1 Problemas de Fsica Terica I Mario E. Pacheco Quintanilla CINEMTICA 1.Una partcula se mueve a lo largo de una trayectoria parablica definida por la ecuacin 2y cx = con una rapidez constante vo. Encuentre expresiones para la velocidad v y aceleracin a de la partcula cuando se encuentra en la posicin (x,y). 2.Una partcula se mueve en una espiral kr Ae u= con rapidez constante vo. Determine v y a en funcin de r y u. Demuestre que en todo instante la aceleracin es perpendicular a la velocidad. Encuentre yu u como funcin del tiempo. 3.Calculelasexpresionesparalaaceleracindeunapartculaencoordenadascilndricasy esfricas. 4.Un can est localizado en la base de una colina de pendiente constante |. Demostrar que el alcance del can medido hacia arriba de la pendiente de la colina es ( )2022 cos sencosvgo o||, donde es el ngulo de elevacin del can, tambin demuestre que el alcance mximo a lo largo de la colina es ( )201 sen vg + |. DINMICA DE UNA PARTCULA 5.SobreunamesahorizontallisadescansauncuerpodemasaM=2kg,sobreelcualse encuentra otro cuerpo de masa m=1 kg. Ambos cuerpos estn unidos entre s por medio de unhiloquepasaporunapoleadepesodespreciable.QufuerzaFhayqueaplicaral cuerpoinferiorparaqueempieceamoversealejndosedelapoleaconlaaceleracin constantea=g/2?Elcoeficientederozamientoentreloscuerposes=0.5. El rozamiento entre el cuerpo inferior y la mesa es despreciable. 2 6.Resuelva el movimiento de una partcula sujeta a la fuerza gravitacional en una dimensin (tiro vertical a gran altura) por medio del mtodo de la energa. 7.Calculelasaceleracionesdelaspartculasrespectoalapoleamvilenunamquinade Atwood compuesta. 8.Una canoa con una velocidad inicial vo es frenada por una fuerza de friccin vF beo= . a) Hllese su movimiento. b) Calclese el tiempo y la distancia que necesita para detenerse. Los problemas 9-11 se refieren a la siguiente figura: 9.Un bloque de masa m se coloca sobre un plano inclinado cuya masa es M, como se muestra en la figura. El plano inclinado descansa sobre una superficie horizontal y el sistema est inicialmente quieto. Todas las superficies pueden deslizar sin rozamiento, de modo que tanto el bloque como el plano inclinado pueden moverse. Muestre que las componentes x de las aceleraciones del bloque y el plano inclinado son respectivamente: ( )1x 2tantanMgaM M mo= + + o, ( )2x 2tantanmgaM M mo=+ + o, y la componente y de la aceleracin del bloque es, ( )( )21y 2tantanM mgaM M m+ o= + + o 3 10. Una partcula de masa m se desliza hacia abajo de una cua triangular de lado L y que forma un ngulo con la horizontal. La cua tiene masa M y es libre de deslizarse horizontalmente. Calcule el tiempo que le toma a la partcula llegar al suelo? 11. Un bloque de masa m reposa sobre una cua de masa M la cual, a su vez, descansa sobre una mesa horizontal, como se muestra en la figura. Todas las superficies carecen de friccin. Si el sistema parte del reposo estando el bloque a una altura h sobre la mesa, demuestre que la velocidad de la cua en el instante en que el bloque toca la mesa es ( )( )2 222 cossenmghM m M mo+ + o 12. Calcule la velocidad con que impacta a la Tierra un meteorito. Cunto tiempo tarda en llegar considerando que se encuentra en reposo a una distancia d de la Tierra. 13. Un proyectil es lanzado verticalmente hacia arriba con velocidad inicial vo. Suponer que la resistencia del aire es proporcional al cuadrado de la velocidad, demostrar que la velocidad que tiene el proyectil cuando golpea la tierra en su retorno es ( )12o2 2ottv vv v + donde vt=velocidad terminal=(mg/c)1/2 14.Desde un punto O y sobre dos planos inclinados de pendientes diferentes, se dejan caer a la vez dos bolitas. Considere su paso por los puntos A y B situados sobre la misma horizontal. Desprecie el rozamiento y compare en A y B: (a) las aceleraciones de las dos bolitas, (b) sus velocidades y (c) sus tiempos de cada desde O. Justifique sus respuestas. 15. Un cuerpo de masa m est suspendido mediante un resorte vertical de constante elstica k, el cuerpo al mismo tiempo se encuentra sobre una tabla justo en la posicin en donde el resorte no est estirado. La tabla empieza a bajar desde el reposo con aceleracin a. Cul ser el alargamiento del resorte en el instante en que la tabla se despegue del cuerpo? Cul ser la longitud del alargamiento mximo del resorte? 4 16. La masa de un globo junto con el cable que se arrastra por la tierra es igual a M, el empuje es E y el coeficiente de friccin entre la cuerda y la tierra es . La fuerza de resistencia del aire que acta sobre el globo es proporcional a la velocidad v del globo con respecto al aire: fr = av. Hllese la velocidad del globo con relacin a la tierra, si sopla un viento horizontal a la velocidad u. MOVIMIENTO OSCILATORIO 17. Una partcula que realiza un movimiento armnico simple tiene una velocidad v1 cuando el desplazamiento es x1 y una velocidad v2 cuando el desplazamiento es x2. Calcular el periodo y la amplitud del movimiento en trminos de las cantidades dadas. 18. La masa m mostrada en la figura est sujetada por un resorte k de longitud natural y0. (a) Escriba la ecuacin diferencial de movimiento de m usando la variable y. (b) Escriba la ecuacin diferencial de movimiento de m usando el desplazamiento medido a partir de la posicin de equilibrio. (c) Supngase que en 0 00, y t y y mgk y v = = + = . Resuelva las ecuaciones de los incisos (a) y (b). 19. Dos resortes con constantes elsticas k1 y k2, respectivamente, son usados en posicin vertical para soportar un objeto de masa m. Demostrar que la frecuencia angular de 5 oscilacin es ( )121 2k k m( + si los resortes son atados en paralelo y ( )121 2 1 2k k k k m( + si los resortes son atados en serie. 20. Un cilindro de masa M, radio r y altura h, suspendido por un resorte cuyo extremo superior est fijo, est sumergido en un lquido. En equilibrio el cilindro est sumergido la mitad de su altura. En cierto tiempo el cilindro se sumerge a 2/3 de su altura y entonces desde el reposo inicia su movimiento vertical. Encuentre la ecuacin de movimiento del cilindro en relacin a la posicin de equilibrio, si la constante del resorte es k y la densidad del lquido es . Respuesta: 2cos, donde6h k rgx tM+ t= e e=21. Un resorte de constante elstica k soporta una caja de masa M en el que est colocado un bloque de masa m. Si el sistema es colgado a una distancia d de la posicin de equilibrio y entonces se suelta, encontrar la fuerza de reaccin entre el bloque y el fondo de la caja como funcin del tiempo. Para qu valor de d el bloque empezar a dejar justamente el fondo de la caja en la cspide de las oscilaciones verticales? Despreciar cualquier resistencia del aire. 22. En el sistema mostrado en la figura, una cuerda inextensible pasa sobre dos cilindros sin peso. Escriba la ecuacin diferencial de movimiento para la masa m y determine la frecuencia natural en. Sugerencia: considere una de las poleas fija y calcule la relacin del desplazamiento de la masa m y el alargamiento del resorte correspondiente; despus haga lo mismo considerando la otra polea fija. 23. La figura muestra un pndulo cuyo pivote tiene un movimiento senoidal: 6 o osen, gx A tl= e e=Cul es el movimiento (t) para oscilaciones pequeas, dado que m est en reposo y o=0 en t=0? 24. En la figura se muestra un pndulo montado sobre un carrito al que se le da el movimiento especificado. Supngase que el ngulo se conserva pequeo. Determine la ecuacin diferencial de movimiento de m. 25. La figura muestra dos partculas m1 y m2 conectadas mediante una barra rgida de masa despreciable y longitud l. La barra se articula a una distancia a de la masa inferior m2. Determinar, aplicando el mtodo de Rayleigh, la frecuencia natural en y el valor de a de manera que en sea mxima o mnima para el caso m2=2m1. 7 26. La partcula m mostrada en la figura se mueve sin friccin a lo largo del eje x restringida por dos resortes de fuerza constante. La fuerza en cada resorte es T (tensin). Suponiendo que el movimiento es pequeo, de modo que( ) 1 xh r).(b)Silacanicasesuelta desdeunaalturade6Rmedidadesdeelfondodelapista,culeslacomponente horizontal de la fuerza que acta sobre ella en el punto Q? 58. Un cilindro uniforme de masa m y radio r se encuentra en equilibrio en la parte superior de otro cilindro fijo de radio R, los ejes de los cilindros son paralelos. Si el cilindro de radio r empieza a rodar sin deslizar partiendo del reposo, calcule la altura a la que se desprende del cilindro fijo. 15 59. Sobre una mesa horizontal lisa descansa un cuerpo de masa M, sobre el cual se encuentra otro cuerpo de masa m. Ambos cuerpos estn unidos entre s por medio de un hilo que pasa por una polea de peso despreciable. Qu fuerza F hay que aplicar al cuerpo inferior para que empiece a moverse alejndose de la polea con la aceleracin constante a=g/2? El coeficiente de rozamiento entre los cuerpos es k=0.5. El rozamiento entre el cuerpo inferior y la mesa es despreciable. 60. Un cilindro de radio R gira con velocidad angular e alrededor de su eje, que se encuentra paralelo a la horizontal. El cilindro se deja caer suavemente sobre una superficie horizontal rugosa. Calcule la velocidad de traslacin del centro de masa y el tiempo que tarda en dejar de resbalar. Tambin calcule la prdida de energa del cilindro. 61. Un lquido dentro de un tubo U est oscilando libremente (sin friccin). Calcule la frecuencia natural de oscilacin del lquido empleando el mtodo de Rayleigh. PROBLEMA DE DOS CUERPOS 62. Dos estrellas se mueven una respecto a otra en rbitas circulares bajo la influencia de fuerzas gravitatorias con periodo T. En un instante dado se detienen y empiezan a atraerse mutuamente. Demostrar que chocan al cabo de un tiempo T/4\2. 63. Demostrar que si una partcula describe una rbita circular bajo la influencia de una fuerza central atractiva dirigida hacia un punto sobre el crculo, entonces la fuerza vara como el inverso de la potencia quinta de la distancia. 64. Una partcula que se mueve en un campo central describe una rbita espiral kr ae u= . Encontrar la ley de fuerzas. Encontrar tambin cmo vara u con t. 65. Calcule la rbita de una partcula en un potencial de Kepler perturbado, ( )2k hV rrr= + 16 Para una energa E