UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA ELÉCTRICA

PROBLEMAS DE ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO

PROFESOR : Ing. JORGE MONTAÑO PISFIL

PROBLEMAS RESUELTOS DE FUERZA ELÉCTRICA

Problema No 1

Resolución

Cálculo de F

(Fuerza eléctrica ejercida por Q sobre q )

Como se trata de una distribución de carga lineal, la fuerza eléctrica F

se calcula aplicando la ley de

Coulomb: forma vectorial. Para ello, tomamos primero un elemento diferencial de carga dQ (Ver figura) y

hallamos la fuerza ejercida por dQ sobre q . Luego, mediante un proceso de integración, calculamos la

fuerza total F

ejercida por la carga Q sobre q .

Por ley de Coulomb: forma vectorial, la fuerza eléctrica entre dQ y q , viene expresada por:

2 1

3

0

2 1

( )( )

4

r rdQ qd F

r r

; donde: dQ = d

x

y

0

a

x

x

y

0

a

dQ

-q

θ

x x

y

0

a

-q

y

θ α

dQ

Una carga positiva Q se distribuye

uniformemente a lo largo del eje y positivo entre

0y y y a . Una carga puntual negativa q

está sobre el eje x positivo, a una distancia x

del origen (ver la figura). Calcule la fuerza

eléctrica F

que la distribución de carga ejerce

sobre la carga q .

Integrando la expresión anterior, la fuerza eléctrica F

viene dada por:

. . . (1)

De la figura: d dy ; 1ˆr y j ; 2

ˆr xi ; 2 2

2 1r r x y . Además: Q

a

Reemplazando en (1), la ecuación queda:

3 2

2 20 0

ˆ ˆ

4

a xi y j dyq QF

a x y

Luego:

3 3

2 2 2 22 20 0 0

ˆ ˆ4

a aqQ dy y dy

F xi ja x y x y

2 2 2

0

a

y

x x y

2 2

0

1a

x y

Resolviendo se obtiene: 2 2 2 2

00

1 1ˆ ˆ44

qQ qQF i j

a xx x a x a

OTRO MÉTODO DE RESOLUCIÓN: Utilizando:

2

0

ˆ4

q dQF r

r

. . . (2)

Reemplazamos en (2):

2 2

0

ˆ ˆcos

4

dy i sen jqF

x y

2

0

sec

4

q x

2 2sec

d

x

ˆ ˆcos i sen j

0 0 0

ˆ ˆcos4

q QF i d j sen d

x a

0

sen

0

cos

d F

De la figura:

ˆ cos ;r sen = ˆ ˆcos i sen j

2 2 2r x y

ytg y xtg

x

2secdy x d

Luego:

y

x x 0

a

-q

y

θ

dQ

θ

2 1

3

0 2 14

q dl r rF

r r

Evaluando las integrales y simplificando se obtiene:

2 2 2 2

00

1 1ˆ ˆ44

qQ qQF i j

a xx x a x a

Este resultado obtenido es igual al obtenido por el primer método de resolución.

Problema No 2

Una carga positiva Q está distribuida uniformemente a lo largo del eje x entre 0x y x a . Una

carga negativa Q está distribuida a lo largo del eje x entre 0x y x a . Una carga puntual positiva

q se encuentra sobre el eje y positivo, a una distancia y del origen. Encuentre la fuerza eléctrica que las

distribuciones de carga positiva y negativa ejercen juntas sobre q .

Resolución

Según el enunciado del problema, la figura sería:

Este problema lo podemos resolver aplicando el Principio de superposición, aplicado a las fuerzas. Es

decir, la fuerza eléctrica resultante RF

que actúa sobre q es igual a la suma de las fuerzas eléctricas, 1F

y 2F

, que ejercen sobre la carga q , cada una de las varillas, Q y Q respectivamente, por separado. Es

decir: 1 2RF F F

. . . (1)

Hallo 1F

(fuerza eléctrica sobre q debido a Q )

y

x

y

De la figura:

1r x i

; 2r y j

2 2

2 1r r x y

Además:

1dQ d Q

dQ dxa

Para una distribución de carga lineal, se cumple que: 2 1

3

0 2 14

dl r rqF

r r

Luego:

1

1 3 22 2

0 04

a y j x i dxq

F Fx y

; donde: 1

Q

a

y d dx

Desarrollando se obtiene: 12 2 2 2

0

1 1

4

qQ aF j i

a yy y a y a

Hallo 2F

(fuerza eléctrica sobre q debido a Q )

Para calcular 2F

, se procede en forma similar como en 1F

. En este caso, la figura sería:

Por ley de Coulomb - forma vectorial: 2 1

3

0 2 14

dl r rqF

r r

Luego:

0

22 3 2

2 20

( )

4a

y j x i dxq

Fx y

; donde: 2

Q

a

y d dx

Resolviendo se obtiene: 22 2 2 2

0

1 1

4

qQ aF j i

a yy y a y a

Reemplazando los resultados obtenidos de 1F

y 2F

en la ecuación (1), y simplificando obtenemos:

2 20

1 1

2R

qQF i

a y y a

x

y

De la figura:

;

Además:

q

Q

Q

a

-a

a 3a -a

y

x O

q

Q

-a

o

y

x

a

-a

* Vamos asumir que el semianillo

tiene una densidad de carga lineal

“ ”.

* Esta densidad de carga lineal

es igual a .

Problema No 3

La figura muestra dos distribuciones de carga lineal, Q cada una, y una carga puntual “q”. Hallar la fuerza

eléctrica resultante sobre la carga puntual “q”.

Resolución

Sobre la carga puntual “ q ” actúan dos fuerzas eléctricas, una ejercida por el semianillo y la otra ejercida

por la varilla. Por lo tanto, para calcular la fuerza eléctrica resultante sobre esta carga “ q ” aplicamos el

Principio de Superposición. Es decir: varR semianillo illaF F F . . . (1)

Cálculo de SEMIANILLOF

(fuerza del semianillo sobre la carga puntual “ q ”)

La fuerza ejercida por una distribución lineal, de densidad , sobre una carga puntual “ q ”, está dada por:

2

0

ˆ4

q dlF r

r

. . . ( )

Del gráfico podremos obtener: ˆ ˆˆ ( cos )r sen i j

Reemplazando en ( ), tenemos:

q

Q o

y

x

a 3a

x d

x

* Vamos asumir que la varilla

tiene una densidad de carga

lineal “ ”.

* Esta densidad de carga

lineal es igual a .

2

0 0

0 0

ˆ ˆ( cos )4

ˆ ˆ( cos )4

SEMIANILLO

SEMIANILLO

q adlF sen i j

a

qF sen d i d j

a

0 0

ˆ ˆ(2 0) ...( )4 2

SEMIANILLOq q

F i ia a

Reemplazando Q

a

, tenemos: 2 2

0 0

( / ) ˆ ˆ(2 )2 2

semianillo

Q a q QqF i i

a a

Cálculo de VARILLAF

(fuerza de la varilla sobre la carga puntual “ q ” )

La fuerza ejercida por una distribución lineal, de densidad “ ”, sobre una carga puntual “ q ” está dada por:

2

0

ˆ4

q dlF r

r

… ( )

Del gráfico podremos obtener: ˆr i

. Reemplazando en la ecuación ( ), tenemos:

3

2

0 0

0

2

0 0

1ˆ ˆ( ) ( ) ( )4 4

1 1 ˆ( )( )4 3

2 ˆ ˆ( )( ) ( ). . . ( )4 3 6

a

VARILLA

a

VARILLA

VARILLA

q dx qF i i

x x

qF i

a a

q a qF i i

a a

Reemplazando 2

Q

a , tenemos: var

2

0 0

( / 2 ) ˆ ˆ( ) ( )6 12

illaq Q a qQ

F i ia a

Finalmente, reemplazamos en la ecuación (1) las fuerzas calculadas: SEMIANILLOF

y VARILLAF

y obtenemos:

2 2 2 2

0 0 0

1 1ˆ ˆ ˆ( ) ( )2 12 2 6

R R

Qq qQ QqF i i F i

a a a

Problema No 4

Resolución

Reemplazando

1r y

2r tenemos:

Problema No 5

Un hilo infinito con densidad de carga lineal , se halla en la dirección x. Si una carga puntual + q se halla

ubicada en la posición (0, y, 0), aplicando la ley de Coulomb, forma vectorial, calcule la fuerza eléctrica

ejercida por el hilo sobre la carga + q ?

Se sabe que para una distribución de

carga lineal, con densidad , se

cumple:

2 13

0 2 1

( )4

q dlF r r

r r

…(1)

De la figura podemos observar que:

jdrkzr 21 ;

y

z

x

+L/2

-L/2

- q

dF

x

y

z

+L/2

-L/2

- q

d

¿Cuál es la fuerza eléctrica ejercida por

un hilo de longitud L, con densidad de

carga lineal , sobre una carga puntual

q que se halla a una distancia d del

hilo en su plano medio (ver la figura)?

/ 2

2 2 3 / 2

0 / 2

2 2 2 2 2 20

2 2 2 2

0 0

ˆˆ( )4 ( )

/ 2 ( / 2) ˆˆ( ) (0)4 ( / 2) ( / 2)

ˆ ˆ

4 ( / 2) 2 4

L

L

q dzF d j z k

d z

q L LF d j k

d d L d d L

q L q LF j j

d d L d d L

Resolución

La gráfica correspondiente es la siguiente:

Por ley de Coulomb: forma vectorial, para una distribución de carga lineal de densidad , se cumple que:

2 13

0 2 1

...(1)4

q dlF r r

r r

Donde: 1 2

2 2

2 1

ˆ ˆ; ;dx dl r xi r yj

r r y x

Reemplazando en (1), tenemos:

3

2 20

...(2)4

q dxF y j x i

x y

Resolviendo la integral, finalmente obtenemos: 0 0

2 ˆ ˆ4 2

q qF j F j

y y

Problema No 6

La placa semicircular de radio R , con distribución de carga superficial , está ubicada en el plano xz

como se muestra en la figura. Si la carga puntual q se halla en la posición (0, y, 0), ¿cuál es la fuerza

eléctrica ejercida por la placa sobre la carga q ?

y

x

z

2 1r r r

dF

(0, ,0)P y

q

d

1r 2r

x y

Resolución

Se trata de una distribución de carga superficial, y según la ley de Coulomb : forma vectorial, la fuerza

eléctrica F

que ejerce este tipo de carga (placa semicircular, con densidad de carga superficial ) sobre

la carga puntual q , viene dada por:

2 1

3

0 2 14

dA r rqF

r r

. . . (1)

Reemplazando en la ecuación (1) tenemos:

1 1 1 1

2 2 3/ 2

0

( cos )

4 ( ´ )

y j r i r sen k r dr dqF

r y

Como 0

cos 0d

, entonces la integral anterior equivale a:

2

1 1 1 1

2 2 3/2 2 2 3/2

0 1 10 0 0 04 ( ) ( )

R Rr dr r drq

F y j d k sen dr y r y

2 2

1 11

2 2 2 20 1 10 0

1( ) (2)

4

RR

r y rrqF y j k Ln

yy r r y

Resolviendo obtenemos:

2 2

2 2 2 20 0

14 2

R R yq y q RF j Ln k

yR y R y

De la figura:

Problema No 7

Se tiene un sólido cilindro circular recto, de radio R y altura H , que contiene una carga total Q . Calcule la

fuerza eléctrica F

que ejerce este cilindro sobre una carga puntual q ubicada en un punto a una

distancia d del lado derecho del cilindro, como se muestra en la figura.

Resolución

Uno de los métodos de resolución de este problema es tomando como referencia la ecuación conocida de

la fuerza eléctrica que ejerce un disco de radio R , con densidad de carga superficial , sobre una carga

puntual q , ubicada a una distancia y del centro del disco. Esta ecuación se muestra a continuación:

2 20

ˆ12

q yF j

y R

Esta fuerza sería un diferencial de fuerza para el cilindro. Así mismo se cumple que ´dy (en el

elemento diferencial, de área A y espesor ´dy , se cumple que: ´ ´Q A dV A Ady dy ).

Por lo tanto, la ecuación anterior de la fuerza eléctrica queda de la siguiente forma:

2 20

´ ( )́ ˆ12 ( )́

q dy y ydF j

R y y

. . . (1)

d F

R

y

y

q

H d

q

y x

y

z

Q

R

x

H d

q

y

y

z

R

F

Integrando la ecuación (1), tenemos:

2 2

0 0 ' 0

´ ´ˆ´

2 ´

H H

b b

H d y dyqF dy j

H d y R

Resolviendo las integrales, y simplificando, se obtiene:

2 2 2 2

0

ˆ( )2

qF H R y H R y j

Donde: 2

Q

R H

; y H d

Por lo tanto, la ecuación de F

obtenida equivale a:

2 2 2 2

2

0

ˆ( )2

QF H R d R H d j

R H

PROFESOR : Ing. JORGE MONTAÑO PISFIL