PRINCIPIO DE MULLER

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DESARENADOR ANALISIS ESTRUCTURAL II

Líneas de Influencia, Principio de Muller y Tren de Cargas

Escuela Profesional de Ingeniería Civil- UNPRG

INTRODUCCIÓN

Luego de haber estudiado cursos básicos como son la Física, Estática, Resistencia de

materiales y Análisis Estructura I; el estudio de los elementos estructurales, como es el

caso de vigas, se centraba en aquellas sometidas a sistemas de cargas fijas o estáticas.

En la vida real podemos constatar que no siempre es así y que a parte de las cargas fijas o

estáticas, las estructuras, están sometidas a otras fuerzas externas como son las Cargas

Vivas o aquellas que no permanecen en un solo punto o distribuidas constantemente sobre

la estructura.

En el caso de estructuras sometidas a cargas muertas, la representación de la variación de

las cargas a lo largo de una viga, quedaba determinada mediante los diagramas de Fuerza

cortante y Momento Flector. Pero al someter una viga a cargas móviles que se desplazan

de un extremo a otro sobre ella, se puede percibir con un simple criterio lógico que las

reacciones en los apoyos, las fuerzas cortantes y los momentos flectores no permanecen

constantes y que varían a medida de que la fuerza se aleje de un extremo y se acerque al

otro.

En este caso se necesita incurrir en ciertos criterios o aplicar algún método para

determinar las condiciones en que una viga trabajará al tener q soportar a estas cargas

móviles y de acuerdo a éstas, diseñarlas para soportar las condiciones de carga más

severas, que probablemente se apliquen o generen en dicho elemento durante su vida útil.

El Ingeniero civil, en particular, al trabajar el cálculo de estructuras que estarán sometidas

a cargas vivas, que se desplazan a lo largo de ella, necesita conocer los puntos críticos

donde se producen los mayores efectos de las cargas.

En el presente informe se dará a conocer los cálculos de las líneas de influencia en

estructuras hiperestáticas: por el método directo, método de Muller; y el cálculo de Tren

de cargas.

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HISTORIA

En 1867 se introdujo la línea de influencia por el alemán E. Winkler. Alrededor de veinte

años después fue descubierto por el Prof. Müller -Breslau el importante principio según el

cual pueden determinarse fácilmente las líneas de influencia para estructuras, tanto

determinadas como indeterminadas .Se recordará que en 1886 Müller –Breslau publicó su

versión mejorada del método general de Maxwell y Mohr. Al desarrollar este método, se

dio cuenta del gran valor del teorema de desplazamientos recíprocos de Maxwell,

descubriendo también el principio que ahora lleva su nombre. Este principio es la base

para determinar la mayor parte de las líneas de influencia para estructuras

indeterminadas, independientemente de que el método seleccionado sea matemático o

experimental.

OBJETIVO

Debemos tener en claro que la posibilidad de cargas móviles implica la necesidad de

obtener:

a) Las solicitaciones, deformaciones, etc., que produce una carga (o un estado de

cargas) para distintos puntos de aplicación de la misma.

b) El estado más desfavorable de aplicación de la carga, que trae aparejada las

mayores solicitaciones o deformaciones, y con las cuales tiene que ser evaluada

una sección dada.

El trazado de diagramas o Líneas de Influencia nos permite una adecuada respuesta a las

dos necesidades y su utilización es casi imprescindible en el caso de estudios de puentes,

puentes grúa, etc., donde las cargas móviles (p) tienen una cierta importancia con

respecto a peso propio o carga permanentes (g).

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LÍNEAS DE INFLUENCIA DE ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS

DEFINICIÓN

La línea de influencia puede definirse como una gráfica cuyas ordenadas representan la

magnitud y el carácter o sentido de cierta función o efecto en una estructura, a medida que

una carga unitaria móvil se desplaza a lo largo de la misma. Es decir, una línea de

influencia representa la variación de la reacción, de la fuerza cortante, del momento flector

o de la deflexión en un punto específico de un miembro cuando una fuerza concentrada se

mueve sobre dicho miembro. La ordenada del diagrama define el valor de la función

cuando la carga móvil se encuentra colocada en el sitio correspondiente a dicha ordenada.

Es decir que la magnitud de la reacción, fuerza cortante, momento flector o deflexión en un

punto, puede calcularse a partir de la ordenada del diagrama de la línea de influencia en

dicho punto

La línea de influencia de una reacción o de una acción (momento flexionante o fuerza

cortante) tiene la misma forma que la viga deformada cuando se le impone un

desplazamiento unitario correspondiente a la reacción o acción determinada.

Existen tres métodos para calcular las líneas de influencia de estructuras hiperestáticas: El

método directo, el método basado en el principio de Muller-Breslau y el método de Cross.

I. MÉTODO DIRECTO:

Es un método cuya explicación es inmediata, basada en la aplicación de la definición de

L. de I.

Supongamos que la L de I del Momento flector en A-A (ηMfA).

Dividamos cada tramo de la viga en partes iguales (cuyo largo dependerá de la

precisión requerida) que en nuestro caso es igual a 6 partes.

Ilustración 1: Viga dividida en partes

Coloquemos P = 1tn en el punto 1. Calculamos el MfA para esa carga (η1) y al valor (en

una determinada escala) lo dibujamos debajo del punto 1 (1').

Corremos P = 1tn al punto 2. Calculamos el MfA para esa carga (η2) y al valor lo

dibujamos debajo del punto 2 (2'), y así sucesivamente para todos los puntos (3, 4, .......,

23, 24).

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Unimos los puntos 0', 1', 2'....., 23', 24' mediante curvas o poligonales, y por la forma de

su construcción esta curva o poligonal es la L de I buscada (ηMfA).

El método puede ser largo, según el número de puntos elegidos, pues para cada uno es

necesario resolver un hiperestático.

Dichos cálculos se pueden facilitar con la utilización de computadora, utilización de la

matriz β para los distintos estados de carga, o la utilización de condiciones de simetría,

si la estructura fuera simétrica.

PÓRTICOS

Las líneas de influencia pueden tener importancia directa en el diseño de pórticos

simples utilizados en estructuras de puentes o de puentes grúas. También son muy

útiles cuando dichos pórticos tienen miembros acartelados, en cuyos casos se pueden

usar modelos indirectos, en combinación con el Principio de Müller-Breslau, para

obtener cuantitativamente el valor de las fuerzas deseadas. Sin embargo, en pórticos

de edificios su mayor utilidad radica en permitir determinar con facilidad los patrones

de carga que causan las máximas respuestas.

II. MÉTODO DE TRABAJOS VIRTUALES O PRINCIPIO DE MÜLLER – BRESLAU

Este principio puede enunciarse como sigue: “Si una componente de esfuerzo interno o

una componente de reacción se considera aplicada a lo largo de una pequeña distancia

y que dicha aplicación flexione o desplace una estructura, la curva de la estructura

flexionada o desplazada será, en escala proporcional, la línea de influencia para los

esfuerzos o componentes de reacción”. Este principio se aplica a vigas, marcos

continuos, estructuras articuladas y a estructuras determinadas e indeterminadas. Sin

embargo para estructuras determinadas se limita a aquellas para las que es válido el

principio de superposición.

La línea de influencia de una reacción o de una acción (momento flexionante o fuerza

cortante) tiene la misma forma que la viga deformada cuando se le impone un

desplazamiento unitario correspondiente a la reacción o acción determinada. A

continuación se ilustra para una viga libremente apoyada.

Ilustración 2: Viga libremente apoyada.

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La línea de influencia de la reacción en A se obtiene introduciendo un desplazamiento

unitario a la viga en dirección de la reacción la forma de la viga deformada es la línea de

influencia de RA. Para introducir el desplazamiento unitario, se supone que se elimina

la restricción a la deformación de la viga en el apoyo, y no se permite otro tipo de

deformación, por ejemplo debido a flexión o fuerza cortante. Por esta última razón la

viga permanece recta. El sentido del desplazamiento en la figura corresponde al sentido

positivo de la reacción RA, o sea hacia arriba.

Ilustración 3: Línea de influencia de RA.

La línea de influencia de la fuerza cortante en el punto C de la viga, se obtiene cortando

la viga en ese punto, e introduciendo un desplazamiento unitario correspondiente a la

fuerza cortante. La forma de la viga deformada es la línea de influencia de Vc. En este

caso no deben permitirse deformaciones por flexión o por desplazamiento de las

reacciones. Para que no haya deformaciones por flexión, los dos tramos de línea de

influencia entre el punto C y los apoyos deben ser paralelos. De otra forma habría un

giro relativo, deformación que corresponde a la flexión. Obsérvese que cuando se hace

referencia a un desplazamiento unitario, se entiende que es un desplazamiento muy

pequeño, ya que de otra forma los ángulos no podría igualarse a sus tangentes y las

distancias a/l y b/l mostradas en la figura no serían correctas. El sentido del

desplazamiento en la figura corresponde al sentido positivo de la fuerza cortante.

Ilustración 4: Línea de influencia de VC.

r




La línea de influencia del momento flexionante en el punto C de la viga, se obtiene

introduciendo una articulación en ese punto, como se muestra, e imponiendo un giro

unitario, o sea, la deformación correspondiente a flexión. La forma de la viga deformada

es la línea de influencia de MC. Obsérvese que en este caso no hay deformaciones

correspondientes a fuerza cortante o desplazamiento de los apoyos. La primera

condición implica que los dos tramos de la viga permanezcan unidos en el punto C.

Ilustración 5: Línea de influencia de MC.

Una demostración más formal del Principio de Müller – Breslau se incluye usando el

Principio De Trabajo Virtual.

Supóngase que en la viga de la figura se coloca una carga virtual unitaria en un punto

cualquiera a una distancia X del origen de coordenadas. Si se impone a la viga un

desplazamiento δRA en el apoyo A; el punto de aplicación de la carga unitaria sufrirá

un desplazamiento Y. Al imponer el desplazamiento en el apoyo A, como se ha indicado,

la reacción en A y la carga unitaria realizaran un trabajo igual a la magnitud de las

cargas por su desplazamiento, y por el Principio de Trabajo Virtual, estos trabajos

deberán ser iguales. Por lo tanto, se puede escribir la ecuación:

( )( )

Pero si el desplazamiento es unitario:

Esta ecuación indica que si se aplica una carga unitaria en un punto situado a una

distancia X del origen, la ordenada de la viga desplazada en el punto de aplicación de la

carga es igual a la reacción RA producida por la carga unitaria. Esta la definición de

línea de influencia y por lo tanto la viga desplazada coincide con la línea de influencia,

lo cual demuestra el Principio de Müller – Breslau.

De manera semejante si el desplazamiento que se impone a la viga corresponde a la

fuerza cortante, la fuerza cortante en el punto C desarrollara un trabajo igual a la

magnitud de la fuerza por el desplazamiento en el punto C, y lka carga unitaria, un

trabajo igual a la unidad por el desplazamiento en su punto de aplicación.

r




( )( )

Si se toma en cuenta que el desplazamiento en C es unitario tenemos:

Esta ecuación indica que la ordenada de la viga deformada en el punto de aplicación de

la caga es igual a la fuerza cortante en la sección en la que se impuso la deformación

unitaria, y por lo tanto, la viga deformada coincide con la línea de influencia de la fuerza

cortante en el punto C.

Siguiendo el mismo razonamiento, pueden plantearse las siguientes ecuaciones para el

momento en C:

( )( )

Si se toma en cuenta que el desplazamiento en C es unitario tenemos:

Estas ecuaciones demuestran que la viga deformada coincide con la línea de influencia

de momento flexionante en el punto C.

r




EJERCICIOS DE APLICACIÓN

PROBLEMA N°: 1. Cálculo de las líneas de influencia de las reacciones RA, RB, RC, de

la fuerza cortante en el punto 3 y del momento flexionante en el

punto 4 de una viga con tres apoyos.

SOLUCIÓN

1. VIGA ISOSTÁTICA

2. CÁLCULO DE DEFORMACIONES

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

r




(

)

( )

(

)

( )

3. CÁLCULO DE LAS REACCIONES EN B:

Línea de influencia de RB

4. CÁLCULO DE LAS REACCIONES EN A:

DE ∑

( )( ) ( ) ( )

r




En forma similar:

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

Línea de influencia de RA

5. CÁLCULO DE LAS REACCIONES EN C:

Cálculo de Rc1:

DE ∑

En forma similar:

r




Línea de influencia de RC

6. CÁLCULO DE LAS FUERZAS CORTANTES EN EL PUNTO 3

Fuerza cortante en 3 cuando la carga unitaria está en 1:

En forma similar:

Línea de influencia de fuerza cortante en el punto 3

r




7. CÁLCULO DE LAS FUERZAS CORTANTES EN EL PUNTO 4

Momento flexionante en 4 cuando la carga unitaria está en 1:

( ) ( )( ) ( )( )

En forma similar:

( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )( )

( )

( )( )

( )( )

( )( )

Línea de influencia de momento flexionante en el punto 4

PROBLEMA N°: 2. Cálculo de las líneas de influencia de las reacciones en una viga

con momento de inercia variable.

r




SOLUCIÓN

1. CALCULAR LAS LÍNEAS DE INFLUENCIA

2. VIGA ISOSTÁTICA

3. CALCULO DE LAS REACCIONES CUANDO LA CARGA UNITARIA ESTA EN EL

PUNTO 1, ( i= 1)

a) Sistema de ecuaciones.

b) Tomando en cuenta que

c) En planteamiento matricial:

{

} [

]

{

}

d) Resolviendo el sistema

{

} {

}

4. CÁLCULO DE LAS REACCIONES CUANDO LA CARGA UNITARIA ESTA EN EL

PUNTO 2, ( i= 2)

a) Los términos independientes del sistema de ecuaciones serán ,

por lo tanto el sistema quedará en la siguiente forma:

{

} [

]

{

}

r




b) Resolviendo el sistema

{

} {

}

5. CALCULO PARA LAS CARGAS EN LOS PUNTOS 3,4 Y 5

{

} {

} {

} {

}

{

} {

} {

} {

}

{

} {

} {

} {

}

6. TRAZADO DE LAS LÍNEAS DE INFLUENCIA DE

Línea de influencia de



r




7. TRAZADO DE LAS LÍNEAS DE INFLUENCIA DE

PUNTO CARGA

1

2

3

4

5

-1

-1

-1

-1

-1

+0.388

-0.104

-0.075

+0.030

+0.015

+0.701

+0.795

+0.393

-0.143

-0.071

-0.112

+0.377

+0.777

+0.771

+0.274

+0.023

-0.068

-0.095

+0.342

+0.782


PROBLEMA N°: 3. Determinar las siguientes líneas de influencia en vigas por el

método directo.

a) Reacciones en b y d, fuerza cortante en 2 y en 5, momento flexionante en 1 y en 3.

b) Momento de empotramiento en a, reacciones en a y b, fuerza cortante en 2 y 5,

momento flexionante en b y en 4.

r




c) Reacciones en a y d, fuerza cortante inmediatamente a la izquierda y a la derecha

de b, momento flexionante en c y 5.

d) Reacciones en b y d, fuerza cortante en 2 y 4, momento flexionante en b y 5.

PROBLEMA N°: 4. Determine las siguientes líneas de influencia en armaduras por el

método directo.

a) Reacciones en A, B y C, y fuerzas axiales en las barras de la cuerda inferior.

r




b) Reacciones y fuerzas axiales en las barras

PROBLEMA N°: 5. Dibuje la línea de influencia para la reacción vertical en A, para la

viga en la figura. EI constante. Indique sus valores numéricos cada

6 ft.

Figura (a)

SOLUCIÓN

La capacidad de la viga de resistir la reacción Ay, se cancela. Esto se logra por medio de un

rodillo vertical, como el que se muestra en la figura b. Aplicando una carga unitaria vertical

en A se obtiene la forma de la línea de infleuncia mostrada en la figura c.

Las reacciones en A y B sobre la “viga real” al someterla a la carga unitaria en A, se

muestran en la figura b. La correspondiente viga conjugada se muestra en la figura d. Note

que el soporte en A´ sigue siendo el mismo que se utiliza para A en la figura b. Esto se debe

a que un rodillo vertical en la viga conjugada soporta un momento pero no una fuerza

cortante, correspondiente a un desplazamiento pero sin pendiente en A en la viga real,

figura c. Las reacciones en los soportes de la viga conjugada ya que se ha calculado y se

muestran en la figura d. Se calcularán ahora los desplazamientos de puntos sobre la viga

real, figura b.

Figura (b)

r




Figura (c)

Figura (d)

Para B´, como no hay momento en la viga conjugada en B´, figura d, se tiene.

Para D´, figura e

∑

( )

(

) ( )( )

Figura (e)

r




Para C´, figura f

∑

( )

(

) ( )( )

Figura (f)

Para A´, figura d

Como una carga vertical de 1K que actúa en la viga en la figura b en A ocasiona una

reacción vertical en A de 1K, el desplazamiento en A, ΔA = 1944/EI, deberá corresponder a

un valore numérico de 1 para la ordenada en A de la línea de influencia. Así, dividiendo los

otros desplazamientos calculados entre este factor, obtenemos.

X

A 1

C 0.852

D 0.481

B 0

La gráfica de esos valores da la línea de influencia mostrada en la figura g.

Figura (g)

r




PROBLEMA N°: 6. Dibujar la línea de influencia para el momento flexionante en D,

para la viga en la figura. EI es constante. Indique sus valores cada

9ft.

Figura (a)

SOLUCIÓN

Se inserta una articulación en D para cancelar la capacidad de la viga para resistir

momentos en este punto, figura b. Se aplican momentos concentrados unitarios positivos

en D y se obtiene la línea de influencia, mostrados en las figuras c.

Las reacciones en A, B y C sobre la “vigas real” al someterla a los momentos concentrados

unitarios en D se muestran en la figura b. la correspondiente viga conjugada y sus

reacciones se muestran en la figura d. Se sugiere que se verifiquen las reacciones en ambos

casos. De la figura d note que:

Figura (b)

Figura (c)

r




Figura (d)

Para el punto D’, figura e

( )

( )

Figura (e)

Para el punto E’, figura f

( )

( )

r




Figura (f)

El desplazamiento angular en D de la viga “viga real” en la figura b se define por la

reacción en D´ sobre la viga conjugada. Los valores anteriores se dividen entre este factor,

D´y = 48/EI, para obtener las ordenadas de las líneas de influencia, esto es:

X

A 0

D 3.656

B 0

E -0.844

C 0

La grafica de esos valores da la línea de influencia mostrada en la figura g.

Figura (g)

r




PROBLEMA N°: 7. En la viga mostrada determine la línea de influencia de la

reacción en el apoyo B.

Solución:

Procedimiento:

Expresamos la reacción en el apoyo B como una fuerza externa F1 para obtener el

siguiente modelo:

El modelo tomado puede expresarse como:

Donde P es un punto cualquiera de la viga.

Podemos plantear la siguiente ecuación:

Como:

(Teorema de Maxwell acerca de deflexiones recíprocas)

Luego:

r




( )

Es decir la línea de influencia de la reacción en el apoyo B es proporcional a la ecuación de

la elástica aP1 como lo señala el principio de Müller-Breslau. Para obtener RB calculamos la

ecuación de la elástica aP1 así como la deflexión a11 por cualquier método disponible. En

este caso usamos el método de la viga conjugada:

VIGA CONJUGADA:

Tomando momentos en C’:

( ) ( ) (

)

Como:

Calculo de a11:

( ) ( ) ( )

r




Calculo de aP1:

Tramo AB (0 ≤ X ≤ 6):

( )

( )

( )

Tramo BC (6 ≤ X ≤ 10):

Tomando momentos hacia la derecha:

( ) ( )

( )( )

( )

( ) ( ) ( )

Para la construcción de RB tenemos:

Tramo AB (0 ≤ X ≤ 6):

(

)

Tramo BC (6 ≤ X ≤ 10):

( ( ) ( )

Tabulación de valores:

x (m) RB

0 0.000

1 0.288

2 0.556

3 0.781

4 0.944

5 1.024

6 1.000

7 0.859

8 0.625

9 0.328

10 0.000

r




Gráfica


reacción en el apoyo C.

Solución:

Procedimiento:

a) Expresamos la reacción en el apoyo C como una fuerza externa F1 para obtener el

siguiente modelo:

0.000

0.200

0.400

0.600

0.800

1.000

1.200

0 2 4 6 8 10 12

RB

X

(+)

LI de RB

r




b) El modelo tomado puede expresarse como:


Podemos plantear la siguiente ecuación:

Como:


Luego:

( )

c) Para obtener RC calculamos la ecuación de la elástica aP1 así como la deflexión a11 por

cualquier método disponible. En este caso usamos el método de la viga conjugada:

Viga conjugada:

r




Tomando momentos en la articulación B’:

( ) ( )

Como:

También:

( ) ( ) (

)

Calculo de a11:

( )

Calculo de aP1:

Tramo AB (0 ≤ X ≤ 6):

( )

(

)

( )

Tramo BC (6 ≤ X ≤ 10):


( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

d) Para la construcción de Rc tenemos:

Tramo AB (0 ≤ X ≤ 6):

(

)

Tramo BC (6 ≤ X ≤ 10):

( ) ( )

r





x (m) RB

0 0.000

1 -0.073

2 -0.133

3 -0.169

4 -0.167

5 -0.115

6 0.000

7 0.184

8 0.425

9 0.703

10 1.000

Gráfica:

PROBLEMA N°: 9. En la viga mostrada determine la línea de influencia del momento

flector en la sección D.

-0.400

-0.200

0.000

0.200

0.400

0.600

0.800

1.000

1.200

0 2 4 6 8 10 12

Rc

X

(+)

(-)

LI de RC

r




Solución:

Procedimiento:

a) Liberamos al punto D en la viga de su capacidad de flexión instalando una rótula como

se muestra. Así mismo expresamos la flexión liberada en ese punto como un momento

externo F1 para obtener el siguiente modelo:



En función del ángulo entre tangentes en el punto de inflexión D, podemos plantear la

siguiente ecuación:

Como:


Luego:

( )

c) Para obtener MD calculamos la ecuación de la elástica aP1 así como la deflexión a11 por


r




Viga conjugada:

Tomando momentos en la articulación B’, a la izquierda:

( ) ( )

Tomando momentos en el apoyo C’:

( ) ( ) ( ) ( )

Como:

r




Cálculo de a11:

( )

Cálculo de aP1:

Tramo AB (0 ≤ X ≤ 3):

( )

(

)

( )

Tramo BD (3 ≤ X ≤ 4.5):


( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

Tramo BD (4.5 ≤ X ≤ 6):

Tomando momentos a la derecha:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

d) Para la construcción de MD tenemos:

Tramo AB (0 ≤ X ≤ 3):

(

)

Tramo BD (3 ≤ X ≤ 4.5):

( ) ( )

( )

Tramo DC (4.5 ≤ X ≤ 6):

( )

( )

r





x (m) RB

0 0.000

0.75 -0.088

1.5 -0.141

2.25 -0.123

3 0.000

3.75 0.252

4.5 0.609

5.25 -0.287

6 0.000

Gráfica:

PROBLEMA N°: 10. En la viga mostrada determine la línea de influencia del

momento flector en el apoyo B.

Solución:

Procedimiento:

-0.200

-0.100

0.000

0.100

0.200

0.300

0.400

0.500

0.600

0.700

0 1 2 3 4 5 6 7

MD

X

(-)

(+)

LI de MD

r




a) Liberamos al apoyo B en la viga de su capacidad de flexión instalando una rótula como

se muestra. Así mismo expresamos la flexión liberada en ese punto como un momento

externo F1 para obtener el siguiente modelo:



En función del ángulo entre tangentes en el punto de inflexión B, podemos plantear la


Como:


Luego:

( )

c) Para obtener MB calculamos la ecuación de la elástica aP1 así como la deflexión a11 por


r




Viga conjugada:

Tomando momentos en la articulación B’, a la izquierda:

( ) ( )

Tomando momentos en la articulación B’, a la derecha:

Como:

Cálculo de a11:

( )

Cálculo de aP1:

r




Tramo AB (0 ≤ X ≤ 3):

( )

(

)

( )

Tramo BC (3 ≤ X ≤ 6):


( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

d) Para la construcción de MB tenemos:

Tramo AB (0 ≤ X ≤ 3):

(

)

Tramo DC (3 ≤ X ≤ 6):

( )

( )


x (m) RB

0 0.000

0.75 -0.176

1.5 -0.281

2.25 -0.246

3 0.000

3.75 -0.246

4.5 -0.281

5.25 -0.176

6 0.000

r




Gráfica:

PROBLEMA N°: 11. En La viga mostrada determine la línea de infleuncia del

cortante en la sección E.

Procedimiento:

a) En la viga liberamos a la sección E de su capacidad de corte para expresarla como

las fuerzas externas F1 y así obtener el siguiente modelo:

-0.350

-0.300

-0.250

-0.200

-0.150

-0.100

-0.050

0.000

0 1 2 3 4 5 6 7

MB

X

(-) (-)

LI de MB

r






En función del desplazamiento entre puntos del corte en E, podemos plantear la siguiente

ecuación:

Como:

= (Teorema de Maxwell acerca de deflexiones recíprocas)

F1= VE

Luego:

Es decir:

c) Para obtener VE calculamos la ecuación de la elástica aP1 así como la deflexión a11 por


r




VIGA CONJUGADA:

Tomando momentos en la articulación B’, a la derecha:

Haciendo sumatoria de fuerzas verticales:

Tomando momentos en el apoyo C’:

Cálculo de

r




r





momento flector en la sección E.

Solución:

Procedimiento:

a) Liberamos a la sección E en la viga de su capacidad de flexión instalando una rótula

como se muestra. Así mismo expresamos la flexión liberada en ese punto como un

momento externo F1 para obtener el siguiente modelo:



En función del ángulo entre tangentes a la deformada en el punto de inflexión E, podemos

plantear la siguiente ecuación:

Como:


r




Luego:

( )

c) Para obtener ME calculamos la ecuación de la elástica aP1 así como la deflexión a11 por


Viga conjugada:

Luego, en la viga conjugada se pueden plantear las siguientes cuatro ecuaciones estáticas:

∑ : (1)

∑ :

(2)

∑ :

(3)

∑ : (4)

r




La quinta ecuación la obtenemos de la viga superior, conociendo que el momento en

ambos lados de la rótula E es 1. Con el diagrama de momentos se tiene:

Es decir:

(5)

Resolviendo las cinco ecuaciones se obtiene:

Cálculo de a11:

( )

Cálculo de aP1:

Tramo AB (0 ≤ X ≤ 3):

( )

(

)

( )

Tramo BE (3 ≤ X ≤ 4.5):

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

Tramo EC (4.5 ≤ X ≤ 6):

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

r




Tramo CD (6 ≤ X ≤ 9):


( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

d) Para la construcción de ME tenemos:

Tramo AB (0 ≤ X ≤ 3):

Tramo BE (3 ≤ X ≤ 4.5):

( )

( )

( ) ( )

( )

Tramo EC (4.5 ≤ X ≤ 6):

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

Tramo CD (6 ≤ X ≤ 9):

( )

( )


x (m) ME

0 0.0000

0.75 -0.0703

1.5 -0.1125

2.25 -0.0984

3 0.0000

3.75 0.2063

4.5 0.5250

5.25 0.2063

6 0.0000

6.75 -0.0984

7.5 -0.1125

8.25 -0.0703

9 0.0000

r




Gráfica:


reacción en el apoyo A.

Solución:

Procedimiento:

a) Liberamos la reacción A en la viga y la expresamos como una fuerza externa F1 para

obtener el siguiente modelo:

-0.2000

-0.1000

0.0000

0.1000

0.2000

0.3000

0.4000

0.5000

0.6000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ME

X

(-) (-)

(+)

LI de ME

r






En razón a que no existe desplazamiento vertical en el apoyo A, podemos plantear la


Como:


Luego:

( )

c) Para obtener RA calculamos la ecuación de la elástica aP1 así como la deflexión a11 por


r




Viga conjugada:

Luego, en la viga conjugada se pueden plantear las siguientes ecuaciones estáticas:

∑ : (1)

∑ : ( ) ( ) (2)

La tercera ecuación la obtenemos de la viga superior:

∑ : ( ) (3)

Resolviendo las tres ecuaciones se obtiene:

Cálculo de a11:

( )

r




Cálculo de aP1:

Tramo AB (0 ≤ X ≤ 6):

( )

(

)

( )

( ) ( )

d) Para la construcción de RA tenemos:

Tramo AB (0 ≤ X ≤ 6):

(

( )

)


x (m) RA

0 1.0000

0.5 0.9803

1 0.9259

1.5 0.8438

2 0.7407

2.5 0.6238

3 0.5000

3.5 0.3762

4 0.2593

4.5 0.1563

5 0.0741

5.5 0.0197

6 0.0000

0.0000

0.2000

0.4000

0.6000

0.8000

1.0000

1.2000

0 1 2 3 4 5 6 7

RA

X

(+)

LI de RA

r





momento flector en el apoyo A.

Solución.

Procedimiento:

a) Liberamos el momento flector en el apoyo A y lo expresamos como una fuerza externa

F1 para obtener el siguiente modelo:



En razón que en A el giro es nulo, podemos plantear la siguiente ecuación:

r




Como:


Luego:

( )

c) Para obtener MA calculamos la ecuación de la elástica aP1 así como la deflexión a11 por


VIGA CONJUGADA:

Luego, en la viga conjugada se pueden plantear las siguientes ecuaciones estáticas:

∑ : (1)

r




∑ : ( ) ( ) (2)

Resolviendo ambas ecuaciones se obtiene:

Cálculo de a11:

( )

Cálculo de aP1:

Tramo AB (0 ≤ X ≤ 6):

( )

( )( ) (

)

( )

( )

( )

d) Para la construcción de MA tenemos:

Tramo AB (0 ≤ X ≤ 6):

(

( )

)


x (m) MA

0 0.0000

0.5 -0.4201

1 -0.6944

1.5 -0.8438

2 -0.8889

2.5 -0.8507

3 -0.7500

3.5 -0.6076

4 -0.4444

4.5 -0.2813

5 -0.1389

5.5 -0.0382

6 0.0000

r




Gráfica:

-1.0000

-0.9000

-0.8000

-0.7000

-0.6000

-0.5000

-0.4000

-0.3000

-0.2000

-0.1000

0.0000

0 1 2 3 4 5 6 7

MA

X

(-)

LI de MA

PRINCIPIO DE MULLER

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