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Teora de Estructuras - G.I.T.I.
Problemas de Clculo Matricial
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3
CURSO.
TEORA
DE
ESTRUCTURAS.
PROBLEMA 1
La siguiente figura se corresponde con una estructura plana fonnada por tres barras
unidas rgidamente entre s y en los nudos
}
y
"4",
el nudo
"2"
tiene permitido el giro y el
desplazamiento horizontal, y el nudo 3 tiene permitido slo el giro.
Se pide:
Calcu lar los esfuerzos en todas las barras y dibujar los diagramas.
(Fig.
1.1)
~ L
o
J
5m
m
A
5m
E
r
DATOS:
2
E
=
2.1 . }O6 kg cm
I
I
I
I
I
I
I
I
1
1
=
1
3
=
I
4
5000 cm
h
=
10000 cm
4
,
,
,
,
,
A=
100
cm
2
SOLUCIN:
Lo primero que hacemos es nombrar todos los grados de libertad, nodos
y
barras,
asignndoles
u
sentido.
Los
sentidos asignados van
de
izquierda a derecha:.
Ya
podemos construir la matriz de rigidez global
por
bloques:
KUA
K
I2
A
O
O
K
2
A
K
A K
22
B K
23
B
O
K=
O
K
32
B
K
33
B K
33
C
K
34
C
O O
K C
K C
43
44
Sin embargo de todos los g.l. slo estn no impedidos los correspondientes a los nudos
2 y 3, en los otros nudos, ya sabemos que los desplazamientos son nulos, y por tanto no
necesitamos calcularlos. Slo con los nudos 2 y
3,
la matriz nos queda:
40
-
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3 CURSO.
TEORA DE ESTRUCTURAS.
Calculamos cada una de estas submatrices:
Barra A: (u=OO)
Para
esta barra se tiene:
E4
El El El
8
- = 4 2 0 0 0 0 1 2 - = 1008 6 - = 252000,
=.8410
2 L
L L
3
L
y
la submatriz queda:
420000
K
A= O
[
O
Barra
B: (a=-36.87)
Para esta barra se tiene: .
2
2
i
E4
i
J
e
] 3
l]
269500 / El) _ 152490,4 = .168 10
9
[EA] [I2EI]) e [6
El]
s
[6EI]
e s L- - - = -200632. 2 .. 403200. - 2
..
302400
L L L
y la matriz nos queda:
269500. -200600. 302400. 269500. 200600. 302400.
-200600. 152500.
403200.
200600. -152500. 403200.
302400.
403200.
.168010
9
-302400. -403200. .8400000000 10
8
K
B
=
-269500. 200600. -302400. 269500. -200600. -302400.
200600. -152500. -403200. -200600. 152500. -403200.
302400.
403200. .8400000ooo
10
8
-302400.
-403200. .168010
9
Barra C: (a=OO)
Para
esta barra tenemos:
EA
El
El
El 8
T= 420000.123 = 1008,62 =252000.41:=
.8410
L L
y la submatriz buscada:
420000
A ,
O
[
O
4
-
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......
........
3 CURSO.
TEORA DE ESTRUCTURAS.
Conociendo todas l s submatrices, ya estamos en condiciones de obtener la matriz
global de la estructura en coordenadas globales:
K :=
4
689500
302400. .840000000010
8
9
302400.
.25210
9
Pero de todos los grados de libertad que tenemos en la matriz, nicamente son distintos
de cero los asociados a los g.l. 4,6 Y 9 por tanto los dems valen O , y los podemos eliminar,
quedndonos la matriz:
4
6
9
302400
[&9'00
3moo1
8
K=
3 24
.25210
.8410
8 9
302400 .8410 .25210
El problema a resolver es:
Ku=F
Necesitarnos conocer el vector de esfuerzos, este ser:
F
=
F
ext
P
emp
Las xl son las fuerzas que estn aplicadas directamente sobre los nudos de la
estructura, en este caso no hay ninguna carga, y valen cero.
Las
emp
son las fuerzas de empotramiento perfecto, son debidas a las cargas trmicas,
asientos de los apoyos y fuerzas que no estn aplicadas sobre los nudos. En este caso no hay
cargas trmicas, ni asientos, y las
P
emp
son debidas a las cargas sobre las barras, como solo hay
cargas sobre la barra
B,
calculamos las reacciones en este caso:
6T
1 Tr-
(Fig. 1.2)
""
/
16T
8T
/ 1 Tm
6T
8T
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3 CURSO.
TEORA DE
ESTRUCTURAS.
F
emp
= [100000:1 :
F = l-I00000:1 :
1000000
9
1000000
9
~ 0 o f H l ~ s J o s c a g ~ 6 S 1 1 ~ ~ ~ ; e i
r t H : l e 0 t > @ ~ n O O F R . e R t i l 1 m ~ ~ I i m l ~ m t
JpaJQga con
- d G l s - I ~ ~ i I 8 ; ~ Y m F C i m f t l t m l t e l S E I
Una vez obtenido el vector de esfuerzos se puede resolver el sistema obteniendo los
desplazamientos segn las direcciones 4 6 Y
:
Para ello tenemos que hallar la inversa de la
matriz.
4
6
9
5
.130610
8
[ .14510.
u K
F
-1)
u = .1306 10
8
.4465
10
8
: l I ~ 0 + [ O O : 9 5 2 1
8
1000000
.005952
.130610
8
.148710
8
.446510
Conocidos los desplazamientos se puede
pasar
al clculo de los esfuerzos en los
extremos de las barras y con esto dibujar los diagramas de esfuerzos en las mismas.
BARRA
A:
Para obtener los esfuerzos sobre esta barra dibujamos
la
barra
en
coordenadas locales
de
forma que los esfuerzos a calcular sean una fuerza en la misma direccin de la barra otra en
direccin perpendicular
y
un momento. A continuacin obtenemos los desplazamientos de
ambos extremos de la barra segn estos nuevos g.l. Por ltimo construimos la matriz de rigidez
para esta barra
en
coordenadas locales de esta matriz slo necesitamos las columnas que tengan
asociado algn desplazamiento no
nulo
y
fma1mente multiplicamos esta matriz por los
desplazamientos obteniendo los.esfuerzos:
4
-
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3 CURSO.
TEORA
DE ESTRUCTURAS.
Representamos estas fuerzas y momentos sobre la barra, segn su coordenada y sentidos
asignados:
250000
g crr
!
1500 g
t)
500000 Kg
cm
1500 g
(Fig.
lA)
Aplicando equilibrio de los tramos, podemos obtener los diagramas de esfuerzos:
5 K 9 ~
1
_ _t
1 t1500 g
250000 Kg
c{ ~ - . . . . . : . . . . ~ - - - - - - . .
500000 Kg cm
O)
(Fig. 1.5)
BARRAB:
Procedemos de la misma forma que para la barra A, slo que ahora, a las fuerzas
debidas a los desplazamientos debemos de aadir las fuerzas debido a los empotramientos
perfectos, que para esta barra no son nulos.
i
7
1
?
2
?
3
O
4
?
S
?
6
O
? ? 504000 ? ? 504000
B B .
FB=K
o P
emp
F
B
=
?
?
?
?
.168
10
9
O
?
?
?
?
.8410
8
O
?
?
-504000
? ?
-504000
?
?
.8410
8
? ? .16810
9
O
O
-.005952
O
O
+005952
\
.
\
t
(Fig. 1.6)
-6000 -6000
8000
8000
1000000
500000
+
-6000
-6000
8000
8000
-1000000
-500000
\
44
-
-
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a r : ; ~ f
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..
le
..
.-
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
3 CURSO.
Las fuerzas sobre los extremos de las barras sern:
TEOR DE ESTRUCTURAS.
6000 Kg
- 8000
Kg
r/
500000
Kg e
y los diagramas de esfuerzos quedan:
8000
Kg
o
500000 Kg cm' 6000 Kg
(Fig. 1.7)
/
(Fig. 1.8)
45
-
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-- --
-- -
------------_._._-_._._--_
..
-
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CALo...; LA ?-- ~ ~ l ~ ~
..
E>e.n:.. ~ l 4 . (,..q5
D \ < i ~ ' M . . d S
k
{ : > : f ~
,
rrr
)1
i
I
a
I I I I
i i ,
I
I I I
'
I
I
11 .) 1 .)
I
I I I
I ! I ' \
!
1
b
. I
1 .)
En
este caso
coinciden coordenadas locales
y
globales.
de manera que la
K
de
la estructura
es:
!
8.137x 10 O
O
-8.137 x 10 O O
O
24.;JW\
5
5
4 6
4 6
O
3.626 x 10 7.251 x 10 O
-3.626 x
10
7.251 x 10 O
O
O
9
6
8
O
7.251 x 10
6
1.934 x 10
O
-7.251 x 10 9.668 x 10 O
O
O
o
6
5
-8.137 x
lOS
O O
1.195 x 10 O O
-3.817 x 10 O
4m
~
4m
4
6
3
6
c:::oo tos '-
vN
DA.
K=I
O
-3.626 x 10 -7.251 x 10
6
O
4.266 x
10
4
-5.97 x 10 O
-6.406 x 10
1.281 x
10
PE600 IPE360
8
8
6 9
6
A= 2
A ~ O 7.251
x 10 9.668 x 10 O -5.97 x 10
2.275 x 10 O
-1.281 x 10 \.708 x
10
5
= 1 6 2 7 0 ~ ~ ~ 2 ~ c m (I -heon:: .......
vcJ.oft.&)
-3.817 x lOS
3.817x 10 O
O
La malriz de rigidez de la estructura se compone con las de sus barras:
kl1.
O]
K
=.1
l
-
k22b
k23b
(O k3lb k33b
Para cada barra en coordenadas locales:
(
O
I Lo
i
i
l-E!
6.:J
o
I
3
,
Lo
Lo
6E1
4E1
i
O
--
-
Lo )
-fe A o
O
\
Lo
Lo
-l2E
-6E(
O
:=
3
Lo
Lo
6E1
2El
o
Lo
1.
Lo
la
barra a:
5
8 137 x
10
O
kij(E.A.I,Lol
:=
kij(E,A,I,Lol
:=
-E A
O O
Lo
-l2E1 6E1
O
,
3
Lo
Lo
-6E1 2El
O
Lo
Lo-
EA
O O
Lo
l2E1
-6E(
O
-- -
3
Lo
Lo
-6E1 4E1
O
,
Lo
Lo-
]
O
=
o 4
3.626
x 10
4
7.251 x 10: k2a = O
-3.626 x 10
r
6
\ o
7.251
x 10
6
1.934 x
10
O
-7.251 x 10
5
(-8.13 1.
10
O
] [8
137x
lOS
O
5
[-8
137
x 10
O
O O O
O
6
O O
O O
-6.406 x 10
3
-1.281 x 10
6
O
6.406 x 10
3
-1.281 x
10
6
6
8
O O O
O
1.281 x 10
1.708x
10
8
O
-1.281 x 10 3.417 x 10
Eliminando las filas
y
columnas asociadas a los gdl de los nudos 1 y 3 (nulos)
F2
- F2emp
=.
(k22a + k22b)u2
0
F2:=
n_ [ : ]
2empb:= [
4:00 5]
F2emp:=
nempa
+ F2empb
-2.66710
2.667 x lO
F2empa:= [ 4000
5]
1.l9Sx 10 O O ]
= O 4.266 x 10
4
5.97 x
10
6
{
.
>]
[
6
[;
O - 5.97 x 10
6
2.275 x 10
9
ux2:= O
u2 :=[ ]0 ~ 9 6
-7.777.10-4
4
.. lX3.-.:= 0.296
-7.777.10
Para calcular las reacciones:
lempa :_ [ 4:00 ]
F3empb := [ ]
5
5
2.667.10
-2.667.10
O ]
6
7.251 x
10
9668
x 10
8
RI := Flempa + kI2au2
R3:= F3empb + k32bu2
O 1
0
k21 =l
( -3626x 10
4
-7251
x
10
k22a= O 3.626 x 10
4
-7.251 x 10
6
RI _ [9,093x 10:]
3
8
R3 = [6_893 x 10 ]
O
7251x
10
6
9668x
10 O -7.251 x 10
6
1.934 x 10
9
)
1.661 x 10
5
-7.788x lO
-
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. .
...
x ,
'
e
'
Q
4 -
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,
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l
J)
\
\
LL
J)
W
W
o
w
E
\
\
J)
... \
x
. .
.. ----'-'
i5
-
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3
CURSO.
TEORA DE ESTRUCTURAS.
PROBLEMA 2
En la estructura de la figura, hay cuatro barras, unidas rgidamente entre s en el nudo 3,
la barra A, es un tirante, los nudos 2 y 4 son empotramientos perfectos. Sobre la barra B hay
aplicada una carga repartida y
en
el extremo del voladizo una carga puntual de
50
T.
Calcular los desplazamientos del nudo 3 y los esfuerzos de las barras de la estructura.
\ ) ,
Fig.2.1)
1
I
l )
I
I
1"
J _
10
DATOS:
E = 2.1 . 10
6
kg
/
cm
2
AA
= 13 cm
2
lB =2000 cm
4
A
B
=65
cm
2
le= 500 cm
4
Ac =32 cm
2
SOLUCIN:
El voladizo es
una
subestructura isostticaunida por el nudo 3 al resto de la estructura,
para simplificar los clculos, podemos eliminar el voladizo, situando sobre este nudo los
esfuerzos que transmite:
50T
50T
L .
---- '1
)
62,5 T
m
(Fig.2.2)
Los diagramas ge esfuerzos del voladizo; tambin los podemos calcular:
62 5Tm
(Fig.2.3)
50T
l])
46
-
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3 CURSO.
TEORA DE ESTRUCTURAS.
Ahora nombramos todos los grados de libertad, nodos y barras, asignndoles un sentido.
Ya podemos construir la matriz de rigidez global por bloques:
KJ1A
O
K A
O
13
O
K B
K B
O
22 23
K=
K A
K
33
A K
33
B K
33
C
K C
31
K
32
B
34
O O
K C
K C
43
44
Sin embargo de todos los g.l. slo estn no impedidos los correspondientes al nudo 3, en
los otros nudos, ya sabemos que los desplazamientos asociados a los g. 1. son nulos,
y
por tanto
no necesitamos calcularlos. Slo con el nudo 3, la matriz nos queda:
Calculamos cada una de estas submatrices:
Para esta barra se tiene:
EA
cosCa) .894, sen(a) = -.447, L = 1118 cm
T=
24418
Y la submatriz queda:
6 7
19535 -9767]
K
33
A =
[
-9767 4884
NOTA: Como tenemos un g. l. menos que las otras dos barras, para poder ensamblar la
matriz global aadimos una fila y columna de ceros para el g. 1.
8.
Barra
B:
1=0)
Para esta barra se tiene:
EA
El El
El 8
COS a)
= 1,
sen(a)=
O
= 1000 cm
T=
136500,
12'3 =
50.4, 6 2 = 25200, 4T= .16810
L L
y
la submatriz nos queda:
o
50.4
-25200
Barra C: a=OO)
Para esta barra tenemos:
COs(a)= o sen(a)= -1, L 25 cm
47
-
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3 CURSO.
TEORA DE ESTRUCTURAS.
2
2
c [EA s2[12EI) / [EA c [12EI)
[El)
8
L L
S06.4,
L L =268S00 4
L
=.168 1
3 3
[EA
[ 2EI]J_
c[6EI] s [6EI]
e s L
- 3 - O 2 O -
=
100800
[
L L L
y la submatriz buscada:
6
7
8
O
100800
[
W6A
K
C
= O
268800
O
33
8
100800
O
.16810
Conociendo todas las submatrices, ya estamos en condiciones de obtener la matriz
global de la estructura en coordenadas globales: .
6 7 8
156841 -9767 100800 ]
K;
-9767 273734 -25200
[
8
100800 -25200 .33610
El problema a resolver
es:
Ku F
Necesitamos conocer el vector de esfuerzos, este ser:
F
F
xt
P
mp
Las
F
exl son las fuerzas que estn aplicadas directamente sobre
los
nudos de la
estructura, en este caso valen.
Fxt=[ 500;]
-6250000
Las
P
emp
son las fuerzas de empotramiento perfecto, son debidas a las cargas tnnicas,
asientos de los apoyos y fuerzas que no estn aplicadas sobre los nudos. En este caso no hay
cargas tnnicas, ni asientos, y las Pemp son debidas a las cargas sobre las barras, como solo hay
cargas sobre la barra B, calculamos las reacciones en este caso:
1250000 g cm 11- - - - - - - -11 ,
)
1250000
g cm
t t
(Fig.2.4)
7500 Kg
7500 g
F [
-5750:]
-5000000
48
-
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3 CURSO.
TEORA DE ESTRUCTURAS.
Una vez obtenido el vector de esfuerzos, se puede resolver el sistema obteniendo los
desplazamientos segn las direcciones 4, 6 Y 9. Para ello tenemos que hallar la inversa de la
matriz.
156841
9767
-/)
1008001[
O]
[ 08215]
273734
25200 .57500 _ -.2208
=K
F
u:=
[
::::
25200
.336 10
8
-5000000 -.14922
Conocidos los desplazamientos, se puede pasar l clculo de los esfuerzos en los
extremos de las barras y con esto dibujar los diagramas de esfuerzos en las mismas.
BARRA A:
Para obtener los esfuerzos sobre esta barra, dibujamos la barra en coordenadas locales,
de forma que los esfuerzos a calcular sean una fuerza en la misma direccin de la barra
y
otra en
direccin perpendicular. A continuacin obtenemos los desplazamientos de ambos extremos de
la barra segn estos nuevos g.l. Los de 1 y 2 sern nulos por ser fijo el nudo y los de 3 y 4 los
calculamos a partir de los obtenidos. Por ltimo construimos la matriz de rigidez para esta barra
en coordenadas locales, de esta matriz s610 necesitamos las columnas asociadas a los g
l. 3 Y 4,
aunque esta escrita completa, finalmente multiplicamos esta matriz por los desplazamientos,
obteniendo los esfuerzos:
t
(3
2
3 4
24418 O -24418
O
O O O
O
~
A
F
A
=
F
A
= B
-24428 o
24418
O
O O O O
O
O
.1722
-.1608
(Fig.2.5)
4204
O
4204
O
Representamos estas fuerzas sobre la barra, segn su coordenada y sentidos asignados:
4 2 4 K ~
(Fig.2.6)
4204Kg
Obtenemos los diagramas de esfuerzos, que
en
este caso como era de esperar son
s610
de axil:
(Fig.2.7)
49
-
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3 CURSO.
TEORA
DE
ESTRUCTURAS.
BARRAB:
Procedemos de la misma forma que para la barra A slo que ahora, a las fuerzas
debidas a los desplazamientos debemos de aadir las fuerzas debido a los empotramientos
perfectos, que para esta barra no son nulos, adems ahora aparecern tambin flectores
y
cortantes.
2
5
3 ~
6 , b ~ _
1 2
3
4
6
? ? ?
-136500
O
O
? ? ? O
-50.4 25200
? ? ?
O
-25200
.8410
7
B
B
FB=K e +P emp
F
B
=
? ? ? 136500
O
O
? ? ?
O
50.4 -25200
? ?
? O -25200 .16810
8
Las fuerzas sobre los extremos de la barra sern:
4
O
O
O
.08215
-.2208
-.14922
+
Fig.2.8)
O
-11213
7500 3750
1250000 2116.16
O
11213
7500
11250
-1250000 -3751332
(Fig.2.9)
3750 g 11250 g
3 K ~
1--------1 )
11213Kg
2116 g 3751332 g cm
cm
y los diagramas de esfuerzos quedan:
11250 Kg
11213 Kg
_ 1 0_
_1_
3750 g
3751332
g cm
2116 Kg
t
(Fig. 2.10)
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3 CURSO.
TEORA DE ESTRUCTURAS
BARRAC:
Procedemos de la misma forma. La barra en coordenadas locales es:
6
~
4
(Fig.2.11)
3
Los esfuerzos en sus extremos valdrn:
268800
o o
? ? ?
.2208
59351
o 806.4 100800 ? ? ? .08215 -15000
O 100800 .168 1
8
? ? ? -.1492 -2500000
F
=
-268800
o o ? ? ? o
59351
o
-806.4 -100800 ? ? ?
o
15000
o 100800 .84 1
7
? ? ?
o
-1250000
Si los representamos sobre la barra:
59351 g
1500
Kg
2500000
Kg
cm
(Fig.2.12)
----.... 1500 g
1250000
g OIJL/
t
59351 g
y
aplicando equilibrio de los tramos obtenemos los esfuerzos sobre toda la barra:
59351
g
1500Kg
-
2500000 g cm
LJ
*
t
(Fig.2.13)
1500
Kg
t
1250000 Kg cm
59351 g
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TEORIA
DE ESTRUCTURAS -
3
CURSO
EXAMEN PARCIAL
9
-JUNIO-2003
EX MEN E PROBLEM S
Puede usarse
calculadora
no
programable y
el
formulario de
la
asignatura.
PROBLEMA
El banco rgido de un motor est apoyado en los puntos 1 y 2 Y conectado a dos
tuberas A y B con las condiciones de
la
figura.
Se produce un fallo y el apoyo 2 deja de actuar quedando
el
motor articulado
solamente a 1 y suspendido de las tuberas A y
B
que estn rgidamente unidas a l.
En este momento circula por la tubera B un lquido a temperatura 100C superior a la
de montaje que adems transmite a dicha tubera un peso lineal de 100 kgjm.
Calcular los esfuerzos en la tubera B cuando se produce el fallo.
Datos para las dos barras:
- E =
2.1
10
6
Kgjcm
2
x = 1500 cm
4
- A = 100 cm
2
-
Peso
del motor: 3 T.
- Coef. Dilatacin: a=10-
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B
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Teora de Estructuras (3Ingeniero Industrial).
Examen Final.
28
de
junio
de
2005.
Problema 2
En
la estructura de la figura las barras A, B Y
e
son coplanarias (plano
x-y :
Las barras B y e se unen gidamente entre s en el nudo 3.
La unin de la barra A al nudo 3
se
realiza mediante una articulacin.
Las barras B ye estn sometidas a una distribucin de carga uniforme q= t m que acta
perpendicularmente al plano de las barras (es decir, segn la direccin -z).
Los nudos 1 2 Y4 estn empotrados.
z
x
t
8
.
Propiedades de todas las barras: A
=50
cm
;
I
flexln
=
20.000
cm
4
;
l
torsin
=
2.000 cm
4
Propiedades del material para todas las barras: E = 2.1 E6 Kg/cm
; G =8.1 E5 Kg/cm
Se
pide:
C alcular los diagramas de esfuerzos de las barras B
y
C.
Obtener las reacciones en los nudos 2 y 4.
INDICAR CLARAMENTE EL SISTEMA DE UNIDADES
EN
EL QUE SE
TRABAJA
Y
QU MATRIZ
DE
RIGIDEZ SE EST CONSIDERANDO PARA CADA
BARRA
.
Tiempo 1 h. 15 no
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Teora
de
Estructuras (3
Ingeniero
Industrial)
Examen Final. 22 de
junio
de 2006
r o b l e m ~
En
la estructura
de la figura
las
barras A, S Y
e
son
coplanarias
(plano x-y
y la barra
O es normal
a
ellas (eje
z). Las
barras S
y e
estn
alineadas segn el eje
y
y
la
A
se
dispone
segn el
eje
x:
Las barras
S, eyo se
unen
rgidamente entre
s en el nudo
3.
-
La unin de la barra A al nudo 3 se
realiza mediante
una
articulacin.
-
Las barras
S ye
estn
sometidas a
una
distribucin de
carga
uniforme
q=2
tlmque acta
perpendicularmente al
plano
de
las
barras
(es
decir,
segn la
direccin
-z).
-
En el
nudo 5
se
aplica
una
carga
de
1 t segn la direccin
del
eje
y. Los nudos
1
y
4 estn
articulados al terreno y
el
nudo 2 est empotrado.
z
x
Propiedades
de
todas
las barras:
A
=
50
cm
2
;
'flexin
=
20.000
cm
4
;
ltors n
=
2.000
cm
4
Propiedades
del
material para todas'las barras:
E
=
2.1 E6
Kg/cm
2
;
G
=8.1
ES
Kg/cm
2
Se
pide:
Calcular el descenso del
nudo
3.
-
Calcular los
diagramas de
esfuerzos de
la barra C.
- Obtener las reacciones en el nudo 2.
-INDIQUE CLARAMENTE-EL SIS"FEMADE UNIDADES
EN
EL QUETRABAJA y
QU MATRIZ DE RIGIDEZ
EST
CONSIDERANDO PARA CADA BARRA.
-UTILICE
LA
NOMENCLATURA DE NUDOS Y BARRAS INDICADA EN LA
FIGURA.
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E.T.Stl
lJniversidad de
Sevina
INGENIERA INI)USTRIAL - TEORA
DE
ESTRUCTURAS - DICIEMBRE 2008
2
Cuestin 6
(4.5 puntos . La
estructura
de
la
siguiente figura representa un
modelo estructural
simplificado de una pasarela. Este
modelo
est compuesto por 4 barras de nudos rgidos (1
J
3-5
7-8-8-10),
de 10m de
longitud
cada una
l
contenidas
en el plano
horizontal X-Y,
4
r
trantes
2-3, 3-4, 3
8
6-8- 8 y
Ul1a viga apoyada en los nudos
3 y 8}
sobre la que acta una
carga vertical unfornle de
SDkNjm.
Los trantes 2-3
y
3,.4 se
encuentran
en e
plano vert cal
definido por 1-3-5._ ITlientras que Jos
tirantes 6-8 y 8-9 se encuentran en e plano verticaJ definido por 7-810. Cada LJno
de
estos
tjrantes forma
30 con
fa
horizontal
l
y sus
puntos
de
anclaje 2
4
1
6 Y 9 estn sobre fa vertical
de los
nudos enlpotrados
1, S, 7
Y
10 respectivamente.
Se pide halfar
el
despJazamiento vertical de los nudos 3 y
8
de
la estructura
de
ra f i g u r ~
3
puntos)
y
representar
los diagran"laS de esfuerzos
de
todas
las barras
(1.5 puntos).
10m
ZtJ
X
Todas
las barras
son de
acero
(E=200GPa
l
G=80GPa y
tienen
las sguientes propiedades:
Barras
1-3,3-5,3-8,7-88-10: Area
2 c m ~ nercia a flexin 60000cn1
4
,
inercia a torsin
390cm
4
p r o p i e ~ l e s
similares a
uh perfrJ HEB-400).
Los tirantes 2-3,3-4,
6-8- 8-9
son de
seccin circular
maciza de 40
mm
de dime'tro.
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2
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TEORIA DE ESTRUCTURAS 3 CURSO13 JUNIO-2009
1/2
PARTE 2 (50%)Responder a la Parte 1 y Parte 2 del examen en hojas separadas.Para la Parte 2 puede emplearse el formulario con las matrices de rigidezelementales.
Para poder superar el examen, la nota en esta parte deber ser mayor o igualde 3 puntos sobre 10
PROBLEMA 1 (20%)
La estructura de la figura corresponde a un modelo de clculo bidimensional para analizar
la estructura soporte de una instalacin de placas solares. Se pretende analizar la
respuesta del soporte cuando la placa forma 45 con el suelo y sobre ella incide un viento
frontal que provoca una distribucin de uniforme de carga p=1kN/m sobre las barras c y
d, tal y como se indica en la figura. Todas las barras se unen rgidamente en el nudo 3.
Se pide calcular los esfuerzos de la barra a.
A partir de los resultados obtenidos, proponer razonadamente un modelo de clculo
alternativo que permita obtener de forma simplificada y aproximada los esfuerzos de las
barras.
Datos: E=200GPa, A=20cm2, I=200cm4. Longitud de las barras: La=Lb=1m, Lc=Ld=1.5m
a b
c
d
1
3
2
4
5
p=1kN/m
60 60
45
TEORIA DE ESTRUCTURAS 3
PROBLEMA 2 (30%)
La estructura de la figura correspo
unida al suelo mediante apoyos ar
y ede la estructura se encuentran
en los nudos 2 y 6 son rgidas. Sob
de la mquina de valor 20kN. Se
medio de la barra c y justificar e
estado lmite de servicio de deform
Datos: E=200GPa, G=80GPa, A=20
Longitud de las barras: La=Lb= Ld=
a
b
1
3
2
x y
z
TIEMP
Las notas del examen estarnhoras.
La revisin tendr lugar el vieel examen ser obligatorio asisen la que se explicar la resolu
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TEORIA DE ESTRUCTURAS 3 CURSO30 JUNIO-2009
PARTE 2 (50%)
Para poder superar el examen, la nota en esta parte deber ser mayor o igualde 3 puntos sobre 10.
Puede usarse prontuario, calculadora y lpiz o bolgrafo
PROBLEMA 1 (35%)
Se ha diseado la estructura que se muestra en la foto y cuyo esquema estructural seindica en la figura. La estructura est compuesta por un tablero que se sustenta concables que se apoyan en dos mstiles. En el nudo 2 estn impedidos todos losdesplazamientos y giros, y el resto de nudos estn libres.
Experimentalmente, se ha medido el desplazamiento horizontal del nudo 1 para elestado de cargas analizado, registrndose un valor igual a 0.01 cm (hacia la derecha).Calcule el desplazamiento vertical mximo de la estructura cuando sobre el tablero seaplica una sobrecarga p=10 kN/m y razone si la estructura cumple la normativa en loreferente a estado lmite de servicio de deformacin.Calcule los diagramas de esfuerzos axiles, cortantes y flectores en el tablero de laestructura.
4
4
2
2
2
15
211
2.0
002.0
5.0
001.0
05.0
10
/101.2
mI
mI
mA
mA
mA
C
mNE
tablero
mastil
tablero
cable
mastil
=
=
=
=
=
=
=
Nota: Utilice la numeracin de nudos indicada en la figura
1
2
3
4
p
5
60m 60m
10m
40m
tablero
cables mastil
-
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TEORIA DE ESTRUCTURAS 3 CURSO4 SEPTIEMBRE-2009
PARTE 2 (50%)
Para poder superar el examen, la nota en esta parte deber ser mayor o igualde 3 puntos sobre 10.
Puede usarse prontuario, calculadora y lpiz o bolgrafo
PROBLEMA 1 (25%)
En la foto se puede ver un barco pesquero tpico de Punta Umbra. Dicho barco tiene enla proa una estructura de barras que soporta los tiles de pesca, los cuales tienen unpeso p. La estructura, como se muestra en la figura, esta formada por tres barras. Lasbarras ay bpueden girar libremente en los nudos 2y 3, respectivamente. La barra ces un cable. En el nudo 1 se aplica la carga p=1000kg.
Calcule los desplazamientos del nudo 1 y los diagramas de esfuerzos axiles, cortantes ymomentos flectores en todas las barras de la estructura.
4
2
4
2
4
2
15
211
1
1.0
100
10
100
10
10
/101.2
cmI
cmA
cmI
cmA
cmI
cmA
C
mNE
c
c
b
b
a
a
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=
=
=
=
=
=
=
Nota: Utilice la numeracin de nudos indicada en la figura
1
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23
4
ab
c
4m
2m2m
3m
1
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23
4
ab
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4m
2m2m
3m
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TEORIA DE ESTRUCTURAS 3 CURSO
17 JUNIO - 2011
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TEORIA DE ESTRUCTURAS 3 CURSO
17 JUNIO - 2011
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b
c
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Y
b
X
Z
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TIEMPO: 1h y 30 minutos
2
4
4
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210
81
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0.1 /
0.2 /
flexin
torsin
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G GPa
A cm
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I cm
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TEORI
DE ESTRUCTURAS
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CURSO
EXAMEN PARCIAL 5 - JUNIO - 2007
PROBLEMA 2 - Puede usarse SLO,calculadora no programable y formulario
de la
asignatura (SO %).
La estructura de la figura est formada por dos parejas de barras: dos barras A y B unidas rgidamente
entre s
y
otras dos barras C y
O
tambin unidas rgidamente entre s. Las dos parejas se conectan
mediante una rtula en el nudo 2, tal y
como se indica en la figura, manteniendo las uniones rgidas A-B
y CoDo
Los vnculos en 1 y 3 son apoyos articulados\deslizantes y en 4 y 5 son apoyos articulados fijos.
Sobre las barras A y B acta una densidad
de
carg{q y un incremento
de
temperatura de 50
oC.
q
A
8
CALCULAR:
1.- Desplazamientos en los
nudos
1 y 3.
Puntuacin: - modelo
de
la estructura, gdl 2 puntos
-
montaje
sistema global
1
punto
-
vector
de cargas
2 puntos
- matrices elementales
2
puntos
- clculo de desplazamientos
1 punto
2.-
Diagramas de esfuerzos en la barra
A
2 puntos
DATOS: Todas las barras: E.A
=
10
8
kg, E.I
=
10
11
kg.cm
2
Longitud L
=
5 m
Carga
uniforme
q =2000 kg m
Coeficiente de dilatacin a =10-
5
C'
1
TIEMPO: h 5 mini
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7/24/2019 Problemas de Calculo Matricial.pdf
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