UNIVERSIDAD TECNOL

OGICA NACIONAL

FACULTAD REGIONAL ROSARIO

ANALISIS MATEMATICO IIPRACTICA

Autores

Mariana Perez

Pablo Sabatinelli

\ [

Directora de Catedra

Angelica Arnulfo

2015

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1. Funciones de varias variables

1. Indique el dominio de denicion para cada uno de los siguientes campos escalares y grafquelo.

a) f (x; y) =

p

x + 2y 4.

b) f (x; y) =

xy

2x

2

+2y

2

8

.

c) f (x; y) =

2

p

4x

2

+9y

2

36

.

d) f (x; y) =

3

x

2

+y

2

+1

.

e) f (x; y) = ln

[(16 x

2

y

2

) (x

2

+ y

2

4

)].

f ) f (x; y) =

1

p

1x

2

y

2

+

y x

2

.

g) f (x; y) = jx j+

arc sen

(

x

2

+y

2

)

y

.

h) f (x; y ; z) =

x

2

y

2

z

2

+ 1.

i) f (x; y ; z) =

x

2

y ln z

p

16+x

2

+y

2

z

.

j) f (x; y ; z) = arc sen x + arc sen y + arctan z .

2. Graque los siguientes campos escalares.

a) f (x; y) =

x

2

+ y

2

2

.

b) f (x; y) =

x

2

+ y

2

.

c) f (x; y) =

4 x

2

y

2

.

d) f (x; y) = 1 2x 3y .

e) f (x; y) = 4 3x .

f ) f (x; y) = x

2

.

3. Identique las curvas o supercies de nivel de cada uno de los siguientes campos escalares,

segun corresponda. Ademas indique el dominio y el conjunto imagen de cada campo escalar.

a) f (x; y) = x + y .

b) f (x; y) = x

2

+ y

2

.

c) f (x; y) =

x

2

16

+

y

2

4

.

d) f (x; y) = e

xy

.

e) f (x; y ; z) = (x 1)

2

+ (y 2)

2

+ (z + 3)

2

.

f ) f (x; y ; z) = x + y + z .

g) f (x; y ; z) = x

2

+

y

2

4

+ 8z

2

.

h) f (x; y ; z) = x

2

+ y z

2

.

4. Calcule los siguientes lmites o indique por que no existen.

a) lm

(x;y)!(1;2)

(3x

2

4xy + 2y

2

27

).

b) lm

(x;y)!(2;4)

x + 5y

2

8

x 4y

.

c) lm

(x;y)!(3;0)

6y

2

+ 2xy

2

x

2

+ y

4

+ 6x + 9

.

d) lm

(x;y)!(0;0)

(x

2

+ y

2

)sen (xy)

1

x

2

+ y

2

+ 1

.

e) lm

(x;y)!(0;0)

e

xy

sen (xy)

xy

.

f ) lm

(x;y)!(1;2)

(x + y + 3)

2

x

2

2x + y

2

+ 4y + 5

.

3

g) lm

(x;y)!(0;0)

xy ln

(x

2

+ y

2

).

h) lm

(x;y)!(0;0)

x y xy

x + y

.

i) lm

(x;y)!(0;0)

x

3

+ y

3

sen (x

2

+ y

2

)

.

5. Sea f (x; y) =

x

2

y

2

x

2

+ y

2

, si (x; y) , (0; 0). >Es posible denir f (0; 0) de manera que este

campo escalar resulte continuo en R2?

6. Sea f (x; y) =

sen

(x

2

+ y

2

)x

2

+ y

2

, si (x; y) , (0; 0). Dena si es posible f (0; 0), de manera que el

campo escalar f sea continuo en el origen.

7. Sea f (x; y) =

x

2

y

3

2x

2

+ 3y

2

, si (x; y) , (0; 0). Dena si es posible f (0; 0), de manera que el

campo escalar f sea continuo en el origen.

8. Determine el conjunto donde el campo escalar es continuo

a) f (x; y) =

2x2

y

2

2x

2

+y

2

(x; y) , (0; 0);

0 (x; y) = (0; 0):

b) f (x; y) =

sen(x2

+y

2

)

x

2

+y

2

(x; y) , (0; 0);

0 (x; y) = (0; 0):

c) f (x; y) =

x2

y

x

2

+y

2

sen xy (x; y) , (0; 0);

0 (x; y) = (0; 0):

d) f (x; y) =

x jy j

p

x

2

+y

2

(x; y) , (0; 0);

0 (x; y) = (0; 0):

e) f (x; y) =

x4

+2x

2

y

2

+3xy

3

(x

2

+y

2

)

2

(x; y) , (0; 0);

0 (x; y) = (0; 0):

4

2. Derivadas parciales

1. Calcule las derivadas parciales de primer orden de cada uno de los siguientes campos escalares.

a) f (x; y) = x

2

sen xy + y

2

cos xy .

b) f (x; y) = ln

(x

3

y + 2x

).

c) f (x; y) =

2xyx2+y2 ; x2 + y2 , 0;0 ; x = y = 0:

d) f (x; y) =

xy

p

x

2

+y

2

; x

2

+ y

2 , 0;

0 ; x = y = 0:

e) f (x; y ; z) =

x + y + z1 + x

2

+ y

2

+ z

2

.

f ) f (x; y ; z) = e

xyz

.

2. Compruebe que el campo escalar u(x; t) = exp

(

2

k

2

t

)sen (kx) es una solucion de la

ecuacion del calor

u

t

(x; t) =

2

u

xx

(x; t):

3. Calcule todas las derivadas parciales de segundo orden de cada uno de los siguientes campos

escalares.

a) f (x; y) = ln

(x

2

+ y

2

), (x; y) , (0; 0).

b) f (x; y) =

1

x

2

cos y

2

, x , 0.

c) f (x; y ; z) =

x

2

+ y

2

+ z

2

.

4. Sea

f (x; y) =

x3

yxy

3

x

2

+y

2

; (x; y) , (0; 0);

0 ; (x; y) = (0; 0):

a) Calcule f

x

y f

y

.

b) Demuestre que f

xy

(0; 0) , fyx

(0; 0).

c) Explique por que no se contradice el teorema de Clairaut.

5. Uno de los lados de un rectangulo es a = 10 cm, y el otro b = 24 cm. >Como variara la

medida de la diagonal d de este rectangulo si el lado a se alarga 4 mm y el lado b se acorta

1 mm?

6. La medida del largo, ancho y alto de una caja con tapa son 10, 15 y 20 cm, respectivamente,

con un error maximo en la medicion de 0:1 cm en cada medida. Utilice diferenciales para

estimar el maximo error que resulta de calcular el area total de la caja.

7. El rango de un proyectil disparado en el vaco con una velocidad inicial v

0

y un angulo de

inclinacion desde la horizontal es R =

1

32

v

2

0

sen (2). Utilice diferenciales para aproximar el

cambio del alcance si v

0

se incrementa de 400 pie/s a 410 pie/s y aumenta de 30

o

a 31

o

.

8. Una placa calentada de manera irregular tiene temperatura T (x; y) en

C en el punto (x; y).

Si T (2; 1) = 135, T

x

(2; 1) = 16 y T

y

(2; 1) = 15, estime la temperatura en el punto

(2:04; 0:97).

9. El volumen V (en cm

3

) de 1 mol de un gas ideal esta dado por

V =

82:06T

p

;

donde p es la presion (en atm) y T es la temperatura absoluta (en K). Aproxime el cambio

en el volumen cuando la presion aumenta de 5.0 a 5.2 atm y la temperatura aumenta de 300

a 310 K.

5

10. El radio de la base de un cono mide 10:20:1 cm, la generatriz mide 44:60:1 cm. Calcule

el volumen del cono e indica el error del calculo.

11. Un lado de un triangulo mide 2:4 m y aumenta con una velocidad de 10 cm/s. El segundo

lado mide 1:5 m y disminuye con una velocidad de 5 cm/s. El angulo formado por estos dos

lados mide 60

y aumenta con una velocidad de 2

/s. Determine la razon de cambio del area

del triangulo respecto del tiempo.

12. Halle la linealizacion local de la funcion f (x; y) = x

2

y en el punto (3; 1).

13. Verique la aproximacion lineal en (0; 0)

a)

2x + 3

4y + 1

3 + 2x 12y .

b)

y + cos

2

x 1 +

y

2

.

14. Para el campo escalar

f (x; y) =

x2

y

x

4

+y

2

si (x; y) , (0; 0),

0 si (x; y) = (0; 0).

verique la existencia de las derivadas parciales de primer orden en el origen de coorde-

nadas;

compruebe que el campo no es diferenciable en el origen de coordenadas.

15. Determine las derivadas de primer orden del campo escalar w compuesto con las funciones

x , y y z utilizando la regla de la cadena, si

w(x; y ; z) = x

2

+ y

2

+ z

2

; x(t) = e

t

cos t; y(t) = e

t

sen t; z(t) = e

t

:

16. Determine las derivadas de primer orden del campo escalar w compuesto con los campos

escalares x , y y z utilizando la regla de la cadena, si

w(x; y ; z) = ln

(x

2

+ y

2

+ z

2

); x(s; t) = s t; y(s; t) = s + t; z(s; t) = 2

p

st:

17. Sea H(x; y) = f (x + ay) + g(x ay), con a constante no nula, y H dos veces diferenciable.

Pruebe que la funcion H satisface la ecuacion

@

2

H

@x

2

1

a

2

@

2

H

@y

2

= 0:

.

18. Demuestre que el campo escalar z(x; y) =

(x

2

+ y

2

), donde es una funcion derivable,

satisface la ecuacion diferencial

yz

x

(x; y) xz

y

(x; y) = 0:

19. Demuestre que el campo escalar u(x; y) = sen x +F (sen y sen x), donde F es una funcion

derivable, satisface la ecuacion diferencial

u

y

(x; y) cos x + u

x

(x; y) cos y = cos x cos y :

20. Cada una de las siguientes ecuaciones dene implcitamente a y como funcion de x , es decir

y = y(x). Determine y

0

(x).

6

a) tan

p

xy = 1 + x

2

sec y .

b) y

5

+ x

2

y

3

= 1 + ye

x

2

.

21. Cada una de las siguientes ecuaciones dene implcitamente a z como funcion de x e y , es

decir z = z(x; y). Determine las derivadas parciales de primer orden de z .

a) yx

2

+ z

2

+ cos (xyz) = 4. b) y

p

z + x

3

= ln(x + 2z).

22. Calcule las derivadas direccionales de los siguientes campos escalares, en los puntos y direc-

ciones indicadas.

a) f (x; y) =

(x

2

+ y

2

)5

, punto P (1;1), direccion

#

i +

#

j .

b) f (x; y) = sen

2

(xy), punto P

(p

3;2

), en la direccion que forma un angulo de 60

con

el eje x .

c) f (x; y ; z) =

(x

y

)z

, punto P (1; 1; 1), direccion 2

#

i +

#

j

#

k .

d) f (x; y ; z) = e

x+y+z

, punto P (1;1; 1), direccion

#

i +

#

j +

#

k .

23. >En que direccion se anula la derivada direccional de f (x; y) = xy + y

2

en P (3; 2)?

24. Determine, si existe, un vector

#u de modo queD

#u

f (P ) = 14, siendo f (x; y) = x

2

3xy+4y

2

y P (1; 2).

25. La derivada de un campo escalar diferenciable f en el punto P (1; 2) en la direccion del vector

#v =

#

i +

#

j es 2

p

2 y en la direccion de

#w = 2

#

j es 3. >Cual es la derivada de f en la

direccion de

#u =

#

i 2

#

j ?

26. Suponga que escala una monta~na cuya forma la da la ecuacion z = 10000:005x

2

0:01y

2

,

donde x , y y z se dan en metros y usted esta parado en un punto cuyas coordenadas son

(60; 40; 966). El eje de las X positivas va hacia el este y el de las Y positivas va hacia el

norte.

a) Si camina directo hacia el sur, >empezara a ascender o a descender?

b) Si camina hacia hacia el noroeste, >empezara a ascender o a descender?

c) >En que direccion es la maxima pendiente? >Cual es la razon de cambio en esa direccion?

27. Encuentre todos los puntos en los cuales la direccion del cambio mas rapido de la funcion

f (x; y) = x

2

+ y

2

2x 4y es

#

i +

#

j .

28. Demuestre que todas las piramides formadas por los planos coordenados y un plano tangente

a la supercie de ecuacion xyz = a

3

tienen el mismo volumen. >Cual es ese volumen?

29. Demuestre que cualquier recta normal a una esfera contiene a su centro.

30. Las supercies de ecuaciones x

2

y

2

+2x + z

3

= 16 y 3x

2

+ y

2

2z = 9 se intersecan en una

curva en el espacio.

a) Demuestre que la curva contiene al punto P (2; 1; 2).

b) Halle las ecuaciones de los respectivos planos tangentes a las dos supercies en P .

31. Demuestre que la esfera de ecuacion x

2

+ y

2

+ z

2

4y 2z + 2 = 0 es perpendicular al

paraboloide de ecuacion 3x

2

+ 2y

2

2z = 1 en el punto de coordenadas (1; 1; 2).

32. Determine todos los puntos del elipsoide de ecuacion x

2

+2y

2

+4z

2

4x +2y = 5 para los

cuales el plano tangente a la supercie resulten paralelos al plano de ecuacion x + y + z = 1.

7

3. Extremos

1. Halle los puntos crticos de cada uno de los siguientes campos escalares y clasifquelos.

a) z(x; y) = 2x

3

+ xy

2

+ 5x

2

+ y

2

.

b) f (x; y) = 2y

4

+ x

4

+ y

2

.

c) g(x; y) = e

2x

(x + y

2

+ 2y

).

d) f (x; y) = e

x

cos y .

e) f (x; y) = x sen y .

2. Halle las coordenadas del punto que pertenece al plano de ecuacion x + y 2z = 0 para el

cual la suma de los cuadrados de las distancias que median entre el y los puntos A(1; 1; 1) y

B(2; 3; 4) sea la menor posible.

3. Demuestre que para los angulos positivos , y tales que ++ = =2 se verica que

sen sen sen

1

8

:

4. Calcule el valor maximo de f (x; y) = 4xy con x > 0, y > 0, sujeta a la restriccion 16x

2

+

9y

2

= 144.

5.

6. De todos los prismas rectangulares que tienen la diagonal dada, halle el que tenga el mayor

volumen posible.

7. La interseccion del plano de ecuacion x+y+2z = 2 con la supercie de ecuacion z = x

2

+y

2

es una elipse. Encuentre los puntos de dicha elipse que estan mas cercanos y mas alejados

del origen.

8. Sea T (x; y ; z) = 20+2x +2y + z

2

la temperatura en cada punto de la esfera x

2

+ y

2

+ z

2

=

11. Halle las temperaturas extremas sobre la curva interseccion de la esfera con el plano

x + y + z = 3.

9. Halle el volumen mnimo del solido limitado por los planos de ecuacion x = 0, y = 0, z = 0

y por un plano tangente al elipsoide de ecuacion

x

2

9

+

y

2

25

+

z

2

36

= 1;

en el primer octante.

10. Determine los extremos absolutos de los siguientes campos escalares sobre las regiones que

en cada caso se indican.

a) f (x; y) = x

2

x +4y

2

+2y en la region acotada por las rectas y = x , y = x y y = 2.

b) f (x; y) = 1 + xy x y en la region acotada por la parabola y = x

2

y la recta y = 4.

c) f (x; y) = e

xy

en la region limitada por la curva de ecuacion x

2

+ 4y

2

= 1.

d) z(x; y) = e

x

2

y

2

(2x

2

+ 3y

2

)en el crculo x

2

+ y

2

4.

8

4. Funciones vectoriales

1. Graque la curva representada por la funcion vectorial, indicando su orientacion.

a)

#r (t) = 3t

#

i + (t 1)

#

j .

b)

#r (t) = 2 cos t

#

i + 2 sen t

#

j .

c)

#r (t) = t

#

i + t

2

#

j .

d)

#r (t) = t

#

i +

1

t

#

j .

e)

#r (t) = cos t

#

i + sen t

#

j + t

#

k .

f )

#r (t) = cos t

#

i + sen t

#

j + 4

#

k .

g)

#r (t) =

#

i + 2 sen t

#

j + 2cos t

#

k .

2. Para las curvas del apartado 1a y 1g calcule

#r

0

(0).

3. Calcule la longitud de arco descripta en cada caso por la funcion vectorial dada y en el

intervalo indicado.

a)

#r (t) = 2t

#

i + 3 sen t

#

j + 3cos t

#

k , t 2 [0; ].

b)

#r (t) = t

2

#

i + 2t

#

j + ln t

#

k , t 2 [1; e].

4. Demuestre que si el modulo j

#r j de la funcion vectorial

#r (t) es constante para todos los

valores de t, entonces

#r

0

(t)?

#r (t). >Cual es la interpretacion geometrica de esto? >Se

verica el recproco de este resultado?

5. Determine ecuaciones para la recta tangente a cada una de las siguientes curvas en los puntos

indicados.

a)

#r (t) =

(t

4

4

;

t

3

3

;

t

2

2

), en

(1

4

;

1

3

;

1

2

).

b)

#r () =

(a cos; a sen;

k

2

), en

(a

p

2

;

a

p

2

;

k

8

).

9

5. Integrales multiples

1. Calcule las siguientes integrales dobles mediante integracion reiterada.

a)

"R

xy

(x

2

y

2

)dx dy , R = [0; 1] [0; 1].

b)

"R

sen

2

(x + y) dx dy , R = [0; ] [0; ].

c)

"R

(x

p

y ye

x+y

)dx dy , R = [1; 1] [0; 1].

2. En cada uno de los siguientes casos, escriba la integral en los dos ordenes posibles de inte-

gracion y calcule en el que resulte mas conveniente.

a)

"D

xy dA, D: es el rectangulo con vertices (0; 0), (0; 5), (3; 5) y (3; 0).

b)

"D

y

x

2

+ y

2

dA, D: es el triangulo limitado por y = x , y = 2x , x = 2.

c)

"D

y

1 + x

2

dA, D: es la region limitada por y = 0, y =

p

x , x = 4.

3. Sea f el campo escalar denido sobre el cuadrado R = [0; 1] [0; 1], segun se indica en cada

caso. Calcule

!R

f (x; y) dA.

a) f (x; y) =

1 x y si x + y 1,0 en los restantes puntos de R.

b) f (x; y) =

x + y si x2 y 2x2,0 en los restantes puntos de R.

4. Calcule el volumen de los solidos que se indican en cada uno de los siguientes casos.

a) La piramide limitada por los tres planos coordenados y por el plano 10x+y+2z10 = 0.

b) El solido limitado por el plano z = 0 y por el paraboloide z = 2 x

2

y

2

.

c) El solido limitado por el plano z = 0, z = y

2

, x = 0, x = 2, y = 0, y = 4.

5. Al calcular por doble integracion el volumen V del solido limitado superiormente por la su-

percie de ecuacion z = f (x; y), con f (x; y) 0 e inferiormente por una cierta region S del

plano xy , se ha obtenido la formula

V =

2

1

x

3

x

f (x; y) dy dx +

8

2

8

x

f (x; y) dy dx:

Represente la region S y exprese V mediante una integracion reiterada con el orden de

integracion invertido.

6. Halle la masa, centro de masa y momentos de inercia respecto de los ejes coordenados de una

lamina triangular de vertices (0; 1), (0; 3) y (2; 3), si la funcion de densidad es (x; y) = 2x+y .

7. Una lamina plana tiene la forma de un cuarto de crculo de radio a en el primer cuadrante. La

densidad en cada punto de la lamina es proporcional a la distancia al origen de coordenadas.

Determine la masa de la lamina y el centroide.

8. Se da una region plana S por las curvas que la limitan. Halle en cada caso, la masa, las

coordenadas del centro de gravedad de S y los momentos de inercia respecto de los ejes

coordenados.

10

a) y

2

= 2x + 5, y

2

= 14 x . La densidad es (x; y) = y

2

+ 1.

b) y =

p

2x , y = 0, con 0 x 2, La densidad es (x; y) = jx y j.

9. Combine la suma de las dos integrales dobles en una unica integral doble, utilizando coorde-

nadas polares, y calcule.

a)

2

0

x

0

x

2

+ y

2

dy dx +

2

p

2

2

p8x

2

0

x

2

+ y

2

dy dx .

b)

5

p

2=2

0

x

0

xy dy dx +

5

5

p

2=2

p25x

2

0

xy dy dx .

10. Calcule el volumen del solido limitado por las gracas que en cada caso se indican.

a) z = xy , x

2

+ y

2

= 1, en el primer octante.

b) y = x

2

+ z

2

+ 1, y = 0, x

2

+ z

2

= 4.

c) x =

z

2

+ y

2

, x = 0, z

2

+ y

2

4, z

2

+ y

2

16.

11. Calcule a de modo que el volumen interior al hemisferio z =

16 x

2

y

2

y exterior al

cilindro x

2

+ y

2

= a

2

sea la mitad del volumen interior al hemisferio.

12. Utilice integrales dobles para calcular el volumen de una esfera de radio a.

13. Calcule las siguientes integrales triples.

a)

$E

(x + y + z) dV , donde E = f(x; y ; z) : x 2 [0; 2]; y 2 [3; 3]; z 2 [; 2]g.

b)

$E

xy

2

z

3

dx dy dz , siendo E el solido del semiespacio z 0 limitado por la supercie

z = xy y por los planos x y = 0, x 1 = 0, y = 0.

c)

$E

(1 + x + y + z)

3

dx dy dz , siendo E el tetraedro denido por los tres planos

coordenados y por el plano x + y + z 1 = 0.

d)

$E

x

2

+ y

2

dx dy dz , siendo E el solido limitado por la hoja superior del cono

z

2

= x

2

+ y

2

y el plano z = 1.

14. Utilice una integral triple para determinar:

a) El volumen del solido limitado por los paraboloides de ecuaciones z = x

2

+ y

2

y z =

18 x

2

y

2

.

b) El centro de masa del solido limitado por x

2

+ y

2

+ z

2

25, con z 0. Suponer

(x; y ; z) = 1.

c) El momento de inercia respecto de los ejes coordenados del solido acotado por x+y+z =

1 en el primer octante. Suponer (x; y ; z) = 1.

15. Calcule las siguientes integrales triples, usando coordenadas cilndricas.

a)

$E

(x

2

+ y

2

)dx dy dz , siendo E el solido limitado por el paraboloide z =

1

2

(x

2

+ y

2

),

y por el plano z 2 = 0.

b)

$E

xx

2

+ y

2

dx dy dz , siendo E el cilindro de ecuacion x

2

+ y

2

= 4 acotado por el

plano de ecuacion z

4

, en el primer octante.

11

16. Calcule las siguientes integrales triples, usando coordenadas esfericas.

a)

1

0

p1x

2

0

p1x

2

y

2

0

x

2

+ y

2

+ z

2

dz dy dx .

b)

$E

z dx dy dz , siendo E el solido limitado superiormente por la supercie x

2

+ y

2

+

z

2

= 2az (a > 0) e inferiormente por z

2

= x

2

+ y

2

.

17. Calcule el volumen del solido que se dene en cada uno de los siguientes casos.

a) el solido limitado por el paraboloide de z =

1

4

(x

2

+ y

2

)y por el hemisferio superior de

la supercie esferica x

2

+ y

2

+ z

2

= 5.

b) el solido limitado por el plano z = 0, por el cilindro x

2

+ y

2

2x = 0 y por la hoja

superior del cono z

2

= x

2

+ y

2

.

c) el solido limitado por los tres planos coordenados, por el paraboloide z = x

2

+ y

2

, y por

el plano x + y 1 = 0.

18. Calcule las siguientes integrales pasando a coordenadas cilndricas o esfericas segun convenga.

a)

2

2

p4x

2

p

4x

2

4

x

2

+y

2

x dz dy dx .

b)

2

0

p4x

2

0

p16x

2

y

2

0

x

2

+ y

2

dz dy dx .

19. Un cilindro solido homogeneo tiene masa m y radio a. Muestre que su momento de inercia

con respecto a su eje de simetra es ma

2

=2.

12

6. Integrales de lnea y aplicaciones

1. Calcule las siguientes integrales de lnea respecto a la longitud de arco.

a)

C

(x + y) ds, siendo C el contorno del triangulo con vertices (0; 0), (1; 0) y (0; 1),

recorrido en sentido antihorario.

b)

C

(x

2

+ y

2

)ds, siendo C el camino descripto por

#(t) = (a cos t + at sen t; a sen t at cos t),

0 t 2.

c)

C

(2x + y) ds, siendo C el arco de circunferencia x

2

+ y

2

= 25, recorrido desde el

punto (3; 4) hacia el punto (4; 3).

2. Calcule el area de un lado del \biombo" cuya base es la curva C de ecuacion

#r (t) =

(t

3

; t

)con t 2 [0; 1] y cuya altura en cada punto (x; y) es f (x; y) = x .

3. Se quiere pintar los dos lados de una cerca cuya base esta en el plano xy , con la forma

x = 30 cos

3

t, y = 30 sen

3

t, con t 2

[0;

2

]y cuya altura en cada punto (x; y) es h(x; y) =

1 + y=3. Determine el area a pintar.

4. Calcule la longitud del arco de curva de ecuacion

#r (t) = (2t; 3 sen t; 3 cos t) con t 2 [0; =2].

5. Halle la masa, el centro de gravedad y los momentos de inercia respecto de los ejes coorde-

nados del trozo de alambre helicoidal descripto por

#(t) = (cos t; sen t; t), 0 t 2, si la

densidad en cada punto (x; y ; z) es d(x; y ; z) = x

2

+ y

2

+ z

2

.

6. En cada caso, calcular la integral de lnea del campo vectorial dado a lo largo del camino que

se indica.

a)

#

F (x; y) =

(x

2

y ; y

2

x

), a lo largo de la parabola y = x

2

desde (1; 1) hasta (1; 1).

b)

#

F (x; y) = (x + y ; x y), a lo largo de la elipse

x

2

4

+

y

2

16

= 1 recorrida en sentido

antihorario.

c)

#

F (x; y ; z) = (yz; xz; xy), a lo largo de la trayectoria que resulta de la interseccion del

paraboloide z = x

2

+ y

2

con el plano z = 4, recorrida en el sentido que se desee.

7. Calcule las siguientes integrales de lnea.

a)

C

(x + y) dx (x y) dy

x

2

+ y

2

, siendo C la circunferencia x

2

+y

2

= 25 recorrida en sentido

antihorario.

b)

C

y dx + z dy + x dz , siendo C la curva de interseccion del hemisferio superior de la

esfera x

2

+ y

2

+ z

2

= 4 con el cilindro x

2

+ y

2

= 1, recorrida en sentido antihorario.

8. Calcule el trabajo realizado por el campo de fuerzas

#

F (x; y ; z) =

(3x

2

6yz; 2y + 3xz; 1 4xyz

2

);

al mover una partcula a lo largo de la siguiente trayectoria

a) el segmento que va desde (0; 0; 0) hacia (1; 1; 1).

b) la poligonal que tiene los siguientes vertices consecutivos: (0; 0; 0), (1; 0; 0), (1; 1; 0) y

(1; 1; 1) desde (0; 0; 0) hacia (1; 1; 1).

13

9. El trabajo realizado por el campo de fuerzas

#

F (x; y) =

(3y

2

+ 2; 16x

), al mover una partcula

desde (1; 0) hacia (1; 0), siguiendo la mitad superior de la elipse x

2

+

y

2

b

2

= 1, depende de

b. Determine b para que el trabajo sea mnimo.

10. En cada uno de los siguientes casos muestre que el campo vectorial dado es gradiente de un

campo escalar en todo su dominio, y determine una funcion potencial.

a)

#

F (x; y) = (x; y).

b)

#

F (x; y) =

(x

2

y

2

;2xy

).

c)

#

F (x; y ; z) = (x + z;y z; x y).

d)

#

F (x; y ; z) =

(1

4

z

4

+ y

2

cos x;4 + 2y sen x; 2 + xz

3

).

11. a) Pruebe que el campo vectorial

#

F (x; y) = (ye

xy

; xe

xy

) es un gradiente y halle la funcion

potencial que en (0; 0) asume el valor 1.

b) Demuestre que el campo de fuerzas

#

F (x; y ; z) = (yz; xz; xy) es conservativo, y halle

la funcion potencial que en (1;2; 3) toma el valor 0.

12. Calcule, en cada caso, la integral de lnea.

a)

C

2x sen y dx +

(x

2

cos y 3y

2

)dy , donde C es la curva de ecuacion y = x

2

1,

desde (1; 0) hasta el punto (5; 24).

b)

C

x

2

dx + xy dy , donde C es la graca de

#r (t) = t

#

i + t

2

#

j , t 2 [0; 1].

c)

C

(e

y

+ ye

x

) dx+(e

x

+ xe

y

) dy , donde C es el segmento de recta desde (0; 0) hasta

el punto (1;1).

13. Aplique el teorema de Green para evaluar la integral de lnea sobre la curva C.

a)

#

F (x; y) =

(x

2

y

2

; xy

), C es la frontera de la region acotada por la recta y = x y por

la parabola y = x

2

.

b)

#

F (x; y) =

(y

2

; 2x 3y

), C es la frontera de la region acotada por la circunferencia de

ecuacion x

2

+ y

2

= 9.

14. Utilice el teorema de Green para calcular el trabajo realizado por una fuerza

#

F para mover

una partcula a lo largo de la curva descripta por C.

a)

#

F (x; y) =

(3x

2

+ y ; 4xy

2

), C es la frontera de la region limitada por las gracas de

y =

p

x , y = 0, x = 1.

b)

#

F (x; y) =

(x

3

2

3y ; 6x + 5

p

y

), C es la frontera del triangulo de vertices (0; 0), (5; 0)

y (0; 5).

15. Utilice el teorema de Green para calcular el area de la region limitada por la curva C.

a) C es la frontera de la region limitada por la graca de la funcion vectorial

#r (t) =(cos

3

t; sen

3

t

), t 2 [0; 2].

b) C es la frontera de la region limitada por la graca de la funcion vectorial

#r (t) =(cos t; sen

3

t

), t 2 [0; 2].

16. Sean U y V dos campos escalares diferenciables denidos en un conjunto abierto que con-

tiene al disco R de ecuacion x

2

+ y

2

1. Sean

#

F (x; y) = (V (x; y); U(x; y)) y

#

G(x; y) =

(U

x

(x; y) U

y

(x; y); V

x

(x; y) V

y

(x; y)). Calcule el valor de

!R

#

F

#

G dA, sabiendo que so-

bre la frontera de R, U(x; y) = 1 y V (x; y) = y .

14

7. Integrales de supercie

1. Para cada una de las supercies determine la ecuacion del plano tangente en el punto P

0

dado.

a)

#r (u; v) = 2u cos v

#

i + u

2

#

j + 3u sen v

#

k , (u; v) 2 R2. P0

#r

(1;

6

).

b)

#r (u; v) = sen u cos v

#

i + 3 sen u sen v

#

j + 4cos u

#

k , (u; v) 2 R2. P0

#r

(

4

; 0

).

c)

#r (u; v) = u cos v

#

i + u sen v

#

j + u

3

#

k , (u; v) 2 R2. P0

= (x

0

; 1; 1).

2. Calcule el area de la porcion del plano x + y + z = 1, cortado por la supercie cilndrica

x

2

+ y

2

= 1.

3. Determine el area de la semiesfera x

2

+ y

2

+ z

2

= 16, z 0 comun al cilindro x

2

+ y

2

4y .

4. Halle el area del trozo de supercie z = 2 (x + y) que se proyecta en el primer cuadrante del

plano xy , limitada por los planos x = 2, y = 1.

5. Calcule las integrales de supercie que en cada caso se indican

a)

"S

xy dS, donde S es la region plana determinada por los vertices (1; 0; 0), (0; 2; 0) y

(0; 0; 3).

b)

"S

(y

2

+ z

2

)dS, donde S es la parte del paraboloide de ecuacion x = 4 y

2

z

2

frente al plano de ecuacion x = 0.

c)

"S

z

(x

2

+ y

2

)dS, donde S es el helicoide de ecuacion

#r (u; v) = (u cos v ; u sen v ; v),

u 2 [0; 1], v 2 [0; ].

6. Calcule el momento de inercia respecto del eje x de la porcion de supercie conica homogenea

z =

x

2

+ y

2

, limitada por los planos z = 1, z = 2.

7. Calcule la masa y el momento de inercia respecto del eje z de la supercie conica z =

3

x

2

+ y

2

, z 2 [0; 4], si la densidad supercial es (x; y ; z) = 10 z .

8. Halle las coordenadas del baricentro de la porcion de supercie esferica homogenea x

2

+y

2

+

z

2

= a

2

, situada en el primer octante.

9. Sea S el hemisferio superior de la esfera x

2

+y

2

+z

2

= 1 y sea

#

F (x; y ; z) = (x; y ; 0). Calcule

el ujo de

#

F a traves de S.

10. Un uido tiene densidad de ujo

#

F (x; y ; z) = (x;2x y ; z). Calcule la masa que atraviesa

en la unidad de tiempo a la porcion de supercie esferica x

2

+ y

2

+ z

2

= a

2

con x 0.

11. Utilice el teorema de Stokes para calcular el trabajo realizado por el campo de fuerzas

#

F (x; y ; z) = (3y ;2x; 4z) al trasladar una partcula por la circunferencia que resulta de

la interseccion de las supercies x

2

+ y

2

= 9, z = 4.

12. Halle el trabajo realizado por el campo vectorial

#

F (x; y ; z) = (y + z; 2 + x; x + y) a lo largo

de la curva interseccion de la esfera de ecuacion x

2

+ y

2

+ z

2

= 25 y el plano de ecuacion

4x 3y = 0, desde el punto A(3; 4; 0) al punto B(0; 0; 5).

13. En los siguientes ejercicios, calcule

!S

(rot

#

F

)

#n dS mediante una integral de lnea utilizando

el teorema de Stokes

15

a)

#

F (x; y ; z) =

(y

2

; xy ; xz

), donde S es el hemisferio x

2

+ y

2

+ z

2

= 1, z 0,

#n normal

unitario con componente tercera componente negativa.

b)

#

F (x; y ; z) = (y z)

#

i + yz

#

j + (xz)

#

k , donde S consta de las cinco caras del cubo

0 x 2, 0 y 2; 0 z 2, no situadas en el plano z = 0, siendo

#n normal

exterior.

14. Calcule el rotor y la divergencia de cada uno de los siguientes campos vectoriales.

a)

#

F (x; y ; z) =

(x

2

+ yz; y

2

+ xz; z

2

+ xy

).

b)

#

F (x; y ; z) = (2x 3y ; 3x z; y 2x).

c)

#

F (x; y ; z) =

(e

xy

; cos xy ; cos xz

2

).

15. Investigue si existe algun campo vectorial

#

F tal que rot

#

F = (x; y ; z).

16. Encuentre un campo vectorial cuyo rotor sea (x;2y ; z).

17. Halle de modo que el campo vectorial

#

F (x; y ; z) = (x + 3y ; y 2z; x + z) resulte sole-

noidal (divergencia nula).

18. Verique el teorema de la divergencia (Gauss) en los campos siguientes.

a)

#

F (x; y ; z) =

(x

2

; y

2

; z

2

), S: supercie del cubo unitario 0 x 1, 0 y 1,

0 z 1.

b)

#

F (x; y ; z) = (2x;3y ; z), S: frontera de la region limitada por las supercies de ecua-

ciones x

2

+ y

2

= 1, z = 0, z = x + 2, respectivamente.

19. Evalue

"S

xz

2

dy dz +

(x

2

y z

3

)dx dz +

(2xy + y

2

z

)dx dy , donde S es la semiesfera

z =

1 x

2

y

2

.

20. Calcule el ujo saliente del campo

#

F (x; y ; z) =

x

(x

2

+ y

2

+ z

2

)

3

2

#

i +

y

(x

2

+ y

2

+ z

2

)

3

2

#

j +

z

(x

2

+ y

2

+ z

2

)

3

2

#

k

a traves del elipsoide 4x

2

+ 9y

2

+ 6z

2

= 36.

21. Evalue

!S

rot

#

F d

#

S donde

#

F (x; y ; z) =

(x

2

yz; yz

2

; z

3

e

xy

)y S es la parte de la esfera

x

2

+ y

2

+ z

2

= 5 que esta encima del plano z = 1 y esta orientada hacia afuera.

22. Calcule

!S

#

F d

#

S donde

#

F (x; y ; z) =

(x

3

; y

3

; z

3

)y S es la supercie del solido acotado por

el cilindro x

2

+ y

2

= 1 y los planos z = 0 y z = 2.

23. Calcule

C

#

F

#

T ds, donde C es la elipse en la que el plano z = y interseca al cilindro

x

2

+ y

2

= 2y , orientada positivamente y

#

F (x; y ; z) =

(y

2

; z

2

; x

2

).

24. Sea

#

F (x; y ; z) = (y ; z; xz), calcule

@

#

F d

#

S donde es el solido x

2

+ y

2

z 1.

25. Calcule el ujo del campo vectorial

#

F (x; y ; z) =

(xy

2

; yz; zx

2

)a traves de la supecie del

solido que esta entre los cilindros de ecuaciones x

2

+ y

2

= 1, x

2

+ y

2

= 4 y los planos de

ecuacion z = 1 y z = 3.

26. Calcule el ujo del campo vectorial

#

F (x; y ; z) =

(z

2

x;

1

3

y

3

+ tan z; x

2

z + y

2

)a traves de la

mitad superior de la esfera de ecuacion x

2

+ y

2

+ z

2

= 1.

16

8. Ecuaciones diferenciales

1. Determine una ecuacion diferencial, de menor orden posible, que admita por solucion la

siguiente familia de funciones.

a) y = x + C sen

2

x .

b) x

3

(C x)y

5

= 0.

c) y = C

1

x + C

2

log x .

d) y = C

1

x + C

2

xe

x

.

2. Integre las siguientes ecuaciones diferenciales a variables separables y obtenga la solucion que

verique la condicion inicial dada.

a) y

0

= 2(y 1)x; y(0) = 3.

b) y

0

= (y 1)(y + 3); y(2) = 2.

c) tan x cos y = y

0

tan y ; y() = =3.

3. Integre las siguientes ecuaciones diferenciales homogeneas.

a) y

0

=

x

2

+ 2y

2

xy

.

b) xy

2

+ x

3

+ x

3

y

0

= 0.

c) 1 +

(y

x

)2

2

y

x

y

0

= 0.

4. Integre las siguientes ecuaciones diferenciales lineales.

a) y

0

+ y = xe

x

.

b) y

0

2xy = e

x

2

.

c) x

(1 + x

2

)y

0

2x

2

y = 1.

d) y

0

1

x

y = x

2

.

5. Convierta la ecuacion diferencial xy

0

2y =

p

y a lineal mediante la sustitucion z = y

1=2

y resuelvala.

6. Integre las siguientes ecuaciones diferenciales totales exactas.

a)

(3x

2

+ 6xy

2

)dx +

(6x

2

y + y

3

)dy = 0.

b) (cos y + y cos x) dx + (sen x x sen y) dy = 0.

c) 4x

3

y

3

2xy +

(3x

4

y

2

x

2

)y

0

= 0.

d) y dx + x dy = 0.

7. Integre las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden.

a) xy

0

y +

x

2

+ y

2

= 0.

b) y

0

+ y tan x sen 2x = 0.

c) xy

0

2y x

5

= 0.

d) y

0

e

y

sen x + (1 + e

y

) cos x = 0.

e) y

0

y

x

tan

y

x

= 0.

f ) xy

0

y +

1

2

4y

2

9x

2

= 0.

g) x

2

y

0

+ y

2

xy x

2

= 0.

h) x(x + 1)y

0

+ y x(x + 1)

2

e

x

2

= 0.

i) xy

0

y

x

2

+ y

2

= 0.

j)

(x

2

4

)y

0

y = 0.

k) e

x

+ y + y

0

= 0.

8. Integre las siguientes ecuaciones diferenciales lineales homogeneas a coecientes constantes.

17

a) y

00

+ 7y

0

+ 12y = 0.

b) y

00

+ 2y

0

+ 5y = 0.

c) y

00

4y

0

+ 4y = 0.

d) 4y

00

+ 3y

0

y = 0.

e) y

00

+ 6y

0

+ 9y = 0.

f ) 25y

00

+ 20y

0

+ 4y = 0.

g) y

00

+ 4y = 0.

9. Resuelva los siguientes problemas de Cauchy.

a)

y 00 + 4y = 0;y(0) = y

0

(0) = 0:

b)

y 00 + 2y 0 + y = 0;y(2) = 1 ; y

0

(2) = 2:

10. Obtenga la solucion general de cada una de la siguientes ecuaciones diferenciales lineales.

a) y

00

9y = 1 + 3e

2x

.

b) y

00

+ 16y = 5x

2

+ x +

1

2

.

c) y

00

+ 9y = 2x

2

4x + 2.

d) y

00

2y

0

+ y = x

2

e

x

6e

x

.

e) y

00

+ 2y

0

3y = 2e

x

10 sen x .

f ) y

00

2y

0

3y = 4x cos x .

g) y

00

2y

0

= e

x

sen x .

h) y

00

+ 4y

0

+ 4y = 3x(1 + x)e

2x

.

i) y

00

+ 2y

0

+ 2y = 30e

x

sen x .

11. Resuelva los siguientes problemas de valores iniciales.

a)

y 00 + y = 1cos x ;y(0) = 0 = y

0

(0):

b)

y 00 + 4y = x2 sen 2x;y(0) = 2 ; y

0

(0) = 1:

c)

y 00 6y 0 + 9y = x2e3x ;y(1) = 0 ; y

0

(1) = 2e

3

:

12. En un tanque que contiene 1000 l de agua, inicialmente se disuelven 5 kg de sal. Luego se

bombea salmuera al tanque a razon de 20 l/min y la solucion uniformemente mezclada se

bombea hacia afuera del tanque a la misma razon. Considerando que la concentracion de la

solucion que entra es de 0.01 kg/l, determine:

a) La cantidad de sal que hay en el tanque en cualquier instante t 0.

b) La cantidad de sal en el tanque despues de 30 min.

c) El tiempo que debe transcurrir para que haya 8 kg de sal en el tanque.

13. Un polica descubre el cuerpo de un millonario. Para resolver el crimen es decisivo determinar

cuando se cometio el homicidio. El forense llega al medio da y de inmediato observa que la

temperatura del cuerpo es de 35

C. Espera una hora y observa que la temperatura del cuerpo

ha disminuido a 34

C. Asimismo, observa que la temperatura de la habitacion es constante

a 21

C. Suponiendo que la vctima estaba a temperatura normal (36

C) en el momento de

su fallecimiento, >a que hora se cometio el crimen?

14. Un objeto que tiene una temperatura de 10

C se coloca a las 10:00 horas en un horno que se

mantiene a 190

C. A las 11:15 horas su temperatura era 55

C. >A que hora estara el objeto

a 70

C?

15. Se deja caer un objeto de 5 kg de masa desde un helicoptero. Halle su velocidad en funcion

del tiempo t, suponiendo que la resistencia debida al aire es proporcional a la velocidad del

objeto.

18

Funciones de varias variables

1. a)

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5 6x

y Af = {(x, y) R2 : x+ 2y 4 0}

b)

1

2

3

1

2

3

1 2 3123 x

yAf = {(x, y) R2 : x2 + y2 6= 4}

c)

1

2

3

4

1

2

3

4

1 2 3 41234 x

y

Af = {(x, y) R2 : 4x2 + 9y2 > 36}

d)

1

2

3

4

1

2

3

4

1 2 3 41234 x

y

Af = R2

e)

1

2

3

4

1

2

3

4

1 2 3 41234 x

yAf = {(x, y) R2 : 4 < x2 + y2 < 16}

f )

1

1

11 x

y

Af =

{(x, y) R2 : x2 y 0 circunferencias de centro (0; 0) y radio

p

k . Para k = 0 el punto (0; 0).

Para k < 0, ;. A

f

= R2. If

= [0;+1) .

c) Para k > 0 elipses de centro (0; 0) y semiejes 4

p

k y 2

p

k . Para k = 0 el punto (0; 0).

Para k < 0, ;. A

f

= R2. If

= [0;+1) .

d) Para k = 1 los ejes coordenados. Para k > 0, y k , 1, hiperbolas equilateras de ecuacionxy = ln k . Para k 0, ;. A

f

= R2. If

= R+.

e) Para k > 0 esfera de centro (1; 2;3) y radio

p

k . Para k = 0 el punto (1; 2;3). Para

k < 0, ;. A

f

= R3. If

= [0;+1) .

f ) Planos de vector normal (1; 1; 1) y que contiene cada uno de ellos al punto (0; 0; k),

8k 2 R. Af

= R3. If

= R.

g) Para k > 0 elipsoide de centro (0; 0; 0) y semiejes

p

k , 2

p

k y

k

8

. Para k = 0 el punto

(0; 0; 0). Para k < 0, ;. A

f

= R3. If

= [0;+1) .

h) Paraboide hiperbolico con vertice (0; k; 0) y cuyo eje coincide con el eje y , 8k . A

f

= R3.I

f

= R.

4. a) 8.

b)

37

7

.

c) No existe.

d) 0.

e) 1.

f ) No existe.

g) 0.

h) No existe.

i) 0.

5. No.

6. f (0; 0) = 1.

7. S. f (0; 0) = 0.

8. a) R2 f(0; 0)g.

b) R2 f(0; 0)g.

c) R2.

d) R2.

e) R2 f(0; 0)g.

20

Derivadas parciales

1. a) f

x

(x; y) = x

2

y cos(xy)+

(2x y

3

)sen(xy). f

y

(x; y) =

(x

3

+ 2y

)cos(xy)xy

2

sen(xy).

b) f

x

(x; y) =

3x

2

y+2

x

3

y+2x

. f

y

(x; y) =

x

2

x

2

y+2

.

c) f

x

(x; y) =

2y

(

y

2

x

2

)

(x

2

+y

2

)

2

si (x; y) , (0; 0),

0 si (x; y) = (0; 0).

f

y

(x; y) =

2x

(

x

2

y

2

)

(x

2

+y

2

)

2

si (x; y) , (0; 0),

0 si (x; y) = (0; 0).

d) f

x

(x; y) =

y3

(x

2

+y

2

)

3=2

si (x; y) , (0; 0),

0 si (x; y) = (0; 0).

f

y

(x; y) =

x3

(x

2

+y

2

)

3=2

si (x; y) , (0; 0),

0 si (x; y) = (0; 0).

e) f

x

(x; y ; z) =

x(y+z)+y

2

+z

2

+1

(x

2

+y

2

+z

2

+1)

3=2

. f

y

(x; y ; z) =

x

2

xyyz+z

2

+1

(x

2

+y

2

+z

2

+1)

3=2

. f

z

(x; y ; z) =

x

2

xz+y

2

yz+1

(x

2

+y

2

+z

2

+1)

3=2

.

f ) f

x

(x; y ; z) = yze

xyz

. f

y

(x; y ; z) = xze

xyz

. f

z

(x; y ; z) = xye

xyz

.

2. u

xx

(x; t) = k

2

(e

2

(

k

2

)

t

)sen(kx). u

t

(x; t) =

2

k

2

(e

2

(

k

2

)

t

)sen(kx). Luego u

t

(x; t) =

2

u

xx

(x; t).

3. a) f

xx

(x; y) =

2

(

x

2

y

2

)

(x

2

+y

2

)

2

. f

xy

(x; y) = f

yx

(x; y) =

4xy

(x

2

+y

2

)

2

. f

yy

(x; y) =

2

(

x

2

y

2

)

(x

2

+y

2

)

2

.

b) f

xx

(x; y) =

6 cos

(

y

2

)

x

4

. f

xy

(x; y) = f

yx

(x; y) =

4y sen

(

y

2

)

x

3

. f

yy

(x; y) =

2

(

sen

(

y

2

)

+2y

2

cos

(

y

2

))

x

2

.

c) f

xx

(x; y ; z) =

y

2

+z

2

(x

2

+y

2

+z

2

)

3=2

. f

xy

(x; y ; z) = f

yx

(x; y ; z) =

xy

(x

2

+y

2

+z

2

)

3=2

. f

xz

(x; y ; z) =

f

zx

(x; y ; z) =

xz

(x

2

+y

2

+z

2

)

3=2

. f

yy

(x; y ; z) =

x

2

+z

2

(x

2

+y

2

+z

2

)

3=2

. f

yz

(x; y ; z) = f

zy

(x; y ; z) =

yz

(x

2

+y

2

+z

2

)

3=2

. f

zz

(x; y ; z) =

x

2

+y

2

(x

2

+y

2

+z

2

)

3=2

.

4. a)

f

x

(x; y) =

y

(

x

4

+4x

2

y

2

y

4

)

(x

2

+y

2

)

2

(x; y) , (0; 0);

0 (x; y) = (0; 0);

f

y

(x; y) =

x5

4x

3

y

2

xy

4

(x

2

+y

2

)

2

(x; y) , (0; 0);

0 (x; y) = (0; 0):

b) f

xy

(0; 0) = 1, f

yx

(0; 0) = 1.

c) f

xy

no es continua en (0; 0).

5. 0:0615385 cm.

6. 18 cm

2

.

7. 303:773 pies.

8. 136:09

C.

9. 32:8 cm

3

.

10. dV = 101:385 cm

3

. V = 4730:41 cm

3

.

11. 444:063 cm

2

/s.

12. L(x; y) = 18 + 6x + 9y .

13. a) Considerando f (x; y) =

2x+3

4y+1

es f (x; y) df = f (0; 0) + f

x

(0; 0)x + f

y

(0; 0)y =

3 + 2x 12y , para (x; y) cercanos a (0; 0).

b) Considerando f (x; y) =

y + cos

2

x es f (x; y) df = f (0; 0)+f

x

(0; 0)x+f

y

(0; 0)y =

1 +

1

2

y , para (x; y) cercanos a (0; 0).

21

14. f

x

(0; 0) = f

y

(0; 0) = 0. El campo escalar no es continuo en el origen porque el l

~

Amite para

(x; y)! (0; 0) no existe.

15. W

0

(t) = 4e

2t

.

16. W

s

(s; t) = W

t

(s; t) =

2

s+t

.

17.

18.

19.

20. a) y

0

=

4x

p

xy sec(y) y sec

2

(p

xy

)x sec

2

(p

xy

) 2x

2

p

xy tan(y) sec(y)

.

b) y

0

=

2xy

(e

x

2

y

2

)3x

2

y

2

+ e

x

2

5y

4

.

21. a) z

x

(x; y) =

2xyyz sen(xyz)

xy sen(xyz)2z

.

z

y

(x; y) =

x

2

xz sen(xyz)

xy sen(xyz)2z

.

b) z

x

(x; y) =

2

p

z

(

2x

2

+4xz1

)

xy+2yz4

p

z

.

z

y

(x; y) =

2z(x+2z)

xy+2yz4

p

z

.

22. a) 0.

b) sen

(2

p

3

) ( cos

(2

p

3

)).

c)

1

p

6

.

d)

p

3e.

23. (7;2) o (7; 2).

24. No existe.

25.

7

p

5

.

26. a) Asciende.

b) Desciende.

c) En la del gradiente de z = f (x; y) en el punto (60; 40). 1

27. Los puntos de la recta x y = 1.

28.

9

2

a

3

.

29.

30. a)

b) 3x + 4y + 6z 22 = 0. 6x + y z 11 = 0.

31.

32. P

1

(2

38

7

;

1

2

19

14

;

1

2

19

14

). P

2

(2 +

38

7

;

1

2

+

19

14

;

1

2

19

14

).

22

Extremos

1. a) Maximo en

(

5

3

; 0

). Punto silla en (1;2) y (1; 2). Mnimo en (0; 0).

b) Mnimo en (0; 0).

c) Mnimo en

(1

2

;1

).

d) No hay puntos crticos.

e) Punto silla en (0; k) con k 2 Z.

2.

(7

4

;

9

4

; 2

).

3. El maximo de la funcion f (; ; ) = sen sen sen con la condicion + + =

2

para

> 0, > 0, > 0 es

1

8

.

4. 24.

5. Un cubo.

6. El punto mas cercano es P

(1

2

;

1

2

;

1

2

); el mas alejado es Q(1;1; 2).

7.

91

3

y 25

.

8. 45

p

3.

9. a) Mnimo absoluto 0. Maximo absoluto 26.

b) Mnimo absoluto 9. Maximo absoluto 3.

c) Mnimo absoluto

1

4

p

e

. Maximo absoluto

4

p

e.

d) Mnimo absoluto 0. Maximo absoluto 8e

4

.

23

Funciones vectoriales

1. a)

1

1

2

112 x

y

b)

1

2

3

1

2

3

1 2 3123 x

y

c)

1

1112 x

y

d)

1

1112

u

x

y

e)

x y

z

u

f )

x y

z

u

g)

x y

z

u

2. (3; 1) y (0; 2; 0).

3. a)

p

13.

b) e

2

.

4.

#r (t)

#r (t) = j

#r (t)j

2

;

d

dt

#r (t)

#r (t) =

d

dt

j

#r (t)j

2

;

#r

0

(t)

#r (t) +

#r (t)

#r

0

(t) = 0;

2

#r

0

(t)

#r (t) = 0;

#r

0

(t)

#r (t) = 0:

Luego

#r

0

(t)?

#r (t), 8t.

5. a)

x =

1

4

+ t;

y =

1

3

+ t;

z =

1

2

+ t; 8t:

x =

a

p

2

at

p

2

;

y =

a

p

2

+

at

p

2

;

z =

k

8

+

kt

2

; 8t:

24

Integrales multiples

1. a) 0.

b)

2

2

.

c)

1

e

e.

2. a)

3

0

5

0

xy dy dx =

5

0

3

0

xy dx dy =

225

4

.

b)

2

0

2x

x

y

x

2

+ y

2

dy dx =

2

0

y

y

2

y

x

2

+ y

2

dx dy +

4

2

2

y

2

y

x

2

+ y

2

dx dy = ln

5

2

.

c)

4

0

px

0

y

1 + x

2

dy dx =

2

0

4

y

2

y

1 + x

2

dx dy =

1

4

ln 17.

3. a)

1

6

.

b)

1

40

(21 8

p

2

).

4. a)

25

3

.

b) 2.

c)

128

3

.

5.

8

1

y

3

p

y

f (x; y) dx dy .

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0 1 2 3 4 5 6 7 8x

y

y = x3 y = xS

6. masa =

22

3

. CM

(9

11

;

27

11

). I

x

=

682

15

, I

y

=

20

3

.

7. masa = ka

3

=6, CM

(3a

2

;

3a

2

).

8. a) masa =

352

p

11

5

. CM

(267

56

; 0

). I

x

=

1936

p

11

7

, I

y

=

251416

p

11

105

.

b) masa

22

15

. CM

(10

7

;

6

11

). I

x

=

24

35

, I

y

=

148

45

.

9. a)

4

p

2

3

.

b)

625

16

.

25

10. a)

1

8

.

b) 12.

c)

112

3

.

11. a = 2

2

(2

3

p

2

).

12.

4

3

a

3

.

13. a) 6(2 + 3).

b)

1

364

.

c)

ln 2

2

5

16

.

d)

6

.

14. a) 81.

b)

(0; 0;

15

8

).

c) I

x

= I

y

= I

z

=

1

30

.

15. a)

16

3

.

b) 8.

16. a)

8

.

b)

7a

4

6

.

17. a)

2

3

(5

p

5 4

).

b)

32

9

.

c)

1

6

.

18. a) 0.

b)

2

3

(4 3

p

3

).

19. Consideramos el cilindro solido E =

{(x; y ; z) : x

2

+ y

2

a

2

; 0 z h

}. El eje de simetra

de este cilindro es el eje z . Ademas el valor de h se puede expresar en funcion del radio del

cilindro y la masa m:

Masa = densidad volumen;

m = ka

2

h;

m

ka

2

= h:

Finalmente

I

z

=

$E

(x

2

+ y

2

)k dV =

2

0

a

0

mka

2

0

kr

3

dz dr d =

ma

2

2

:

26

Integrales de lnea y aplicaciones

1. a) 1 +

p

2.

b) 2a

3

2

+ 4a

3

4

.

c) 15.

2.

1

54

(10

p

10 1

).

3. 450.

4.

p

13

2

.

5. masa =

2

3

p

2

(3 + 4

2

). CM =

63 + 4

2

;

6

3 + 4

2

;

3

(1 + 2

2

)3 + 4

2

. Ix = (5+402+644)5p2 .I

y

=

(

15+40

2

+64

4

)

5

p

2

. I

z

=

2

3

p

2

(3 + 4

2

).

6. a)

4

3

.

b) 0. c) 0.

7. a) 2 b) .

8. a)

6

5

. b)

5

3

.

9. b = .

10. a) f (x; y) =

x

2

2

+

y

2

2

.

b) f (x; y) =

x

3

3

xy

2

.

c) f (x; y ; z) =

x

2

2

+ xz

y

2

2

yz .

d) f (x; y ; z) = y

2

sen x +

xz

4

4

4y + 2z .

11. a) f (x; y) = e

xy

.

b) f (x; y ; z) = xyz + 6.

12. a) 13824 + 25 sen 24.

b)

11

15

.

c)

1

e

e.

13. a)

1

5

.

b) 18.

14. a)

2

15

.

b)

225

2

.

15. a)

3

8

.

b)

3

4

.

16. .

27

Integrales de supercie

1. a) 3

p

3x 6y + 2z 6 = 0.

b) 12x + 3z 12

p

2 = 0; 8y .

c) 2 3y + z = 0; 8x .

2.

p

3.

3. 16 ( 2).

4. 6.

5. a)

7

12

.

b)

1

60

(1 + 391

p

17

). c)

1

16

2

(3

p

2 ln

(1 +

p

2

)).

6.

45k

2

p

2

.

7. Masa =

352

p

10

27

. I

z

=

4352

81

2

5

.

8.

(a

2

;

a

2

;

a

2

).

9.

4

3

.

10.

2

3

a

3

.

11. 45.

12. 5 ( 4).

13. a) 0. b) 4.

14. a) rot

#

F (x; y ; z) = (0; 0; 0), div

#

F (x; y ; z) = 2 (x + y + z).

b) rot

#

F (x; y ; z) = (2; 2; 6), div

#

F (x; y ; z) = 2.

c) rot

#

F (x; y ; z) =

(0; z

2

sen

(xz

2

); x (e

xy

) y sen(xy)

), div

#

F (x; y ; z) = ye

xy

x sen(xy)

2xz sen

(xz

2

).

15. No.

16. (yz; 0; xy).

17. = 2.

18. a) 3.

b) 0.

19.

2

5

.

20. 0.

21. 4.

22. 11.

23. 2.

24. 0.

25. 36.

26.

13

20

.

28

Ecuaciones diferenciales

1. a) y = x +

1

2

(y

0

1) tan x .

b) 3x

2

y + y

6

5x

3

y

0

= 0.

c) x

2

(1 ln x) y

00

+ xy

0

y = 0.

d) y =

(y

0

y

00

x + 1

x + 2

)x +

x

x + 2

y

00

.

2. a) y = 2e

x

2

+ 1.

b) y =

3e

4x

+ 5e

8

e

4x

5e

8

.

c) y = arcsec (ln jcos x j+ 2).

3. a)

(y

x

)2

= cx

2

1.

b) y =

1

2

(x +

p

3x tan

(c

p

3

2

ln jx j

)).

c) y

2

= x

2

+ cx .

4. a) y = c

1

e

x

+

1

2

e

x

x

2

.

b) y = c

1

e

x

2

+ e

x

2

x .

c) y = c

1

x x cos x .

d) y = c

1

x +

x

3

2

.

5. y =

1

4

(e

c

1

x 1)

2

.

6. a) x cos y + y sen x + c = 0.

b) xy + k = 0.

7. a) y = x senh (c

1

ln jx j).

b) y = c

1

cos x 2 cos

2

x .

c) y = c

1

x

2

+

x

5

3

.

d) y = ln jc

1

csc x 1j.

e) y = x arc sen (c

1

x).

f ) y =

3

2

(2x senh

2

(1

2

(c

1

ln jx j)

)+ x

).

g) y =

x

(x

2

e

c

1

)e

c

1

+ x

2

:

h) y =

c

1

(x + 1)

x

e

x

2

(x + 1)

2x

.

i) y = x senh (c

1

+ ln jx j).

j) y =

c

1

4

p

2 x

4

p

x + 2

.

k) y = c

1

e

x

e

x

x .

8. a) y = c

1

e

4x

+ c

2

e

3x

.

29

b) y = c

1

e

x

sen(2x) + c

2

e

x

cos(2x).

c) y = c

1

e

2x

+ c

2

e

2x

x .

d) y = c

1

e

x=4

+ c

2

e

x

.

e) y = c

1

e

3x

+ c

2

e

3x

x .

f ) y = c

1

e

2x=5

+ c

2

e

2x=5

x .

g) y = c

2

sen(2x) + c

1

cos(2x).

9. a) y = 0.

b) y = e

2x

(x 3).

10. a) y = c

1

e

3x

+ c

2

e

3x

+

1

45

(27e

2x

5

).

b) y = c

2

sen(4x) + c

1

cos(4x) +

1

128

(40x

2

+ 8x 1

).

c) y = c

2

sen(3x) + c

1

cos(3x) +

2

81

(9x

2

18x + 7

).

d) y = c

2

e

x

x + c

1

e

x

+

1

12

e

x

(x

2

36

)x

2

.

e) y = c

1

e

3x

+ c

2

e

x

+

1

8

(4e

x

x e

x

+ 16 sen x + 8cos x).

f ) y = c

1

e

x

+ c

2

e

3x

2

25

(5x sen x 7 sen x + 10x cos x + cos x).

g) y =

1

2

(c

1

e

2x

e

x

sen(x)

)+ c

2

.

h) y = c

2

e

2x

x + c

1

e

2x

+

1

4

e

2x

(x + 2)x

3

.

i) y = c

1

e

x

sen x + c

2

e

x

cos x 15xe

x

cos x .

11. a) y = x sen x + cos x log j cos x j.

b) y =

1

192

((16x

3

+ 6x + 384

)cos(2x) + 3

(4x

2

33

)sen(2x)

).

c) y = e

3x3

(e

3

x + 6x + e

3

ln jx j e

3

8

).

12. a) y = 10 5e

t=50

, t 0.

b) 7:26 kg.

c) 45:81 min.

13. 11 : 04 AM.

14. 11 : 45 : 42 AM.

15.

4949e

kt

5

k

, t 0.

30