Presentacion Proyecto de Investigación

PreliminaresS-espacios generalizados con dos campos de estructura

Estructura de un S-espacio generalizadoBibliografıa

S-espacios generalizados con dos campos deestructura

Ana Marıa Fuentes Pino

Departamento de Geometrıa y Topologıa

Universidad de Sevilla, Espana

Julio, 2007

Proyecto de Investigacion S-espacios generalizados con dos campos de estructura



R(X ,Y )Z = λ(g(X ,Z )Y − g(Y ,Z )X ), λ funcion diferenciable

R(X ,Y )Z =c

4{g(Y ,Z )X − g(X ,Z )Y }+

+c

4{g(X , JZ )JY − g(Y , JZ )JX + 2g(X , JY )JZ}

F. Tricerri y L. Vanhecke

R(X ,Y )Z = f1 {g(Y ,Z )X − g(X ,Z )Y }+

+f2 {g(X , JZ )JY − g(Y , JZ )JX + 2g(X , JY )JZ}




R(X ,Y )Z =c + 3

4{g(Y ,Z )X − g(X ,Z )Y }+

+c − 1

4{g(X , φZ )φY − g(Y , φZ )φX + 2g(X , φY )φZ}+

+c − 1

4{η(X )η(Z )Y − η(Y )η(Z )X + g(X ,Z )η(Y )ξ − g(Y ,Z )η(X )ξ}

P. Alegre, D.E. Blair y A. Carriazo

R(X ,Y )Z = f1 {g(Y ,Z )X − g(X ,Z )Y }+

+f2 {g(X , φZ )φY − g(Y , φZ )φX + 2g(X , φY )φZ}+

+f3 {η(X )η(Z )Y − η(Y )η(Z )X + g(X ,Z )η(Y )ξ − g(Y ,Z )η(X )ξ}




1 Preliminaresf-variedades metricasResultados previos

2 S-espacios generalizadoscon dos campos deestructura

DefinicionEjemplos

3 Estructura de un S-espaciogeneralizado

Caso F2 =F3 o F2 = F4

Algunas obstrucciones

4 Bibliografıa




f-variedades metricasResultados previos

(M2m+s , f , ξ1, ..., ξs , η1, ..., ηs , g) f-variedad metricaf-estructura (campo de tensores de tipo (1,1)):

f 3 + f = 0

ξ1, . . . , ξs , campos de estructura y η1, . . . , ηs , 1− formas duales:

f ξα = 0; ηα ◦ f = 0; f 2 = −I +s∑

α=1

ηα ⊗ ξα;

g(X ,Y ) = g(fX , fY ) +s∑

α=1

ηα(X )ηα(Y )

Si ξα son de Killing:

dηα(X ,Y ) = (∇Xηα)Y = g(∇X ξα,Y )

R(ξα,X , ξβ,Y ) = Y ηα(∇X ξα)− g(∇X ξβ,∇Y ξα)





(M2m+s , f , ξ1, ..., ξs , η1, ..., ηs , g) f-variedad metricaf-estructura (campo de tensores de tipo (1,1)):

f 3 + f = 0

ξ1, . . . , ξs , campos de estructura y η1, . . . , ηs , 1− formas duales:

f ξα = 0; ηα ◦ f = 0; f 2 = −I +s∑

α=1

ηα ⊗ ξα;

g(X ,Y ) = g(fX , fY ) +s∑

α=1

ηα(X )ηα(Y )

Si ξα son de Killing:

dηα(X ,Y ) = (∇Xηα)Y = g(∇X ξα,Y )

R(ξα,X , ξβ,Y ) = Y ηα(∇X ξα)− g(∇X ξβ ,∇Y ξα)





f-estructura normal:

[f , f ] + 2s∑

α=1

ξα ⊗ dηα = 0,

Sea F la 2-forma sobre M definida: F (X ,Y ) = g(X , fY )

Variedad f-contacto metrica: f-variedad metrica, F = dηα

s=1 −→ Variedad de contacto

Variedad f-K-contacto metrica: Variedad f-contacto metrica, ξα

son de Killings=1 −→ Variedad K-contacto





K-variedad: f-variedad metrica normal y dF = 0s=0 −→ Variedad Kaehlerianas=1 −→ Variedad K-contacto normal

S-variedad: K-variedad y F = dηα

s=1 −→ Variedad Sasakiana

C-variedad: K-variedad y dηα = 0s=1 −→ Variedad cosimplectica





S-espacio: S-variedad con curvatura f-seccional constante c.

R(X ,Y ,Z ,W ) =∑α,β

(g(fX , fW )ηα(Y )ηβ(Z )−g(fX , fZ )ηα(Y )ηβ(W )+

+g(fY , fZ )ηα(X )ηβ(W )− g(fY , fW )ηα(X )ηβ(Z ))+

+c + 3s

4(g(fX , fW )g(fY , fZ )− g(fX , fZ )g(fY , fW ))+

+c − s

4(F (X ,W )F (Y ,Z )−F (X ,Z )F (Y ,W )−2F (X ,Y )F (Z ,W ))

C-espacio: C-variedad con curvatura f-seccional constante c.

R(X ,Y ,Z ,W ) =c


+F (X ,W )F (Y ,Z )− F (X ,Z )F (Y ,W )− 2F (X ,Y )F (Z ,W )))





En una variedad metrica f-K-contacto: ∇X ξα = −fX

En una K-variedad: ξα son de Killing, ∇ξαξβ = 0 yR(ξα,X , ξβ,Y ) = −g(∇X ξβ,∇Y ξα)

Una K-variedad es S-variedad ⇔∇X ξα = −fX

Una K-variedad es C-variedad ⇔∇X ξα = 0

Toda variedad f-K-contacto es S-variedad⇔(∇X f )Y =

∑α

{g(fX , fY )ξα + ηα(Y )f 2X

}





En una variedad metrica f-K-contacto: ∇X ξα = −fX

En una K-variedad: ξα son de Killing, ∇ξαξβ = 0 yR(ξα,X , ξβ ,Y ) = −g(∇X ξβ,∇Y ξα)

Una K-variedad es S-variedad ⇔∇X ξα = −fX

Una K-variedad es C-variedad ⇔∇X ξα = 0

Toda variedad f-K-contacto es S-variedad⇔(∇X f )Y =

∑α


}




DefinicionEjemplos

S-espacio M(c): S-variedad con curvatura f-seccional constante c.

R(X ,Y ,Z ,W ) =∑α,β

(g(fX , fW )ηα(Y )ηβ(Z )−g(fX , fZ )ηα(Y )ηβ(W )+

+g(fY , fZ )ηα(X )ηβ(W )− g(fY , fW )ηα(X )ηβ(Z ))+

+c + 3s


+c − s

4(F (X ,W )F (Y ,Z )−F (X ,Z )F (Y ,W )−2F (X ,Y )F (Z ,W ))




DefinicionEjemplos

R(X ,Y )Z =c + 6

4{g(Y ,Z )X − g(X ,Z )Y }+

+c − 2

4{g(X , fZ )fY − g(Y , fZ )fX + 2g(X , fY )fZ}+

+c + 2

4{η1(X )η1(Z )Y − η1(Y )η1(Z )X + g(X ,Z )η1(Y )ξ1−

−g(Y ,Z )η1(X )ξ1}

+c + 2

4{η2(X )η2(Z )Y − η2(Y )η2(Z )X + g(X ,Z )η2(Y )ξ2−

−g(Y ,Z )η2(X )ξ2}

+(−1){η1(X )η2(Z )Y−η1(Y )η2(Z )X+g(X ,Z )η1(Y )ξ2−g(Y ,Z )η1(X )ξ2}

+(−1){η2(X )η1(Z )Y−η2(Y )η1(Z )X+g(X ,Z )η2(Y )ξ1−g(Y ,Z )η2(X )ξ1}




DefinicionEjemplos

+c − 2

4{η1(X )η2(Y )η2(Z )ξ1 − η2(X )η1(Y )η2(Z )ξ1}

+c − 2

4{η2(X )η1(Y )η1(Z )ξ2 − η1(X )η2(Y )η1(Z )ξ2}




DefinicionEjemplos

(M2n+2, f , ξ1, ξ2, η1, η2, g) S-e.g. M(F1,F2,F3,F4,F5,F6,F7,F8)

R(X ,Y )Z = F1{g(Y ,Z )X − g(X ,Z )Y }

+F2{g(X , fZ )fY − g(Y , fZ )fX + 2g(X , fY )fZ}

+F3{η1(X )η1(Z )Y−η1(Y )η1(Z )X+g(X ,Z )η1(Y )ξ1−g(Y ,Z )η1(X )ξ1}




+F7{η1(X )η2(Y )η2(Z )ξ1 − η2(X )η1(Y )η2(Z )ξ1}

+F8{η2(X )η1(Y )η1(Z )ξ2 − η1(X )η2(Y )η1(Z )ξ2}




DefinicionEjemplos

Todo S-espacio M(c) con dos campos de estructura es unS-espacio generalizado tomando:

F1 =c + 6

4;F2 = F7 = F8 =

c − 2

4;F3 = F4 =

c + 2

4;F5 = F6 = −1.

Todo C-espacio M(c) con dos campos de estructura es unS-espacio generalizado tomando:

F1 = F2 = F3 = F4 = F7 = F8 =c

4;F5 = F6 = 0.




DefinicionEjemplos

Hipersuperficies

(M, φ, ξ, η, g) espacio Sasakiano generalizado M(f1, f2, f3).

M hipersuperficie isometricamente inmersa de M, ξ tangente a M.

N campo de vectores normal y unitario de M en M.

ξ1 = ξ; ξ2 = −φN;

η1 = η; η2(X ) = −g(X , φN)

fX = φX − η2(X )N

(M, f , ξ1, ξ2, η1, η2, g) es f-variedad metrica.




DefinicionEjemplos

Hipersuperficies

Teorema

Si M es una hipersuperficie pseudo-umbilical de M, es decir, elendomorfismo de Weingarten verifica:AX = g1(X − η1(X )ξ1) + g2η2(X )ξ2 − η1(X )ξ2 − η2(X )ξ1,∀X ∈ TM, g1 y g2 funciones diferenciables sobre M, entoncesM(F1,F2,F3,F4,F5,F6,F7,F8), es un S-e.g. con funciones:

F1 = f1 + g12, F2 = f2, F3 = f2 + g1

2, F4 = −g1g2,

F5 = F6 = g1, F7 = F8 = −1− g1g2.




DefinicionEjemplos

Hipersuperficies

M e.S.g. y Ecuacion de Gauss:

R(X ,Y )Z = f1 {g(Y ,Z )X − g(X ,Z )Y }+

+f2 {g(X , fZ )fY − g(Y , fZ )fX + 2g(X , fY )fZ}+

+f3{η1(X )η1(Z )Y − η1(Y )η1(Z )X+

+g(X ,Z )η1(Y )ξ1−g(Y ,Z )η1(X )ξ1}+g(AY ,Z )AX−g(AX ,Z )AY




DefinicionEjemplos

Hipersuperficies

En particular

g1 = 1, g2 = 0 −→ hipersuperficie totalmente contacto-umbilicalg1 = g2 = 0 −→ hipersuperficie totalmente contacto-geodesica

AX = λX −→ hipersuperficie totalmente umbilical

F1 = f1 + λ2; F2 = f2; F3 = f3; F4 = F5 = F6 = F7 = F8 = 0

AX = 0 −→ hipersuperficie totalmente geodesica

F1 = f1; F2 = f2; F3 = f3; F4 = F5 = F6 = F7 = F8 = 0




DefinicionEjemplos

Fibraciones Toroidales

M = (M2n+2, f , ξ1, ξ2, η1, η2, g) S-variedad que es el espaciofibrado de una fibracion principal toroidad sobre N = (N2n, J,G )variedad Kaehleriana.

π : M −→ N submersion Riemanniana

(i) νx = span{ξ1x , ξ2x}; (ii) (JX )∗ = fX ∗; (iii) G (X ,Y ) = g(X ∗,Y ∗)

(R(X ,Y )Z )∗ = R(X ∗,Y ∗)Z ∗+2 {g(X ∗, fZ ∗)fY ∗ − g(Y ∗, fZ ∗)fX ∗+

+2g(X ∗, fY ∗)fZ ∗}




DefinicionEjemplos

Fibraciones Toroidales

Teorema

Bajo estas condiciones, si N2n(f1, f2) es un espacio complejogeneralizado, entonces M(F1,F2,F3,F4,F5,F6,F7,F8) es un S-e.g.con funciones:

F1 = f1 ◦ π, F2 = f2 ◦ π − 2, F3 = F4 = f1 ◦ π − 1,

F5 = F6 = −1, F7 = F8 = f1 ◦ π − 2.

R(X ,Y )Z = f1{G (Y ,Z )X − G (X ,Z )Y }+

+f2{G (X , JZ )JY − G (Y , JZ )JX + 2G (X , JY )JZ}




DefinicionEjemplos

Productos warped

(M, φ, ξ, η, g) e. S. g. con funciones f1, f2, f3

M = R×h M h > 0 funcion diferenciable

gh = π∗1(gR) + (h ◦ π1)

2π∗2(g)

X = (addt

, X ), fX = (0, φX ) = (φ(π2)∗X )∗

ξ1 = (0,1

hξ), ξ2 = (

ddt

, 0)

η1((addt

, X ))) = hη(X ), η2((addt

, X )) = a

(M, f , ξ1, ξ2, η1, η2, gh) es f-variedad metrica




DefinicionEjemplos

Productos warped

Teorema

Dada M(f1, f2, f3), el producto warped M = R×h M es un S-e.g.,M(F1,F2,F3,F4,F5,F6,F7,F8) donde:

F1 =(f1 ◦ π2)− h′2

h2, F2 =

(f2 ◦ π2)

h2,

F3 = F7 = F8 =f3 ◦ π2

h2, F4 =

(f1 ◦ π2)− h′2

h2+

h′′

h,

F5 = F6 = 0.

X = (addt

, X ) = η2(X )ξ2 + (0, X )




DefinicionEjemplos

Productos warped

En particular:

N(c) espacio complejo de curvatura holomorfa constante ⇒⇒M = R×h2 (R×h1 N(c)) S-e.g.

F1 =c − 4(h′

1)2 − 4h2

1(h′2)

2

4h21h

22

; F2 =c

4h21h

22

;

F3 = F7 = F8 =c − 4(h′

1)2 + 4h1h

′′1

4h21h

22

;

F4 =c − 4(h′

1)2 − 4h2

1(h′2)

2 + 4h21h2h

′′2

4h21h

22

;

F5 = F6 = 0.




DefinicionEjemplos

Productos warped

h ≡ 1 (producto usual Riemanniano) ⇒ M = R× M S-e.g.

F1 = F4 = f1 ◦ π2; F2 = f2 ◦ π2; F3 = F7 = F8 = f3 ◦ π2;

F5 = F6 = 0.




Caso F2 = F3 o F2 = F4Algunas obstrucciones

Teorema

Sea M = (M, f , ξ1, ξ2, η1, η2, g) un S-espacio generalizado conF2 6= 0 y dim(M) ≥ 6. Supongamos que M verifica las siguientescondiciones:

(a) ∇X ξα ∈ L, para todo X ∈ TM y para todo α = 1, 2;

(b) g(∇X ξα,X ) = 0, para todo X ∈ L y para todo α = 1, 2.

Entonces:

(i) ∇ξβξα = 0, para todo α, β = 1, 2.

(ii) F5 = F6 y F7 = F8.

(iii) Si F2 = F3 o F2 = F4, entonces F1 y F2 son funcionesconstantes. Ademas, si M es K-variedad, entoncesF1 − F2 ≥ 0 y, en este caso, si F1 = F2 = F3 = F4, M esC-variedad.





Segunda identidad de Bianchi:

g((SX ,Y ,Z (∇R)(X ,Y ,Z ))W ,V ) =

= g((∇XR)(Y ,Z )W ,V ) + g((∇Y R)(Z ,X )W ,V )+

+g((∇ZR)(X ,Y )W ,V ) = 0





Proposicion

Sea M = (M, f , ξ1, ξ2, η1, η2, g) un S-espacio generalizado. Si M esuna variedad f -K -contacto metrica o una K -variedad, entonces:

F1 + F7 = F3 + F4 = F1 + F8

M variedad f-K-contacto ⇒ R(ξ1, ξ2, ξ1, ξ2) = 0

⇒ F1 − F3 − F4 + F8 = 0

Analogamente, R(ξ2, ξ1, ξ2, ξ1) = 0 ⇒ F1 − F3 − F4 + F7 = 0





Corolario

Sea M = (M, f , ξ1, ξ2, η1, η2, g) un S-espacio generalizado. Si Mes una variedad f-K-contacto metrica o una K-variedad,entonces F7 = F8.

En particular:Las hipersuperficies totalmente umbilical (resp. totalmentegeodesica) de un e.S.g. K-contacto (f1 = f3 + 1) son S-e.g. que noson ni variedades f-K-contacto ni K-variedades:

F1+F7 = f1+λ2 6= F3+F4 = f3 (resp., F1+F7 = f1 6= F3+F4 = f3)

El producto warped R×h M, siendo M un e.S.g. es un S-e.g. queno puede ser ni variedad f-K-contacto ni K-variedad, a no ser queh′′ = 0.





Corolario


En particular:

Las hipersuperficies totalmente umbilical (resp. totalmentegeodesica) de un e.S.g. K-contacto (f1 = f3 + 1) son S-e.g. que noson ni variedades f-K-contacto ni K-variedades:







Corolario


En particular:Las hipersuperficies totalmente umbilical (resp. totalmentegeodesica) de un e.S.g. K-contacto (f1 = f3 + 1) son S-e.g. que noson ni variedades f-K-contacto ni K-variedades:







Proposicion

Sea M = (M, f , ξ1, ξ2, η1, η2, g) un S-espacio generalizado. Si Mes una variedad f-K-contacto metrica, entonces:

F1 − F3 = F1 − F4 = 1; F5 = F6 = −1

En consecuencia:

F3 = F4 = 1 + F7; F1 − F7 = 2

M variedad f-K-contacto metrica ⇒ R(ξα,X , ξβ,X ) = −1,∀X ∈ L unitario.En particular, el resultado se cumple para S-variedades.





Proposicion


F1 − F3 = F1 − F4 = 1; F5 = F6 = −1

En consecuencia:

F3 = F4 = 1 + F7; F1 − F7 = 2

M variedad f-K-contacto metrica ⇒ R(ξα,X , ξβ ,X ) = −1,∀X ∈ L unitario.

En particular, el resultado se cumple para S-variedades.





Proposicion


F1 − F3 = F1 − F4 = 1; F5 = F6 = −1

En consecuencia:

F3 = F4 = 1 + F7; F1 − F7 = 2

M variedad f-K-contacto metrica ⇒ R(ξα,X , ξβ ,X ) = −1,∀X ∈ L unitario.En particular, el resultado se cumple para S-variedades.





Teorema

Todo S-espacio generalizado M = (M, f , ξ1, ξ2, η1, η2, g) conuna estructura f-K-contacto metrica es una S-variedad.

ξα Killing ⇒ R(X , ξα)Y = −(∇X f )YM S-e.g. y F7 = F8:

R(X , ξ1)Y = (F1 − F3)(η1(Y )X − g(X ,Y )ξ1)+

+(F4 − F7)(η2(X )η2(Y )ξ1 − η2(X )η1(Y )ξ2)+

+F5(η1(X )η2(Y )ξ1 − η2(Y )X + g(X ,Y )ξ2 − η1(X )η1(Y )ξ2)

(∇X f )Y =∑

α


}⇒ M es S-variedad.





Teorema


ξα Killing ⇒ R(X , ξα)Y = −(∇X f )Y

M S-e.g. y F7 = F8:

R(X , ξ1)Y = (F1 − F3)(η1(Y )X − g(X ,Y )ξ1)+

+(F4 − F7)(η2(X )η2(Y )ξ1 − η2(X )η1(Y )ξ2)+


(∇X f )Y =∑

α







Teorema


ξα Killing ⇒ R(X , ξα)Y = −(∇X f )YM S-e.g. y F7 = F8:

R(X , ξ1)Y = (F1 − F3)(η1(Y )X − g(X ,Y )ξ1)+

+(F4 − F7)(η2(X )η2(Y )ξ1 − η2(X )η1(Y )ξ2)+


(∇X f )Y =∑

α







Teorema

Todo S-espacio generalizado M = (M, f , ξ1, ξ2, η1, η2, g) conestructura f-contacto metrica y tal que F3 = F4, F7 = F8 yF1 − F3 = F4 − F7 = 1 es una S-variedad.

K curvatura seccional: K (ξ1, ξ2) = 0

S tensor de curvatura de Ricci: S(ξ1, ξ1) = 2n(F1 − F3) = 2n yS(ξ2, ξ2) = 2n(F1 − F4) = 2n

Por lo tanto, ξ1 y ξ2 Killing ⇒ M variedad f-K-contacto metrica ⇒M es S-variedad.





Proposicion

Sea M = (M, f , ξ1, ξ2, η1, η2, g) un S-espacio generalizado. Si Mes una K-variedad, entonces:

F1 − F3,F1 − F4,F3 − F7,F4 − F7 ≥ 0; F5 = F6

En particular, si M es una C-variedad, entonces:

F1 = F3 = F4 = F7 = F8; F5 = F6 = 0

M K-variedad ⇒ R(ξα,X , ξβ,Y ) = −g(∇X ξβ,∇Y ξα)

‖∇X ξ1‖2 = F1 − F3; ‖∇X ξ2‖2 = F1 − F4

g(∇X ξ1,∇X ξ2) = −F5 = −F6

Para C-variedades: ∇X ξα = 0





Proposicion

Sea M = (M, f , ξ1, ξ2, η1, η2, g) un S-espacio generalizado. Si Mes una K-variedad, entonces:

F1 − F3,F1 − F4,F3 − F7,F4 − F7 ≥ 0; F5 = F6

En particular, si M es una C-variedad, entonces:

F1 = F3 = F4 = F7 = F8; F5 = F6 = 0

M K-variedad ⇒ R(ξα,X , ξβ,Y ) = −g(∇X ξβ,∇Y ξα)

‖∇X ξ1‖2 = F1 − F3; ‖∇X ξ2‖2 = F1 − F4

g(∇X ξ1,∇X ξ2) = −F5 = −F6

Para C-variedades: ∇X ξα = 0Proyecto de Investigacion S-espacios generalizados con dos campos de estructura




Teorema

Sea M = (M, f , ξ1, ξ2, η1, η2, g) un S-espacio generalizado. Si Mes una S-variedad, entonces F1 − F2 = 2 y, en consecuencia:

F2 = F7 = F8 = F3 − 1 = F4 − 1.

Por ser M S-variedad:

R(X ,Y ,Z , fW ) + R(X ,Y , fZ ,W ) = 2 {g(Y ,Z )F (X ,W )−

g(X ,Z )F (Y ,W ) + g(X ,W )F (Y ,Z )− g(Y ,W )F (X ,Z )}para todos X ,Y ,Z ,W ∈ LA partir del tensor de curvatura de un S-e.g.:

R(X ,Y ,Z , fW )+R(X ,Y , fZ ,W ) = (F1−F2) {g(Y ,Z )F (X ,W )−

−g(X ,Z )F (Y ,W ) + g(X ,W )F (Y ,Z )− g(Y ,W )F (X ,Z )}





Teorema


F2 = F7 = F8 = F3 − 1 = F4 − 1.



g(X ,Z )F (Y ,W ) + g(X ,W )F (Y ,Z )− g(Y ,W )F (X ,Z )}para todos X ,Y ,Z ,W ∈ L

A partir del tensor de curvatura de un S-e.g.:







Teorema


F2 = F7 = F8 = F3 − 1 = F4 − 1.



g(X ,Z )F (Y ,W ) + g(X ,W )F (Y ,Z )− g(Y ,W )F (X ,Z )}para todos X ,Y ,Z ,W ∈ LA partir del tensor de curvatura de un S-e.g.:







En consecuencia: Si M es el espacio fibrado de una fibracionprincipal toroidal sobre un espacio complejo generalizadoKaehleriano N(f1, f2), como F1 − F2 = 2 ⇒ f1 = f2




Bibliografıa

P. Alegre, D. E. Blair and A. Carriazo. Israel J. Math. (2004).

D. E. Blair, T. Koufogiorgos and B. J. Papantoniou. J. Diff.Geom. (1970).

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Presentacion Proyecto de Investigación

Education

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