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7/17/2019 problemasrsueltospl-130713133414-phpapp01

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FORMULACION DE PROBLEMAS

Problema 01:

Una compañía elabora dos productos P1 y P2 cada uno requiere de componentes C1 y

C2 la disponibilidad de componentes y precio de venta se muestra en el siguientecuadro:Producto Componentes Precio de Venta

(S!Unidad"C1 C2P1 1 2 #P2 $ 1 $

%ispone 1&''' 1''''Se pide ormular el problema y optimi)ar el ingreso de ventas

Solución 01:

*i + unidades del producto a producir (i + 1, 2"

Función Objetivo: ma- . + #*1 / $*2

Restricciones:*1 / $*2 0+ 1&,'''2*1 / *2 0+ 1','''*1, *2 + '

Para el problema la uncin ob3etivo . + #*1 / $*2 indica que *1 son la unidades delproducto 1 cuyo precio de venta es # soles, *2 son la unidades del producto 2 cuyo

precio de venta es $ soles! 4sta uncin llamada ob3etivo ser5 ptima si consideramoslas restricciones mencionadas, es decir las unidades del producto *1 m5s las unidadesdel producto *2 multiplicado por $ debe ser menor que 1&,''' unidades!

4ste problema busca encontrar una ecuacin matem5tica que optimice el ingreso deventas, es decir que sea mas rentable eligiendo un n6mero determinado decomponentes para la elaboracin de cada producto!

7sí mismo no slo consiste en encontrar la ormula matem5tica sino que esta enuncin una serie de restricciones para que se logre la optimi)acin!

Problema 02:

8as capacidades de produccin del producto P de las 5bricas 7 y 9, los costos por unidad transportada a los centros de consumo C 1 y C2 y las demandas de estos soncomo sigue:

abrica Costos de ;ransporte (S! Unidad" Produccin(Unidad"C1 C2

7 & 1' $''9 12 $ #''

%emanda 2&' $&'



(Unidad"

Se pide ormular el problema y minimi)ar el costo total de transporte

Solución 02:

*i3 +unidades transportadas de la 5brica i (i + 1,2" al centro de consumo 3 (3 + 1,2"

Función Objetivo: mín . + &*11 / 1'*12 / 12*21 / $*22

Restricciones:5brica 7: *11 / *12 0+ $''5brica 9: *21 / *22 0+ #''

Centro de Consumo C1: *11 / *21 + 2&'

Centro de Consumo C2: *12 / *22 + $&'4ste problema nos pareci muy interesante incluirlo por que se trata de minimi)ar loscostos de transporte mediante un modelo matem5tico considerando restricciones quese dan en la produccin (capacidad de 5brica" y en la demanda!

4n la uncin ob3etivo se toma los costos unitarios por las unidades transportadas decada 5brica <acia cada centro de consumo!

Problema 03:

8a capacidad de produccin de ;4*;=8>P4?U es de @'' unidades mensuales! 8os

costos unitarios de produccin y el compromiso mensual de venta a 4*PA?;>P4?Uson como sigue:

Bes Costo de Produccin(S! unidades"

Venta (Unidades"

1 1'' $''2 1&' $&'$ 2'' #''

Se pide ormular el problema:

Solución 03:

*i + Produccin en el mes i (i+1,2,$"Función Objetivo: min . + 1''*1 / 1&'*2 /2''*$

Restricciones:Bes 1: *1 0+ @''

*1 + $''

Bes 2: *2 0+ @''



*1 / *2 + &'

Bes $: *$ 0+ @'' *1 / *2 / *$ + 1'&'

4l ob3etivo de este problema es minimi)ar los costos en uncin de una serie derestricciones (capacidad de produccin y compromiso de venta"!8a uncin ob3etivo esta en uncin al producto de lo costos unitarios y unidades aproducir! 4n las restricciones se considera los compromisos de venta para cada mes!

Problema 04:

8A?7D=% S!7!, es una empresa dedicada a la comerciali)acin de abonos paraplantas que emplea $ tipos dierentes de ingredientes 7, 9 y C, para conseguir $ tiposde abonos 1, 2, y $!

4n cuanto a los ingredientes, su disponibilidad es limitada y sus costos son lossiguientes:

INGREDIENTECANTIDAD DISPONIBLE

(kg)COSTOS(pts/kg)

A #!''' 1!$''B !''' 1!&''C 2!''' 1!'''

8os costos de los abonos son: 7bono 1 ⇒ 2!''' ptsEg 7bono 2 ⇒ $!''' ptsEg 7bono $ ⇒ 1&'' ptsEg!

7dem5s de lo anterior, los ingredientes <an de me)clarse en proporciones especíicaspara asegurar una combinacin adecuada:

Para el abono 1, no menos del 2& F de 7 y no m5s del #' F de CG para el abono 2, nomenos del $' F de 7, no menos del 2' F ni m5s del $' F de 9 y no m5s del 1& F deCG y para el abono $, no menos del $& F de 9!

Con todos los datos que 8A?7D=% S!7! nos <a acilitado, nos piden quedeterminemos: HCu5nta cantidad de cada tipo de abono <ay que producir de orma quese ma-imice el beneicio de la compañíaI

7sí pues, con los datos acilitados, podemos construir un primer esquema que nospermitir5 desarrollar el modelo de programacin lineal para la resolucin del problema:

INGREDIENTESABONOS CANTIDAD

DISPONIBLE(kg)

COSTOS(pts/kg)1 2 3

A *11 *12 *1$ #''' 1$''B *21 *22 *2$ ''' 1&''C *$1 *$2 *$$ 2''' 1'''



V7?=7984S %4 %4C=S=JD

*i3 : cantidad de ingrediente del tipo i para cada tipo de abono j !

?4S;?=CC=AD4S

*11 / *12 / *1$ ≤ #'''*21 / *22 / *2$ ≤ ''' Restricciones de disponibilidad

*$1 / *$2 / *$$ ≤ 2'''

',K& *11 L ',2& *21 L ',2& *$1 ≥ '',' *$1 L ',#' *11 L ',#' *21 ≥ '',K' *12 L ',$' *22 L ',$' *$2 ≥ '',M' *22 L ',2' *12 L ',2' *$2 ≥ ' Restricciones específicas de la mezcla

',K' *22 L ',$' *12 L ',$' *$2 ≥ '',M& *$2 L ',1& *22 L ',1& *12 ≥ '',& *2$ L ',$& *1$ L ',$& *$$ ≥ '

UDC=JD A9N4;=VA 9O + =ngresos L astos

7bono 1:

2'''(*11 / *21 / *$1" L 1$''*11 L 1&''*21 L 1'''*$1 + K''*11 / &''*21 / 1'''*$1

7bono 2:

$'''(*12 / *22 / *$2" L 1$''*12 L 1&''*22 L 1'''*$2 + 1K''*12 / 1&''*22 / 2'''*$2

7bono $:

1&''(*1$ / *2$ / *$$" L 1$''*1$ L 1&''*2$ L 1'''*$$ + 2''*1$ / &''*$$

Ba- (K''*11 / 1K''*12 / 2''*1$ / &''*21 / 1&''*22 / 1'''*$1 / 2'''*$2 / &''*$$"

7sí pues, una ve) deinidas las variables de decisin, la uncin ob3etivo y lasrestricciones su3etas a ella, <emos traba3ado los datos para proceder a su resolucin!Por tanto, en el siguiente cuadro se muestra el resumen de la solucin ptima <allada atravQs de los c5lculos, y en la siguiente p5gina presentamos el 6ltimo cuadro del

S=BP84*!SA8UC=JD JP;=B7:

*11 + ' S1 + ' *12 + #''' S2 + $$2M *1$ + ' S$ + ' *21 + ' S# + ' *22 + 21M2 S& + ' *2$ + #@' S + 1M1M *$1 + ' SK + K2K *$2 + 1'@1 SM + '



*$$ + @'@ S@ + ' Z = 12700000 S1' + '

4n este cuadro se destaca principalmente la presencia de 1' variables de <olgura (S",cada una de las cuales <ace reerencia a cada una de las restricciones que condicionana la uncin ob3etivo!

Por tanto, puesto que ya sabemos que una variable b5sica es aquella cuya solucinptima es dierente de cero, podríamos clasiicar las variables de la solucin de lasiguiente orma:

Variables b5sicas: *12 , *22 , *2$ , *$2 , *$$ , S2 , S , SK !

Variables no b5sicas: *11 , *1$ , *21 , *$1 , S1 , S$ , S# , S& , SM , S@ , S1'

7sí pues, tal y como se ve rele3ado en la solucin del modelo de programacin linealque <emos deinido, estas serían las combinaciones de ingredientes y las cantidadesde abono producidas que nos permiten ma-imi)ar el beneicio:

7bono 1:Do utili)amos ning6n ingrediente para conseguir este tipo de abono, por lo queno vamos a producir nada de Ql!

7bono 2:Para conseguir este tipo de abono emplearemos #''' Eg del ingrediente 7, 21M2Eg del ingrediente 9 y 1'@1 Eg del ingrediente C por lo que vamos a producir yvender K2K$ Eg del abono tipo 1!

7bono $:Para producir este tipo de abono emplearemos #@' Eg del ingrediente 9 y @'@ Egdel ingrediente C, sin utili)ar nada del ingrediente 7, a partir de los cualesproduciremos y venderemos 1$@@ Eg del abono tipo $!

Problema 05:

(Be)cla" Una compañía destiladora tiene dos grados de gRisqui en bruto (sin me)clar", =y ==, de los cuales produce dos marcas dierentes! 8a marca regular contiene un &'F decada uno de los grados = y ==, mientras que la marca s6per consta de dos terceras partedel grado = y una tercera parte del grado ==! 8a compañía dispone de $''' galones degrado = y 2''' galones del grado == para me)cla! Cada galn de la marca regular produce una utilidad de &, mientras que cada galn del s6per produce una utilidad de HCu5ntos galones de cada marca debería producir la compañía a in de ma-imi)ar sus utilidadesI

B7?C7S ?7%A = ?7%A == U;=8=%7%?4U87? &'F &'F &

STP4? K&F 2&F



Solucin:

HuQ es lo que vamos a Ba-imi)arI

-1 + la Cantidad de gRisqui de la marca regular en galones-2 + la Cantidad de gRisqui de la marca s6per en galones

Ba- . + &-1 / -2 !(1"Su3eto a:1&''-1 / 1'''-2 0 $''' !! (2"22&'-1 / &''-2 0 2''' !($" lo que queda Planteado-1, -2 '

Problema 06:

(Be)cla" Una compañía vende dos me)clas dierentes de nueces! 8a me)cla m5sbarata contiene un M'F de caca<uates y un 2'F de nueces, mientras que las m5s caracontiene &'F de cada tipo! Cada semana la compañía obtiene 1M'' Eilos decaca<uates y 12'' Eilos de nueces de sus uentes de suministros! HCu5ntos Eilos decada me)cla debería producir a in de ma-imi)ar las utilidades si las ganancias son de 1' por cada Eilo de la me)cla m5s barata y de 1& por cada Eilo de la me)cla m5scaraI

B4.C87 C7C7WU7;4 DU4. 7D7DC=7 PA?S4B7D7

97?7;7 M'F 2'F 1' PA? X=8AC7?7 &'F &'F 1& PA? X=8A

Solucin:


-1 + la Cantidad de me)cla de la marca 97?7;7 en Eilogramos-2 + la Cantidad de me)cla de la marca C7?7 en Eilogramos

Ba- . + 1'-1 / 1&-2 !(1"

Su3eto a:1##'-1 / 2#'-2 0 1M'' !! (2"@''-1 / ''-2 0 12'' !($" lo que queda Planteado-1, -2 '

Problema 0:

(%ecisiones sobre produccin" Una compañía produce dos productos, 7 y 9! Cadaunida de 7 requiere 2 <oras en cada m5quina y & <oras en una segunda m5quina! Cada



unidad de 9 demanda # <oras en la primera m5quina y $ <oras en la segunda m5quina!Se dispone de 1'' <oras a la semana en la primera m5quina y de 11' <oras en lasegunda m5quina! Si la compañía obtiene una utilidad de K' por cada unidad de 7 y&' por cada unidad de 9 HCu5nto deber5 de producirse de cada unidad con ob3eto de

ma-imi)ar la utilidad totalIP?A%UC;A W?S

BYU=D7 1W?S

BYU=D7 2U;=8=%7%

7 2 & K' PA? X=8A9 # $ &' PA? X=8A

Solucin:


-1 + la Cantidad de produccin de 7 en unidades-2 + la Cantidad de produccin de 9 en unidades

Ba- . + K'-1 / &'-2 !(1"Su3etos a:2-1 / #-2 0 1'' !!! (2"&-1 / $-2 0 11' !($" lo que queda Planteado-1, -2 '

Problema 0!:

(%ecisiones sobre produccin" 4n el e3ercicio anterior, suponga que se recibe una ordenpor 1# unidades de 7 a la semana! Si la orden debe cumplirse, determine el nuevo valor de la utilidad m5-ima!

Solucin:



Ba- . + K'-1 / &'-2 !(1"Su3eto a:2-1 / #-2 0 1'' !! (2"&-1 / $-2 0 11' !($" lo que queda Planteado-1, -2 '



Problema 0":

(%ecisiones sobre Produccin"! Un abricante produce dos productos, 7 y 9, cada unode los cuales requiere tiempo en tres m5quina, como se indica a continuacin:

P?A%UC;A W?SBYU=D7 1

W?SBYU=D7 2

W?SBYU=D7 $

U;=8=%7%

7 2 # $ 2&' PA?X=8A

9 & 1 2 $'' PA?X=8A

Si los n6mero de <oras disponibles en las m5quinas al mes son 2'', 2#' y 1@' en elcaso de la primera, segunda y tercera, respectivamente, determine cu5ntas unidadesde cada producto deben producirse a in de ma-imi)ar la utilidad total!

Solucin:



Ba- . + 2&'-1 / $''-2 !(1"Su3eto a:2-1 / &-2 0 2'' !!! (2"

#-1 / 1-2 0 2#' !!!($"$-1 / 2-2 0 1@' !!!!!!!!!!! (#" lo que queda Planteado-1, -2 '

Problema 10:

(%ecisiones sobre produccin" 4n el e3ercicio anterior, suponga que una repentina ba3aen la demanda del mercado del producto 7 obliga a la compañía a incrementar suprecio! Si la utilidad por cada unidad de 7 se incrementa a '', determine el nuevoprograma de produccin que ma-imi)a la utilidad total!

Solucin:P?A%UC;A W?SBYU=D7 1

W?SBYU=D7 2

W?SBYU=D7 $

U;=8=%7%

7 2 # $ '' PA?X=8A

9 & 1 2 $'' PA?X=8A





Ba- . + 2&'-1 / $''-2 !(1"

Su3eto a:2-1 / &-2 0 2'' !!! (2"#-1 / 1-2 0 2#' !!!($"$-1 / 2-2 0 1@' !!!!!!!!!!! (#" lo que queda Planteado-1, -2 '

Problema 11:

(%ecisiones sobre produccin" 4n el e3ercicio &, suponga que el abricante es or)adopor la competencia a reducir el margen de utilidad del producto 9! HCu5nto puede ba3ar la utilidad de 9 antes de que el abricante deba cambiar el programa de produccinI (4l

programa de produccin siempre debe elegirse de modo que ma-imice la utilidad total"!Solucin:P?A%UC;A W?S

BYU=D7 1W?S

BYU=D7 2W?S

BYU=D7 $U;=8=%7%

7 2 # $ '' PA?X=8A

9 & 1 2 * PA? X=8AHuQ es lo que vamos a Ba-imi)arI

-1 + la Cantidad de produccin de 7 en unidades

-2 + la Cantidad de produccin de 9 en unidadespero en Qste caso, debemos tomar en cuenta que se debe minimi)ar, a<ora laU;=8=%7% del P?A%UC;A 9, pues bien, se reduce la mitad de la utilidad por lo tantoqueda:

Ba- . + 2&'-1 / 1&'-2 !(1"(4l programa de produccin siempre debe elegirse de modo que ma-imice la utilidadtotal"!Su3eto a:2-1 / &-2 0 2'' !!! (2"

#-1 / 1-2 0 2#' !!!($"$-1 / 2-2 0 1@' !!!!!!!!!!! (#" lo que queda Planteado-1, -2 '

Problema 12:

(%ecisiones sobre inversin" Un gerente de inan)as tiene 1×1' de un ondo depensiones, parte de cual debe invertirse! 4l gerente tiene dos inversiones en mente,unos bonos conversadores que producen un F anual y unos bonos <ipotecarios m5s



eectivo que producen un 1'F anual! %e acuerdo con las regulaciones del gobierno, nom5s del 2&F de la cantidad invertida puede estar en bonos <ipotecarios! B5s a6n, lomínimo que puede ponerse en bonos <ipotecarios es de F1'','''! %etermine lascantidades de la dos inversiones que ma-imi)ar5n la inversin total!

Solucin:


-1 + la Cantidad de la inversin en bonos conservadores-2 + la Cantidad de la inversin en bonos <ipotecarios

Ba- . + -1 / -2 !(1"Su3etos a:('!'"(1,''','''"-1 / ('!1"(1,''','''"-2 0 (1,''','''"('!2&" !!! (2"

-2 1'',''' !!! ($"-1, -2 '

Problema 13:

(%ecisiones sobre plantacin de cultivos" Un gran3ero tiene 1'' acre pies en los cualespuede sembrar dos cultivos! %ispone de $''' a in de cubrir el costo del sembrado! 4lgran3ero puede coniar en un total de 1$&' <oras><ombre destinadas a la recoleccin delos dos cultivos y en el cuadro se muestra los siguientes datos por acre:

CU8;=VAS CAS;A %4P87D;7?

%4B7D%7WA?7S>WAB9?4

U;=8=%7%

P?=B4?A 2' & 1''S4UD%A #' 2' $''

Solucin:


-1 + la Cantidad de produccin del P?=B4? CU8;=VA en acre pies-2 + la Cantidad de produccin del S4UD%A CU8;=VA en acre pies

Ba- . + 1''-1 / $''-2 !(1"

(4l programa de produccin siempre debe elegirse de modo que ma-imice la utilidadtotal"!Su3eto a:-1 / -2 0 1'' !!!!!!!!! (2" esta ecuacin se debe a que slo tiene 1'' acre pies para loscultivos&-1 / 2'-2 0 1$&'!!! ($"2'-1 / #'-2 0 $''' !!!!!!(#" lo que queda Planteado-1, -2 '



Problema 14:

(%ecisiones sobre plantacin de cultivos" 4n el e3ercicio anterior, determine la porcindel terreno que deber5 plantearse con cada cultivo si la utilidad por concepto del

segundo cultivo sube a #&' por acre!Solucin:

CU8;=VAS CAS;A %4P87D;7?

%4B7D%7WA?7S>WAB9?4

U;=8=%7%

P?=B4?A 2' & 1''S4UD%A #' 2' #&'


-1 + la Cantidad de produccin del P?=B4? CU8;=VA en acre pies

-2 + la Cantidad de produccin del S4UD%A CU8;=VA en acre piesBa- . + 1''-1 / #&'-2 !(1"(4l programa de produccin siempre debe elegirse de modo que ma-imice la utilidadtotal"!Su3eto a:&-1 / 2'-2 0 1$&'!!! (2"2'-1 / #'-2 0 $''' !!!!!!($" lo que queda Planteado-1, -2 '

Problema 15:

(Planeacin dietQtica" 8a dietista de un <ospital debe encontrar la combinacin m5sbarata de dos productos, 7 y 9, que contienen:- al menos '!& miligramos de tiamina- al menos '' calorías

P?A%UC;A ;=7B=D7 C78A?=7S 7 '!2 mg 1''9 '!'M mg 1&'

Solucin:

Variables:-1 + la Cantidad mas 9arata del producto 7-2 + la Cantidad mas 9arata del Producto 9

Ba- . + -1 / -2 !(1"Su3eto a:'!2-1 / '!'M-2 '!&!!! (2" (al menos"1''-1 / 1&'-2 1&' !!!!!!($" lo que queda Planteado-1, -2 '



Problema 16:

(Puriicacin del mineral" Una compañía posee dos minas, P y ! 4n el cuadro siguiente

se muestra la produccin de los elementos por cada tonelada producida por ambasminas respectivamente:

B=D7S CA9?4 .=DC BA8=9%4DA CAS;A PA? ;AD! %4A9;4DC=JD %4 B=D4?78

P &' lb # lb 1 lb &' 1& lb M lb $ lb '

8a compañía debe producir cada semana, al menos las siguientes cantidades de losmetales que se muestran a continuacin:- MK,&'' libras de cobre-

1,''' libras de )inc- &,''' libras de molibdeno

HCu5nto mineral deber5 obtenerse de cada mina con ob3eto de cumplir losrequerimientos de produccin a un costo mínimoI

Solucin:

Variables:-1 + la Cantidad de Bineral de la B=D7 P en libras-2 + la Cantidad de Bineral de la B=D7 en libras

Ba- . + &'-1 / '-2 !(1"&'-1 / 1&-2 0 MK,&'' !!!!!!!!! (2" (CA9?4"#-1 / M-2 0 1,'''!!! ($" (.=DC"-1 / $-2 0 &''' !!!!!!(#" (BA8=9%4DA"-1, -2 ' lo que queda planteado

Problema 1:

(4spacio de 7lmacenamiento" 8a bodega de un depa, de química industrial, almacena,al menos $'' vasos de un tamaño y #'' de un segundo tamaño! Se <a decidido que el

n6mero total de vasos almacenados no debe e-ceder de 12''! %etermine la cantidadesposibles de estos dos tipos de vasos que pueden almacenarse y muQstrelo con ungr5ica!

Solucin:

Variables:-1 + la Cantidad de vasos de primer tamaño-2 + la Cantidad de vasos de segundo tamaño



Ba- . + -1 / -2 !(1"Su3eto a:-1 $''!!! (2" (al menos"

-2 #'' !!!!!!($"-1 / -2 0 12'' !!!!!!!(#"-1, -2 '

Problema 1!:

(4spacio de 7lmacenamiento" 4n el e3ercicio anterior, supongamos que los vasos delprimer tamaño ocupan @ in2 del anaquel y los del segundo in 2! 4l 5rea total deanaqueles disponibles para almacenar es a lo sumo de 2!M t2! %etermine lascantidades posibles de los vasos y muQstrelo con una gr5ica!

Solucin:Variables:-1 + la Cantidad de vasos de primer tamaño-2 + la Cantidad de vasos de segundo tamaño

Ba- . + -1 / -2 !(1"Su3eto a:-1 $''!!! (2" (al menos"-2 #'' !!!!!!($"-1 / -2 0 12'' !!!!!!!(#"@-1 / -2 0 2!M !!!!!!!(&"-1, -2 '

Problema 1":

(Planeacin %ietQtica" Una persona est5 pensando reempla)ar en su dieta de la carnepor ri3oles de soya! Una on)a de carne contiene un promedio de casi de K gramos deproteína mientras que una on)a de ri3oles de soya (verde" contiene casi $ gramos deproteína! Si requiere que si consumo de proteína diaria que obtiene de la carne y de losri3oles de soya combinados debe ser al menos de &' gramos! HuQ combinacin deQstos nutrientes ormar5n un dieta aceptableI

Solucin:

Variables:-1 + la Cantidad de Carne-2 + la Cantidad de ri3oles de Soya

Bin . + -1 / -2 !(1"Su3eto a:K-1 / $-2 &' !!!!!!!(&"



-1, -2 '

Problema 20:

(4cología" Un estanque de peces los abastecen cada primavera con dos especias depeces S y ;! Way dos tipos de comida 1 y 2 disponibles en el estanque! 4l pesopromedio de los peces y el requerimiento diario promedio de alimento para cada pe) decada especia est5 dado en el cuadro siguiente:

4species 1 2 Peso PromedioS 2 Unidades $ Unidades $ libras; $ Unidades 1 Unidades 2 libras

= t<ere are si- <undred o 1 and t<ree <undred o 2 everyday! WoZ do you debit supplyt<e pool or Z<at t<e total Zeig<t o is<es are at least #'' poundsI

Solucin:


-1 + la Cantidad de abastecimiento de Peces (4SP4C=4 S" en Primavera en Unidades-2 + la Cantidad de abastecimiento de Peces (4SP4C=4 ;" en Primavera en Unidades

Ba- . + -1 / -2 !(1"Su3eto a:2-1 / $-2 0 '' !! (2"

$-1 / 1-2 0 $'' !($"$-1 / 2-2 #'' lo que queda Planteado-1, -2 '

Problema 21:

Un gran3ero tiene 2'' cerdos que consumen @' libras de comida especial todos losdías! 4l alimento se prepara como una me)cla de maí) y <arina de soya con lassiguientes composiciones:8ibras por 8ibra de 7limento

7limento Calcio Proteína ibra Costo (lb"

Baí) '!''1 '!'@ '!'2 '!2Warina de Soya '!''2 '! '!' '!

8os requisitos de alimento de los cerdos son:1! Cuando menos 1F de calcio2! Por lo menos $'F de proteína$! B5-imo &F de ibra

%etermine la me)cla de alimentos con el mínimo de costo por día



Solucin:

HuQ es lo que vamos a Binimi)arI

-1 + la Cantidad de Baí) 8ibra por libra de 7limento-2 + la Cantidad de Warina de Soya 8ibra por libra de 7limento

Bin . + '!2-1 / '!-2 !(1"Su3etos a:'!''1-1 / '!''2-2 0 (@'"('!'1" !! (2"'!'@-1 / '!-2 0 (@'"('!$" !($"'!'2-1 / '!'-2 (@'"('!'&" !!!!!!!!!! (#" lo que queda Planteado-1, -2 '

Problema 22:

Un pequeño banco asigna un m5-imo de 2',''' para prQstamos personales y paraautomviles durante el mes siguiente! 4l banco cobra una tasa de interQs anual del 1#Fa prQstamos personales y del 12F a prQstamos para automvil! 7mbos tipos deprQstamos se saldan en periodos de tres años! 4l monto de los prQstamos paraautomvil desde ser cuando menos de dos veces mayor que el de los prQstamospersonales! 8a e-periencia pasada <a demostrado que los adeudos no cubiertosconstituyen el 1F de todos los prQstamos personales HCmo deben asignarse losondosI

Solucin:

HuQ es lo que vamos a Ba-imi)arI-1 + la Cantidad ondos de prQstamos personales-2 + la Cantidad ondos de prQstamos para automvil

Bin . + '!2-1 / '!-2 !(1"Su3etos a:('!1#"(2','''"-1 / ('!12"(2','''"-2 0 2'''' !! (2"-2 (2"('!1#"(2','''" !($"-1 ('!'1"('!12"(2','''" !!!!!!!!!! (#" lo que queda Planteado-1, -2 '

Problema 23:

Una planta armadora de radios produce dos modelos Wii>1 y Wii>2 en la misma líneade ensamble! 8a línea de ensamble consta de tres estaciones! 8os tiempos deensamble en la estaciones de traba3o son:

Binutos por Unidad de Binutos por Unidad de4stacin de ;raba3o Wii>1 Wii>2



1 #2 & &$ #

Cada estacin de traba3o tiene una disponibilidad m5-ima de #M' minutos por día! Sinembargo, las estaciones de traba3o requieren mantenimiento diario, que contribuye al1'F, 1#F y 12F de los #M' minutos totales de que se dispone diariamente para lasestaciones 1, 2 y $ respectivamente! 8a compañía desea determinar las unidadesdiarias que se ensamblar5n de Wii>1 y Wii>2 a in de minimi)ar la suma de tiempos nousados (inactivos" en la tres estaciones!

Solucin:


-1 + la Cantidad de Unidades %iarias de Wii > 1-2 + la Cantidad de Unidades %iarias de Wii > 2

Bin . + -1 / -2 !(1"Su3eto a:-1 / #-2 0 ('!1"(#M'" !! (2"&-1 / &-2 0 ('!1#"(#M'" !($"#-1 / -2 ('!12"(#M'" !!!!!!!!!! (#" lo que queda Planteado-1, -2 '

Problema 24:

Una compañía de productos electrnicos, produce dos modelos de radio, cada uno enuna línea de produccin de volumen dierente! 8a capacidad diaria de la primera líneaes de ' unidades y la segunda es de K& radios! Cada unidad del primer modelos utili)a1' pie)as de ciertos componente electrnicos, en tanto que cada unidad del segundomodelos requiere oc<o pie)as del mismo componente! 8a disponibilidad diaria m5-imadel componente especial es de M'' pie)as! 8a ganancia por unidad de modelos 1 y 2 es$' y 2', respectivamente! %etermine la produccin diaria ptima de cada modelo deradio!

Solucin:


-1 + la Cantidad de produccin del modelo 1 de ?adio-2 + la Cantidad de produccin del modelo 2 de ?adio

Ba- . + $'-1 / 2'-2 !(1"Su3eto a:-1 0 ' !! (2"



1'-1 / M-2 0 M'' !($"-2 0 K& !!!!!!!!!! (#" lo que queda Planteado-1, -2 '

Problema 25:

%os productos se elaboran al pasar en orma sucesiva por tres m5quina! 4l tiempo por m5quina asignado a los productos est5 limitado a 1' <oras por día! 4l tiempo deproduccin y la ganancia por unidad de cada producto son:Binutos Por Unidad

Producto B5quina 1 B5quina 2 B5quina $ anancia1 1' M 22 & 2' 1& $

Dota: %etermine la combinacin ptima de los productos!

Solucin:HuQ es lo que vamos a Binimi)arI

-1 + la Cantidad de Unidades del Producto 1-2 + la Cantidad de Unidades del Producto 2

Bin . + 2-1 / $-2 !(1"Su3eto a:1'-1 / &-2 0 1' !! (2"-1 / 2'-2 0 1' !($"

M-1 / 1&-2 0 1' !!!!!!!!!! (#" lo que queda Planteado-1, -2 '

Problema 26:

Una compañía puede anunciar su producto mediante el uso de estaciones de radio y televisinlocales! Su presupuesto limita los gastos de publicidad de 1''' por mes cada minutos deanuncio en la radio cuesta & y cada minuto de publicidad en televisin cuesta 1''! 8acompañía desearía utili)ar la radio cuando menos dos veces m5s que la televisin! 8ae-periencia pasada muestra que cada minuto de publicidad por televisin generar5 en tQrminosgenerales 2& m5s venta que cada minutos de publicidad por la radio! %etermine la asignacinptima del presupuesto mensual por anuncios por radio y televisin!

Solucin:


-1 + la Cantidad de presupuesto mensual para el ?adio-2 + la Cantidad de presupuesto mensual para el ;elevisor

Ba- . + -1 / -2 !(1"Su3eto a:



&-1 / 1''-2 0 1''' !! (2"-2 (2"(-1"-1 (2&"(-2" !($"-1, -2 '

Problema 2:

Una compañía elabora dos productos: 7 y 9! 4l volumen de ventas del producto 7 escuando menos el 'F de las ventas totales de los dos productos! 7mbos productosutili)an la misma materia prima, cuya disponibilidad diaria est5 limitada a 1'' lb! 8osproductos 7 y 9 utili)an esta materia prima en los índices o tasas de 2 lbunidad y #lbunidad, respectivamente! 4l precio de venta de los productos es 2' y #' por unidad! %etermine la asignacin ptima de la materia prima a los dos productos!

Solucin:



Ba- . + 2'-1 / #'-2 !(1"Su3eto a:2-1 / #-2 0 1'' !! (2"-1 ('!"('" !($"-1, -2 '

Problema 2!:

Una compañía elabora dos tipos de sombreros! Cada sombrero del primer tipo requieredos veces m5s tiempo de manos de obra que un producto del segundo tipo! Si todos lossobreros son e-clusivamente del segundo tipo! 8a compañía puede producir un total de&'' unidades al día! 4l mercado limita las ventas diarias del primero y segundo tipos a1&' y 2'' unidades! Supngase que la ganancia que se obtiene por producto es M por el tipo 1 y & para el tipo 2! %etermine el n6mero de sobreros de cada tipo que debeelaborarse para ma-imi)ar la ganancia!

Solucin:


-1 + la Cantidad de Unidades del Sombrero ;=PA 1-2 + la Cantidad de Unidades del Sombrero ;=PA 2

Ba- . + M-1 / &-2 !(1"Su3eto a:1&'-1 / 2''-2 0 &'' !! (2"



-1 (2"(2''" !($"-1, -2 '

Problema 2":

Una empresa pequeña, cuenta con dos m5quina para elaborar dos productos! Cadaproducto tiene que pasar por la m5quina 7 y despuQs por la m5quina 9! 4l producto 1requiere $ <oras de la m5quina 7 y 2 de la m5quina 9, mientras que el producto 2requiere 1 <ora de la m5quina 7 y 2 <oras de la m5quina 9! 8a capacidad de lasm5quina 7 y 9 son &'' y &' <oras semanales respectivamente! 4l producto a de3a $&'pesos y el segundo producto 9 de3a '' pesos por utilidades! 7nalice usted la situacinde la operacin de esta, dado que por escase) de materia prima no puede producir m5sde 21 unidades del producto!

Solucin:



Ba- . + $&'-1 / ''-2 !(1"Su3eto a:$-1 / 1-2 0 &'' !! (2"2-1 / 2-2 0 &' !! ($"-1 / -2 0 21 !!!!(#"-1, -2 '

Problema 30:

4l grupo [=BP4*7\, desea <acer publicidad para su productos en tres dierentesmedios: radio, televisin y revista! 4l ob3etivo principal es alcan)ar tantos clientes comosea posible! Wan reali)ado un estudio y el resultado es:

%urante el día %urante la noc<e ?adio ?evistasD6mero de clientespotenciales que puedealcan)ar por unidades depublicidad

#&',''' M'',''' K&,''' 2'','''

&'',''' 1,''',''' &',''' 2&','''

[=BP4*7\ no quiere gastar m5s de 1,2'',''! 7dem5s en publicidad por televisin nodesean gastar m5s de K&' mil pesos! Se desean comprar tres unidades de televisindurante el día y 2 unidades durante la noc<e! Plantee el problema como un modelo deprogramacin lineal!



Solucin:

HuQ es lo que vamos a B7*=B=.7?I

-1 + la Cantidad de clientes Potenciales por día-2 + la Cantidad de clientes Potenciales por noc<e-$ + la Cantidad de clientes por ?adio-# + la Cantidad de clientes por revistas

Ba- . + -1 / -2 / -$ / -#!(1"Su3eto a: (?4S;?=CC=AD4S %4 9787DC4"-1 / -2 / -$ / -# 0 1,2'','''-1 / -2 0 K&','''-1 #&','''-1 0 &'','''

-2 M'','''-2 0 1,''','''-$ $K&,'''-$ 0 &','''-# 2'','''-# 0 2&','''$-1 0 2-2

Problema 31:

8a señora Borales tiene una dieta a seguir, la cual re6ne los siguientes requisitosalimenticios! 7l menos # mg! de vitamina 7 7l menos mg! de vitamina 9 7 lo m5s $ mg! de vitamina %

7sí mismo, la dieta est5 ormada por pan, queso, buebo, y carne! 8a tabla siguiente nosda los requerimientos por vitamina en mg! así como el costo:Contenido en mg por gramo de producto

P?A%UC;A CAS;A V=;7B=D7 7 V=;7B=D7 9 V=;7B=D7 %P7D

U4SA9U49ASC7?D4

#'$11@&$

'!2''!1&'!1&'!$'

'!1M'!1''!#''!$&

'!1''!1#'!1&'!1

Solucin:


-1 + la Cantidad a comprar de P7D-2 + la Cantidad a comprar de U4SA



-$ + la Cantidad a comprar de WU4VA-# + la Cantidad a comprar de C7?D4

Bin ] + #'-1 / $1-2 / 1@-$ / &$-#!(1"

Su3eto a:'!2'-1 / '!1&-2 / '!1&-$ / '!$'-# #'!1M-1 / '!1'-2 / '!#'-$ / '!$&-# '!1'-1 / '!1#-2 / '!1&-$ / '!1-# $-1, -2, -$, -# '

Problema 32:

(=nversiones" 7 Nulio que es asesor de inversiones, se le presentan # proyectos con susrespectivos costos en un período de tres años, así como la utilidad total! 4l requierema-imi)ar la utilidad total disponiendo de &','''G 2#,'''G y $',''' en cada uno de

los años siguientes:P?A^4C;A U;=8=%7%;A;78

CAS;A 7_A 1

CAS;A 7_A 2

CAS;A 7_A $

*1

*2

# 3

*#

1''@'K&M'

2@&

1#M1@2

&1#1M@

Solucin:


-1 + la Cantidad de Baí) 8ibra por libra de 7limento-2 + la Cantidad de Warina de Soya 8ibra por libra de 7limento

Bin . + '!2-1 / '!-2 !(1"Su3eto a:'!''1-1 / '!''2-2 0 (@'"('!'1" !! (2"'!'@-1 / '!-2 0 (@'"('!$" !($"'!'2-1 / '!'-2 (@'"('!'&" !!!!!!!!!! (#" lo que queda Planteado-1, -2 '

%isponibilidad:8as cantidades disponibles por año se asignan a las dierentes variables o proyectosba3o estas restricciones para optimi)ar o ma-imi)ar la utilidad total!

Problema 33:

Supngase que el 9anco de CrQdito al Campesino tiene dos planes de inversin asaber: 4l primero en el programa de tierras de riego, el segundo en el programa detierras de temporal! 4l primer programa regresa un $'F de la inversin al in del año,mientras que el segundo plan regresa un &F de la inversin, para el tQrmino de dos



años! 8os intereses recibidos en ambos planes son reinvertidos de nuevo en cualquierade ambos planes! ormule el programa lineal que le permita al banco ma-imi)ar lainversin total en un se-enio, si la inversin es de 1'' millones!

Solucin:HuQ es lo que vamos a B7*=B=.7?I

-i? + la Cantidad de inversin de riesgo a una año i-i; + la Cantidad de inversin ;emporal en 2 años idonde i + 1, 2, $, #, &, !

Ba- . + -1 / -2 / -$ / -#!(1"Su3eto a: (?4S;?=CC=AD4S %4 9787DC4"-1? / -1; 0 1'','''

-2? / -2; 0 1!$'-1?-$? / -$; 0 1!$'-2? / 1!&-1;

-#? / -#; 0 1!$'-$? / 1!&-2;

-&? / -&; 0 1!$'-#? / 1!&-$;

-? 0 1!$'-&? / 1!&-#;

-1;, -? '

Problema 34:

Una compañía de perumes puede anunciar su producto mediante el uso de estacionesde radio y televisin! Su presupuesto limita los gastos de publicidad a 1,&'' por mes!Cada minuto de anuncio en la radio cuesta 1& y cada minuto de publicidad entelevisin cuesta @'! 8a compañía desearía utili)ar la radio cuando menos dos vecesm5s que la televisin! 8os datos <istricos muestran que cada minuto de publicidad por televisin generar5 en tQrminos generales $' veces m5s ventas que cada minuto depublicidad por radio! %etermine la asignacin ptima del presupuesto mensual paraanuncios por radio y televisin!

Solucin:


-1 + la Cantidad de presupuesto mensual para el ?adio-2 + la Cantidad de presupuesto mensual para el ;elevisor

Ba- . + -1 / -2 !(1"Su3eto a:1&-1 / @'-2 0 1&'' !! (2"-2 (2"(-1"-1 ($'"(-2" !($"-1, -2 '



Problema 35:

Una ;ienda de animales <a determinado que cada W5mster debería recibirla menos K'unidades de proteína! 1'' unidades de carbo<idratos y 2' unidades de grasa! Si la

tienda vende los seis tipos de alimentos mostrados en la tabla! HuQ me)cla dealimento satisace las necesidades a un costo mínimo para la tiendaI

7limento Proteínas(Unidades An)a"

Carbo<idratos(Unidades An)a"

rasa(Unidades

An)a"

Costo(An)a"

79C%4

2'$'#'#'#&

$'

&'$'2'2&&'

2'

#@111'@

1'

2$&M

MSolucin:


-1 + la Cantidad a me)clar de 7-2 + la Cantidad a me)clar de 9-$ + la Cantidad a me)clar de C-# + la Cantidad a me)clar de %-& + la Cantidad a me)clar de 4

- + la Cantidad a me)clar de Bin ] + 2-1 / $-2 / &-$ / -# / M-& / M-!(1"Su3eto a:2'-1 / $'-2 / #'-$ / #'-# / #&-& / $'- 0 K' !!!!!!!!! P?A;4`D7&'-1 / $'-2 / 2'-$ / 2&-# / &'-& / 2'- 0 1'' >>>>>> C7?9AW=%?7;AS#-1 / @-2 / 11-$ / 1'-# / @-& / 1'- 0 2' >>>>>>>>>> ?7S7-1, -2, -$, -# '

Problema 35:

Una compañía manuacturera local produce cuatro deerentes productos met5licos quedeben maquinarse, pulirse y ensamblarse! 8a necesidades especíicas de tiempo (en<oras" para cada producto son las siguientes:

Baquinado Pulido 4nsambleProducto =Producto ==Producto ===Producto =V

$22#

112$

2121



8a compañía dispone semalmente de #M' <oras para maquinado, #'' <oras para elpulido y #'' <oras para el ensamble! 8as ganancias unitarias por producto son , #, y M respectivamente! 8a compañía tiene un contrato con un distribuidor en el que secompromete a entregar semanalmente &' unidades del producto 1 y 1'' unidades de

cualquier combinacin de los productos == y ===, seg6n sea la produccin, pero slo unm5-imo de 2& unidades del producto =V! Hcu5ntas unidades de cada producto deberíaabricar semanalmente la compañía a in de cumplir con todas las condiciones delcontrato y ma-imi)ar la ganancia totalIConsidere que las pie)as incompletas como un modelo de Programacin 8ineal!

Solucin:


-1 + la Cantidad a abricar del producto =

-2 + la Cantidad a abricar del producto ==-$ + la Cantidad a abricar del producto ===-# + la Cantidad a abricar del producto =V

Bin ] + -1 / #-2 / -$ / M-#!(1"Su3eto a:$-1 / 2-2 / 2-$ / #-# 0 #M'1-1 / 1-2 / 2-$ / $-# 0 #''2-1 / 1-2 / 2-$ / 1-# 0 #''-1 &'-2 / -$ 1''-# 0 2&-1, -2, -$, -# '

Problema 36:

Se procesan cuatro productos sucesivamente en dos m5quina! 8os tiempos demanuactura en <oras por unidad de cada producto se tabulan a continuacin para lasdos m5quinas:

B5quina Producto 1 Producto 2 Producto $ Producto #12

2$

$2

#1

22

4l costo total de producir una unidad de cada producto est5 basado directamente en eltiempo de m5quina! Suponga que el costo por <ora para las m5quina 1 y 2 es 1' y1&! 8as <oras totales presupuestadas para todos os productos en las m5quina 1 y 2son &'' y $M'! si el precio de venta por unidad para los productos 1, 2, $ y # en &,K', && y #&, ormule el problema como modelo de programacin lineal parama-imi)ar el beneicio neto total!

Solucin:




-1 + la Cantidad a abricar del producto 1

-2 + la Cantidad a abricar del producto 2-$ + la Cantidad a abricar del producto $-# + la Cantidad a abricar del producto #

Ba- ] + &-1 / K'-2 / &&-$ / #&-#!(1"Su3etos a:2-1 / $-2 / #-$ / 2-# 0 &''$-1 / 2-2 / 1-$ / 2-# 0 $M'-1, -2, -$, -# '

Problema 3:

8a compañía %elta tiene maquinaria especiali)ada en la industria de pl5stico! 8acompañía se dispone a iniciar operaciones el pr-imo mes de enero y cuenta con$'',''' y die) m5quinas! 8a operacin de cada m5quina requiere de #,'''!'' alinicio de una mes para producir y al in del mes la cantidad de @,'''!'' sin embargo,para cada dos m5quinas se necesita un operador cuyo sueldo mensual es de $'''!''pagando al principio del mes! 8a compañía se propone planear su produccin, empleode operador y compra de maquinaria que debe tener, al principio del mes siete, alm5-imo n6mero de m5quina en operacin!

7l principio de cada mes la compañía tiene disponibles tres alternativas para adquirir maquinaria! 4n la primera alternativa puede comprar m5quina de 2','''!'' cada unacon un periodo de entrega de una mes! 4sto es, si al principio de cada mes [t\ se pide ypaga la maquinaria, est5 se entregar5 al principio del mes t / 1!

4n la segunda alternativa, se puede comprar en 1&,'''!'' cada maquinaria, pero elperiodo de entrega es en dos meses! 8a 6ltima alternativa s comprar en 1','''!''cada m5quina con un periodo de entrega en tres meses!

ormule un modelo de programacin lineal que permita determinar la política de comprade maquinaria, produccin y pago de operadores en cada mes, de manera tal que alprincipio del mes siete tenga el m5-imo n6mero de m5quina en operacin!

Solucin:


-1 + la Cantidad a abricar del producto =-2 + la Cantidad a abricar del producto ==-$ + la Cantidad a abricar del producto ===-# + la Cantidad a abricar del producto =V



Bin ] + -1 / #-2 / -$ / M-#!(1"Su3eto a:$-1 / 2-2 / 2-$ / #-# 0 #M'1-1 / 1-2 / 2-$ / $-# 0 #''

2-1 / 1-2 / 2-$ / 1-# 0 #''-1 &'-2 / -$ 1''-# 0 2&-1, -2, -$, -# '

Problema 3!:

Una compañía de productos químicos que labora las 2# <oras del día tiene lassiguientes necesidades de personal tQcnico y especiali)ado

Periodo Wora del día Personal tQcnico Personal4speciali)ado12$#&

L 1'1' L1#1# L 1M1M L2222 L '2'2 > '

2'#'M'#&2&1'

M121&@$2

Abserve que el periodo 1 sigue al periodo ! Considere que cada persona en lacompañía labora M <oras consecutivas! Suponga que * t y .t, denotan el n6mero de

personas tQcnicas y especiali)adas, respectivamente, que empie)an a traba3ar al iniciodel periodo t en cada día! 4n esta compañía, el acuerdo sindical establece que en todomomento debe <aber por lo menos tres veces el n6mero de personal tQcnico que depersonal especiali)ado! 4stable)ca un modelo de programacin lineal pata determinar el mínimo n6mero de personal tQcnico y especiali)ado para satisacer las necesidadesdiarias de traba3o en el compañía!

Solucin:

-i? + la Cantidad de personal tQcnico-i; + la Cantidad de personalidad especiali)adodonde i + 1, 2, $, #, &, !

Bin . + -1 / -2 Su3etos a:2'-1 / M-2 '#'-1 / 12-2 12'M'-1 / 1&-2 2#'#&-1 / @-2 $(#&"2&-1 / $-2 K&1'-1 / 2-2 $'



Problema 3":

errocarriles Dacionales de BQ-ico tiene al inicio del pr-imo año la siguiente demanda

de locomotoras diesel para ocupar su sistema en todo el país:;rimestre 1 2 $

8ocomotoras%iesel

K&' M'' KM'

8a gerencia de errocarriles puede satisacer su demanda mediante la combinacin delas siguientes alternativas:

a" Uso de la e-istencia de locomotoras diesel en estado de traba3ob" Compra de locomotoras al e-tran3ero las cuales pueden entregarse al principio

de cualquier trimestrec" ?eparar locomotoras en los talleres nacionales con car5cter normal! 4l tiempo rereparacin es de meses!d" ?eportar locomotoras en los talleres nacionales con car5cter urgente! 4l tiempode reparacin es de $ meses!

8a alternativa b tiene un costo de &,''',''' por locomotora8a alternativa c tiene un costo de 1'',''' por locomotora8a alternativa d tiene un costo de 2&',''' por locomotora

Se estima que al principio del año se tendr5n &' locomotora en estado de traba3o y el

presupuesto de operacin para ese año es de 1'',''',''' entregado en partidastrimestrales de #', $', 2' y 1' millones respectivamente!

Se supone que al inal de cada trimestre el &F de las locomotoras debe mantenerse areparacin y el &F quedan uera de servicio! ormule un problema de programacinlineal que permita determinar la combinacin de políticas que debe tomar en cuenta lagerencias de !!C!C! para minimi)ar costos y satisacer la demanda de locomotoras!

Solucin:


-1 + la Cantidad de %emanda en el trimestre 1-2 + la Cantidad de %emanda en el trimestre 2-$ + la Cantidad de %emanda en el trimestre $

Bin ] + &,''','''-1 / 1'','''-2 / 2&','''-$ !(1"Su3eto a:-1 / -2 / -$ 0 1'',''','''K&'-1 / M''-2 / KM'-$ &'-1 ('!'&"(K&'"



-2 ('!'&"(M''"-$ ('!'&"(KM'"-1, -2, -$, -# '

Problema 40:

Una compañía produce a)6car morena, a)6car blanca, a)6car pulveri)ada y mela)ascon el 3arabe de la caña de a)6car! 8a compañía compra #''' toneladas de 3arabe ala semana y tiene un contrato para entregar un mínimo de 2& toneladas semanales decada tipo de a)6car! 4l proceso de produccin se inicia abricando a)6car morena ymela)as con el 3arabe! Una tonelada de 3arabe produce '!$ toneladas de a)6car morena y '!1 toneladas de mela)as! %espuQs el a)6car blanca se elabora procesandoa)6car morena! Se requiere 1 tonelada de a)6car morena para producir '!M toneladasde a)6car blanca! inalmente, el a)6car pulveri)ada se abrica de la a)6car blanca por medio de un proceso de molido especial, que tiene @&F de eiciencia de conversin (1

tonelada de a)6car blanca produce '!@& toneladas de a)6car pulveri)ada"! 8asutilidades por tonelada de a)6car morena, a)6car blanca, a)6car pulveri)ada y mela)asson de 1&', 2'', 2$', y $& dlares, respectivamente! ormule el problema como unprograma lineal!

So!"#$%&8a produccin de cada tipo de a)6car de acuerdo al proceso de produccin se detalla acontinuacin por cada tonelada de material empleado!

P'o!""#$% po' t% a)!morena mela)a a)!blanca a)!pulveri)ada

Narabe (1tn" '!$ '!1 7)! Borena (1tn" '!M 7)! 9lanca (1tn" '!@&

%eterminamos las variables de decisin:*i + producto obtenido (toneladas por semana", donde i: 1, 2, $, #G representa losdierentes tipos de productos! 1: a)6car morena, 2: mela)a, $: a)6car blanca, #:a)6car pulveri)ada!

8as restricciones:*1 '!$ / *2 '!1 0+ #''' (?estriccin para tn! de 3arabe"

*1 +2&''' (?estriccin para tn! de a)6car morena" *$ '!M + 2&''' (?estriccin para tn! de a)6car blanca"

*# '!@& +2&''' (?estriccin para tn! de a)6car pulveri)ada" *1, *2, *$, *# +' (?estriccin de no negatividad"

8a uncin ob3etivo para ma-imi)ar las utilidades:!o: ma-! ) + 1&'*1 / 2''*$ / 2$'*# / $&*2

8a estructura del modelo es la siguiente:*i + producto obtenido (toneladas por semana" i: 1, 2, $, #!A Ba- ) + 1&'*1 / 2''*$ / 2$'*# / $&*2S!a: *1 '!$ / *2 '!1 0+ #''' (?estriccin para tn! de 3arabe"



*1 +2&''' (?estriccin para tn! de a)6car morena" *$ '!M + 2&''' (?estriccin para tn! de a)6car blanca" *# '!@& +2&''' (?estriccin para tn! de a)6car pulveri)ada"

*1, *2, *$, *# +' (?estriccin de no negatividad"

Problema 41:

Cuatro productos se procesan en secuencia de dos maquinas! 8a siguiente tablaproporciona los datos pertinentes al problema!

T#*+po * ,-.'#"-"#$% po' !%#- (o'-)!#%- Costo P'o 1 P'o 2 P'o 3 P'o C-p-"#-

(4) / o'- (o'-)1 1' 2 $ # 2 &''2 & $ 2 1 2 $M'

P'*"#o * 5*%t- & K' && #&

Po' !%#- (4)

ormular el modelo como un modelo de programacin lineal!

So!"#$%&%eterminamos las variables de decisin:

*i3: unidades producidas por tipo de producto 3: 1, 2, $, #! utili)ando cada maquina i: 1, 2!

8as restricciones:2*11/ $*12 / #*1$ / 2*1# 0+ &'' (?estriccin de capacidad de la maq! 1"

$*21 / 2*22 / 1*2$ / 2*2# 0+$M' (?estriccin de capacidad de la maq! 2"

8a uncin ob3etivo para ma-imi)ar las utilidades:Ba- ) + &(*11 / *12" / K'(*12 / *22" / &&(*1$ / *2$" / #&(*1# / *2#" >

1' (2*11 / $*12 / #*1& / 2*1#" > &($*21 / 2*22 / 1*2$ / 2*2#"Simpliicando:

ma- ) + #&*11 / &'*21 / #'*12 / '*22 / 1&*1$ / &'*2$ / 2&*1# /$&*2#

8a estructura del modelo es la siguiente:

*i3: unidades producidas por tipo de producto 3: 1, 2, $, #! Utili)ando cada maquina i: 1, 2!: A Ba- ) + #&*11 / &'*21 / #'*12 / '*22 / 1&*1$ / &'*2$ / 2&*1# /$&*2#S!a:2*11/ $*12 / #*1$ / 2*1# 0+ &'' (?estriccin de capacidad de la maq! 1"$*21 / 2*22 / 1*2$ / 2*2# 0+$M' (?estriccin de capacidad de la maq! 2"*11, *12, *1$, *1#, *21, *22, *2$, *2# +' (?estriccin de no negatividad"

Problema 42:



Con rubíes y )airos un empresario produce dos tipos de anillos! Un anillo tipo 1 requiere 2rubíes, $ )airos y 1 <ora de traba3o de un 3oyero! Un anillo tipo 2 requiere $ rubíes, 2 )airos y 2<oras de traba3o de un 3oyero! Cada anillo tipo 1 se vende a #'' dlares, y cada anillo tipo 2, a&'' dlares! Se pueden vender todos los anillos producidos! 7ctualmente, se dispone de 1''rubíes, 12' )airos y K' <oras de traba3o de un 3oyero! Se puede comprar m5s rubíes a un costo

de 1'' dlares el rubí! 8a demanda del mercado requiere de una produccin de por lo menos2' anillos del tipo 1 y por lo menos 2& anillos del tipo 2! ormular el problema para ma-imi)ar laganancia!

Solucin:R*!*'#+#*%to po' !%#-

;ipo deanillo %isponibilidad

;ipo 1 ;ipo 2?ubíes (unid" 2 $.airos (unid" $ 2Wrs><ombre 1 2 K'Precio (unid" #'' &''%emanda (unid" 2' 2&

%eterminamos las variables de decisin: *i: cantidad de anillos de tipo i + 1, 28as restricciones:

2*1 / $*2 L *$ 0+ 1'' (?estriccin para la cantidad de rubíes" $*1 / 2*2 0+ 12' (?estriccin para la cantidad de )airos"

*1 / 2*2 0+ K' (?estriccin de <oras de traba3o de un 3oyero" *1 + 2' (?estriccin para la demanda del tipo 1" *2 + 2& (?estriccin para la demanda del tipo 2"

8a uncin ob3etivo para ma-imi)ar las utilidades:Ba- ) + #''*1 / &''*2 > 1''*$

8a estructura del modelo es la siguiente:

*i: cantidad de anillos de tipo i + 1, 2!A: Ba- ) + #''*1 / &''*2 L 1''*$S!a:

2*1 / $*2 L *$ 0+ 1'' (?estriccin para la cantidad de rubíes" $*1 / 2*2 0+ 12' (?estriccin para la cantidad de )airos"

*1 / 2*2 0+ K' (?estriccin de <oras de traba3o de un 3oyero" *1 + 2' (?estriccin para la demanda del tipo 1" *2 + 2& (?estriccin para la demanda del tipo 2"

*1, *2, *$ +' (?estriccin de no negatividad"

Problema 43:

Para una 3ornada de 2# <oras un <ospital esta requiriendo el siguiente personal para el 5rea deenermería, se deine turnos de # <oras cada uno!

T!'%o N6+*'o



+%#+o* p*'so%-

2:'' > :'' #:'' > 1':'' M1':'' > 1#:'' 1'1#:'' > 1M:'' K1M:'' > 2':'' 122':'' > 2#:'' #

8os contratos laborales son de M <oras consecutivas por día! 4l ob3etivo es encontrar el n6meromenor de personas que cumplan con los requerimientos! ormule el problema como un modelode programacin lineal!

So!"#$%&%eterminamos las variables de decisin:

*i + Cantidad de personal por cada turno i + 1, 2, $, #, &, !

N*"*s#-*s * p*'so%- po' o'-'#o

Woras 2:'' > :'' :'' > 1':'' 1':'' > 1#:'' 1#:'' > 1M:'' 1M:'' > 2':'' 2':'' > 2#:'' *1 *1 *2 *2 *$ *$ *# *# *& *& * *Personal # M 1' K 12 #

8as restricciones de personal por turno son:

*1 / * + #*1 / *2 +M*2 / *$ +1'*$ / *# +K*# / *& +12*& / * +#

8a uncin ob3etivo para minimi)ar la cantidad de personalBin ) + *1 / *2 / *$ / *# / *# / *& / *

8a estructura del modelo es la siguiente:*i + Cantidad de personal por cada turno i + 1, 2, $, #, &, !

:A Bin ) + *1 / *2 / *$ / *# / *# / *& / *S!a:

*1 / * + #*1 / *2 + M*2 / *$ + 1'*$ / *# + K*# / *& + 12*& / * + #*1, *2, *$, *#, *&, * + ' (?estriccin de no negatividad"

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