Problemas de distribuciones discretas

DISTRIBUCIONES DISCRETAS

UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESARDEPTO. DE MATEMATICAS Y ESTADISTICA

Problemas

1. Un examen consta de 10 preguntas a las que hay que responder sı o no.Suponiendo que a los estudiantes que se le aplica no saben respondera ninguna de las preguntas y, en consecuencia, responden de maneraaleatoria.

a. Hallar la funcion de probabilidad y la funcion de distribucion acu-mulada.

b. ¿Cual es la probabilidad de pasar el examen si cada punto vale 0.5?

c. ¿Cual es la probabilidad de obtener una calificacion mayor o iguala 4?

d. ¿Cual es la probabilidad de obtener una calificacion mayor o iguala 3.5 e inferior a 4.8?

e. ¿Cuantas preguntas esperamos responda correctamente?

f. ¿Hallar la varianza y la desviacion estandar?

2. La probabilidad de que un enfermo se recupere de un padecimientogastrico es 0.8. Supongase que 20 personas han contraıdo tal afeccion.

a. ¿Cual es la probabilidad de que sobrevivan exactamente 14?

b. ¿Cual es la probabilidad de que al menos 10 sobrevivan?

c. ¿Cual es la probabilidad de que al menos 14, pero no mas de 18sobrevivan?

d. ¿Cual es la probabilidad de que al lo mas 16 sobrevivan?

e. Si 100 personas han contraigo la afeccion gastrica. ¿Cuantos esper-amos que sobrevivan?

3. En pruebas realizadas a un amortiguador para automovil se encon-tro que el 20 % presentaban fuga de aceite. Si se instalan 20 de estosamortiguadores, hallar la probabilidad de que:

a. 4 salgan defectuosos,

Prof. Humberto Barrios, [email protected] 1


b. mas de 5 tengan fuga de aceite.

c. de 3 a 6 amortiguadores salgan defectuosos.

d. Determine el promedio y la desviacion estandar de amortiguadorescon defectos.

4. Un ingeniero que labora en el departamento de control de calidad deuna empresa electrica, inspecciona una muestra al azar de 10 alter-nadores de un lotes. Si el 15 % de los alternadores del lote estan defec-tuosos. Cual es la probabilidad de que en la muestra,

a. ninguno este defectuoso,

b. uno salga defectuoso,

c. al menos dos salgan defectuosos

d. mas de tres esten con defectos

5. Un sistema de proteccion contra cohetes esta construido con n unidadesde radar que funcionan independientemente, cada una con probabilidadde 0.9 de detectar un cohete que ingrese en la zona que cubren todaslas unidades.

a. Si n = 5 y un cohete entra en la zona. ¿Cual es la probabilidad deque exactamente cuatro unidades detecten el cohete?

b. Si n = 5 y un cohete entra en la zona. ¿Cual es la probabilidad deque al menos una unidades detecten el cohete?

c. ¿Cual debe ser el valor de n para que la probabilidad de detectar elcohete al entrar a la zona, sea de 0.999?

6. Un fabricante de cera para pisos desarrolla dos productos nuevos, A yB, que desea someter a la evolucion de amas de casa para determinarcual es la mejor. Las dos ceras, A y B, se aplica en los pisos de 15 casas.Se supone que en realidad no hay diferencia en calidad entre las dosmarcas.

a. ¿Cual es la probabilidad de que 10 o mas amas de casa vayan apreferir la marca A?

b. ¿Cual es la probabilidad de que 10 o mas amas de casa vayan apreferir la marca A o B?



7. En un almacen en particular los clientes llegan al mostrador de caja,conforme una distribucion de Poisson con un promedio de siete porhora. En una hora dada.

a. ¿Cual es la probabilidad de que no lleguen mas de tres clientes?

b. ¿Cual es la probabilidad de que lleguen al menos dos clientes?

c. ¿Cual es la probabilidad de que lleguen exactamente cinco clientes?

8. El numero de componentes que fallan antes de cumplir 100 horas deoperacion es una variable aleatoria de Poisson. Si el numero promediode estas es ocho:

a. ¿Cual es la probabilidad de que falle una componente en 25 horas?

b. ¿Cual es la probabilidad de que fallen no mas de dos componentesen 50 horas?

c. ¿Cual es la probabilidad de que falle por lo menos diez componentesen 125 horas?

9. Mediante estudios reciente se ha determinado que la probabilidad demorir por causa de cierta vacuna para la gripe es de 0.00002. Si seadministra la vacuna a 100.000 personas y si suponemos que esta con-stituyen un conjunto de ensayos independientes: (Sugerencia: haga λ =np = (100,000)(0,00002) = 20 y aplique la distribucion de Poisson).

a. ¿Cual es la probabilidad de que mueran no mas de dos personas acausa de la vacuna?

b. ¿Cual es la probabilidad de que mueran exactamente cinco de laspersonas a causa de la vacuna?

c. ¿Cual es la probabilidad de que mueran ninguna de las personas acausa de la vacuna?

d. ¿Cuantas personas esperamos se mueran, de las 100.000, a causa dela vacuna?

10. Sea X una variable aleatoria binomial. Para n = 20, calcular las proba-bilidades puntuales binomiales y compararlas con las correspondientesprobabilidades de Poisson para p =0.5, 0.3, 0.1 y 0.01. (Sugerencia:haga λ = np)



11. Un lote de televisores esta formado por 5 TV a color (3 de la marca Ay 2 de la marca B) y 6 TV blanco y negro (4 de la marca A y 2 de lamarca B). Si se seleccionan sin reemplazo un grupo de 3 TV. Hallar laprobabilidad de:

a. Seleccionar 2 TV de la marca B.

b. Seleccionar 2 TV de la marca A o 2 TV a color.

12. La probabilidad de un lanzamiento exitoso es igual a 0.8. Supongamosque se hacen ensayos de lanzamientos hasta que han ocurrido 3 lanza-mientos exitosos.

a. ¿Cual es la probabilidad de que sean necesarios 6 ensayos?

b. Suponga que se hacen los ensayos de lanzamientos hasta que ocurren3 lanzamientos exitosos consecutivos. Responda la pregunta (a) eneste caso.

c. Suponga que cada uno de los ensayos de lanzamiento cuesta $5000.Ademas, un lanzamientos que fracase produce un costo adicionalde $500. Calcule el costo esperado para obtener los 3 lanzamientosexitosos.

13. El 20 % de los peces de un lago son de la especie A y el resto deotras especies. Un investigador decide realizar el siguiente experimento:Extraer peces del lago hasta obtener 3 de la especie A (asuma que elmetodo de captura utilizado por el investigador es igualmente efectivopara con todas las especies).

a. ¿Cual es la probabilidad de que el investigador realice solamente 10extracciones?

b. Para la v.a. definida en la parte (a), calcule el valor esperado einterpretarlo.

c. Suponga que en el lago solo hay 50 peces, 10 de los cuales son de laespecie A.

d. ¿Cual es la probabilidad de que en 10 extracciones se obtengan 3 dela especie A?

e. Bajo los supuestos de la pregunta (c), ¿cual es la probabilidad deque sean necesarias 10 extracciones para obtener 3 de la especie A?



14. Supongase que el numero de accidentes en una fabrica se puede repre-sentar por un proceso de Poisson con un promedio de 2 accidentes porsemana.

a. Encuentre la distribucion de probabilidades de la variable aleatoriatiempo hasta que ocurra un nuevo accidente.

b. ¿Cual es la probabilidad de que el tiempo entre un accidente y elsiguiente sea mayor de 3 dıas?

c. Cual es la probabilidad de que el tiempo hasta que ocurran cincoaccidentes sea mayor a 2 semanas?

d. Si ocurrio un accidente en el tiempo 0, y un dıa despues aun noocurre otro, ¿cual es la probabilidad de que pasen dos dıas mas yaun no halla ocurrido el siguiente accidente?

15. Las lıneas telefonicas que entran a una oficina de reservaciones deaerolıneas estan ocupadas un 60 % del tiempo.

a. Si usted habla en esa oficina, ¿cual es la probabilidad que le respon-dan en la primera llamada? ¿En la segunda? ¿En la tercera?

b. Si usted y un amigo deben hacer llamadas separadas a esta ofici-na, ¿cual es la probabilidad de que deban hacer un total de cuatrointentos para lograr las dos llamadas?

16. Un electrodomestico se vende en dos colores, blanco y cafe, y tiene igualdemanda. Un vendedor tiene tres electrodomesticos de cada color enexistencia, aunque esto no lo saben los clientes. Dichos clientes llegany piden en forma independiente estos electrodomesticos. Calcular laprobabilidad d que

a. el quinto cliente pida el tercer blanco

b. el quinto cliente se lleve el tercer cafe

c. se piden todos los blancos antes del primer cafe

d. se pidan todos los blancos antes que se agoten los cafe.

17. Se definen los requisitos peor de los casos como objetivos de disenode una marca de terminales de computadora. Una prueba preliminarrapida indica que 4 de 10 terminales no pasan la prueba del peor de los



casos. Se seleccionan 5 de los 10, en forma aleatoria, para pruebas pos-teriores. Sea X la variable aleatoria el numero, entre las 5 terminales,que no pasan la prueba preliminar. Calcular:

a. la funcion de probabilidad y de distribucion acumulada e interprete

b. el valor esperado y la desviacion estandar e interprete.

18. Los procedimientos de muestreo para aceptar lotes en una empresamanufaturera electronica requiere el muestreo de n artıculos de un lotede N artıculos, y aceptar el lote si X ≤ c, donde X es el numero deartıculos defectuosos en la muestra. Para un lote de 20 cubiertas deimpresoras, se debe mostrar 5. Calcular de aceptar el lote si c = 1, y siel numero real de cubiertas defectuosas en el lote es:

a. X = 0, 1, 2, 3, 4

b. Responder la anterior pregunta se c = 2.

19. De cada 2.000 tornillos fabricados por una determinada maquina hay 2defectuosos. Para realizar el control de calidad se observan 150 tornillosy se rechaza el lote si el numero de defectuosos es mayor que 1. Calcularla probabilidad de que el lote sea rechazado.

20. En pruebas realizadas a un amortiguador para automovil se encon-tro que el 20 % presentaban fuga de aceite. Si se instalan 20 de estosamortiguadores, hallar la probabilidad de que:

a. 4 salgan defectuosos,

b. mas de 5 tengan fuga de aceite.

c. de 3 a 6 amortiguadores salgan defectuosos.

d. Determine el promedio y la desviacion estandar de amortiguadorescon defectos.


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