Problem a Rio

UNIVERSIDAD SIMN BOLVAR DEPARTAMENTO DE PROCESOS Y SISTEMAS ASIGNATURA: PS-1111 INVESTIGACIN DE OPERACIONES I PROBLEMARIO

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Ejercicios de Formulacin 1. La compaa XYZ produce dos juguetes: los osos Bobby y Teddy. Cada uno de estos productos debe ser procesado

en dos mquinas diferentes. Una mquina tiene 12 horas de capacidad disponibles y la otra 8. Cada Teddy producido requiere 3 horas de tiempo en la primera mquina y 1 hora en la segunda mquina. Cada Bobby producido requiere 2 horas en ambas mquinas. La ganancia incremental es de $6 por Bobby y $7 por Teddy vendidos y la firma puede vender tantas unidades de cada producto como fabrique.

2. Suponga una flota que transporta mercanca desde 2 fbricas A y B hasta 2 almacenes C y D. Se conoce el costo

de transportar una tonelada de mercanca desde cada una de las fbricas hasta cada uno de los almacenes. Tambin se conoce la produccin diaria de cada fbrica y la demanda diaria de mercanca de cada almacn, de acuerdo a la siguiente tabla:

Almacn C Almacn D Produccin diaria Fbrica A 5 6 8 Fbrica B 3 7 4

Demanda diaria 6 6 Qu cantidad de mercanca debemos enviar desde cada fbrica hasta cada almacn a fin de minimizar los costos?

3. La Compaa "Viaje Feliz" opera un avin que combina pasajeros y carga entre el aeropuerto de Maiqueta y el aeropuerto de Miami. Debido a los altos costos de operacin el avin no sale hasta que todas sus bodegas hayan sido cargadas. El avin tiene tres bodegas: inferior, intermedia y superior. Debido a las limitaciones en el espacio de las bodegas el avin no puede llevar mas de 100 toneladas de carga en cada viaje. Adems no deben llevarse mas de 40 toneladas en la bodega inferior. Con fines de equilibrio, la bodega intermedia debe llevar un tercio de la carga de la bodega inferior y la bodega superior debe llevar dos quintas partes de la carga de la bodega inferior. Sin embargo, no deben llevarse mas de 60 toneladas de carga en las bodegas intermedia y superior. Las utilidades del flete de la carga son de $8 por tonelada de carga en la bodega inferior, $10 por tonelada de carga en la bodega intermedia y $12 por tonelada de carga en la bodega superior, despus de deducir todos los gastos correspondientes. Plantee un problema de programacin lineal para determinar la forma de cargar el avin que proporcione las mayores utilidades.

4. La Compaa Vehculo Seguro fabrica vehculos en tres tamaos: econmico (E), intermedio (M) y grande (G). La

Compaa tiene plantas ensambladoras en Valencia y Barquisimeto. La planta de Valencia puede fabricar 120 vehculos econmicos, 100 vehculos intermedios y 50 vehculos grandes en un mes, mientras que la planta en Barquisimeto puede fabricar 140 vehculos econmicos, 90 vehculos intermedios y 60 vehculos grandes en un mes. La demanda mnima anual de vehculos es: 3000 vehculos econmicos, 2500 vehculos intermedios y 1500 vehculos grandes. El costo mensual de operar la planta de Valencia es de $470000, en tanto que el costo mensual de operar la planta de Barquisimeto es de $390000. La Compaa Vehculo Seguro desea saber cuntos meses deben trabajarse en cada planta para satisfacer los requerimientos anuales de vehculos y minimizar los costos de produccin.

5. La empresa PROYECTOS GLOBALES C.A. est tratando de organizarse para elaboracin de un proyecto para la

construccin de una planta industrial que le han contratado. Para ello podr contar con asistencia proveniente de tres fuentes: un nmero ilimitado de horas de estudiantes de ingeniera a un costo de $ 4 por hora, hasta 500 horas de tcnicos superiores en ingeniera a un costo de $ 10 la hora y un nmero ilimitado de horas de ingenieros proyectistas graduados a un costo de $ 25 la hora. Para la realizacin del proyecto, la gerencia de la empresa ha determinado el requerimiento de al menos 1000 horas de trabajo profesional. Ahora bien, la hora de un estudiante de ingeniera se considera con un nivel de productividad del 20% y la de un tcnico superior con una productividad del 30% en relacin a la hora de un profesional de la ingeniera ya graduado.La empresa ha designado a uno de sus socios para que dirija la elaboracin del proyecto y supervise y controle el trabajo del equipo de ingenieros, tcnicos y estudiantes. Para esta tarea, el socio dispone de slo 164 horas de su tiempo, y l sabe por experiencia que los estudiantes requieren de mayor supervisin, que los tcnicos y stos a su vez, ms que los ingenieros graduados. Especficamente, el socio tendr que dedicar 0.2 horas de su tiempo en la supervisin de una hora de trabajo de un estudiante, 0.1 horas en la supervisin de una hora de un tcnico superior y 0.05 horas por cada hora de trabajo de un ingeniero graduado.


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6. Suponga que acaba de heredar 6.000 dlares y que desea invertirlos. Al or esta noticia dos amigos distintos le ofrecen la oportunidad de participar como socio en dos negocios, cada uno planteado por cada amigo. En ambos casos, la inversin significa dedicar un poco de tiempo durante el siguiente perodo de vacaciones, al igual que invertir efectivo. Con el primer amigo al convertirse en socio completo tendra que invertir 5.000 dlares y 400 horas, y su ganancia estimada sera de 4.500 dlares. Las cifras correspondientes a la proposicin del segundo amigo son de 4.000 dlares y 500 horas, con una ganancia estimada de 4.500 dlares. Sin embargo, ambos amigos son flexibles y le permitiran entrar en el negocio con cualquier fraccin de la sociedad; la participacin en las utilidades sera proporcional a esa fraccin. De igual forma, la participacin en las horas de trabajo sera proporcional a la fraccin invertida. Como de todas maneras usted est buscando un trabajo interesante para las prximas vacaciones (600 horas a lo sumo), ha decidido participar en una o en ambas propuestas, con la combinacin que maximice la ganancia total estimada. Formule un modelo de programacin lineal para este problema (defina las variables de decisin e indique todas las unidades involucradas).

7. La compaa J. Electrnica comenzar la produccin de dos (2) nuevos modelos de calculadoras electrnicas en los

prximos 3 meses, para lo cual se requiere una expansin de la actual capacidad productiva. La ganancia de este perodo inicial no estar disponible hasta despus del final del perodo, por tanto, la compaa debe hacer arreglos financieros para los gastos de operacin antes que la produccin pueda empezar.

J.Electrnica ha dispuesto de $ 3.000 de sus fondos internos par cubrir los gastos de esta operacin. Cualquier fondo adicional requerido deber ser obtenido externamente. Un banco local le ha ofrecido un financiamiento de hasta $ 10.000 a una tasa de inters anual del 12%. Por otro lado, el efectivo remanente (sobrante de la inversin) ms las cuentas por cobrar generadas por esta lnea de productos deber ser al menos 2 veces mayor que el prstamo ms el inters del perodo de produccin (3 meses). Adicionalmente a las restricciones financieras de esta operacin, debern considerarse restricciones en relacin a la capacidad laboral de la empresa, pues slo se puede disponer de 2.500 horas de ensamblaje y de 150 horas de empacado y envo para la nueva lnea de productos durante los tres (3) meses de produccin. El gerente general de la empresa ha decidido que al menos 50 unidades del producto Y y al menos 25 unidades del producto Z deben ser producidas en el primer perodo de produccin, a fin de garantizar la respuesta del mercado para estos productos. En este problema se debe tomar una decisin financiera con respecto a cunta produccin se debe financiar con fondos prestados.

Modelo Costo Unitario ($)

Precio de Venta ($)

Margen de Ganancia

($)

Horas de Ensamblaje

Horas de Empaque y

Envo Y 50 58 8 12 1 Z 100 120 20 25 2

8. Semicond es una ensambladora que ensambla computadores de tipo 4 y tipo 8. Los precios de venta, mano de obra y materia prima estn dados en la tabla 1. El 1 de diciembre de 2004 Semicond tendr materia prima para ensamblar 100 computadores de tipo 4 y 100 computadores de tipo 8, para la misma fecha el balance de la empresa es mostrado en la tabla 2 y la tasa ACTIVO/PASIVO es 20000/10000=2.Semicond. desea determinar cuantos computadores de cada tipo deben ensamblarse en diciembre sabiendo que la demanda es suficiente como para asegurar que todo lo que es producido puede ser vendido. Todas las ventas se hacen a crdito, as todo lo producido en diciembre no ser recibido hasta el 1 de febrero 2005.En diciembre cobrar $2000 en cuentas por cobrar y debe pagar $100 por concepto de crditos y $1000 por arrendamiento mensual. El 1 de enero de 2005 Semicond recibitr materia prima por un valor de $2000 que ser pagada el 1 de febrero. El gerente de Semicond. Ha decidido que el balance de la empresa el 1 de enero debe ser al menos $400, por otro lado el banco requiere que la tasa ACTIVO/PASIVO al comienzo de enero de 2005 debe ser al menos 2. Se pregunta cuanto se debe producir en diciembre 2004 a fin de maximizar las ganancias.


TABLA1 Tipo 4 Tipo 8

Precio de venta $ 100 $ 90 Costo de mano de obra $ 50 $ 35 Costo de materia prima $ 30 $ 40

TABLA2

Cuentas por cobrar=deudas de clientes. ***La materia prima que se dispone al 1/12/2004=100tipo4*30costo de materia prima+100 tipo8*costo de materia prima ACTIVO=efectivo+cuentas por cobrar+inventario BALANCE=efectivo disponible a la fecha.

Activo Pasivo Efectivo $ 10000 Cuentas por cobrar $ 3000 Inventario*** $ 7000 Prstamo del banco $ 10000

9. Un granjero puede criar vacas, corderos y cabras. Desde el punto de vista de espacio disponible, l puede ubicar o 40 corderos o 60 vacas o 30 cabras. No necesariamente debe criar un solo tipo de animal. El beneficio esperado es de Bs. 1000 por cada cordero, Bs. 800 por cada cabra y Bs. 2000 por cada vaca. El debe por ley criar al menos tantas cabras como vacas y corderos combinados. FORMULE

10. Giapetto fabrica 2 tipos de juguetes: soldados y trenes. Se vende un soldado a Bs. 2700 y se usan Bs. 1000 en materia prima. Cada soldado que se produce aumenta los costos variables de mano de obra y los costos generales en Bs. 1400. Se vende un tren en Bs. 2100 y se usan Bs. 900 de materia prima. Cada tren producido produce aumenta los costos variables de mano de obra y los costos generales en Bs. 1000. La produccin de trenes y soldados necesita 2 tipos de trabajo especializado: carpintera y acabado. Un soldado requiere de 2 horas de acabado y 1 hora de carpintera. Un tren requiere de 1 hora de acabado y 1 hora de carpintera. Cada semana Giapetto puede conseguir toda la materia prima que necesita, pero solamente dispone de 100 horas de acabado y 80 horas de carpintera. Las demandas de los trenes no tiene lmite, pero se venden a los mas 40 soldados semanalmente. Giapetto quiere maximizar su ganancia semanal, formule como un problema de programacin lineal.

11. La compaa Eufrates SRL , usa dromedarios y camellos para llevar mercanca desde Bagdad a la Meca. Un camello

puede cargar 1.000 Kgrs. y un dromedario 500 Kgrs. Diariamente un viaje de dromedario consume 2 unidades de heno y 30 galones de agua. Un camello consume 3 unidades de heno y 50 galones de agua. Las facilidades de suministro de agua y heno en el oasis son de un mximo de 900 galones de agua y 35 unidades de heno. Los dromedarios son rentados a 8 monedas y los camellos a 5. La compaa desea transportar al lo mas 10.000Kgr. de higo al menor costo. Formule .

12. Una compaa automotriz produce automviles y camiones. Cada vehculo tiene que pasar por un taller de pintura y

un talles de carrocera. Si el taller de pintura pintara solamente camiones se podran pintar 40 camiones al da. Si el taller de pintura pintara solamente automviles se podran pintar 60 automviles diariamente. Si el taller de carrocera produjera solamente automviles podra fabricar 50 automviles al da. Si el taller de carrocera produjera solamente camiones se podran producir 50 camiones al da. Cada camion aporta una utilidad de Bs. 30.000 y cada automvil de Bs. 20.000. Formule este problema para determinar la produccin diaria que maximizar las ganancias de la compaa.

13. Radioco manufactura 2 tipos diferentes de radio. Lo nico necesario para la produccin de radios es la mano de obra.

En la actualidad la empresa tiene 2 trabajadores. El trabajador 1 est contratado hasta 40 horas semanales y se le paga Bs. 5000 la hora. El trabajador 2 est contratado por hasta 50 horas a la semana y se le paga Bs. 6.000 la

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hora. En la tabla se presenta el precio de venta, el costo y las horas requeridas para cada tipo de radio. Formule un PL que permita a Radioco maximizar sus ganancias.

Recurso Requerido Radio 1 Radio 2 Trabajador 1 1 hora 2 horas Trabajador 2 2 horas 1 hora Materia Prima Bs. 5.000 Bs. 4.000 Precio Bs. 25.000 Bs. 22.000

14. Suponga que se desea organizar una fiesta debido al inicio de clases y se dispone de las siguientes bebidas:

Cantidad de licor Licor 48 Bourbon 72 Vodka 64 Vermouth Seco 64 Vermouth Dulce 24 Brandy 18 Kahlua

Se pretende preparar cocteles a continuacin se da la receta: Ruso negro: de Vodka y de Kahlua. Volcn: Brandy, de Vermouth seco y de Vermouth dulce.Martn dulce: 1/3 de Vermouth seco y 2/3 de Vodka y Bourbon en las rocas Cada coctel contiene 1/8 de litro, el objetivo es mezclar los ingredientes de tal manera que se obtenga el mayor nmero de cocteles.

15. CSL es una cadena de servicios para computadora. El nmero de horas de reparacin especializada que requiere

CSL para los prximos 5 meses se da a continuacin: enero = 6.000 horas, febrero = 7.000 horas, marzo = 8.000 horas, abril =9.500 horas, mayo = 11.000 horas. Al principio de enero 50 tcnicos especializados trabajan para CSL, cada tcnico especializado puede trabajar 160 horas al mes. Para satisfacer futuras demandas hay que capacitar nuevos tcnicos. La capacitacin de un nuevo tcnico dura 1 mes. Un tcnico experimentado tiene que supervisar a un aprendiz durante 50 horas del mes de entrenamiento. A cada tcnico experimentado se la paga mensualmente $ 2.000 (aunque no trabaje las 160 horas). Durante el mes de entrenamiento se le paga a un aprendiz $ 1.000 al mes. Al final de cada mes, el 50% de los tcnicos experimentados de CSL cambian de trabajo. Formule el problema a fin de minimizar los costos de CSL.

16. John y Sam pertenecen a un grupo de boys scouts que va a realizar una excursin. Se les ha asignado la tarea de

trasladar por lo menos 9 implementos de tipo I, 12 de tipo II y 6 de tipo III. John es alto y delgado, y es bueno para cargar bultos, sin embargo, el peso le cansa mucho. Sam es pequeo y fuerte pero tiene problemas con la longitud de los brazos. Las caractersticas de cada tipo de implemento y las capacidades de Sam y de John se dan en las siguientes tablas:

El gua le da a los scouts un incentivo ofrecindoles la siguiente suma por cada implemento trasladado, Bs. 150(I), Bs.100(II)y Bs.200(III).

Implemento Volumen (m3) Peso(Kg.) I 2 4 II 3 2 III 1 5

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Formule para determiner la distribucin que debern hacer John y Sam a fin de obtener el mximo beneficio.

Volumen(m3) Peso (Kg) John 4 30 Sam 2 45

17. Un empresario produce tres modelos (I,II,III) de cierto producto. Para ello usa dos tipos de materiales (A;B) de los cuales hay disponibles 2000 y 3000 unidades respectivamente. Los requerimientos de material para la fabricacin de una unidad de cada uno de los 3 modelos viene dados en la tabla que se muestra a continuacin.

La labor requerida por unidad de modelo I es 2 veces la del modelo II y 3 veces la del modelo III. El nmero mximo de unidades de modelo I que pueden producirse en las horas laborables disponibles es de 700.Estudios de mercado han demostrado que los requerimientos mnimos de los tres modelos son de 200, 200 y 250 unidades respectivamente. Sin embargo la relacin del nmero de unidades producidas debe ser igual a 3:2:5. sabiendo que el beneficio obtenido por la produccin de cada a modelo es de Bs. 30 , 20 y 50 respectivamente(I,II,III) formule un modelo que maximice las ganancias.

Modelo I Modelo II Modelo III Material A 1 3 5 Material B 2 2 7

18. Un granjero posee tres granjas cuyo tamao y disponibilidad de agua para riego se muestra en la siguiente tabla:

El granjero puede sembrar 3 tipos de cultivos, los cuales difieren en cuanto a la ganancia obtenida y al consumo de aguas ambos por Ha. Sembrada y en cuanto a la cantidad mxima de tierra que puede asignarse a cada uno de ellos, como se indica en la prxima tabla.

Granja Area(Ha.) Agua(Lts) I 400 1500 II 600 2000 III 300 1000

Cultivo Cantidad mxima de tierra que puede asignarse Ha.

Consumo de agua por Ha. (Lts/Ha)

Ganancia por Ha. (Bs/Ha.)

A 700 5 400 B 800 4 300 C 300 3 100

Formule para obtener un modelo que permita la asignacin de tierras a cultivos que maximiza ganancias.

19. Una compaa de plsticos manufactura tres productos bsicos: un multicuchillo, un paquete y una caja. El multicuchillo es una combinacin de cuchillo, tenedor y cuchara. El paquete cosiste de un multicuchillo, un pitillo y una servilleta, todos envueltos en celofn. La caja contiene 100 paquetes y 10 multicuchoillos de repuesto. La produccin de 1.000 multicuchillos requiere de 0,8 horas de moldeo, 0,2 horas de supervisin y 2,5$ de costos directos. La produccin de 1000 paquetes requiere la inclusin de un multicuchillo, una servilleta y un pitillo por cada paquete; 1,5 horas de empaque y 0,5 horas de supervisin y 4$ de costos directos. Hay existencia ilimitada de pitillos y servilletas. La produccin de 1000 cajas requiere de 2,5 horas de empacado, 0,5 horas de supervisin y 8$ de costos directos,10 multicuchillos y 100 paquetes por cada caja. Toda la produccin de cada producto puede ser vendida sin restricciones a los precios de $5, $15 y $300 por cada 1000 unidades de los productos respectivamente. Dado que hay disponibles 200 horas de produccin en todos los departamentos en un mes determinadose desea programar la produccin para maximizar las ganancias.

Pgina 5 20. Grand Strand Oil, produce gasolina regular y gasolina premium, las cuales son vendidas a distintas estaciones


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de servicio al sur-este. La refinera produce cada una de las gasolinas por mezclar 3 componentes de petrleo. Las gasolinas son vendidas a distintos precios y tienen distintos costos. La compaa quiere determinar cmo mezclar los 3 componentes para cada una de las gasolinas, de forma de maximizar las ganancias.

La siguiente tabla muestra las cantidades de cada uno de los componentes de las gasolinas y el costo por galn que puede conseguir Grand Strand en el perodo de planificacin de produccin actual.

Costo/galn $ Disponibilidad mxima galones Componente 1 0.25 5000 Componente 2 0.30 10000 Componente3 0.42 10000 Los precios de venta y las especificaciones de cada una de las gasolionas se dan a continuacin: Precio de venta(galones) Especificaciones Gasolina Regular 0.5 A lo sumo 30% del componente 1

A lo menos 40% del componente 2 A lo sumo 20% del componente 3

Gasolina Premium 0.54 Al menos 25% del componente 1 A lo sumo 40% del componente 2 Al menos 30% del componente 3

Las exigencias del mercado requieren que la COMPAA PRODUZCA AL MENOS 10000 GALONES DE GASOLINA REGULAR.

21. Alrededor del ao 435 A.C., Esparta decidi reclutar tropas de reserva para completar su ejrcito. Los nuevos

guerreros podan alistarse por 1, 2 y 3 aos. La Tabla 12 muestra el nmero mnimo de guerreros que se requeran en las tropas de reserva en aquel entonces y el costo de manutencin para cada ao. Como general espartano, usted podra hallar la poltica de abastecimiento ptima para los prximos aos, mediante la resolucin de un problema de PL.

Tabla 12 Aos 435 434 433 432 Mnimo de guerreros 1.000 1.200 1.200 1.400 Costo de manutencin ($/g) 10 12 13 14

22. Una oficina de correos necesita un nmero diferente de empleados de tiempo completo para diferentes das de

la semana. El nmero de empleados de tiempo completo para cada da se muestra en la Tabla 13. La condiciones de trabajo impuestas por el sindicato sealan que cada empleado de tiempo completo tiene que trabajar durante cinco das consecutivos y, despus, descansar dos das. Por ejemplo, un empleado que trabaje de lunes a viernes, tiene que descansar el sbado y el domingo. La oficina de correos quiere cumplir con sus requerimientos diarios y utilizar solamente empleados de tiempo completo. Formule un problema de PL que pueda utilizar la oficina de correos para minimizar el nmero de empleados de tiempo completo que hay que contratar.

Tabla 13

Da de la semana

Nmero de empleados de tiempo completo requeridos

Lunes 17 Martes 13 Mircoles 15 Jueves 19 Viernes 14 Sbado 16 Domingo 11


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23. La Corporacin McRico tiene que determinar una estrategia de inversin para los prximos tres aos.

Actualmente (tiempo 0) la empresa dispone de $100.000 para ser invertidos en las inversiones A,B,C,D y E. En la Tabla 14 se indican los flujos de efectivo, asociados con la inversin de $1 en cada tipo de inversin. Por ejemplo, la inversin de $1 en la inversin B, requiere de un desembolso de caja de $1 en el tiempo 1, y rinde $0,50 en el tiempo 2 y $1 en el tiempo 3. Para asegurar una cartera diversificada para la compaa, la empresa requiere que se invierta a lo ms $75.000 en una sola inversin. Adems de las inversiones A-E, la empresa McRico puede obtener intereses de 8% anuales al colocar el dinero sin invertir en los fondos del mercado de valores. Se pueden volver a invertir inmediatamente los intereses obtenidos de las inversiones. Por ejemplo, se pueden volver a invertir inmediatamente en la inversin B, el flujo de efectivo positivo recibido de la inversin C en el tiempo 1. La Corporacin McRico no puede pedir prestado fondos, por lo tanto, el dinero disponible para la inversin en cualquier momento se limita al efectivo de caja. Formule un problema de PL que maximice el efectivo de caja en el tiempo 3.

Tabla 14

Flujo de efectivo en el tiempo 0 1 2 3 Inversin A -1 +0,5 +1 0 Inversin B 0 -1 +0,5 +1 Inversin C -1 +1,2 0 0 Inversin D -1 0 0 +1,9 Inversin E 0 0 -1 +1,5

24. Considere una pequea refinera ubicada en el estado de Texas. Esta refinera destila crudo proveniente tanto

de Arabia Saudita como de Venezuela, y lo convierte en tres principales: gasolina, fluido de aviones y lubricantes. Los dos crudos difieren en su composicin qumica y por tanto producen una composicin distinta de productos. Cada barril de crudo saudita produce 0,3 barriles de gasolina, 0,4 barriles de fluido de aviones y 0,2 barriles de lubricantes. Cada barril de crudo venezolano produce 0,4 barriles de gasolina, 0,2 barriles de fluido de aviones y 0,3 barriles de lubricantes. El remanente 10% se pierde en el proceso de refinacin. Ambos crudos tambin difieren en costo y en disponibilidad. La empresa petrolera saudita puede venderle a la refinera hasta 9.000 barriles diarios de crudo a $ 20 por barril, mientras que la empresa petrolera venezolana puede venderle el crudo a $ 15 por barril por su cercana a los Estados Unidos, sin embargo, no tiene sino una capacidad de entrega de hasta 6.000 barriles diarios. La refinera tiene contratos de entrega de los productos refinados con distribuidores independientes que requieren al menos una cantidad de 2.000 barriles diarios de gasolina, 1.500 barriles diarios de fluido de aviones y 500 barriles diarios de lubricantes. Cmo pueden ser satisfechos estos requerimientos de la forma ms eficiente?

25. Una compaa que fabrica productos qumicos produce dos tipos de fertilizantes denominados 5-5-10 y 5-10-5.

En cada caso el primer valor se refiere al porcentaje que el producto final tiene de nitrato qumico, el segundo valor se refiere al porcentaje de fosfato y el tercer valor da el porcentaje de potasio. Cada tipo de fertilizante se estabiliza con un material de relleno que podra ser barro. Por ejemplo, el fertilizante tipo 5-5-10 est elaborado con 5% de nitrato, 5% de fosfato y 10% de potasio y el 80% restante es barro. La compaa vende sus productos a travs de un mayorista que est dispuesto a comprar cualquier cantidad de fertilizantes que la compaa produzca. El mayorista est dispuesto a pagar $71.50 por tonelada del tipo 5-5-10 y $69 por tonelada del tipo 5-10-5. Mensualmente las disponibilidades y costos de las materias primas son de 1100 toneladas de nitrato, a un costo de $200 por tonelada; 1800 toneladas de fosfato, a un costo de $80 por tonelada; y 2000 toneladas de potasio, a un costo de $160 por tonelada. El material de relleno est disponible en cantidades ilimitadas al precio de $10 por tonelada. No existen restricciones en el uso de la mano de obra ni en la maquinaria utilizada, pero el costo de mezclado de los componentes es de $15 por tonelada. Formule el problema de PL para que la compaa pueda conocer cunta cantidad de fertilizante de cada tipo debe producir para obtener las mayores utilidades.

26. La Compaa "Cola Segura" acaba de adquirir una licencia existente para operar el servicio de transporte entre el aeropuerto de Maiqueta y la ciudad de Caracas. Anteriormente, el servicio de transporte operaba una flota de 30 camionetas; sin embargo, el volumen del negocio hace que sea fcil justificar la adicin de otros vehculos. Adems la mayora de los vehculos son muy viejos y requieren un mantenimiento muy costoso. Debido a los bajos costos de adquisicin de la licencia, la compaa est en la posicin de reemplazar todos los vehculos existentes y puede gastar hasta $500000. Se estn considerando tres tipos de vehculos: camionetas, microbuses y autobuses. La compaa ha recopilado informacin de ellos y sta se muestra en la Tabla 1. La junta directiva de la compaa ha


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proyectado que puede utilizar en forma adecuada cuantos vehculos pueda financiar; sin embargo, las instalaciones de servicio y mantenimiento son limitadas. En este momento, el departamento de mantenimiento puede manejar 30 camionetas. En la actualidad la compaa no desea ampliar las instalaciones de mantenimiento. Puesto que la nueva flota puede incluir microbuses y autobuses, el departamento de mantenimiento debe estar en posibilidades de trabajar con ellos. Un microbs equivale a 1 1/2 camionetas y cada autobs equivale a 3 camionetas. Plantee un problema de programacin lineal que le permita a la compaa determinar el nmero ptimo de cada uno de los tipos de vehculos que debe adquirir con el objeto de maximizar las utilidades anuales esperadas.

Tabla 1. Costo unitario y utilidad annual

Tipo de vehculo Precio Utilidad Anual

Camioneta $15000 $4000 Microbs $25000 $5600 Autobs $50000 $13000

27. Una compaa comercializa gasolina de dos grados: extra y normal. Cada tipo de gasolina debe satisfacer

ciertas especificaciones, tales como la presin mxima de vapor aceptable y el octanaje mnimo. Los requerimientos de manufactura para las gasolinas se muestran en la Tabla 2.

Tabla 2

Tipo de gasolina Octanaje Mnimo Presin Mx. Vapor Precio venta/barril

Normal 80 9 $21 Extra 100 6 $24

Se utilizan tres tipos de gasolina base para fabricar las gasolinas normal y extra. Las caractersticas de las gasolinas base se muestran en la Tabla 3.

Tabla 3

Gasolina base

Octanaje

Presin vapor

Disponib. Mx. (barriles)

Costo/barril

Tipo 1 108 4 32000 $22 Tipo 2 90 10 20000 $20 Tipo 3 73 5 38000 $19

La compaa se ha comprometido con un comprador a proporcionarle 30000 barriles de gasolina normal por semana. No se tienen compromisos con respecto a la gasolina extra. A la compaa le gustara determinar el plan de manufactura para los dos tipos de gasolinas que maximice las utilidades.

28. Una empresa fabricante de lmparas produce tres tipos de lmparas (piso, mesa y escritorio) mediante dos procesos de manufactura. Las lmparas de piso generan una utilidad de $25 por unidad, las de mesa $11 por unidad y las de escritorio $6 por unidad, independientemente del proceso utilizado. Para la fabricacin de las lmparas se usan tres mquinas, la Tabla 4 indica los tiempos de mquina (en hr) requeridos para la fabricacin de las lmparas en cada proceso y la disponibilidad semanal de las mquinas (hr/sem). Las lmparas se fabrican usando tres tipos de materiales. La Tabla 5 muestra los requerimientos de material para cada tipo de lmpara (unidades de peso) en cada proceso y la disponibilidad semanal del materia (unidades de peso/sem). Un estudio de mercado indica que la empresa puede vender hasta 25 lmparas de piso, 50 de mesa y 100 de escritorio por semana. Formule el problema de PL que permita maximizar la utilidad de la empresa.

Tabla 4

Proceso I Proceso II

L. piso L. mesa L. escrit. L. piso L. mesa L. escrit.

Disponib.

Hr/semana

Mq. 1 0.1 0.1 0.1 - - - 40


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Mq. 2 - - - 0.2 0.15 0.1 40

Mq. 3 0.5 0.2 0.15 0.3 0.25 0.2 55

Tabla 5

Proceso I Proceso II

L. piso L. mesa L. escrit. L. piso L. mesa L. escrit.

Disponib.

Peso/sem

Mat. 1 4 2 0.9 4 2 0.9 185

Mat. 2 5 1 - 5 1 - 200

Mat. 3 0.5 0.5 0.2 0.5 0.5 0.2 90

29. El distrito escolar del Condado de Clark tiene dos escuelas de nivel medio superior que atienden las necesidades del condado. La Escuela No. 1 tiene una capacidad de 6500 estudiantes y la escuela No. 2 tiene una capacidad para 4500. El distrito escolar est subdividido en 6 zonas. Cada una de ellas tiene una poblacin estudiantil diferente y una combinacin distinta de alumnos de minoras. La Tabla 7 describe cada una de las zonas.

Tabla 7. Caractersticas de la Poblacin Estudiantil

Zona

No. total estudiantes No. Total de estudiantes minoras

A 1900 200 B 2475 1600 C 1000 490 D 2150 450 E 1800 870 F 1400 590

Un plan en contra de la discriminacin, ordenado por un tribunal, ha llegado al distrito y dicho plan especifica que cada escuela debe tener inscritos al menos 32% de alumnos de minoras. Ninguna escuela puede tener inscritos mas del 45% de alumnos de minoras. Para tratar de cumplir con el dictamen del tribunal, el distrito desea minimizar el nmero de millas que deben viajar en autobs los estudiantes. La Tabla 8 muestra los datos que indican lasa distancias (en millas) entre las diversas zonas y las escuelas correspondientes. Si es posible, al distrito le gustara evitar que los estudiantes viajaran mas de 2.8 millas. Plantee un modelo de Programacin lineal que le permita al distrito cumplir con el plan de no discriminacin y la restriccin del transporte.

Tabla 8. Distancias entre zonas y escuelas Zona Escuela No. 1 Escuela No. 2

A 1.5 2.5 B 1.8 1.9 C 2.2 2.6 D 2.5 2.3 E 2.9 1.8 F 2.8 1.1

30. La Ciudad A produce diariamente 500 toneladas de basura y la Ciudad B 400 toneladas. Antes de depositar la basura en un relleno sanitario es necesario incinerarla en cualquiera de dos plantas quemadoras (Quemador 1 y Quemador 2). Este proceso reduce cada tonelada de basura a 0.20 toneladas de desecho. Cada quemador puede incinerar hasta un mximo de 500 toneladas de basura por da. El costo por incinerar basura en el Quemador 1 es de $40/ton y en el Quemador 2 es de $30/ton. Una vez quemada la basura es necesario depositar el desecho en cualquiera de dos rellenos sanitarios (Relleno 1 y Relleno 2). Cada relleno puede recibir hasta un mximo de 200


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toneladas de desechos por da. El costo de transporte por tonelada de basura o desecho es de $3/km. La Tabla 6 muestra las distancias (en kilmetros) entre las distintas localidades. Formule el problema de Programacin Lineal que permita minimizar los costos totales para deshacerse de la basura diaria de ambas ciudades.

Tabla 6

Distancias entre Localidades (en km)

QUEMADOR 1 QUEMADOR 2 CIUDAD A 30 5 CIUDAD B 36 42 RELLENO 1 RELLENO 2 QUEMADOR 1 5 8 QUEMADOR 2 9 6

31. Birdeyes Real State Co. es propietaria de 800 acres de terreno no urbanizado a orillas de un lago panormico

en el corazn de las montaas Ozark. En el pasado se aplicaban muy pocas regulaciones o ninguna, a las nuevas urbanizaciones alrededor del lago. En la actualidad, las playas del lago estn salpicadas de casas para vacacionistas. Debido a la carencia de servicios de aguas negras se usan intensamente pozos spticos, que se instalan en forma por dems inapropiada. A lo largo de los aos, las filtraciones de los pozos spticos han dado por resultado un grave problema de contaminacin del agua. Para frenar una mayor degradacin en la calidad del agua, los funcionarios del condado aprobaron reglamentos muy estrictos, aplicables a todas las futuras urbanizaciones. Las condiciones impuestas son:

Slo se pueden construir viviendas familiares individuales, dobles y triples y las viviendas de una sola familia deben ser por lo menos 50% del total de viviendas a construir.

Para limitar el nmero de pozos spticos, se requieren lotes con una superficie mnima de 2, 3 y 4 acres

para las viviendas individuales, dobles y triples, respectivamente.

Se deben establecer reas recreativas de un acre cada una, en proporcin de un rea por cada 200 familias.

Para preservar la ecologa del lago, las aguas freticas no pueden bombearse para uso domstico o jardinera.

El presidente de Birdeyes Real State Co. est estudiando la posibilidad de urbanizar los 800 acres de la compaa. La nueva urbanizacin incluir viviendas familiares individuales, dobles y triples. Se calcula que un 15% de la superficie se consumir en calles y en instalaciones para servicios pblicos. Birdeyes calcula las utilidades de las diferentes unidades habitacionales como se indica en la Tabla 9. El costo de conectar el servicio de agua al rea es proporcional al nmero de unidades construidas. Sin embargo, el condado estipula que se debe cobrar un mnimo de 100.000 dlares para que el proyecto sea econmicamente factible. Adems, la expansin del sistema de suministro de agua, ms all de su capacidad actual, est limitado a 200000 galones por da durante los perodos pico. La Tabla 10 presenta los datos de consumo de agua y del costo de consumo por unidad de vivienda para una familia promedio. Formule el problema de PL que permita determinar la forma ptima de desarrollar el nuevo urbanismo.

Tabla No. 9 Tipo de Vivienda Individual Doble Triple Utilidad neta por unidad $ 10.000 12.000 15.000

Tabla No. 10

Individual Doble Triple Recreativa Costo servicio de agua por unidad ($) 1.000 1.200 1.400 800 Consumo de agua por unidad (gal/da) 400 600 840 450


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32. El Director de personal de la aerolnea One Tripp debe decidir cuntas aeromozas contratar y entrenar en los prximos seis meses. Los requerimientos, expresados en nmero de horas de vuelo de aeromozas, son: 8.000 en Enero, 9.000 en Febrero, 7000 en Marzo, 10.000 en Abril, 9.000 en Mayo y 11.000 en Junio. Se requiere de un mes para entrenar a una aeromoza antes de que pueda servir en un vuelo, por lo que cualquier persona debe ser contratada un mes antes de cuando se requiera. Cada aeromoza en entrenamiento requiere de 100 hora de supervisin por una aeromoza experimentada durante el mes de entrenamiento y por lo tanto no se disponen de esas horas de aeromoza para los vuelos.

Cada aeromoza experimentada trabaja 150 horas por mes y la compaa dispone de 60 aeromozas al comienzo de Enero. Si el mximo nmero de horas disponibles de aeromozas experimentadas excede los requisitos del mes, las aeromozas trabajan menos de 150 horas y no se despide a ninguna. Al final de cada mes el 10% de las aeromozas experimentadas renuncian por distintas razones. Cada aeromoza experimentada le cuesta a la empresa $850 por mes y cada aeromoza novata $450. Formule el problema de PL que permita optimizar el manejo del personal en los prximos 6 meses.

33. Una planta de productos qumicos fabrica dos tipos de producto; el producto 1 le reporta a la empresa una utilidad de $150 por cada 1000 galones mientras que el producto 2 le genera $120 por cada 1000 galones. El proceso de manufactura de ambos productos genera elementos contaminantes (dos tipos de gases: A y B, y partculas slidas). La Tabla 11 indica las cantidades de elementos contaminantes generadas por 1000 galones de cada tipo de producto. El gobierno regional desea controlar la contaminacin ambiental de la planta y ha establecido lmites de produccin diaria de contaminantes: gas A, 5000 gr/da; gas B, 5000 gr/da; y partculas, 12000 gr/da. El gerente de la planta tiene la opcin de usar dos dispositivos para reducir la contaminacin, el dispositivo 1 reduce en un 75% la cantidad de gas A, en un 50% el gas B y en un 90% las partculas slidas, independientemente del producto que se fabrique; el dispositivo 2 reduce en un 50 % la cantidad de gas A, en nada el gas B y en un 80% las partculas slidas, independientemente del producto que se fabrique. El uso del dispositivo 1 reduce la utilidad por cada 1000 galones de cada producto en 50% y el dispositivo 2 la reduce en un 33%. La empresa tiene compromisos de produccin diarios de 100000 galones de producto 1 y 200000 galones de producto 2. Formule el problema de Programacin Lineal que permita maximizar las ganancias de la empresa.

Tabla 11

Cantidad de contaminantes por producto (gr/1000 galones) CONTAMINANTE PRODUCTO 1 PRODUCTO 2

Gas A 24 36 Gas B 8 12 Partculas slidas 100 50

34. La Compaa AB est estudiando la posibilidad de expandir su capacidad de planta instalada para los prximos

4 perodos. El objetivo de la compaa es disponer de una capacidad de produccin mxima instalada al final de los 4 perodos. La compaa produce solamente un producto, la materia prima y las dems variables de produccin tienen un costo de Bs. 120 por unidad producida. Todos los costos y requerimientos de produccin se efectan dentro de un perodo, mientras que las ventas del producto se realizan en el perodo siguiente. Cada unidad de producto se vende en Bs. 175 y requiere de 1,2 unidades de produccin. Existen en cada perodo dos polticas de expansin a ser utilizadas. La poltica 1 implica que a cada unidad de produccin agregada se le debe cargar un costo de Bs. 2.400 al comienzo del perodo en cuestin, esta nueva unidad de produccin estar disponible al comienzo del siguiente perodo. Igualmente la poltica 2 implica que a cada unidad de produccin agregada se le debe cargar un costo de Bs. 1.800, pero esta capacidad agregada no estar disponible sino dos perodos despus. La compaa tiene Bs. 3.200.000 disponibles al comienzo del perodo 1 para financiar la produccin y la expansin de la planta. El financiamiento de la produccin y de la expansin en perodos posteriores deber hacerse con fondos generados en el propio sistema. Al comienzo del perodo 1 se dispone de 960 unidades de produccin de planta. Al final del perodo 4 toda la capacidad deber estar operativa. Formule un modelo de PL de esta situacin.

35. La compaa Boralis fabrica morrales para excursionistas. La demanda de este producto ocurre durante los meses de marzo a junio de cada ao. La compaa Boralis estima que la demanda para los 4 meses es de 100, 200, 180 y 300 unidades, respectivamente. La compaa utiliza horas extra de mano de obra para fabricar los morrales y, debido a eso, su capacidad de produccin vara mensualmente. Se calcula que Boralis puede producir 50, 180, 280 y 270 unidades de marzo a junio, respectivamente. Debido a que la capacidad de produccin y la demanda para los


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diferentes meses no es igual, la demanda del mes actual se satisface en una de tres formas:

Con la produccin del mes en curso Con produccin excedente del mes anterior Con produccin excedente del mes siguiente

En el primer caso, el costo de produccin por morral es de $40. El segundo caso incurre en un costo de almacenamiento de $0,50 por morral, por mes. En el tercer caso se incurre en un costo adicional de $2 de penalidad por cada mes de demora en satisfacer el pedido. Formule el problema de PL que permite programar la produccin ptima para los 4 meses.

36. La compaa Odessa fabrica un producto que tiene una demanda que aumenta y disminuye. Por ejemplo, la

demanda que se ha pronosticado para los prximos cuatro meses es de 1.800, 2.200, 3.400 y 2.800, respectivamente. Debido a las variaciones en la demanda, los administradores de Odessa han encontrado que en algunos meses existe produccin en exceso, lo cual ocasiona grandes costos de manejo y almacenamiento; en tanto que en otros meses la compaa no est en posibilidades de cubrir la demanda. La compaa puede fabricar 2.400 artculos por mes en sus turnos normales de produccin. Utilizando tiempo extra, es posible fabricar 800 artculos mensuales adicionales. Debido a los mayores costos de mano de obra en tiempo extra, se produce un aumento de $7 por cualquier artculo que no se fabrique durante el turno normal. Los administradores estiman el costo de almacenamiento en $3 por cualquier artculo que se fabrique en un mes determinado y que no se venda durante el mismo. A la compaa Odessa le gustara determinar un programa ptimo de produccin que minimice los costos totales de produccin y almacenamiento a la vez que se satisfaga la demanda de ventas.

37. La Corporacin La Lagunita est construyendo un desarrollo habitacional con lago privado. El mercado principal

para los terrenos y casas a la orilla del lago que esperan vender incluye todas las familias de ingresos medio y alto dentro de aproximadamente 100 millas a la redonda del proyecto. Corporacin La Lagunita ha contratado a la agencia de publicidad BP&J para disear la campaa publicitaria. Despus de considerar posibles medios y el mercado a cubrir, BP&J ha recomendado que la publicidad del primer mes se limite a cinco medios. Al final del primer mes, BP&J evaluar su estrategia con base en los resultados del mes. BP&J ha reunido datos sobre la cantidad de clientes potenciales, el costo por anuncio, el nmero mximo de veces que cada uno de ellos est disponible y la evaluacin de la calidad de la exposicin de cada uno de los cinco medios, los cuales se muestran en la siguiente tabla:

Clientes potenciales alcanzados

Costo por anuncio ($)

Tiempo mximo disponible por mes

Unidades de calidad de exposicin

TV diurna (1 minuto)

1000 1500

15 65

TV nocturna (30 segundos)

2000 3000 10 90

Prensa 1500 400 25 40 Revista Inmobiliaria

2500 1000 4 60

Radio (noticiero) 300 100 30 20 La Corporacin La Lagunita autoriz a BP&J un presupuesto de publicidad de $ 30.000 para la campaa del primer mes, y adems le impuso las siguientes restricciones: debe utilizar por lo menos 10 comerciales de televisin, se deben alcanzar por lo menos 50.000 clientes potenciales y no pueden gastarse ms de $ 18.000 en anuncios en televisin. Qu plan de seleccin de medios deber recomendarse a fin de maximizar las unidades de calidad de exposicin?

38. La compaa de fondos Welte Mutual Funds de Nueva York acaba de obtener $ 100.000 convirtiendo bonos industriales en efectivo, y est buscando otras oportunidades de inversin para estos fondos. Con base en las inversiones actuales de la compaa, el analista financiero recomienda que todas las nuevas inversiones se efecten en la industria petrolera, en la industria del acero o en bonos del gobierno. Especficamente ha identificado cuatro oportunidades de inversin y ha proyectado sus tasas de rendimiento anuales, las cuales se muestran a continuacin:


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Inversin Tasa de rendimiento proyectado (%) Atlantic Oil 7,3 Pacific Oil 10,3 Midwest Steel 6,4 Huber Steel 7,5 Bonos del tesoro 4,5

Adicionalmente la administracin de la compaa ha impuesto lo siguiente: -ninguna de las industrias (petrleo o acero) debe recibir ms de $ 50.000, -los bonos del gobierno deben ser por lo menos 25% de las inversiones en la industria del acero, -por ser la inversin en Pacific Oil de alto rendimiento pero adems de alto riesgo, no deber ser mayor de 60% de la inversin total en la industria petrolera. Qu recomendaciones de cartera deber dar?

39. El grupo de empresas POLAR ha establecido un programa para planes de retiro anticipado para su cuerpo gerencial como parte de su reestructuracin corporativa. Al cierre de perodo de aplicacin voluntaria, 68 gerentes haban elegido un retiro anticipado. Como resultado de estos planes de retiro anticipado, la empresa ha incurrido en las siguientes obligaciones (en miles de dlares) para los siguientes 8 aos, como se muestra en el siguiente cuadro:

Ao 1 2 3 4 5 6 7 8 Obligaciones 430 210 222 231 240 195 225 255

El tesorero corporativo debe determinar cunto dinero debe apartar hoy para cumplir con las obligaciones financieras a 8 aos conforme venzan. El plan financiero del programa de retiro incluye inversiones en bonos del gobierno, as como en ahorro. Las inversiones en bonos del gobierno se limitan a 3 alternativas:

Bonos del Tesoro

Precio ($) (valor facial $ 1000)

Tasa de Rendimiento (% sobre valor facial)

Aos hasta el vencimiento

1 1150 8,875 5 2 1000 5,500 6 3 1350 11,750 7

Cualquier fondo no invertido en bonos del tesoro se colocar en una cuenta money market generando una tasa anual del 4%.

40. La empresa McCormick fabrica dos productos con contribuciones a la utilidad por unidad de 10$ y de 9$ respectivamente. En la siguiente tabla se muestran las necesidades de mano de obra por unidad producida y las horas de mano de obra disponible por personal asignado a cada uno de los cuatro departamentos.

Horas de Mano de Obra Departamento

Producto 1 (horas/unidad)

Producto 2 (horas/unidad)

Total horas disponibles

1 0,65 0,95 6500 2 0,45 0,85 6000 3 1,00 0,70 7000 4 0,15 0,30 1400

Ahora bien, McCormick tiene un programa de capacitacin cruzada en las tareas de distintos departamentos que permite que algunos empleados puedan ser transferidos para realizar los trabajos en departamentos alternos. Aprovechando estas habilidades de capacitacin cruzada, un nmero limitado de empleados y de horas de mano de obra pueden transferirse de un departamento a otro.


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En el siguiente cuadro se muestran las transferencias permitidas por capacitacin cruzada entre departametos:

Transferencias al dpto. Transferencias Del dpto.

Dpto.

1

Dpto.

2

Dpto.

3

Dpto.

4

Horas Mximas

Transferibles

Dpto.1 - Si Si - 400 Dpto.2 - - Si Si 800 Dpto.3 - - - Si 100 Dpto.4 Si Si - - 200

Determine cul es la mezcla ptima del producto y cul es la asignacin ptima de la fuerza de trabajo.

41. Western Family Steakhouse ofrece una diversidad de comidas de bajo costo y de servicio rpido. Aparte de la gerencia, el restaurante opera con dos empleados de tiempo completo que trabajan 8 horas al da. Los dems empleados son de tiempo parcial, que se programan en turnos de 4 horas durante las horas pico de comida. El restaurante abre de 11:00 am a las 10 pm. La administracin desea desarrollar un programa para los empleados de tiempo parcial que minimice el costo de mano de obra,. El costo salarial promedio de los empleados a tiempo parcial es de 4,60 $ la hora. El total de empleados de tiempo completo y de tiempo parcial necesario vara con la hora del da de acuerdo a lo siguiente:

HORARIO Nmero total de empleados necesarios 11:00 am 12:00 m 9 12:00 m 1:00 pm 9 1:00 pm 2:00 pm 9 2:00 pm 3:00 pm 3 3:00 pm 4:00 pm 3 4:00 pm 5:00 pm 3 5:00 pm 6:00 pm 6 6:00 pm 7:00 pm 12 7:00 pm 8:00 pm 12 8:00 pm 9:00 pm 7

9:00 pm 10:00 pm 7 Un empleado de tiempo completo entra a trabajar a las 11:00 am, trabaja 4 horas, descansa una hora y vuelve para otras 4 horas. El otro empleado de tiempo completo llega a trabajar a la 1:00 pm y trabaja siguiendo el mismo patrn de 4 horas de trabajo, una hora de descanso y 4 horas de trabajo. Desarrolle un modelo de costo mnimo para los empleados de tiempo parcial. Cmo ajustara el modelo si a los empleados de tiempo parcial se les pueda asignar turnos de 4 o de 3 horas?

42. Desarrolle un modelo de planificacin de 3 meses de la produccin e inventarios para Allen Manufacturing Company considerando el precio de ventas, los costos de produccin en horario normal, los costos de produccin en sobretiempo, los costos de almacenamiento de inventario y los costos por ventas no realizadas. Utilice la siguiente informacin relevante:

Perodo Precio de Venta Unitario

Costo de Produccin

Unitario

Demanda Costo de Almacenamient

o Unitario 1 5.00 2.80 500 0.50 2 5.00 2.90 300 0.50 3 5.50 3.00 400 0.55


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Capacidad de Produccin (Unidades) Perodo Normal Sobre Tiempo

1 250 100 2 300 100 3 300 125

El costo de produccin en sobretiempo en cada perodo es 20% superior al costo de produccin unitario mostrado. El costo por ventas no realizadas de 4 dlares por unidad en cualquier perodo toma en consideracin la prdida de imagen ante el cliente. El inventario inicial del perodo 1 es de 100 unidades. Adems la empresa desea tener por lo menos 50 unidades en inventario final para el perodo 3 al fin de prepararse para el perodo 4. Desarrolle un modelo de programacin lineal que pueda ser utilizado para determinar el programa ptimo de produccin e inventario para Allen Manufacturing. Determine las ventas, la produccin en horario normal, la produccin en sobretiempo, el inventario final y las ventas no realizadas para los tres perodos de tal manera de optimizar la utilidad neta obtenida. Tenga en cuenta: Ventas no realizadas (t) = demanda (t) ventas (t) Inventario final (t) = Inventario inicial (t) + produccin (t) ventas (t)

43. Morton Financial Institution debe decidir sobre la proporcin a invertir en cada una de las alternativas de inversin ofrecidas, esto es, inversin A e inversin B. En el siguiente cuadro se muestra el flujo de caja de cada una de estas alternativas de inversin, sobre la base del 100% de inversin requerido, siendo posible la participacin parcial (un porcentaje) en cada una de ellas.

En el mismo cuadro tambin se muestran los recursos disponibles para nuevas inversiones en cada uno de los perodos. En cada perodo Morton Financial puede tomar fondos en prstamos a una tasa por perodo del 18%, los cuales deber retornar en el perodo siguiente. Tambin puede colocar recursos en cuentas de ahorro al 10% por perodo. Desarrolle un modelo de programacin lineal que permita decidir a Morton Financial sobre el porcentaje de participacin en cada una de las inversiones A y B.

Perodo Fondos Disponibles para Nuevas Inversiones

Flujo de Caja Inversin A

Flujo de Caja Inversin B

1 1500 -1000 -800 2 400 -800 -500 3 500 -200 -300 4 100 200 300

Final 4 3200 3500


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Ejercicios de Solucin Grfica

1. Una empresa distribuidora de vehculos puede comercializar dos tipos de vehculos, automviles y camionetas. La utilidad que le puede proporcionar cada vehculo es de $300 por auto y $400 por camioneta. La fabrica de ambos tipos de vehculos puede proporcionar un mximo de 300 autos y 200 camionetas. Sin embargo para que los vehculos puedan ser vendidos es preciso procesarlos. El taller de procesamiento tiene una capacidad de 900 horas para procesar vehculos. Un automvil requiere 2 horas de procesamiento, mientras que una camioneta requiere 3 horas. Determine el nmero de vehculos a ser distribuido para maximizar utilidades. Resuelva el problema grficamente.

2. La compaa TROFEOS C.A. fabrica trofeos para los campeonatos de las ligas escolares de ftbol y bisbol, y

requiere definir su produccin para el prximo cierre de temporada a realizarse en el mes de junio. Cada trofeo de ftbol tiene una base de madera, una placa metlica y una pelota de ftbol elaborada en plata encima, y su venta genera una utilidad a la compaa de 12$. Cada trofeo de bisbol es similar en su elaboracin con la diferencia de que tiene encima una pelota de bisbol y la utilidad que genera por cada venta es de 9$.

Dado que las pelotas de ftbol son ms grandes, su base requiere 4 listones de madera para su elaboracin, mientras que las de bisbol, requieren slo 2 listones. Actualmente la fbrica dispone de un inventario de 1000 pelotas de plata de ftbol y de 1500 pelotas de bisbol, 1750 placas y 4800 listones de madera. Cmo deber distribuirse la produccin de trofeos a fin de maximizar al utilidad total de la empresa, bajo el supuesto de que todos los trofeos se vendern?

3. La compaa Reddy Mikks produce pinturas tanto para interiores como para exteriores, a partir de dos materias primas M1 y M2. La siguiente tabla proporciona los datos bsicos del problema:

Toneladas de materia prima por

tonelada de

Pintura para exteriores

Pintura para interiores

Disponibilidad Mxima diaria

(ton.) Materia Prima M1 6 4 24 Materia Prima M2 1 2 6

Utilidad por Tonelada (1000 $)

5 4

Una encuesta de mercado restringe la demanda mxima diaria de pintura para interiores a 2 toneladas. Adems, la demanda diaria de pintura para interiores no puede exceder a la de pintura para exteriores por ms de 1 tonelada. Reddy Mikks quiere determinar la mezcla de producto ptima (mejor) de pinturas para interiores y para exteriores que maximice la utilidad total diaria.

4. Ozark Farms utiliza diariamente por lo menos 800 libras de alimento especial. El alimento especial es una mezcla de maz y semilla de soya, con las siguientes composiciones:

Libra por libra de alimento para ganado Alimento para ganado

Protenas

Fibra

Costo

($/libra) Maz 0,09 0,02 0,30

Semilla de Soya 0,60 0,06 0,90 Los requerimientos dietticos diarios del alimento especial estipulan por lo menos un 30% de protenas y cuando mucho un 5% de fibra. Ozark Farms desea determinar el costo mnimo diario de la mezcla de alimento.

5. Radioco manufactura 2 tipos diferentes de radios. Lo nico necesario para la produccin de los radios es la mano de obra. En la actualidad la empresa tiene dos trabajadores. El trabajador 1 est contratado hasta 40 horas a la semana y se le paga a Bs. 5.000 la hora. El trabajador 2 est contratado por 50 horas a la semana y se le paga Bs. 6.000 la hora. En la Tabla 1 se presentan el precio de venta, el costo y las horas requeridas por cada tipo de radio. Formule un modelo de PL que le permita a Radioco maximizar sus ganancias.


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Tabla 1

Recurso requerido Radio 1 Radio 2 Trabajador 1 1 hora 2 horas Trabajador 2 2 horas 1 hora Materia prima Bs. 5.000 Bs. 4.000 Precio venta Bs. 25.000 Bs. 22.000

6. Una lata de alimentos para perros clase A contiene 12 mg de protena y 4 mg de grasa, mientras que una lata

de alimento clase B contiene 3 mg de protena y 8 mg de grasa. Del Matthews administra una pequea perrera. Para la alimentacin de sus huspedes el da de maana, ha decidido prepara una mezcla comestible para perros que contenga por lo menos 30 mg de protena y 24 mg de grasa. Si una lata de alimentos clase A cuesta $0,80 y una de clase B $0,60. Formule un modelo de PL que permita minimizar el costo de preparacin de la comida y resulvalo grficamente.

7. Dorian Auto fabrica automviles de lujo y camiones. La compaa opina que sus clientes ms probables son

mujeres y hombres de ingresos altos. Para llegar hasta estos grupos, Dorian Auto lanz una campaa ambiciosa de publicidad por televisin y decidi comprar comerciales de 1 minuto en dos tipos de programas: series cmicas y juegos de ftbol. 7 millones de mujeres de ingresos altos y 2 millones de hombres de ingresos altos ven cada comercial en series cmicas. 2 millones de mujeres de ingresos altos y 12 millones de hombres de ingresos altos ven cada comercial en juegos de ftbol. Un comercial de 1 minuto en una serie cmica cuesta 50.000 dlares, y un comercial de 1 minuto en un juego de ftbol cuesta 100.000 dlares. Dorian Auto quisiera que por lo menos 28 millones de mujeres de ingresos altos y 24 millones de hombres de ingresos altos vieran los comerciales. Formule un modelo de PL para determinar cmo Dorian Auto puede alcanzar sus requerimientos publicitarios a un costo mnimo.

8. Giapetto fabrica dos tipos de juguetes de madera: soldados y trenes. Cada soldado se vende a Bs. 2.700 y

requiere de Bs. 1.000 de materia prima, sin embargo, cada soldado que se elabora incrementa los costos variables de mano de obra y costos generales en Bs. 1.400. Por otro lado, cada tren se vende a Bs. 2.100 y requiere de Bs. 900 de materia prima, adems de incrementar los costos de mano de obra y costos generales en Bs. 1.000. La produccin de soldados y trenes de madera necesita dos tipos de trabajo especializado, siendo stos: carpintera y acabado. Un soldado requiere de 2 horas de acabado y 1 hora de carpintera. Un tren requiere de 1 hora de acabado y 1 hora de carpintera. Cada semana, Giapetto puede conseguir toda la materia prima que necesita, pero slo dispone de 100 horas de acabado y 80 horas de carpintera. La demanda de los trenes no tiene lmite, pero se venden a lo sumo 40 soldados semanalmente. Giapetto quiere maximizar su ganancia semanal.

a. Formule el problema y resulvalo grficamente. b. Suponga que el proveedor que le suministra la pintura para los juguetes a Giapetto ha encontrado

dificultades para la reposicin de la pintura necesaria y slo podr disponer de 18 galones de pintura semanales para suplir a Giapetto de sus requerimientos de pintura para los juguetes. Giapetto estima que en cada soldado utiliza 0,3 galones de pintura y en cada tren 0,2 galones de pintura. Determine la nueva solucin ptima bajo esta circunstancia.

c. En virtud de que Giapetto ha sido buen pagador durante los ltimos meses, el proveedor de madera para los soldados ha obsequiado a Giapetto con un descuento de Bs. 100 por la madera adquirida para cada soldado. Determine la nueva solucin ptima.

d. A Giapetto le han ofrecido un contrato bajo el cual tendr que suplir una demanda mnima de 60 soldados y 90 trenes semanales. Determine la nueva solucin ptima.

9. PROTAC Inc. Produce dos lneas de maquinaria pesada. Una de sus lneas de productos, llamada equipo de excavacin, se utiliza principalmente en aplicaciones de construccin. La otra lnea, denominada equipo para aserrar, est destinada a la industria maderera. Tanto la maquinaria ms grande de la lnea de equipo de excavacin (E-9), como la mayor de toda la lnea de equipo para aserrar (F-9) son fabricadas en los mismos departamentos y con el mismo equipo. Empleando las proyecciones econmicas correspondientes al siguiente mes, el gerente de mercadotecnia de PROTAC ha considerado que durante ese perodo ser posible vender todas las E-9 y las F-9 que la compaa sea capaz de producir. La gerencia tiene que recomendar ahora una meta de produccin para el mes prximo si la direccin de PROTAC desea maximizar las ganancias de la empresa. Los datos para formular este problema son:


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a) Cada E-9 vendida produce una utilidad de $5.000 y cada F-9 de $ 4.000. b) Cada producto pasa por las operaciones de maquinado, tanto en el departamento A como en el B. c) Para el mes prximo, estos dos departamentos tienen disponibles 150 y 160 horas, respectivamente. La

fabricacin de cada E-9 requiere 10 horas de maquinado en el departamento A y 20 horas en el departamento B, mientras que cada F-9 requiere de 15 horas en el departamento A y 10 en el B.

d) Para que la gerencia cumpla una acuerdo concertado con el sindicato, las horas totales de trabajo invertidas en la prueba de productos terminados del siguiente mes no debe ser ms all del 10% inferior de una meta convenida de 150 horas. Estas pruebas se llevan a cabo en un tercer departamento y no tienen nada que ver con las actividades de los departamentos A y B. Cada E-9 es sometida a pruebas durante 30 horas y cada F-9 durante 10.

e) Con el fin de mantener su posicin actual en el mercado, la alta gerencia ha decretado como poltica operativa que deber construirse cuando menos una F-9 por cada 3 E-9 que sean fabricadas.

f) Uno de los principales distribuidores ha ordenado un total de cuando menos cinco E-9 y F-9 (en cualquier combinacin) para el prximo mes, por lo cual tendr que producirse al menos esa cantidad.

10. Dado el siguiente problema de programacin lineal:

Maximizar ZSujeto a:

= 4X1 + 5X2 2X1 + 3X2 120

12X1 + .5X2X

80 1 , X2 0

Encuentre la solucin ptima para el problema utilizando el mtodo grfico


Maximizar Sujeto a:

Z = 3X1 + 2X2

X1 10 X2 10

16 X1 + X2 X1 , X2 0

a. Muestre grficamente la regin factible para el problema b. Si se cambiara la funcin objetivo a 2X1 + 3X2 Cul sera la solucin ptima?


MaximizarSujeto a:

Z = 3X1 + X2

6X1 + 4X2 48 42 3X1 + 6X2

X1 , X2 0

Resuelva grficamente el problema.

13. Considere el siguiente problema de programacin lineal

MaximizarSujeto a:

Z = X1 + X2

2X1 + 4X2 12 12 3X1 + 2X2

X1 , X2 0

a. Encuentre la solucin ptima utilizando el procedimiento grfico b. Si se cambiara la funcin objetivo a X1 + 3X2 Cul sera la solucin ptima?


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14. Grafique las siguientes restricciones y seale el rea de las soluciones factibles:

3X1 + 3X2 300 6X1 + 3X2 480 3X1 + 3X2 480

X1 , X2 0

15. Encuentre grficamente la solucin a los siguientes problemas:

a. min z = -3 x1 + 5 x2 s.a. x1 4

x2 6 3 x1 + 2 x2 18 x1, x2 0

b. max z = 4 x1 + 4 x2 s.a. -2 x1 + 2 x2 2 - x1 + 2 x2 4 x1, x2 0

c. max z = 2 x1 + 2 x2 s.a. x1 + x2 2 x1 + x2 4 x1, x2 0

16. Considere el siguiente problema de programacin lineal. Resulvalo en forma grfica.

Maximizar Z = 20X1 + 22X2Sujeto a:

8X1 + 6X2 48 6X1 + 8X2 48 7X1 + 7X2 = 42 X1 , X2 0

17. Considere el siguiente problema de programacin lineal. Resulvalo en forma grfica.

Minimizar Z = 1.5X1 + 2X2Sujeto a:

2X1 + 2X2 8 2X1 + 6X2 12 X1 , X2 0

18. Resuelva grficamente el siguiente problema de programacin lineal:

Maximizar Z = 3X1 + 2X2Sujeto a:

3X1 + 5X2 45 6X1 + 4X2 48 X1 , X2 0


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19. Utilice el mtodo grfico para resolver el siguiente problema:

Maximizar Z = 2X1 + X2Sujeto a:

X2 10 2X1 + 5X2 60 X1 + X2 18 3X1 + X2 44 X1 , X2 0

a. Encierre en un crculo todos los puntos extremos b. Indique cul es la solucin ptima

20. Dado el siguiente problema:

Maximizar Z = X1 + X2Sujeto a:

X1 + 2X2 6 6X1 + 4X2 24 3X1 + 3X2 21 X1 , X2 0

a. Identifique la regin factible del problema b. Tiene el problema una restriccin innecesaria? Si es as, Cul es? Cambiara la solucin ptima para el

problema si se eliminara esa restriccin?

21. Considere el siguiente problema de programacin lineal: Max z(x) = c1 x1 + c2 x2 Sujeto a -4 x1 + 3 x2 12 2 x1 + x2 2 -3 x1 - 2 x2 -6 2 x1 + 5 x2 10 2 x2 12 x1 , x2 0

a. Grafique la regin factible b. Identifique una restriccin abundante y explique por qu lo es. c. Qu rango de valores deben tener c1 y c2 para que la solucin ptima no sea acotada? d. Qu relacin debe existir entre c1 y c2 para que existan soluciones ptimas alternativas en el segmento de recta

que une los puntos (x1 = 3/2, x2= 6) (x1=0, x2=4)? e. Qu sucede con la regin factible si se aade la restriccin 6 x1 + 3 x2 = 18? f. Qu sucede con la solucin ptima si c1 = 0 y c2 > 0? g. Cul es la relacin entre c1 y c2 para que (x1 = 3/2, x2= 6) sea la solucin ptima?


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Ejercicios de Mtodo SIMPLEX y Dualidad

1. La Federacin de Deportes Universitarios est elaborando planes para distribuir los tickets de entrada para los

prximos campeonatos de las ligas de bisbol universitario. Los 10.000 puestos disponibles debern ser distribuidos entre los medios de comunicacin, las universidades e institutos competidores y el pblico en general. Los medios de comunicacin debern ser admitidos gratis, sin embargo, la Federacin de Deportes Universitarios recibir 45$ por cada entrada de las universidades y 100$ por cada entrada del pblico en general.

Al menos 500 entradas reservarse para los medios de comunicacin, y al menos debern destinarse para las universidades la mitad de las entradas destinadas para el pblico en general.

a. Formule el problema como un PPL en el cual las variables de decisin x1 represente las entradas asignadas a los medios de comunicacin, x2 las entradas asignadas a las universidades y x3 las entradas asignadas al pblico en general. Explique el significado de cada ecuacin y funcin utilizada, recursos, actividades.

b. Obtenga la salida del programa LINDO y/o WinQSB de PL, al utilizar las variables especificadas, conteste las

preguntas ms abajo formuladas.

c. Interprete los resultados de la salida de LINDO, identifique los recursos, variables, actividades, decisiones, objetivo.

d. Formule el problema dual e interprete el significado del objetivo, cada variable de decisin y cada restriccin

dual.

e. Verifique a travs de los valores ptimos de las soluciones dual y primal que la solucin mostrada es la ptima. f. Verifique el cumplimiento del teorema de holgura complementaria. g. Cul es el costo marginal de cada asiento destinado a los medios de comunicacin?

h. Suponga que mediante un arreglo alternativo del estadium universitario donde se realizarn los juegos, se

podrn disponer de 15.000 asientos. Cunto ingreso adicional recibir la Federacin de Deportes Universitarios por estos asientos adicionales? Qu sucedera si se incrementa la disponibilidad a 20.000 asientos?

i. Como los ingresos de los eventos de la Federacin de Deportes provienen fundamentalmente de los ingresos

por publicidad vendida a la televisin, se tiene otra propuesta de reducir los precios del pblico general a 50$. En cunto se reducira el ingreso de la Federacin? Si el precio se redujera a 30$?

j. El entrenador de uno de los equipos quiere restringir los asientos destinados a los medios de comunicacin a

20% de aquellos destinados a las universidades. Cambiara esta poltica la solucin ptima? Si la restriccin fuera del 10%?

k. Para satisfacer la gran demanda de asientos por parte de los patrocinantes de los equipos de las universidades

participantes, la Federacin est considerando incluir otro tipo de entrada para ellos, teniendo en cuenta que esta entrada sera considerada como ocupando 80% de una entrada regular para fines de la ocupacin de asientos en el estadium, pero contara full contra la regla asientos universitarios la mitad asientos pblico general. Una solucin ptima considerara utilizar este tipo de asiento si se vendiera a 35$? Si se vendiera a 25$?

2. La empresa PROYECTOS GLOBALES C.A. est tratando de organizarse para elaboracin de un proyecto para la construccin de una planta industrial que le han contratado. Para ello podr contar con asistencia proveniente de tres fuentes: un nmero ilimitado de horas de estudiantes de ingeniera a un costo de $ 4 por hora, hasta 500 horas de tcnicos superiores en ingeniera a un costo de $ 10 la hora y un nmero ilimitado de horas de ingenieros proyectistas graduados a un costo de $ 25 la hora. Para la realizacin del proyecto, la gerencia de la empresa ha determinado el requerimiento de al menos 1000 horas de trabajo profesional. Ahora bien, la hora de un estudiante de ingeniera se considera con un nivel de productividad del 20% y la de un tcnico superior con una productividad del 30% en relacin a la hora de un profesional de la ingeniera ya graduado.


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La empresa ha designado a uno de sus socios para que dirija la elaboracin del proyecto y supervise y controle el trabajo del equipo de ingenieros, tcnicos y estudiantes. Para esta tarea, el socio dispone de slo 164 horas de su tiempo, y l sabe por experiencia que los estudiantes requieren de mayor supervisin, que los tcnicos y stos a su vez, ms que los ingenieros graduados. Especficamente, el socio tendr que dedicar 0.2 horas de su tiempo en la supervisin de una hora de trabajo de un estudiante, 0.1 horas en la supervisin de una hora de un tcnico superior y 0.05 horas por cada hora de trabajo de un ingeniero graduado.

a. Cunto se incrementara el costo del proyecto si se requieren 1050 horas de trabajo profesional? b. La disponibilidad de horas del socio influye en la solucin ptima?

c. Cunto cambia el costo del proyecto si el socio slo puede dedicar 150 horas a la direccin y supervisin del

proyecto?

d. Cunto debera cambiar la tarifa horaria de los tcnicos superiores para que sea atractiva su utilizacin dentro del proyecto?

e. Cunto aumentara el costo del proyecto si la tarifa de los ingenieros profesionales aumenta a $ 30 por hora?

f. Suponga que el socio decide que al menos la mitad de todas las horas de proyecto se contraten a estudiantes y

tcnicos superiores. Este requerimiento alterara la solucin ptima?

g. Suponga que se dispone de un nmero ilimitado de horas de tcnicos superiores. Est flexibilizacin de las condiciones, alterara la solucin ptima?

h. Considere que un ingeniero recin graduado de la firma ha expresado su inters en participar en el proyecto. A

qu tarifa horaria estara el socio interesado en permitir la participacin de este ingeniero, si es 80% tan eficiente como un ingeniero graduado con experiencia y requiere 0.10 horas de supervisin del socio por cada hora de trabajo?

3. Los laboratorios PHARMA pueden manufacturar su ms reciente producto bajo cualquiera de tres procesos distintos: -El proceso 1 cuesta $14.000 por activacin y requiere 3 toneladas de la materia prima A y 1 tonelada de la

materia prima B, y produce 2 toneladas del producto.

-El segundo proceso cuesta $ 30.000 por activacin y requiere 2 toneladas de la materia prima A y 7 toneladas de la materia prima B y produce 5 toneladas del producto.

-El tercer proceso cuesta $ 11.000 por activacin, y requiere 9 toneladas de la materia prima A y 2 toneladas de la materia prima B y produce 1 tonelada del producto.

Laboratorios PHARMA quiere encontrar la va menos costosa par producir al menos 50 toneladas del nuevo producto, dado que dispone de 75 toneladas de la materia prima A y 60 toneladas de la materia prima B.

a) Formule el problema como un problema de PL y resulvalo mediante LINDO y/o WinQSB. Explique brevemente en este problema:

a. Los recursos asociados con la funcin objetivo y cada restriccin principal. b. Las actividades asociadas con cada variable de decisin. c. Interpretacin de los coeficientes del lado izquierdo de cada variable de decisin.

b) Defina el problema dual asociado a a) e interprete su significado y unidad de medida, esto incluye:

a. Variables duales b. Restricciones duales c. Objetivo dual

c) Verifique el cumplimiento de las relaciones duales primales, incluyendo:

a. Valor de los objetivo b. Valor de las variables vrs. holguras

d) Conteste las siguientes preguntas:

a. Cunto costar producir 70 toneladas del nuevo producto?


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b. Cunto estar dispuesto PHARMA a pagar para obtener 20 toneladas ms de la materia prima 1? c. Cunto mas econmico o menos costoso tendr que hacerse el proceso 3 para que sea conveniente su

activacin o puesta en marcha? d. Cunto aumentara el costo de produccin de las 50 toneladas de producto si el costo de activar el proceso 2

aumenta a $ 32.000? e. Cunto disminuira el costo de produccin si el costo de activar el proceso 1 disminuye a $ 13.000? f. Suponga que el departamento de ingeniera est programando un nuevo proceso que produce 6 toneladas

del producto utilizando 3 toneladas de cada una de las materias primas. Cul debera ser el costo de este nuevo proceso para que sea atractiva su utilizacin o activacin?

g. Suponga que los tres procesos actualmente utilizan 1, 3 y 2 toneladas por lote de una tercera materia prima, pero no se sabe cunta materia prima se tiene disponible. Determine el monto mnimo requerido de esta materia prima para que la solucin ptima obtenida en la tabla no cambie.

4. La empresa PETROLEO MUNDIAL C.A. puede comprar dos tipos de petrleo crudo: crudo ligero a un costo de $25

por barril, y petrleo pesado a $ 22 por barril. Cada barril de petrleo crudo ya refinado, produce tres productos: gasolina, turbosina y querosene. La siguiente tabla indica las cantidades en barriles de gasolina, turbosina y querosene producidos por barril de cada tipo de petrleo crudo:

GASOLINA TURBOSINA QUEROSENE

Crudo Ligero 0.45 0.18 0.3

Crudo Pesado 0.35 0.36 0.2

La refinera se ha comprometido a entregar 1 260 000 barriles de gasolina, 900 000 barriles de turbosina y 300 000 barriles de querosene. Como gerente de produccin, formule un modelo para determinar la cantidad de cada tipo de petrleo crudo por comprar para minimizar el costo total al tiempo que se satisfaga la demanda apropiada.

a. Formule el problema como un modelo de programacin lineal.

b. Resuelva el problema grficamente y responda cul es el plan ptimo de compra y el costo total del petrleo crudo comprado.

c. Cuntos barriles de cada producto se debern producir?

d. La gerencia espera un incremento en el precio del petrleo crudo pesado de hasta $ 7 por barril. Qu impacto tendr esto en el plan de compra actual y el costo total? Explique.

e. Contrariamente a la expectativa de la parte anterior, el costo del petrleo crudo pesado no ha cambiado, pero el del petrleo crudo ligero se ha incrementado en $ 4 por barril. Qu impacto tiene esto en el plan de compra actual y el costo total? Explique.


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Ejercicios de Sensibilidad

1. Una empresa metalrgica produce dos tipos de acero (tipos 1 y 2) en tres aceras diferentes. Durante un mes dado, cada acera dispone de 200 horas de alto horno. El tiempo y el costo de producir una tonelada de acero, vara de una planta a otra, debido a las diferencias entre los hornos de cada planta. La Tabla 1 muestra el tiempo y el costo de produccin para cada fbrica. Cada mes, la empresa tiene que producir por lo menos 500 ton de acero tipo 1 y 600 ton de acero tipo 2. Resuelva el problema de programacin lineal que permita minimizar los costos de produccin.

Tabla 1 ACERO TIPO 1 ACERO TIPO 2 COSTO ($) TIEMPO (min.) COSTO ($) TIEMPO (min.)

Acera 1 10 20 11 22 Acera 2 12 24 9 18 Acera 3 14 28 10 30

Se desea realizar un anlisis de sensibilidad de la solucin ptima. Utilice los resultados del anlisis de sensibilidad del programa computarizado para contestar las siguientes preguntas: a. Qu pasara con la solucin ptima del problema si el costo por tonelada para fabricar acero tipo 1 en la

Acera 3 es de $7/ton? b. Convendra aumentar las horas de horno en alguna de las aceras?En cul lo hara usted? c. Qu pasara si se incrementa el compromiso de fabricar acero tipo 2 a 900 toneladas por mes? d. Si se le pide producir 50 toneladas ms de acero, cul de los dos tipos fabricara usted y por qu?

2. Un fabricante hace tres componentes para venderlos a compaas de refrigeracin. Los componentes se

procesan en dos mquinas: conformadora y ensambladora. Los tiempos (en minutos) requeridos por cada componente en cada mquina se indican en la Tabla 2:

Tabla 2

Mquina Componente Conformadora Ensambladora

1 6 4 2 3 5 3 4 2

La conformadora est disponible por 120 horas y la ensambladora est disponible por 110 horas. No se pueden vender ms de 200 unidades del componente 3, pero se pueden vender hasta 1000 unidades de los otros dos componentes. De hecho la fbrica tiene rdenes de venta por cumplir del componente 1 de 600 unidades. Las utilidades por la venta de cada componente 1, 2 y 3 son respectivamente $8, $6 y $9.

a. Cunto debe ser la utilidad del componente 2 para que se fabrique?. b. Qu sucede si la ensambladora slo est disponible por 90 horas? c. Si se pudieran conseguir ms horas de la mquina ensambladora, Cunto estara dispuesto a pagar? d. Qu sucede si se incrementa el compromiso de vender unidades del componente 1 a 800 unidades? y si

se incrementa a 1200 unidades? e. Si se pudieran vender ms unidades del componente 3 reduciendo su precio en $4, Valdra la pena

hacerlo?

3. La Compaa Gepbab Production utiliza mano de obra y materia prima para producir tres productos. En la Tabla 3 se muestran los requerimientos de recursos y las utilidades por cada unidad de producto. Actualmente se disponen de 60 unidades de materia prima y se pueden comprar hasta 90 horas de mano de obra, a $ 1 la hora. Resuelva el PL que le permita maximizar las ganancias de la empresa.


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Tabla 3 PRODUCTO 1 PRODUCTO 2 PRODUCTO 3

Mano de obra por unidad 3 h 4 h 6 h Materia prima por unidad 2 unid. 2 unid. 5 unid.

Utilidad por unidad ($) 6 8 13 Conteste las siguientes preguntas al resolver el problema: a. Cul es la mxima cantidad que estara dispuesta a pagar la compaa por otra unidad de materia prima? b. Cul es la mxima cantidad que estara dispuesta a pagar la compaa por otra hora de trabajo? c. Si se pueden comprar 100 horas de mano de obra. Cul sera la utilidad de la compaa? d. Encuentre una nueva solucin ptima si el producto 3 se vende a $15 por unidad e. Cul tendra que ser el precio de venta del producto 1 para que la compaa lo fabricara? f. Qu sucede si slo se pueden comprar 70 horas de mano de obra? g. Cul sera la utilidad de la compaa, si sus clientes le exigen la fabricacin de por lo menos 10 unidades

del producto 2? h. Si la compaa decide fabricar una produccin combinada de al menos 15 unidades de los productos 2 y 3,

Cul sera la nueva utilidad de la empresa? i. La empresa le delega a usted la responsabilidad de decidir entre aumentar el nmero de horas o el nmero

de unidades de materia prima, Cul de las dos opciones proporcionar mayor utilidad a la empresa?

4. Radioco fabrica dos tipos de radios. El nico recurso escaso que se necesita para producir los radios es la mano de

obra. Actualmente, la compaa tiene dos trabajadores. El trabajador 1 est dispuesto a trabajar hasta 40 horas a la semana y se le paga 5 dlares la hora. El trabajador 2 est dispuesto a trabajar hasta 50 horas a la semana y se le paga 6 dlares la hora. La Tabla 4 muestra los costos de la materia prima, los recursos de mano obra que requiere cada radio y sus respectivos precios de venta. La empresa desea determinar como organizar la produccin de radios para maximizar sus ganancias. Formule y resuelva el problema de PL y conteste la siguientes preguntas del anlisis de sensibilidad.

Tabla 4 RADIO 1 RADIO 2

Precio ($) 25 22 Costo materia prima ($) 5 4

Horas trabajador 1 1 2 Horas trabajador 2 2 1

a. Para qu valores del precio del radio 1 la base actual permanece ptima? b. Para qu valores del precio del radio 2 la base actual permanece ptima? c. Si el trabajador 1 estuviera dispuesto a trabajar solamente 30 horas a la semana. Qu pasara con la

solucin del problema? d. Si el trabajador 2 estuviera dispuesto a trabajar hasta 60 horas a la semana. Qu pasara con la solucin

del problema? e. Si el trabajador 1 estuviera dispuesto a trabajar horas adicionales. Cul sera la mxima cantidad que

estara dispuesto a pagar la empresa? f. Si el trabajador 2 estuviera dispuesto a trabajar solamente 48 horas. Cules seran las utilidades de

Radioco?

5. La empresa TOYCO ensambla tres tipos de juguetes: trenes, camiones y automviles, utilizando tres operaciones.

Los lmites diarios sobre los tiempos disponibles para las tres operaciones son de 430, 460 y 420 minutos, respectivamente, y las utilidades por cada tren, camin y automvil son 3, 2 y 5 dlares, respectivamente. Los tiempos de ensamble por tren en las tres operaciones son de 1, 3 y 1 minutos, respectivamente. Los tiempos correspondientes por camin y por automvil son (2, 0, 4) y (1, 2, 0) minutos. El tiempo 0 indica que la operacin no


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se utiliza.

Variable de Decisin: Xi el nmero diario de unidades ensambladas de trenes, camiones y automviles (i=1, 2, 3).

TABLA OPTIMA:

SBF X1 X2 X3 S1 S2 S3 Solucin z 4 0 0 1 2 0 1350

X2 -1/4 1 0 1/2 -1/4 0 100 X3 3/2 0 1 0 1/2 0 230 S3 2 0 0 -2 1 1 20

a. TOYCO desea ampliar sus lneas de ensamblaje incrementando en 40% la capacidad diaria de cada

lnea a 602, 644 y 588 minutos respectivamente.

b. En virtud de que la ampliacin anterior llevar tiempo, se hizo otra propuesta para cambiar la capacidad de holgura de la operacin 3 en 20 minutos a la capacidad de operacin 1.

c. La capacidad de holgura de la operacin 3 se le asigna a la operacin 2 en lugar de a la operacin 1.

d. Determinar el rango de la disponibilidad de recursos para el cual la solucin sigue siendo ptima.

e. TOYCO est cambiando el diseo de sus juguetes y este cambio requiere la adicin de una cuarta

operacin en las lneas de produccin. La capacidad diaria de la nueva operacin es de 500 minutos y los tiempos por unidad para los tres productos en esta operacin son de 3, 1 y 1 minuto, respectivamente.

f. Suponga que los tiempos por unidad en la cuarta operacin son de 3, 3 y 1 minuto respectivamente.

g. Suponga que la compaa tiene una nueva poltica de determinacin de precios para satisfacer o

igualar a la competencia. Las utilidades por unidad bajo la nueva poltica son de 4, 3 y 4 dlares para los trenes, camiones y automviles de juguete.

h. Suponga ahora que las utilidades son de 6, 3 y 4 dlares, respectivamente.

i. TOYCO reconoce que los trenes de juguete no se producen en la actualidad debido a que no dejan

utilidad suficiente. La compaa desea reemplazar los trenes de juguete con un producto nuevo, un camin de bomberos, que ensamblar en las instalaciones existentes. TOYCO calcula que la utilidad por cada camin de bomberos es de 4 dlares y que los tiempos de ensamble por unidad son de 1 minuto en cada una de las operaciones 1 y 2, y de 2 minutos para la operacin 3.

6. HiDec produce dos modelos de artefactos electrnicos que utilizan resistores, capacitores y chips. La siguiente tabla

resume los datos de la situacin:

Requerimientos de recursos por unidad Recurso Modelo 1 (unidades) Modelo 2 (unidades)

Disponibilidad Mxima (unidades)

Resistor 2 3 1200 Capacitor 2 1 1000 Chips 0 4 800 Utilidad por unidad ($)

3 4

UNIVERSIDAD SIMN BOLVAR DEPARTAMENTO DE PROCESOS Y SISTEMAS ASIGNATURA: PS-1111 INVES

Problem a Rio

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