

13) 14) 15)

16)17)

Emaitzak:

1) 2)3) 4)

5)6)

7) 8) 9) 10) 11) 8 12)13)

14) 15) 16) 17)

3.-POLINOMIOAK: MAILA, GAI ASKEA ETA KOEFIZIENTEAK.

Monomioen arteko batuketa eta kenketaz osatutako adierazpen aljebraikoak dira. Polinomioa osatzen duten monomioak, polinomioaren gaiak edo terminoak dira.Bi monomio edo gaiez osatutakoak binomioak dira, hirukoak trinomioak eta hortik gorakoak polinomioak. Dena den, orokorrean polinomioak esaten da.

Adibidez, polinomioak, hiru gai edo termino ditu:

Polinomioaren maila: Maila altueneko monomioarena. Gogoratu monomioaren maila letra batekiko, letra horren berretzailerik handiena dela eta letra gehiago direnean letra horien berretzaileen batura.

Zein ote da polinomioaren maila ?

Polinomioak 5

, MATEMATIKA DBH3

gai edo monomioa, 2. mailakoa da; 1. mailakoa eta , 3. mailakoa.

Beraz polinomioa . mailakoa izango da.

Eta polinomioarena? Kasu honetan: : 1; : x-

rekiko 2 eta y-rekiko 3; monomioa, 5 : 2 eta : x-rekiko 3 eta y-

rekiko 1; monomioa, 4 . Beraz polinomioa . mailakoa.

4.- POLINOMIO LABURTUA, POLINOMIO OSOA ETA AURKAKO POLINOMIOA

Polinomio laburtua: Antzeko monomiorik ez duenean.

laburtuz,

Polinomio homogeneoak: Monomio guztiek maila berdina dutenean.

Polinomio osatua edo osoa: Maila gorenetik hasita, maila guztietako monomioak dituenean.

(gai askea, zero mailako monomioa; kasu honetan

5)Polinomio ordenatua: Mailaren arabera handitik txikira edo txikitik handira idatzia.

edo (handitik txikira erabiliko

dugu)Aurkako polinomioa: Monomio guztiak aurkakoak (edo koefiziente guztiak aurkakoak) dituena.

polinomioaren aurkakoa:

5.- POLINOMIO BATEN ZENBAKIZKO BALIOA

P(x) polinomioaren zenbakizko balioa P(a): Polinomioan x=a ordezkatuz lortzen den emaitza da.

izanik, eta

Kalkulatu

Ikus beste aukera gehiago:http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/4esomatematicasB_eus/polinomios/quincena3_contenidos_1b.htm

Trebatuz:

Polinomioak 6

, MATEMATIKA DBH3

1.- Kalkulatu polinomioaren zenbakizko balioa, x-k adierazten diren balioak hartzen dituenean:

2.- Kalkulatu hurrengo adierazpen aljebraikoen zenbakizko balioa, adierazten diren letren balioak kontutan izanik:

a) x=2 y= -1

b) x= -1 y= -2

c) x= -1

d) y= -2

Polinomioak 7

, MATEMATIKA DBH3

6.-POLINOMIOEN ARTEKO ERAGIKETAK

Batuketa/Kenketa Antzeko monomioak batu/kendu behar dira. eta bi polinomio emanik beraien arteko

batuketa/kenketa egiteko antzeko monomioak bereizi behar direnez, ordena zaintzea ezinbestekoa da:

Modu ordenatu hori bera jarraitzen dugu era horizontalean egiten dugunean ere:

xxxxx 34232 223

Konturatu, kenketa egitea edo aurkakoa batzea eragiketa bera dela:

Ikus beste aukera gehiago:http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/4esomatematicasB_eus/polinomios/quincena3_contenidos_2a.htm

Biderketa: Monomio batekin biderkatzea banatze propietatea aplikatzea da; hau da, monomio hori polinomioa osatzen duten monomio bakoitzarekin biderkatzea.

Bi polinomioen artekoa egiteko, haietako baten monomio bakoitza bestearen monomio guztiez biderkatu behar da eta laburtu.

eta polinomioen arteko biderkadura kalkulatzeko:Hasteko, ordenatu:

= =…

Biderketa hauek beste era honetara ere egin daitezke: Osatu gabeko polinomioa dugunean, tarte bat uzten dugu:

Polinomioak 8

, MATEMATIKA DBH3

Guk, era horizontalean egingo dugu, aurrera begira egokiagoa delako.

Zatiketa: Ikus dezagun adibide batekin. eta polinomioen arteko zatiketa egiteko

urrats batzuk jarraitu behar ditugu:

1) Hasteko, zatikizuna eta zatitzaileak ditugun polinomioak handitik txikirako ordenan jarri behar ditugu. Kasu honetan: eta

2) Ondoren, moduan idatziko dugu:

a) Zatikizunaren eta zatitzailearen mailarik handieneko gaiak zatituko ditugu:

Hau da:

Hori izango da zatikizunaren lehenengo gaia.

b) Gai berria zatitzailearen gai bakoitzaz biderkatuko dugu eta emaitza orden egokian idatzi ondoren, zatikizunari kendu.

c) Lana errepikatuko dugu, harik eta polinomio hondarrak zatitzaileak baino maila baxuagoa izan arte

Beraz orain Hau izango

da zatiduraren bigarren gaia.

Bigarren gai hau zatitzailearekin biderkatu eta kendu

Kasu honetan hondarraren maila zatitzailearena baino txikiagoa denez, hor bukatzen da zatiketa.Emaitza: Zatidura: eta hondarra:

Polinomioen arteko zatiketa hau beste era honetara ere egin ohi da.

Hasieran berdin, moduan idatziko dugu. Ondoren,

a) Zatikizunaren eta zatitzailearen mailarik handieneko gaiak zatituko ditugu:

Hau da:

Hori izango da zatikizunaren lehenengo gaia.

Polinomioak 9

, MATEMATIKA DBH3

b) Gai berria zatitzailearen gai bakoitzaz biderkatuko dugu eta emaitzaren aurkakoa orden egokian idatzi ondoren, zatikizunari batu.Hau da, biderkadura kendu ordez, baliokidea den biderkaduraren aurkakoa batu. c) Lana errepikatuko dugu, harik eta polinomio hondarrak zatitzaileak baino maila baxuagoa izan arte

Beraz orain Hau izango

da zatiduraren bigarren gaia. Bigarren gai hau zatitzailearekin biderkatu eta aurkakoa jarriz, batu

Kasu honetan hondarraren maila zatitzailearena baino txikiagoa denez, hor bukatzen da zatiketa.Lehen bezala, emaitza: Zatidura: eta hondarra:

Zatiketa ongi egina dagoela ziurtatzeko, berdintza hau betetzen dela egiaztatuko dugu:

Kasu honetan: =...

Egizu zatiketa hau: Eta beste hau:

Hasteko, ordenatu: Kasu honetan konturatu zatikizuna ez dela polinomio osatua. Horrelakoetan koefizientea 0 jarri edo tartea uzten da:

Ikus beste aukera batzuk:http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/4esomatematicasB_eus/polinomios/quincena3_contenidos_2b.htm

Koadernoan egiteko (2):Ondorengo polinomioak izanik: ; , eta egin adierazten diren eragiketak:

1)2)

6) 10)

Polinomioak 10

Zatikizuna =Zatitzailea x Zatidura +

, MATEMATIKA DBH3

3)4)5)

7)8)

9)

11)12)13)14)

Polinomioak 11

, MATEMATIKA DBH3

Emaitzak:1) 2) 3)

4) 5)

6) 7)8) 9)

10)

11) 12) 13)14)

7.-LABURBIDEZKO FORMULAK, BIDERKADURA BEREZIAK edo NABARMENAK.

Oso maiz topatzen dira binomioen arteko biderkadurak, identitate nabarmenak bezala ere ezagutzen dira. 1) Kalkula dezagun orokorrean bi gairen baturaren karratua: …

Beraz modu laburtuan: edota

2) Orain kenduraren karratua: …

Eta modu laburtuan: edota

3) Batura eta kenduraren arteko biderkadura (binomio konjugatuen arteko biderkadura):

…

Eta modu laburtuan: edota

Ikus honetaz: http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/3esomatematicas/3quincena2/3quincena2_contenidos_3a.htm

http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/4esomatematicasB_eus/polinomios/quincena3_contenidos_3a.htm

Koadernoan egiteko (3):

Burutu eragiketa hauek, ahal denean biderkadura laburtuen formulak erabiliz:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)12)

13)14)15)16)17)18)

Polinomioak 12

, MATEMATIKA DBH3

Polinomioak 13

, MATEMATIKA DBH3

Emaitzak

1) 2) 3) 4) 5)

6)7)

8) 9)

10) 11) 12)13) -2 14)

15) 16) 17) 18)

8.-POLINOMIOEN FAKTORIZAZIOA. ZATIKI ALJEBRAIKOAK.

Polinomioen biderketan banatze propietatea erabili dugu (biderketak batuketarekiko duen banatze propietatea)Adibidez: …Alderantzizko lana egin ezkero hau izango genuke: …Lan horrekin polinomioa biderkadura moduan jarri dugu, faktorizatu egin dugu. Eta hori lortzeko, biderkagai edo faktore komuna atera dugu (gai guztietan biderkatzen ari den biderkagaia alegia)Adibidez:

Eta: kasuan, biderkadura moduan jar dezakegu.

Baina ohartu moduan jar dezakegula.Eta azkenik, bezala. Beraz, hasieratik izango genuke. Hau da, ahal diren biderkagai gehienak, eta berretzaile handienak ateratzen ditugu.

…

Ikus honetaz gaztelaniaz:http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/3esomatematicas/3quincena2/3quincena2_contenidos_2c.htm euskarazhttp://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/4esomatematicasB_eus/polinomios/quincena3_contenidos_5a.htm

Eta ? Hemen ez dugu biderkagai komunik. Hasiera batean ezingo genuke biderkadura moduan jarri. Baina, ikusi berri ditugun biderkadura

berezien espresioak edo formulak

kontuan hartuz erako polinomioak biderkadura moduan jar ditzakegu:

Adibidez izango genuke. Beraz Egin beste adibide hauek:

Polinomioak 14

, MATEMATIKA DBH3

Polinomioak 15

, MATEMATIKA DBH3

Zatiki aljebraikoak:

Zatiki aljebraiko bat bi polinomioz osatutako zatikia da. Zenbakizko zatikien arteko eragiketak eta sinplifikazioak egiteko deskonposaketa faktoriala beharrezkoa den bezala, zatiki aljebraikoekin polinomioak deskonposatu egin behar izaten dira. Sinplifikatu zatiki aljebraiko hauek:

Ikus ondorengoa:http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/4esomatematicasB_eus/polinomios/quincena3_contenidos_5c.htm

Koadernoan egiteko (4):

1.- Atera biderkagai komuna ondorengo polinomioetan:1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

2.- Idatzi ondorengo polinomioak biderketa moduan:1)2)

3)4)

5)6)

7)8)

3.- Sinplifikatu zatiki aljebraiko hauek:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

Emaitzak:

11)

2)

3)

4)5)6)

7)8)

21)

2)

3)

4)

5)6)

7)

8)

31)

2)3)

4) 3

5)6)

7)8)

9)

Polinomioak 16