Presentacion_Grafos y Dígrafos de Hamilton
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8/12/2019 Presentacion_Grafos y Dgrafos de Hamilton
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Grafo de Hamilton
Origen de los grafos hamiltonianos Sir Willian Hamilton 18051865
Problema del viajante.
Grafo de Hamilton
El juego consista pues, en encontrar unciclo de Hamilton en el grafo de lasiguiente figura.
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Camino Hamiltoniano: Sea G= (V;E) un grafo con|V|=n, sin vrtices aislados. Recibe el nombre decamino de Hamilton en G todo camino elementalde G que contiene todos sus vrtices.
Ciclo Hamiltoniano: un G contiene un ciclo deHamilton si existe un ciclo que contenga a todos losvrtices de v, y en ese caso se dice que G esHamiltoniano.
Un grafo es Hamiltoniano,si y solo si existe un ciclode Hamilton.
Grafo de Hamilton
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Un grafo es semi hamiltoniano
si y solo si existe un camino no un cicloque pasa uno y solo una vez por cada
uno de los vrtices.
Grafo de Hamilton
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Ejemplo 1
Camino Hamiltoniano: no haycamino Hamiltoniano
Ciclo Hamiltoniano: no hay
porque no hay caminoHamiltoniano
No es un Grafo Hamiltoniano
V2V8
V1
V6
V7
V4
V5
V3
Grafo de Hamilton
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Ejemplo 2
Camino Hamiltoniano
V6V3V2V4V5V1
Ciclo HamiltonianoNo hay porque hay un vrticeaislado
NO ES GRAFO HAMILTONIANO
Grafo de Hamilton
v2
v3
v5
v1
v4
v6
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Ejemplo 3Camino HamiltonianoV6V3V2V4V5V1
Ciclo Hamiltoniano
V6V3V2V1V5V4V6
Es Grafo Hamiltoniano
Grafo de Hamilton
v3
v5
v1
v4
v6
v2
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Ciclo de HamiltonObviamente, siGno es conexo no puede poseer un ciclo de Hamilton.
No se conocen condiciones necesarias y suficientes para la existencia de cicloshamiltonianos.
Si se conocen teoremas que dan condiciones suficientes para la existencia deciclos hamiltonianos.
Hay propiedades para demostrar que un grafo no contiene un ciclo
hamiltoniano (Ej: grafo con vrtice de grado 1).
Un ciclo hamiltoniano no puede contener un ciclo mas pequeo dentro de el.
NOTA:
Ambas aristas de un vrtice de grado 2 tienen que formar parte del ciclo
hamiltoniano .
Al pasar por un vrtice pueden descartarse todas las aristas incidentes con elque no sean las usadas en el ciclo.
Grafo de Hamilton
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Teorema
(Gabriel A. Dirac en 1952)Si G es un grafo simple con nvrtices (n 3) es hamiltoniano si para todo vrticev(G) se cumple que g(v) ( n/2),
entonces el grafo es Hamiltoniano.
Grafo de Hamilton
V2
V1
V5
V4
V6v3
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Sea G=(V,A) con |V|=n la clausura de G estadenotada C(G). Es el grafo simple obtenido de
G, uniendo con aristas de forma recursiva, todoslos pares de vrtices de G no adyacentes cuyasuma de grados sea al menos n.
Si v1y vjson vrtices no adyacentes en G, tal queg(v
1) + g(v
j) n entonces trazamos todas las
aristas que une a los pares de vrtices v1 y vjhasta agotar todos estos pares.
Grafo de Hamilton
CLAUSURA
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EJEMPLO 5:
g(v2) + g(v6) = 6 6Por lo tanto aadimos la arista (v2, v6)Llamamos (G1) al nuevo grafo
g1(v6) + g1(v5) = 6 6
Por lo tanto aadimos la arista (v6, v5)Llamamos (G2) al nuevo grafo.
g2(v3) + g2(v5) = 7 6Por lo tanto aadimos la arista (v3, v5)Llamamos (G3) al nuevo grafo.
g3(v3) + g3(v1) = 6 6
Por lo tanto aadimos la arista (v3, v1)Llamamos (G4) al nuevo grafo.
g4(v4) + g4(v1) = 7 6Por lo tanto aadimos la arista (v4, v1)Llamamos (G5) al nuevo grafo.
g5(v1) + g5(v6) = 8 6
Por lo tanto aadimos la arista (v1, v6)Llamamos (G6) al nuevo grafo.
Grafo de Hamilton
V3
V2
V1
V5
V4
V6
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No existen mas paresde vrtices quecumplan la condicin,entonces G6 es la
clausura del grafoC(G) = G6.
Nota: en este caso laclausura es el grafocompleto K6.
V3
V2
V1
V5
V4
V6
Grafo de Hamilton
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En consecuencia de la definicin de clausura,
tenemos.
Teorema.
Como Knpara n 3 es un grafo de Hamilton.
(un G es de Hamilton si y solo si su clausura esun grafo de Hamilton)
Teorema:
Sea un G=(V, A) un grafo con |V|=n 3
Si C(G) = Kn entonces G es un grafo deHamilton.
Grafo de Hamilton
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La clausura de un grafo no dirigido G es
siempre un grafo completo?
No, por ejemplo la clausura de G.
v1
v5
v4v3
v2 Es el propio grafo G
Grafo de Hamilton
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Teorema de (Oystein Ore en 1960)
Sea G un grafo simple de n vrtices. Si paratodo par de vrtices u v no adyacentes se
cumple que g(u)+g(v) n, entonces G esHamiltoniano.
Grafo de Hamilton
v4
v6
v5
v1
v2
v3
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Consideraciones acerca de
los grafos Kn
Kn posee (n-1)! /2 ciclos de Hamilton. Estaafirmacin puede ser cierta al comenzar el
ciclo desde el primer vrtice v1, se tiene n-1aristas para escoger y llegar al vrtice v2. apartir de n-2 podemos llegar a v3. a partir de n-3. hasta llegar a n vrtices.
El numero total de ciclos de Hamilton es (n-1)!/2
Grafo de Hamilton
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Ejemplo 6
v1
v3
v2
v4
(n-1)!/2
(4-1)! / 2 = 3!/2= 6/2 =3 ciclos.
(n-1)= (4-1)=3 llegamos hastav2.
(n-2)= (4-2)=2 llegamos hastav3.
(n-3)= (4-3)=1 llegamos hasta
v4.
(n-4)= (4-4)=0 llegamos hastav1.
Grafo de Hamilton
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(n-1)!/2
(4-1)! / 2 = 3!/2= 6/2 =3 ciclos.
(n-1)= (4-1)=3 llegamos hastav3.
(n-2)= (4-2)=2 llegamos hastav4.
(n-3)= (4-3)=1 llegamos hastav2.
(n-4)= (4-4)=0 llegamos hastav1.
v2v1
v4 v3
Grafo de Hamilton
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DIGRAFOS DE HAMILTONSea D un dgrafo. D se llama Dgrafo De
Hamilton, si en D existe un circuito simplecobertor; dicho circuito se llama Circuito
Hamiltoniano.Como en el caso de los grafos Hamiltonianos
no existe ninguna caracterizacin de losdgrafos de Hamilton.
Las condiciones suficientes que existen paraque un dgrafo sea de Hamilton son anlogas alas representadas para grafos de Hamilton.
Dgrafos de Hamilton
f d ilt
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El siguiente teorema que a continuacin
presentamos sin demostrarlo, fuedemostrado por bondy y Thomassen,ofrece una condicin suficiente para queun dgrafo sea de Hamilton.
Teorema: sea D un dgrafo fuertementeconexo con |V(D)|= n. Tal que paratodo par de nodos no adyacentes u y v
g(u) + g (v) 2n - 1, Entonces D es undgrafo de Hamilton.
Dgrafos de Hamilton
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El siguiente dgrafo nos muestra que la condicin
del teorema anterior es una condicin fuerte.
Para los vrtices u y v no-adyacentes se cumpleque G(u) + g (v) = 2n2.
Por lo tanto el dgrafo no es un dgrafo de Hamilton
u
v
Dgrafos de Hamilton
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Del teorema, se obtiene un gran nmero de
consecuencias de las cuales destacamos las siguientes:
1. Sea D un dgrafo con |V(D)| = n, n > 1, tal quesiempre que u y v diferentes y el arco (u, v) A(D).Entonces + (u) + g (v) n, se tiene que D esHamiltoniano.
Demostracin. Primero demostremos que la condicinen 1 implica que D es fuertemente conexo. Sean u y vdos nodos de V(D), veamos que v es accesible desde u.si (u, v) A (D), por hiptesis debe existir un nodo w enV(D) con w u, w v, tal que los arcos (u, w) y (w, v)
estn en A(D). puesto que los nodos uwv, constituyenun camino en D y v es accesible desde u, se tiene queD es fuertemente conexo.
Dgrafos de Hamilton
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Para completar la demostracin, aplicamos el
teorema, Sean u y v dos nodos no adyacentes deV(D) entonces:
+ (u) + (v) n y +(v) + (u) n , entonces
(u) + (v) 2n. , entonces, de donde seconcluye que el Dgrafo es Hamiltoniano.
Dgrafos de Hamilton
u
v
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Un dgrafo D posee un camino Hamiltonianose llama DIGRAFO SEMI-HAMILTONIANO.
Un dgrafo D se llama CONEXOHAMILTONIANOsi D posee un camino simple
CS : (U---->V).Es claro que todo dgrafoconexoHamiltoniano es un dgrafoHamiltoniano.
Una condicin suficiente para que un dgrafoD con |V (D)|= n , sea conexo Hamiltoniano es la siguiente :
Dgrafos de Hamilton
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TEOREMA: sea D un dgrafo trivial con n
nodos , tal que para todo par de nodosdiferentes u y v con (u, v ) A(D), + (u) +
(v) n + 1. Entonces D es conexo-Hamiltoniano.
EJEMPLO 7
Dgrafos de Hamilton
u v
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DETERMINACION DE LOS CIRCUITOS DE
HAMILTON DE UN DIGRAFO
Sea un dgrafo simple con |V(D)| 2.
Encontremos todos los subconjuntos de arcos
B de A(D) tales que: En el subconjunto H de D con A(H) = B. todo
nodo tiene exactamente un predecesor y unsucesor.
Un subdgrafo H es fuertemente conexo. Llamemos M al conjunto de todos
subconjuntos de A que satisfacen estascondiciones.
Dgrafos de Hamilton
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Denotaremos M el conjunto de todos los
subconjuntos de A que satisfacen lascondiciones.
Si el dgrafo el fuertemente conexo y que|V(D)|=2, entonces M={A}.
Si |V(D)|> 2, podemos descomponer elproblema de la siguiente manera.
Sea u A(D) y sea Mu={B M: u B}. Estesubconjunto lo podemos determinar as.
Dgrafos de Hamilton
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DETERMINACION DE MuSean v1 el nodo inicial y vj el nodo terminal dearco u. entonces definimos la contraccin deD con respecto a u como dgrafo Du
obtenido al realizar las siguientesoperaciones.
a. Suprimimos todos los arcos que incidenpositivamente en v1 y los arcos queinciden negativamente en vj y el arco (vj,vi) si existe.
b. Fusionamos los nodos v1 y vj.
Dgrafos de Hamilton
f d il
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EJEMPLO 8
1
4 3
25
h
i
fb
cd
e
gj
a
5 12
34
c
h
g j
e
df
Dgrafos de Hamilton