Distribución Normal

Caracteres morfológicos de individuos (personas, animales, plantas,...) de una especie (tallas, pesos, diámetros, perímetros,...).

Caracteres sociológicos, por ejemplo: consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos, puntuaciones de examen,...

Caracteres fisiológicos, por ejemplo: efecto de una misma dosis de un fármaco.

Errores cometidos al medir ciertas magnitudes. Valores estadísticos muestrales, por ejemplo: la media.

Y en general cualquier característica que se obtenga como suma de muchos factores.

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Distribución normal o gaussiana Está caracterizada por dos parámetros: la media, μ

y la desviación típica, σ.

Su función de densidad es:

La curva normal adopta un número infinito de formas, determinadas por sus parámetros μ y σ.ES

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0) (σ π2σ

1)(σ)μ,( 2

2

σ2μ)(

x

exPN

Características de la distribución Normal

Tiene forma de campana

Simétrica con respecto a la media () donde coinciden la mediana (Mn) y la moda (Mo).

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, Mo, Mn - +

Distribución normal con =0 para varios valores

0

0.4

0.8

1.2

1.6

-2.50 -1.50 -0.50 0.50 1.50 2.50x

p(x)

4

20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

5 5

10

Curvas normales con distintas medias y desviaciones estándar.

0) (σ π2σ

1)(σ)μ,( 2

2

σ2μ)(

x

exPN

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N(μ, σ): Interpretación probabilista

Entre la media y una desviación típica tenemos siempre la misma probabilidad: aproximadamente el 68%.

•Si tomamos intervalos centrados en μ, y cuyos extremos están…

–a distancia σ, tenemos probabilidad 68%–a distancia 2 σ, tenemos probabilidad 95%–a distancia 2.5 σ tenemos probabilidad 99%

• Entre la media y dos desviaciones típicas aprox. 95%

Podemos obtener la función de distribución F(x) integrando la función de densidad de probabilidad:

π2σ

1)( 2

2

σ2μ)(

dvexFx v

De modo que la probabilidad de una variable aleatoria normal X en un intervalo a x b es:

π2σ

1)()()( 2

2

σ2μ)(

dveaFbFbXaPb

a

v

¡No podemos calcular analíticamente el valor de la integral!Tabularemos sus valores numéricos...

2

2

σ2μ)(

π2σ1)(σ)μ,(

x

exPN

1 π2σ

1 2

2

σ2μ)(

dvev

En particular:

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Tipificación

Dada una variable de media μ y desviación típica σ, se denomina valor tipificado z, de una observación x, a la distancia (con signo) con respecto a la media, medido en desviaciones típicas, es decir:

• En el caso de variable X normal, la interpretación es clara: asigna a todo valor de N(μ, σ), un valor de N(0,1) que deja exáctamente la misma probabilidad por debajo.

• Nos permite así comparar entre dos valores de dos distribuciones normales diferentes, para saber cuál de los dos es más extremo.

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xz

Ejemplo

Se quiere dar una beca a uno de dos estudiantes de sistemas educativos diferentes y se asignará al que tenga mejor expediente académico: El estudiante A tiene una calificación de 8 en un sistema donde la

calificación de los alumnos se comporta como N(6,1). El estudiante B tiene una calificación de 80 en un sistema donde la

calificación de los alumnos se comporta como N(70,10).– No podemos comparar directamente 8 puntos de A frente a los 80 de

B, pero como ambas poblaciones se comportan de modo normal, podemos tipificar y observar las puntuaciones sobre una distribución de referencia N(0,1).

– Como zA > zB, podemos decir que el porcentaje de compañeros del mismo sistema de estudios que ha superado en calificación al estudiante A es mayor que el que ha superado B. En principio A es mejor candidato para la beca.

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110

7080

21

68

B

BBB

A

AAA

xz

xz

Distribución Normal Las probabilidades de la variable tipificada (z) están tabuladas para los

diferentes valores de la variable. Para calcular probabilidades, una vez transformada, la variable a valores de z, se busca en una tabla el área correspondiente.

Característica de la distribución normal tipificada (reducida o estándar):

No depende de ningún parámetro. Su media es 0, su varianza es 1 y su desviación típica es 1. La curva f(x) es simétrica respecto al eje de ordenadas y tiene un

máximo en este eje.

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EJEMPLOS:EJEMPLOS:1.-¿Cuál es la probabilidad de que un

valor de z esté entre 0 y -2.03?

2.-¿Cuál es la probabilidad de que un

valor de z esté entre -2.03 y +2.03?

3. Hallar P( z >1.25 ) 4. Hallar P ( -0.34 < z < )

5. Hallar P ( 0.34 < z < 2.30 )

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Ejemplos

Sea una variable distribuida normalmente con media = 4 y desviación típica = 1.5. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar un valor x 6 (P(x 6 ))?

Sea una variable distribuida normalmente con =4 y y = 2. Hallar el valor de x que deja por encima de él un 38.20% (0.3820).

El tiempo medio en realizar una misma tarea por parte de los empleados de una empresa se distribuye según una distribución normal, con media de 5 días y desviación típica 1 día. Calcular el porcentaje de empleados que realizan la tarea en un tiempo inferior a 7 días.

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Ejemplos

La vida media de una lámpara, según el fabricante, es de 68 meses, con una desviación típica de 5. Se supone que se distribuye según una distribución normal En un lote de 10.000 lámparas. a) ¿Cuántas lámparas superarán previsiblemente los 75 meses?. b) ¿Cuántos lámparas se estropearán antes de 60 meses?

El consumo medio bimestral de energía eléctrica en una ciudad es de 59 Kwh., con una desviación típica de 6 Kwh. Se supone que se distribuye según una distribución normal. a) ¿Cuántos Kwh. tendría que consumir bimestralmente para pertenecer al 5% de la población que más consume?. b) Si usted consume 45 Kwh. ¿qué % de la población consume menos que usted?

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La media de los pesos de 500 estudiantes de un colegio es 70 kg y la desviación típica 3 kg. Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, hallar cuántos estudiantes pesan:

Entre 60 kg y 75 kgMás de 90 kgMenos de 64 kg64 kg64 kg o menos

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