PRACTICA Nº 1 Linealización

(PRE-LABORATORIO) I. OBJETIVOS:

El alumno al final de la práctica debe ser competente en:

• Utilizar correctamente el papel milimetrado, semilogaritmico y bilogaritmico. • Realizar graficas en cada tipo de papel de acuerdo a una tabla de datos. • Determinar la ecuación que represente la linealización de los datos graficados en el

papel que corresponda. • Realizar graficas de datos en Excel. • Determinar la mejor ecuación que representa los datos con el programa Excel.

II. CONOCIMIENTOS REQUERIDOS:

• Método de los mínimos cuadrados. • Linealización gráfica.

III. MATERIALES Y EQUIPOS:

LABORATORIO • Computador. ALUMNO (c/u) • 1 hojas Papel milimetrado • 1 hojas Papel semi-logarítmico. • 1 hojas Papel bi-logarítmico.

FUNDAMENTOS TEÓRICOS

Ajuste de Valores Experimentales mediante el Método de los Mínimos Cuadrados Si hay n pares de mediciones (x1, y1), (x2, y2),... (xn, yn), y los errores están en su

totalidad considerados en los valores de y (es decir, se conoce exactamente el valor de x), donde yi es exactamente igual a a*xi + b, el error en la medida será: Ei = yi – a*xi – b.

La mejor recta será aquella cuyos valores de a y b minimicen la suma de los errores para todas las mediciones, porque será aquella que en conjunto se desvíe menos del conjunto

REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DE LA DEFENSA

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITECNICA DE LA FUERZA ARMADA

NUCLEO EDO. TÁCHIRA CICLO BASICO DE INGENIERÍA

de datos en general. Sin embargo, esto tiene el problema de que algunos errores pueden ser positivos y otros negativos; si lo que se mira es la suma total, algunos se cancelarían entre sí, lo que no tiene sentido: para evitarlo lo que se hace es minimizar la suma de los cuadrados de los errores, que siempre será positiva.

Se tiene entonces para una TENDENCIA LINEAL: Aplicando la condición de mínimo y resolviendo diversa ecuaciones se llega al siguiente resultado:

Valor promedio

== ∑∑

ny

ynx

x ii ,

y el valor de y para cualquier x se puede determinar mediante la ecuación:

bxay +∗= , donde:

( )2

11

2

1112

−∗

∗−∗∗=

−

−=

∑∑

∑∑∑∑ ∑

∑∑

==

===

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iii

ii

iii

xxn

yxyxn

xxxyxyx

a

n

xayxayb

n

ii

n

ii ∑∑

==

∗−=∗−= 11

Por ejemplo, para los siguientes datos: i ix iy ii yx 2

ix 1 0,5 1,1 0,55 0,25 2 1,0 2,0 2,00 1,00 3 1,5 2,9 4,35 2,25 4 2,0 4,2 8,40 4,00 5 2,5 4,8 12,00 6,25 6 3,0 6,0 18,00 9,00 7 3,5 6,9 24,15 12,25 8 4,0 8,2 32,80 16,00 9 4,5 9,1 40,95 20,25 Σ 22,5 45,2 143,20 71,25

entonces los valores promedios son:

5,29

5,22==x 0222,5

92,45

==y

y los parámetros de la ecuación lineal que representa estos datos mediante el método de los mínimos cuadrados son:

0133,25,2225,71*9

2,45*5,222,143*92 =

−−

=a y 0110,09

5,22*0133,22,45−=

−=b

por lo tanto la ecuación lineal que representa este conjunto de puntos, con la que se puede interpolar y extrapolar valores es:

0110,0*0133,2 −= xy

Regresión Lineal o Linealización Consiste en aproximar los valores obtenidos experimentalmente a una línea recta,

donde la diferencia entre cada valor experimental y el aproximado sea el menor posible bxay += * . En general no existirán un a y un b, que logren que la recta por ellos definida

pase por todos los puntos medidos, debido a los diferentes tipos de errores cometidos al medir. Funciones No Lineales que se pueden Linealizar El método de los mínimos cuadrados o de regresión es también aplicable a relaciones

no lineales pero que pueden ser linealizadas con una adecuada elección de nuevas variables.

Función exponencial: xaecy **= Tomando logaritmos naturales en ambos miembros y haciendo los cambios de

variables: Y = Ln y b = Ln c X = x y a = a resulta: Y = a*X + b Linealización de gráficas de funciones exponenciales. Adoptando como base el número de Euler (e) = 2,71828..., la ecuación exponencial

queda expresada como: xaecy **= , donde como ya se había indicado )(cLnb = , es decir la intersección de la gráfica con el eje “y” (x = 0) en el papel semi-logarítmico nos da directamente el valor de c, y el coeficiente de x viene dado por la pendiente de esta línea recta

( ) ( )12

12

xxyLnyLnma

−−

== .

Función potencial: axcy *= Tomando logaritmos decimales en ambos miembros de la igualdad, y haciendo los

siguientes cambios de variables: Y = Log y ; b = Log c y X = Log x Resulta: Y = a*X + b Linealización de gráficas de funciones potenciales. Las funciones polinómicas simples obedecen a la ecuación: axcy *= , donde como

ya se había indicado )(cLogb = , es decir la intersección de la gráfica con el eje “y”, es decir la intersección de la gráfica con el eje “y” (x = 0) en el papel bi-logarítmico nos da directamente el valor de c, y el exponente de x viene dado por la pendiente de esta línea recta

( ) ( )( ) ( )12

12

xLogxLogyLogyLogma

−−

== .

REPRESENTACIÓN DE DATOS EXPERIMENTALES De los cambios de variables empleados para linealizar las funciones exponencial y

potencial se infiere la necesidad de representar gráficamente los valores experimentales tanto en sus valores directos como en sus logaritmos, decimales y o naturales, para ello se emplean escalas logarítmicas.

¿Qué es una escala logarítmica? Representar puntos en una escala logarítmica es equivalente a representar los

logaritmos de esos valores en una escala normal. ¿Cómo se dibujan puntos en una escala logarítmica?

Se puede hacer de 2 maneras, dibujarlos a mano en un papel logarítmico o decirle al computador que lo haga. La primera opción, aunque pueda parecer prehistórica, en muchas ocasiones es absolutamente necesaria. Se vende papel semi-logarítmico y bilogarítmico en librerías especializadas.

¿Cómo Decidir que Tendencia Presentan los Datos? Al graficar los datos sobre papel milimetrado se pueden presentar una tendencia

rectilínea o seguir un patrón curvo. En el primer caso hay que aplicar un tratamiento estadístico para buscar la pendiente y la intersección con el eje y o de las ordenadas, y su coeficiente de correlación. Esto se hace mediante la aplicación del método de regresión lineal por mínimos cuadrados, explicado anteriormente.

En el caso de que la tendencia sea curva, usualmente se intenta mirar si hay una correspondencia logarítmica (o exponencial) de los datos. Esto se hace graficando los datos sobre papel semi-logarítmico, y si se obtiene una línea recta no cabe duda que se trata de este tipo de tendencia.

Si no se obtiene una recta al graficarse los datos sobre papel semi-logarítmico, debe intentarse graficar sobre papel logarítmico (bi-logarítmico). En el caso de que se presente una recta, los datos obedecen a una tendencia potencial o polinómica. Si no se presenta una tendencia rectilínea, debe intentarse alguna otra técnica de linealización.

Un bosquejo de lo anteriormente planteado se expone en el siguiente diagrama de flujo:

PRACTICA Nº 1 LINEALIZACIÓN (LABORATORIO)

Dada las siguientes tablas de datos: TABLA 1 TABLA 2 TABLA 3

1. Linealizar en papel milimetrado, semi-logarítmico y en bi-logarítmico, según el

diagrama de flujo, para determinar de forma manual la ecuación que mejor aproxime la tendencia de dichos datos.

Procedimiento para el Trazado de una Gráfica en Papel Milimetrado, Semi-logarítmico y/o Bi-Logarítmico: 1. Selección de los ejes de coordenadas y denominación de las escalas.

a. Convencionalmente, la variable independiente se representa sobre el eje de las abscisas (eje x) y las variables dependientes sobre el eje de las ordenadas (eje y).

b. En la selección de las escalas es necesario considerar factores como: tamaño del papel disponible, división en el papel, relación entre error experimental y menor división en el papel, etc.

c. Las escalas deben elegirse de manera que la curva sea fácil de leer, y a la vez buscando que la gráfica ocupe el mayor espacio en el papel. Las escalas milimétricas deben escogerse de tal forma que un cuadro sea igual a 1; 2,5; 10 unidades (ocasionalmente 4, evite utilizar 3, 7, 9, etc.), no marque cada cuadro, señale cada 2, 4 ó 5 cuadros. En las escalas logarítmicas debe tomarse en cuenta las unidades de los datos al escoger la escala, si los valores por ejemplo varían de 0,03 a 7,8 utilizar el primer fragmento logarítmico desde 0,01 hasta 0,1, el segundo hasta 1 y el tercero hasta 10.

d. Si los valores que se representan en las escalas milimétricas son muy pequeños o muy grandes, debe usarse un factor multiplicativo que permita usar un

X Y 1,56 9,8

6 32 12,6 65 25,8 131 33,9 171,5 53,1 267,5 66,9 336,5 86,4 434

105,7 530,5 156,4 784 211,2 1058

X Y 1,26 15,87 1,8 32,4 2,3 52,9 2,6 67,6 3,7 136,9

4,22 178,08 5,6 313,6

6,87 471,96 7,55 570,02 8,61 741,32 9,4 883,6 9,8 960,4

X Y 1 40,49

1,5 47,04 2 54,66

3,7 91,03 4 99,60

5,4 151,59 6 181,48

7,5 284,63 8 330,69

9,3 488,43 10,2 639,82

máximo de los dígitos para indicar el valor de las divisiones principales de la misma, por ejemplo factores como: 102, 109, 10-3, 10-6, etc.

e. Las escalas de coordenadas utilizadas pueden o no comenzar en cero, si la variable en cuestión no puede hacerse cero. Por ejemplo, un manómetro tiene una lectura lineal de cero, entonces la gráfica puede comenzar en cero; pero si se trata de un termómetro para temperaturas altas cuya lectura inferior es de 100°C, su gráfica debe comenzar en 100°C; en este último caso las ordenadas en el origen tendrían que ser calculadas.

2. Preparación del título. f. Colocar el titulo de la gráfica, como por ejemplo, se citan los siguientes:

“Relación entre distancia y Tiempo”, “Distancia vs. Velocidad”, etc. g. Se deben colocar en los ejes las magnitudes que en ellos se representan y sus

unidades correspondientes. 3. Localización de los puntos que representan los datos.

h. Se deben marcar claramente en la hoja los puntos obtenidos a partir de la tabla de valores. No se recomienda graficar los valores experimentales sólo como un punto, se usan cuadros, cruces, rectángulos, etc.

i. Cuando se traza más de una curva con las mismas abscisas hay que diferenciarlas entre sí, usando diferentes símbolos ó colores. Empleando una leyenda para identificar cada símbolo y/o color a que conjunto de datos se refiere.

j. También debe elegirse y disponerse las escalas ordenadas de manera adecuada para evitar que las distintas curvas se superpongan y/o se crucen generando confusión.

2. Linealizar y determinar con Excel, según el diagrama de flujo, la ecuación que mejor aproxime la tendencia de dichos datos

Procedimiento para el Trazado de una Gráfica con Excel:

1. Introducción de Tabla de Datos. 1.a. Abrir un archivo de Excel. 1.b. Cambiar el nombre de la primer hoja para convertirla en Tabla de Datos, y cambiar el

formato de celdas para trabajar en formato numérico. 1.c. Introducir los datos en forma vertical, en la primer columna a emplear los valores de

la variable independiente (eje x) y en la segunda los valores de la variable dependiente (eje y). Se recomienda comenzar en la segunda fila y la segunda columna de la hoja de cálculo, para colocar los títulos correspondientes en la primer fila y en la primer columna.

2. Generación de la Gráfica. 2.a. Seleccione los datos que ha introducido, manteniendo presionado el botón izquierdo

del ratón y arrastrando el cursor desde el primer dato hasta el último, abarcando todas las filas de datos y las 2 columnas de datos.

2.b. En el menú insertar seleccione Gráfico, en la ventana de Gráficos seleccione dispersión con líneas.

2.c. Verifique en la pestaña Serie que la Gráfica se corresponde con la tabla de datos por usted introducida, cual conjunto de valores está empleando para el eje x y cual para el eje y.

2.d. En las Opciones de Gráfico, en la pestaña Títulos introduzca el título del gráfico y de los ejes coordenados.

2.e. Verifique en la pestaña Líneas de división que estén seleccionadas las líneas de división principales en los ejes x y y.

2.f. Desactive en la pestaña Leyenda mostrar leyenda en el caso de tener una sola variable dependiente (eje y).

2.g. Se recomienda seleccionar insertar el gráfico en la segunda hoja para trabajar con mayor comodidad, colocándole a la hoja el nombre apropiado.

2.h. Se recomienda entrar con el botón derecho del ratón, ubicando el puntero sobre el área de trazado, para modificar el fondo de la gráfica y tener un buen contraste con los símbolos y colores de los puntos de la gráfica.

2.i. Ubicar el puntero del ratón sobre el eje x y con el botón derecho seleccionar la ventana del formato de ejes para modificar la escala, el formato de los números. Repetir luego el procedimiento con el eje y.

2.j. Ubicar el puntero del ratón sobre las líneas de división del eje x y con el botón derecho seleccionar la ventana del formato de líneas de división para modificar su formato. Repetir luego el procedimiento con el eje y.

2.k. Para agregar las líneas secundarias ubique el puntero del ratón sobre el área de trazado y con el botón derecho seleccionar la ventana de opciones de gráfico, allí ubicarse en la pestaña Líneas de División. Para modificar su formato repita el procedimiento del paso anterior pero ahora sobre las líneas secundarias.

2.l. En el caso de haber obtenido una curva aproximada a una línea recta el gráfico está listo.

POST – LABORATORIO

1. De acuerdo a los resultados obtenidos en el laboratorio, para cada caso halle la función de la grafica, utilizando el método de los mínimos cuadrados.

TIPO DE TENDENCIA ECUACIÓN

Anexar hoja con los cálculos.

2. Escoja un valor que se encuentre dentro del rango de datos, para cada caso, y halle su imagen utilizando la ecuación anterior, ubíquelo en la grafica correspondiente. (interpolación).

TIPO DE TENDENCIA ECUACIÓN VALOR (x) IMAGEN (y)

3. Escoja un valor que se encuentre fuera del rango de datos, para cada caso,

y halle su imagen utilizando la ecuación anterior, ubíquelo en la grafica correspondiente. (extrapolación).

TIPO DE TENDENCIA ECUACIÓN VALOR (x) IMAGEN (y)

4. Repetir pasos 2 y 3 utilizando la ecuación obtenida en Excel.

INTERPOLACIÓN TIPO DE TENDENCIA ECUACIÓN VALOR (x) IMAGEN (y)

EXTRAPOLACIÓN

TIPO DE TENDENCIA ECUACIÓN VALOR (x) IMAGEN (y)

5. ¿De acuerdo al desarrollo de la práctica de una opinión acerca del uso de

estas técnicas en su formación como profesional?