Práctica 1 Óptica geométrica: Lentes y espejos.

Ingeniería Óptica C.P.S. Ingeniería de Telecomunicación

Zaragoza Curso 2006/07

Objetivo En esta primera práctica vamos a familiarizarnos con algunos componentes de óptica geométrica como pueden ser lentes, prismas y espejos, utilizándolas para obtener imágenes y estudiando sus características principales. La práctica consta de dos partes autoconsistentes: una en la que trabajaremos básicamente con lentes, y otra en la que emplearemos espejos y prismas (1hora por parte, aproximadamente) Parte A: Lentes. En esta parte de la práctica dispondremos de una fuentes de luz (una bombilla halógena) y tres lentes: una lente doble cóncava, una lente doble convexa y una lente plano convexa. Tratarlas con cuidado y procurar no tocarlas con los dedos, pues al ensuciarse no actúan convenientemente. Si las manchais, preguntar cómo limpiarlas. Las lentes estan dispuestas sobre unos soportes y colocadas en unos postes. Encontrareis asimismo un rail donde se pueden colocar las lentes para formar las imágenes. En un folio aparte, que se deberá entregar al final de la práctica, ir contestando a las cuestiones que se hacen. A1.- Intenta distinguir entre las tres lentes cual es cada una de ellas. Mirar a través de las lentes a un lugar más o menos lejano (la pizarra, por ejemplo) y acerca y aleja la lente de tu ojo. Escribir qué se observa con cada una de ellas. A2.- Intenta formar la imagen de los fluorescentes sobre la pantalla. ¿Puede formarse imagen con las tres lentes? ¿Con cual no? ¿Porqué? Como el fluorescente está a una distancia considerable, la distancia desde la lente a la imagen será la focal de forma aproximada. Anota los valores que obtengas (la plano convexa tiene la focal más grande). A3.- Encender la fuente de luz. Colocar la lente plano convexa sobre el rail, y procurar que la altura sea tal que está centrada con el haz de luz que sale de la fuente. Colocar el objeto que son dos flechas perpendiculares. Teniendo en cuenta la focal calculada anteriormente colocar la lente a una distancia del objeto mayor que la focal. Buscar con la pantalla la imagen e ir comprobando si se produce inversión de la imagen, aumento o disminución, etc. Repetir esto para distancias mayores que dos veces la focal y para distancias menores que la focal. A4.- Cambiar ahora el objeto, y colocar la línea segmentada. Utilizando la regla, y de forma aproximada, comprobar la ley: 1/f = -1/z1 + 1/z2 para tres puntos, y obtener de ahí el valor de la focal. Comprobar que el aumento lateral es ß = z2/z1. A5.- Tomar la lente doble cóncava. Intentar formar imágenes con ella. Mirar al objeto a través de la lente, y sacar conclusiones. A6.- Colocar ahora la lente doble convexa a unos 4 cm del objeto, y la doble cóncava a unos 4 cm de la otra. Intenta formar imagen. ¿Es posible? Introduce la pantalla entre las dos lentes e intenta buscar la imagen de la primera lente. Anota lo que observes y saca conclusiones.

Parte B: Prismas y espejos En esta parte de la práctica disponemos de una fuente de luz (halógena) dos prismas (uno equilateral y otro de ángulo recto), dos espejos, uno cóncavo y otro convexo y un doblete acromático (lente convergente gruesa). (Muy importante, no tocar las caras de los espejos!!!!). Los espejos estan dispuestos sobre unos soportes y colocadas en unos postes. Encontrareis asimismo un rail donde se pueden colocar las lentes y espejos para formar las imágenes. En un folio aparte, que se deberá entregar al final de la práctica, ir contestando a las cuestiones que se hacen. En la primera parte de esta práctica vamos a utilizar la fuente halógena, la cual vamos a colocar aproximadamente a unos 40 cm de una cartulina negra en la que se ha practicado una ranura, de forma que la luz de la lámpara salga por la ranura más o menos colimada. Hacer pasar la luz por el prisma equilateral (aquel cuyos ángulos son todos de 60º). B1.- Hacer pasar la luz por el prisma y observar el resultado en una pantalla blanca. ¿Qué se observa? ¿Por qué ocurre esto? A la vista de lo ocurrido, deducir si el índice de refracción para el rojo es mayor o menor que para el azul. B2.- Tomar ahora el prisma recto y colocarlo encima de la base. Colocar en la fuente halógena el objeto que representan dos flechas perpendiculares. Utilizando el prisma, colocarlo según muestran las figuras y observar, anotando lo que consideres conveniente de las imágenes que ves. B3.- Tomar los dos espejos, y miraros en ellos, alejándolos y acercándolos a vuestros ojos. Anotar lo que observais y porqué. B4.- Coger el espejo cóncavo y ponerlo en el rail. Coger la pantalla y ponerla a unos 20 cm del espejo. Encender una cerilla y colocarla entre pantalla y espejo. Intentar ver la imagen que se forma, y describirla. B5.- Poner ahora un objeto en la fuente de luz halógena y colocar el espejo cóncavo frente a él, como a 10 cm. Utilizando la pantalla, intentar formar la imagen del objeto que nos da el espejo. B6.- Colocar el doblete acromático sobre el rail y formar la imagen de un punto. Una vez está formada, girar unos 20 a 30º la lente y buscar la imagen del punto. Observar la forma de la imagen, moviendo el plano imagen y anotando lo que observeis.

Práctica 2 Óptica electromagnética: Polarización de la luz.

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Zaragoza Curso 2006/07

Parte Teórica

Hemos visto en teoría lo que es la luz polarizada. Ahora vamos a desarrollar la base de las técnicas utilizadas para generarla, cambiarla, medirla y en general manipularla para ajustarla a nuestras necesidades. Un aparato óptico cuya entrada es luz natural y cuya salida es luz polarizada se conoce como polarizador. La luz natural se dice despolarizada aunque en realidad puede verse como una sucesión rápida de distintos estados de polarización. Por ello, puede representarse como una combinación de dos ondas polarizadas linealmente de igual amplitud, incoherentes, y cuyos estados de polarización son ortogonales:

Un instrumento que separa estas dos componentes, descartando una y dejando pasar la otra se conoce como polarizador lineal. Dependiendo de la forma de la salida también podríamos conseguir otros estados de polarización. Entonces se habla de polarizadores circulares o elípticos. Los polarizadores toman configuraciones muy diferentes pero todos ellos están basados en una asimetría generalmente propia del material del que están fabricados. Los medios cuyas propiedades ópticas macroscópicas son diferentes según la dirección se llaman medios anisótropos. Los mecanismos físicos que sirven de base a los polarizadores son fundamentalmente el dicroísmo, la reflexión, el scattering y la birrefringencia (o doble refracción). Veremos con más detalle el primero y último de estos efectos, aunque primero vamos a enunciar una ley importante que nos ayudará a determinar la calidad de un polarizador lineal. Ley de Malus: Malus hizo pasar luz natural a través de un polarizador cuyo eje forma un ángulo φ con el eje y. A la salida de este polarizador, se obtiene luz linealmente polarizada en dicha dirección. Tras este polarizador, se añade otro cuyo eje coincide con el eje y. Este segundo polarizador se llama analizador. A la salida del analizador la orientación del eje de polarización es vertical. Si en este punto se sitúa un detector, la medida de intensidad obtenida será:

Esta variación de la intensidad de luz medida en función de la orientación del primer polarizador se conoce como Ley de Malus. El experimento que realizó se representa esquemáticamente en la figura. Los polarizadores lineales (LP) se

( )

( ))(cos

cos

0

0

tkztEE

kztEE

y

x

!"

"

+#=

#=

Luz natural

Polarizador Lineal (φ)

φ

Luz LP (φ) Polarizador Lineal (φ=0)

Luz LP (0)

( ) ( )!2cos0II =

representan con una doble flecha que indica la dirección de su eje, para el cual se transmite el campo E sin atenuarse. Dicroismo: Los medios dicroicos absorben selectivamente una de las dos componentes perpendiculares en las cuales se puede dividir cualquier estado de polarización, mientras que idealmente la otra componente se transmite por ellos sin verse afectada. Ejemplos:

Un polarizador dicroico puede construirse como una rejilla de alambre que deja pasar la componente cuyo campo es perpendicular a los hilos.

Ciertos materiales son inherentemente dicroicos debido a una anisotropía en sus estructuras cristalinas. Un ejemplo es la turmalina, para la cual hay una dirección específica llamada eje óptico o principal. La componente del campo de la onda incidente que es perpendicular al eje óptico de este material es fuertemente absorbida. Su problema es que la componente transmitida también se absorbe aunque en menor medida y además, esta absorción es dependiente de su longitud de onda. Por ello, este tipo de materiales presenta distintos colores según la polarización de la luz incidente de donde viene el nombre de dicroismo (“dos colores”).

En 1938 Land fabricó un polaroide que llamó hoja H y que hoy es

posiblemente el polarizador lineal más utilizado. Este es un análogo molecular a la rejilla de alambre. Su ventaja es que actúa de la misma manera sobre todo el espectro visible salvo quizá en el extremo azul. Por ello se denomina polarizador neutro (‘sin color’): NH. En principio, HN-50 sería la denominación de una hoja H ideal, que transmite el 50% de la luz natural incidente y absorbe el resto. Como en

Luz natural

Luz LP (0)

Ep E

n Eje

óptico

la práctica siempre hay algo de reflexión (sobre el 4%) en cada superficie, se obtiene un polaroide HN-46. También se fabrican polaroides con otros factores de absorción: HN-38, HN32, y NH-22 son los más comunes.

Birrefringencia: Es un fenómeno que presentan substancias, generalmente sólidos

cristalinos, cuyas propiedades ópticas no son las mismas en todas las direcciones. Esto se debe a asimetrías en las fuerzas de ligadura de las moléculas que forman el cristal que se manifiestan en que el índice de refracción es diferente para cada dirección.

Los medios en que el índice de refracción es igual para dos direcciones (por ejemplo: x e y): no ,pero difiere del índice para la tercera dirección (z) que es el eje del material: ne ,se llaman medios uniáxicos y tienen en aplicación en la manipulación de la polarización. Ejemplos de este tipo de medio son la calcita, el cuarzo, la mica y los plásticos poliméricos orgánicos (celofán).

Vamos a ver cómo se comporta la luz al entrar en un medio uniáxico. Para estos medios, D y E en general NO son paralelos. Lo que se mantiene es que D es perpendicular a k (dirección de propagación), y H. E es perpendicular a H pero no, en general, a k. Si enviamos un haz de luz despolarizado a un material anisótropo, la polarización correspondiente a E perpendicular al plano de incidencia, En, es a su vez perpendicular al eje óptico, luego se comporta como si el medio fuese isótropo de índice no: En//Dn:

Sin embargo, la otra polarización, Ep, no es perpendicular al eje óptico y

“ve” otro índice diferente del anterior que depende del ángulo que forma con el eje óptico:

ni

e.o.

φi

φe φo

Ep En

( ) ( )ooii

nn !! sensen =

( ) ( ) ( )eieii

nn !!! sensen =

El rayo que se comporta como si el medio fuese isótropo se llama rayo

ordinario y el otro, se conoce como rayo extraordinario. Si rotamos el rayo incidente en torno a la normal, el rayo ordinario no se modifica mientras que el extraordinario describe una rotación.

Vemos pues que debido a la birrefringencia tenemos un método que nos permite separar luz con distintos estados de polarización. Un ejemplo de un sistema basado en birrefringencia para separar el rayo ordinario y el rayo extraordinario y por tanto las dos polarizaciones, es el prisma de Nikol. En este dispositivo se hace pasar el rayo extraordinario sin que experimente desviación (incidencia normal), mientras que se busca la condición para que el rayo ordinario sufra reflexión total en la interfase.

Otras disposiciones son el prisma de Wollaston y el de Rochon (ver hoja de

problemas). Otra aplicación de estos materiales es para construir retardadores, que son

sistemas que introducen un desfase en una de las componentes del campo y así, permiten cambiar el estado de polarización de la onda. Para dicha aplicación, el material debe prepararse de forma que su superficie frontal sea paralela al eje óptico.

De esta forma hay dos ondas planas monocromáticas con polarizaciones

perpendiculares que se propagan paralelamente por el cristal a distinta velocidad. Así pues, tras atravesar una lámina de espesor d, ambas ondas volverán a superponerse dando lugar a una onda cuya polarización depende del desfase introducido por la lámina:

La dirección que corresponde a una velocidad mayor (en este caso, la que

corresponde a la onda extraordinaria) se llama eje rápido y la perpendicular, eje lento. Variando el valor de d se puede controlar el desfase y obtener los siguientes tipos de láminas:

O. extraordinaria

O. ordinaria

vn

vp

Eje óptico

eonnd !="

0

2

#

$%

Lámina de onda completa: el desfase es 2π y no hay cambio en el estado de polarización de la luz incidente. Sin embargo, debido a la variación de n con la longitud de onda, esto sólo será cierto para un valor específico de λ.

Lámina de media onda: la diferencia de fase relativa es de π entre las ondas ordinaria y extraordinaria. De esta forma, al pasar por una lámina de media onda, un campo E inicialmente orientado θ respecto de la vertical, rotará un ángulo de 2θ y quedará a la salida a –θ de la vertical. Estas láminas se utilizan para invertir el sentido de la luz elíptica o circular cambiándola de derecha a izquierda o viceversa.. Para que una lámina se comporte como de media onda el espesor del material deberá ser:

Una lámina de media onda muy fácil de conseguir es un papel de celofán. El eje rápido se encuentra paralelo a su anchura y el eje rápido paralelo a su longitud.

Lámina de cuarto de onda: el desfase que produce es de π/2 y se utiliza para pasar de luz lineal a elíptica y viceversa. El espesor debe satisfacer la siguiente expresión:

Las láminas comerciales se designan generalmente por su retraso lineal (en nm). Por ejemplo, una lámina de cuarto de onda de espesor 140nm, inducirá un retardo de π/2 solo para luz verde (λ=560nm).

Otro dispositivo interesante es el compensador, que es un dispositivo

óptico que puede imprimir un retardo controlable en una onda. El que se muestra en la figura es el compensador de Babinet. La cuña superior tiene el eje óptico orientado según las líneas, y la inferior de forma perpendicular. De esta forma, un rayo vertical atraviesa un espesor d1 de la cuña superior y un espesor d2 de la inferior. El rayo extraordinario en la primera cuña se convierte en el rayo ordinario para la segunda y viceversa. Teniendo todo esto en cuenta, la diferencia de fase total es:

2,1,02

)12( 0 =!=+ mnndmeo

"

2,1,04

)14( 0 =!=+ mnndmeo

"

d1

d2

( )( )eonndd !!="

21

0

2

#

$%

Trabajo Previo. 1) Considere una fuente de luz incoherente, que produce luz natural despolarizada (sucesión rápida de estados con distinta polarización) con una intensidad I0. Si se introduce un polarizador, ¿cuanto se reducirá la intensidad respecto a I0? Esta reducción, ¿depende del ángulo en el que coloquemos el polarizador respecto de la fuente? 2) Considere el experimento de Malus con los dos polarizadores lineales descrito en la parte teórica de esta práctica y responda a las siguientes preguntas:

a) ¿Qué medida obtendremos cuando el primer polarizador tenga su eje horizontal? Justifíquelo cualitativamente, es decir basándose en la lógica y NO en la fórmula de Malus.

b) ¿Y si su eje es vertical? Justifíquelo. c) Demuestre la ley de Malus basándose en la expresión de la intensidad

obtenida en teoría. 3) Considere la siguiente disposición:

Calcule a través de proyecciones entre los vectores de campo eléctrico la intensidad que obtendría a la salida de este sistema en función de la intensidad de la fuente de luz natural. 4) Considere una lámina de un material uniáxico cortada perpendicularmente en lugar de paralelamente al eje óptico. ¿Se podrá inducir algún retardo entre las dos componentes ortogonales de E? Razone por qué. 5) Explique lo que ocurriría si pone una lámina de media onda entre dos polarizadores cruzados (a 90º) con el eje de la lámina a 45º de los de los polarizadores. 6) Explique como la combinación en serie de un polarizador lineal y una lámina de cuarto de onda funciona como un polarizador circular. Suponga que el eje de la lámina y el del LP forman 45º. ¿Es importante el orden ?

Luz natural

Polarizador Lineal (45º)

Polarizador Lineal (0º)

Polarizador Lineal (90º)

Eje óptico

Objetivo En esta práctica vamos a intentar visualizar algunos de los efectos que se producen por el hecho de que la luz puede ser considerada como una onda electromagnética, en particular vamos a ver algunos hechos experimentales que tienen que ver con la polarización. La parte A se puede hacer con la teoría descrita en esta práctica. La parte B es algo más avanzada y se necesita haber dado en clase la parte de medios anisótropos. Realiza los puntos marcados a continuación y en un folio aparte, que se deberá entregar al final de la práctica, ir contestando a las cuestiones que se hacen. Parte A: Luz polarizada A1.- Tenemos un láser que está linealmente polarizado. Medir la potencia. A continuación, introducir un polarizador entre la fuente y la lente y maximizar la potencia recibida en el detector. Medir la potencia de nuevo. Girar el polarizador un ángulo de 90º . Volver a medir la potencia. - Estimar de forma teórica cuanto serían los valores que deberíais medir en los dos casos últimos supuesto que la fuente de luz está totalmente polarizada y que sin polarizador se mide una potencia P. - ¿Coincide lo medido con lo esperado? Explicar. - ¿Qué ocurriría si la fuente emitiera luz natural? A2.- Con el sistema montado tal y como se quedó en el punto anterior ir rotando el polarizador de 20 en 20 grados midiendo la potencia durante una vuelta completa (360 grados) - Realizar una gráfica de la potencia medida en función del ángulo de rotación. Comprobar si se cumple la Ley de Malus. A3.- Colocar ahora el polarizador cruzado con respecto a la de la luz (mínima potencia). Introducir ahora un polarizador entre ambos con el eje de polarización girado 45º con respecto al primero. - Observar lo que ocurre. Explicarlo a través de proyecciones entre vectores campo eléctrico. A4.- Colocar dos polarizadores cruzados e introducir entre medio un trozo de celofán. - Observar lo que ocurre y tratar de explicarlo.

Parte B: El aislador óptico A continuación vamos a observar cómo construir un aislador óptico, esto es, un sistema que origina que la luz que pasa a su través a la ida no pase a la vuelta. El aislador óptico se suele utilizar, en mayor o menor medida, en un CD-ROM para evitar la reflexión del láser sobre el disco recaiga otra vez en el láser, lo que le podría desestabilizar. Cuidado! En este caso el láser está despolarizado. B1.- Montar el sistema como en la figura 1: la luz del láser va a parar a un espejo, rebota y de ahí la mandamos a un detector (procurar que el ángulo sea pequeño). Medir la potencia. Introducir un polarizador entre los dos haces como marca la figura. Medir la potencia. - ¿Qué está pasando? - ¿Sabrías argumentar que hay un desfase entre las polarizaciones x e y de π cuando la luz choca en el espejo? (Suponer para ello que la luz lleva un ángulo de 45º con respecto a cualquiera de los ejes? - Si esto es así, ¿debería pasar la luz otra vez por el polarizador sin cambiar la señal? B2.- A continuación introducir en vez del polarizador lineal un polarizador circular (está formado por un polarizador lineal más una lámina λ/4, que desfasa π/2 las componentes x e y). - ¿Funcionará igual un polarizar circular si la luz proviene desde un mismo lado o desde el opuesto? ¿Por qué? - Introducir el polarizador circular en las dos posiciones posibles, y medir la potencia en ambos casos. ¿Qué se observa? ¿Sabrías decir por qué lado se comporta el polarizador como circular? ¿Por qué? ¿Y por el otro lado? Espejo Láser Polarizador Detector Figura1

Práctica 3 Óptica electromagnética: Difracción de la luz.

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TEORíA

Vamos a introducir el fenómeno de la difracción desde distintos puntos de vista y a describir algunas de sus manifestaciones más habituales, así como algunas de sus aplicaciones como es la espectrografía. I. Distintos enfoques de la difracción. Grimaldi (sXVII) observó que cuando la luz era interceptada por objetos opacos o atravesaba aberturas pequeñas se producían unas sombras con una cierta estructura (franjas alternativamente claras y oscuras) que no podían ser explicadas con los axiomas de la óptica geométrica. Ya entonces, se demostró que este fenómeno es característico del comportamiento ondulatorio de la luz que aparece siempre que se obstruye una parte del frente de ondas. Huygens, en el marco de la óptica ondulatoria, postuló que en propagación cada punto del frente de onda se convierte en una fuente de ondas esféricas (ondas secundarias) de la misma frecuencia que la onda primaria. Esta teoría fue completada por Fresnel que dijo que estas ondas se superponen dando un patrón de interferencias según su amplitud y fase. La superposición es constructiva en la proyección directa de la abertura pero en la zona donde comienza la sombra algunas de ellas pueden interferir destructivamente. En este sentido, el concepto de interferencia y el de difracción se confunden ya que su base es el mismo fenómeno físico (superposición de ondas). A veces se llama interferencia al proceso de superposición de dos (o pocas) ondas y difracción al de un gran número de ondas. Veremos como se distinguen ambos efectos “revisando” el experimento de Young más adelante.

Una teoría más rigurosa de la difracción fue la que dio Kirchoff (contemporáneo de Maxwell) basada en una ecuación diferencial que satisface las condiciones de borde impuestas por la obstrucción.

También se puede dar un significado al fenómeno de la difracción desde el punto de vista microscópico, siguiendo el modelo de la materia como un conjunto de osciladores. Si hacemos una abertura en forma de disco en una pantalla, el campo en la pantalla cambia debido a los osciladores que ya no están presentes. Idealmente sería el campo creado por toda la pantalla menos el que crean los osciladores del disco. Esto supone despreciar las interacciones mutuas de los osciladores del borde. Si la abertura es grande, el efecto de las interacciones mutuas se puede despreciar, ya que el número de osciladores del borde es pequeño comparado con el número total en el disco. Pero si la abertura es pequeña, esta

relación empieza a ser importante. Estos efectos de “borde” son los que dan lugar a los efectos de difracción, que son importantes para aberturas pequeñas comparadas a la longitud de onda.

Otra forma de ver los efectos de la difracción es como una versión “espacial” del efecto dispersivo del prisma, que actúa sobre la luz blanca separándola en sus componentes con distintas longitudes de onda. Una transparencia con un cierto contenido espacial, actúa sobre la luz separándola en componentes con distintas frecuencias espaciales.

Para obtener una idea intuitiva del concepto de frecuencia espacial, observe

en la figura que cuanto más juntas están las franjas en la transparencia f(x,y) (es decir, menor periodo y, por tanto, mayor frecuencia espacial fx) mayor será el ángulo de propagación de la onda plana difractada por dicha estructura. Por tanto, si ponemos una pantalla en el infinito (TF) lo que obtendremos es un par de puntos (impulsos) más alejados de la horizontal cuanto mayor sea el ángulo, es decir, cuanto mayor sea la frecuencia espacial (recuerde que el espectro de amplitud de un coseno o de un seno son dos impulsos).

II. Difracción de Fraunhofer y de Fresnel

Supongamos que tenemos un blindaje opaco P1, con una abertura pequeña iluminada por ondas planas que proceden de una fuente puntual S, muy lejana. El plano de observación P2 es una pantalla paralela a P1. Vamos a desplazar la pantalla P2, para ver como cambia la imagen de la abertura proyectada sobre ella:

1) Cuando P2 esta muy próxima a P1, la imagen de la abertura es claramente reconocible aunque hay unas pequeñas franjas en su periferia.

2) Conforme alejamos P2 de P1, la imagen sigue siendo reconocible aunque las franjas se hacen más prominentes. Este fenómeno se conoce como difracción de Fresnel o de campo cercano.

3) Cuando la distancia entre P1 y P2 es muy grande, el patrón proyectado se esparce notablemente y no se parece en nada a la abertura real. Al desplazar desde este punto, cambia el tamaño del patrón pero no su forma. Esta es la difracción de Fraunhofer o de campo lejano.

Si en la situación para la que tenemos difracción de Fraunhofer cambiamos

la longitud de onda de la luz incidente λ haciendo que sea mucho menor, volveremos a tener el patrón de difracción de Fresnel, y disminuyendo λ aún mas, la imagen tendrá la forma de la abertura como predice la óptica geométrica (que es una aproximación de la óptica física cuando λ tiende a 0).

En general, cuando S y P2 están muy lejos de P1, tenemos difracción de Fraunhofer, mientras que cuando están cerca, tenemos difracción de Fresnel. Una

z

k

θx

x

f(x,y)

1/fx θx

forma de garantizar que se cumplen las condiciones para obtener difracción de Fraunhofer es mediante un par de lentes tal como muestra la siguiente figura.

Para estudiar ahora los efectos de difracción de Fraunhofer producidos por

aperturas de distintas geometría consideraremos una función de apertura que se define de la siguiente forma: P(x,y)=1 para puntos dentro de la apertura y P(x,y)=0 para puntos fuera de la apertura y estudiaremos la distribución de intensidad en un plano muy alejado o con una disposición de lentes como la de la figura de arriba.

La figura de difracción que se obtiene en el infinito o en el plano focal de una

lente será proporcional al módulo al cuadrado de la transformada de Fourier de la función de apertura:

La transformada de Fourier de una señal espacial en 2D p(x,y): P(fx,fy) , se

define como sigue:

Donde:

2

2

0 ,)(

),( !"

#$%

&=

d

y

d

xP

d

IyxI

'''

I0 I(x,y) p(x,y)

d

( ) ( ){ }! !"

"#

"

"#

+#= dxdyyfxfjyxpffP yxyx $2exp),(,

S

P1

P2

F1 F2

Con d la distancia entre la pantalla P1 con la abertura y P2, o bien la focal de la segunda lente (F2). Se puede comprobar que las unidades de la frecuencia son efectivamente de longitud inversa. También se puede estudiar la difracción de Fraunhofer de una estructura como la superposición de las ondas secundarias generadas en la apertura para dar un patrón de interferencias. Vamos a ver el ejemplo de una abertura rectangular en una dimensión (x) de tamaño d como la que se representa en la figura. Para calcular la amplitud de la onda que sale de la rendija en dirección φ, supongamos que cada elemento de anchura dx actúa como fuente de ondas secundarias en dicha dirección.

La amplitud de todas ellas será E0 y la fase relativa a x=0:

Así, la amplitud total de la onda que sale de la rendija en dicha dirección

será la integral:

Que resulta:

Esta expresión es en efecto la transformada de Fourier de una apertura cuadrada (pulso cuadrado) donde la frecuencia fx=sen(φ)/λ. La intensidad que detectaríamos en la pantalla será el módulo al cuadrado de la amplitud calculada.

En las figuras del anexo se representan los patrones de difracción (intensidad en la pantalla) de distintas aperturas y la variación del tamaño del patrón de difracción al variar el tamaño de la apertura. Puede comprobarse que las propiedades de la Transformada de Fourier en 2D son similares a las que estudió en 1D.

d

yf

d

xf

y

x

!

!

=

=

x=0

x=d

φ

)sen(2

!"

#$ x=

!=

d

dxjkxEE0

0 ))sen(exp()( ""

( )( )

)sen(2

sen0

!"

"

"! "

kd

edEE j

=

=

III. Difracción por un conjunto de estructuras similares. El patrón de difracción de un conjunto de estructuras de la misma forma y en la misma orientación es el producto de dos factores: el factor de estructura que depende de la forma en que están situadas y el factor de forma, que depende de la forma de las mismas. Este hecho se relaciona con el teorema de convolución. Si se considera el conjunto de estructuras como una convolución de un conjunto de deltas situadas en las posiciones de cada elemento con uno de dichos elementos, su transformada será el producto de las correspondientes transformadas. Así, el factor de forma se asocia a la TF de un elemento y el de estructura al de la distribución de deltas. Cuando la distribución es aleatoria, sus fases también lo son, de forma que el factor de estructura no influye sobre el patrón de difracción. El patrón de difracción es igual que el que se obtendría para una estructura sola pero N veces más intenso.

En cambio, cuando la distribución es regular la suma de fases es distinta para distintas direcciones. Por ejemplo, hay direcciones en que la suma de fases es un múltiplo de π y en ellas aparecen máximos intensos.

El estudio de estos conjuntos de estructuras tiene aplicación en el estudio de materiales ya que mediante el patrón de difracción se puede obtener información sobre el tamaño y posición de los constituyentes de la materia (cristalografía de rayos X, medidas de diámetros de partículas, etc).

Redes de difracción

Este es el ejemplo más simple de difracción por estructuras similares ya que las redes de difracción consisten simplemente en un conjunto de líneas o aperturas paralelas en una película de metal o plástico sobre un cristal. Si se observa una fuente lejana de luz blanca perpendicularmente a través de una red veremos un patrón de difracción que consiste en un máximo central (m=0) que es la imagen de la fuente, no deflectada, y máximos coloreados a ambos lados del máximo central (m=-1,+1,-2,+2,etc). La ecuación de la red, que relaciona los valores de m (orden del máximo) con la estructura de la red (a es la distancia entre rendijas) y la longitud de onda de la luz incidente es:

Para obtener ángulos de difracción medibles, la separación entre las estructuras debe ser del orden de la λ utilizada.

Cuando la incidencia de la luz sobre la red es oblicua (con un ángulo θi) la ecuación tanto para red de transmisión como para red de reflexión es:

Las redes de difracción se utilizan fundamentalmente en espectroscopía para estudiar la radiación emitida por la materia, tanto a pequeña escala (espectro de emisión del átomo de hidrógeno) como a gran escala como las que se utilizan en astrofísica para determinar la temperatura de una estrella o la rotación de una galaxia. ESTUDIO PREVIO 1. Compruebe que efectivamente la amplitud total de la onda que sale de la

rendija en la dirección φ es:

!" mam=sen

!"" maim=# )sen(sen

!

E "( ) = E0dsen #( )#

ej#

# =kd

2sen(" )

2. Calcule el ángulo de salida para un haz de luz de longitud de onda de 633 nm

que incide normalmente a una red de difracción de 650 líneas por milímetro 3. Diga qué patrón de difracción corresponde a cada una de las siguientes figuras,

teniendo en cuenta propiedades de simetría de la tranformada de Fourier en 2D:

Aperturas:

Patrones:a) b) c) d)

a) b) c) d)

PRÁCTICA Objetivo El objetivo de esta práctica es visualizar algunos efectos de la difracción, y aplicarlos en la caracterización de redes de difracción y espectroscopía. Trabajo práctico: Parte A: Caracterización de una red de difracción. El montaje consiste en un haz láser que se hace incidir sobre la red de difracción, de forma que a la salida obtendremos el patrón de difracción de una red de difracción

1) Deducir cómo es la red de difracción de acuerdo al patrón de difracción e intente explicarlo de acuerdo a la teoría

2) Obtenga el valor aproximado de la distancia de separación entre las rendijas de la red a partir de una medida con la regla, sabiendo que la longitud de onda del láser de He-Ne es de 632.8 nm.

Parte B: Difracción de Fraunhofer y de Fresnel. El montaje consiste en un haz láser que se expande mediante un objetivo de microscopio y se introduce en una fibra óptica. Esta fibra actúa como filtro espacial para eliminar ruido espacial que puede venir de defectos en los espejos del láser o en las superficies de las lentes que consituyen el objetivo de microscopio. El haz que sale de la punta exterior de la fibra es un haz divergente y mediante la lente hacemos que se convierta en un haz colimado (formado por rayos paralelos). Acerque o aleje la punta de la fibra hasta que logre colimar el haz de salida (esto se consigue cuando el haz tiene aproximadamente el mismo tamaño a la salida de la lente que alejado de ella). A partir de aquí vamos a observar el patrón de difracción obtenido en un plano muy alejado del plano objeto.

1) Coloque sobre la lente los distintos objetos que tiene sobre la mesa observando la forma que tiene el patrón de difracción que se forma poniendo la pantalla a una distancia de unos 5m de la lente (aproximadamente en la pared).

2) Compruebe las propiedades de escalado y simetría de la transformada de Fourier. Explique como lo ha hecho, describa los resultados y discútalos de acuerdo a la teoría.

3) Si pone el plano imagen mucho más cerca de la lente (menos de 1m), ¿ se ve el mismo patrón de difracción ? ¿ Depende del tamaño del objeto sobre la lente ? ¿ Por qué ?

Parte C: Espectroscopía de gases. En esta parte de la práctica vamos a utilizar una red de difracción para observar las emisiones de fuentes de descarga en gases a baja presión, particularmente gases de mercurio, krypton y neon. De acuerdo a lo que observéis mirando la fuente a través de la red de difracción explicar cómo es la forma de emisión de las fuentes, cuales son las líneas que veis en cada una de ellas y compararlas con la emisión de uno de los fluorescentes. ¿Se parece a la de alguna de las fuentes observadas?

Práctica 4 LEDs y fotodetectores: modulación

Ingeniería Óptica C.P.S. Ingeniería de Telecomunicación

Zaragoza Curso 2006/07

Objetivo En esta práctica vamos a trabajar con un diodo emisor de luz (LED) y un fotodetector de silicio, de forma que nos hagamos idea de la característica más importantes que presentan estos dispositivos: la posibilidad de modular la potencia emitida y la capacidad de recibirla y reconvertirla a una señal eléctrica. En particular, y pese a que no son dispositivos propios de telecomunicaciones (más bien al contrario), vamos a intentar transmitir una señal de baja frecuencia via óptica. Realiza los puntos marcados a continuación y en un folio aparte, que se deberá entregar al final de la práctica, ir contestando a las cuestiones que se hacen. Fuentes y detectores. 1.- LED. En primer lugar vamos a observar un emisor LED, el cual es como sabemos un diodo realizado con una serie de materiales de forma que cuando se polariza en directa puede llegar a emitir en determinadas longitudes de onda. Para que emita el diodo, deben cumplirse determinadas condiciones: - que el gap esté dentro del rango de las frecuencias ópticas. La longitud de onda de emisión viene dada por

! (µm) =1.24

GAP(eV )

- que exista un número razonablemente alto de electrones en el estado excitado (banda de conducción en este caso) para que se puedan desexcitar y recombinarse con un hueco de banda de valencia: también debe existir un número elevado de huecos en esta banda. - que la eficiencia cuántica de emisión sea elevada (escogiendo los materiales). Vamos a utilizar un LED que emite en longitudes de onda del rojo (unos 650 nm) y que está montado como muestra la figura.

- Sabiendo que para que funcione el LED a máxima potencia deberían pasar unos 50 mA, calcular la resistencia que hay que poner en serie si el LED se polariza con 5 voltios y no hay caida de tensión en el diodo. - Polarizar el diodo con 5 voltios en contínua. La resistencia que se ha puesto es de 220 Ω. ¿Es cierto que no hay caida de tensión en el diodo? ¿Qué intensidad está pasando por el diodo? - La luz que emite el LED, ¿está polarizada? ¿por qué? ¿qué energía

tiene el GAP? - ¿Por qué no emite el LED si no está polarizado en activa?

i

+

-

2.- Detector. A continuación, vamos a coger un detector al cual vamos a conectar un circuito de preamplificación como el que muestra la figura. El amplificador operacional ha de ser de muy alta impedancia de entrada, para que las corrientes que consume la etapa sean despreciables frente a las que genera el fotodetector cuando le llega luz (que también son muy pequeñas). Conectar el circuito como se indique, y mirar en el osciloscopio la señal que sale del operacional, Vout (en primer lugar, observar la señal que se recibe de los

fluorescentes). (R = 1.2 MΩ, C = 68 pF) - ¿A qué frecuencia funcionan los fluorescentes? - Sabiendo que la ganancia del sistema es básicamente la que da la resistencia de realimentación (V≈ ipd x R) calcular la potencia máxima de luz que llega al detector, suponiendo una responsividad constante con la longitud de onda de 0.5 A/W - Viendo la figura, el detector no necesita estar polarizado en inversa para funcionar como detector. ¿por qué? 3.- Modulación del emisor A continuación vamos a modular el emisor a partir de una onda sinusoidal desde el generador de funciones. Intentar que el pico máximo de voltaje no exceda de 7.5 voltios. - Primero utilizar una frecuencia de 0.6 Hz con modulación cuadrada. ¿Qué se observa en el LED? ¿Se observa lo mismo al acercarlo al detector? (Al acercarlo al detector, procurar tapar a la vez los fluorescentes para que no afecten). - Cambiar las modulaciones a triangular y sinusoidal. ¿Qué diferencias existen con el caso anterior? (Mirar a la vez la señal del generador en el osciloscopio) - Subir la frecuencia hasta que el ojo no sea capaz de seguirla. Anotar dicha frecuencia. ¿La sigue el detector? - Utilizando onda sinusoidal, subir la frecuencia hasta 0.5 kHz. ¿Sabrías decir de lo que se mide en el máximo cuanta potencia óptica le está llegando al detector? (suponer la misma responsividad que antes) - Pasar a onda cuadrada. ¿qué se observa en el receptor? ¿Porqué? ¿Qué elementos están limitando la frecuencia? - Subir la frecuencia hasta que la amplitud observada en el detector decaiga considerablemente. ¿A qué frecuencia se produce? ¿Se produce lo mismo con onda sinusoidal? Explicar.

-

+

Vout

R

C