Practica 3 Transformada Fourier 2014

GUA DE EJERCICIOSMAT -315 TRANSFORMADAS INTEGRALES Mg. Sc. Ing. Rafael Valencia Goyzueta

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PRACTICA 5 (transformada de Fourier)Determinar la transformada Fourier de:

1 2 3 cos1 1( ) : 40 1sen w w wt tf t Rpta F w

t w

2 7 32 2 2( ) cos cos : 5 2 2 5f t t t Rpta F w w w w w 3 2 22 2( ) :

jw a wa

tf t Rpta F w ea t

4 2 22( ) :a t af t e Rpta F w a w

5 2 21( ) : a waf t Rpta F w ea t

6 2 2 222 22( ) : 2

ta w

af t Ae Rpta F w A a e

7 0 2 0 01 1( ) cos :at Af t Ae u t w t Rpta F w

a j w w a j w w

8 0 2 22 20 01 1( ) cos :a tf t Ae w t Rpta F w Aa

a w w a w w

9 2 2 2( ) 1 :at wA aAf t A e u t Rpta F w j aw w 10 2 12

1 1( ) 4 :2 4 2 4

t df t t e sen t u t Rpta F wdt j w j w

11 21 1 2

0 2

( ) :wT kk j k

wTn

sen wtf t t nT Rpta F w e

sen

Hallar la transformada Fouriaer de las siguientes seales:

1 4

fx(t)A

t

coseno

2 2

7

2 5 8


31

3 6 9 tx t e u t

22 cos 2

1:A wT A

Rpta X wT jw

2 cos 2 2 : A wT ARpta X w jw

1 12 2 2 4 : sin sinA w wRpta F w c c 3

37103 351 22 2

310 2

10 10 3

3 : 10 sin

wj

w

jw jw e

Rpta X w c

e e

22cos 2 2 5 : w sen wRpta F w jA w w 23 224 2 4 6 : cos 1jw jww wAjwRpta X w w e j e

2 9 : 1jwRpta X wjw

2 24 4 8 7 : 4sin sinwT wTATRpta X w c c

24

1040 10100

8 : cos 1 2cosw

A w wRpta X w

Resolver los siguientes problemas

1. Calcular la transformada de Fourier de 0( ) cosf t u t w t utilizando por la propiedad de modulacin y porel teorema de convolucion en frecuencia.

0 02 2 20

:jwRpta F w w w w w

w w

2. Calcular la transformada de Fourier de la funcion f t y con este resultado, calcular la transformada de las

siguientes funciones 1 2 3 4, , ,f t f t f t f t : 1 12 22 1 1

2 2

w ww w

F w e P e P

1

1 3 4

1 0 1 00 1 0 1( ) ( ) 0 1 ( ) 0 1 ( )

0 otro caso 0 otro caso0 otro caso 0 otro caso

t t

t tt t

e t e te t te tf t f t e t f t e t f t

1 1 11 3

11 11 1

142 22

1 1 11:1 1 1

11 21 11

1 1 1

jw jw jwjw

jwjw jwjt jt

e e eF w F w eRpta jw jw jweF w e jwee e F wf tjw jt jt jw

Hallar el diagrama de magnitud y fase para:


32

12( ) 3

4tf t P 4

1( ) 33

tf t P

2 5

41( ) 2 :

2 2

sen wF wt

wf t P Rptaw arctg tg w

Mediante la transformada de Fourier de la seal generatriz, calcular los coeficientes de Fourier nx de lassiguientes seales peridicas:

1

x(t)

t-T T2

T2

14

24

1 4: 1 1 nAn

nRpta x e

3

2 22

32

impar: 0

0 par

An

n

nRpta x x A

n

Resolver los siguientes problemas1. La seal peridica mostrada es la entrada a un filtro RC

disear el filtro para eliminar los primeros cincoarmnicos. Encuentre la amplitud de la respuesta alsexto armnico

2. Si la entrada al filtro de la figura es la seal: Disear el filtro tal que el sistema no elimine los

armnicos de frecuencia Calcular la relacin: potencia de seal de salida

eliminada y potencia total de salida.

3. Encontrar el espectro de magnitud y fase de la sealperidica

4. Una seal en el tiempo v t tiene transformada deFourier que se muestra en la figura. Dibujar la

transformada de Fourier de 2v t , 2v t y de cosv t t

5. Si 10 tx t e . Calcular el ancho de banda dentro de la cual este contenido el 80% de la energa de laseal. : 0.15056Rpta B Hz

6. La seal ktx t t e u t se pasa por un filtro pasabajos de ganancia unitaria y ancho de banda B .Calcular el ancho de banda del filtro, a fin de que la energa de salida del filtro sea el 80% de la energa a laentrada. Expresar B en funcin de k . : 0.15056Rpta B k Hz

7. Si 2sin 10x t c t . Hallar su espectro de energa y su energa total.


33

8. La salida y t de un sistema LTI causal esta relacionado con la entrada x t por la ecuacin 10 3tdy t y t x z d x t z t e t t

dt

.

Encontrar la funcin de transferencia H w Determinar la respuesta al impulso del sistema

9. El modelo de un sistema es '' 8 ' 15 x t x t x t y t . Hallar: ( )h t y H w Determinar la salida si tx t e

10. Un sistema estable tiene respuesta en frecuencia:

324

2 5 6jwH w

w jw jw

Determinar:

La ecuacin diferencial que relaciona la salida con la entrada La respuesta al impulso Cual es la salida si 4 4t tx t e t e u t

11. Dado un sistema causal y estable representado por:

246 5

jwH wjw w

Determinar La ecuacin diferencial que relaciona la salida con la entrada La respuesta al impulso (la funcin del sistema ( )h t )

Cual es la salida si la entrada es la componente par de 0 10

te t

x totros

Cual es la salida si la entrada es la componente par de 41 tx t t e u t12. Si la entrada a un rectificador de onda completa es 0a t sen w t siendo 0a t hallar su salida Y w

en funcin de A w a tF13. Si un sistema representado por y t x t tiene entrada 0a t sen w t con 0a t hallar la densidad

espectral de energa en trminos de A w a tF14. Hallar la respuesta a una entrada 0cosx t w t de un sistema cuya funcin es: 0

0

0

0

j

je w

H we w

0 0: cosRpta y t w t

15. Hallar la respuesta a una entrada 5 2x t u t de un sistema cuya funcin de transferencia es: 2110 1

1jwH w ejw

4: 10 4tRpta y t e u t

16. Si la respuesta al impulso unitario de un sistema lineal es ( )h t y la entrada ( )x t hallar el espectro defrecuencia de la salida

0 ( )y t ( ) ( )t th t t e u t x t e u t


34

17. Utilizar la convolucion para encontrar: 1 1

1 2x t jw jw

F18. Sea 5 x t X w w w w F y 2 h t u t u t :

x t es peridica? x t h t es peridica? puede ser peridica la convolucion de dos seales peridicas?

19. Para el sistema LTI cuya respuesta a la entrada x t es una salida y t Encontrar: La respuesta en frecuencia. La respuesta al impulso La ecuacin diferencial que relaciona la entrada y la salida de este sistema

3 42 t t t tx t e e u t y t e e tHallar la transformada inversa de Fourier si:

1 2 21 12 21 w wF w arcsen arcsenj 10 2 3F w sen w2 2 2

2

wjwsenF w ejw

3 21 :1 2 t tF w Rpra f t e e u tjw jw 4 2 2 22 62 3 : 1 4w wF w e e Rpra f t t t 5 2 42 :1

j twF w Rpra f t tew

Para las siguientes funciones esquematizar los diagramas de magnitud y fase.

1 10 cos 100tf t e u t t 3 21 cos 10tf t t P t 2 2 22 cos 10tf t arcsen t 4 4cos 10 cos 100f t t tHallar la representacin de la funcin en el tiempo a partir de los diagramas:

1 3

2 4


35

7

2 2: A T TRpta f t jsen t Sa t 12

: 2TRpta f t Sa T t Determinar h t , La funcin de transferencia, la ecuacin diferencial que relaciona la entrada y la salida y larespuesta al impulso de:

1

2y(t) Ajwx(t) RetardoT=10u sg +

3

y(t)Ajw

x(t)

RetardoT

+

4

5

8

+X(w) Y(w)+ 1jw+11

jw+11jw

++

1jw+1

1jw+1

1jw+1


36

2

4 3 21

:3 3 1

jwRpta H w

jw jw jwPara los siguientes circuitos hallar lo pedido:

1 i(t)

1

2 1 1 2 v0(t)

-

+

, 2 i t t i t i t 3 vi(t)

21

1 3i(t)

2 , 2 i i iv t t v t v t

2

08 4 T w

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