Problemas Metodos Numericos

METODOS NUMERICOS Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA

1

ERRORES 1. Calcular las siguientes expresiones, incluyendo sus cotas de error absoluto, donde

x=2,00, y = 3,00 y z = 4,00 (estos valores están correctamente redondeados):

a) 3 x + y - z b) x y / z c) x sen (y / 40) 2. Calcular la siguiente expresión, incluyendo su cota de error absoluto:

w = x y² / z

Donde x = 2,0 ± 0,1, y = 3,0 ± 0,2 y z = 1,0 ± 0.1. Indicar qué variable tiene mayor incidencia en el error en w.

3. ¿Con cuántos decimales significativos hay que tomar a p y e en las siguientes

expresiones para que el resultado tenga tres decimales significativos?:

a) 1,3134 b) 0,3761 e c) e 4. Se tienen las siguientes expresiones algebraicamente equivalentes:

a. 62/1 12 f

b. 62/1 121

f

c. 32/12*23 f

d. 32/12*231

f

e. 2/12*7099 f

f. 2/12*7099/1 f

a) Demostrar que, efectivamente, son algebraicamente equivalentes. b) Utilizando el valor aproximado 1,4 para la raíz cuadrada de 2, indicar qué alternativa proporciona el mejor resultado.

5. Se tiene la expresión ]1) - (x² -[x ln y ½

a. Calcular y para x = 30, incluyendo su error absoluto. Suponer que la raíz cuadrada se conoce con 6 decimales correctos y que el error en x es despreciable.

b. Obtener una expresión matemáticamente equivalente a la anterior, pero mejor condicionada desde el punto de vista numérico, y recalcular el resultado con el nuevo error.

6. Se realizan observaciones de un satélite para determinar su velocidad. En la primera

observación la distancia al satélite es L = 30.000 ± 10 km. Luego de 5 segundos (medido con 4 dígitos de precisión) la distancia radial ha aumentado en r = 125 ± 0,5 km y el

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2

cambio en la orientación ha sido ø =0,00750 ± 0,00002 radianes. Calcular la velocidad del satélite, incluyendo su error, suponiendo que el mismo se mueve en línea recta y a velocidad constante durante ese intervalo de tiempo.

7. Se dispone de un algoritmo para computar la siguiente integral:

dxebaI xa

bx

1

0

)( 2

),(

Utilizando dicho algoritmo se obtuvo la siguiente tabla:

Ahora bien, se midieron las cantidades físicas z e y, obteniéndose: z = 0,400 ± 0,003 y = 0,340 ± 0,005 Estimar el error en I(z,y) y expresar el resultado final.

8. En una computadora, una celda de memoria tiene 2 posiciones binarias para almacenar

los signos de la mantisa y del exponente, 11 posiciones decimales para la mantisa y 3 posiciones decimales para el exponente. Por ejemplo, el número p se almacena de la siguiente forma: +31415926536+001. Indicar cómo se almacenan los números:

a) 2.7182818285 b) -1073741824 c) 0.577216 d) -123E-45 Indicar cuál es la cota de error relativo que tiene un número almacenado según esta representación.

9. Determinar las cotas para los errores relativos de v y w (que son dos expresiones

algebraicamente equivalentes) en los siguientes casos, utilizando la gráfica de proceso: a) v = a+a, w = 2a b) v = a+a+a , w = 3ª

Suponer que a es positivo y que los números 2 y 3 tienen una representación exacta en la computadora. Comparar los resultados de las dos expresiones y extraer conclusiones. Calcular dichos errores para a = 0,6992 (correctamente redondeado), redondeando a 4 dígitos luego de cada operación aritmética.

10. Considerar las expresiones v = (a-b) / c y w = (a/c) - (b/c). Suponer que a, b y c son

positivos, sin errores de entrada y que a es aproximadamente igual a b. a) Demostrar que el error relativo por redondeo en w puede ser mucho mayor que el mismo error en v.




3

b) Calcular dichos errores para a = 0,41, b = 0,36 y c = 0,70, utilizando aritmética de punto flotante con 2 dígitos de precisión.

11. Mostrar en los siguientes cálculos que, trabajando en punto flotante con una precisión

de 5 dígitos, no valen las leyes asociativa y distributiva. Usar redondeo simétrico.

0.98765 + 0.012424 - 0.0065432 , (4.2832 - 4.2821) * 5.7632 12. Evaluar el polinomio 0,149 - x 3 x6 - x P(x) 23 en x = 4,71 utilizando aritmética de

punto flotante de 3 dígitos con redondeo truncado. Evaluarlo luego usando la expresión alternativa P(x) = ((x - 6) x + 3) x – 0,149 (denominada Esquema de Horner). Comparar con el resultado exacto y sacar conclusiones. Repetir el ejercicio con redondeo simétrico.

13. Sumar los siguientes números de menor a mayor y luego de mayor a menor utilizando

aritmética de punto flotante con 4 dígitos de precisión. Comparar con el resultado exacto y obtener conclusiones. 0.2897 0.4976 0.2488*10 0.7259*10 0.1638*10² 0.6249*10² 0.2162*103 0.5233*103 0.1403*104 0.5291*104

14. Calcular v² - w² usando aritmética de punto flotante de 4 dígitos de precisión, con v=43,21 y w = 43,11, utilizando los siguientes algoritmos:

a) (v * v) - (w * w) b) (v + w) * (v – w)

Indicar cuál algoritmo es más conveniente y justificar. 15. Investigar la estabilidad numérica en el cálculo de:

x = 1/(1+2*a) - (1-a)/(1+a), siendo |a| << 1.

La secuencia de operaciones es:

7637546151423121 , , /, 1, 1, /1, *21, xa Cambiar la secuencia de operaciones de modo que resulte un algoritmo más estable que el anterior.

16. Indicar cuál de los siguientes algoritmos es más estable numéricamente para calcular la

menor raíz de la ecuación x² - 2 x + a = 0 , con a positiva y mucho menor que 1.

232/1

121 1 1) xeaa

34232/1

121 / 1 1) axeab 17. Se desea evaluar la derivada de la función f(x) en el punto x1, pero sólo se dispone de

valores de f sobre un conjunto discreto de puntos. Se utiliza la siguiente estimación:

1212 /)()( xxxfxfD




4

a. Suponiendo que 12 xx es pequeño, obtener una estimación del error de

truncamiento cometido. Para ello, desarrollar )( 2xf en serie de Taylor alrededor de

1x . b. Suponiendo que los valores de )( 2xf y )( 1xf se redondean de tal forma que sus

errores relativos son 2r y 1r , respectivamente, obtener una estimación del error en D por el redondeo durante las operaciones. Para ello utilizar la gráfica de proceso, sin considerar errores en 2 1 xyx .

c. Estimar el error en D debido a errores de entrada 12 xyx en x2 y x1, respectivamente. Para ello utilizar la fórmula general de propagación de errores.

18. La fórmula 6/4 22110 fffff permite interpolar el valor de la función f en

x=0 conociendo sus valores en 2, 1, 1, 2 2112 xxxx a. Estimar, mediante la gráfica de proceso, los errores en f0 debido al redondeo de

los valores de la tabla de f y al redondeo durante los cálculos. b. Suponiendo que la función f es par y que 1f y 2f son del mismo orden, y utilizando

el resultado del punto a, obtener una condición que garantice que el error debido al redondeo en los cálculos sea despreciable.

19. Se desea evaluar )cos( 12 z , donde 0005.0345.11 y 0005.0352.12 ,

ambos medidos en radianes. Los cálculos se efectúan con 7 dígitos de precisión. El valor del coseno se obtiene de una tabla con 5 decimales significativos. Se pide:

a. Calcular z y efectuar una estimación de la cota de error mediante la gráfica de

proceso. Identificar la principal fuente de error. b. Repetir el cálculo anterior utilizando el algoritmo alternativo

1212 coscos sensenz

Explicar cuál de los dos algoritmos es mejor y justificar.




5

FUNCIONES Consideraciones especiales: Una función es creciente cuando su derivada es positiva; es decreciente cuando su derivada es negativa f(x) es un máximo si f´(x)=0 y f´(x) cambia de signo pasando de positivo a negativo f(x) es un mínimo si f´(x)=0 y f´(x) cambia de signo pasando de negativo a positivo El número de raíces de una función depende del número de variaciones de signo en dicha función. Al reemplazare el x por (1) las variaciones de signo nos dará el número de raíces positivas, Al reemplazar el x por –(1) las variaciones de signo dará el número de raíces negativas y la máxima potencia dará el número total de raíces. Las imaginarias serán las restantes. Encontrar: Los máximos, Los mínimos, el número de raíces positivas, negativas e imaginarias y decir los rangos para los cuales es creciente y decreciente cada una de las siguientes funciones. Asuma los valores que considere necesarios. 1. 31292)( 23 xxxxf 2. 32 )1()1()( xxxf

3. 3/2)()( cxbaxf 4. xxxxf 96)( 23

5. 32 231210)( xxxxf 6. 20152)( 23 xxxxf

7. 422)( xxxf 8. xxxf 4)( 4

9. 1)( 34 xxxf 10. 234 1243)( xxxxf

11. 45 5)( xxxf 12. 35 203)( xxxf

13. xa

xxf3

2 2)( 14. 2

3

2)(xa

xxf

15. 2

42)(

xa

xxf 16. 22)(ax

axxf

17. ax

xxf

2

)( 18. 22

2

)(ax

xxf

19. 22

22 2)(

axax

xf

20. 22 )1()2()( xxxf

21. 32 )1()2()( xxxf 22. 3/2)()( axcbxf

23. 2/1)()( cxbaxf 24. 3/23/1 )1()2()( xxxf

25. 32 )()()( xaxaxxf 26. 3/23/1 )()2()( axaxxf

27. 42

2)( 2

xxx

xf 28. 1

4)(

2

x

xxxf

29. 424

)( 2

2

xx

xxxf 30. 2

))(()(

xxbax

xf




6

31. De una pieza cuadrada de cartón de lado a, se desea construir una caja abierta por encima, del mayor volumen posible, cortando de las esquinas cuadrado iguales y doblando hacia arriba el cartón para formar las caras laterales. ¿Cuál debe ser la longitud del lado de los cuadrados cortados?

32. Suponiendo que la resistencia de una viga de sección transversal rectangular es

directamente proporcional a la anchura y al cuadrado de la profundidad, ¿cuáles son las dimensiones de la viga de mayor resistencia que puede aserrarse de un tronco redondo de diámetro d.

33. Hallar la altura del cono de volumen máximo que puede escribirse en una esfera de

radio r. 34. Hallar la altura del cilindro de volumen máximo que puede inscribirse en un cono

circular recto dado. 35. Se desea construir una valla al rededor de un campo rectangular y dividirlo en dos

parcelas por otra valla paralela a uno de los lados. Si el área del campo es dada hallar la razón de los lados para que la longitud total de las vallas sea la mínima.

36. Una huerta rectangular ha de proyectarse al lado del solar de un vecino y ha de tener

un área de 10800 m2. Si el vecino paga la mitad de la cerca medianera, ¿Cuáles deben ser las dimensiones de la huerta para que el costo de cercarla sea para el dueño de la huerta el mínimo?.

37. Un fabricante de Instrumentos electrónicos averigua que puede vender x instrumentos

por semana a p pesos cada uno siendo px 33755 . El costo de la producción es

2

51

15500 xx pesos. Demostrar que se obtiene la máxima ganancia cuando la

producción es alrededor de 30 instrumentos por semana.

38. Si el problema anterior se supone que la relación entre x y p es 5

20100p

x ,

demostrar que la producción que corresponde a una ganancia máxima es la de unos 25 instrumentos por semana.

39. Si en el problema anteriormente planteado se supone que la relación entre x y p es:

px 2025002 , ¿Cuantos instrumentos deben producir semanalmente para obtener la máxima ganancia?.

40. Cual es el ancho del rectángulo de área máxima que puede inscribirse en un

segmento dado de una parábola.




7

SERIES

Fibonnaci: Partiendo de dos valores iniciales se continúa calculando el siguiente valor con la suma de los dos anteriores. Ej: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34........... desarrolle un algoritmo que permita encontrar: 1. Los primeros N términos de dicha serie 2. Los términos hasta encontrar el primero mayor a Q 3. Los términos comprendidos entre un valor M y N (con M>N) Para los siguiente ejercicios: a. sumar los primero N términos, donde N representa un valor entero que se lee cada vez

que se ejecuta el programa junto con el valor de X (en los casos que se requiera). b. Continuar sumando términos sucesivos a la serie hasta que el valor del ñltimo término

sea menor (en magnitud) que 510*1

4. ...!32

1!22

121

1 32 e

5. ......!4!3!2

1432

xxx

xex

6. ....303

)(53

2 xx

xxxsinex

7. ......!4

)(!3

)(!2

)()(1

432)(

xsinxsinxsinxsine xsin

8. ...85

1213

2)2( 4322

tttttsinet

9. ...!7!5!3

)(753

xxx

xxSin

10.

...

!5!4

3

!3!2

33

2

1)

3(

5432 xxxxxxSin

11. 2

)(xx ee

xSinh

12. ...!7!5!3

)(753

xxx

xxSinh

13. ...33615

403

6)(

7531 xxx

xxSinh




8

14. )n)(n*...(*

)*xn*..(*....

xxxArcsin(x)

n

1222421231

403

6

1253

15. ...!6!4!2

1)(642

xxx

xCos

16. 2

)(xx ee

xCosh

17. ...!6!4!2

1)(642

xxx

xCos

18. 12

1

2

!2

)41()4()tan(

n

n

nnn x

nB

x , donde Bs son los números de Bernulli.

....283562

31517

152

3)tan(

9753

xxxx

xx

19. .....315

17152

3)(

753

xxx

xxtanh

20. .....51

31

)( 531 xxxxTanh

21. ....9753

)(9753

xxxx

xxArctan

22. ....97532

)1

(9753

xxxx

xx

arctan

23. ....72061

245

21)(

642

xxx

xSec

24. ....72061

245

21)(

642

xxx

xSech

25. ...967

41

1)( 42 xxxSec

26. .....11

1 432

xxxxx

27. ...432

)1(432

xxx

xxLn

28. ...4

)1(3

)1(2

)1()1()log(

432

xxx

xx

29. 1

1

3

3

2

2

)1(1

...32

)ln()(

n

nn

anx

ax

ax

ax

axaLn

30. ...432

)1(432

xxx

xxLn

31. ...45122

))(cos(642

xxx

xLn




9

32.

....

51

*51

51

*31

51

2)2()3( 53LnLn

33. ....2

1

5

1*

4

3*

2

1

2

1

3

1*

2

1

2

1

6

53

34. ....41

31

21

16 222

2

35. ....)54

*43

43

*32

32

*21

( X

36. ...)1()1()1(1 321 xxxx Por medio del desarrollo de Maclaurin de xe y xe , obtenga el desarrollo de Maclaurin de

)sinh(x y )cosh(x , donde

32. )(21

)sinh( xx eex

33. )(21

)cosh( xx eex

34. ...)4

43

322

1())1((32

xxx

xLogdxd

e

35. ...432

)1log(432

xxx

xx

36. ...1)1( 321 xxxx Son varios los procedimientos para calcular el resultado de elevar un número al cuadrado. Ej: n2

Caso 1: La forma sencilla es multiplicar n*n Caso 2: Otra forma es sumar n veces n: n+n+....nn Caso 3: Otra forma es sumar los primeros n impares: 1+3+5+.....(2*n-1) 37. Desarrolle un algoritmo utilizando estructuras cíclicas para resolver el ejercicio por los

dos caso últimos.

38. Raíz n ( n # ) de un número(#): Una forma de encontrar la raíz n a un número es el siguiente: si se quiere calcular la 7 entonces se puede replantear como ecuación así:

xxfxxf 2)(',7)( 2 si 93 , se asume a x0=3 como la raíz supuesta de 7 para iniciar el proceso. La primera iteración quedará:




10

333333.0

)3(273

'

2

0

0 xfxf 666667.2333333.030 xx

Para La segunda iteración el x0 toma el valor de x y se tendrá:

0208333.0

)666667.2(27)666667.2(

'

2

0

0 xfxf 6458334.20208333.0666667.20 xx

Al igual que el caso anterior, la tercera iteración quedará:

000820.0

)6458334.2(27)6458334.2(

'

2

0

0 xfxf 6457514.2000820.0666667.20 xx

Desarrolle un algoritmo que le permita calcular la raíz de: 1. Los números primos menores a 100. 2. 543 120,48,75




11

RAICES DE ECUACIONES 1. 5.89.0)( 2 xxxf con raíz en el intervalo 2<=x<=3.

2. 1)2()( 4/ xexf x

3. 0),sin()3/exp(5.0)( xxxxf

4. 2)1log()( xxxf

5. 25)exp()( xxxf

6. 4)sin()( 2 xxxf

7. 1)cosh()cos()( xxxf

8. 1)cosh()cos()( xxxf

9. )4sin(3.0))3sin(3()( 5.1 ttetf t

10. 12)( 3 xxxf

11. 2)( xxf

12. 46.9984.46451.356.8)( 234 xxxxxf

13. 552.66444.5042.12)( 23 xxxxf

14. 2724.84996.11157.552.12)( 234 xxxxxf

15. 223.10672.0447.13223.7)( 234 xxxxxf

16. xexxf )(

17. 84.954.523.3)( 23 xxxxf

18. 2/0...,...)cos()( xconxxxf

19. xx exexxf 22 2)(

20. xexxxf 23)( 2 21. xxxf 2)tan()( La ecuación 0322 xx se puede reformular mediante el método de sustitución sucesiva como sigue:

22. 2

)3( 2 xx

23. 32 xx

24.

xx

x32

25. )32(2.0 2 xxxx




12

Las soluciones de la ecuación son x=3 y x=-1. Determine en forma gráfica cuales de las fórmulas convergen cuando se utilizan con la sustitución sucesiva para encontrar la raíz x=-1. 26. Considere la ecuación 0 xex .

a. Verifica, mediante una representación gráfica esquemática, que la ecuación tiene una solución en el intervalo [0, 1].

b. Demuestra que la ecuación tiene una única solución en el intervalo [0, 1]. c. Si se usa el método de la bisección con intervalo inicial [0, 1], ¿cuántas iteraciones hacen

falta para asegurar 4 decimales exactos? d. Calcule las 5 primeras iteraciones.

26. Utiliza el método de bisección para calcular con una precisión de 10-2 las soluciones de 061423 xxx en los intervalos [0,1], [1, 3,2] y [3,2, 4].

27. Resolver las siguientes ecuaciones usando el método mas indicado:

i. 12 )1()cos()( xxxf

ii. )ln()2()( 2 xxxf iii. )tan(2)( xxxf

28. Utiliza el método de bisección para aproximar 3 con un error absoluto máximo de 10-4

(Ayuda: considera 3)( 2 xxf . 29. Halla una cota del número de iteraciones del método de bisección necesarias para

aproximar la solución de 043 xx que esta en el intervalo [1, 4] con 3 cifras decimales exactas y calcula dicha aproximación.

30. La función f (x) = sen (px). Se sabe que tiene ceros en cada número entero. Prueba que

cuando 3201 bya -el método de bisección sobre [a, b] converge a: a) 0, si a+b < 2, b) 2, si a+b > 2, c) 1, si a+b = 2.

31. Se desean calcular por iteración las raíces positivas de la ecuación x+log(x)=0. Para ello, se proponen los métodos siguientes:

(i) )log(1 nn xx , (ii) nxn ex 1 , (iii) )(

21

1nx

nn exx

(a) ¿Hay alguno de ellos cuyo uso no sea aconsejable? (b) ¿Cual es el más adecuado de los tres? (c) Proporcionar alguna otra formula mejor que las anteriores.

32. Dada )cos()¡( 3 xxxf y dados 10 x y 01 x , calcula tres aproximaciones sucesivas de la

raíz de f en [-1,0] usando tanto el método de la secante como el de regula falsi. 33. Aproxima, con un error inferior a 10-4, el valor de x para el cual se obtiene el punto de la grafica

de 2xy que esta mas cerca del punto (1,0). (Ayuda: minimiza la función d(x)2 tomando d(x) la distancia de cada punto (x, x2) de la gráfica al punto (1,0).




13

34. Resuelve la ecuación (0.002) (9.81) = 1.4 × 10-5v1.5 + 1.15 × 10-5 v2 usando el método de

Newton-Raphson a partir del valor inicial v0 =30m/s. Calcula la solución con 3 decimales exactos.

35. Aproxima el valor de raíz de 41 con 6 decimales exactos usando el método de Newton-

Raphson. 36. Aproxima el valor de raíz de 23 con 6 decimales exactos usando el método de Newton-

Raphson. 37. Dado un número c, se puede calcular su inverso x = 1/c resolviendo la ecuación 1/x - c = 0

a. Comprueba que si aplicamos el método de Newton-Raphson, podemos calcular inversos sin hacer divisiones.

b. Calcula el valor de 1/9, 1/45, 1/678. Observa que los valores inicialesdeben estar próximos a la solución para que el método converja.

38. Considere la ecuación x = cos(x)

a. Demuestra que la formulación x =(x + cos(x))/2 es adecuada para resolver la ecuación mediante iteración de punto fijo para todo valor inicial x0 en el intervalo [0, 1].

b. Determina el número de iteraciones necesario para obtener 5 decimales exactos. c. Calcula las 5 primeras iteraciones de forma manual. d. Escribe un programa con MatLab para calcular las iteraciones, verifica el resultado de las

primeras iteraciones con los valores que has obtenido en el apartado anterior. e. Verifica el resultado resolviendo la ecuación con MatLab.

39. Considere la ecuación xex

a. Demuestra que la formulación 2/)( xexx es adecuada para resolver la ecuación mediante iteración de punto fijo para todo valor inicial x0 en el intervalo [0.5, 1].

b. Determina el número de iteraciones necesario para obtener 5 decimales exactos. c. Calcula las 5 primeras iteraciones de forma manual. d. Escribe un programa con MatLab para calcular las iteraciones, verifica el resultado de las

primeras iteraciones con los valores que has obtenido en el apartado anterior. e. Verifica el resultado resolviendo la ecuación con MatLab.

40. Resuelve la ecuación xex 2.9)1.0tan( con 6 decimales exactos usando una formulación de

punto fijo del tipo )(xfxx toma como intervalo inicial [3, 4]. 41. Resuelve la ecuación x = cos(x) con 6 decimales exactos usando una formulación de punto fijo

del tipo )(xfxx x toma como intervalo inicial [0, 1]. 42. El coeficiente de fricción f para el flujo turbulento en un tubo está dado por:

fRDe

fe

35.9log214.1/1 10 , correlación de Colebrook,

Donde eR es el número de Reynolds, e es la rugosidad de la superficie del tubo y D es el

diámetro del tubo. Determina el valor de f para los datos




14

(a) D = 0.1m, e = 0.0025, Re = 3× 104 (b) D = 0.1m, e = 0.0001, Re = 3× 106 Indicación: El orden de magnitud de f es 10-2; además es mejor reescribir la ecuación en la forma

2

10

35.9log214.1

fRDef

e

43. Si se compra un Osciloscopio cuyo costo es 3´500.000 para pagarlo a cuotas,

cancelando $535.000 pesos mensuales durante 7 meses. ¿Qué tasa de interés se está pagando?. La fórmula que relaciona el costo actual (P), los pagos mensuales (A), el numero de meses (n) y la tasa de interés (i) es:

n

n

iii

PA)1()1(

44. Un nuevo centro de diversiones cuesta $10 millones de pesos y produce una ganancia de $2 millones. Si la deuda se debe pagar en 10 años ¿ a qué tasa de interés debe hacerse el préstamo?. El costo actual ( P), el pago anual (A) y la tasa de interés (i) se relacionan entre sí mediante la siguiente formula:

n

n

ii

iAP

)1(*

1)1(

Sustituyendo datos y simplificando resulta lo siguiente: (1 + i)10 - 1 f(i) = ----------------- - 5 = 0 i * (1 + i)10 a) Calcúlese i(interés) usando el Método de Bisección (a = 0.1 y b = 0.2) b) Se puede aplicar el método de Newton Rapshon ¿sí o no? y ¿por qué?

45. El capital A acumulado en una cuenta de ahorro en la que se ingresa periódicamente

una cantidad P viene dado por la fórmula 11/ niiPA , donde i es el interés en cada periodo y n el número de periodos transcurridos. Un empresario desearía jubilarse dentro de 20 años con un capital acumulado de 7`050,000 Pesos haciendo depósitos mensuales de 10,500 Pesos, ¿cual es el interés mínimo que debe tener la cuenta de ahorro en la que invierta sus ahorros?

46. La Universidad está interesada en adquirir un moderno Laboratorio de Electrónica. Hay

tres compañías que le cotizan los equipos requeridos con las siguientes condiciones:

Compañía 1: Valor de contado 49’000.000, a crédito; cuota inicial de 30’000.000 y 5 cuotas mensuales de 5´000.000 cada una. Compañía 2: Valor de contado 45’000.000, valor a crédito; cuota inicial de 25’.000.000 y 8 cuotas de 4´000.000 cada una Compañía 3: Valor de contado 50’000.000. valor a crédito; Cuota inicial de 40.000.000 y 4 cuotas de 3’000.000 cada una.




15

La Universidad cuenta en estos momentos con 20’000.000 para dicha compra. Cada una de las empresas manifiesta financiar el resto al mismo interés de la propuesta. A cual de las tres empresas la universidad debe comprarle de tal forma que salga favorecida económicamente. Los equipos cotizados son idénticos en las tres empresas.

47. Análisis de punto de equilibrio: En la práctica de la Ingeniería óptima se requiere que los proyectos, productos y la planificación de los mismos sean enfocados de tal manera que resulten económicos. Por lo tanto, a un Ingeniero con experiencia deben serle familiares los análisis de costos. El problema que se trata en esta sección se conoce como “Problemas de punto de equilibrio”. Se usa para determinar el punto en el cual dos alternativas tienen valores equivalentes. Estos problemas se encuentran en todos los campos de la ingeniería. Aunque el problema se enfoca en términos personales, se puede tomar como prototipo de otros problemas de análisis de punto de equilibrio, que se encuentran a menudo en la vida profesional. Se está considerando la compra de una de dos microcomputadores: “La microcomputadora uno y la microcomputadora dos”. En el cuadro 1 se encuentra resumidas algunas de las características, los costos aproximados y los beneficios de cada una de ellas. Si se puede pedir un préstamo con un interés del 20% (y=0.20). ¿Cuánto tiempo se deberá poseer las máquinas, de manera que tengan un valor equivalente?. En otras palabras ¿Cuál es el punto de equilibrio medido en años?.

Cuadro 1. Costos y beneficios de dos microcomputadores. Los signos negativos indican un costo o una pérdida mientras que un signo positivo indica una ganancia.

C O M P U T A D O R A S MICRO 1 MICRO 2 Costos de compra -3000 -10000 Incremento en el mantenimiento costo año -200 -50 Ganancias y beneficios anuales 1000 4000

48. Encuentre una aproximación para con una error menor a 10 4 , para la ecuación de

población )1e(435000

e10000001564000

que resulta de la ecuación diferencial de

crecimiento de población con inmigración constante : )t(Ndt

)t(Nd. Utilice este

valor para predecir la población al final del segundo año, asumiendo que la tasa de inmigración se mantiene en 435000 ind/año.

49. Una masa de 1 Kg de CO está contenida en un recipiente a T=215K y p= 70 bars.

Calcule el volumen del gas utilizando la ecuación de estado de Van Der Waals, parea un gas no ideal, dada por [Moran/Shapiro].




16

RTbvva

P 2

, donde R=0.08314bar m3/(Kg mol K), a=1.463 bar m6/(Kg mol)2 y

b=0.0394 m3/Kg. Determine el volumen especifico v(en m3/Kg) y compare el resultado con el volumen calculado por la ecuación del gas ideal. Pv=RT

50. Una mezcla equimolar de monóxido de carbono y oxigeno alcanza el equilibrio a 300ºK

y a una presión de 5 atm. La reacción teórica es:

2221

COOCO , la reacción química real de escribe como

222 1121

COxOxxCOOCO , La ecuación de equilibrio químico para

determinar la fracción del CO restante, x, se escribe como

10,

1

312/12/1

2/1

xPxxxx

Kp , Donde Kp=3.06 es la constante de equilibrio para

CO+1/2O2=CO2 a 3000ºK y P=5 es la presión. Determine el valor de X por medio del método de Newton Raphson.

51. Un proyectil de 2 gramos de masa ha sido lanzado verticalmente al aire y está descendiendo a

su velocidad terminal. La velocidad terminal se puede escribir, después de evaluar todas las constantes, como (0.002) (9.81) = 1.4 × 10-5v1.5 + 1.15 × 10-5 v2 donde v es la velocidad terminal en m/s. El primer término del lado derecho representa la fuerza de fricción y el segundo término representa la fuerza de presión. b. Se sabe por una estimación grosera, que la velocidad terminal es v 30m/s. Estudia si los

intervalos [20, 30], [30, 40] contienen una raíz. Verifica el resultado construyendo un gráfico con Mapl

c. Determinan el número de pasos que se necesitan para aproximar la solución con 2 decimales usando el método de la bisección.

d. Calcula la aproximación con un programa, verifica manualmente el valor de los dos primeros pasos.

e. Calcula el valor de la velocidad terminal con MatLab. 52. El tamaño crítico de un reactor nuclear se determina resolviendo una ecuación de criticalidad2

Un ejemplo simple de este tipo de ecuaciones es xex 2.9)1.0tan( . La solución físicamente significativa es la menor raíz positiva. Se sabe, por experiencia, que la raíz se encuentra en el intervalo [3, 4].

a. Demuestra que, efectivamente, la ecuación tiene una raíz en [3, 4] y que tal raíz es única. b. Aproxima el valor de la raíz con 5 decimales usando el método de la bisección. c. Verifica el resultado sustituyendo en la ecuación. d. Calcula el valor de la raíz con MatLab.

Usando el método de Newton-Raphson y el valor inicial 5.30 x . Calcula la solución con 5

decimales exactos.




17

53. LEYES DE LOS GASES IDEALES Y NO IDEALES: La ley de los gases ideales está dada por: Pv=nRT, En donde p es la presión absoluta, v es el volumen y n es el número de moles. R es la constante universal de los gases y T es la temperatura absoluta. Aunque esta ecuación la usan ampliamente los ingenieros y científicos, solo es exacta sobre un rango limitado de presión y temperatura. Mas aun, la ecuación anterior es más apropiada para algunos gases que para otros.

Una ecuación alternativa del estado de los gases está dada por:

RTbvvap */ 2 , a la que se le conoce con el nombre de ecuación de Van Der Walls. v=V/n, es el volumen molal y a,b son constantes empíricas que dependen de un gas en particular.

Un proyecto de ingeniería requiere que se calcule exactamente el volumen molal (v) del bióxido de carbono y del oxígeno para combinaciones diferentes de temperatura y de presión, de tal forma que se pueda seleccionar una vasija apropiada que los contenga. Asimismo, es importante examinar que tan bien se apega cada gas a la ley de los gases ideales, comparando los volúmenes molales calculados con las ecuaciones. Se proporcionan los siguientes datos:

R=0.0820541 atm/(mol*k) A=3.592 B=0.04267 Bióxido de carbono A=1.360 B=0.03183 Oxígeno Las presiones de interés en el diseño son 1,10 y 100 atm. Para combinaciones de la temperatura de 300,500 y 700ºk

54. Las frecuencias naturales de vibración de una varilla uniforme sujetada por un extremo

y libre por el otro son soluciones de:

01)cosh()cos( ll donde

EI/2 l =1 (longitud de la varilla en metros) =frecuencia en seg-1 EI=rapidez de flexion (Byares/Snyder/Plants) =densidad del material de la varilla Determine tres valores más pequeños de que satisfagan la ecuación planteadas mediante el método de newton raphson

55. La concentración de la bacteria contaminante C en un lago decrece de acuerdo a la

relación: tt eeC 1.02 2080 , Determine el tiempo requerido para que la bacteria se reduzca a 10.




18

56. La temperatura (ºkelvin) de un sistema, varía durante el día de acuerdo con:

)14402

cos(200400t

T

, en donde t se expresa en minutos. La presión sobre el sistema

está dada por: 1440/tep . Calcule el volumen molal del oxigeno en intervalos de un minuto a lo largo del día. Tome como referencia para las fórmulas el ejercicio anterior.

57. En un proceso químico, el vapor de agua (H2O) se calienta a una temperatura lo

suficientemente alta para que una porción significativa de l agua se disocie o se rompa en partes para formar oxígeno (O2) e hidrógeno (H2):

H2=H2+1/2O2, Se supone que es la única reacción que se lleva a cabo, la fracción molal x, de H2O que se separa puede representarse como:

xp

xx

k tp

22

1, En donde kp es la constante de equilibrio de la reacción y pt es la

presión total de la mezcla. Si p=2 Atm y kp=0.04568, determínese el valor de x que satisfaga la ecuación anterior.

58. Diseño de un circuito electrico: Los ingenieros electrónicos usan a menudo la ley de

Kirchoff para estudiar el comportamiento de los circuitos eléctricos en estado estacionario (que no varia con el tiempo). Otro tipo de problema son los de corriente momentánea e implica a los circuitos donde súbitamente suceden cambios temporales. Esta situación ocurre cuando se cierra el interruptor de la figura mostrada abajo. En este caso después de cerrar el interruptor hay un periodo de ajuste hasta que se alcanza un estado estacionario. La longitud de este periodo de ajuste esta relacionada con las propiedades de almacenamiento de carga del capacitor y con el almacenamiento de energía dentro del inductor. El almacenamiento de energía puede oscilar entre dos elementos durante un periodo transitorio. Sin embargo, la resistencia en el circuito disipa la magnitud de las oscilaciones.

El flujo de corriente a través de la resistencia causa una caída de voltaje (VR) daod por: VR=i*R. En donde i es la corriente y R es la resistencia del circuito. Cuando las unidades de R e i son Ohm() y Amperes(A), respectivamente, entonces la unidad de V es Volt. De manera semejante, un inductor resiste el cambio en la corriente, de forma tal que la caída de voltaje (VL) al cruzarlo es de:




19

dtdi

LVl , en donde L es la inductancia. Cuando las unidades de L e i son Henrios y

Amperes, la unidad de VL es el voltaje y la unidad de t es el segundo. La caída de voltaje a través del capacitor (VC) depende de la carga (q) sobre el mismo: VC=q/C, En donde C es la capacitancia. Cuando las unidades de carga se expresan en culombio, la unidad C es el Faradio. La segunda ley de kirchhoff indica que la suma algebraica de las caídas de voltaje en un circuito es cero. Después de cerrar el interruptor se tiene:

0Cq

Ridtdi

L , Sin embargo, la corriente está dada en función de la carga como:

dtdqi , Por lo tanto: 0

2

2

Cq

dtdq

Rdt

qdL , Esta es una ecuación diferencial ordinaria

de segundo orden que se puede resolver usando los métodos de cálculo. La solución está dada por:

t

Lr

LCeqtq LRt

2

2/

0 21

cos)(

Donde t=0, q=qo=V0C y V0 es el voltaje en la batería. La ecuación anterior describe la variación de la carga en el capacitor en función del tiempo. La solución q(t) se puede graficar:

59. Determínese el tiempo necesario para que el circuito del ejercicio anterior disipe al 1%

de su valor original en t=0.05s, dado R=300 y C=10-4F y L=4H. 60. Determínese el valor de L necesario para que el circuito del ejercicio anterior disipe al

1% de su valor original en t=0.05s, dado R=300, y C=10-4F 61. Una corriente oscilatoria en un circuito eléctrico se describe mediante

)2sen(10 teI t , En donde t está dado en segundos. Determínese todos los valores de t tales que I=2.

62. Un problema de diseño típico en Ingeniería Eléctrica, puede necesitar que se determine

la resistencia apropiada para disipar energía a una velocidad constante, con los valores de L y C conocidos. En este caso se supone que la carga se debe disipar al 1% de su valor original (q/qo=0.01) en t=0.05s, con L=5H y C=10-4F.

63. El coeficiente de la fricción f para el flujo turbulento en un tubo esta dado por:




20

fRDe

Logf e

35.90.214.1

110 Correlación de Colebrook, donde Re es el número de

Reynolds, e es la rugosidad de la superficie del tubo y D es el diámetro del tubo. Evalúe f para los siguientes casos: D=0.1m e=0.0025 Re=3*104 D=0.1m e=0.0001 Re=5*106

64. Un objeto cayendo verticalmente a través del aire está sujeto tanto a resistencia viscosa

como a la fuerza de gravedad. Suponiendo que un objeto con masa m es dejado caer desde una altura y0, y que la altura del objeto después de t segundos es

Donde g = -32.17 ft/s2 y k representa el coeficiente de resistencia del aire en lb-s/ft. Suponga y0 = 300ft, m = 0.25lb, y k = 0.1 lb-s/ft. Encuentre, con un error de hasta 0.01s, el tiempo que le toma a está masa tocar el suelo.

65. Un proyecto de Ingeniería Química requiere que se calcule exactamente el volumen

molal (v) del bióxido de carbono y del oxígeno para combinaciones de diferentes condiciones de temperaturas y de la presión, de tal forma que se pueda seleccionar una vasija apropiada que los contenga. Asimismo es importante examinar que tan bien se apega cada gas a ley de los gases ideales comparando los volúmenes molales. Los datos para el bióxido de carbono son los siguientes R = 0.082054 L . atm / (mol. K ) a = 3.592 b = 0.04267 p = 1 atm T = 300 K Las ecuación aplicada es la de Van der Waals... f (v)=(p + a / v2)(v - b) - R T su derivada..... f '(v) = p - a / v2 + (2 a b) / v3 - Aplicar el método de Newton Raphson para resolver el problema usando el valor inicial de Xo=10.

66. ¿Que condiciones ha de cumplir el parámetro a para garantizar la convergencia lineal

del método iterativo xn+1 = xn-af (xn) hacia un cero de f (x) con x0 apropiado?.

67. Para calcular 3 se propone el método 3

22

3

1

n

nn

x

xx

.

a. Encontrar y para que la convergencia local sea al menos cuadrática. ¿Hay convergencia cúbica en este caso?

b. Se considera el método de Newton–Raphson para 3)( 2 xxf . ¿Convergería mas rápidamente que el método anterior?

)1()(2

2

0mkt

ek

gmt

kmg

yty




21

c. Tomando 20 x y operando con seis cifras decimales, calcular 3 con cuatro cifras decimales exactas aplicando los dos métodos anteriores. Comparar con lo observado en (b).

c. Si se aplica el método de bisección a la ecuación 032 x en [1,2], ¿cuantas iteraciones serán necesarias para alcanzar la misma precisión que en el apartado (c)?

68. Según el modelo desarrollado por Malthus, el crecimiento de una población a partir del

instante inicial t = 0 con inmigración a tasa constante puede escribirse por la función: )1(/)( tktk

o ekVeCtC , donde: C0 es la población inicial, k es la tasa de crecimiento y V tasa de inmigración. Suponga que una cierta población tiene inicialmente un millón de individuos, durante el primer año han inmigrado 435.000 individuos y al cabo de un ano hay 1.564.000 individuos. Determine la tasa de crecimiento de dicha población con cuatro decimales correctos

69. Calcular las raíces de la siguiente ecuación, mediante los Métodos de Intervalo.

38)1(*675

)( *15. xex

xf

a) Graficar y establecer el/los intervalo/s. b) Resolver manualmente mediante los métodos de “Bisección” y el de “Falsa Posición”.

Hacer cinco iteraciones en cada caso y establecer el “error relativo aproximado”. c) Adecuar los logaritmos de los métodos de Bisección y de Falsa Posición para que cada

uno sea un programa y programarlo en Basic, C, Pascal o MatLab, estableciendo un corte en las iteraciones considerando un Es= 0.05% (error previamente fijado) y un numero máximo de iteraciones.

d) Comparar los resultados obtenidos con los programas, con los correspondientes a los cálculos manuales.

70. Calcular las raíces reales de la siguiente ecuación, mediante el método Abierto de Newton-

Raphson. Utilizar solo tres cifras significativas.

3/1645.0 23 xxx

Donde: b) Graficar. c) Resolver manualmente mediante el método de Newton Raphson. Hacer 5 iteraciones en

cada caso y establecer el error relativo aproximado Ea. d) Adecuar el algoritmo del método de Newton-Raphson para que sea un programa y

programarlo en Basic, C, Pascal o MatLab, estableciendo un corte en las iteraciones considerando un Es= 0.05% (error previamente fijado) y un numero máximo de iteraciones. Utilizar como valores iniciales X=1.2 y x=3.2. Conclusiones.

e) Comparar los resultados obtenidos con los programas, con los correspondientes a los cálculos manuales.

71. Calcular las raíces reales de la siguiente ecuación, mediante el Método Abierto de Punto Fijo.

xxsenxf )()( a) Graficar.




22

b) Resolver manualmente mediante el método de “Punto Fijo”. Hacer 5 iteraciones en cada caso y establecer el error relativo aproximado Ea.

c) Adecuar el algoritmo del método de Punto Fijo para que sea un programa y programarlo en Basic, C, Pascal o MatLab, estableciendo un corte en las iteraciones cuando el error relativo aproximado Ea<0.01% y un numero máximo de iteraciones. Utilizar como valor inicial x0=0.5

d) Comparar los resultados obtenidos con los programas, con los correspondientes a los cálculos manuales.

72. Encuentre la raíz de las ecuaciones siguientes en el intervalo (0,1.6). Determínelas con

un error menor que 0.02 usando el método de bisección: a) )ln()cos(* xxx , b)

0*2 xex , c) xe x 12 73. Utilice el método de secante para encontrar las soluciones de 06147 23 xxx con

un error menor que 10-2 en cada uno los siguientes intervalos: a) [0, 1], b) [1, 3.2], c) [3.2, 4]

74. Encuentre el número de iteraciones necesarias para encontrar una solución de 043 xx , mediante el método de bisección en el intervalo [1, 4] con una exactitud

de 10-3. 75. Demuestre el siguiente teorema: Sea 0)(' xf , f (a)*f (b)<0 y )x(''f no cambia de signo

en el intervalo [a,b]. Si ab)a('f

)a(f y ab

)b('f

)b(f , entonces el método de Newton

converge a partir de una aproximación inicial b,ax 0 . 76. Use el método de Newton-Raphson para determinar la raíz distinta de cero de: a) x = 1

- e- 2 x y b) x ln x - 1 = 0 con cuatro decimales correctos. 77. La ecuación 0)cos(102 xx tiene dos soluciones, 1.3793646. Utilice el método de

Newton-Raphson para encontrar una solución aproximada de la solución con un error menor a 510 considerando los siguientes valores iniciales: a. 0p = -100, b. 0p = -25, c.

0p = -1, d. 0p = 0. 78. Calcule 7 con error menor a 10-4, con los métodos de bisección, de Newton-Raphson

y de la secante. 79. Dadas las funciones: f (x) = [ (1 - e- 2.3 x ) ( 1 - x ) ] / 2, g (x) = cos ( x) , utilice los

métodos de Newton-Raphson y de la secante para encontrar el punto x [ 0 , 1 ] tal que f (x) = g (x) , con una precisión del orden de 10- 5 / 2 .

80. Encontrar la raíz de la siguiente ecuación utilizando el método de Aproximaciones sucesivas. f(x) = X3 + 4X2 – 10

81. Hallar la raíz de la siguiente función }01.0)1/{()1()( 2 xxxf para -2< x < 2 Use el método de Newton y experimente el comportamiento del método

cuando se elijen diferentes valores iniciales. 82. Hallar la raíz de la siguiente función usando los métodos indicados: a) f(x) = x2 – 2 x e-x + e-2x para 0< x < 1

Use el método de Newton Use el método…………




23

Compare el desempeño de ambos métodos 83. Acotar y separar las raíces de :

a. x3-7x2+14x-6=0 b. x3-x-1=0 c. x4-2x3-4x2+4x+4=0 d. x4 +2x2-x-3=0

84. Calcula aproximadamente cada una de las raíces de los polinomios del ejercicio

anterior con un error como máximo de 10-2. 85. Usa el método de bisección para encontrar una solución exacta dentro de 10-3 para

)tan(xx en [4, 4.5] 86. Encontrar la raíz de la siguiente ecuación utilizando el método de Intervalo Medio o

Bisección. xxxf 2)( . Usar como valores iniciales 0, 1 (Resultado X7=0.6445) 87. Encuentra una aproximación de 3 correcta con una exactitud de 10-4 usando el

algoritmo de bisección. [SUGERENCIA: considere f(x)=x2-3] 88. Sea f(x)=(x-1)10 , p=1 y pn=1+1/n. Demuestra que f(pn)<10-3 siempre que n>1, pero

que p-pn<10-3 , requiere que n>1000.

89. Sea {pn} la sucesión definida por

n

1kn k/1p . Demuestra que {pn} diverge aun cuando

0)p(p lim 1nnn

90. La función definida por f(x)=sen x tiene ceros en todos los enteros. Determina un

intervalo [a, b] con a<0 y b>2 para el cual el método de bisección converge a

a. 0 b. 2 c. 1 91. Usa el manejo algebraico para demostrar que las siguientes funciones tienen un punto

fijo en p exactamente cuando f(p)=0, donde f(x)=x4+2x2-x-3.

a. g1(x)=(3+x-2x2)1/4 b. g2(x)=2/14

2

x3x

c. g3(x)=2/1

2 2x

3x

d. g4(x)=

1x4x4

3x2x33

24

92. Se proponen los tres métodos siguientes para calcular 211/3. Clasifica por orden,

basándose para ello en la rapidez de convergencia y suponiendo que p0=1.

a. 21

p/21p20p

21n1n

n

b. 2

1n

31n

1nnp3

21ppp




24

c. 21p

p21ppp

21n

1n4

1n1nn

d.

2/1

1nn p

21p

93. En cada una de las siguientes ecuaciones, determine un intervalo [a, b] en que

convergirá la iteración de punto fijo. Estima la cantidad de iteraciones necesarias para obtener aproximaciones con una exactitud de 10-5 y realiza los cálculos.

a. 3

xe2x

2x b. 2

x

5x

2

c. x=(ex/3)1/2 d. x=5-x

e. x=6-x f. x=0.5(sen x+cos x) 94. En cada una de las siguientes ecuaciones, determine una función g y un intervalo [a,

b] donde la iteración de punto fijo convergirá en una solución positiva de la ecuación. a. 3x2-ex=0 b. x-cos x=0 Obtenga las soluciones con una exactitud de 10-5. 95. Ensaya con la iteración del punto fijo xx nn

21 1

para los valores del parámetro

=0.7, 0.9 y 2. Observar que aunque la iteración )(1 xx nn

g

genere una sucesión

que no converja, esto no implica necesariamente que la sucesión tienda a infinito. Observar el comportamiento caótico para =2.

96. La función g(x)=0.4+x-0.1x2 tiene dos puntos fijos (x=2 y x=-2). Calcula los primeros

términos de la sucesión generada con la iteración del punto fijo )(1 xx nn

g

:

a. Comenzando con x0 =1.9 b. Comenzando con x0 =-1.9 c. Explicar por qué la sucesión generada en a. converge y la generada en b. diverge.

97. El método de N-R se ha utilizado para realizar la operación de división en muchos

computadores, con lo que se evita el uso de circutería específica. Para ello se define

la función Ax

xf 1

)( , que tiene un cero cuando x=1/A (consideramos A una

constante positiva) b) Demuestra que aplicar el método de N-R a f consiste en aplicar iteración del punto fijo sobre la función g(x)=2x-Ax2 c) Si una iteración de punto fijo converge en un límite diferente de cero, entonces el límite es p=1/A, de modo que la inversa de un número puede obtenerse usando sólo multiplicaciones y restas. d) Encuentra un intervalo alrededor de 1/A donde converja una iteración de punto fijo, a condición de que p0 se encuentre en ese intervalo

98. Sea f(x)=x2-6. Con p0=3 y p1=2 encuentre p3 a) Aplique el método de la secante b) Aplique el método de la posición falsa




25

c) ¿Está (a) o (b) más cerca de 6 ?

99. Sea f(x)=x3-cos x. Con p0=-1 y p1=0 obtenga p3 a. Aplique el método de la secante b. Aplique el método de la posición falsa c. ¿Está (a) o (b) más cerca de 6 ?

100. Pruebe los algoritmos desarrollados en las siguientes funciones:

a) xex )sin( en los intervalos [-10,-9],[-7,-5.5] y [-4,-2] b) xx 1)sin(*4 en los intervalos [-1.3,0] y [-2.5,-1.3]

101. Utilice los algoritmos desarrollados para verificar el resultado encontrado en los

ejercicios anteriores y para encontrar las raíces de las siguientes ecuaciones con una exactitud de 10-5. Determine el número de pasos para cada método. a) 2x1,06xcos22e xx b) 23.1,0)1cos()1ln( xxx

c) 4x3y 3x2,0)2x(x2cosx2 2

d) 4xey 2x1,0xln)2x( 2 e) 5x3y 1x0,0x3e 2x

e) 7x6y 4x3 ,1x0 ,0exsen x 102. Aplique el método de Newton para obtener soluciones con una exactitud de 10-4 para

los siguientes problemas. a. x3-2x2-5=0, [1, 4] c. x-cos x=0, [0, /2] b. x3+3x2-1=0, [-3, -2] d. x-0.8-0.2sen x=0, [0, /2]

e. x4 - 4 x3 + 2 x2 - 8 f. 3 x2 + tg x g. 1 - x - e-2 x h. ex + x2 + x i. (x + 1) e( x - 1 ) – 1 j. ex - x2 - 2 x - 2

103. Repita el ejercicio anterior usando (i) el método de la secante y (ii) el método de la posición falsa.

104. Los problemas relativos al dinero necesario para pagar una hipoteca de una casa

durante un periodo fijo de tiempo requieren la fórmula n)i1(1iP

A ,

denominada ecuación de la anualidad ordinaria. En esta ecuación, A es el importe de la hipoteca, P es el importe de cada pago e i es la tasa de interés por periodo para n periodos. Supongamos que se necesita una hipoteca de $135000 por una casa a 30 años y que los pagos máximos que puede realizar el cliente son de $1000 dólares mensuales. ¿Cuál será el interés más alto que podrá pagar?

105. Demostrar que la sucesión generada N-R diverge para las siguientes funciones,

independientemente del punto inicial elegido:

a) f(x)=x2+1 b) f(x)=7x4+3x2+




26

106. Se desea diseñar un tanque de combustible según la siguiente figura. La forma del

tanque es la de un cubo y será fabricado con placas de acero de espesor e = 3 mm. Se requiere que la masa total del tanque lleno (combustible + acero) sea de 0,05 ton. La densidad del acero es 7.85 t/m3 y la del 0.83 t/m3 . Usar cualquier método para hallar el valor de x..

107. Un fabricante de envases de zumo se dispone a optimizar las dimensiones de sus

envases con el objetivo de minimizar el coste de fabricación (proporcional al material usado). Teniendo en cuenta que la capacidad de los envases debe ser de 1.5 litros, calcula las dimensiones óptimas de los mismos (usa los datos de la figura).

Para facilitar la resolución sigue las etapas siguientes:

a. define la función a optimizar (minimizar en este caso); b. busca la(s) relación(es) que hay entre las variables del problema; d. úsalas para reducir el numero de variables de la función inicial; e. escribe el sistema asociado a la búsqueda de extremos de una función de 2 variables. f. Para resolver el sistema anterior elimina una de las variables y expresa la ecuación

resultante en forma de ecuación polinómica; g. estima la solución (será una de las magnitudes del envase) de la ecuación polinómica

aplicando 3-veces el método N–R con aproximación inicial 10 cm; h. por ultimo, usando el valor obtenido en el apartado anterior, estima el resto de

magnitudes del envase. 108. En la siguiente figura se muestra un segmento de un círculo delimitado por la cuerda

AB. Determinar el valor del ángulo para que el área sombreada sea ¼ del área del círculo. Usar cualquier método de resolución.

x

x




27

109. En la siguiente figura se muestra la sección de un tanque esférico con diámetro interior

D = 2m. el tanque se llena con agua salada con densidad 1.025 t/m3 hasta una altura h. Calcular el valor de h para que la masa total de agua sea 2 ton. Obs.: volumen del casquete esférico es V = h2 (3 r - h)/3

110. El perfil de un abrevadero de longitud L es un semicírculo de radio r (ver figura). Cuando está

lleno hasta una distancia h del borde superior el volumen V de agua que contiene viene dado por

2222

)(2

hrhrh

arcsenrr

LV

Si L = 10m, r = 1m y V = 12,4m3 determina la

profundidad de agua que hay en el abrevadero con un error máximo de 1cm.

111. Una partícula parte del reposo y de desliza por un plano inclinado cuyo ángulo de inclinación

cambia con respecto al tiempo t con velocidad constante , es decir ddt= . Se sabe que después de t segundos la partícula ha recorrido una distancia x = x(t) dada por

)sin(22

)( 2 tee

wg

txtt

donde g es la fuerza de la gravedad que se supone constante e

igual a 9,8m/s2. Si la partícula recorre 1,7m en 1 segundo, determina con una precisión de 10-5 la velocidad .

h




28

INTEGRALES DEFINIDAS Calcule las siguientes integrales. Asuma la función f(x).

Jacobi polynomials : 1

0

)( dxxfxk

Legendre Polynomials : b

a

dxxbxf )(

Legendre polynomials : dxxb

xfb

a

)(

Chebyshev Polynomials :

1

121

)(dx

x

xf

Chebyshev Polynomials :

b

a

dxbxax

xf )(

Laguerre Polynomials :

0

)( dxxfe x

Hermite Polynomials :

dxxfe x )(2

Special Polynomials : 1

0

)(log)( dxxxf e

1. Halle el área de la superficie limitada por la catenaria: )cosh(axay , y la recta y=2a.

2. Encuentre el potencial eléctrico (V) a lo largo del eje de un disco uniformemente

cargado de radio a y carga por unidad de área .

El cálculo del potencial en un punto axial P ubicado a una distancia x del disco, se simplifica al dividir el disco en anillos de área 2rdr. La carga sobre dicho anillo es dq=dA=2rdr. Por lo que el potencial en el punto P debido a este anillo está dado por:




29

2222

2

xr

rdrk

xr

kdqdV

3. El espacio entre un par de tubos coaxiales se llena completamente con silicon como

muestra la figura. El radio del tubo interior es a=0.5cm, el radio del tubo exterior es b=1.75 cm y la longitud de los tubos es de L=15 cm. Calcule la resistencia total del silicon cuando es medida entre el tubo interior y el exterior.

drrL

dR

2 , donde

b

a

drR

dR es la resistencia de la sección del conductor de espesor dl y de área A. para el silicon es de 640*m. Si una diferencia de potencial de 12 Voltios se aplica entre los tubos de cobre interior y exterior, calcule la corriente que pasa a través de ellos. 4. El cuerpo de revolución mostrado se obtiene al girar la curva dada por 22/1 xy

con 20 x en torno al eje x. Calcule el volumen utilizando los tres métodos con un

error menor a 1e-3. El volumen está dado por: 2

0

)( dxxfv donde

222/1*)( xxf

5. La longitud de arco de una curva en coordenadas polares está dada por:

b

a

dddr

rL

22 . Calcule la longitud de arco de la curva dada por




30

)cos(1*2 r con 0 utilizando los métodos de integración descritos.

dddr

rdrrdds2

222

evalúe para a=0 y b=

6. Un problema que se encuentra a menudo en Ingeniería, es calcular la cantidad de

calor necesaria para elevar la temperatura de un material. La característica necesaria para realizar este cálculo es la capacidad calórica C. Este parámetro representa la cantidad de calor necesaria para elevar una unidad de masa a una unidad de temperatura. Si C es la constante sobre el rango de temperaturas que se van a examinar, el calor necesario H se calcula como H=m*c*T, en donde c tiene unidades de calorías por gramo por grado centígrado, m es la masa en gramos (gr) y T es el cambio de temperatura en (ºC)- Ej. La cantidad de calor necesaria para elevar 20gr de agua de 5ºC a 10ºC es igual a H=(209*(1)*(10-5)= 100 Calorías. Tal valor es adecuado para T pequeños, en rangos mayores de temperatura, la capacidad calórica no es constante. Ej. La capacidad calórica de un material aumenta de acuerdo a relaciones tales como: 274 10*64.210*56.1132.0)( tttC . Calcular el calor necesario para elevar 1000gr de material de –100ºC a 200ºC

2

1

2

1

)(*)(

)(12

t

t

t

t

dttCmHdttt

tCtC . Resolver aplicando los tres métodos descritos

con un error menor a 1e-3. 7. Al viajar por un camino secundario un motociclista anota la velocidad de su vehículo

cada 4 minutos, obteniendo los siguientes valores:

hora Velocidad(Km./hr)

9:00 60 9:04 65 9:08 70 9:12 60 9:16 40 9:20 45 9:24 40 9:28 40 9:32 35 9:36 37




31

9:40 45 9:44 50 9:48 55 9:52 60 9:56 70 10:00 65

Si el odometro del coche no funciona, estimar la distancia recorrida dada por la integral: d = v dt Aplicar las reglas de simpson para a) para lecturas cada 4 minutos. b) Para lecturas cada 12 minutos.




32

VECTORES Se tienen N datos almacenados en un vector. Desarrolle un algoritmo que permita calcular lo siguiente: 1. Cual es el mayor valor almacenado y su respectiva posición. 2. Cual es promedio de todos los datos almacenados 3. Cuantos datos son positivos y cuantos son negativos 4. Cuantos datos impares se encuentran almacenados 5. Cuantos datos impares hay, que sean mayores que el promedio 6. Que encuentre la posición J, tal que X(j) contenga el mayor valor absoluto de X. 7. Considérese una sucesión de números reales, MiXi ,...3,2,1,, , el promedio se define

como M

xxxxx m

....321 . La desviación con respecto al promedio es: )( xxd ii

y la desviación estándar es:

Mddd M

222

21 ...

. Leer M valores, almacenarlos en

un vector y calcular a dichos valores las desviaciones a cada uno de ellos y la desviación estándar.

8. Calcularle al ejercicio anterior las varianzas utilizando las siguientes fórmulas.

222

21 )(...)(

1xxxxxx

Mv M y 222

322

21 )...(

1xxxxx

Mv m

En las fórmulas anteriores x es el valor medio de los M valores almacenados en el vector.

9. Si los N valores están almacenados en un vector X, desarrolle un algoritmo que le permita intercambiar los valores de X1 con X2, X3 con X4 y así sucesivamente. Se supone que N es par.

10. Si los N valores están almacenados en un vector X, desarrolle un algoritmo que le

permita intercambiar los valores de X1 con X2 solo si X1>X2, X3 con X4 solo si X3>X4 y así sucesivamente. Se supone que N es par.

11. Permute los valores del vector X, de tal forma que X1 contenga el valor original de X2,

X2 contenga el valor original de X3, X3 contenga el valor original de X4 y así sucesivamente hasta que en la posición Xn se guarde el valor original de X1.




33

12. Permute los valores del vector X, de tal forma que X2 contenga el valor original de X1, X3 contenga el valor original de X2, X4 contenga el valor original de X3 y así sucesivamente hasta que en la posición X1 se guarde el valor original de Xn.

13. Desarrolle un algoritmo que permita la captura de m valores para almacenarlos en el

vector Z y de n valores para almacenarlos en el vector Y, m y n son valores diferentes y deben leerse desde teclado.

14. Desarrolle un algoritmo que permita ordenar cada uno de los vectores de manera

ascendente o descendente. El algoritmo debe dar la opción de escoger la forma de ordenamiento.

15. Desarrolle un algoritmo que le permita mezclar los datos de los vectores del ejercicio

anterior en un tercer vector W y cuyo resultado sea el de un vector W donde el número de datos sea m+n igualmente ordenados.

16. Desarrolle un algoritmo que permita realizar Z intersección Y. 17. Desarrolle un algoritmo que permita realizar Z unión Y. 18. Se tienen n datos almacenado en un vector A y n datos en un vector B. Cada posición

del} cada uno de los vectores almacena datos de una sola cifra "del 0 al 9". Multiplique los dos vectores de tal forma que el resultado de la multiplicación algebraica de los datos almacenados en cada vector así:

A = 1 3 4 6 8 B = 2 4 5 2 1 Para el caso del ejemplo n valdrá 5. Las multiplicaciones serán: 1. A4*B4 = 1*8 = 8 2. A3*B4+A4*B3 = 6*1+2*8 = 22 3. A2*B4+A3*B3+A4*B2 = 4*1+6*2+8*5 = 56 4. A1*B4+A2*B3+A3*B2+A4*B1 = 3*1+4*2+6*5+8*4 = 73 5. A0*B4+A1*B3+A2*B2+A3*B1+A4*B0 = 1*1+3*2+4*5+6*4+8*2 = 61 6. A0*B3+A1*B2+A2*B1+A3*B0 = 1*2+3*4+4*4+6*2 = 42 7. A0*B2+A1*B1+A2*B0 = 1*5+3*4+4*2 = 25 8. A0*B1+A1*B0 = 1*4+3*2 = 10 9. A0*B0 = 1*2 = 2

El vector resultante tendrá los siguientes datos. 2 10 25 42 61 73 56 22 8 Como cada posición debe tener un solo digito entonces quedará así: 3 2 9 8 7 8 8 2 8.




34

Simplemente se almacena la ultima cifra y lo que quede se deja llevando para la casilla de atrás.




35

MATRICES 1. Desarrolle un algoritmo que le permita leer dos dimensiones a,b donde a representa las

filas de una matriz y b el número de columnas, e inmediatamente permita la captura de todos los coeficientes de dicha matriz en la variable A de tamaño a*b.

2. Escriba la posición donde se encuentra el mayor valor y el menor valor almacenado en

dicha matriz. 3. Con los datos anteriores desarrolle un algoritmo que deje en la variable C la suma de

A+A 4. Desarrolle otro algoritmo que lea otra matriz similar a la del problema 1 y almacene los

valores en B. 5. Dejar en D, la matriz resultante de multiplicar A*B. Para este caso se debe verificar que

dicha multiplicación se pueda realizar. 6. Para el ejercicio 1 encuentre la determinante de A. 7. Deje en la variable E de tipo matriz, el valor de A4. 8. Encuentre la inversa de la matriz A del problema 1 y dejar su resultado en la matriz F. 9. Desarrolle un algoritmo que le permita leer un vector Z de a filas por 1 columna. Y

genera a matrices donde la primera matriz generada sea igual a la matriz A del primer ejercicio pero con la columna primera igual al vector Z, La segunda matriz sea igual a la matriz A pero con la segunda columna igual al vector Z y así sucesivamente. Puede utilizar una tercera dimensión para guardar las a matrices.

10. CUADRADO MAGICO:

3 14 25 6 17 22 8 19 5 11 16 2 13 24 10 15 21 7 18 4 9 20 1 12 23

Generar la matriz anterior de n filas por n columnas, donde n debe ser impar. El número 1 se coloca en la fila (n) columna (n div 2 "Parte entera de la división") y los demás números en forma consecutiva se colocan restando 2 a las filas y restando 1 a las columnas, a la posición donde se encuentra el número inmediatamente anterior. Ej: El número 1 en el




36

caso del ejemplo anterior está en la posición (5,3) y el número 2 quedará en la posición (3,2), donde el primer valor es la fila y el segundo es la columna. En caso de que una posición esté ocupada entonces el número se coloca encima de la posición origen. Hay que tener en cuenta que cuando se sale de la matriz al restar los valores, estos se reacomodarán dentro de valores posibles en la matriz. Siga el ejemplo y entenderá mejor. También puede restarle una posición a las filas y sumar una a las columnas, en caso de estar ocupada la posición entonces se colocará el valor inmediatamente debajo de la posición de origen. El primer valor se colocará en la primera fila en la columna del centro. Vea la siguiente tabla.

17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 22

10 12 19 21 3 11 18 25 2 9

Al final le quedará una matriz en donde la suma de los números debe ser igual en cualquier fila, columna o diagonal de n números. Si en una matriz se tienen los datos de N alumnos del primer semestre de Ingeniería y en cada fila de dicha matriz se tienen las notas de 6 Materias así; Química, Física, Cálculo, Ingles, Introducción, Informática, desarrolle un algoritmo que le permita realizar lo siguiente: 11. Indicar la posición de estudiante con mejor promedio 12. Indicar cual es la mejor nota en cada una de las asignaturas. 13. Indicar cual es el promedio de todas las notas del grupo. 14. Indicar cual es la asignatura con mayor promedio en el grupo. 15. Indicar cual es asignatura con menor promedio en el grupo 16. Indicar el promedio de notas de cada estudiante. 17. Indicar cual es la menor de todas las notas y a que asignatura pertenece.




37

ECUACIONES SIMULTANEAS LINEALES

1. Cálculo de corrientes

La corriente I en la malla1 se calcula apoyado en la ley de Ohn (V=I*R). Se puede decir entonces que en la malla anterior: V1=Imalla1*(R1+R2+R3), esto debido a que las resistencias están en serie. Si V1=12Voltios (12V) y cada una de las resistencias de 1K entonces la I de dicha malla será: Imalla1=V1/(R1+R2+R3)=12V/3K=4*10-3Amperios ó 4 MiliAmperios. Si se tiene un sistema de mallas como l descrito en la figura siguiente, para

resolverlo se asume la dirección de la corriente (en este caso en el sentido de las manecillas del reloj). Si se hace el análisis a la mallaA, se tiene lo siguiente:




38

En esta malla como no hay fuente de voltaje entonces se tiene: V=I*R 0=I*R. Al observar la figura se nota que por esta malla circulas tres corrientes (I1,I2,I3) y la (I2,I·) circulan en sentido contrario a la I1, entonces la ecuación para esta malla quedará así: 0=I1(R1+R2+R3)-I2(R2)-I3(R3) Si analiza la malla tres tendrá la siguiente ecuación: V1=I2(R2+R4)-I1(R1)-I3(R4) Analizando la mallaC se tiene: -V2=I3(R4+R3)-I2(R4)-I1(R3) Al final se tiene una ecuación pata cada una de las mallas, lo que nos da un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que se puede resolver utilizando uno de los métodos para solucionar ecuaciones simultáneas. I1(R1*R2+R3) - I2(R2) - I3(R3) = 0 -I1(R1) + I2(R2+R4) - I3(R4) = V1 I1(R3) + I2(R4) - I3(R3+R4) = V2 Desarrolle un algoritmo que permita calcular: a. La corriente que circula por cada una de las mallas (I1,I2,I3) b. Calcular la corriente que circula por cada una de las resistencias así como su dirección. Mantenga el valor de V1=12 y varíe el valor de V2 desde 1V hasta 20V de 0.5v en 0.5 y encuentre lo anterior para cada caso determinado. 2. Otra forma de resolver este tipo de problemas es haciendo uso de las leyes de corriente de Kirchhoff y la ley de Ohm. La ley de corriente dice que la suma algebraica de todas las correintes sobre un nodo debe ser igual a 0. Tenga en cuenta que todas las correintes que entran al nodo tienen signo positivo. La ley de Ohm dice que la corriente a través de una resistencia está dada en función del cambio de voltaje y de la resistencia.




39

determínese el valor de cada una de las corrientes (I) y cada uno de los voltajes (V) en cada nodo. 2. Supongase que tres cajas se conectan por medio de cuerdas muy ligeras mientras

caen libremente a una velocidad de 10m/s. Calcúlese la tensión en cada cuerda y la aceleración del las cajas, dada la siguiente información:

Caja Masa, kg Coeficiente de Rozamiento Kg/s 1 70 10 2 60 14 3 40 17 3. Un Ingeniero Industrial supervisa la Producción de cuatro tipos de Osciloscopios. Se

requiere cuatro clases de recursos (Horas-hombre, Metales, Plásticos y Componentes Electrónicos) en la producción. En el cuadro abajo se resumen las cantidades necesarias para cada uno de estos recursos en la producción de cada tipo de Osciloscopio.

Si se dispone diariamente de 504 horas-hombre, 1970 Kg de metal, 970Kg de plástico y 601 componentes electrónicos. ¿Cuántos Osciloscopios se pueden construir de cada tipo por dia? Oscil Horas/hombre Metales Plásticos Componentes 1 3 20 10 10 2 4 25 15 8




40

3 7 40 20 10 4 20 50 22 15 Nota: Cada valor anterior representa cantidad por equipo. 4. Un problema de importancia en Ingeniería Estructutral es elde encontrar las fuerzas y

reacciones asociadas con una armadura estáticamente determinada. La figura siguiente muestra el ejemplo de tales armaduras.

Las fuerzas F representan ya sea las tensiones o las compresiones de los elementos de la estructura. Las reacciones externas (H2,V2,V3) son fuerzas que caracterizan como interacciona la armadura con la superficie que la soporta. El efecto de la carga externa de 1000Kg se distribuye a todos los elementos de la armadura. 5. Úsese la eliminación gaussiana para resolver: 3X2 - 13X3 = -50 2X1 - 6X2 + X3 = 44 4X1 + 8X3 = 4 Empléese el pivoteo y compruebe la respuesta: 6. Resuélvase el siguiente sistema de ecuaciones: X1 - 3X2 + 12X3 = 10 5X1 - 12X2 + 2X3 = -33 X1 - 14X2 + = -103 a) Por el Método de Eliminación Gaussiana b) Por el Método de Gauss-Jordan c) Por el Método de Gauss-Seidel. 7. Un ingeniero supervisa la producción de 4 tipos de computadoras. Se requieren cuatro

clases de recursos (horas-Hombre, Metales, plásticos y componentes electrónicos) en la producción. En el cuadro se muestran las cantidades necesarias para cada uno de estos recursos en la producción de cada tipo de computadora. Si se dispone diariamente de 856 horas-hombre, 3,050 kg. de metal, 1450 kg. de plástico y 948




41

unidades de componentes electrónicos, ¿cuántas computadoras de cada tipo se pueden construir? Supóngase que las ganancias correspondientes a cada computadora están dadas por los valores en el cuadro 2. ¿Cuánto será el monto de la ganancia total asociado con un día de trabajo? Ahora supóngase que existe la posibilidad de aumentar cualquiera de los recursos disponibles. Realice un estudio de evaluación rápida sobre los beneficios que se obtendrán al incrementar cada uno de los recursos y explique el comportamiento al aumentar los recursos, también recomiende en que recursos es mejor invertir a fin de aumentar la utilidad. (Utilice el criterio de la matriz inversa para determinar la variación unitaria).

8. Una fábrica produce los artículos A, B, C. Para fabricar el articulo A emplea la máquina

M durante 2 horas, la máquina N durante 5, y la máquina Z durante 3 horas. Para fabricar el artículo B se emplea la máquina M durante 3 horas, la máquina N durante 2 horas y la máquina Z durante 3 horas. Para fabricar el articulo C se emplea la máquina M durante 1.5 hora, la máquina N durante 2.5 horas y la máquina Z durante 3 horas. Si la máquina M está disponible 176 horas al día, la máquina N durante 228 horas, la máquina Z durante 250 horas. Determinar el número máximo de productos A,B y C, que se pueden fabricar en un día. Utilice método de Eliminación de Gauss o Gauss-Jordan.

9. Utilice el método de Gauss-Seidel y resuelva el siguiente sistema de ecuaciones:

(Tolerancia de 0.01 y 4 cifras de decimales. Realice al menos 4 iteraciones). Analiza el sistema antes de empezar la solución. X1 - 6X2 + 4X3 = 13 -12X1 +X2 -7X3 = 80 2X1 -X2 +10X3 = 92




42

AJUSTE DE CURVAS 1. La cantidad de madera en un bosque joven crece de la siguiente forma según las

observaciones realizadas en un experimento controlado por la CNA. Después se pretende en un proyecto de inversión a 10 años predecir la cantidad de madera que obtendremos al final del periodo de 1 a 10 años:

Año 1 2 3 4 5 6 Cantidad de madera (m3) 100 103 107 110 114 118

a) Realice una regresión lineal. (10) b) Realice una regresión polinomial de segundo grado. (10) c) Cual es el mejor ajuste. (30) d) Cual será la cantidad de madera aproximada en el año 10 si utilizas el mejor

ajuste resultante en el inciso C (10) e) Calcule el coeficiente de coorelación.

2. En unas tablas estadísticas se encontraron los siguientes valores tabulares para

distribución normal estandarizada: Zc P(Z< Zc) 0.40 0.6554 0.41 0.6591 0.42 0.6628 0.43 0.6664 a) A partir de estos datos determinar a que valor de Zc ,la probabilidad P(Z< Zc) es igual a 0.66

3. Las notas obtenidas por 10 alumnos de Matemáticas y Música son:

Alumno Mat. Mús.

1 6 6.5

2 4 4.5

3 8 7

4 5 5

5 3.5 4

6 7 8

7 5 7

8 10 10

9 5 6

10 4 5




43

Se pide: a. Calcular la covarianza, correlación y recta de regresión b. ¿Cuál sería la nota esperada en Música de un alumno que haya obtenido 8.3

en Matemáticas así como el intervalo de confianza del 95%?

4. Se extrae aleatoriamente x entre ]1,1[ .

a. Obténgase la correlación entre la variable x e 2xy

b. ¿Pueden ser dos variables aleatorias incorrelacionadas y al mismo tiempo dependientes?

5. El muestreo de áreas contiguas se usa en ecología para contar el número de especies

distintas de plantas por área. El modelo que relaciona S (número de especies) con el área A es:

cAdS )ln( en el que d representa un índice de diversidad y el número de especies por área unidad. Se pide:

a. Calcular d,c y el coeficiente de determinación 2r para los siguientes datos:

A (Sup. ) S (N. especies)

1 2

2 4

4 7

8 11

16 16

32 19

64 21

b. Analizar si serían adecuados los modelos:

1. Exponencial: bAaeS

2. Potencial: baAs

6. Hallar un intervalo de confianza con coeficiente de confianza del 95% para la media

de una distribución ),( omN , donde o es conocido, en muestras de tamaño n. 7. Una muestra de tamaño 16 de un cierto tipo de transitores ha presentado una vida

media de 735 horas. Se conoce la desviación típica 12 horas. Se pide: a. Hallar un intervalo de confianza para la vida media poblacional m al 95%. Se

supone normalidad. b. ¿Se puede aceptar que es m=750 horas con confianza del 97.5%?




44

8. Se hace un envío de latas de conserva, de las que se afirma que el peso medio es de 1000gr. Examinada una muestra de 5 latas, se han obtenido los siguientes pesos: 995, 992, 1005, 998 y 1000. ¿Puede mantenerse la hipótesis de que m=1000, con un nivel de confianza del 95%?. Hállese, además, un intervalo de confianza del 95% para

. (se supone normalidad) 9. Un metalúrgico ha realizado 4 determinaciones del punto de fusión del magnesio:

1269, 1271

, 1263

y 1265

. Según un manual, el punto de fusión es 1260

. ¿Están

de acuerdo los datos con el manual o debe aceptar que el punto de fusión es mayor?. Tomar un 95% y un 99% de nivel de confianza.

10. De una muestra de tamaño 18 de una población normal, se ha obtenido la siguiente

media y varianza muestral: 82.26x 33.612 s

Se pide:

a. Hallar un intervalo de confianza del 99% para la media poblacional.

b. ¿Podemos admitir que la varianza poblacional es 502 ?. Tómese al 95%.

11. Las varianzas muestrales de dos poblaciones normales independientes son 2.7021 s

y 8.7622 s . Sabiendo que los tamaños de las muestras son 86 y 121, se pide: a. Demostrar que puede admitirse que las varianzas poblacionales son iguales,

con un nivel de confianza del 95%. b. Hallar un intervalo de confianza del 90% para la varianza poblacional, que se

supone común para las dos poblaciones.

12. Los errores aleatorios de dos aparatos de medida siguen la distribución ),0( 1N y ),0( 2N . Se han detectado los siguientes errores:

Primer aparato 0.3 0.7 -1.1 2.0 1.7 -0.8 -0.5

Segundo aparato 1.6 -0.9 -2.8 3.1 4.2 -1.0 2.1 Se desea saber si el primer aparato posee mayor precisión que el segundo. 13. Un botánico observa la longitud y la anchura de una muestra de 16 hojas de una

determinada especie:

Hoja Anchura Longitud

1 2.1 4.1

2 2.4 6.0

3 3.6 5.5

4 3.7 8.2




45

5 4.3 7.5

6 5.1 12.6

7 5.5 8.1

8 5.8 10.8

9 5.9 7.2

10 6.6 13.1

11 7.4 11.3

12 8.2 15.6

13 8.8 13.4

14 9.0 19.0

15 9.1 15.8

16 9.8 14.6

Suponiendo normalidad, se pide: ¿Son independientes la anchura y la longitud de estas hojas en la población? Tómese al 99.9% 14. Las ventas de café de las cafeterías se supone que son función del número de

camareros. Para distintas cafeterías se han obtenido los datos siguientes:

cafetería camareros ventas de café

1 0 508.1

2 0 498.4

3 1 568.2

4 1 577.3

5 2 651.7

6 2 657.0

7 4 755.3

8 4 758.9

9 5 787.6

10 5 792.1

11 6 841.4

12 6 831.8




46

13 7 854.7

14 7 871.4

El modelo que se supone que representa esta relación es: 2

210 xxy Determinar la validez del modelo. 15. Repetir el problema anterior suponiendo un modelo en el que no hay término

independiente, es decir: 2

21 xxy 16. Para las funciones dadas f(x), sean x0=0, x1=0.6 y x2=0.9. Construya polinomios de

interpolación de grados uno y dos a lo máximo para aproximar f(0.45), y calcule el error real.

a. f(x)=cos x b. f(x)= 51

c. f(x)=ln(x+1) d. f(x)=tan x 17. Aplique el teorema referente al error en la interpolación para calcular la cota de error en

las aproximaciones del ejercicio 1.

18. Sean f(x)= 2xx y P2(x) el polinomio interpolante en x0=0, x1, y x2=1. Calcule el valor más grande de x1 en (0,1) para el cual f(0.5)-P2(0.5)=-0.25.

19. Aplica el método de Neville para aproximar 3

a. Con los valores x0=-2, x1=-1 , x2=0 , x3=1 y x4=2, y la función f(x)=3x b. Con los valores x0=0, x1=1 , x2=2 , x3=4 y x4=5, y la función f(x)= x c. Calcula la cota de error en cada caso.

20. Use el polinomio interpolante de Lagrange de grado tres o menos y la aritmética de

corte a cuatro dígitos para aproximar cos 0.75 por medio de los siguientes valores. Calcule una cota de error para la aproximación.

cos 0.698=0.7661 cos 0.733=0.7432 cos 0.768=0.7193 cos 0.803=0.6946

El valor real de cos 0.750 es 0.7317 (con una exactitud de cuatro cifras decimales). Explique que la discrepancia existente entre el error real y la cota de error.

21. Use los siguientes valores y la aritmética de redondeo a cuatro dígitos para construir

una aproximación del tercer polinomio de Lagrange a f(1.09). La función que va a ser aproximada es f(x)=log10(tan x). Conociendo lo anterior, calcule una cota del error en la aproximación.




47

f(1.00)=0.1924 f(1.05)=0.2414 f(1.10)=0.2933 f(1.15)=0.3492

22. Repita el ejercicio Anterior usando el MatLab y la aritmética de redondeo a diez dígitos. 23. Sea f(x)=ex, para 0x2.

a. Aproxime f(0.25) mediante la interpolación lineal con x0=0 y x1=0.5. b. Aproxime f(0.75) mediante la interpolación lineal con x0=0.5 y x1=1. c. Aproxime f(0.25) y f(0.75) mediante el segundo polinomio interpolante con x0=0,

x1=1 y x2=2. d. ¿Cuáles aproximaciones son mejores y por qué?

24. Escribe en pseudocódigo el algoritmo para calcular el polinomio de interpolación de

Lagrange que pasa por n+1 puntos. 25. Use la fórmula de diferencias divididas interpolantes de Newton para construir

polinomios interpolantes de grado uno, dos y tres con los siguientes datos. Use cada uno de los polinomios para aproximar el valor especificado.

a. f(8.4) si f(8.1)=16.94410, f(8.3)=17.56492, f(8.6)=18.50515, f(8.7)=18.82091 b. f(0.9) si f(0.6)=-0.17694460, f(0.7)=0.01375227, f(0.8)=0.22363362,

f(1.0)=0.65809197 26. Con una función f la fórmula de las diferencias divididas interpolantes de Newton da el

polinomio interpolante

P3(x)=1+4x+4x(x-0.25)+3

16 x(x-0.25)(x-0.5)

en los nodos x0=0, x1=0.25, x2=0.5 y x3=0.75. Obtenga f(0.75). 27. Con una función f las diferencias divididas progresivas están dadas por

x0=0.0 f[x0] f[x0,x1]

x1=0.04 f[x1] f[x0,x1,x2]=

7

50

f[x1,x2]=10 x2=0.7 f[x2]=6

Determine los datos que faltan en la tabla. 28. Escribe en pseudocódigo el algoritmo para calcular el polinomio de interpolación de

Newton que pasa por n+1 puntos. 29. Construir el polinomio de Hermite de aproximación para los siguientes datos.




48

a. b.

151762.350515.186.8

116256.356492.173.8

)(')( xfxfx

0466965.265809197.00.1

1691753.222363362.08.0

)(')( xfxfx

c. d.

0020000.41010000.10

1890000.23349375.025.0

7510000.00247500.05.0

)(')(

xfxfx

16529366.224842440.04.0

66668043.200660095.03.0

14033271.328398668.02.0

58502082.362049958.01.0

)(')(

xfxfx

30. Los datos del ejercicio 15 se generaron por medio de las siguientes funciones. Use los

polinomios construidos en el ejercicio 15 para el valor dado de x y con ellos aproxime f(x) y calcule el error real.

a. f(x)=x ln x; aproximar f(8.4). b. f(x)=sen (ex-2); aproximar f(0.9).

c. f(x)=x3+4.001x2+4.002x+1.101; aproximar

31

f

d. f(x)=x cos x-2x2+3x-1; aproximar f(0.25) 36. a. Use los siguientes valores y la aritmética de redondeo a cinco dígitos para construir

un polinomio interpolante de Hermite que le permita aproximar sen 0.34.

93937.034290.035.0

94924.031457.032.0

95534.029552.030.0

xcosxsen Dxxsenx

b. Determine una cota de error para la aproximación de la parte (a) y compárela con

el error real c. Agregue sen 0.33=0.32404 y cos 0.33=0.94604 a los datos y vuelva a efectuar los

cálculos. 37. Sea f(x)=3xex-e2x.

a. Aproxime f(1.03) por medio del polinomio interpolante de Hermite de grado máximo tres utilizando x0=1 y x1=1.05. Compare el error real con la cota de error.

b. Repita (a) con el polinomio interpolante de Hermite de grado máximo cinco, utilizando x0=1, x1=1.05 y x2=1.07




49

38. Use la fórmula de error y Mathematica para encontrar una cota de los errores en las aproximaciones de f(x) en las partes (a) y (c) del ejercicio 16.

39. Escribe en pseudocódigo el algoritmo para calcular el polinomio de interpolación de

Hermite para n+1 puntos. 40. Un spline cúbico natural S en [0,2] está definido por: S0(x)=1+2x-x3 si x [0,1] S1(x)=a+b(x-1)+c(x-1)2 +d(x-1)3 si x [1,2]

Obtener a,b,c, y d. 41. Obtener el spline cúbico natural S para los datos:

(0,0), (0.5,0.51060), (1.5, 0.72020) y (2,1.01502)

42. Un spline cúbico sujeto S en [1,3] para la función f está definido por: S0(x)=3(x-1)+2(x-1)2 –(x-1)3 si x [1,2] S1(x)=a+b(x-2)+c(x-2)2 +d(x-2)3 si x [2,3]

Dado que f ’(1)=f ’(3), obtener a,b,c, y d.

43. Calcular la matriz de covarianzas para las variables xx 1 y 2

2 xx del problema 12 y determinar las componentes principales.




50

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 1. Resuélvase el siguiente problema con valor inicial sobre el intervalo de X=0 a X=1

con h = 0.5

yxdxdy y(o) = 1

Utilice el método de Runge-Kutta de cuarto Orden para encontrar el valor original de la función diferencial.



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