1 Los Números Reales y sus Propiedades

1.1 Los Números Naturales

1. Indiquese cual de los axiomas de los número reales justi�ca cada una de las proposicionessiguientes:

(a) 2 � 3 + 2 � 5 = 2 � (3 + 5)(b) (10 + 5) + 3 = 10 + (5 + 3)

(c) (10 � 4) � 10 = (4 � 10) � 10(d) (10 + 2) � (20 + 3) = (10 + 2) � 20 + (10 + 2) � 3

2. En los ejercicios siguientes supongase que x representa un número real desconocido y supongaseque x2 = x � x. ¿Cuál de los axioma justi�ca cada una de las proposiciones que siguen?

(a) (x+ 2) + 3 = x+ (2 + 3)

(b) 4 � (x+ 3) = 4 � x+ 4 � 3(c) (x+ 3) x = x2 + 3x

(d) (2x)x = 2x2

3. Cada una de las proposiciones que siguen pueden justi�carse en dos pasos en cada caso, com-pléntese un paso central e indiquese que axioma justi�ca cada paso.

(a) 5 � 2 + 6 � 2 = (6 + 5) � 2(b) (10 + 2) � (20 + 3) = (10 � 20 + 2 � 20) + (10 � 3 + 2 � 3)(c) (2 + 3) � 7 = 7 � 2 + 7 � 3(d) (8 + 1) � 4 = 8 � 4 + 4

4. Muestre por qué (x+ 1)2 = x2 + (1 + 1)x+ 1; e indiquese que axioma justi�ca cada paso.

5. Muestre por qué (a � b)2 = a2 � b2; e indiquese que axioma justi�ca cada paso.

6. Muestre por qué (a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2; e indiquese que axioma justi�ca cada paso.

7. Hasta ahora no hemos utilizado nuestro conocimiento de las tablas de adición y multiplicaciónde los números naturales. Suponemos que conocemos el valor posicional de las cifras de unnúmero. Para ilustrar el uso de los axiomas podemos descomponer un cálculo corriente enpasos más simples. Indique que axioma justi�ca cada paso

1

37 + 22 = (3 � 10 + 7) + (2 � 10 + 2) Valor posicional de la cifras

= ((3 � 10 + 7) + 2 � 10) + 2= (3 � 10 + (7 + 2 � 10)) + 2= (3 � 10 + (2 � 10 + 7)) + 2= ((3 � 10 + 2 � 10) + 7) + 2= ((3 + 2) � 10 + 7) + 2= (3 + 2) � 10 + (7 + 2)= 5 � 10 + 9 Tablas de adición

= 59

8. Desarróllese el mismo análisis del problema 7 para los cálculos siguientes:

(a) 5 + 37

(b) 6 � 17(c) 12 � 16(d) 64 + 55

1.2 Inverso Aditivo y Sustracción

1. Demuestre que a(�b) = �ab para todos los números reales a y b.

2. Demuestre que la operación de sustracción no es conmutativa; es decir, es posible encontrarnúmeros reales a y b tales que b� a 6= a� b. ¿Qué puede decirse de a y b si b� a = a� b ?

3. Demuestre que la operación de sustracción no es asociativa; es decir, es posible encontrarnúmeros reales a, b y c tales que (a� b)� c 6= a� (b� c).

4. Muestre por qué la operación de sustracción satisface una ley de distributividad; es decir, paraa, b y c en R, se tiene c(b� a) = cb� ca.

5. Demuestre que para a y b en R, �(b� a) = (�b) + a.

6. Demuestre que el inverso aditivo de un número real es único; es decir, si a + u = 0, entoncesu = �a.

1.3 Enteros y Factorizaciones

1. Demuestre que si �n y �m son dos enteros negativos, entonces su producto es un enteropositivo.

2. Demuestre que el producto de un entero negativo y un entero positivo es un entero negativo.

3. ¿Qué hecho de la sección de inversos aditivos y sustracción, garantiza que el producto del entero0 por otro entero es un entero?

2

4. Utilizando los resultados de los tres problemas anteriores, expliquese por qué el conjunto de losenteros es cerrado respecto a la multiplicación.

5. Demuestre que si �n y �m son dos enteros negativos, entonces su suma es un entero negativo.

6. Sea J = fdivisores de 48g yK = fdivisores de 80g. Enumérense todos los elementos deK\J =(el conjuto de los divisores comues de 48 y 80)¿Cuál es el máximo divisor común de 48 y 80?

7. Demuestre que si k es un múltiplo de n y r es un múltiplo de k, entonces r es un múltiplo de n:

8. Sea Zp el conjunto de los enteros pares (Zp incluye a P , el conjunto de los naturales pares).Demuéstrese que el conjunto de Zp es cerrado con respecto a la adición; esto es, si n = 2r ym = 2s son dos enteros pares, entonces su suma es par. ¿Qué axioma se puede utilizar parajusti�car este hecho?

9. Sea Zi el conjunto de los enteros impares; esto es,

Zi = fx jx = 2r + 1 para algún r en Zg

Demuestre que la suma de dos impares es par; esto es, si x = 2r + 1; y = 2s + 1; siendo r y senteros, entonces x+ y = 2t para algún entero t:

10. Demuestre que el conjunto Zi de�nido en el problema anterior es cerrado con respecto a lamultiplicación; esto es, si x e y son impares, entonces x � y = 2u+ 1 para algún u en Z:

11. Demuestre que el producto de tres enteros negativos es un entero negativo.

1.4 Inverso Multiplicativo y División

1. Demuestre que (a+ 1)(a� 1) = a2 � 1, donde a2 = a � a.

2. Demuestre que la operación de división no es conmutativa; esto es, es posible encontrar númerosreales a y b diferentes de cero, tales que b=a 6= a=b:¿Qué puede decirse acerca de a y b si b=a = a=b?

3. Demuestre que la operación de división no es asociativa; esto es, es posible encontrar númerosreales a, b y c diferentes de cero, tales que (a=b)=c 6= a=(b=c).

4. Demuestre que si c 6= 0, entonces (a+ b)=c = (a=c) + (b=c).

5. Demuestre que si a � (b � c) = 0, entonces se tiene a = 0 ó b = 0 ó c = 0.

6. Si (x� a) � (x� b) � (x� c) = 0, ¿qué puede concluirse acerca de x ? (Justi�que su respuesta).

7. Muestrese por qué 0=a = 0 para todo número real a diferente de cero.

8. Demuestre que (a+ c)=(b+ c) = a=b sólo si a = b ó si c = 0.

9. Muestre por qué el inverso multiplicativo de un número real diferente de cero es único; esto es,si a � u = 1, entonces u = 1=a.

10. Demuestre que si a y b son números reales diferentes de cero, entonces 1=a+ 1=b = (b+ a)=ab.

3

1.5 Números Reales, Racionales e Irracionales

1. Demuestre que los siguientes números son racionales; esto es, pueden expresarse como cocientede dos números entreros

(a) 0:6

(b) 714

(c) �6 + 35

(d)�34

� �57

�2. Demuestre que los siguientes números reales son racionales

(a)�3 +

p2�+�2�

p2�

(b)3p2

2p2

3. Demuestre que los siguientes números reales son irracionales

(a)�3 +

p2�+��3 +

p2�

(b)�p2 + 1

�24. Demuestre que la suma de los números decimales exactos 0:34 y 0:283 es también un númeroexacto. Expliquese por qué el producto de dos decimales exactos es también un decimal exacto.

5. Demuestre que el inverso aditivo de un número racional es un número racional; es decir, six = n

mcon m y n enteros, entonces �x puede expresarse como cociente de dos enteros.

6. Bosquéjese una demostración del hecho de que no existe un número racional cuyo cubo sea 2;esto es, es imposible encontrar enteros n y m tales que

�nm

�3= 2:

7. Demuestre que si a; b y c son elementos de Q y si a 6= 0, entonces existe un número racionalúnico x que es solución de la ecuación ax+ b = c:

8. Demuestre que si p; q y r son enteros diferentes de cero, entoces el número real�p+ q

p2�=r

es racional.

Indicación: Supóngase que el número se puede escribir como mncon n y m enteros y obténgase

una contradicción.

4

2 Exponentes Enteros y Racionales en Expresiones Alge-braicas y Simpli�cación

2.1 Exponentes Enteros y Exponente Cero

1. Elimine los exponentes negativos y nulos y simpli�que las expresiones siguientes.

(a) 8x0

(b) (8x)0

(c) 3x�2y4

(d) 5y�2x3z0

(e)2x3y�1

3x�2y3

(f)4x�2y4

6x�5y�2

(g) (xny2)m

(h) (�1)n (�1)m (�1)1

(i)�12x�4y3z�5

4x4y�3z5

�3(j)

�5x�3y�2

3x2y�2

��22. Demuestre el siguiente teorema:

Para todo a 2 R (a 6= 0) y todo n;m 2 Z;

anam � an+m;

(ab)n � anbn;

(an)m � anm;an

am� an�m

2.2 Exponentes Fraccionarios

1. Determine los valores numéricos de las siguientes expresiones.

(a) 2512

(b) 8134

(c)�6449

� 12

(d)�8125

��13

(e) (210)�35

(f) 372 � 3 12

2. Elimine los exponentes negativos, simpli�que y exprese el resultado en forma de radical.

(a)�x14

� 15

(b) x14 � x�1

5

(c)�x14

��15

(d)�x�14

��15

3. Elimine los exponentes negativos y nulos, y simpli�que.

5

(a)�125x4y3

27x�2y6

�13

(b)�50x4y3z

16x�6yz5

��12

(c)�� 32m10

243n15

�� 25

(d)

�64x

113 y

�103

� 13

�27x

�23 y

13

��13

(e) bx3 b

x4

bx8

4. Encuentre el valor de: (x2 � 2x+ 1)1=2 + (x2 + 2x+ 1)1=2 y muestre mediante un ejemplo que2x no es siempre el resultado correcto.

5. Encuentre el valor de: (x2 + 10x+ 25)1=2 � (x2 � 10x+ 25)1=2 y muestre mediante un ejemploque 10 no es siempre el resultado correcto.

2.3 Radicales

Simpli�que cada uno de las expresiones siguientes, siendo a; b; x; y y z valores positivos.

1. 3

r3

16

2. 6

r9

16

3.r2x

3y3

4. 3

s27x4

2y2

5. 4

r4x5y

81z3

6. 4

rx7y6

243

7. 3

r5

3x4

8. 4

s169x6z2

y4

9.p12x4yp3x2y5

10.

r3

q(c3d6)4

2.4 Adición y Sustracción de Expresiones que Contienen Radicales

Simpli�que, reduciendo términos semejantes.

1. 4p3� 5

p12 + 2

p75

2. 3p2 + 3

p16� 3

p54

3. 2p2�

p50 + 3

p32

4. 2p3�

p27 +

p243

5.1p2�p2

6.1p3� 4p

27+ 2p3

7. 3pa4b+

13pa2b2

+ 33pab4

8. 3p27a4 + 3

p�64a7 + 7 3

pa

9.p4 (x+ y)� 2

p9 (x+ y) + 3

px+ y

10.

ra� ba+ b

�ra+ b

a� b +r

a2

a2 � b2

6

2.5 Multiplicación, División y Racionalización

1. Efectúe las multiplicaciones siguientes, expresando el resultado en su forma más simple

(a)p5 �p13

(b)p14 �

p21

(c) 3p3x2 �

p2x

(d) 3p9x � 6

p27x4

(e)p2�p6 +

p14�

(f)p3 + 2

p2 �p3� 2

p2

(g)�p

5�12

�2(h)

�p6�p2

4

�22. Efectue las divisiones siguientes, expresando el resultado en su forma más simple.

(a) 4p28� 3

p7

(b) 3

r4

5� 3

r108

25

(c) 4p24a3b� 4

p8ab3

(d)pxy2 � 3

px2y

3. Racionalice el denominador de cada una de las fracciones siguientes.

(a)2p3

5p5

(b)2 3p3

4 3p5

(c)3px� 1

(d)x2p1� x2

(e)3

2 +p3

(f)5p

7�p3

(g)x

x+py

(h)yp

x�py

(i) 2y3px4y5

(j) x�y3px� 3

py

7

3 Operaciones con Expresiones Algebraicas

3.1 Expresiones Algebraicas

Escriba la expresión algebraica correspondiente a cada una de las expresiones verbales.

1. Dos números consecutivos.

2. Un número impar.

3. La suma de los cuadrados de dos números.

4. El triple de un número.

5. El doble de un número.

6. La diferencia de dos números.

7. La diferencia de los cuadrados de dos números.

8. El cuadrado de la diferencia de dos números.

9. La quinta parte del cubo de un número.

10. Dos números pares consecutivos

11. Si x representa la longitud de un camino en kilómetros ¿qué expresión algebraica representarála longitud que nos queda por recorrer si hemos recorrido ya 4 km?

12. Si z es la edad de mi hermana actualmente y la mía actualmente es el doble de su edad cuandoella tenía tres años menos, ¿qué expresión algebraica representa mi edad?

3.2 Adición de Expresiones Algebraicas

1. Determine la suma de las expresiones; y reste la segunda expresión de la primera.

(a) 2a+ 3b� 4 y a� 2b+ 3(b) a� 2b+ 3c y 2a+ 4b� c(c) 4x+ 3y + z y 2x+ 3y � 2z(d) 2x+ y + 5 y 3y � 2z � 4(e) z2 + z + 1 y 2z2 + 8z � 1

(f) 3ab� 5a+ b y 5ab+ 6a� 7ab(g) y5 + 2y3 + 7 y y5 � 2y3 � 7(h) 7x3 + 2x2 � 11x y �3x3 � 2x2 + 4x� 3(i) 4x3 + 5x� 3 y 3x3 + 2x2 + 5x� 8(j) 6y3 � 2y2 + y � 3 y 3y3 + 2y2 + 5y � 8

2. En cada uno de las siguientes expresiones, elimine todos los símbolos de agrupamiento y reduzcatérminos semejantes.

(a) x� (2y + 3x)� 2y

(b) 3x� (2y � 4x) + 6y

(c) 8x+ [(3x� 2y) + (6x� 9)� (x+ y)]

(d) 3y � [2y + 3x� (2x� 3y)] + 4x

8

(e) 2x� f3y � [5x� (7y � 6x)]g (f) 9x � (2y � 3x) � fy � (2y � x)g �[2y + (4x� 3y)]

3. Encuentre el valor de cada una de las expresiones siguientes para los valores dados de las letras.

(a) 3x+ 4 y x = 1

(b) x2 � 7x+ 10 y x = 2

(c) 2x2 � 3xy + y2 y x = 2; y = �3(d) 3x2 + 2xy � 4y2 y x = �3; y = 1

3.3 Multiplicación de Expresiones Algebraicas

Efectue las multiplicaciones indicadas y reduzca terminos semejantes.

1. (4x� 3) (3x+ 6)

2. (x+ 3) (2x� 5)

3. (x2 � xy + y2) (x+ y)

4. (2x+ 3x2 � 1) (3x� 2)

5. (x� 1) (x+ 2) (x� 3)

6. (x� 2) (x+ 3) (x+ 2)

7. (x4 + 2x2y2 + 4y4) (x2 � 2y2)

8. (x� 2x2 + 5� x3) (3x� 4 + x2)

9. (a2n � 7an + 10) (a� 1)

10. (x2n + 2xnyn + y2n) (x2n � 2xnyn + y2n)

11. 8 (t2 � 2t+ 5)+ 4 (t2 � 3t+ 2)� 6 (2t2 � 8)

12. y (y2 � 1) + y2 (y + 2)� y (2y � 2)

13. xy (x� 4y)� y (x2 + 3xy) + xy (2x+ 3y)

14. (3x� 2y) (2x2 � 3xy + 4y2)

15. (x2 + x+ 1) (x2 + x� 1)

16. (1� 2x+ y) (1� x� y)

17. (x+ 5y � 1) (x� 5y + 1)

18. (a2 + 3a+ 2) (a2 � a� 4)

19. (2a2 � a+ 7) (3a2 + a� 4)

20. (y � 2x) (y2 + xy � x2)

3.4 División de Expresiones Algebraicas

1. Divida las siguientes expresiones.

(a) 9xy2 � 6x3 por 3x(b) 4x2y3 � 24xy4 por 2xy2

(c) 3x2y � 4xy2 + 6x3y3 por xy(d) 7x3y2 � 14x5y3 + 28x8y5 � 21x7y6 por

7x3y2

(e) x4 � 1 + 2xy � x2y2 por x2 + 1� xy(f) 8a2x2+2abx� 6ax� b2� 3b por 2ax+ b

(g) 6x4 � 5x3y � x2y2 + 12xy3 � 6y4 por2x2 � 3xy + 3y2

(h) 4x4 + x3 � 4x2 + 6x� 3 por x2 + x� 4

(i) 2x4 + 5x3y � 2x2y2 + 10xy3 + 6y4 porx2 + 3xy � y2

(j) k5�6k4+9k3+k2�12k+3 por k2�4k+1

2. Divida, determinando cociente y residuo, y escriba el resultado en la forma

P (x) � Q(x) �D(x) +R(x) ó P (x; y) � Q(x; y) �D(x; y) +R(x; y)

9

(a) x2 � 7x+ 10 por x� 5(b) 2y2 � 5y � 6 por 2y � 1(c) 2x3 � 7x2 + 11x� 4 por 2x� 1(d) y3 � 4y2 � 2 + 5y por y � 1

(e) x2y � 6x3 � 12xy2 � 6y3 por 2x� 3y(f) 2x3 � 11x2y + 13xy2 � 4y3 por x� 4y(g) x6 � y6 por x� y(h) x7 � y7 por x� y

3. Por medio de la división abreviada, determine el cociente y el residuo en cada una de lasdivisiones siguientes.

(a) 3x2 � 2x� 4 por x� 3(b) 2x3 + 3x2 � 7 por x+ 1

(c) x4 � 2x3 � 3x2 � 4x� 8 pori. x� 2ii. x+ 1

(d) 2x4 � x3 � 18x2 � 7 pori. x+ 3

ii. x� 3(e) 3x4 � 7x� 20 por

i. x� 2ii. x+ 2

(f) 2x4 � 3x3 � 20x2 � 6 pori. x� 4ii. x+ 3

4. Utilice la división abreviada para determinar el cociente y el residuo, y exprese el resultado enla forma

P (x) � Q(x) �D(x) +R(x):

(a) x3 � 2x2 + 3x� 4 por x = 3 (b) x4 � 5x3 + x2 � 6 por x = 1

5. Encuentre el valor de la expresión para el valor de x dado.

(a) x3 � 2x2 + 3x� 4 en x� 3 (b) x4 � 5x3 + x2 � 6 en x� 1

6. Efectúe según se indica:

(a) Evalue ax2 + bx+ c en x = p

(b) Divida ax2 + bx+ c por x = p

(c) Compare el residuo encontrado en (b) con

el valor obtenido en (a).

(d) ¿Podría esperarse el mismo tipo de re-sultado para un polinomio de cualquiergrado?

10

4 Productos y Factores

4.1 Productos Especiales

Determine los productos siguientes.

1. 2a(3x� 4y)

2. �7xy (3x2 + 4y)

3. (2x� 3y) (2x+ 3y)

4. (x+ 2y) (x� 2y) (x2 + 4y2)

5. (2x+ 7y)2

6. (x� 2) (x� 5)

7. (xy2 � z2w)2

8. (4x� 3y) (7x+ 3y)

9. (2x+ 3y + 3) (2x+ 3y � 3)

10. (x� 2y � z)2

11. (x+ 2) (x2 � 2x+ 4)

12. (x+ 3y + 2z � 4w) (x+ 3y � 2z + 4w)

13. (4x� 2y � 3z + 3w) (4x+ 2y + 3z + 3w)

14. (a� b+ c� d)2

15. [2 (x+ 2y)� 3] [2 (x+ 2y) + 4]

16. [2 (x� 3y) + 5] [3 (x� 3y)� 2]

17. (2x+ 3y)3

18. (5x� 3y)3

4.2 Factores y Descomposición en Factores

Descomponga por completo en factores las siguientes expresiones.

1. 4x� 20

2. 3x2 � 9y

3. xy2z3 � 3x2yz2 + 5xy3z2

4. 3y (2x+ 5)� 4x (2x+ 5)

5. 2z2 (x+ 3y)� 6xz (x+ 3y)

6. 9� a2

7. 225a8 � 64b2

8. x3y4 � 25xd6

9. (x+ 2y)2 � z2

10. (a+ b)2 � (c+ d)2

11. 81 (4x� 3y)2 � 25 (3z + w)2

12. x2 � 8x+ 16

13. 66xy + 9x2y2 + 121

14. 5z2 � 30wz + 45w2

15. (3� x)2 + 8 (3� x) + 16

16. a3 � 8

17. 8x6n + 27y3m

18. 27 (x� y)3 � 8 (x+ y)3

19. x2 � 7x+ 12

20. a2b2 � ab� 20

21. 35x2 � 24x+ 4

22. 6a2 + 7a� 20

23. (x+ y)2 � 7 (x+ y) + 10

24. 2 (2x+ y)2 � (2x+ y)� 10

11

25. 6 (x+ y)2 + 5 (x+ y) (y + z)� 6 (y + z)2

26. 12 (a+ b)2 � 14 (a+ b) (c+ d)� 10 (c+ d)2

27. ax� ay � by + bx

28. x3 � 2x2 + 4x� 8

29. 2a� 6� ab2 + 3b2

30. x2 � 2x+ 1� y2

31. 4x2 � y2 + 4y � 4

32. x2 + 2xy + y2 � z2 + 2zw � w2

33. x2 + 4xy + 4y2 � x� 2y � 6

34. x4 � 7x2y2 + 9y4

35. a4 + 2a2b2 + 9b4

36. b4 + 6b2c2 + 25c4

37. 3ax� 6ay + 4bx� 8by + cx� 2cy

38. z4 + 4z3 � 2z � 8

39. x2 + 2xy � z2 � 2yz

40. x2 + 2xy � z2 � 2yz

12

5 Operaciones Aritméticas

5.1 Simpli�cación de Fracciones

Reduzca a sus terminos más simples las siguientes fracciones.

1.27x3

225x5

2.a4x3y

a2xy3

3.a2x� a2yax2 � ay2

4.x2 � 1x2 � x

5.x2 � 16

x2 � 8x+ 16

6.y2 � y � 6y2 + 2y � 15

7.6a2 � 7a� 34a2 � 8a+ 3

8.14x� 24� 2x2x2 + x� 20

9.x2 � 36x3 � 216

10.2 (x2 � y2)xy + x4 � y4

x4 � y4

11.4a2 � 1

12a2 + a� 4a3 � 3

12.(x2 � 16) (x2 � 4x+ 16)

x3 + 64

5.2 Adición de Fracciones

Reduzca cada una de las expresiones siguientes expresiones a una fracción única y simpli�que.

1.3x

4y� 4y3x

2.a2

b� b

2

a

3.2x+ 3

6� 4x� 7

9

4.3x� 15

+4� 5x6

5.3x� 2y5x� 3 +

2x� y3� 5x

6.5

x� 4y+3

z

7.2x� 14� x +

x+ 2

3x� 12

8.x� 1

2x2 � 13x+ 15 +x+ 3

2x2 � 15x+ 18

9.3

a� 3 +a2 + 2

a3 � 27

10.2

x2 + 3x+ 2� 3

x2 + 5x+ 6� 4

x2 + 4x+ 3

11. x+ 6 +5x+ 1

12x2 + 5x� 2 �x

3x+ 2

12. 2y � 3 + y � 24y2 � 12y + 9 +

y + 2

2y2 � y � 3

13.x

(x� y) (y � z) +y

(y � z) (z � x) +

z

(z � x) (x� y)

14.2x� 1

2x2 � x� 6+x� 3

6x2 + x� 12�2x� 3

3x2 � 10x+ 8

13

5.3 Multiplicación de Fracciones

1.3x3

4y2� 5yx2

2.7a

12b3� 20b

5

35a3

3.x2 � 6x+ 9x2 � 7x+ 12 �

x3 � 4x2 + 9x� 36x4 � 81

4.x2 + 2x� 3x2 + 7x+ 12

� x+ 1

x2 + 4x� 5

5.y + 1

x� 2 �x2 + 2x

6� y � 1xy2 � x

6.x4 � y4

(x� y)2� y2

x2 + y2� x� yxy + y2

7.9x2 + 6x� 86x2 + 5x� 4 �

2x2 � 7x� 42x2 � 5x� 12 �

4x2 + 4x� 36x2 � x� 2

8.�3x

x� 3 �3x+ 2

x2 � 6x+ 9

���x+ 2

x+ 3� x

x2 + 6x+ 9

�

5.4 División de Fracciones

1.40x3y2

24xy4� 27xy

8x2y3

2.xy3

yz� x2z

3.y2 � 2y � 15y2 � 9 � 12� 4y

y2 � 6y + 9

4.ab+ ac

ab� ac �b

b+ c� b

b� c

5. (a2 � b2)��a2 + ab

b2 + ab� a

2 � abb2 � ab

�6.�2x

x� 1 +x2

x2 � 1

�� x3

1� x

7.x� x

y

z � zy

8.

2

x+5

y2

x� 5y

9.x2 � 1

x

x+ 1 +1

x

10.9x2 � 4y2x�yy�2x � 1

11.x+ y

x+y

x+ y � xx+y

12.a

1� 1

1 +1

a� 1

14

6 Funciones Lineales y Cuadráticas

6.1 La Ecuación Lineal. Representación Grá�ca y su Solución

1. Determine los ceros de las funciones f de�nidas mediante las expresiones siguientes:

(a) f(x) = 2x+ 4

(b) f(x) = 10� 12x(c) f(x) = 8x+ 24

(d) f(x) = 5x� 17

2. Resuelva las siguientes ecuaciones lineales.

(a) 4x� 2 = 6x+ 12(b) 5 + 2(3� x) = 4 + 2(x� 2) + 5x

(c)3x+ 5

12� 4� x

6=x� 23

(d)3x+ 2

x� 1 �6

5= 0

(e)2

6x� 7 �5

3x� 4 = 0

(f)3x� 65

=2x� 510

+x� 42

(g) 5x+1

= 3x�2

(h) 1x�1 �

1x= 1

x(x�1)

(i) xx+2

= 3x�2

(j) 3 (x� 5a) + 4b = 4x� 2 para x

(k) 5 + 5 (x+ 2)� 2x = 3x+ 15(l) x+2

x+3+ 1

x2+2x�3 = 1

(m) 3 (x+ 5) = 3 (x+ 1)

(n) xx�2 =

xx�2 + 2

3. Resuelva las ecuaciones siguientes con respecto a las incógnitas que en cada caso se indican.

(a) A = 12bh; para b

(b) A = 12(b1 + b2)h; para b1

(c) S = a�rl1�r ; para l

(d) S = a�rl1�r ; para a

4. Bosqueje la grá�ca de la función lineal f : x! y si f(x) está dada por las expresiones siguientes.

(a) f(x) = 2x� 7(b) f(x) = 6� x

2

(c) f(x) = x3+ 5

(d) f(x) = �4x+ 8

(e) f(x) = � x50+ 1

100

5. En los siguientes problemas, lea cuidadosamente el enunciado, represente una de las magnitudesdesconocidas por x y exprese todas las otras en términos de x. Determine dos expresiones quesean iguales, forme una ecuación y resuelvala.

(a) La suma de dos enteros es 88. Si el mayor se divide por el menor el cociente es 5 y elresiduo 10.¿Cuáles son los números?

(b) La cifra de las decenas de un número es 3 unidades menos que la de las unidades. Siel número se divide por la suma de sus cifras, el cociente es 4 y el residuo 2.¿Cuál es elnúmero?

15

(c) A comienza a andar por un camino a 5 km= h; dos horas después B parte en la mismadirección a 5.5 km= h. ¿A que distancia del punto de partida alcanzarán B a A?

(d) A demora 3 horas en hacer cierto trabajo, en tanto que B demora 4 horas. ¿Cuántodemorarán ambos trabajando juntos?

6.2 La Ecuación Cuadrática

1. Para cada una de las funciones f , en que f(x) está dada por las expresiones siguientes, determineel máximo o mínimo y trace la grá�ca.

(a) f(x) = x2 + 6x+ 5

(b) f(x) = 2x2 + 5x� 12(c) f(x) = �2x2 + 11x� 15(d) f(x) = �3x2 + 5x� 4

6.3 Solución de la Ecuación Cuadrática

1. Resuelva las ecuaciones mediante la descomposición de factores.

(a) 2x2 � 5x� 12 = 0

(b) 6x2 � 5x = 50

(c) 2x2 � 2 = x� 4x

(d) 3x2 � x = 10(e) (x� 2) (x+ 3) = 6

(f)x� 2x+ 3

� 3 = 4(x+ 3)

x� 2

2. Resuelva las ecuaciones aplicando la fórmula cuadrática.

(a) 2x2 + 5x� 12 = 0(b) 4x2 � 2x = 7(c) x2 � (a+ b)x+ ab = 0(d) (a� b)x2 + (b� c)x+ (c� a) = 0

(e)x� 1x2 � 9 �

3x+ 5

x+ 3=x+ 3

x� 3

(f)1

x2 + 3x+ 2� 1

1� x =2

x2 � 1(g) 2x2 + 8x+ 7 = 0

(h)p2m2 + 5m = 3

p2

(i) mx2 + (m+ 1) x+ 1 = 0

(j) 2x2 = 3x� 2

6.4 Relación entre Raices y Coe�cientes de una Ecuación Cuadrática

1. Forme ecuaciones cuadráticas con coe�cientes enteros y que tengan por raíces los númerossiguientes:

(a) 2;�3

(b) �5; 4

(c)2

3;�2

(d) �34;1

2

(e)�1 +

p5

2;�1�

p5

2

(f) �3+p7

4; �3�

p7

4

2. Forme una ecuación cuadrática cuyas raíces sean:

16

(a) Los cuadrados de las raices de 4x2+8x�5 = 0:

(b) Los recíprocos de las raices de 4x2+8x�

5 = 0:

(c) El triple de las raices de 3x2�5x�2 = 0:(d) La mitad de las raices de 3x2�5x�2 = 0:

3. Determine k de modo que la ecuación:

(a) 4x2 + kx+ 6 = 0 tenga una raíz �2:(b) 2x2 + kx� 15 = 0 tenga una raíz 3:(c) 3x2 + kx� 2 = 0 tenga raíces cuya suma

sea igual a 6:

(d) 5x2 � 8x + k = 0 tenga raíces cuyo pro-ducto sea igual a 1

5:

(e) 2x2 + (4� k)x � 17 = 0 tenga raicesiguales en valor absoluto pero de signocontario.

(f) 3x2 � 5x+ 8 = kx tenga raíces iguales envalor absoluto pero de signo contrario.

4. Determine el conjunto de valores de k o el valor de k de modo que la grá�ca de la función enque y está dado por:

(a) 3x2� 9x+ k toque (tenga su vértice en eleje x)

(b) x2 + 2kx+ 34� k no corte el eje x:

5. Resuelva los siguientes problemas

(a) Determine dos números cuya suma sea 16 y cuyo producto sea máximo.

(b) Divida 40 en dos partes de modo que la suma de los cuadrados de esas partes sea unmínimo.

(c) El producto de dos enteros positivos consecutivos es 72. Determine estos enteros.

(d) La suma de un número y su recíproco es 3415. Determine el número.

(e) Si las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo son (6� x) ; (13� x) y (14� x),determine x.

(f) ¿En cuánto debe reducirse un radio de 24 cm. para disminuir el área del círculo en 49�cm2.

6.5 Ecuaciones Reducibles a Cuadráticas

Resuelva las ecuaciones.

1. x4 � 11x2 + 28 = 0

2. 9x4 + 5x2 � 4 = 0

3. x�4 � 13x�2 + 36 = 0

4. x�4 � 8x�2 + 15 = 0

5. x2=3 + 2x1=3 � 8 = 0

6. x+ x1=2 = 20

7. (x2 + 2x)2 + (x2 + 2x) = 12

8.�x+ 1

x

�2 � 2 �x+ 1x

�+ 1 = 0

9. x43 � 5x 2

3 + 4 = 0

10. x�2 + x�1 � 12 = 0

17

6.6 Ecuaciones que Contienen Radicales

Resuelva las ecuaciones.

1.p2x+ 5 = 4

2.p6x� 3 = 7

3.p8x� 7� x = 0

4.p3x+ 1 + 1 = x

5.p11� x�

px+ 6 = 3

6.p3� x�

p2 + x = 3

7.p2x+

p2x+ 4 = 4

8.p2x+

p7 + x = 3

9. 3(x+ 3) +px+ 3 = 2

10. 2x� 9px+ 2 + 14 = 0

18

7 Valor Absoluto y Desigualdades

7.1 Desigualdades y Valor Absoluto

1. Determine los valores de x para los cuales las inecuaciones siguientes se satisfacen. Utilice elmétodo algebraico o el grá�co.

(a) 3x� 27 > 0(b) 5x� 3 < 8x� 12(c) x2 + 2x > 99

(d) x4 + x2 < 0

(e)x� 2x� 5 > 0

(f)1

x<1

5

(g)1

x� 2 <1

3

(h)x2 � 1(x� 2)2

� 0

(i)2

(1� x)4� 0

(j) jx� 3j > 2

(k)���x4+ 6��� � 1

2

(l) j1� xj � 4

2. Demuestre que para cada una de las desigualdades de la (a) a la (e) representan númerospositivos distintos. Indique cuáles desigualdades son condicionales y cuáles son absolutas.

(a) a2 + b2 > 2ab

(b)x+ y

2>pxy

(c)x2

y+y2

x> x+ y

(d) x2 + y2 + z2 < (x+ y + z)2

(e)a+ b

2>2ab

a+ b

3. Exprese los siguientes enunciados en forma simbólica.

(a) Los números reales que distan 10 unidades de 12:

(b) Los números reales que están al menos, cinco unidades de 8:

(c) Los números reales que están más de cinco unidades de �3:

7.2 Para pensar

Lea, comente y argumente su respuesta.

1. ¿Qué se puede comentar acerca de los signos de los números a; b y c en cada caso?

(a) abc > 0

(b)a

b> 0

(c)a2

bc< 0

(d) abc< 0

2. Reemplace en cada pregunta el signo de interrogación con < o >, de manera apropiada:

19

(a) Si a� b = 1; entonces a ? b (b) Si u� v = �2, entonces u ? v

3. ¿Para cuál valor p y q es p+ q < p� q?4. Si tanto a como b son números negativos y b

aes mayor que 1, entonces, ¿a� b es positivo

o negativo?

5. Indique (V) si es verdadera o (F) si es falso:

(a) Si p > q y m > 0, entonces mp < mq(b) Si p > 0 y q < 0; entonces p+ q > q:

6. Suponga que m > n > 0; entonces

mn > n2

mn�m2 > n2 �m2

m (n�m) > (n+m) (n�m)m > n+m

0 > n

pero si se supuso que n > 0: Encuentre el error.

7. ¿Cuáles son los valores posibles dex

jxj?

8. Pruebe que jb� aj = ja� bj para todos los números a y b:9. Pruebe que para m 6= 0 y n 6= 0 números reales se cumple:

(a) j�mj = jmj(b) jmnj = jmj jnj

(c)���mn

��� = jmjjnj

10. Pruebe que � jmj � m � jmj11. Demuestre la desigualdad del triángulo:

jm+ nj � jmj+ jnj

Sugerencia: Utilice el problema 10 para mostrar que

� jmj � jnj � m+ n � jmj+ jnj

20

8 Sistemas de Ecuaciones

8.1 Sistemas de Ecuaciones Lineales de 2� 2Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones e interprete gra�camente su solución.

1.�2x+ y = 5x� y = 1

2.�

2x� y = 34x+ 3y = 21

3.�3x+ 2y = 36x+ 4y = 14

4.�

34x+ y = 1

894x+ 3y = 3

8

5.�

7x� 6y = �6�7x+ 6y = �4

6.� 1

x+ 2

y= 2

3x� 3

y= �1

8.2 Sistemas de Ecuaciones Lineales de 3� 3Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones e interprete gra�camente su solución.

1.

8<:x� 2y + 3z = 9�x+ 3y = �4

2x� 5y + 5z = 17

2.

8<:x� 3y + z = 12x� y � 2z = 2x+ 2y � 3z = �1

3.

8<:x+ y � 3z = �1

y � z = 0�x+ 2y = 1

4.

8<:3x+ 4y � z = 175x� y + 2z = �22x� 3y + 7z = �21

5.

8<:�4x� y � 8z = �6

y + z = 04x� 7y = 6

6.

8<:4x+ 3y = 0

4x+ 3y � z = 08x+ 3y + 3z = 0

8.3 Eliminación Gaussiana

Resuelva el sistema utilizando eliminación gaussiana.

1.

8<:x1 � 3x3 = �2

3x1 + x2 � 2x3 = 52x1 + 2x2 + x3 = 4

2.�4x+ 12y � 7z � 20w = 223x+ 9y � 5z � 28w = 30

3.�

2x� y � z = 0�2x+ 6y + 4z = 2

4.

8>><>>:2x+ y � z + 2w = �63x+ 4y + w = 1

x+ 5y + 2z + 6w = �35x+ 2y � z � w = 3

21

9 Fracciones Parciales

9.1 Fracciones Parciales

1. En los siguiente problemas encuentre las constantes A;B;C y D de manera que el lado derechosea igual al izquierdo.

(a)7x� 14

(x� 4) (x+ 3) =A

x� 4 +B

x+ 3

(b)x� 11

(3x� 2) (2x� 1) =A

3x� 2 +B

2x� 1

(c)3x2 + 7x+ 1

x (x+ 1)2=A

x+

B

x+ 1+

C

(x+ 1)2

(d)3x2 + x

(x� 2) (x2 + 3) =A

x� 2 +Bx+ C

x2 + 3

(e)2x2 + 4x� 1(x2 + x+ 1)2

=Ax+B

x2 + x+ 1+

Cx+D

(x2 + x+ 1)2

2. Identi�que si la fracción dada es propia o impropia, factorice el denominador e identi�que eltipo de descomposición al cual corresponde

(a)9x2 � 3x+ 8x3 + 2x

(b)2x3 + 2x2 + 4x� 3

x4 + x2

(c)2x4 � 2x3 + 6x2 � 5x+ 1

x3 � x2 + x� 1

(d)4x3 + 4x2 � 4x+ 2

2x2 � x� 1

(e)2x2 + 7x

x2 + 6x+ 9

(f)x5 � 5x4 + 7x3 � x2 � 4x+ 12

x3 � 3x2

3. Descomponga en fracciones parciales.

(a)�x+ 22x2 � 2x� 8

(b)x2 � 12x+ 18x3 � 6x2 + 9x

(c)�5x2 + 7x� 18x4 + 6x2 + 9

(d)x3 + x2 � 13x+ 11x2 + 2x� 15

(e)4x2 + 5x� 9x3 � 6x� 9

(f)�x2 + x� 7

x4 � 5x3 + 9x2 � 8x+ 4

(g)4x5 + 12x4 � x3 + 7x2 � 4x+ 24x4 + 4x3 � 5x2 + 5x� 2

(h)4x2 + 5x� 9x3 � 6x� 9

(i)14x2 � 37x+ 243x3 � 9x2 + 6x

(j)x� 22

2x3 + 4x2 + 16x+ 32

(k)4x2 + 8x+ 15

x3 + 3x2 � 4

(l)x5 + 6x3 � 2x2 + 9x� 2x6 + 9x4 + 27x2 + 27

(m)6x2 � 11x+ 18x3 � 9x2

22

10 Polinomios

10.1 División Sintética

1. Utilizando división sintética encuentre el residio al dividir:

(a) 3x2 � 2x� 4 por x� 3(b) x3 � 2x2 + 9 por x+ 2(c) x4 � 2x3 � 3x2 � 4x� 8 por:

i. x� 2

ii. x+ 1

(d) x8 � 3x4 � 2x� 1 por:i. x� 1ii. x+ 1

2. Utilizando división sintética y teorema del factor determine si la primera expresión es factor dela segunda:

(a) x� 2; x4 + 3x3 � 5x2 + 2x� 24(b) x� 3; x4 � 5x3 + 3x2 + 8x+ 12

(c) 2x+ 3; 2x4 + 5x3 + 3x2 + 8x+ 12

(d) 3x+ 1; 9x3 + 6x2 + 4x+ 2

3. Demuestre que x + y es factor de x5 + y5 y x7 + y7. Determine mediante división sintética elcociente.

4. Encuentre el residuo al dividir x35 � 3x22 � 7x3 � 3x+ 2 por x+ 1

10.2 Ceros de un polinomio.

1. Determine por inspección los ceros del polinomio e indique la multilicidad de cada uno.

(a) (x� 2) (x� 3)2 (x+ 4)3

(b) (x� 1)4 (x+ 2)5(c) (x2 � 4x+ 4) (x2 + 3x� 10)2

(d) (3x� 5)2 (x2 � 6x+ 9)2

2. Determine una cota superior y una cota inferior para los ceros de cada uno de los siguientespolinomios.

(a) x3 � 3x2 � 2x+ 15(b) x5 + 5x2 � 7

(c) x4 � 5x2 + 6x� 9

3. Trace la grá�ca de f (x) = x3 � x2 � 2x+ 1 la cual tiene un cero entre �2 y �1; 0 y 1, y entre1 y 2:

4. Determine las raices exactas de las siguientes ecuaciones y trace su grá�ca.

(a) 2x3 � 3x2 � 11x+ 6 = 0(b) x3 � 6x2 + 11x� 6 = 0(c) x4 � 16x3 + 86x2 � 176x+ 105 = 0

(d) 4x4 + 8x3 � 7x2 � 21x� 9 = 0

(e) 10x4 � 13x3 + 17x2 � 26x� 6 = 0

23

5. Encuentre la ecuación de tercer grado con coe�ciente inical uno dado que 3; 2 y �1 son cerosde la ecuación.

6. Encuentre la ecuación de cuarto grado con coe�ciente inical uno y con ceros en i y 2 + i:

7. Encuentre la ecuación de tercer grado que satisface f (2) = 1; f (�1) = f (1� i) = 0:

8. Analice las grá�cas dadas y encuentre el polinomio de menor grado posible.

(a)

­5 ­4 ­3 ­2 ­1 1 2 3 4 5

­5

5

10

x

y

(b)

­1 1 2 3 4

­6

­4

­2

2

4

6

8

x

y

(c)

­2 ­1 1 2

­3

­2

­1

1

2

3

x

y

24

9. Si f (x) = 3x3 � kx2 + x� 5k; encuentre un número k tal que la grá�ca de f contiene el punto(�1; 4)

10. Si f (x) = kx3 + x2 � kx + 2; encuentre el número k tal que la grá�ca de f contiene el punto(2; 12)

11. Si un cero de f (x) = x3 � 3x2 � kx+ 12 es �2, encuentre los otros dos ceros.

12. Si un cero de f (x) = x3 � 2x2 � 16x+ 16k es 2, encuentre los otros dos ceros.

25

11 Números Complejos

11.1 El Álgebra de los Números Complejos.

1. Efectue las operaciones indicadas, expresando su respuesta como un número complejo de laforma x+ yi.

a) (2 + 5i) + (4� i) f) 2�5i4+i

b) (2 + 5i)� (4� i) g) (a+ bi)2

c) (2 + 5i)(4� i) h) (a+ bi)(a� bi)d) (2� 5i)(4 + i) i) 1

a�bi

e)2+5i4�i j)

�p22+

p22i�2

2. Demuestre que la suma de dos números complejos imaginarios puros es un número imaginariopuro o cero.

3. Demuestre que el conjugado del conjugado de a+ bi es a� bi.

4. Demuestre que la suma de un número complejo y su conjugado es el doble de la parte real delnúmero y que la diferencia es el doble de la parte imaginaria del número multiplicado por i.

5. Demuestre que un número complejo es igual a su conjugado si y sólo si el número es real.

6. Resuelva las siguientes ecuaciones (despeje z):

a)2z

3� 5i = 0 d)

2z � 4iz + i

= 1 g) z2 + 5iz � 6 = 0b) (4 + i)z = 2� 5i e) z2 + 5z + 6 = 0 h) iz2 + 7z � 12i = 0c)iz

2= 3� 4i f) z2 + (3 + 2i)z + 6i = 0

7. Demuestre que si la suma y el producto de dos números complejos son ambos reales, entonces,o bien ambos números son reales, o bien uno de los números es el conjugado del otro.

8. Demuestre que para todo entrero positivo n, se tiene

a) i4n = 1 b) i4n+1 = i c) i4n+2 = �1 d) i4n+3 = �i e) in+4 = in

11.2 La Geometría de los Números Complejos.

1. Para los valores dados de los números complejos z1 y z2 , encuentre z1 + z2 y represente lospuntos z1, z2 y z1 + z2 en un diagrama de Argand.

a) z1 = 1 + 2i; z2 = �3� i c) z1 = 3i; z2 = �2b) z1 = 1 + 2i; z2 = 1� 2i d) z1 = 4i; z2 = �3i

26

2. Para los números complejos z dados, encuentre z e iz y represente los tres puntos en un diagramade Argand.

a) z = 3 + 4i c) z = �2� 3ib) z = i d) z = �3

3. Encuentre el valor absoluto o módulo de cada uno de los números complejos del ejercicio 2.

4. Demuestre que el conjugado de la suma de dos números complejos z1 = x1+y1i y z2 = x2+y2ies igual a la suma de los conjugados de estos números; esto es, z1 + z2 = z1 + z2.

5. Demuestre que el conjugado del producto de dos números complejos es igual al producto de losconjugados de estos números; esto es, z1 � z2 = z1 � z2.

6. Demuestre que para todo complejo z = x+ yi , se cumple x � jzj e y � jzj.

7. Demuestre que para todo complejo z = x+ yi, se cumple z + z = 2x y z � z = 2yi.

8. Demuestre que para dos números complejos cualesquiera, el valor absoluto del producto es igualal producto de sus valores absolutos; esto es, jz1 � z2j = jz1j � jz2j.

9. Es posible demostrar que para dos números complejos cualesquiera, el valor absoluto de susuma es menor o igual a la suma de sus valores absolutos; esto es, jz1 + z2j � jz1j+ jz2j.Indique las razones para cada paso en la siguiente demostración.

jz1 + z2j2 = (z1 + z2) (z1 + z2) = (z1 + z2) (z1 + z2)

= z1z1 + z2z1 + z1z2 + z2z2

Ahora, z1z2 y z2z1 son conjugados, de modo que

z1z2 + z2z1 = 2(parte real de z1z2) � 2 jz1 � z2j= 2 jz1j � jz2j = 2 jz1j � jz2j

Por tanto, tenemos

jz1 + z2j2 � z1z1 + 2 jz1j � jz2j+ z2z2= jz1j2 + 2 jz1j � jz2j+ jz2j2 = (jz1j+ jz2j)2 ;

de modo que jz1 + z2j � jz1j+ jz2j.

11.3 Módulo de un Número Complejo

1. Determine el módulo de los siguientes números complejos

(a) j3� 4ij(b) ji7j(c) j�15ij

(d)��p2� i��

(e) j5� 4ij

27

2. Exprese el número complejo en forma trigonométrica con 0 � � < 2�

(a)p3 + i

(b) �4p3 + 4i

(c) �10 + 10i

(d) 6i

(e) 3 + 2i

(f) �3 + i

3. Exprese los siguientes números complejos en la forma a+ bi, con a y b reales.

(a) 4�cos �

4+ i sen �

4

�(b) 3

�cos 3�

2+ i sen 3�

2

� (c) 34 cis�tan�1 3

5

�(d)

p5 cis

�tan�1

��12

��4. Use la forma trigonométrica para calcular z1z2 y z1

z2

(a) z1 = �1 + i; z2 = 1 + i(b) z1 = �2� 2

p3i; z2 = 5i

(c) z1 = 2i; z2 = �3i(d) z1 = �3; z2 = 5 + 2i

11.4 Teorema de De Moivre

1. Use el teorema de De Moivre para calcular las siguientes potencias y escriba el resultado en laforma a+ bi.

(a) (3 + 3i)5

(b)��p22+

p22i�15 (c)

��p32� 1

2i�20

(d)�p3 + i

�72. Encuentre las dos raíces cuadradas de 1 +

p3i.

3. Encuentre las cuatro raíces cuartas de �8 + 8p3i.

4. Encuentre las cinco raices quintas de �p3� i y represéntelas geométricamente.

5. Determine las soluciones de la ecuación x5 � 243 = 0.

6. Demuestre que el recíproco de r (cos � + i sen �) es 1r(cos � � i sen �)

7. Demuestre que [r (cos � + i sen �)]2 = r2r (cos 2� + i sen 2�)

28

12 Matrices

12.1 Suma y Producto de Matrices

1. Suponga que A y B son matrices de 4� 5 y que C, D y E son matrices de 5� 2; 4� 2 y 5� 4respectivamente. Determine cuáles de las siguientes expresiones matriciales están de�nidas.Para las que estan de�nidas, dé el tamaño de la matriz resultante.

(a) BA

(b) AC +D

(c) AE +B

(d) AB +B

(e) E(A+B)

(f) E(AC)

2. Considere las matrices

A =

24 3 0�1 21 1

35 ; B = � 4 �10 2

�; C =

�1 4 23 1 5

�; D =

24 1 5 2�1 0 13 2 4

35 yE =24 6 1 3�1 1 24 1 3

35Calcule:

(a) AB

(b) D + E

(c) D � E

(d) DE

(e) ED

(f) �7B

3. Utilizando las matrices del ejercicio 2, calcule (cuando se pueda):

(a) 3C �D(b) (3E)D

(c) (AB)C

(d) A(BC)

(e) (4B)C + 2B

(f) D + E2 ( donde E2 = EE )

12.2 Tipos Especiales de Matrices

Relacione las matrices de la derecha con el nombre de la izquierda según sus características.

29

a) A =

0@ 1 32

0 �15 9

1A (_____) Matriz Columna

b) B =�a11 a12a21 a22

�(_____) Matriz Triángular Inferior

c) C = (1 2 3 4) (_____) Matriz Rectangular

d) D =

0@ 125

1A (_____) Matriz Banda o Diagonal

e) E =

0@ 1 0 00 1 00 0 1

1A (_____) Matriz Nula

f) F =

0@ 1 2 60 �3 90 0 �5

1A (_____) Matriz Fila

g) G =

0BB@1 0 0 00 2 0 00 0 3 00 0 0 7

1CCA (_____) Matriz Cuadrada

h) H =

�0 00 0

�(_____) Matriz Escalar

i) I =

0BB@3 0 0 00 3 0 00 0 3 00 0 0 3

1CCA (_____) Matriz Triángular Superior

j) J =

0@ �3 0 05 7 08 9 2

1A (_____) Matriz Identidad

12.3 Transpuesta de una matriz

1. Encuentre la traspuesta de la matriz dada.

(a) A =��1 46 5

�

(b) A =�3 52 �1

�(c) A =

24 2 3�1 21 4

35(d) A =

24 1 2 3�1 0 41 5 5

352. Sean A y B matrices de n�m. Demuestre, usando la de�nición de transpuesta, que (A+B)t =At +Bt.

30

3. Encuentre los números � y � tales que

24 2 � 35 �6 2� 2 4

35 es simétrica.4. Una matriz cuadrada se denomina antisemetrica si At = �A ( es decir aij = �aji). Determinecuáles de las siguientes matrices son antisimetricas.

(a)�1 �66 0

�

(b)�0 �66 0

�(c)

24 2 �2 �22 2 �22 2 2

35(d)

24 0 1 �1�1 0 21 �2 0

3512.4 Matrices Elementales

1. Determine cuáles son matrices elementales.

(a)�1 30 1

�

(b)�1 00 2

�(c)

24 1 3 40 1 20 0 1

35

(d)

26641 0 0 00 1 0 00 0 1 00 1 0 1

37752. Encuentre la matriz elemental E tal que EA = B

(a) A =�2 3�1 4

�, B =

�2 32 �8

�(b) A =

�1 23 4

�, B =

�1 24 6

�

(c) A =

24 1 23 45 6

35, B =24 �5 �63 45 6

35(d) A =

24 1 2 5 20 �1 3 45 0 �2 7

35, B =24 1 0 11 100 1 3 45 0 �2 7

3512.5 Determinante de una Matriz Cuadrada

Calcule el determinante.

31

1.

������2 1 �13 �2 05 1 6

������

2.

�������3 2 41 �1 2�1 4 0

������

3.

��������1 �1 2 40 �3 5 61 4 0 30 5 �6 7

��������4.

��������3 �1 2 14 3 1 �2�1 0 2 36 2 5 2

��������12.6 Matrices Inversas

1. Calcule la inversa de la matriz dada.

(a)�3 21 2

�

(b)

24 1 1 10 2 35 5 1

35(c)

24 1 2 31 1 20 1 2

35(d)

24 3 2 10 2 20 1 �1

352. Sea � un número real. Demuestre que

�cos � sin �� sin � cos �

�es invertible y encuentre su inversa.

12.7 Matrices y Sistemas de Ecuaciones

1. Resuelva el sistema utilizando eliminación gaussiana.

(a)

8<:x1 � 3x3 = �2

3x1 + x2 � 2x3 = 52x1 + 2x2 + x3 = 4

(b)�4x+ 12y � 7z � 20w = 223x+ 9y � 5z � 28w = 30

(c)�

2x� y � z = 0�2x+ 6y + 4z = 2

(d)

8>><>>:2x+ y � z + 2w = �63x+ 4y + w = 1

x+ 5y + 2z + 6w = �35x+ 2y � z � w = 3

z

2. Usando el método de cofactores calcula la inversa de la matriz y resuelva el sistema.

(a)

8>><>>:2x1 + x2 + 5x3 + x4 = 5x1 + x2 � 3x3 � 4x4 = �12x1 + 2x2 + 2x3 � 3x4 = 2

x1 + 5x2 � 6x3 = 3

(b)

8<:x1 � x2 + x3 = 42x1 � x2 + x3 = 63x1 � 2x2 + 2x3 = 0

32